12. Análise de Pilares em Balanço

(1)

(2)

12. Análise de Pilares em Balanço

12.1. Geração de exemplos de pilares para análise

Para finalizar este trabalho serão gerados exemplos de pilares em balanço e biapoiados para comparação dos métodos de cálculo utilizando “integração numérica com desacoplamento das solicitações de flexão e rigidez secante” e

“integração numérica considerando a flexão oblíqua composta sem desacoplamento, com as curvaturas obtidas das superfícies do diagrama momento-curvatura”. Os pilares biapoiados são analisados no capítulo 13.

O objetivo é comprovar a possibilidade de se calcular os efeitos de segunda ordem em pilares solicitados à flexão oblíqua composta como se se tratasse de duas flexões normais compostas independentes, ou seja, considerando os efeitos das duas flexões desacoplados. Depois de encontrados os efeitos de 1ª e 2ª ordem em cada direção independentemente deve-se considerar a ação conjunta de N

Sd

, M

Sxd,total

e M

Syd,total

para verificar a condição de segurança de norma no Estado Limite Último em cada seção do pilar, por exemplo, através de ábacos ν

d

- µ

xd

- µ

yd

.

A finalidade de se fazer assim é que para a flexão normal composta já existem ábacos de iteração que fornecem para determinadas distribuições de armadura em seções retangulares, as rigidezes em função da força normal solicitante e da taxa mecânica de armadura. Para flexão oblíqua não. Ainda, para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem com a utilização de computadores o tempo de processamento na flexão normal composta é muito menor. Se esse desacoplamento pode ser feito se ganha em praticidade.

Os milhares de exemplos processados pelo programa de computador desenvolvido ao longo deste trabalho, permitem uma análise e conclusão segura de que se pode proceder ao desacoplamento com segurança e sem prejudicar demasiadamente a economia.

Foram gerados exemplos de pilares em balanço com a sistemática indicada abaixo.

Os pilares de seção retangular têm dimensões da seção transversal h

x

e h

y

com h

x

≥ h

y

.

À dimensão h

y

foi atribuído o valor 19 cm.

À dimensão h

x

atribuiu-se valores que variam de um mínimo a um máximo sendo

(3)

h

x,mín

= 25 cm h

x,máx

= 5.h

y

e ∆h

x

= (h

x,máx

- h

x,mín

) / 3 (12.1)

O comprimento de flambagem (L

e

) e o próprio comprimento (L) do pilar são calculados pelo programa em função do índice de esbeltez (λ), que é fornecido como dado, por:

46 , 3

.

_y

e

L λ h

= (12.2)

L = 0,5 .L

e

(12.3)

Foram analisados pilares com o índice de esbeltez assumindo os valores 65, 75, 90 e 115.

A distribuição da armadura dentro da seção transversal foi considerada composta de 4 barras associadas aos vértices, n

x

barras distribuídas nas faces de comprimento h

x

e n

y

barras distribuídas nas faces de comprimento h

y

. A quantidade mínima associada a um lado é definida pelo programa de modo a respeitar um espaçamento máximo de centro a centro de barras de 40 cm. A quantidade máxima é definida pelo programa de modo a respeitar um espaçamento mínimo entre faces de barras de 2,5 cm. Além das quantidades mínima e máxima foi considerada uma quantidade média entre a mínima e a máxima.

Foram considerados cobrimentos da armadura de 2,5 cm e 3,5 cm.

As forças normais consideradas são funções da força normal resistente no Estado Limite Último (E.L.U.) do pilar em compressão centrada, dada por:

N

Rd

= 0,85.f

cd

.A

c

+ σ

s,2%^o

.A

s

(12.4) As forças normais consideradas para pilares com índice de esbeltez 65, 75 e 90 são:

N

Sd,min

= 0,4.N

Rd

N

Sd,méd

= 0,6.N

Rd

N

Sd,máx

= 0,8.N

Rd

(12.5)

Para pilares com índice de esbeltez igual 115 foram consideradas

N

Sd,min

= 0,1.N

Rd

N

Sd,máx

= 0,3.N

Rd

(12.6)

Quando o índice de esbeltez é maior que 90, considera-se o fator de fluência ϕ

eq

=

1,5, com o diagrama tensão deformação do concreto deslocado do fator (1+ ϕ

eq

)

conforme explicado no capítulo 3 item 3.4.4.

(4)

A inclinação do eixo de solicitação θ, é considerada variando de θ

mín

= 15° à θ

máx

= 75° com incrementos ∆θ = 15°.

