Mecânica Aplicada. Engenharia Biomédica. Apontamentos Parte 3 - DINÂMICA. Versão 0.2- Dezembro de 2003

Mecânica Aplicada

Engenharia Biomédica

Apontamentos Parte 3 - DINÂMICA

Versão 0.2- Dezembro de 2003 J.A.C. Martins

I.S.T., Dep. Eng. Civil e Arquitectura, Gab. 4.11 jmartins@civil.ist.utl.pt

Sumário:

1. DINÂMICA DA PARTÍCULA 1.1. Definições fundamentais

1.2. Leis fundamentais para uma partícula

2. DINÂMICA DOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS 2.1. Centro de massa de um sistema de partículas

2.2. Quantidades de movimento e energia cinética de um sistema de partículas 2.3. Teoremas das quantidades de movimento

2.4. Forma impulsional dos teoremas das quantidades de movimento 2.5. Teorema das forças vivas

2.6. Conservação da energia total mecânica 3. DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS

3.1. Trabalho das forças que actuam num corpo rígido 3.2. Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 3.3. Energia cinética de um corpo rígido

3.4. Componentes do tensor de inércia, outras definições e propriedades 3.5. Teorema de Lagrange-Steiner

3.6. Transformações devidas a rotações.

3.7. (*) Direcções e momentos principais de inércia.

3.8. (*) Equações do movimento de um corpo rígido 3.9. Movimento Plano

1. DINÂMICA DA PARTÍCULA 1.1. Definições fundamentais

Como se recordou anteriormente, as leis de Newton introduzem uma grandeza vectorial, chamada força, que quantifica a interacção entre partículas. A força F

que actua sobre uma partícula P em resultado da sua interacção com outra partícula é um vector cuja completa definição requer pois o conhecimento do seu módulo (a intensidade da força), da sua direcção e do seu sentido. Também se recordou anteriormente que, dada uma força F

que actua sobre uma partícula P, o momento M

da força em relação a um ponto O qualquer é dado por (ver Figura 1.1)

M

= OP ×

F

(1.1)

e caracteriza a capacidade que aquela força tem de fazer rodar o segmento OP em torno do ponto O.

Por outro lado, se a força F

actuar sobre uma partícula P durante um certo intervalo de tempo, designa-se por impulso linear da força no intervalo de tempo [t

,t

] a quantidade

⌡⌠

t

t

F

dt , (1.2)

e designa-se por impulso angular da força em relação ao ponto O no intervalo de tempo [t

,t

] a quantidade

⌡⌠

t

t

OP ×

F

dt. (1.3)

Finalmente, o trabalho elementar de uma força F

no deslocamento elementar d x

do seu ponto de aplicação é dado pelo produto interno

d τ = F

. d x

. (1.4)

Quer dizer, o trabalho elementar é, em módulo, igual ao produto do módulo da força pela projecção do deslocamento elementar sobre a direcção da força, ou, de forma equivalente, o produto do módulo do deslocamento elementar pela projecção da força sobre a direcção do deslocamento.

No que se refere à caracterização do estado de movimento de uma partícula, utilizam-se, nas leis de Newton e nas leis que delas se deduzem, as grandezas que se definem a seguir (ver Figura 1.1).

O vector quantidade de movimento (ou momentum linear) p

de uma partícula P, de massa m e com velocidade v

, é igual ao produto da massa pela velocidade:

p

= m v

. (1.5)

O vector quantidade de movimento angular (ou momentum angular) l

da mesma partícula em relação a um ponto O qualquer é igual ao momento em relação a O da quantidade de movimento linear p

da partícula (aplicada na partícula P):

→

l

O

= OP ×

p

= OP × (m v

). (1.6) Finalmente, a energia cinética da partícula é o escalar dado por

T = 1

2 m v

. (1.7)

Figura 1.1. Força ( F

) e momento da força ( M

).

Quantidades de movimento linear ( p

) e angular (

l

) de uma partícula P.

