Soluções Integrais de Problemas de Camada Limite

 É um método simples. A solução não é exata, mas é precisa.

 O objetivo é determinar a tensão cisalhante t

_s

e o fluxo de calor q

_s

” sobre a superfície, de forma aproximada, sem ter que resolver as equações diferenciais governantes.

Soluções Integrais de Problemas de Camada Limite

Primeiramente vamos introduzir uns conceitos auxiliares:

 Espessura de deslocamento: d

^*

 Espessura de quantidade de movimento: D

^*

 Espessura térmica: F

^*

Espessura de Deslocamento, d ^*

 A região da camada limite, é a região onde a velocidade apresenta gradientes acentuados, variando de zero a 99% de U

_

. Como a velocidade tende assintoticamente para U

_

. é difícil avaliar

experimentalmente a espessura d . Uma outra grandeza relacionada com a camada limite, mais fácil de ser avaliada experimentalmente é a espessura de deslocamento d

^*

 Sabemos que o efeito das forças viscosas na camada limite é retardar o escoamento. A vazão em massa adjacente a uma superfície sólida é inferior à aquela que passaria pela mesma região na ausência da

camada limite. Se as forças viscosas estivessem ausentes, a velocidade

numa seção seria U.

• A espessura de deslocamento d

^*

é a distância da qual a fronteira sólida teria que ser deslocada num escoamento sem atrito para fornecer o

mesmo déficit de vazão em massa que existe na camada limite.

Deslocando a fronteira de uma distância d

^*

, resultaria em uma

deficiência de vazão em massa de r U d

^*

b, onde b é a largura da

superfície

• Queremos que a vazão real seja igual a vazão na ausência da camada limite, dessa forma, conforme a figura











_deficit

m

y d b U y

d b U y

d b U y

d b u

m ^  ^{ }  ^{  }  ^ 

*

*

d d

r r

r r

0 0

0



 



 





zero

deficit

U b U u b d y U u b d y U u b d y

m ^{ }

^

 ^{ }  ^{ }

^

 ^

d

d

r r

r d

r

^*

( ) ( ) ( )

0 0

 ^ _ ^{  } _ ^



^d

d

0

1 d y

U

*

u

 d d 

d y

U d

u  



 

  

  ^;

* 1

0

1

Espessura de Quantidade de Movimento, D ^*

 De forma análoga ao déficit de vazão em massa devido ao efeito viscoso na camada limite, existe uma redução do fluxo de quantidade de

movimento numa seção em comparação a um escoamento não viscoso.

 A espessura de quantidade de movimento D

^*

é definida com a

espessura da camada de fluido com velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada. Desta forma

 



 

  

 ^d D

0

1 d y

U u U

* u

 ^ _ ^{  } _ ^{ }

D 

¹

0

1   d

d

d y U

u U

u ;

*

Espessura de Energia, F ^*

 De forma análoga ao déficit de vazão em massa e de quantidade de movimento devido ao efeito viscoso na camada limite, existe uma redução do fluxo de energia numa seção em comparação a um escoamento não viscoso.

 A espessura de energia F

^*

é definida com a espessura da camada de fluido com temperatura T

_

, para a qual o fluxo de energia é igual ao déficit do fluxo de energia através da camada. Desta forma

 

 





 T

T dy T

T T U

u

s

F d

0 ( )

)

* (

 ^ _ ^

F 





 d d

 d d 

* /

) ; (

)

T

(

d y T T

T T U

u

0 s

 A solução não é exata, mas é precisa.

 O objetivo é determinar a tensão cisalhante t

_s

e o fluxo de calor q

_s

” sobre a superfície. De acordo com as definições

Soluções Integrais de Problemas de Camada Limite

Vamos integrar as equações da camada limite ao longo de

d

só é necessário conhecer as derivadas na parede.

