Abordagem Nodal Aplicada ` a Problemas de Transporte de Nˆ eutrons em Geometria

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MODELAGEM COMPUTACIONAL

Abordagem Nodal Aplicada ` a Problemas de Transporte de Nˆ eutrons em Geometria

Cartesiana Bidimensional

por

Carlos Eduardo Souza Ferreira

Disserta¸c˜ ao de Mestrado

Prof. Dr. Leonardo Ramos Emmendorfer Orientador

Prof. Dr. Jo˜ ao Francisco Prolo Filho Co-Orientador

Rio Grande, mar¸co de 2016.

CIP - CATALOGAC ¸ ˜ AO NA PUBLICAC ¸ ˜ AO

Ferreira, Carlos Eduardo Souza

Abordagem Nodal Aplicada ` a Problemas de Transporte de Nˆ eutrons em Geometria Cartesiana Bidimensional / Carlos Eduardo Souza Ferreira. — Rio Grande: PPGMC da FURG, 2016.

103 p.: il.

Disserta¸c˜ ao (mestrado) —Universidade Federal do Rio Grande, Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Modelagem Com- putacional, Rio Grande, 2016.

Orientador: Emmendorfer, Leonardo Ramos; Co-Orientador:

Prolo Filho, Jo˜ ao Francisco

Disserta¸c˜ ao: Modelagem Computacional, Interdisciplinari-

dade, Matem´ atica Aplicada,

Abordagem Nodal Aplicada ` a Problemas de Transporte de Nˆ eutrons em

Geometria Cartesiana Bidimensional

por

Carlos Eduardo Souza Ferreira

Disserta¸c˜ ao submetida ao Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Modelagem Computacional da Universidade Federal do Rio Grande

Orientador: Prof. Dr. Leonardo Ramos Emmendorfer Co-Orientador: Prof. Dr. Jo˜ ao Francisco Prolo Filho Banca examinadora:

Prof. Dr. Anderson Tres Dpto. Matem´ atica / Unisinos Profa. Dra. B´ arbara Denicol do Amaral

Rodriguez PPGMC-FURG

Prof. Dr. Antonio Gledson de Oliveira Goulart PPGMC-FURG

Disserta¸c˜ ao apresentada em mar¸co de 2016.

Prof. Dr. Jeferson Avila Souza

Coordenador

A matem´ atica ´ e o alfabeto com o qual DEUS escreveu o universo.

(Pit´ agoras)

AGRADECIMENTO

De forma especial, primeiramente gostaria de agradecer ao Jo˜ ao Prolo, Leonardo Emmendorfer e a B´ arbara Rodriguez por toda aten¸c˜ ao e inestim´ avel aux´ılio durante todo o curso. Em especial, agrade¸co pela ajuda no pior momento de minha vida pessoal, onde apesar de todas as adversidades sempre tive total apoio e compreens˜ ao. E sim, neste momento n˜ ao uso seus t´ıtulos, pois os tenho como amigos e n˜ ao apenas como doutores, professores ou mesmo orientadores, agrade¸co aos amigos.

Deixo um segundo agradecimento ao Dr. Jo˜ ao Prolo, por ceder a ima- gem utilizada para Figura 2.4a, deste trabalho.

Tamb´ em devo meus agradecimento ao coordenador do programa, Dr.

Jeferson Avila Souza, que me deu todo suporte e aux´ılio para conclus˜ ao deste tra- balho.

E claro, tamb´ em agrade¸co com grande amor no cora¸c˜ ao a Nilfa, meu modelo de vida, de pessoa, minha grande m˜ ae.

E por ´ ultimo, mas n˜ ao menos importante, a CAPES pela bolsa do

Programa Demanda Social que me permitiu total dedica¸c˜ ao ao projeto.

Sum´ ario

LISTA DE FIGURAS . . . . viii

LISTA DE TABELAS . . . . x

LISTA DE SIGLAS E S´ıMBOLOS . . . . xiii

RESUMO . . . . xvii

ABSTRACT . . . . xviii

1 INTRODUC ¸ ˜ AO . . . . 1

2 MODELO PARA TRANSPORTE DE Nˆ EUTRONS E SUA REPRESENTAC ¸ ˜ AO NA FORMA INTEGRO-DIFERENCIAL . . . . 6

2.1 Modelo simplificado . . . . 13

2.2 Discretiza¸ c˜ ao da vari´ avel angular e quadratura S

. . . . 16

2.3 Equa¸ c˜ ao do transporte em ordenadas discretas . . . . 17

2.4 Formula¸ c˜ ao nodal . . . . 18

2.5 M´ ultiplas regi˜ oes . . . . 21

3 SOLUC ¸ ˜ AO HOMOGˆ ENEA PARA OS PROBLEMAS NODAIS 24 3.1 Problema nodal integrado em y . . . . 24

3.2 Problema nodal integrado em x . . . . 26

4 SOLUC ¸ ˜ OES PARTICULARES E GERAIS . . . . 28

4.1 Solu¸ c˜ oes particulares . . . . 28

4.2 Solu¸ c˜ oes Gerais . . . . 29

5 CONDIC ¸ ˜ OES DE CONTORNO, INTERFACES, ACOPLAMENTO E DETERMINAC ¸ ˜ AO DE COEFICIENTES . . . . 30

5.1 Caracteriza¸ c˜ ao dos contornos e equa¸ c˜ oes auxiliares . . . . 30

5.2 Acoplamento e sistema para o c´ alculo dos coeficientes . . . . . 31

6 RESULTADOS . . . . 34

6.1 Descri¸ c˜ ao geral . . . . 34

6.2 Quantidades de interesse e outras an´ alises . . . . 35

6.3 Resultado comparativo . . . . 36

6.4 Resultados de benchmark . . . . 38

6.4.1 Meio homogˆ eneo isotr´ opico . . . . 38

6.4.2 Meio heterogˆ eneo isotr´ opico . . . . 50

6.5 Flexibilidade de hardware . . . . 57

7 CONCLUS ˜ OES E CONTINUIDADE . . . . 58

7.1 Propostas de continuidade . . . . 60

7.2 Resultados esperados . . . . 61

REFERˆ ENCIAS BIBLIOGR ´ AFICAS . . . . 62

8 ANEXO . . . . 67

Lista de Figuras

Figura 2.1 Representa¸c˜ ao no espa¸co tridimensional da posi¸c˜ ao e desloca-

mento de uma part´ıcula. . . . 10

Figura 2.2 Representa¸c˜ ao do meio de intera¸c˜ ao da part´ıcula. . . . 14

Figura 2.3 Problema em geometria cartesiana, em uma c´ elula [a

, a

] × [b

, b

]. 15 Figura 2.4 Exemplo das dire¸c˜ oes de espalhamento discretizadas ao se usar N = 8, nos sistema tridimensional ”a)”e bidimensional ”b)”. . . 17

Figura 2.5 Geometria do problema observado. . . . 22

Figura 2.6 Representa¸c˜ ao das interfaces entre regi˜ oes. . . . 23

Figura 5.1 Ordem anti-hor´ aria utilizada para as dire¸c˜ oes. . . . 32

Figura 6.1 Representa¸c˜ ao do problema descrito por Loyalka e Tsai. . . . . 36

Figura 6.2 Representa¸c˜ ao do problema 1. . . . 38

Figura 6.3 Representa¸c˜ ao do problema 2. . . . 39

Figura 6.4 Gr´ afico comparativo da ordem de quadratura dos perfis de fluxo escalar φ

(x) do problema 1, para σ

= 0.65. . . . 40

Figura 6.5 Gr´ afico comparativo da ordem de quadratura dos perfis de fluxo escalar φ

(y) do problema 1, para σ

= 0.65. . . . 41

Figura 6.6 Gr´ afico comparativo do espalhamento dos perfis de fluxo escalar φ

(x) do problema 1, para N = 16. . . . 42

Figura 6.7 Gr´ afico comparativo do espalhamento dos perfis de fluxo escalar φ

(y) do problema 1, para N = 16. . . . 43

Figura 6.8 Gr´ afico do perfil de fluxo escalar bidimensional φ(x, y ) do pro- blema 1, para N = 16 e σ

= 0.65. . . . . 44

Figura 6.9 Gr´ afico comparativo da ordem de quadratura dos perfis de fluxo escalar φ