1.2 Leis fundamentais para uma partícula

A partir das definições introduzidas e das leis de Newton é possível deduzir uma série de leis fundamentais para uma partícula. Note-se em primeiro lugar que, como a massa em (1.5) é independente do tempo, a segunda lei de Newton se pode escrever nas formas equivalentes:

F

= dp

dt = m a

. (1.8)

Seja então F um ponto "fixo" (a origem de um referencial "fixo", isto é, um qualquer

referencial de inércia) e seja x

= FP o vector de posição ("absoluta") da partícula nesse referencial.

Utilizando a definição (1.1) de momento de uma força e a lei de Newton (1.8) obtém-se

M

= x

× F

= x

× dp

dt . (1.9)

Observe-se por outro lado que (usando as definições (1.5) e (1.6) e o facto de o produto externo de dois vectores paralelos ser nulo) se tem

d l

dt = d( x

× p

) dt = d x

dt × p

+ x

× dp

dt = v

× m v

+ x

× dp

dt = x

× dp

dt , (1.10) pelo que a equação (1.9) pode ser escrita na forma

M

= d l

dt . (1.11)

Este resultado, que constitui o teorema da quantidade de movimento angular, é análogo à segunda lei de Newton, de onde deriva, com a diferença de que os vectores força e quantidade de movimento linear em (1.8) são substituídos em (1.11) pelos vectores momento da força e quantidade de movimento angular: o momento em relação a um ponto fixo da força que actua numa partícula é igual à taxa de variação em ordem ao tempo da quantidade de movimento angular da partícula em relação ao mesmo ponto fixo.

Proceda-se agora à integração no tempo de (1.8) e (1.11) entre dois instantes t

e t

. Obtêm- se as equações

⌡⌠

t

t

F

dt = ⌡

t

t

d p

= p

− p

,

(1.12)

⌡⌠

t

t

M

dt =

t

t

d l

=

l

−

l

,

que constituem a forma impulsional das equações do movimento, também designadas por teoremas dos impulsos e das quantidades de movimento: o impulso linear da força que actua numa partícula durante um certo intervalo de tempo é igual à variação da quantidade de movimento linear da partícula no mesmo intervalo de tempo; o impulso angular em relação a um ponto fixo da força que actua numa partícula durante um certo intervalo de tempo é igual à variação da quantidade de movimento angular da partícula em relação ao mesmo ponto fixo no mesmo intervalo de tempo.

Como corolário destes teoremas, ou das equações (1.8) e (1.11), constata-se que numa partícula em que não actuam forças se conservam as quantidades de movimento linear e angular. Mais concretamente, verificam-se as seguintes implicações,

F

=

0

p

é constante,

(1.13)

M

=

0

l

é constante,

que constituem os princípios de conservação das quantidades de movimento.

Por último, observe-se que o deslocamento elementar d x

de uma partícula se relaciona com a velocidade (absoluta) v

da partícula através de

d x

= d x

dt dt = v

dt . (1.14)

Então, o trabalho elementar realizado pela força que actua sobre a partícula pode ser expresso, recorrendo a (1.4), (1.8) e (1.14), na forma

d τ = F

. d x

= d(m v

)

dt . v

dt , (1.15)

ou, como a massa m é constante,

d τ = m d v

dt . v

dt = m d

dt ( ¹ ₂ ^v

^{. v}

) dt = d

dt ( ¹ ₂ ^{m v}

) dt . (1.16) Atendendo à definição (1.7) de energia cinética, pode-se finalmente escrever

d τ = dT , (1.17)

cuja integração, entre duas posições x

e x

da partícula conduz a τ

=

→

x

1→^→

x

F

. d x

= T

− T

. (1.18)

Ou seja, o trabalho realizado pela força que actua numa partícula ao longo de uma trajectória que une duas posições dessa partícula é igual à variação da energia cinética da partícula entre essas posições. Este resultado constitui o teorema das forças vivas para uma partícula.

