Matemática I. Licenciatura em Economia. Exercícios. (1 + a) n 1 + na. n!, e que desta igualdade se tira imediatamente que p!(n p)! + p.

Matem´ atica I

1 ^o semestre - 2012/13

Licenciatura em Economia

Exerc´ıcios

An´ alise Matem´ atica

2 N´ umeros reais. Breves No¸ c˜ oes topol´ ogicas

2.1. Demonstre pelo princ´ıpio de indu¸ c˜ ao matem´ atica:

a) 1 + 2 + 3 + . . . + n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ ₂ , para todo o natural n ≥ 1, b) Desigualdade de Bernoulli: Sendo a > −1 e n ∈ IN,

(1 + a) ⁿ ≥ 1 + na.

c) Bin´ omio de Newton:

(a + b) ⁿ =

n

X

p=0

n p

a ^n−p b ^p , ∀ _n ∈ IN, ∀ _a,b ∈ IR.

Recorde que n

p

= n!

p!(n − p)! , e que desta igualdade se tira imediatamente que n + 1

p

= n

p − 1

+ n

p

.

2.2. Considere as seguintes igualdades

1 = 1; 1 − 4 = −(1 + 2); 1 − 4 + 9 = 1 + 2 + 3; 1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4).

Tire daqui uma lei e tente demonstr´ a-la por indu¸ c˜ ao.

2.3. Interprete geometricamente os seguintes conjuntos:

a) {x : |x| < 1}, b) {x : |x| < 0},

c) {x : |x − a| < }, onde > 0

d) {x : |x| > 0},

f) {x : x ³ > x}, g) {x : |x − 1| ≥ |x|}.

2.4. Resolva as equa¸ c˜ oes seguintes a) x + 2 = √

4x + 13 b) |x + 2| = √

4 − x c) x ² − 2|x| − 3 = 0

2.5. Sejam A e B dois subconjuntos de IR tais que A ⊂ B e suponha que A ´ e n˜ ao vazio e B ´ e majorado.

Justifique que existem os supremos de A e B e prove que se verifica sup A ≤ sup B.

2.6. Mostre que a) |x + y| ≤ |x| + |y|, b) ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

2.7. Resolva as inequa¸ c˜ oes seguintes e indique o conjunto das solu¸ c˜ oes:

a) |3 − 2x| < 1, k) |2 − 3x| ≤ 1 b) |1 + 2x| ≤ 1 l) |x − 3| > 2 c) |x − 1| > 2 m) |3 − x ⁻¹ | < 1 d) |x + 2| ≥ 5 n) |x − 4| < |x + 2|

e) |5 − x ⁻¹ | < 1 o) |x ² − 5| ≤ 2 f) |x − 5| < |x + 1| p) x < x ² − 12 < 4x g) |x ² − 2| < 1 q) |2x − 1| − x ≥ 2 h) |2x − 1| = 5 r) _1+|x| ^x ≤ 2

i) |5x − 6| + 3 = 10 s) x − 2 ≥ (|x| − 1) ² j) |2x − 1| = |4x + 3| t)

x

²

−x 1+x

> x.

2.8. Determine em IR o conjunto dos majorantes, dos minorantes, o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo (caso existam) dos seguintes conjuntos:

a) {1, sin 1, sin 2} e) { _n ¹ + _m ¹ : m, n ∈ IN}

b) {(−1) ⁿ _n ¹ : n ∈ IN} f) {n ⁽⁻¹⁾

^m

: m, n ∈ IN}

c) { ^a _n!

ⁿ

: n ∈ IN} com a ∈ IR tal que |a| < 2 d) {m + _n ¹ : m, n ∈ IN}

2.9. Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderˆ encia, o derivado, o conjunto dos minorantes, o conjunto dos majorantes, o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo (caso existam) dos seguintes conjuntos:

a) A = [2, 3[∪[4, 10[, c) C = [0, 1]\IQ, b) B =]5, 7[∪{15}, d) D = [2, 3] ∩ IQ.

2.10. Determine o interior, o exterior, a fronteira, o derivado e a aderˆ encia dos seguintes conjuntos:

a) A = {x ∈ IR : x ² < 49},

b) B = {x : x ´ e irracional e x ² < 49}.

2.11. Considere o conjunto

A =

x ∈ IR : x = 1 + (−1) ⁿ

n , n ∈ IN

a) Determine o interior, o exterior, o derivado, a fronteira e a aderˆ encia de A.

b) Averigue se o conjunto A ´ e aberto ou fechado.

2.12. Determine o exterior, o interior, a fronteira e o derivado do conjunto:

A = {x ∈ IQ : |x + 3| < 5} ∪

x : x ´ e irracional ∧ − √

2 ≤ x ≤ √ 13 .

2.13. (Exame) S˜ ao dados os conjuntos A =

x ∈ IR :

x ² x − 2

≤ 1

e

B =

y ∈ IR : y = (−1) ⁿ

2 + 1 n

∧ n ∈ IN

. Determine:

a) int(A ∪ B), b) (A ∪ B) ⁰ .