(x) do problema 2, para σ

= 0.65. . . . 45

Figura 6.10 Gr´ afico comparativo da ordem de quadratura dos perfis de fluxo escalar φ

(y) do problema 2, para σ

= 0.65. . . . 46

Figura 6.11 Gr´ afico comparativo do espalhamento dos perfis de fluxo escalar

φ

(x) do problema 2, para N = 16. . . . 47

Figura 6.12 Gr´ afico comparativo do espalhamento dos perfis de fluxo escalar

φ

(y) do problema 2, para N = 16. . . . 48

Figura 6.13 Gr´ afico do perfil de fluxo escalar bidimensional φ(x, y ) do pro- blema 2, para N = 16 e σ

= 0.65. . . . . 49

Figura 6.14 Representa¸c˜ ao do problema 3. . . . 50

Figura 6.15 Representa¸c˜ ao do problema 4. . . . 51

Figura 6.16 Representa¸c˜ ao do problema 5. . . . 52

Figura 6.17 Representa¸c˜ ao do problema 6. . . . 53

Figura 6.18 Representa¸c˜ ao dos fluxos escalares m´ edios do problema 6. . . . 53

Figura 6.19 Representa¸c˜ ao do problema 7. . . . 54

Figura 6.20 Representa¸c˜ ao dos fluxos escalares m´ edios do problema 7. . . . 55

Figura 6.21 Representa¸c˜ ao do problema 8. . . . 55

Figura 8.1 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 99

Figura 8.2 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 99

Figura 8.3 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 100

Figura 8.4 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 100

Figura 8.5 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 101

Figura 8.6 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 101

Figura 8.7 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 102

Figura 8.8 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 102

Figura 8.9 Arranjo das dire¸c˜ oes e pesos para quadratura S

. . . . 103

Lista de Tabelas

Tabela 6.1 Fluxo escalare m´ edio de neˆ utrons bidimensional φ(x, y ). . . . . 37 Tabela 6.2 Problema 1: φ

(x) para σ

= 0.65 e diferentes valores de N . . . 40 Tabela 6.3 Problema 1: φ

(y) para σ

= 0.65 e diferentes valores de N . . . 40 Tabela 6.4 Problema 1: φ

(x) para N = 16 e diferentes valores para σ

. . . 41 Tabela 6.5 Problema 1: φ

(y) para N = 16 e diferentes valores para σ

. . . 42 Tabela 6.6 Problema 1: φ(x, y) para N = 16 e σ

= 0.65. . . . 43 Tabela 6.7 Problema 2: φ

(x) para σ

= 0.65 e diferentes valores de N . . . 44 Tabela 6.8 Problema 2: φ

(y) para σ

= 0.65 e diferentes valores de N . . . 45 Tabela 6.9 Problema 2: φ

(x) para N = 16 e diferentes valores para σ

. . . 46 Tabela 6.10 Problema 2: φ

(y) para N = 16 e diferentes valores para σ

. . . 47 Tabela 6.11 Problema 2: φ(x, y) para N = 16 e σ

= 0.65. . . . 48 Tabela 6.12 Tempo de cada simula¸c˜ ao para os problemas 1 e 2. . . . 49 Tabela 6.13 Fluxos escalares m´ edios de nˆ eutrons integrados φ

, para os pro-

blemas 1 e 2. . . . 49 Tabela 6.14 Fluxos escalares m´ edios de neˆ utrons integrados φ

do problema

3. . . . . 50 Tabela 6.15 Fluxos escalares m´ edios de neˆ utrons integrados φ

do problema

4. . . . . 51 Tabela 6.16 Fluxos escalares m´ edios de neˆ utrons integrados φ

do problema

5. . . . . 52 Tabela 6.17 Fluxos escalares m´ edios de neˆ utrons integrados φ

do problema

6. . . . . 53 Tabela 6.18 Fluxos escalares m´ edios de neˆ utrons integrados φ

do problema

7. . . . . 54 Tabela 6.19 Fluxos escalares m´ edios de neˆ utrons integrados φ

do problema

8. . . . . 56

Tabela 8.1 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

e S

. . . . 67

Tabela 8.2 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

. . . . 68

Tabela 8.3 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

. . . . 69

Tabela 8.4 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

. . . . 70

Tabela 8.5 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

. . . . 70

Tabela 8.6 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 71

Tabela 8.7 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 72

Tabela 8.8 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 73

Tabela 8.9 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

. . . . 74

Tabela 8.10 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 75

Tabela 8.11 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 76

Tabela 8.12 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 77

Tabela 8.13 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 78

Tabela 8.14 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

. . . . 78

Tabela 8.15 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 79

Tabela 8.16 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 80

Tabela 8.17 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 81

Tabela 8.18 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 82

Tabela 8.19 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 83

Tabela 8.20 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

. . . . 83

Tabela 8.21 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 84

Tabela 8.22 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 85

Tabela 8.23 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 86

Tabela 8.24 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 87

Tabela 8.25 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 88

Tabela 8.26 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 89

Tabela 8.27 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 90

Tabela 8.28 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

. . . . 90

Tabela 8.29 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 91

Tabela 8.30 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 92

Tabela 8.31 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 93

Tabela 8.32 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 94

Tabela 8.33 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 95

Tabela 8.34 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 96

Tabela 8.35 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 97

Tabela 8.36 Quadratura sim´ etrica de n´ıvel S

- continua¸c˜ ao. . . . . 98

LISTA DE SIGLAS E S´ IMBOLOS

Lista de Siglas

ADO M´ etodo Anal´ atico de Ordenadas Discretas

EDP Equa¸c˜ ao Diferencial Parcial

LBE Equa¸c˜ ao Linear de Boltzmann

RGD Dinˆ amica de Gases Rarefeitos

Lista de S´ımbolos

a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ extremidades do dom´ınio

A _j , B _j coeficientes da solu¸c˜ ao homogˆ enea

A _y , D _y , A _x , D _x matrizes do problema de autovalor

C _j , D _j , E _j , F _j coeficientes da solu¸c˜ ao particular

CE, CD, CI, CS condi¸c˜ oes de contorno a esquerda, direita, inferior e su- perior

E energia

f _x (r, Ω ⁰ → Ω, E ⁰ → E) probabilidade de transferˆ encia da rea¸c˜ ao tipo x

H, K quantidades m´ aximas de divis˜ oes em cada eixo coorde- nado.

M n´ umero de pontos da quadratura

n nˆ eutrons

N ordem da quadratura S

N (r, Ω, E, t) densidade prov´ avel de nˆ eutrons

p pr´ oton

Q(r, Ω _i ) fonte (n/cm

· s)

Q _y (x, Ω _i ) fonte ap´ os integra¸c˜ ao em y

Q _x (y, Ω _i ) fonte ap´ os integra¸c˜ ao em x

Q ˜ y (x, Ω i ), Q ˜ x (y, Ω i ) fonte (n/cm

· s) das equa¸c˜ oes nodais

r vetor espacial (cm)

r ´ındice r, regi˜ ao do dom´ınio

R dom´ınio retangular

S(r, Ω, E, t) fonte interna do dom´ınio

S _N quadratura sim´ etrica de n´ıvel

t tempo

x, y, z coordenadas espaciais (cm)

v velocidade

V volume

λ _x , λ _y autovalores dos problemas homogˆ eneos

Θ angulo polar

µ, η coordenadas direcionais

ν, γ constantes de separa¸c˜ ao

σ se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica (cm

)

σ _a se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de absor¸c˜ ao (cm

)

σ f se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de fiss˜ ao (cm

)

σ _n se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de espalhamento el´ astico (cm

)

σ n

se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de espalhamento inel´ astico (cm

)

σ _op se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de forma gen´ erica, a outras processos de intera¸c˜ ao dos nˆ eutrons (cm

)

σ _s se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de espalhamento (cm

)

σ _t se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de total (cm

)

σ _γ se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de captura (cm

)

Φ _y (ν, Ω), Φ _x (γ, Ω) autofun¸c˜ oes do problema homogˆ eneo

ϕ angulo azimutal

Ψ(r, Ω), Ψ(x, y, Ω) fluxo angular (W/cm

· Sr)

