Solu¸c˜oes do Livro de ´algebra, Arnaldo Garcia e Yves.

(1)

Yves.

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

rodrigo.uff.math@gmail.com

‡

(2)

(3)

1 Solu ¸c ˜oes 3

1.1 Cap´ıtulo 5: Teoria b´asica de grupos . . . 3

1.1.1 Se¸c˜ao 2 . . . 3

1.1.2 Se¸c˜ao 3 . . . 5

1.1.3 Se¸c˜ao 4 . . . 6

1.1.4 Se¸c˜ao 5 . . . 6

1.1.5 Se¸c˜ao 6 . . . 6

1.1.6 Quest˜oes do fim do cap´ıtulo . . . 7

1.1.7 Se¸c˜ao 6 . . . 16

1.1.8 1.2-Quest˜ao 1 . . . 16

1.2 Cap´ıtulo 6-Estudo de um grupo via Representa¸cões por permuta¸cões . 17 1.2.1 Questões do fim do cap´ıtulo . . . 17

1.2.2 Quest˜ao 1 . . . 17

3

(4)

(5)

Solu ¸c ˜ oes

1.1 Cap´ıtulo 5: Teoria b ´asica de grupos

1.1.1 Se ¸c ˜ ao 2

2.6-Quest ˜ao 1

b

Propriedade 1. Seja S ⊂ G. Se A < G, S ⊂ A ent˜ao < S >⊂ A. < S > ´e o menor subgrupo de G contendo S.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como S⊂ A e A < G ent˜ao qualquer produto de elementos de S ou de inversos pertence a A pelo fato dele ser subgrupo.

b

Propriedade 2. Seja B a fam´ılia de ´ındices k de todos subgrupos A_k que cont´em S ent˜ao

< S >= \

k∈B

A_k.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vale que S ⊂ A_k da´ı < S >⊂ A_k , para qualquer k pois A_k < G, ent˜ao < S >⊂ \

k∈B

A_k, da mesma maneira < S > ´e subgrupo que cont´em S, logo < S >= A_k para algum k, disso segue que \

k∈B

A_k ⊂< S >, das duas inclus˜oes 5

(6)

segue a igualdade

< S >= \

k∈B

A_k.

2.14-Quest ˜ao 3

b

Propriedade 3. Um elemento a∈Z_n ´e invert´ıvel ⇔ mdc(a, n) =1.

ê Demonstra ¸c ão. ⇒). Se a∈Zn é invert´ıvel então existe b∈Zn tal queab =1, da´ı a.b ≡1 mod n⇒ n|ab−1⇒ tn =ab−1 para algum t ∈Z, (−t)n+ab =1 da´ı mdc(a, n) =1.

⇐). Se mdc(a, n) =1, ent˜ao existem x, y ∈ Z tais que ax+ny =1, olhando em zn, ax=1 portanto a ´e invert´ıvel.

b

Propriedade 4. m gera Z_n ⇔ m ´e invert´ıvel em Z_n. ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒). Se m gera Z_n ent˜ao existe n∈N tal que n.m =1, portanto m ´e invert´ıvel.

⇐). Se m é invert´ıvel então mdc(m, n) = 1 da´ı existem x₀, y₀ ∈ Z tais que x₀m+y₀n=1, sendo t um elemento arbitrário de Z tem-se

tx₀m+ty₀n=t

olhando sobre a congruˆencia mod n tem-se (tx₀)m =t, portanto m gera Z_n.

2.15-Quest ˜ao 4

b

Propriedade 5. a6=e possui ordem 2 ⇔ a=a⁻¹. ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒).

Se a tem ordem 2 então a² =e , isto é a.a=e logo a é inverso de si mesmo por unicidade do inverso.

⇐)

Se a=a⁻¹ ent˜ao multiplicando por a tem-se a² =e logo a possui ordem 2.

(7)

b

Propriedade 6. Se O(a) =mn ent˜ao O(a^m) =n.

ê Demonstra ¸c ão. A ordem de a^m é o menor valor natural s, tal que a^ms =e, suponha que seja s < n então ms < mn e a ordem de a seria ms, absurdo o que contraria a minimalidade de mn. Logo O(a^m) =n.

b

Propriedade 7. Vale que O(a) =O(a⁻¹).

ê Demonstra ¸c ão. Suponha que O(a) =m entãoa^m =e o que implica a^−m =e, portanto m é um candidato a ordem de a⁻¹, suponha que ordem fosse n < m então a⁻ⁿ =e o que implica aⁿ =e contrariando a minimalidade de m, portanto a ordem de a⁻¹ é m.

b

Propriedade 8. Se x² =e para todo x em G ent˜ao G ´e abeliano.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos (xy)(xy) =e multiplicando por x a esquerda yxy=x multiplicando por y a direita yx=xy logo abeliano.

$

Corol ário 1. Se O(a) =2 ∀ a6=e∈G então G é abeliano.

2.16-Quest ˜ao 5

b

Propriedade 9. Se G é abeliano então T(G) é um subgrupo de G chamado de subgrupo de tor¸cão de G.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

• O conjunto n˜ao ´e vazio pois e∈T(G), e possui ordem 1.

• Dados a, b ∈ G com ordens finitas, digamos n e m, ent˜ao a.b possui ordem finita , pois (a.b)^nm =a^nmb^nm =e.

• Se a possui ordem finita ent˜ao a⁻¹ tem a mesma ordem como j´a mostramos.

Conclu´ımos ent˜ao que T(G)< G.

(8)

Z

^Exemplo ^1. ^T^(C^{\ {0}}⁾ ´e o conjunto das ra´ızes da unidade.