O teorema das forças vivas pode ser apresentado noutra forma se a força que actua na partícula for conservativa. Forças conservativas são forças que não produzem trabalho quando o seu ponto de aplicação percorre uma trajectória fechada arbitrária:

F

. d x

= 0. (1.19)

Como consequência, o trabalho realizado por uma força conservativa só depende da posição

inicial e final, e é possível definir uma função de posição V = V( x

) designada por energia

potencial, que é igual a menos o trabalho realizado pela força conservativa F

entre uma posição

arbitrariamente escolhida x

e a posição genérica x

, mais uma constante arbitrária V

que é o

valor de V em x

:

V = V( x

) = V

−

→

x

0 →^→

x

F

. d x

.

O trabalho realizado pela força conservativa entre duas posições quaisquer ( x

e x

) é então igual a menos a variação da energia potencial entre essas posições

τ

=

→

x

1→^→

x

F

. d x

=

→

x

1→^→

x

F

. d x

+

→

x

0→^→

x

F

. d x

=− [ V( x

)−V( x

) ]

[ V( x

)−V( x

) =− ] [ V(

x

)−V(x

) ]

(1.20) ou, em percursos infinitesimais,

d τ = − dV. (1.21)

Isto significa que, de acordo com a definição (1.4) do trabalho elementar realizado por uma força,

F

. d x

= − dV, (1.22)

ou, desenvolvendo ambos os membros de (1.22):

Σ ^F

^dx

^{= −} Σ

i

dx

,







∂V 

∂x₁

+ F

dx

+







∂V 

∂x₂

+ F

dx

+







∂V 

∂x₃

+ F

dx

= 0. (1.23) Assim, se os deslocamentos dx

forem independentes, é possível sucessivamente fazer (dx

= dx

= 0), (dx

= dx

= 0) e (dx

= dx

= 0), e, sucessivamente, concluir que ∂V/∂x

+ F

= 0, para i = 1, 2, 3, isto é, concluir que as componentes cartesianas da força conservativa são iguais a menos as derivadas parciais respectivas da energia potencial e a força conservativa é igual a menos o gradiente da energia potencial,

F

= −

∂x_i

, F

= −

grad V. (1.24)

Como exemplos, referem-se os casos das forças conservativas representadas na Figura 1.2.

Em primeiro lugar, para a força gravítica F

exercida sobre uma massa m localizada perto da superfície da Terra tem-se

F

= − m g e

, V

= m g z + C, (1.25) em que z é a cota da massa em relação a um plano horizontal arbitrário, e

é o versor da direcção vertical (orientado para cima), g é o valor da aceleração da gravidade à superfície da Terra (admitida como constante) e a constante de integração C é arbitrária. Em segundo lugar, para uma força de restituição elástica F

exercida por uma mola elástica linear de rigidez K e alongamento ∆ a partir da configuração indeformada tem-se

F

= − K ∆ e

V

= 1

2 K ∆

+ C , (1.26)

em que e

é um vector unitário com a direcção da mola e com o sentido dos alongamentos positivos ∆ da mesma e a constante de integração C é arbitrária.

Figura 1.2. Dois exemplos de forças conservativas

No caso das forças conservativas, o teorema das forças vivas (1.18) pode ser reescrito explicitando o trabalho da força conservativa em função da energia potencial (1.20). Obtém-se

−

( V

− V

) = T

− T

, (1.27)

A soma da energia potencial com a energia cinética,

E = T + V, (1.28)

é designada por energia total mecânica. Facilmente se conclui da equação (1.27) que, quando a força é conservativa a energia total mecânica da partícula se conserva:

E

= T

= T

+ V

= E

. (1.29) Um exemplo de forças não conservativas é o das forças de atrito, cujo trabalho é ou negativo (sempre que haja escorregamento) ou nulo (caso não haja escorregamento), não se anulando, portanto, num percurso fechado arbitrário.

Exemplo E.1.1.