Ψ _y (x, Ω _i ) fluxo angular m´ edio na vari´ avel x

Ψ _x (y, Ω _i ) fluxo angular m´ edio na vari´ avel y

Ψ ^h _y (x, Ω) solu¸c˜ ao do problema homogˆ eneo em x

Ψ ^h _x (y, Ω) solu¸c˜ ao do problema homogˆ eneo em y

Ψ ^p _y (x, Ω) solu¸c˜ ao do problema particular em x

Ψ ^p _x (y, Ω) solu¸c˜ ao do problema particular em y

Ψ(x, y, Ω _i ) aproxima¸c˜ ao das condi¸c˜ oes de contorno n˜ ao-incidentes

Ψ x (y, Ω i ), Ψ ˜ y (x, Ω i ) vers˜ oes integradas em x e y

ω _k pesos da quadratura

Ω _k vetor dire¸c˜ ao associado ao peso w

Ω vetor direcional

Ω∗ dire¸c˜ oes incidentes

RESUMO

Neste trabalho uma formula¸c˜ ao nodal ´ e proposta para o tratamento de

uma classe de problemas de transporte de nˆ eutrons em geometria cartesiana bidi-

mensional. Pelo processo de integra¸c˜ ao transversal, equa¸c˜ oes unidimensionais s˜ ao

obtidas, reescrevendo o modelo em termos de quantidades m´ edias. A resolu¸c˜ ao das

equa¸c˜ oes integradas ´ e feita usando uma vers˜ ao do M´ etodo de Ordenadas Discretas

Anal´ıtico (ADO), onde s˜ ao obtidas solu¸c˜ oes expl´ıcitas, anal´ıticas em termos das

vari´ aveis espaciais, atrav´ es de um c´ odigo de f´ acil implementa¸c˜ ao. Pode-se destacar

tamb´ em como vantagens desta formula¸c˜ ao a versatilidade na escolha do esquema

de quadratura e o baixo custo computacional, uma vez que m´ etodos iterativos n˜ ao

s˜ ao necess´ arios, tampouco m´ etodos de interpola¸c˜ ao. Para lidar com os termos do

contorno que surgem no processo, utiliza-se aqui uma aproxima¸c˜ ao por termos cons-

tantes, de forma que as equa¸c˜ oes nodais nas vari´ aveis x e y s˜ ao tratadas por um

sistema acoplado. Os resultados obtidos por esta formula¸c˜ ao s˜ ao apresentados, bem

como alguns perfis de fluxo escalar, fluxo escalar m´ edio, compara¸c˜ ao entre diferentes

ordens de quadratura e outras considera¸c˜ oes.

ABSTRACT

In this work a nodal formulation is proposed for the treatment of a class of neutron transport problems in two-dimensional Cartesian geometry. By the transverse integration process, one-dimensional equations are obtained, rewriting the model in terms of average quantities. The resolution of the integrated equations is performed using a version of Analitical Discrete Ordinates Method (ADO), where explicit solutions are obtained, analytical in terms of the spatial variables, through an easy implementation code. Also we detach as advantages of this formulation the versatility in the choice of the quadrature scheme and the low computational cost, since iterative methods are not needed, either interpolation methods. To deal with the boundary terms that arise in the process, is used here a constant approximation so that the nodal equations on x and y variables are treated by a coupled system.

The results obtained by this formulation is shown as well some scalar flux profi-

les, averaged scalar-flux, comparison among different quadrature order and other

considerations.

1 INTRODUC ¸ ˜ AO

A Equa¸c˜ ao de Transporte, tamb´ em conhecida como vers˜ ao linear da Equa¸c˜ ao de Boltzmann (LBE), descreve de forma matem´ atica e quantitativa, a dis- tribui¸c˜ ao espacial, direcional, energ´ etica e temporal das part´ıculas em meios materi- ais, e tem despertado grande interesse dos pesquisadores devido a sua aplicabilidade em diversas ´ areas, como por exemplo, na ´ area nuclear para o estudo de blindagem [35] e reatores [17], em microestruturas [3, 24, 29], em estimativas de propriedades t´ ermicas de materiais [39], ou mesmo em estudos de fenˆ omenos envolvendo trans- pira¸c˜ ao t´ ermica [23].

Para a resolu¸c˜ ao da Equa¸c˜ ao de Transporte, podemos encontrar abor- dagens com perfil probabil´ıstico, representadas pelo cl´ assico m´ etodo de Monte Carlo [36], e com enfoque determin´ıstico, onde podem ser encontradas formula¸c˜ oes total- mente num´ ericas como o caso do m´ etodo de Elementos Finitos [38] ou ainda m´ etodo ditos semi-anal´ıticos, onde os termos relacionados ` as vari´ aveis espaciais s˜ ao tratados de forma anal´ıtica, como o m´ etodo Anal´ıtico de Ordenadas Discretas (ADO) [6] e o LT S

[34].

Citamos tamb´ em, o m´ etodo de Ordenadas Discretas, introduzido na d´ ecada de 50 por Wick [40] em estudos de fenˆ omenos de transporte de nˆ eutrons e posteriormente utilizado em problemas de transferˆ encia radiativa por Chandra- sekhar [13], este tem se destacado devido a sua versatilidade na resolu¸c˜ ao tanto de problemas unidimensionais, multidimensionais e nodais em teoria de transporte [24, 26, 27].

Entre as abordagens inspiradas no m´ etodo de Ordenadas Discretas, en-

contramos atualmente os chamados M´ etodos Nodais [8, 9, 10], que comumente s˜ ao

aplicados ` a problemas multidimensionais [18, 25, 26]. Sua formula¸c˜ ao implica na de-

composi¸c˜ ao do dom´ınio em c´ elulas, nas quais grandezas m´ edias s˜ ao definidas atrav´ es

do processo de integra¸c˜ ao. Os m´ etodos nodais podem ser divididos em dois grupos:

os polinomiais [1, 37] e os espectronodais [9, 14, 15]. No caso dos polinomiais, s˜ ao usadas expans˜ oes polinomiais de baixa ordem para representar tanto o fluxo angular ao longo das faces da grade espacial quanto os termos de fonte [1, 37]. J´ a nos es- pectronodais, como no trabalho desenvolvido por Barros e Larsen [10], os termos de fonte s˜ ao tratados de forma anal´ıtica e s˜ ao introduzidas aproxima¸c˜ oes apenas para os termos de fuga transversal. Contudo, a principal limita¸c˜ ao dos m´ etodos nodais tradicionais ´ e o fato de trabalhar com grandezas m´ edias aproximadas em c´ elulas, di- ficultando a avalia¸c˜ ao de fluxos escalares de nˆ eutrons em pontos espec´ıficos, muitas vezes obrigando o uso de esquemas de interpola¸c˜ ao ou, em casos mais extremos, no pr´ oprio refinamento da malha computacional. A dependˆ encia de esquemas iterativos

´ e outro ponto importante, pois est´ a diretamente ligado ao alto custo computacio- nal do m´ etodo. Para o tratamento anal´ıtico das equa¸c˜ oes em ordenadas discretas, existem algumas dificuldades num´ ericas que s˜ ao inevit´ aveis, como por exemplo, o fato de ser necess´ ario o c´ alculo de constantes de separa¸c˜ ao vinculadas ` as ra´ızes de polinˆ omios caracter´ısticos.

Para contornar estes problemas, novas formula¸c˜ oes tˆ em sido propostas e, entre elas, encontra-se uma vers˜ ao anal´ıtica do m´ etodo de Ordenadas Discretas (m´ etodo ADO [6]). O m´ etodo ADO, proposto por Barichello e Siewert [6], tem apre- sentado algumas caracter´ısticas que o tornam bastante atrativo do ponto de vista computacional como, por exemplo, a possibilidade de usar esquemas de quadratura mais arbitr´ arios, a determina¸c˜ ao das constantes de separa¸c˜ ao por meio de problemas de autovalores e por fornecer solu¸c˜ oes anal´ıticas em termos das vari´ aveis espaciais.

O m´ etodo ADO tamb´ em tem se mostrado uma ferramenta muito ´ util na resolu¸c˜ ao de problemas em RGD, principalmente pela possibilidade de se construir solu¸c˜ oes unificadas para diferentes modelos cin´ eticos [24, 27, 28].