2.14. (Exame) Dados os conjuntos A =

x ∈ IR :

1 − 1 x 1 x + 1

< 1 x ²

e

B =

y ∈ IR : y = 1 + 2n

2 ⁿ ∧ n ∈ IN

a) Determine A sob a forma de intervalos de n´ umeros reais.

b) Determine, caso existam, o supremo e o ´ınfimo de A ∩ B.

3 Sucess˜ oes num´ ericas

3.15. Calcule o limite de cada uma das seguintes sucess˜ oes:

a) s _n = 1

n c) s _n = n

n + 1 e) s _n = n ² n ⁴ + 1 b) s n = 1

n ² d) s n = 2n − 1

3n + 2 f) s n = ⁽⁻¹⁾ _n

ⁿ

3.16. Sejam (x ) ∈ IR uma sucess˜ ao, x → ∞, P (x) = a x ^p + . . . + a x + a e Q(x) = b x ^q + . . . +

a) lim P (x _n ) = lim a ₀ x ^p n . b) lim P(x _n )

Q(x n ) = lim a ₀ x ^p _n b 0 x ^q n

=



 

  a ₀

b ₀ se p = q,

∞ se p > q, 0 se p < q.

3.17. Calcule, se existir, o limite de cada uma das seguintes sucess˜ oes:

a) u n = 1 − n

4n + 3 f) u n = 2n + 3 3n − 1 b) u _n = n ² + 2

3n + 1 g) u _n = n ² − 1 n ⁴ + 3 c) u n = 3n

4n ³ + 1 h) u n = 2 ⁿ + 1 2 ⁿ⁺¹ − 1 d) u _n = −n ³ + 2

4n ³ − 7 i) u _n = n ³ + 1 n ² + 2n − 1 e) u _n = n ² + 3n

n + 2 − n ² − 1

n j) u _n = (−1) ⁿ n ³ + 1 n ² + 2 k) u n = n(n − 1)(n − 2)

(n + 1)(n + 2) 3.18. Calcule os limites das seguintes sucess˜ oes:

a) cos ² (n) sin 1

n

, b) n(n − 1)(n − 2)(n − 3)

(n + 1)(n + 2)(n + 3) , c) (cos(x)) ⁿ , x ∈ IR, d) 1

√ n + 1

√ n + 1 + . . . + 1

√ 2n ,

e) 1

√ n ² + 1 + 1

√ n ² + 2 + . . . + 1

√ n ² + 2n + 1 , f) 1

n ² + 1

(n + 1) ² + . . . 1 (2n) ² ,

g) n

√

n ⁴ + 1 + n

√

n ⁴ + 2 . . . + n

√

n ⁴ + n , h) √

n + 1 − √ n

3.19. Calcule os limites de cada uma das seguintes sucess˜ oes:

a) u _n =

n + 3 n + 1

2n

b) u _n =

n + 5 2n + 1

n

c) u _n =

1 − 3 n ²

n

.

3.20. A sucess˜ ao s = {s _n } _n∈IN

^∗

definida por s ₁ = 1 e s _n = √

s n−1 + 1 ´ e convergente. Explique porquˆ e e

calcule o seu limite.

4 S´ eries num´ ericas e de potˆ encias

4.21. Diga se s˜ ao convergentes as s´ eries seguintes. Em caso afirmativo, determine a sua soma.

a) X

n≥0

1 2

n

b) X

n≥1

3 ⁿ c) X

n≥0

2 3

n+2

d) X

n≥3

1 4

n

e) X

n≥0

5 ⁿ

4.22. Determine para que valores de x convergem as s´ eries e calcule a sua soma.

a)

∞

X

n=0

x x + 1

n

b)

∞

X

n=0

2 x

n

c)

∞

X

n=0

(1 − |x| ⁿ ) d)

∞

X

n=0

(x + 1) ²ⁿ e)

∞

X

n=0

x ⁿ

n! f)

∞

X

n=0

x ⁿ n! +

2 x

n+2

g)

∞

X

n=2

x ⁿ

n! h)

∞

X

n=0

(1 − |x|) ⁿ n!

i)

∞

X

n=0

(x + 1) ²ⁿ⁺⁶ (n + 3)! j)

∞

X

n=2

(x − 2) ⁿ⁺³ n

4.23. Utilize a teoria das s´ eries geom´ etricas para calcular os racionais correspondentes ` as d´ızimas:

a) 3, 666 . . .

b) 1, 571428571428571428 . . . c) 1, 181818 . . .

d) 0, 999 . . .

4.24. Calcule o raio de convergˆ encia e indique o maior aberto onde as seguintes s´ eries de potˆ encias s˜ ao absolutamente convergentes:

a)

∞

X

n=1

x ⁿ

n(n + 1) c)

∞

X

n=1

n(x + 1) ²ⁿ 3 ⁿ b)

∞

X

n=1

(2x + 1) ²ⁿ⁺¹

√ n d)

∞

X

n=1

n!n ⁻ⁿ x ⁿ