O bloco A de 600 kN desliza sobre rodas num plano horizontal e está ligado ao bloco B de 100 kN

por um cabo que passa no sistema de roldanas indicado na Figura E.1.1. O sistema parte do repouso

e, depois de o bloco A ter percorrido 20 m, bate numa mola M que se comprime, até que pára o

movimento do sistema.

a) Utilizando as Leis de Newton, determinar as acelerações dos blocos A e B e a força no cabo na fase inicial do movimento.

b) Utilizando o Teorema do Impulso e da Quantidade de Movimento, determinar a velocidade do bloco B ao fim de 2 segundos.

c) Utilizando o Teorema das Forças Vivas ou a Conservação da Energia Total Mecânica, determinar a rigidez da mola para que o seu encurtamento máximo seja de 0.5 m.

Figura E.1.1

2. DINÂMICA DOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS 2.1. Centro de massa de um sistema de partículas

Considere-se agora um sistema constituído por n partículas, representado na Figura 2.1. A k

partícula tem massa m

, posição (absoluta) x

e é actuada por uma força resultante F

. De forma análoga utiliza-se o índice k para identificar a partícula a que qualquer grandeza derivada das anteriores se refere: v

(velocidade), a

(aceleração), p

(quantidade de movimento),

l

(quantidade de movimento angular em relação a O) e M

(momento da força F

em relação a O).

Figura 2.1. Sistema de partículas

A massa total M do sistema de partículas obtém-se somando as massas individuais das partículas M = ∑

k=1

n

m

. (2.1)

Define-se centro de massa do sistema de partículas o ponto G localizado em

x

= 1

M ∑

k=1 n

m

x

. (2.2)

A velocidade e a aceleração do centro de massa relacionam-se com as velocidades e as acelerações das partículas individuais por

v

= 1

M ∑

k=1 n

m

v

, a

= 1

M ∑

k=1 n

m

a

, (2.3)

dado que a derivada da soma é igual à soma das derivadas.

Por outro lado, recorde-se que a posição relativa r

=

OP

de uma partícula genérica se relaciona com a sua posição absoluta x

=

FP

pela equação (ver Figura 2.2) x

k

= x

+ r

, (2.4)

que, derivada uma e duas vezes dá, respectivamente, v

k

= v

+ r

, a

= a

+

r

. (2.5) A posição relativa r

do centro de massa é então dada por

r

=

OG = x

− x

, (2.6)

pelo que, atendendo às definições de centro de massa (2.2), de posição relativa (2.4) e de massa total (2.1), vem

→

r

G

= 1

M ∑

k=1 n

m

x

− x

= 1

M ∑

k=1 n

m

( x

+ r

) − x

= 1

M ∑

k=1 n

m

r

, (2.7)

e, analogamente,

r

→ G

= 1

M ∑

k=1 n

m

r

, ˙˙ r

= 1

M ∑

k=1 n

m

˙˙ r

. (2.8)

Figura 2.2. Posição relativa de uma partícula em relação ao centro de massa

Por vezes, é também conveniente considerar as posições relativas das partículas em relação ao centro de massa do sistema (ver Figura 2.2). Essas posições relativas em relação ao centro de massa são dadas por

ρ

→ k

=

GP

= r

− r

. (2.9)

Desta definição e de (2.6) resulta que

∑

k=1 n

m

ρ

= ∑

k=1 n

m

r

− ∑

k=1 n

m

r

=

0, (2.10)

pelo que

∑

k=1 n

m

ρ ˙

= ∑

k=1 n

m

˙˙ ρ

=

0. (2.11)

2.2. Quantidades de movimento e energia cinética de um sistema de partículas

A quantidade de movimento linear P

de um sistema de partículas é a soma das contribuições individuais de todas as partículas do sistema,

→

P = ∑

k=1 n

p

= ∑

k=1 n

m

v

= M v

, (2.12)

o mesmo acontecendo à quantidade de movimento angular L

de um sistema de partículas em relação a um ponto O qualquer,

L

= ∑

k=1 n

→

l

Ok

= ∑

k=1 n

OP

× m

v

= ∑

k=1 n

→

r

k

× m

v

. (2.13) Finalmente, a energia cinética de um sistema de partículas é também obtida pela soma das contribuições individuais das partículas,

T = ∑

k=1 n

1

2 m

v

. (2.14)