Devido ` a performance do m´ etodo ADO na resolu¸c˜ ao de diferentes clas-

ses de problemas unidimensionais, seja pela obten¸c˜ ao de solu¸c˜ oes precisas e anal´ıticas

em termos das vari´ aveis espaciais, ou por utilizar c´ odigos de f´ acil implementa¸c˜ ao e de baixo custo computacional, aliado ` a possibilidade de associa¸c˜ ao com os m´ etodos nodais e ` a utiliza¸c˜ ao de diferentes quadraturas multidimensionais, a sua extens˜ ao para a resolu¸c˜ ao de problemas multidimensionais [1, 2, 4, 8] tem sido investigada.

Desta forma, propmos com este trabalho mostrar a viabilidade de uti- liza¸c˜ ao de uma vers˜ ao do m´ etodo ADO aliado aos m´ etodos nodais para o tratamento de problemas de transporte de nˆ eutrons em geometria cartesiana bidimensional. No processo, as equa¸c˜ oes de transporte escritas em ordenadas discretas s˜ ao convertidas em equa¸c˜ oes nodais atrav´ es do processo de integra¸c˜ ao transversal nas vari´ aveis x e y, fazendo com que os fluxos angulares sejam representados em termos de quantida- des m´ edias. Apesar de reduzir a complexidade do modelo, este mesmo processo de integra¸c˜ ao tamb´ em provoca o surgimento de termos referentes aos fluxos angulares nos contornos que s˜ ao desconhecidos em determinadas dire¸c˜ oes. A representa¸c˜ ao adequada destes termos de fuga transversal, que normalmente ´ e feita atrav´ es de equa¸c˜ oes auxiliares, tamb´ em passa a ter um papel importante no desenvolvimento do m´ etodo, por afetar diretamente na precis˜ ao dos resultados.

Aqui, a resolu¸c˜ ao das equa¸c˜ oes nodais resultantes do processo de inte- gra¸c˜ ao transversal ser´ a feita utilizando uma vers˜ ao do m´ etodo ADO, na qual n˜ ao ser´ a feita a sepra¸c˜ ao usual das dire¸c˜ oes de acordo com os quadrantes, acarretando em uma formula¸c˜ ao mais simples e mais eficiente em termos de tempo de processa- mento. As solu¸c˜ oes particulares utilizadas correspondem a um caso particular das propostas por Barros e Larsen [10], e os termos de fuga transversal s˜ ao aproximados por constantes. Por fim, atrav´ es de um sistema que acopla os dois problemas nodais, faz-se a determina¸c˜ ao dos coeficientes necess´ arios para a completa representa¸c˜ ao das solu¸c˜ oes, possibilitando a avalia¸c˜ ao de determinadas quantidades de interesse, como por exemplo o fluxo escalar.

Apesar de estar sendo usada a Quadratura Sim´ etrica de N´ıvel, o fato

do m´ etodo n˜ ao depender da separa¸c˜ ao das dire¸c˜ oes em quadrantes possibilita a uti-

liza¸c˜ ao de esquemas de quadraturas mais gerais sem acarretar mudan¸cas no m´ etodo.

Al´ em disso, ainda foi poss´ıvel obter para as equa¸c˜ oes nodais, solu¸c˜ oes anal´ıticas em termos das vari´ aveis espaciais, a um custo computacional extremamente baixo, atrav´ es de uma t´ ecnica de simples implementa¸c˜ ao.

Sendo assim, no cap´ıtulo 2, abordaremos aspectos f´ısicos inerentes a distribui¸c˜ ao de part´ıculas no espa¸co de fase e, baseado no princ´ıpio de balan¸co (ganhos-perdas) ser´ a deduzida a equa¸c˜ ao de transporte de part´ıculas na sua forma integro-diferencial. A partir dela, atrav´ es de algumas considera¸c˜ oes, teremos o mo- delo a ser utilizado. Em seguida, utilizaremos o m´ etodo de ordenadas discretas para transformar a equa¸c˜ ao integro-diferencial em um sistema de EDP’s, no qual, ap´ os a integra¸c˜ ao em termos das vari´ aveis espaciais, o m´ etodo ADO ´ e aplicado. No cap´ıtulo 3, desenvolveremos uma solu¸c˜ ao homogˆ enea das equa¸c˜ oes nodais de ambas as equa¸c˜ oes unidimensionais. No cap´ıtulo 4 apresentaremos as solu¸c˜ oes particulares dos problemas integrados, e no cap´ıtulo 5, veremos a caracteriza¸c˜ ao dos contornos por meio das equa¸c˜ oes auxiliares e o acoplamento dos problemas para a determina¸c˜ ao das constantes ligadas ` a solu¸c˜ ao geral do problema de transporte. Os problemas teste propostos e seus respectivos resultados ser˜ ao apresentados no cap´ıtulo 6 junto com algumas avalia¸c˜ oes de benchmark. Por fim, as considera¸c˜ oes finais e planejamento de continuidade ser˜ ao dados no cap´ıtulo 7. Um apˆ endice tamb´ em foi incluido a este trabalho, onde as quadraturas utilizadas para a discretiza¸c˜ ao da vari´ avel angular foram retiradas de Cacuci [12].

Podemos considerar como principais contribui¸c˜ oes deste trabalho a pro-

posta de uma vers˜ ao mais simples do M´ etodo ADO na resolu¸c˜ ao de diversos pro-

blemas transporte de nˆ eutrons bidimenionais, a gera¸c˜ ao de uma s´ erie de resultados

benchmark para problemas ainda n˜ ao tratados na literatura, o estudo de viabilidade

de utiliza¸c˜ ao deste tipo de metodologia por meio de softwares de distribui¸c˜ ao livre

e em equipamentos port´ ateis (tablets e smartphones), e a utiliza¸c˜ ao de uma forma

para solu¸c˜ ao particular que ainda n˜ ao havia sido trabalhada em conjunto com o m´ etodo ADO.

Tamb´ em ´ e apresentado neste trabalho, um apˆ endice onde foi inclu´ıdo o

esquema de quadratura utilizado para discretiza¸c˜ ao da vari´ avel angular.

2 MODELO PARA TRANSPORTE DE

Nˆ EUTRONS E SUA REPRESENTAC ¸ ˜ AO NA FORMA INTEGRO-DIFERENCIAL

A equa¸c˜ ao de transporte integro-diferencial ser´ a deduzida a partir de uma rela¸c˜ ao de balan¸co de part´ıculas que acontece em um dado espa¸co onde ocor- rem as intera¸c˜ oes entre part´ıculas. Tal espa¸co ser´ a denominado espa¸ co de fase do problema.

Inicialmente partiremos de uma simplifica¸c˜ ao do modelo considerando a mecˆ anica de intera¸c˜ ao dos nˆ eutrons. Olhando pela intera¸c˜ ao f´ısica das part´ıculas de nˆ eutrons ao serem emitidas contra um meio material, podemos perceber que essas part´ıculas interagem com o n´ ucleo do meio material causando espalhamento e absor¸c˜ ao. Ao analisarmos o caso do espalhamento devemos notar que pode haver conserva¸c˜ ao de energia ou n˜ ao, assim sendo, denominaremos como espalhamento el´ astico ou inel´ astico. J´ a no caso da absor¸c˜ ao devemos considerar que a absor¸c˜ ao dessa part´ıcula pelo n´ ucleo do material pode gerar a emiss˜ ao de raios gama, ou ainda no caso do material possuir uma composi¸c˜ ao fission´ avel que ir´ a gerar a libera¸c˜ ao de energia e de outros nˆ eutrons, que podem interagir com o meio e provocar uma rea¸c˜ ao em cadeia. Nestes casos chamaremos de se¸ c˜ ao de choque de captura radioativa e de se¸ c˜ ao de choque macrosc´ opica de fiss˜ ao.

Para utilizarmos estes aspectos f´ısicos na dedu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao, iremos antes definir o conceito de se¸ c˜ ao de choque macrosc´ opica, que ser´ a a probabilidade de uma part´ıcula por unidade de comprimento da trajet´ oria, interagir com as part´ıculas do n´ ucleo do meio material. Definimos tamb´ em o livre caminho m´ edio, como sendo o inverso da se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica, ou seja a distˆ ancia percorrida por uma part´ıcula emitida antes de colidir com outras part´ıculas existentes no meio material.