 0

 





 

y

s y

 u t

 0

 





 



y

s y

k T q

c

d

Primeiramente vamos combinar a equação de conservação de quantidade de movimento linear e energia com a equação de conservação de massa

Equação (3)+ T * Equação (1) e dividindo por r c _p 

Equação (2)+ u * Equação (1) 

 0

 y v x

u  

 

2 2

y u y

u x

u

x d

U U d

v

u 

 

 

   _ ^  

2

2 2

 

 







 

 

 

 

 

y v u

u c

y T y

T x

p T  

r 

 

 



(1) (2)

(3)

2 2 2

y u y

v u x

u

x d

U U d



 

 

   _ ^  

2

2 2

 

 







 



 y

u c _p

y T y

T v x

T

u  



 

 



(4)

(5)

Integrando a equação (4) ao longo da espessura da camada limite, tem-se

Para integrar o primeiro termo, vamos aplicar a Regra de Leibnitz

(6) dy

x dy d

U U d

dy dy

y u y

v u x

u      

 _ ^

d

 d 

d

  d

  

0 0

0

0 ²

2 2

 

        







r t

 

 d d 

d

  d  

d s

y u

o assintótic

perfil zero

y u v zero

U x

u

x d

U U d

v u v

u dy

0 0 0

2 



 

 

 





  _ ^



)

(

REGRA DE LEIBNITZ

Pode-se estabelecer uma relação biunívoca entre cada ponto no intervalo [ 

_o

, b

_o

] com um correspondente em [  (t) , b (t) ]

_,

isto é x = x (x

_o

, t ) ou x

_o

=x

_o

(x, t)

Deseja-se calcular

(t_o)=_o (t) b_o b(t) x t=t_o

t=t f

onde em t=t

_o



_o

≤ x ≤ b

_o

em t=t  (t) ≤x≤  (t)



) (

) (

) , (

t t

dx t x dt f

d ^b



   

cte t

longo ao

zero o

J o

t dt dx x

x dx x





 



 

dx o J dx 

 

 ^o

o

o o

t t

dx J t x dt f

dx d t x dt f

d ^b

 b

 ( , ) ( , )

) (

) (

 

 

 ^o

o

o o

t t

dx J t x dt f

dx d t x dt f

d ^b

 b

 ( , ) ( , )

) (

) (

  

  

   

  

 

b

 b

 b

   

dx o o

t t

dx dt J

J d J

f dt

f dx d

dt J f d dt

f J d dx

t x dt f

d ^o

o )

( ) (

) , (

Utilizando-se mudança de variáveis, tem-se

Como 

_o

, b

_o

independem de t 

(7)

t d

x d x f t

f t

d f d



 



 

 

 







 

 

 







 

t d

x d x J x

x dt

d J dt

J d

J _{o o}

1 1

1

  



 







 

 

 





 

 





 

 











 

 

 











 

t d

x d x t

d x d t x

t t

d x d x x

x J

dt J d J

zero o J

o 1

1

 



 







 

 

 

 



 



 



 







 



 



 



b

 b

 b

 b

 dx

t d

x f d dx x

t dx f

t d

x d f x

t d

x d x f t

dx f t x dt f

d ^t t ) (

) (

) , (

t x t d t f

x t d f

f dx dx

t x

d ^t f ( , )

) , ) (

, ) (

, ( )

, ( )

( ^b b b  

b    

 



aplicando a regra da cadeia

adicionalmente, tem-se que

Substituindo na equação (7) tem-se

aplicando a regra da cadeia

t d d t

d t x d t

d d t

d t x

d b _ b (  , ) _  ) ;

, (

t d t d t f

d t d f

t dx dx f

t x dt f

d ^t t

  b b

b

 b

 ( , ) ( , ) ( , )

) (

) (



  

 



Note que dx/dt é a derivada de x em relação a t mantendo-se x

_o

constante, isto é, é a taxa de variação da posição x que corresponde ao ponto x

_o

. Conseqüentemente, como a posição  corresponde a 

_o

e b corresponde a b

_o

REGRA DE LEIBNITZ

x d U d dy x u

d dy d x u x

d x d

u x dy

dy u x u

d

d ^{d d} d d ^{d d 2} d

0 2 0

2 2 0

2 0

2 0      _

 



  

 

 ( , )

r d t

d d

d s

x d

U U d

v x U

d U d

dy x u

d

d   _ ²  _  _ ^ 

0 2

Aplicando-se a regra de Leibnitz ao primeiro termo da equação (7), onde

f=u

²

, tem-se

Substituindo na equação (6)

(8)

Vamos agora estimar v _d

Para isso, vamos integrar a equação da continuidade (1) ao longo da espessura da camada limite.