2.3. Teoremas das quantidades de movimento

Os teoremas obtidos anteriormente para uma partícula podem ser generalizados aos

sistemas de n partículas. Para tal, é conveniente classificar as forças actuantes em exteriores e

interiores. Forças exteriores são forças que resultam da interacção das partículas do sistema com partículas exteriores ao mesmo: são forças que representam acções exercidas pelo exterior sobre as partículas do sistema. Forças interiores são forças que resultam da interacção entre as várias partículas pertencentes ao sistema considerado. Deste modo a força actuante em cada partícula pode ser expressa na forma

F

= F

+ F

. (2.15) De acordo com a terceira lei de Newton (lei de acção e reacção), o sistema das forças interiores é constituído por pares de forças iguais em intensidade, com a mesma linha de acção e sentidos opostos. Cada um desses pares de forças interiores é pois equivalente a zero e, consequentemente, o sistema constituído por todos esses pares de forças (o sistema de todas as forças interiores a um sistema de partículas) é um sistema equivalente a zero: os seus elementos de redução num ponto O qualquer são dados por

∑

k=1 n

F

=

0

(2.16)

∑

k=1 n

r

k

× F

=

0.

Tem-se, portanto, que os elementos de redução do sistema de forças exteriores e do sistema de forças total são idênticos, isto é,

∑

k=1 n

F

= ∑

k=1 n

F

+ ∑

k=1 n

F

= ∑

k=1 n

F

= F

,

(2.17)

∑

k=1 n

M

= ∑

k=1 n

M

+ ∑

k=1 n

M

= ∑

k=1 n

M

= M

.

A aplicação da segunda lei de Newton à equação (2.17)

conduz então a F

= ∑

k=1 n

F

= ∑

k=1 n

d p

dt = d dt





∑

k=1 n

p

= ∑

k=1 n

m

a

, (2.18)

que, de acordo com a definição (2.12), resulta no teorema da quantidade de movimento linear para um sistema de partículas:

F

= d P

dt . (2.19)

Como corolário, e de acordo com (2.3) ou (2.12), obtém-se o teorema do movimento do centro de massa de um sistema de partículas, expresso por

F

= M a

. (2.20)

Chama-se a atenção para o facto de o teorema do movimento do centro de massa ter uma forma análoga à segunda lei de Newton. Com efeito, o teorema do movimento do centro de massa (2.20) diz-nos que a aceleração adquirida pelo centro de massa de um sistema de partículas é igual à aceleração adquirida por uma única partícula localizada no centro de massa do sistema, com massa igual à massa total do sistema e actuada por uma única força igual ao vector principal do sistema de forças exteriores que actua no sistema.

A introdução em (2.17)

da definição (1.1) de momento de uma força em relação a um ponto O e a aplicação da segunda lei de Newton conduzem a

→

M

= ∑

k=1 n

M

= ∑

k=1 n

r

k

× F

= ∑

k=1 n

r

k

× m

a

. (2.21)

Por outro lado, derivando em ordem ao tempo a quantidade de movimento angular L

, definida em (2.13), e utilizando a relação (2.5) obtém-se sucessivamente

d L

dt = d

dt





∑

k=1 n

r

k

× m

v

= ∑

k=1

n

( ^{˙ r}

^{× m}

^v

^{+ r}

^{× m}

^a

)

= ∑

k=1

n

( ^{( v}

^{− v}

^{) × m}

^v

^{+ r}

^{× m}

^a

)

= ∑

k=1 n

v

k

× m

v

− v

× ∑

k=1 n

m

v

+ ∑

k=1 n

r

k

× m

a

. (2.22) Observando então que o primeiro somatório do último membro desta expressão é nulo (são nulos os produtos externos de dois vectores paralelos) e usando a equação (2.3) no segundo somatório do último membro da mesma expressão obtém-se

d

L

dt = − v

× M v

+ ∑

k=1 n

→

r

k

× m

a

. (2.23)