Usaremos como nota¸c˜ ao para se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica a letra grega (σ).

A partir destas informa¸c˜ oes podemos deduzir a equa¸c˜ ao. Assim usare- mos σ

para denotar a se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de absor¸c˜ ao e σ

para se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de espalhamento. Nos dois casos citados a se¸c˜ ao de choque ma- crosc´ opica σ(E) depende da energia emitida. A utilizarmos um meio heterogˆ eneo, as se¸c˜ oes de choque macrosc´ opicas tamb´ em depender˜ ao da posi¸c˜ ao, que denotaremos pelo vetor r, de componentes (x, y, z).

Assim, teremos σ

(r, E) e σ

(r, E) como as fun¸c˜ oes referentes a se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de absor¸c˜ ao e espalhamento para nˆ eutrons, respectiva- mente, com dependˆ encia do vetor posi¸c˜ ao e da energia. Definiremos ainda, a fun¸c˜ ao σ

(r, E) que neste caso representa de forma gen´ erica outros processos de intera¸c˜ ao dos nˆ eutrons com o n´ ucleo, onde em alguns casos, iremos ignorar por exercerem uma influˆ encia muito menor, em rela¸c˜ ao ao processo de espalhamento e absor¸c˜ ao.

Neste caso espec´ıfico poder´ a representar a situa¸c˜ ao em que um nˆ eutron inicial causa a emiss˜ ao de dois nˆ eutrons ou ent˜ ao quando um nˆ eutron provoca a emiss˜ ao de um pr´ oton.

Conforme discutido acima podemos descrever a se¸c˜ ao de choque ma- crosc´ opica pela fun¸c˜ ao:

σ

(r, E) = σ

(r, E) + σ

(r, E) + σ

(r, E), (2.1)

onde temos a se¸c˜ ao de choque total σ

(r, E)composta pela soma da se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de absor¸c˜ ao σ

(r, E) mais a se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de espa- lhamento σ

(r, E) somado a outros processos descritos por σ

. Por sua vez a se¸c˜ ao de choque de absor¸c˜ ao pode ser descrita como:

σ

(r, E) = σ

(r, E) + vσ

(r, E), (2.2)

sendo σ

´ e a se¸c˜ ao de choque de captura e σ

a de fiss˜ ao. E por ´ ultimo temos a

defini¸c˜ ao da se¸c˜ ao de choque por espalhamento dada por

σ

(r, E) = σ

(r, E) + σ

(r, E), (2.3)

onde, respectivamente, temos σ

e σ

sendo as se¸c˜ oes de choque para os espalha- mentos el´ astico e inel´ astico.

Reescrevendo a equa¸c˜ ao temos,

σ

(r, E) = σ

(r, E) + vσ

(r, E) + σ

(r, E) + σ

(r, E) + σ

(r, E). (2.4)

Devemos levar em considera¸c˜ ao a distribui¸c˜ ao da energia e a dire¸c˜ ao dos nˆ eutrons emitidos em uma rea¸c˜ ao gen´ erica, descrita por (n, X), onde n indica a entrada de um nˆ eutron e X a part´ıcula gerada. A entrada de um nˆ eutron pode ainda gerar outros nˆ eutrons como no caso (n, 2n), onde para cada nˆ eutron de entrada teremos a gera¸c˜ ao de outros dois nˆ eutrons, ou (n, p) onde cada nˆ eutron emitido acaba gerando um pr´ oton.

Denominamos de distribui¸ c˜ ao de choque diferencial a express˜ ao,

σ

(r, Ω

→ Ω, E

→ E) = σ

(r, E

)f

(r, Ω

→ Ω, E

→ E), (2.5)

onde a se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica referente a rea¸c˜ ao (n, x) ` a energia E

, ´ e a probabilidade de rea¸c˜ ao de uma part´ıcula com dire¸c˜ ao Ω

passa para Ωe energia E’

para E, no momento em que sofre rea¸c˜ ao com um n´ ucleoe no processo ´ e emitido uma

particula x que pode ser um nˆ eutron ou um pr´ oton, no intervalo de energia dE em

torno de E ´ e expressa por f

(r, Ω

→ Ω, E

→ E) e denominamos de probabilidade de transferˆ encia . Esta por sua vez deve ser normalizada com a finalidade de que sua integral sobre todas as suas dire¸c˜ oes e energias finais seja igual ao total de nˆ eutrons emitidos nesta rea¸c˜ ao, ou seja, a soma de todas as probabilidades de distribui¸c˜ ao de todas os n´ıveis de energia e todas as dire¸c˜ oes seja igual a um - considerando a rea¸c˜ ao (n, x).

Algumas vezes pode ser conveniente especificar em termos do vetor unit´ ario, Ω, em um sistema de coordenadas polares, ou seja, dado o ˆ angulo polar θ e o angulo azimutal ϕ. Assim teremos: Ω

= sen(θ)cos(ϕ) , Ω

= sen(θ)sen(ϕ), Ω

= cos(θ).

Desta forma chegamos a equa¸c˜ ao:

Z

E

Z

Ω f

(r, Ω

→ Ω, E

→ E)dΩdE = 1, (2.6) onde a integral em E expressa a soma de todos os n´ıveis de energia e a integral em Ω expressa o somat´ orio de todas as dire¸c˜ oes. Ainda devemos considerar que tere- mos a equa¸c˜ ao com x = n para o caso do espalhamento el´ astico (caso onde ocorre conserva¸c˜ ao de energia) e x = n

para o espalhamento inel´ astico (onde n˜ ao ocorre a conserva¸c˜ ao de energia).

Podemos agora definir a probabilidade total de transferˆ encia, levando em considera¸c˜ ao todas as poss´ıveis rea¸c˜ oes a partir da equa¸c˜ ao (2.6) para soma de todas as rea¸c˜ oes (indicada pelo somat´ orio encontrado no lado direito da equa¸c˜ ao), temos:

σ(r, Ω

→ Ω, E

→ E) = X

x

σ

(r, E)f

(r, Ω

→ Ω, E

→ E), (2.7)

Agora iremos definir N (r, Ω,E, t)dV dΩdE como a fun¸c˜ ao que descreve o n´ umero prov´ avel de nˆ eutrons existentes em um dado instante t, onde dV representa o volume infinitesimal com centro em r que se deslocam em dire¸c˜ oes dΩ, Figura 2.1, em torno da dire¸c˜ ao Ω e que possuem energia dE em torno de E, onde θ ´ e o ˆ angulo polar e ϕ o ˆ angulo azimutal.

Figura 2.1: Representa¸c˜ ao no espa¸co tridimensional da posi¸c˜ ao e deslocamento de uma part´ıcula.

Para considerar o que acontece com este pacote de nˆ eutrons, vamos supor que ele segue por um intervalo de tempo ∆t assumindo que as se¸c˜ oes trans- versais s˜ ao fun¸c˜ oes cont´ınuas da posi¸c˜ ao no entorno da posi¸c˜ ao r, o nˆ eutron com energia E que sofre colis˜ ao pode ser considerado como perda do pacote, pois muda de grupo energ´ etico, enquanto que aquele que n˜ ao colide permanece.

A distˆ ancia percorrida por um nˆ eutron no tempo ∆t ´ e v ∆t; consequen-

temente, a probabilidade de que um nˆ eutron colida neste per´ıodo ´ e σ(r, E)v∆t. A

probabilidade que um nˆ eutron n˜ ao colida dentro do per´ıodo ∆t, portanto, ´ e dado

por (1 − σ(r, E)v∆t). Dessa forma n´ umero de nˆ eutrons que se manteve no espa¸co

de fase ser´ a

N (r, Ω, E, t)[1 − σ(r, E)v∆t]dV dΩdE (2.8)

Estes nˆ eutrons v˜ ao chegar na posi¸c˜ ao r + Ωv∆t no tempo t + ∆t. Al´ em dos nˆ eutrons perdidos no pacote pelas colis˜ oes, alguns nˆ eutrons podem ser ganhos como resultado de colis˜ oes dos nˆ eutrons de outros pacotes ou por uma fonte. Assim a taxa de produ¸c˜ ao de part´ıculas ´ e dada por [11]:

Z

E⁰

Z

Ω

σ(r, E

)f(r, Ω

→ Ω, E

→ E)v

N (r, Ω

, E

, t)dΩ

dE

+Q(r, Ω, E, t)] dV dΩdE, (2.9) onde o primeiro termo representa os nˆ eutrons que ap´ os a rea¸c˜ ao, acabam mudando para outras dire¸c˜ oes e outros n´ıveis de energia em dV e dE, ainda ´ e considerado neste termo o surgimento de nˆ eutrons gerados na rea¸c˜ ao. O segundo termo representa os nˆ eutrons que possam ser gerados por outras fontes internas, localizadas no meio material.