Para cada força normal solicitante , N

Sd

, e inclinação, θ, considerados, o programa calcula os momentos resistentes (M

Rxd

e M

Ryd

) do estado limite último. As solicitações de flexão são consideradas para a seção da base do pilar em balanço com três níveis de solicitação, NS = 0,2; 0,5 e 0,8, assim, se tem para cada direção principal de inércia

M

Bd,min

= 0,2. M

Rd

M

Bd,méd

= 0,5. M

Rd

M

Bd,máx

= 0,8. M

Rd

(12.7)

As cargas no topo do pilar são:

Força normal: N

Sd

Momentos aplicados: M

Txd

e M

Tyd

Forças horizontais: H

Txd

e H

Tyd

Os momentos aplicados no topo assumem os valores:

M

Td,min

= 0

M

Td,méd

= 0,5.M

Bd

M

Td,máx

= 1,0.M

Bd

(12.8)

As forças horizontais no topo são

L

M H

_T

M

^Bd

−

^Td

= (12.9)

Resumindo, fez-se:

λ = 65, 75, 90 e 115

h

x

= 25 a 5.h

y

com ∆h

x

= (5.hy -25) / 3

n

x

= n

x,mín

a n

x,máx

com ∆n

x

= (n

x,máx

– n

x,mín

) / 2 n

y

= n

y,mín

a n

y,máx

com ∆n

y

= (n

y,máx

– n

y,mín

) / 2 c = 2,5 e 3,5 (cobrimento da armadura)

N

Sd

= 0,4.N

ud

a 0,8.N

ud

com ∆N

Sd

= 0,2.N

ud

se λ ≤ 90 N

Sd

= 0,1.N

ud

a 0,3.N

ud

com ∆N

Sd

= 0,2.N

ud

se λ > 90 θ = 15° a 75° com ∆θ = 15°

Nível de solicitação: [NS]= 0,2 a 0,8 com ∆[NS] = 0,3 M

SBxd

= [NS].M

uxd

M

SByd

= [NS].M

uyd

(5)

M

STxd

= 0 a +1,0.M

SBxd

com ∆M

STxd

= 0,5. M

SBxd

M

STyd

= 0 a +1,0.M

SByd

com ∆M

STyd

= 0,5. M

SByd

...

Novo M

STyd

Novo M

STxd

Novo Nível de solicitação [NS]

Novo θ Novo N

Sd

Novo cobrimento Novo ny

Novo nx Novo hx

Novo λ

Um pilar em balanço é mostrado na figura 12.1, onde estão representadas as cargas, os diagramas de momentos fletores solicitantes de 1ª ordem e a discretização do pilar para a integração numérica.

Figura 12.1 – Pilar em balanço. MBxd

e M

B y d

são as reações momentos na base. M

Txd

e M

T y d

são momentos aplicados no topo. H

Txd

e H

T y d

são forças horizontais aplicadas no topo

X Y

MBxd

MByd

MT yd MT xd

L Nd

MBxd

MByd

MT xd

MT yd

zi X

Y HTxd HTyd

X Y

L zi

Base =1 2 3 4 5 6 Topo =7

a) Carregamento b) Diagramas de momentos fletores c) Discretização do pilar

(6)

Dada uma força no rmal N

d

e a inclinação do eixo de solicitação θ, o programa calcula os correspondentes momentos resistentes do E.L.U. M

Rxd

e M

Ryd

.

Dado um nível de solicitação (NS) são calculados os momentos de 1ª ordem a serem considerados na base do pilar:

M

Bxd

= NS.M

Rxd

M

Byd

= NS.M

Ryd

(12.10)

Dadas as relações (M

T

/M

B

)

x

e (M

T

/M

B

)

y

, são calculados os momentos solicitantes de 1ª ordem no topo do pilar:

M

Txd

= (M

T

/M

B

)

x

.M

Bxd

M

Tyd

= (M

T

/M

B

)

y

.M

Byd

(12.11)

e as forças horizontais L

M H

_Txd

M

^Bxd

−

^Txd

=

L M H

_Tyd

M

^Byd

−

^Tyd

= (12.12)

Os momentos solicitantes de 1ª ordem em uma seção qualquer de ordenada z

i

são dados por:

M

Sxd,i

= M

Txd

+ H

Txd

.(L – z

i

)

M

Syd,i

= M

Tyd

+ H

Tyd

.(L – z

i

) (12.13)

A inclinação θ dada é valida somente para a seção da base do pilar. Ao longo da altura ela varia com as diferentes relações (M

T

/M

B

)

x

e (M

T

/M

B

)

y

, já que as duas relações muitas vezes têm valores diferentes.