0 0

0

 

 dy  dy

y v x

u d

  d

 

0 0

0

 

 





 ^y v x

u dy dy

d

  d

 

(9)

r d t

d

d

^d

d

s

o

U

x d

U dy d

x u d

d x

d U d v

x U d U d dy x u

d

d   



 



  





_{  }



^ _



0 2

0 2

Aplicando-se a regra de Leibnitz ao primeiro termo , onde f=u , tem-se

Substituindo na equação (9)

x d U d dy x u

d dy d x u x

d x d

u x dy

dy u x u

d

d ^{d d} d d ^d    ^d   _ d

 



  

 



0 0

0 0

0 )

, (

 



 _ ^d

d d

0

dy x u

d d x

d U d v

v _o

r d t

d d

d

d

d s

dy U

o U

x d

U dy d

x u d

d x

d U d v

x U d U d dy x u

d

d  

 





 



   



 



 















0 0

2 0

2

Voltando a equação de quantidade de movimento (eq. 8),

 





 



 



d 0

dy x u

d U d

 

 





 



 

 







 



 

 







 



 

 







 



  _ ^ _ ^



d d

d d

d

0 0

0 0

0

dy x u

d dy dU

u x U

d dy d

x u d dy dU

u x U

d dy d

x u d U d

 

r

d t

d s

o U u dy

x d v dU

U dy

U u

x u d

d   _  _  ^  _  

0 0

) (

 





 



   

 



 

   

 



 

 



 

 

  d d

r r t

0 2 0

1

1 dy

U u U

U u x d dy d U

U u x d v dU

U _o

s

Vamos rearranjar o termo

então

(10)

Utilizando os conceitos de espessura de deslocamento d * e de quantidade de movimento D *, podemos rescrever a equação (10) como

 ^* 

*  D

 



 

 2

x U d U d

x d v dU

U _o

s d

r r t

Equação integral da camada limite

(Equação de Von Kármán e Pohlhausen)

• Para determinar a tensão cisalhante na parede, precisamos obter a espessura de deslocamento e de quantidade de movimento.

• Estas grandezas dependem do perfil de velocidade e podem ser obtidas de forma aproximada a partir de um perfil estimado para a velocidade.

• Vamos no entanto, primeiro obter a equação integral da camada

Integrando na espessura da camada limite a equação (5)

Solução Integral da Camada Limite Térmica

y dy u dy c

dy dy

T T

o T s

T T

y p T

v T v

T vT d

y T v

o x

T

u  



 







 

 

 



  _ 

d d

 d 

 d 



  

d

0

2 0

0 ²

2







) (

Aplicando a Regra de Leibnitz ao 1º. termo, onde f= u T

 d x

T d u dy T x u

d dy d x

T u x

d T d u x dy

T dy u

T x u

d

d _T

T

T T

T T

T T

T d d

d d

d d

d d

d

 

 

 

 



  

 



 0 0

0 0

0

p k

q y o T

zero y T y p

T

c q c

dy k

s T

T

r

 r _ ^

 d d 



 

 



 

 

 





] [

/





  



0 ² 

2

d d

d 



 d

 u U d

c dy U

y u c

T T

p p

 



 







 

 



 







 _ ^/ / _

0 2 2

0

2 O 3º. termo é

O 4º. termo é

Para determinar de avaliar o 2º. termo é preciso determinar o valor de o que pode ser obtido ao integrar a continuidade zero a d

_T

resulta

Substituindo, a equação fica

mas

v _d

T

 



 ^T

T

T u dy

x d

d x

d u d

v

v _o ^T

d d

d d

0

  d r

d

d ^d

d d

d

p p

o T s

T o

c U c

q

v T dy x u

d d x

d u d

v x T

d T d u

dy T x u

d

d ^T

T T

T

2

0 0







 





 







 



   



 

 

 

 _ ^

 ^{T T T} u dy

x d dy dT

T x u

d dy d x u

d T d

d d

d

0 0

0

  d

r d r

d q c p v o T s T U

dy dT u

dy T

T

d ^T u _ ^T _{ } ²

    

 

   ( )

)

(

Introduzindo a espessura de energia F*

A equação da energia fica igual a



 





 

  

 

  





 





T T

T dy T

T T U

T u T

x U d dy d T

T x u

d d

s s

d d

0

0 ( )

) )] (

( [

) (

Trabalhando o 1º termo

 ^{[ ( )] *} 

)

( F

d





  

  U T T

x d dy d T

T x u

d d

s T

0

 