A perda de nˆ eutrons ´ e dado segundo Glasstone [11], por

[σ(r, E)v

N (r, Ω, E, t) + vΩ.∇N (r, Ω, E, t)]dV dΩdE, (2.10) onde, ao considerarmos todas as intera¸c˜ oes que ocorrem no intervalo dV teremos, indicado pelo primeiro termo todos os nˆ eutrons que deixam os intervalos energ´ eticos e direcionais. J´ a no segundo, podemos observar a existˆ encia do operador gradiente indicando a dependˆ encia geom´ etrica do problema, este termo corresponde a perda l´ıquida dos nˆ eutrons no volume considerado.

Por ´ ultimo iremos considerar a taxa de varia¸c˜ ao prov´ avel, da quantidade

de nˆ eutrons existentes em dV , que ser´ a dada pela express˜ ao:

∂

∂t N (r, Ω, E, t)

dV dΩdE. (2.11)

Partindo destas considera¸c˜ oes, podemos retomar a ideia mencionada no in´ıcio, onde a equa¸c˜ ao do transporte ´ e deduzida a partir de um balan¸co dos nˆ eutrons no espa¸co de fase, onde iremos considerar o balan¸co como sendo:

(Tx. de varia¸c˜ ao do n

de nˆ eutrons)=

(Tx. de produ¸c˜ ao de nˆ eutrons)-(Tx. de perda de nˆ eutrons).

Assim teremos como resultado:

1 v

∂

∂t vN (r, Ω, E, t) + Ω.∇vN (r, Ω, E, t) + σ(r, E)vN (r, Ω, E, t)

= Z

E⁰

Z

Ω

σ(r, E

)f(r, Ω

→ Ω, E

→ E)vN (r, Ω

, E

, t)dΩ

dE

+ Q(r, Ω, E, t).

(2.12)

Por fim chegamos a equa¸c˜ ao (2.12) do transporte de nˆ eutrons linear em sua forma integro-diferencial, onde temos por objetivo determinar vN (r, Ω, E, t) que

´ e chamado de fluxo angular de nˆ eutrons e possui unidade de nˆ eutrons por unidade

de volume, por unidade de tempo, por unidade de ˆ angulo s´ olido e por unidade de

energia. Para isto, usaremos a nota¸c˜ ao Ψ(r, Ω, E, t) para indicar o fluxo angular

de nˆ eutrons. Como forma de simplificar a representa¸c˜ ao da equa¸c˜ ao, passamos a

express´ a-la em termos do fluxo angular, na forma:

1 v

∂

∂t Ψ(r, Ω, E, t) + Ω.∇Ψ(r, Ω, E, t) + σ(r, E)Ψ(r, Ω, E, t)

= Z

E⁰

Z

Ω

σ(r, E

)f (r, Ω

→ Ω, E

→ E)Ψ(r, Ω

, E

, t)dΩ

dE

+ Q(r, Ω, E, t).

(2.13)

2.1 Modelo simplificado

Ainda, podemos ter algumas simplifica¸c˜ oes da equa¸c˜ ao (2.13), ao se considerar a classe de problemas propostos neste trabalho. Assim, considerando que trabalharemos com problemas bidimensionais em dom´ınios retangulares R, te- remos var´ı´ avel espacial, decomposta em duas coordenadas r = (x, y) e trataremos de problemas em regime estacion´ ario o que implicar´ a na perda da vari´ avel temporal e energ´ etica.

Em rela¸c˜ ao a vari´ avel direcional trataremos dos casos com espalhamento isotr´ opicos, onde teremos a mesma probabilidade de espalhamento para qualquer dire¸c˜ ao. Podemos ainda observar que trataremos de problemas com fonte de emiss˜ ao constante, bem como trataremos de situa¸c˜ oes onde a regi˜ ao ter´ a valores constantes para as se¸c˜ oes de choque macrosc´ opica total σ

e se¸c˜ ao de choque macrosc´ opica de espalhamento σ

. Assim, a equa¸c˜ ao (2.13) ser´ a escrita na forma geral podendo representar problemas multidimensionais, como

Ω.∇Ψ(r, Ω) + σ

Ψ(r, Ω) = σ

Z

Ω

Ψ(r, Ω

)dΩ

+ Q. (2.14)

Dessa forma chegamos a equa¸c˜ ao do transporte que descreve um pro-

blema multidimensional em geometria cartesiana, com um ´ unico grupo energ´ etico e

espalhamento isotr´ opico, como descrito em Duderstadt [17]

µ ∂

∂x Ψ(x, y, Ω) + η ∂

∂y Ψ(x, y, Ω) + σ

Ψ(x, y, Ω) = σ

Z

Ω

Ψ(x, y, Ω

)dΩ

+ Q. (2.15) Agora tendo em mente todas as principais caracter´ısticas que definem e descrevem a equa¸c˜ ao linearizada de Boltzman, podemos identificar na Figura (2.2), alguns destes elementos na representa¸c˜ ao do espa¸co de intera¸c˜ ao das part´ıculas.

Figura 2.2: Representa¸c˜ ao do meio de intera¸c˜ ao da part´ıcula.

Partiremos desta equa¸c˜ ao e trabalharemos em problemas baseados no dom´ınio R, delimitado pelo retˆ angulo [a

, a

]×[b

, b

], com fluxos angulares Ψ(x, y, Ω), nas dire¸c˜ oes incidentes conhecidos e representados pelas condi¸c˜ oes de contorno CE, CD, CI e CS representados na Figura 2.3.

teremos condi¸c˜ oes de contorno sendo os fluxos angulares incidentes, tais

que

Figura 2.3: Problema em geometria cartesiana, em uma c´ elula [a

, a

] × [b

, b

].

Ψ(x, b

, Ω

) = CI, (2.16)

Ψ(x, b

, Ω

) = CS, (2.17)

Ψ(a

, y, Ω

) = CE, (2.18)

Ψ(a

, y, Ω

) = CD, (2.19)

sendo Ω

a representa¸c˜ ao das respectivas dire¸c˜ oes incidentes.

As quantidades de interesse avaliadas neste trabalho correspondem ao

fluxo escalar de nˆ eutrons em cada uma das ordenadas, e o fluxo escalar de nˆ eutrons

bidimensional. Ser˜ ao feitas compara¸c˜ oes e avalia¸c˜ ao do fenˆ omeno com diferentes

valores de espalhamento e pontos de quadratura.

2.2 Discretiza¸ c˜ ao da vari´ avel angular e quadratura S _N

O desenvolvimento da formula¸c˜ ao de uma solu¸c˜ ao para a classe de pro- blemas propostos neste trabalho, se utilizar´ a de uma vers˜ ao do m´ etodo de ordenadas discretas anal´ıtico (m´ etodo ADO).

Assim, por meio de uma quadratura bidimensional aplicada a vari´ avel angular da equa¸c˜ ao de transporte, utilizaremos um conjunto de dire¸c˜ oes discretas de- finida por uma quadratura num´ erica (onde aproximamos o termo integral da equa¸c˜ ao por um somat´ orio) relacionando as dire¸c˜ oes discretas Ω Ω Ω

= (µ

, η

) aos pesos ω

, de forma que

Z

Ω

Ψ(r, Ω

)dΩ

≈

M

X

k=1

w

Ψ(r, Ω

), (2.20)

onde M ´ e o total de dire¸c˜ oes utilizadas na discretiza¸c˜ ao.

Aqui optou-se pela a Quadratura Sim´ etrica de N´ıvel (tamb´ em chamada de Quadratura S

) [21, 25], embora a escolha da quadratura possa ser arbitr´ aria. So- bre a quadratura S

, podemos citar como caracter´ısticas, a invariˆ ancia das dire¸c˜ oes sob qualquer rota¸c˜ ao de

em torno dos eixos µ, η, ξ [21] e, segundo Kock e Becker [20], a precis˜ ao desta quadratura depender´ a do n´ umero de dire¸c˜ oes utilizadas, dos pesos escolhidos e da rela¸c˜ ao entre eles.