Dada a força normal N

d

, para cada par de momentos solicitantes M

Sxd,i

e M

Syd,i

são calculadas as curvaturas, 1/r

x

e 1/r

y

, correspondentes.

No processo com rigidez secante essas curvaturas são calculadas por:

xx i Sxd

x

EI

M r

_sec,

,

) ( 1 =

yy i Syd

y

EI

M r

_sec,

,

) (

1 = (12.14)

No segundo processo, as curvaturas são determinadas para cada seção através das

relações momento-curvatura como foi exposto no item 8.2. Esse segundo processo,

mais preciso que o primeiro, requer uma quantidade de trabalho muito maior.

(7)

Embora esse trabalho de cálculo seja feito pelo computador, o tempo de processamento é muito maior.

12.2. Processos utilizados para o cálculo dos esforços solicitantes totais

Os resultados que o programa fornece para análise são referentes às solicitações totais (1ª ordem + 2ª ordem) na seção mais solicitada.

Cada pilar é resolvido por dois processos de determinação dos efeitos de 2ª ordem, quais sejam:

a) Processo com desacoplamento (índice d)

O primeiro processo considera a integração numérica como meio de se obter os efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas em cada seção são obtidas com a consideração da rigidez secante, constante para todas as seções e todas as iterações. A rigidez secante é determinada para a flexão normal composta em cada direção independentemente.

( ) ⁽ ^; ⁾

3 3 sec,

f Rxd f

Sd x xx

M f N

EI = γ γ

( ) ⁽ ^; ⁾

3 3 sec,

f Ryd f

Sd y yy

N M f

EI = γ γ (12.15)

Essa consideração das rigidezes secantes determinadas independentemente para cada direção principal de inércia foi chamada de “desacoplamento das flexões”. As curvaturas então, são obtidas dividindo-se o momento fletor solicitante minorados pelo fa tor γ

f3

= 1,1,em cada seção, pela rigidez secante. Ou seja:

xx f i Sxd

i

x

EI

M

r

_sec,

3 ,

,

( )

1 γ

 =



 





yy f i Syd

i

y

EI

M

r

_sec,

3 ,

,

( )

1 γ

 =



 



 (12.16)

A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da

base do pilar até a seção em consideração.

(8)

O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção da base do pilar até a seção em consideração.

Para os pilares biapoiados, depois de realizadas as duas integrações, são feitas correções nas rotações e deslocamentos para restabelecer as condições de contorno originais. Ou seja, foi dada uma rotação na linha elástica do pilar de modo a anular o deslocamento da seção do topo.

As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões normais compostas. Ao final, se analisa a condição de segurança de norma no Estado Limite Último do pilar para a flexão oblíqua composta considerando atuando simultaneamente as solicitações N

Sd

, M

Sxd

e M

Syd

.

Os efeitos de segunda ordem são calculados considerando os valores das solicitações divididos por γ

f3

= 1,1 e a tensão máxima no concreto igual a σ

c,máx

= 1,1.f

cd

em lugar do tradicional σ

c,máx

= 0,85.f

cd

. Isto é, os deslocamentos e momentos de 2ª ordem são calculados para as solicitações de primeira ordem:

3

*

f Sd d

N N

= γ (12.17)

e

3

* 1

f Sxd xd

M M

= γ (12.18)

para a flexão normal composta na direção x e

3

*

f Sd d

N N

= γ (12.19)

e

3

* 1

f Syd yd

M M

= γ (12.20)

para a flexão normal composta na direção y.

Ao final cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a solicitação de flexão oblíqua composta dada por:

N

_d

= γ

_f₃

. N

_d^*

(12.21)

* 3 ,_final _f

.

_xd

xd

M

M = γ (12.22)

(9)

e M

_yd_,_final

= γ

_f₃

. M

_yd^*

(12.23) A segurança do pilar é analisada pela relação entre o momento total solicitante em determinada seção

( ) (

,

)

²

2 ,

,final xd final yd final

Sd

M M

M = + (12.24)

pelo momento resistente do estado limite último

(

Rxd

)

²

(

Ryd

)

²

Rd

M M

M = + (12.25)

este último também determinado para a força normal N

d

=N

Sd

. A condição de segurança do pilar é:

0 ,

,

≤ 1

 

 

Rd d final Sd

M

M (12.26)