 



  

 



 



 



 







 



 





d d

d d

 

 d

r r

 d

F

/

* /

) (

)]

( [

T T

U d u d

d c

U c

T T

v c q

U d u x

d U dT

T T

x U d

d

s o p

s

2 2

0

 



 



  

 



 



 



 







 



 





d d

d d

 

 d

r r

 d

F

/

* /

) (

)]

( [

T T

U d u d

d c

U c

T T

v c q

U d u x

d U dT

T T

x U d

d

p p

s o p

s

0 2 2

0

 ^* 

*  D

 



 

 2

x U d U d

x d v dU

U _o

s d

r r t

𝜏

_𝑠

= 𝜇 𝑈

_∞

𝛿

𝜕 𝑢 𝑈

_∞

𝜕 𝜂

𝜂=0

𝑞

_𝑠^"

= − 𝑘 𝑇

_s

− 𝑇

_∞

𝛿

𝜕𝜃

𝜕 𝜂

𝜂=0

 A tensão cisalhante e o fluxo de calor na parede dependem da espessura de deslocamento, de quantidade de movimento e de energia.

A tensão cisalhante e o fluxo de calor na parede pode ser obtidos a partir de

Vamos supor que para o regime laminar de escoamento o perfil de

velocidade adimensional u/U

_

pode ser dado por um perfil cúbico de  = y/d

Perfil estimado de velocidade na região da camada limite

Devemos determinar as constantes a, b, c e d de tal forma que o perfil acima satisfaça as seguintes condições de contorno para a velocidade u Condições de contorno

(1) y = 0  u = 0 (2) y = d  u = U

_

3

2 y

y d y c

b U a

u 



 





 d

 

 





 d

 d





 a = 0  1 = b + c + d (*)

(3) y = d 

 





 



 



 



 d

 d d

 d

 d



 

 





y

2

d 3 y c 2 U b

y 0 u

y

u  b = - 2 c - 3 d (+)

 

 





d d d 

 

 

 





2 c 6 d y

U y

0 u y

u

2 2

2 2 2

2

 



 











 0 u _ ^{ u} v _ ^{ u }

²

^u y

em

(4) y = 0   c = 0

b = 3/2 ; d= - 1/2

y 3

2 1 y

2 3 U

u 



 





 d

 d



3

2 1 2

3   

  U

u   d ^y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 u/Uo

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y /d e lt a

Blasius Aproximado

Perfil de velocidade aproximado Perfil de Eckert

𝜏

_𝑠

= 𝜇 𝑈

_∞

𝛿

𝜕 𝑢 𝑈

_∞

𝜕 𝜂

𝜂=0

A tensão cisalhante na parede é

𝜏

_𝑠

= 3

2 𝜇 𝑈

_∞

𝛿

Vamos supor que para o regime laminar de escoamento o perfil de temperatura adimensional q=(T -T

_

)/(T

_s

-T

_

) pode ser dado por um perfil quadrático de x = y/d

_T

= d/d

_T

y/d = /z onde  = y/d e z = d

_T

/d

Perfil estimado de temperatura na região da camada limite

Devemos determinar as constantes a, b e c de tal forma que o perfil acima satisfaça as seguintes condições de contorno para a temperatura T

Condições de contorno

(1) y = 0  q = 1 (2) y = d  q  a = 1 = 0  0 = 1 + b + c

(3) y = d  _  b = - 2 c



 



 



 

 

 

 

T T

s b T c y

T y T

y T

d d d

q 2

0 ( )

2

 

 



 



 

 





T T

s

c y b y

T a T

T T

d

q d

  d ^y

Perfil de temperatura aproximado

𝜁 = 𝛿

_T

𝛿

Fluxo de calor na parede é

2 2

1  

 



 



 

 





T T

s

y y

T T

T T

d q d

z

 d

d d

x  d   T T

y y

2 2

1 ( )

z

 z

q    



 



 T T

T T

s

𝑞

_𝑠^"

= − 𝑘 𝑇

_s

− 𝑇

_∞

𝛿

𝜕𝜃

𝜕 𝜂

𝜂=0

𝑞

_𝑠^"