As ordenadas discretas da Quadratura S

totalizam M = N (N + 2)

dire¸c˜ oes para o sistema tridimensional e M =

para o caso bidimensional. Na

Figura (2.4) podemos ver como as ordenadas da quadratura S

s˜ ao dispostas em

n´ıveis.

Figura 2.4: Exemplo das dire¸c˜ oes de espalhamento discretizadas ao se usar N = 8, nos sistema tridimensional ”a)”e bidimensional ”b)”.

2.3 Equa¸ c˜ ao do transporte em ordenadas discretas

A t´ ecnica de aproxima¸c˜ ao do termo integral de espalhamento por uma quadratura num´ erica ´ e chamada de m´ etodo de ordenadas discretas. Este m´ etodo foi introduzido por Wick [40] e posteriormente utilizado por Chandrasekhar [13] na resolu¸c˜ ao de problemas de transporte de nˆ eutrons.”

Neste trabalho, utilizaremos o m´ etodo de ordenadas discretas devido a sua versatilidade e precis˜ ao para solucionar problemas de transporte unidimensi- onais e multidimensionais. Assim, aplicando a aproxima¸c˜ ao descrita em (2.20) na equa¸c˜ ao (2.15), obteremos a vers˜ ao em ordenadas discretas da equa¸c˜ ao de transporte bidimensional.

µ

∂

∂x Ψ(x, y, Ω

) + η

∂

∂y Ψ(x, y, Ω

) + σ

Ψ(x, y, Ω

) = σ

4

M

X

k=1

w

Ψ(x, y, Ω

) + Q, (2.21)

onde Ω

= (µ

, η

) representa o conjunto de dire¸c˜ oes discretas, com µ

, η

∈ [−1, 1]

associados aos pesos ω

para i = 1, 2, ..., M e M =

.

Aqui, n´ os usamos a quadratura S

tabelada em Cacuci [12], cujos pesos n˜ ao est˜ ao normalizados. Isto significa que

M

X

k=1

w

= 1. (2.22)

2.4 Formula¸ c˜ ao nodal

Os m´ etodos nodais, destacam-se no tratamento de problemas multidi- mensionais [1, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 37] para problemas S

. Esta classe de m´ etodos, utiliza-se de aproxima¸c˜ oes para os termos fonte e de fuga transversal [8] ao integrar transversalmente , com o objetivo de solucionar analiticamente as equa¸c˜ oes S

. Os m´ etodos nodais se dividem em dois grupos: os polinomiais [1, 37] e os espectronodais [8, 9, 10, 14, 15, 16].

Os m´ etodos nodais polinomiais aproximam tanto o termo fonte de espa- lhamento quanto o de fuga transversal por polinˆ omios de baixa ordem, sendo que a ordem do polinˆ omio identifica o m´ etodo nodal. J´ a na d´ ecada de noventa, surgem os m´ etodos espectronodais em contraste aos m´ etodos polinomiais. Os m´ etodos espec- tronodais aproximam o termo fonte de espalhamento com um tratamento anal´ıtico, ficando apenas o termo de fuga transversal aproximado por polinˆ omios de baixa ordem, trazendo assim um ganho no desempenho computacional.

Obtida a equa¸c˜ ao em ordenadas discretas (2.21), seguiremos os passos

dos m´ etodos espectronodais [8, 10], integrando transversalmente a equa¸c˜ ao (2.21)

nas vari´ aveis espaciais, a fim de converter o problema bidimensional em dois proble-

mas unidimensionais em termos de m´ edias.

Dessa forma, multiplicamos a equa¸c˜ ao (2.21) por

2−b₁)

a integramos em y ∈ [b

, b

], resultando em um sistema de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´ arias envol- vendo os fluxos angulares m´ edios Ψ

(x, Ω

), com dependˆ encia espacial apenas na vari´ avel x

µ

d

dx Ψ

(x, Ω

) + η

(b

− b

) [Ψ(x, b

, Ω

) − Ψ(x, b

, Ω

)] + σ

Ψ

(x, Ω

) = σ

4

M

X

k=1

w

Ψ

(x, Ω

) + Q

(x, Ω

), (2.23) para i = 1, 2, ..., M , onde

Ψ

(x, Ω

) = 1 (b

− b

)

Z

b1

Ψ(r, Ω

)dy, (2.24)

Q

(x, Ω

) = 1 (b

− b

)

Z

b1

Q(r, Ω

)dy. (2.25)

Manipulando a equa¸c˜ ao (2.21) de forma an´ aloga, multiplicamos por

1

(a2−a₁)

e a integramos em x ∈ [a

, a

], resultando em um sistema de equa¸c˜ oes diferen- ciais ordin´ arias envolvendo os fluxos angulares m´ edios Ψ

(y, Ω

), com dependˆ encia espacial apenas na vari´ avel y

η

d

dy Ψ

(y, Ω

) + µ

(a

− a

) [Ψ(a

, y, Ω

) − Ψ(a

, y, Ω

)] + σ

Ψ

(y, Ω

) = σ

4

M

X

k=1

w

Ψ

(y, Ω

) + Q

(y, Ω

), (2.26) para i = 1, 2, ..., M , onde

Ψ

(y, Ω

) = 1 (a

− a

)

Z

a1

Ψ(r, Ω

)dx, (2.27)

Q

(y, Ω

) = 1 (a

− a

)

Z

a1

Q(r, Ω

)dx. (2.28)

Notamos que,, devido a integra¸c˜ ao da equa¸c˜ ao (2.21), surgem os fluxos angulares relacionados ` as fronteiras, equa¸c˜ oes (2.23) e (2.26), os quais s˜ ao incorpo- rados a fonte externa de nossos problemas nodais.

Assim manipulamos as equa¸c˜ oes (2.23) e (2.26) e reescrevemos os ter- mos fonte como

Q ˜

(x, Ω

) = Q

(x, Ω

) − η

(b

− b

) [Ψ(x, b

, Ω

) − Ψ(x, b

, Ω

)] , (2.29)

Q ˜

(y, Ω

) = Q

(y, Ω

) − µ

(a

− a

) [Ψ(a

, y, Ω

) − Ψ(a

, y, Ω

)] . (2.30) ,

Dessa forma, os problemas nodais resultantes s˜ ao

µ

d

dx Ψ

(x, Ω

) + σ

Ψ

(x, Ω

) = σ

4

M

X

k=1

w

Ψ

(x, Ω

) + ˜ Q

(x, Ω

), (2.31)

η

d

dy Ψ

(y, Ω

) + σ

Ψ

(y, Ω

) = σ

4

M

X

k=1

w

Ψ

(y, Ω

) + ˜ Q

(y, Ω

), (2.32) para i = 1, 2, ..., M .

Vale lembrar que estes termos da fronteira s˜ ao conhecidos apenas nas

dire¸c˜ oes incidentes, fazendo com que tenhamos mais inc´ ognitas do que equa¸c˜ oes em

nosso sistema, o que gerar´ a a necessidade da utiliza¸c˜ ao de equa¸c˜ oes auxiliares, como veremos mais adiante na se¸c˜ ao 5.1.

E tamb´ ´ em importante salientar, que diferente de outros trabalhos ba- seados no m´ etodo Anal´ıtico de Ordenadas Discretas (ADO) [25, 26], a formula¸c˜ ao aqui proposta n˜ ao faz o ordenamento espec´ıfico das dire¸c˜ oes para os problemas em cada uma das variaveis espaciais. O resultado disso s˜ ao express˜ oes mais simples, de f´ acil implementa¸c˜ ao, e ainda mant´ em o baixo custo computacional.

2.5 M´ ultiplas regi˜ oes

Afim de se trabalhar com problemas mais complexos, estendemos a ideia inicial, simplesmente subdividindo o dom´ınio em m´ ultiplas regi˜ oes retangulares r, definidas como x ∈ [a

, a

] e y ∈ [b

, b

], onde m e n correspondem aos ´ındices das subdivis˜ oes e H e K s˜ ao as quantidades de divis˜ oes em cada eixo, conforme a representa¸c˜ ao vista na Figura 2.5. Assim cada regi˜ ao pode assumir caracter´ısticas f´ısicas pr´ oprias e distintas de regi˜ ao para regi˜ ao. Dessa forma, teremos um sistema de equa¸c˜ oes para cada regi˜ ao, que ser´ a apresentado na se¸c˜ ao 5.2.