O índice “d” foi colocado na expressão (12.26) para fazer referência ao desacoplamento das flexões

b) Processo com acoplamento das flexões (índice a)

O segundo processo considera também a integração numérica como meio de se obter os efeitos de 2ª ordem (deslocamentos e momentos fletores). As curvaturas em cada seção são obtidas com a consideração simultânea das duas flexões (direções x e y) e portanto, considerando sempre a solicitação de flexão oblíqua composta sem o desacoplamento feito no primeiro processo. Neste caso as curvaturas na direção x foram influenciadas pela solicitação de flexão atuante na direção y e vice-versa. Ou seja:

) , , 1 (

3 3

3 f

yd f

xd f

d x x

M M f N

r  = γ γ γ



 



 (12.27)

) , , 1 (

3 3

3 f

yd f

xd f

d y y

M M f N

r  = γ γ γ



 



 (12.28)

A diferença entre os dois processos está justamente na determinação dessas

curvaturas em cada seção.

(10)

A rotação em cada seção é obtida integrando-se as curvaturas desde a seção da base do pilar até a seção em consideração, como no processo com desacoplamento.

O deslocamento em cada seção é obtido integrando-se as rotações desde a seção da base do pilar até a seção em consideração, como no processo com desacoplamento.

Para os pilares biapoiados são feitas as mesmas correções citadas no processo com desacoplamento.

As integrações das curvaturas e das rotações são feitas independentemente em cada direção principal de inércia (“x” e “y”) como se se tratasse de duas flexões normais compostas.

Ao final, cada seção tem sua segurança analisada no estado limite último para a solicitação de flexão oblíqua composta dada por:

Sd d f

d

N N

N = γ

₃

.

^*

= (12.29)

* 3 ,_final _f

.

_xd

xd

M

M = γ (12.30)

e M

_yd_,_final

= γ

_f₃

. M

_yd^*

(12.31)

A segurança do pilar foi analisada pela relação entre o momento total solicitante em determinada seção

(

^,

) (

² ^,

)

²

,final xd final yd final

Sd

M M

M = + (12.32)

pelo momento resistente do estado limite último

(

^Rxd

)

²

(

^Ryd

)

²

Rd

M M

M = + (12.33)

este último também determinado para a força normal N

d

=N

Sd

e mesma inclinação do eixo de solicitação θ. Essa inclinação θ define a proporção entre as flexões nas direções x e y e é dado por

 





 



= 

final yd

final xd

M tg M arc

,

.

,

θ (12.34)

A condição de segurança do pila r é:

(11)

0 ,

,

≤ 1

 

 

Rd a final Sd

M

M (12.35)

O índice “a” foi colocado na expressão (12.35) para fazer referência ao processo com acoplamento das flexões.

É de se destacar que o processo com acoplamento das flexões, é mais exato. O outro é uma aproximação.

O processo com desacoplamento só merece confiança quanto à segurança se fornecer um coeficiente de segurança maior ou igual ao processo com acoplamento.

Para cada processo de cálculo são obtidas as relações:

a processo Rd d

Sd

total resistente Momento

total te solici Momento

M M

−

 

 





−

= −

 

  tan

(12.36)

b processo Rd a

Sd

total resistente Momento

total tes

solici Momento

M M

−

 

 





−

= −

 

  tan

(12.37) onde

2 2

Syd Sxd

Sd

M M

M = + (12.38)

2 2

Ryd Rxd

Rd

M M

M = + (12.39)

Para o processo com desacoplamento a condição de segurança é dada por:

0 ,

< 1

 

 

Rd d Sd

M

M (12.40)

Para o processo com acoplamento a condição de segurança é dada por:

0 ,

< 1

 

 

Rd a Sd

M

M (12.41)

O objetivo deste trabalho resultará da análise dos resultados dos milhares de pilares resolvidos e analisados tendo em vista o gráfico da figura 12.3.

Além dos valores de (M

Sd

/M

Rd

)

d

e (M

Sd

/M

Rd

)

a

o programa forneceu a região do gráfico da figura 12.3 onde está o ponto P, de coordenadas:

 

 

 

 

 

 

≡

Rd d Sd Rd a

Sd

M M M

P M ; (12.42)

12.3. Argumentação para a análise dos resultados

12.3.1 Condição de segurança para uma seção transversal de pilar

(12)

Na figura 12.2 está representado esquematicamente um diagrama N

d

-M

xd

-M

yd

. Ali estão indicados os módulos dos momentos: M

1d

= OA = solicitante de 1ª ordem, M

total,d

= OB = solicitante total (1ª ordem + 2ª ordem) e M

Rd

= OC = momento resistente do estado limite último.