= 2 𝑘 𝑇

_s

− 𝑇

_∞

𝛿 𝜁

Gradiente de temperatura

𝜕𝜃

𝜕 𝜂 = − ²

𝜁 − ^{2 𝜂}

𝜁 ²

Podemos agora avaliar d

^*

; D

^*

e F

^*

8 3 8 1 4 1 3 8

1 4

3 2

1 2

1 3 1

1 0 4 1 2

0 1 3

0







 

 

  

  



 



  

  



 

  

       

d

d d d

U

* u

280 39 4

4 3 4

3 4

9 2 2

3 2

1 2

1 3 2

1 2

1 3

1 0

4 6 4

3 2 1

0

3 1 3

0

 

 





 



     

  



 



  

 

 



 

  



 

  

             

d

D d d d

U u U

* u

4 2 2

4 2

4 2

4 2

0

2 3

2 3

3

0

2 3

0

8 15

8 12

1 8

3 5

1 8

1 4

3

2 1 2

3 3 2

1 2

3

1 2 2

1 2

3

d z z z

z d z

z z

z z

d

z 

  z

  z

  z

 



 d

z 

 z

 

 d

 d

F

z

z d

d

 







 



 

 



 



     

  



 



     



  



 



  

 

 



 

 



 







d

d T d

T T T U

u

T

s

) ( )

(

) ) (

(

) / (

*

 ^* 

*  D

 



 

 2

x U d U d

x d v dU

U _o

s d

r r t

 A tensão cisalhante na parede pode ser obtida a partir de

𝛿

^∗

𝛿 = 3 𝜏

_𝑠

= 3 8

2 𝜇 𝑈

_∞

𝛿

Δ 𝛿

∗

= 39 280

Perfil cúbico de Eckert Combinando as equações anteriores, determina-se a espessura da camada limite e finalmente a tensão cisalhante na parede

Para uma placa plana com parede impermeável (v

_o

=0) e sem gradiente de pressão , U

_

=cte, então

3 2 𝜇

𝑈

_∞

𝛿 + 𝜌 𝑈

_∞

𝑣

_𝑜

𝜌 = 3

8 𝛿 𝑈

_∞

𝑑 𝑈

_∞

𝑑 𝑥 + 𝑑

𝑑 𝑥 𝑈

_∞²

39 280 δ

3 𝜇 𝑈

_∞

39 𝑑 𝛿 _d d _{140 x d} ²

Resultando em

x x x

d d

Re 13

140 2

1 d ² 

 ^x

x

x x

x x dx U

U Re

2 2

0 2

13 280 13

280 13

280   

  

 d 

x Re x

,64

 4 d

x Re x

 5 d

x s

U x

Cf Re

) ,

( 0 664

2

1 ₂ 



r 

t

como vimos a solução “exata”de Blasius é

𝐶𝑓 𝑥 = 𝜏 _𝑠 1

2 𝜌 𝑈 _∞ ²

= 3

2 𝜇 𝑈 _∞ 𝛿 1

2 𝜌 𝑈 _∞ ²

= 0,646

𝐑𝐞 _𝑥

 O fluxo de calor na parede pode ser obtida a partir de

Φ

^∗

𝛿 = 1

8 𝜁

²

− 𝜁

⁴

15

Perfil cúbico de Eckert + quadrático de temperatura Neste caso, ainda é preciso avaliar duas integrais que dependem do campo de velocidade

 



 



  

 



 



 



 







 



 





d d

d d

 

 d

r r

 d

F

/

* /

) (

)]

( [

T T

U d u d

d c

U c

T T

v c q

U d u x

d U dT

T T

x U d

d

p p

s o p

s

0 2 2

0

𝑞

_𝑠^"

= 2 𝑘 𝑇

_s

− 𝑇

_∞

𝛿 𝜁

) (

/ 2 2

0

4 2

3 0

0

8 6 8

1 4

3 2

1 2

3    z z z z



 ^{z z}

d

d      



 



 

 

 



 d d

U d u

U

T u

Na presença da dissipação

    _ ^





 



  

 







 



  

   



  



 

  

  



 



 



 



 

  



 



  

 