Ao aplicarmos a proposta apresentada para equa¸c˜ ao do transporte for- mulada em ordenadas discretas, as equa¸c˜ oes (2.29) a (2.32) passam a ser denotadas por

Q ˜

(x, Ω

) = Q

(x, Ω

) − η

(b

− b

) [Ψ

(x, b

, Ω

) − Ψ

(x, b

, Ω

)] , (2.33)

Q ˜

(y, Ω

) = Q

(y, Ω

) − µ

(a

− a

) [Ψ

(a

, y, Ω

) − Ψ

(a

, y, Ω

)] , (2.34)

Figura 2.5: Geometria do problema observado.

µ

d

dx Ψ

(x, Ω

) + σ

Ψ

(x, Ω

) = σ

4

M

X

k=1

w

Ψ

(x, Ω

) + ˜ Q

(x, Ω

), (2.35)

η

d

dy Ψ

(y, Ω

) + σ

Ψ

(y, Ω

) = σ

4

M

X

k=1

w

Ψ

(y, Ω

) + ˜ Q

(y, Ω

), (2.36) para i = 1, 2, ..., M , onde o ´ındice r passa a denotar a c´ elula [a

, a

] × [b

, b

].

Neste ponto, passaremos a olhar para as condi¸c˜ oes de contorno onde, de acordo com a Figura 2.5, temos os fluxos angulares incidentes

Ψ

(x, b

, Ω

) = CI, (2.37)

Ψ

(x, b

, Ω

) = CS, (2.38)

Ψ

(a

, y, Ω

) = CE, (2.39)

Ψ

(a

, y, Ω

) = CD, (2.40)

sendo Ω

a representa¸c˜ ao das respectivas dire¸c˜ oes incidentes e o ´ındice r

se refere as regi˜ oes que comp˜ oem o per´ımetro do dom´ınio.

A partir desta nova formula¸c˜ ao, poderemos sentir a falta algumas (ou todas) condi¸c˜ oes de contorno referentes as regi˜ oes r que n˜ ao se encontram no per´ımetro do dom´ınio. Nestes casos, usaremos o que denominamos de condi¸c˜ oes de continui- dade, Figura 2.6, e ser˜ ao tratadas pelas seguintes express˜ oes,

CD

= CE

, (2.41)

CS

= CI

, (2.42)

Figura 2.6: Representa¸c˜ ao das interfaces entre regi˜ oes.

3 SOLUC ¸ ˜ AO HOMOGˆ ENEA PARA OS PROBLEMAS NODAIS

Neste trabalho, aplicaremos uma varia¸c˜ ao do m´ etodo Anal´ıtico de Or- denadas Discretas (ADO), proposto por Barichello e Siewert [6].Este m´ etodo foi inicialmente proposto para o tratamento de problemas unidimensionais e, mais re- centemente, tem sido utilizado para fenˆ omenos multidimensionais em associa¸c˜ ao aos m´ etodos nodais. O m´ etodo ADO tem ganho destaque na literatura principalmente por tratar as vari´ aveis espaciais de forma anal´ıtica, fornecendo express˜ oes explicitas para as solu¸c˜ oes [5, 6, 7, 19, 30, 31, 32], o que o torna muito eficiente em termos de custo computacional.

3.1 Problema nodal integrado em y

Para resolver a parte homogˆ enea da equa¸c˜ ao (2.35), seguimos a for- mula¸c˜ ao ADO, descrita em [8, 10], onde propomos que a solu¸c˜ ao seja da forma

Ψ

(x, Ω

) = Φ

(ν

, Ω

)e

, (3.1) para i = 1, 2, ..., M , onde as constantes de separa¸c˜ ao ν

est˜ ao associadas ` as auto- fun¸c˜ oes Φ

(ν

, Ω

) e r representa a c´ elula [a

, a

] × [b

, b

].

Substituimos a equa¸c˜ ao (3.1) na vers˜ ao homogˆ enea da equa¸c˜ ao (2.35), resultando no sistema alg´ ebrico, definido por

1

ν

Φ

(ν

, Ω

) = σ

µ

Φ

(ν

, Ω

) − σ

4µ

M

X

k=1

ω

Φ

(ν

, Ω

), (3.2)

para i = 1, 2, ..., M , que pode ser expresso pela forma matricial como

λ

Φ Φ Φ

= [ D D D

− A A A

]Φ Φ Φ

, (3.3) com

λ

= 1 ν

, (3.4)

onde as matrizes da equa¸c˜ ao (3.3), s˜ ao definidas por

D D D

= diag

σ

µ

, σ

µ

, ..., σ

µ

(3.5) e

A A A

(i, k) = σ

ω

4µ

, (3.6)

para i = 1, 2, ..., M e k = 1, 2, ..., M .

Resolvendo o problema de autovalores, obtemos os pares {λ

, Φ Φ Φ

}, para j = 1, 2, ..., M . Atrav´ es da equa¸c˜ ao (3.4), determinamos as constantes de se- para¸c˜ ao necess´ arias (ν

). Contudo, durante o processo, verificamos que estas ocor- rem aos pares, {±ν

}, permitindo-nos que a forma expl´ıcita da solu¸c˜ ao homogˆ enea da equa¸c˜ ao (2.35) seja escrita na forma

Ψ

(x, Ω

) =

M 2

X

j=1

A

Φ

(ν

, Ω

) e

(am+x)

νr,j

+ A

2

Φ

ν

2

, Ω

e

(am+1−x) νr,j

,(3.7)

para i = 1, 2, ..., M , onde A

s˜ ao constantes a serem determinadas.

3.2 Problema nodal integrado em x

De forma equivalente, para resolver a parte homogˆ enea da equa¸c˜ ao (2.36), seguimos a formula¸c˜ ao proposta e seguindo os mesmos passos descritos para o problema em y, no qual obtemos outro sistema matricial similar ao representado pela equa¸c˜ ao (3.3).

Assim, vamos propˆ or novamente uma solu¸c˜ ao na forma

Ψ

(y, Ω

) = Φ

(γ

, Ω

)e

, (3.8) para i = 1, 2, ..., M , onde as constantes de separa¸c˜ ao γ

est˜ ao associadas ` as auto- fun¸c˜ oes Φ

(γ

, Ω

).

Substituindo a equa¸c˜ ao (3.8) na vers˜ ao homogˆ enea da equa¸c˜ ao (2.36), obt´ em-se um sistema alg´ ebrico, na forma

1 γ

Φ

(γ

, Ω

) = σ

η

Φ

(γ

, Ω

) − σ

4η

M

X

k=1

ω

Φ

(γ

, Ω

), (3.9) para i = 1, 2, ..., M , que pode ser expresso na forma matricial como

λ

Φ Φ Φ

= [D D D

− A A A

]Φ

, (3.10) com

λ

= 1

γ

, (3.11)

onde as matrizes da equa¸c˜ ao (3.10), s˜ ao definidas por

D

D D

= diag

σ

η

,

σ

η

, ...,

σ

η

(3.12)

e

A A A

(i, k) = σ

ω

4η

, (3.13)

para i = 1, 2, ..., M e k = 1, 2, ..., M .

Obtidos os pares {λ

, Φ Φ Φ

}, para j = 1, 2, ..., M , utilizamos a equa¸c˜ ao (3.11) para determinarmos as constantes de separa¸c˜ ao γ

, que tamb´ em ocorrem aos pares, {±γ

}.

Assim a forma expl´ıcita da solu¸c˜ ao homogˆ enea da equa¸c˜ ao (2.36) ´ e expressa por

Ψ

(y, Ω

) =

M 2

X

j=1

B

Φ

(γ

, Ω

) e

(bn+y)

γr,j

+ B

Φ

γ

, Ω

e

(bn+1−y) γr,j

(3.14) ,

para i = 1, 2, ..., M .

Devemos observar que tanto os coeficientes A

quanto os B

, ainda

devem ser determinados como veremos na se¸c˜ ao 5.2.