Note-se por fim que, se o ponto O for um ponto fixo (o que implica que a sua velocidade e a sua

aceleração são nulas em todos os instantes, v

=

0), ou se o ponto O for em todos os instantes o

centro de massa do sistema de partículas ( v

= v

), então tem-se v

M v

=

0 em todos os

instantes e a equações (2.21) e (2.23) reduzem-se a

M

= d L

dt . (2.24)

Pode-se então resumir os dois teoremas da quantidade de movimento para um sistema de partículas, no seguinte enunciado:

TEOREMAS DAS QUANTIDADES DE MOVIMENTO:

Seja O um ponto fixo (O = F) ou um ponto coincidente com o centro de massa de um sistema de partículas (O = G). Os elementos de redução, no ponto O, do sistema de forças exteriores

que actua no sistema de partículas, são iguais, respectivamente, às taxas de variação em ordem ao tempo do vector quantidade de movimento linear e do vector quantidade de

movimento angular em relação ao mesmo ponto O,

→

F

= d

P

dt , M

= d

L

dt . (2.25)

2.4. Forma Impulsional dos Teoremas das Quantidades de Movimento

Os teoremas apresentados na secção anterior admitem formas impulsionais, semelhantes às obtidas para uma partícula. Continuando a admitir que O é um ponto fixo ou o centro de massa do sistema de partículas obtém-se, por integração no tempo de (2.25),

⌡⌠

t

t

F

dt = P

− P

(2.26)

⌡⌠

t

t

M

dt = L

L

.

Estas duas equações mostram que os impulsos linear e angular das forças exteriores num certo intervalo de tempo são iguais às variações nesse intervalo de tempo das quantidades de movimento linear e angular, respectivamente.

Associados a estes teoremas estão dois princípios de conservação das quantidades de movimento:

F

=

0

P

é constante,

(2.27) M

=

0

L

é constante,

em que O é um ponto fixo ou o centro de massa do sistema de partículas. Observe-se que as

igualdades em (2.27) são igualdades vectoriais, ou seja representam ao todo seis equações

escalares. Assim, se, por exemplo, uma das componentes do vector principal das forças exteriores

for nula, então a correspondente componente da quantidade de movimento linear conserva-se. Do mesmo modo, se uma componente do momento resultante, em relação a um ponto fixo ou em relação ao centro de massa, for nula, então a correspondente componente da quantidade de movimento angular em relação ao mesmo ponto conserva-se.

2.5. Teorema das Forças Vivas

A última das leis fundamentais, o teorema das forças vivas, expresso para uma partícula pela equação escalar (1.18), é facilmente generalizado para um sistema de partículas, somando as equações correspondentes a todas as partículas (recorde-se que, como definido em (2.14), a energia cinética do sistema é a soma das energias cinéticas de todas as partículas). O seu enunciado fica então:

TEOREMA DAS FORÇAS VIVAS:

O trabalho realizado por todas as forças que actuam num sistema de partículas é igual à variação da energia cinética do sistema de partículas,

τ

=

⌡

⌠

1→2

∑

k=1 n →

F

. d x

= T

− T

. (2.28)

É importante observar que em geral o trabalho das forças interiores a um sistema de partículas não é nulo. Viu-se anteriormente que, devido à lei de acção e reacção, o sistema de forças interiores a um sistema de partículas é um sistema equivalente a vector nulo (2.16). Contudo daqui não resulta que o seu trabalho seja nulo. Efectivamente, apesar de as forças interiores se anularem duas a duas, o trabalho realizado por um desses pares de forças interiores não nulas (mas de soma nula) só é nulo se a distância entre as partículas não variar. Para demonstrar esta afirmação, repare-se que da terceira lei de Newton resulta que a força F

que actua na partícula k devido à partícula i se relaciona com a força F

que actua na partícula i devido à partícula k através de

→

F

= − F

. (2.29)

A terceira lei de Newton afirma ainda que a linha de acção destas duas forças é a mesma, ou seja, é a linha que une as duas partículas, podendo, portanto, escrever-se