Figura 12.2: Diagrama Nd

-M

xd

-M

y d

esquemático.

OA = módulo do momento solicitante de 1ª ordem de cálculo.

OB = módulo do momento solicitante total de cálculo (1ª ordem + 2ª ordem).

OC = módulo do momento resistente de cálculo no E.L.U.

A segurança de uma seção solicitada conforme a figura 12.2 é qua lificada pela relação dos segmentos OC e OB. Isto é:

OB

OC M

o M solicitaçã da

Segurança

Sd Rd

=

= .

.

Quanto mais o ponto B se aproxima da curva do estado limite último menor é a segurança da seção.

12.3.2 Interpretação do gráfico da figura 12.3:

Os resultados, obtidos para todos os pilares-exemplo através de cada processo, são analisados por meio de gráficos relacionando as relações _



 





Rd total Sd

M M

_,

do processo com desacoplamento e do processo com acoplamento , conforme a figura 12.3. São determinadas as coordenadas dos pontos

 

 

 

 

 

 

≡

Rd d Sd Rd a

Sd

M M M

P M ;

Mxd

Myd

O MRxx

MRyy

A B

C

Curva do Estado Limite Último

θ

(13)

para cada pilar. Com essas coordenadas identifica-se em que região do gráfico da figura 12.3 o ponto P se localiza.

Figura 12.3 – Gráfico (MSd

/M

ud

)

d

– (M

Sd

/M

ud

)

a

Região A1: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais a segurança indicada pelo processo sem desacoplamento, mais exato, é menor que a indicada pelo processo com desacoplamento. Entretanto, os dois processos indicam que o pilar tem segurança, ou seja

Rd a total Sd Rd d

total Sd

M M M

M  

 

 ≤

 



_, _,

0 ,

,

≤ 1

 

 

Rd d total Sd

M

M → M

Sd,total

≤ M

Rd

→ segurança maior que a real

0 ,

,

≤ 1

 

 

Rd a total Sd

M

M → M

Sd,total

≤ M

Rd

→ segurança real

Portanto, neste caso, é indiferente a utilização do “processo com desacoplamento” ou do “processo com acoplamento”. Com qualquer um se chega à mesma conclusão quanto à segurança do pilar, ou seja, com ambos de atende as condições de segurança das normas. Entretanto, a segurança indicada pelo processo com desacoplamento é exagerada, maior que a indicada pelo processo com acoplamento das flexões (real).

Esta região é desaconselhada mas possível.

1,0 1,0

ud a Sd

M M  

 

A1 A2

C D

B

0

ud d Sd

M M 



Reta s

(14)

Região A2: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais a segurança indicada pelo processo com acoplamento, mais exato, é maior que a indicada pelo processo com desacoplamento. Entretanto, os dois processos indicam que o pilar tem segurança, ou seja

Rd a ftotal Sd Rd d

total Sd

M M M

M  

 

 ≥

 



_, _,

^,

≤ 1 , 0

 

 

Rd d total Sd

M

M → M

Sd,total

≤ M

Rd

→ segurança

^,

≤ 1 , 0

 

 

Rd a total Sd

M

M → M

Sd,total

≤ M

Rd

→ segurança

Portanto, neste caso também é indiferente a utilização do “processo com desacoplamento” ou do “processo com acoplamento”. Com qualquer um se chega à mesma conclusão quanto ao pilar ter segurança de norma.

Esta é a região mais desejada para se obter resultados, já que, aqui existe uma folga de segurança em relação ao processo mais exato. O pilar tem mais segurança que o processo com desacoplamento indica.

Região B: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem M

Sd,final

> M

Rd

pelo “processo sem desacoplamento”, mais exato, enquanto que, pelo “processo com desacoplamento”, menos exato, se tem M

Sd,final

< M

Rd

ud d total Sd ud a

total Sd

M M M

M

 

 

 ≥

 



, ,

0 ,

,

> 1

 

 

Rd a final Sd

M

M → M

Sd,total

> M

Rd

→ falta de segurança

0 ,

,

≤ 1

 

 

Rd d final Sd

M

M → M

Sd,total

≤ M

Rd

→ segurança aparente mas não real

Neste caso a utilização do processo com desacoplamento daria uma conclusão errônea de segurança para o pilar, o que seria perigoso.

Esta é uma região indesejável para se obter resultados nesta análise.