2 2 3 5

0

4 2

0

2 2 0

3 2 0

2

3 15 10

4 1 9 5

3 2 4

2 9 4 1

9

2 3 2 3 2

1 2

3

z z z

z z z















 

  z

z z

z

d

d d d

d d U

u d

d

𝑑 𝑑𝑥

𝛿

8 𝑈

_∞

(𝑇

_𝑠

− 𝑇

_∞

) 𝜁

²

− 𝜁

⁴

15 + 𝛿 𝑈

_∞

𝑑 𝑇

_∞

𝑑 𝑥

𝜁

²

8 6 − 𝜁

²

=

2 𝑘 𝑇

_s

− 𝑇

_∞

𝛿 𝜁 + 𝜌 𝑐

_𝑝

𝑣

_𝑜

(𝑇

_s

− 𝑇

_∞

)

𝜌 𝑐

_𝑝

+ 𝑈

_∞²

𝛿

𝜐 𝑐

_𝑝

9 𝜁

4 1 − 𝜁

²

15 (10 − 3𝜁

²

)

Resultando em

Analisando o caso de temperatura da parede constante: T

_s

=cte, parede é impermeável v

_o

=0 ; U

_

=cte ; T

_

=cte e que não há dissipação viscosa, então

derivando de acordo com a regra da cadeia 𝑈

_∞

8 (𝑇

_𝑠

− 𝑇

_∞

) 𝑑

𝑑𝑥 𝛿 𝜁

²

− 𝜁

⁴

15 = 2 𝑘 𝜌 𝑐

_𝑝

𝑇

_s

− 𝑇

_∞

𝛿 𝜁

𝛿 𝜁 𝑑

𝑑𝑥 𝛿 𝜁

²

− 𝜁

⁴

15 = 16 𝛼

𝑈

_∞

𝛿 𝜁 𝑑

𝑑𝑥 𝛿 𝜁

²

≈ 16 𝛼 𝑈

_∞

 

 dx U

d x

d

d d z d z z 

z d

z ^{2 2} 2 16

 

 dx U

d x

d

d d z d z 

d

z ³ 2 ^{2 2} 16

Mas vimos que d 140 x

d 

d d ^{ 4 ,64}

d ₂  ⁽ 280 ^/ 13 ⁾ x



e

substituindo





  

U dx

d U

x U

 z

z 

z  280 13 16

13 2

140 ₂

3

/ ) / (

/ /

rearrumando e lembrando que Pr= /

16 13 140

1 16

13

4 ² 140 ³ /

Pr )

/

( z z

z  

dx d x

 ^x 

x _o

x  dx

4 

z 0

z z

z d

Pr / /

/

1 52

35

52 35

3 2



y

x T=T_s

x_o região não aquecida T_s=T_

dd_T

Separando variáveis para integrar

 ^x 

x _o

x  dx 4

4 0 1 /

ln 



 



 x x

z z

 z

  35 / 52 ³  1 / Pr  d  3  35 / 52 ² d







Pr /

1



 / 3

d ^{1 3}  ^{1 35 52 3}  ^{1 3}

1 1

3

1 ^{/ /}

/ Pr Pr ln

ln / Pr

ln  /  _{ } z

 

 





 

 

 





 

 ³  ^{1 3}

4

0 / ) 1 ^/ 1 Pr 35 / 52 ^/

( x x   z  ¹  ( x 0 / x ) ^{3 / 4}   Pr z ^{3 35} / ⁵²

O 1º termo é

Para o 2º termo, vamos fazer uma mudança de variável

Podemos reescrever o 2º. termo

 =

 0 ^{3 4}  ^{1 3}

3 3 1

1 _/ 35 ^/ 1 _/ ^/

) / (

Pr x x

T  



 



 

 ^{ }

d

z d  ^T  1 , 14 Pr ^ 1 ^/ 3  1  ( x 0 / x ) ^{3 / 4}  ^{1 / 3}

d

z d

0

0  

  





 



 







 

 

y s

y k T T y

y k T

q q

)

( z d

q 2

0



 









y  y

d z ) 2 (  _

  k T T

q _s

 0 ^{3 4}  ^{1 3}

3 3 1

1 1

52 35 13

280

2 2 _/ ^/ _/ ^/

) / ( / Pr

Re )

Nu ( ^

  



 



 

 

 

 x x x

T T

k

x q k

x

h _x

x s z d

 0 ^{3 4}  ^{1 3}

3 1 2

1 1

378

0 , Re ^/ Pr ^/ ( / ) ^{/ /}

Nu _x  _x  x x ^

3 1 2

378 1

0 , Re ^/ Pr ^/

Nu _x  _x

O fluxo de calor na parede é

O número de Nusselt é

Se x

_o

=0 