F

= ± | F

| x

− x

| x

− x

| , (2.30)

em que o sinal deverá ser escolhido por forma a estar de acordo com o carácter atractivo (sinal negativo) ou repulsivo (sinal positivo) da força em consideração. Então, designando por d x

e d x

os deslocamentos elementares dessas duas partículas, o trabalho elementar realizado por esse par

de forças é dado por

d τ = F

. d x

+ F

. d x

, (2.31) e pode ser expresso por

d τ = F

. d x

− F

. d x

= F

. (d x

− d x

) = ± | F

|

| x

− x

| ( x

− x

) . d( x

− x

), (2.32) isto é,

d τ = ± | F

|

2 | x

− x

| d ( ^{( x}

^{− x}

^{) . ( x}

^{− x}

^{) .} ) ^(2.33)

Consequentemente, o trabalho d τ realizado por um par de forças de acção e reacção só é nulo se

| F

| = 0 ou | x

− x

| = Constante . (2.34) Assim, para um sistema de forças interiores que não sejam simultâneamente todas nulas (mas que no seu conjunto são sempre equivalentes a vector nulo), o trabalho das forças interiores só é nulo se o sistema de partículas for um corpo rígido.

2.6. Conservação da Energia Total Mecânica

Se algumas das forças que actuam no sistema forem conservativas, designamos por E a soma da energia cinética T do sistema com a energia potencial V de todas as forças conservativas

E = T + V =

k=1 n

T

+

k=1 n

V

.

e designamos por τ

o trabalho das forças não conservativas do mesmo. O teorema das forças vivas (2.28) pode então ser reescrito em termos de τ

e da variação da energia total mecânica.

Obtém-se

τ

1.2

= E

− E

(2.35)

Facilmente se conclui desta equação que a energia total mecânica se conserva quando todas as

forças forem conservativas, ou mais simplesmente quando for nulo o trabalho das forças não

conservativas (situação que se verifica, por exemplo, quando há atrito mas não há escorregamento).

3. DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS

3.1. Trabalho das forças que actuam num corpo rígido

Como se disse na secção anterior, o trabalho realizado pelo sistema das forças interiores a um corpo rígido é nulo. Como consequência, o trabalho das forças que actuam num corpo rígido é igual ao trabalho das forças exteriores

d τ = d τ

= ∑

k=1 n

F

. d x

. (3.1)

Relacionando, num corpo rígido, os deslocamentos elementares d x

dos seus pontos com as correspondentes velocidades lineares por

d x

= v

dt, (3.2)

e relacionando a sua rotação elementar d θ

com a respectiva velocidade angular ω

por

d θ

= ω

dt, (3.3)

a expressão de propagação de velocidades dos pontos de um corpo rígido (3.48), multiplicada por dt, pode ser reescrita para deslocamentos elementares na forma

d x

= d x

+ d

θ ×

r

. (3.4) Nesta equação de propagação de deslocamentos elementares de um corpo rígido, o ponto O é um ponto do corpo rígido ou um ponto que acompanha rigidamente o seu movimento. Introduzindo (3.4) na equação (3.1) obtém-se

d τ = ∑

k=1 n

F

. (d x

+ d

θ × r

) =









∑

k=1 n

F

. d x

+ ∑

k=1 n



F

. d

θ ×

r

. (3.5)

Seguidamente, observe-se que









∑

k=1 n

F

= F

(3.6)

é o vector principal do sistema de forças exteriores e que a última parcela de (3.5) pode ser escrita na forma

∑

k=1 n

F

. d

θ × r

= d

θ .









∑

k=1 n

r

k

× F

, (3.7)

em que









∑

k=1 n

r

k

× F

= M

(3.8)

é o momento resultante do sistema das forças exteriores em relação ao ponto O. Conclui-se assim que o trabalho elementar das forças exteriores de um corpo rígido pode ser escrito como a soma dos trabalhos realizados pelos elementos de redução dessas forças num ponto O do corpo ( F

e M

) sobre os correspondentes elementos de redução no mesmo ponto (d x

e d

θ ) do campo de deslocamentos elementares do corpo rígido:

d τ = d τ

= F

. d x

+ M

. d

θ . (3.9) Chama-se novamente a atenção para o facto de que o ponto O a que se refere esta equação é qualquer ponto que pertence ao corpo rígido ou que acompanha rigidamente o seu movimento: não é necessário que o ponto O seja nem um ponto fixo nem o centro de massa.