(15)

Região C: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem M

Sd,final

>

M

Rd

pelo “processo com desacoplamento”, menos exato, enquanto que, pelo “processo sem desacoplamento”, mais exato, se tem M

Sd,final

< M

Rd

Rd d final Sd Rd a

final Sd

M M M

M  

 

 <

 



, ,

0 ,

,

< 1

 

 

Rd a final Sd

M

M → M

Sd,final

< M

Rd

→ segurança

0 ,

,

> 1

 

 

Rd d final Sd

M

M → M

Sd,final

> M

Rd

→ insegurança

Neste caso a utilização do processo com desacoplamento daria uma falsa conclusão de falta de segurança para o pilar. Levaria a descartar um projeto de pilar que pelo processo mais exato poderia ser aproveitado.

Mas isso ficaria a favor da segurança embora contra a economia.

Esta é uma região preferível em relação à região B. Já que aqui o pilar teria mais segurança que a indicada pelo cálculo.

Região D: Nessa região estão os pontos P dos pilares para os quais se tem M

Sd,total

>

M

Rd

pelos dois processos.

Rd d total Sd Rd a

total Sd

M M M

M  

 

 <

 



, ,

ou

Rd d total Sd Rd a

total Sd

M M M

M

 

 

 >

 



, ,

0 ,

,

> 1

 

 

Rd a final Sd

M

M → M

Sd,total

> M

Rd

→ falta de segurança

0 ,

,

> 1

 

 

Rd d final Sd

M

M → M

Sd,total

> M

Rd

→ falta de segurança

Neste caso é indiferente a utilização de um ou outro processo, já que, os

dois dariam a mesma informação de que o projeto do pilar deve ser

rejeitado.

(16)

A região mais desejada para se obter resultados nesta análise é a região A2. Em segundo lugar a região C.

A mais indesejada é a região B.

Os resultados obtidos na região D podem ser descartados para uma análise estatística dos resultados obtidos, já que. é indiferente o emprego de um ou outro processo.

12.4. Resultados obtidos do processamento

Foram resolvidos 215.740 pilares pelos dois processos descritos no item anterior. As quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.3 foram:

Tabela 12.1: Quantidades de resultados encontrados em cada região do gráfico da figura 12.2.

λ = 65 λ = 75 λ = 90 λ = 115 λ = 115b Totais

Região A1 --- --- --- --- ---

Região A2 66.322 25.232 13.057 11.902 6.112 122.625 (56,84%)

Região B --- --- --- --- --- ---

Região C 1.740 775 22.044 2.733 1.754 29.046 (13,46%)

Região D 3.218 18.948 25.511 15.378 1.014 64.069 (29,70%)

Totais 71.280 44.955 60.612 30.013 8.880 215.740

Observa-se o expressivo número de casos na região A2. O excessivo número de resultados encontrados na região D se deve ao fato de se ter considerado em muitos casos a força normal solicitante ou o momento de 1ª ordem, muito altos. Mesmo assim, da análise dos demais resultados, observa-se o expressivo número de casos na região A2, que fornece uma conclusão a favor da segurança. É de se destacar na análise a ausência de resultados nas regiões A1 e B.

12.5. Ilustração de algumas situações envolvidas na análise

São mostrados a seguir alguns exemplos de situações envolvidas na análise feita.

Destaca-se que, como foi mostrado acima, o “Nível de Solicitação” se refere à

relação M

Bd

/M

Rd,ELU

para a seção da base do pilar, onde M

Bd

é o momento solicitante

de primeira ordem e M

Rd,ELU

é o momento resistente do E.L.U. da seção para

determinada força normal e determinada inclinação do eixo de solicitação. A

(17)

inclinação θ, do eixo de solicitação, relaciona a proporção entre as flexões nas direções x e y.

O exemplo 1 ilustra a seqüência utilizada para a obtenção dos resultados quantificados na tabela 12.1.

Exemplo 1:

Determinação dos efeitos de segunda ordem de um pilar em balanço conforme a figura 12.1, com a seqüência utilizada no processamento dos milhares de pilares que forneceu os resultados analisados para se chegar à conclusão deste trabalho.

Dados considerados neste exemplo Seção transversal retangular:

h

y

= 19 cm h

x

= 48 cm

?

y

= 65 ? L

e

= 356,94 cm ? L = 178,47 cm Armadura: 18 F 10 mm

A

s

= 14,13 cm

²

(ρ=1,55%) n

x

= 6 e n

y

=1 c = 2,5 cm (cobrimento) Solicitações: N

Sd

= 0,6.N

Rd

Nível de solicitação NS = 0,5 (M

T

/M

B

)

x

= 0,5

(M

T

/M

B

)

y

= 0,5

? = 30 graus Materiais:

Concreto: C20

f

ck

= 20 MPa; ?

c

= 1,4; f = 0 (fluência) Aço: CA 50 A

X Y

X

hx=48 hy=19

MSBxd=0,5.MR xd

MST xd=0,5.MSBxd

MSByd=0,5.MR yd

MST yd=0,5.MSByd

Diagramas de momentos de 1ª ordem

(18)

f

yk

= 500 MPa; ?

s

= 1,15 s

s,2%^o

= 420 MPa = 42 kN/cm

²

Solução:

Força normal centrada resistente no E.L.U.

N

Rd

= 0,85.f

cd

.h

x

.h

y

+ A

s

.s

s,2%o

N

Rd

= 0,85(2,0/1,4)4819 + 14,1342 N

Rd

= 1.701 kN

Força normal solicitante:

N

Sd

= 0,6*1701 = 1 .021 kN

Do programa se obteve para momentos resistentes do E.L.U., considerando a flexão oblíqua composta, com θ = 30° (ver figura 12.4);

M

Rxd

= 22,58 kN.m M

Ryd

= 39,20 kN.m

Os momentos solicitantes na base do pilar são:

M

Bxd

= NS.M

Rxd

= 0,5*22,58 = 11,29 kN.m M

Byd

= NS.M

Ryd

= 0,5*39,20 = 19,60 kN.m No topo do pilar os momentos solicitantes são:

M

Txd

= (M

T

/M

B

)

x

.M

Bxd

= 0,5*11,29 = 5,65 kN.m M

Tyd

= (M

T

/M

B

)

y

.M

Byd

= 0,5*19,60 = 9,80 kN.m As forças horizontais a serem consideradas no topo são:

47 , 178

565 129 .

1 −

− =

= L

M

H

Txd

M

^Bxd ^Txd

H

Txd

= 3,16 kN

47 , 178

980 960 .

1 −

− =

= L

M

H

_Tyd

M

^Byd ^Tyd

H

Txd

= 5,49 kN

Os momentos de 1ª ordem em uma seção genérica i, de ordenada z

i

(ver figura 12.1), são dados por:

M

Sxd,i

= M

Txd

+ H

Txd

.(L – z

i

)

(19)

M

Syd,i

= M

Tyd

+ H

Tyd

.(L – z

i

) M

Sxd,I

= 11,29 + 3,16.z

i

M

Syd,I

= 19,59 + 5,49.z

i

Diagrama "Nd - Mxd - Myd"

-10,0 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Mxd (kN.m)

Myd (kN.m)

Figura 12.4 – Diagrama Nd

-M

xd

-M

y d

para N

d

= 1.021 kN. Obtenção dos momentos M

Rxd

e M

Ry d

para θ = 30° e σ

c

= 0,85.f

cd

.

a) Processo com desacoplamento

Momento resistente do E.L.U. para flexão normal composta na direção x, com N

Sd

= 1.021 kN, do diagrama da figura 12.4:

θ = 90° → M

Rxx

= 101,35 kN.m

Momento último para flexão normal composta na direção y, com N

Sd

= 1.021 kN, do diagrama da figura 12.4:

θ = 0 ° → M

Ryy

= 41,47 kN.m

Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção x:

N kN

f

Sd

928 , 18

1 , 1021 1

3

= γ =

cm kN m

M kN

f

Rxx

92 , 136 . 9 . 213 , 6 .

1 , 1 35 , 101

3

=

= γ =

MR xd=22,58 MR yd=39,20

θ=30°

(20)

4 1 3 3

sec,

10 10 04017 , 0

. 6 , 9213 )

/ 1 . (

)

( = = =

₋ ₋

x

⁻

cm x

cm kN r

M tg

EI

x f Rxx xx

β γ (ver figura 12.5)

(EI)

sec,xx

= 22.936,90 kN.m

²

M_{x d} - 1/r_x

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800 0,1000 0,1200

1/r_x (%o)

Mxd (kN.m)

GamaF3=1,0 GamaF3=1,1 Reta MRd/GamaF3 Rigidez secante

Figura 12.5 – Diagrama momento-curvatura para a direção x.

Obtenção da rigidez secante.

Rigidez secante da seção, para flexão normal composta na direção y:

N kN

f

Sd

928 , 18

1 , 1021 1

3

= γ =

cm kN m

M kN

f

Ryy

37 , 700 . 3 . 770 .