3.2. Quantidade de movimento angular de um corpo rígido

Determinamos a quantidade de movimento angular de um corpo rígido em relação a um ponto O que pertence ao corpo rígido ou que acompanha rigidamente o seu movimento. Sendo os corpos rígidos frequentemente corpos contínuos, substitui-se, no que se segue, os somatórios relativos a todas as partículas por integrais estendidos a toda a massa M do corpo. Assim, a definição de quantidade de movimento angular L

introduzida em (2.13), assume a forma

L

= ⌡

M

r

× v

dM. (3.10)

Para um corpo rígido, a velocidade v

de uma partícula P genérica pode ser relacionada com a velocidade da partícula O por

v

= v

+ ω

×

OP = v

+ ω

× r

, (3.11) pelo que

L

= ⌡

M

r

× v

dM + ⌡

M

r

× ( ω

× r

) dM. (3.12)

Observando que v

pode ser posto em evidência no primeiro integral e que, analogamente a (2.7),

⌡⌠

M

r

dM = M r

,

a quantidade de movimento angular vem igual à soma de duas parcelas, uma associada com a

velocidade do ponto O e a outra associada com o movimento de rotação:

L

= r

× M v

+ ⌡

M

r

× ( ω

× r

) dM. (3.13)

Verifica-se que r

=

0 se O for o centro de massa do corpo e que v

=

0 se O for um ponto fixo.

Em ambos os casos (O ≡ G ou O ≡ F) se verifica que a primeira parcela de L

se anula e L

se reduz à parcela associada à rotação ( L

≡ L

)

→

L

= ⌡

M

r

× ( ω

× r

) dM. (3.14)

Usando a identidade vectorial r

× ( ω

× r

) = (

r . r

) ω

− r

( r

. ω

) vem L

= ⌡

M

[ ( r

. r

) ω

− r

( r

. ω

) ] dM, (3.15) que pode ser escrito matricialmente por

{L

} =

M

[ {r}

{r}{ ω } − {r}{r}

{ ω } ] dM, (3.16)

em que se definiram as matrizes coluna {L

}, {r} e { ω } com as componentes

dos vectores L

, r

e ω

, respectivamente, num mesmo referencial (O, e

, e

, e

). Observando que {r}

{r} é um escalar, que { ω } = [ δ ] { ω } ([ δ ] é a matriz identidade), que {r}{r}

é uma matriz 3

componentes da velocidade angular são independentes do ponto, pelo que podem ser postas em evidência no integral, obtém-se

{L

} = [I

]{ ω } (3.17)

em que

[I

] = ⌡

M

[ {r}

{r}[ δ ] − {r}{r}

] dM, (3.18)

é a matriz de inércia em O, isto é, a matriz em que se agrupam as componentes

(1) Como é sabido da Álgebra e como se referiu na Secção 2.2 da Cinemática, as componentes de um vector w^→ numa certa base ortonormada (e^→1, e^→2, e^→3) são as projecções de w^→ sobre os três eixos coordenados, isto é,

wi = w^→ . e^→i, i = 1, 2, 3.

(2) Como é sabido da Álgebra, as componentes de uma transformação linear T numa certa base ortonormada (e^→1, e^→2, e→

3) definem-se do seguinte modo. Seja w^→ um vector arbitrário em ³ e seja z^→ o vector tal que z^→ = T w^→. Utilizando a definição das componentes dos vectores w^→ e z^→ vem, para i = 1, 2, 3,

zi = e^→i . z^→ = e^→i . T (Σ

j = 1 3

w j e^→j) = Σ

j = 1 3

(e^→i . T e^→j) w j

Então a transformação linear z^→ = T w^→ traduz-se por uma relação linear entre as componentes zi e wj daqueles vectores em que intervêm as componentes na mesma base da transformação linear T,

zi = Σ

j = 1 3

Tij ω j, i = 1, 2, 3,