1 , 1 47 , 41

3

=

= γ =

4 1 3 3

sec,

. 10

10 10228 , 0

. 3770 )

/ 1 . (

)

( = = =

₋ ₋ ⁻

cm x

cm kN r

M tg

EI

y f Ryy

yy

β γ (ver figura 12.6)

(EI)

sec,yy

= 3.686,01 kN.m

²

Essas rigidezes são utilizadas para determinação das curvaturas no processo com desacoplamento das flexões. As curvaturas são obtidas dos momentos fletores solicitantes em cada seção por:

xx i Sxd i

x

EI

M r

_sec,

,

( )

1  =



 





Muxx/γ^f3=92,14

β 1/rx=0,04017%o

(21)

yy i Syd i

y

EI

M r

_sec,

,

( )

1  =



 





M_yd - 1/r_y

0 10 20 30 40 50 60 70

0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000

1/r_y (%o) Myd (kN.m)

GamaF3=1.0 GamaF3=1.1 Reta MRd/GamaF3 Rigidez Secante

Figura 12.6 – Diagrama momento-curvatura para a direção y.

Obtenção da rigidez secante.

Na tabela 12.1 estão os momentos de 1ª ordem e as curvaturas, rotações e deslocamentos da 1ª iteração.

É de se destacar que nas tabelas 12.2 e 12.3 as rigidezes secantes (EI)

sec,xx

e (EI)

sec,yy

têm sempre o mesmo valor.

Tabela 12.2: Momentos de 1ª ordem divididos por γf 3 = 1,1 e curvaturas, rotações e deslocamentos da 1ª iteração.

Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J) (kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm) Iteração: 1

7 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00060 0,00646 0,059 0,638 6 598,82 1039,34 2,29E+08 3,69E+07 2,61E-06 2,82E-05 0,00053 0,00568 0,042 0,458 5 684,37 1187,81 2,29E+08 3,69E+07 2,99E-06 3,22E-05 0,00044 0,00479 0,028 0,302 4 769,91 1336,29 2,29E+08 3,69E+07 3,36E-06 3,63E-05 0,00035 0,00377 0,016 0,175 3 855,46 1484,77 2,29E+08 3,69E+07 3,74E-06 4,03E-05 0,00024 0,00263 0,007 0,080 2 941,00 1633,24 2,29E+08 3,69E+07 4,11E-06 4,43E-05 0,00013 0,00138 0,002 0,020 1 1026,55 1781,72 2,29E+08 3,69E+07 4,48E-06 4,83E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000

Tabela 12.3: Momentos divididos por γf 3 = 1,1, curvaturas, rotações e deslocamentos das iterações seguintes.

Muyy/γf3=37,70

β

1/rx=0,10228%o

MRyy

(22)

7 513,27 890,86 2,29E+08 3,69E+07 2,24E-06 2,42E-05 0,00063 0,00890 0,062 0,912 6 615,10 1256,95 2,29E+08 3,69E+07 2,69E-06 3,41E-05 0,00056 0,00804 0,045 0,660 5 714,73 1596,34 2,29E+08 3,69E+07 3,12E-06 4,33E-05 0,00047 0,00689 0,030 0,438 4 811,80 1902,54 2,29E+08 3,69E+07 3,54E-06 5,16E-05 0,00037 0,00548 0,017 0,255 3 905,99 2169,65 2,29E+08 3,69E+07 3,96E-06 5,89E-05 0,00026 0,00384 0,008 0,116 2 996,94 2392,43 2,29E+08 3,69E+07 4,35E-06 6,49E-05 0,00013 0,00200 0,002 0,030 1 1084,34 2566,36 2,29E+08 3,69E+07 4,73E-06 6,96E-05 0,00000 0,00000 0,000 0,000 Seção Mxf(I, J) Myf(I, J) (EI)sec,xx (EI)sec,xx CurvX(I, J) CurvY(I, J) RotX(I, J) RotY(I, J) ax(I, J) ay(I, J) (kN.cm) (kN.cm) (kN.cm2) (kN.cm2) (1/cm) (1/cm) (rad) (rad) (cm) (cm) Iteração: 4

(23)

Linha Elástica

1 2 3 4 5 6 7

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 ay (cm)

Seções

Figura 12.7 – Linha elástica do pilar com a consideração do

desacoplamento. Deslocamentos na direção y.

A seção com maior deslocamento é a seção do topo.

A seção mais solicitada é a da base, onde os momentos finais (1ª ordem mais 2ª ordem) são