1.1.2 Se ¸c ˜ ao 3

3.8-Quest ˜ao 1

$

Corol ´ario 2. Para qualquer a∈Z e p primo vale

a^p ≡a mod p.

Essa identidade vale se a = 0 se a 6= 0 ent˜ao usamos que a^p−1 ≡ 1 mod p e multiplicamos por a de ambos lados.

1.1.3 Se ¸c ˜ ao 4

b

Propriedade 10. Sejam G um grupo, ACG, BCC < G ent˜ao ABCAC.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como ACG e BCG ent˜ao ABCG e em especial vale que AB=BA.

• De ACG temos ∀ g∈G e a∈A tem-se gag⁻¹∈A.

• De BCC segue ∀ c∈C e b∈B temos cbc⁻¹∈B.

Queremos mostrar que ABCAC, isto ´e, ∀ ac∈AC e a⁰b⁰ ∈AB tem-se

aca⁰b⁰(ac)⁻¹∈AB, isto ´e ,aca⁰b⁰c⁻¹a⁻¹∈AB por´em podemos escrever

a(ca⁰c⁻¹)

| {z }

a₁∈A

(cb⁰c⁻¹)

| {z }

b₁∈B

a⁻¹ =aa₁b₁a⁻¹ ∈AB

a ´ultima passagem ´e verdadeira pois ABCG.

(9)

1.1.4 Se ¸c ˜ ao 5

Quest ˜ao 1

b

Propriedade 11. Se H é o único subgrupo de G de ordem n então HlG.

Temos que mostrar que para qualquerfautomorfismo deGemGtem-sef(H)⊂H.

f(H) é subgrupo de G , pois f é homomorfismo e H < G, além disso possui n elementos, pois f é fun¸cão bĳetora, disso segue que f(H) =H.

1.1.5 Se ¸c ˜ ao 6

Quest ˜ao 1

b

Propriedade 12. Todo grupo quociente de um grupo c´ıclico ´e c´ıclico.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja H < G onde < g >=G ent˜ao < gH >=G/H. Seja xH∈G/H, temos x =g^k para algum k∈Z da´ı

(gH)^k=g^kH=xH ent˜ao gH gera G/H.

1.1.6 Quest ˜ oes do fim do cap´ıtulo

Quest ˜ao 1

b

Propriedade 13. Seja G = {e, g₁, g₂,· · · , g_n} um grupo abeliano de ordem n+1. Se G possui um ´unico elemento de ordem 2 ent˜ao

Yn k=1

g_k =g₁.

ê Demonstra ¸c ão. x 6= e é de ordem 2 ⇔ x² = e. Além de g₁ não há outro elemento de ordem 2 então o inverso de cada g_k deve pertencer ao conjunto {g_s, s6=

(10)

k,1, s ∈ I_n} portanto Yn

k=2

g_k = e,pois cada elemento ´e multiplicado pelo seu inverso,

da´ı _n

Y

k=1

g_k =g₁.

b

Propriedade 14. Em z_p com p primo, os únicos números que são inversos de si mesmos são p−1 e 1 .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja x² =1, ent˜ao (x−1)(x+1) = 0, o que implica x =1 ou x= −1≡p−1.

$

Corol ´ario 3. Em Z_p com p >2 primo, o ´unico elemento que possui ordem 2

´e p−1, j´a vimos que (p−1)(p−1) =1 o elemento 1 possui ordem 1.

b

Propriedade 15 (Teorema de Wilson). p ´e primo ⇔

(p−1)!≡−1 mod p.

ê Demonstra ¸c ˜ao. ⇒). Para p=2 a propriedade vale, suponha ent˜ao p >2, p primo. Tome A={2≤k≤p−2, k∈N}, vale

Yp−2 k=1

k≡1 mod p

pois para cada k∈A existe k⁰ 6=k∈A tal que k.k⁰ ≡1 mod p, da´ı Yp−1

k=1

k≡p−1≡−1 mod p ent˜ao

(p−1)!≡−1 mod p.

⇐).

Se n = st é composto então vale (n−1)! ≡ 0 mod n pois s e t aparecem como fatores (se são distintos), caso sejam fatores iguais , inicialmente para n =4 temos

(11)

3! =3.2=6≡2 mod 4 e paras >2 vales²−1>2s logo (s²−1)! ≡0 mod s², pois se 2s aparecem como fator, em qualquer caso se n ´e composto n˜ao vale (n−1)!≡−1 mod n.

Quest ˜ao 2

Z

^Exemplo ^2. ^Z²⁴ ^possui ^ϕ(²⁴^{) =}^ϕ(⁸^.³^{) =}^ϕ(⁸^)ϕ(³^{) = (}²³⁻²²⁾⁽³⁻¹^{) =}⁴^.²⁼

8 elementos, que s˜ao os elementos n, tais que mdc(n,21) =1, 0< n <24, n∈N. Sendo

1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ,23

Todos elementos diferentes da identidade tem ordem 2, pois

5² =25=24+1, 7² =49=2.24+1, 11² =121 =5.24+1, 13² =169=7.24+1, 17² =289=12.24+1, 19² =361=15.24+1 e 23 sabemos que tem ordem 2.

Quest ˜ao 4

b

Propriedade 16. Se |G| = p² ent˜ao G possui no m´aximo p+1 subgrupos com p elementos.

ê Demonstra ¸c ão. Vamos considerar elementos distintos da identidade e do grupo. Dado um a qualquer, vale que | < a > | = p ou p² se | < a > | = p dado b se b∈< a >, então < b >⊂< a >, logo não pode valer | < b > | =p², como ambos conjuntos tem p elementos segue que < b >=< a >, logo se subgrupos de ordem p tem um elemento em comum eles são iguais nesse caso. Isso implica que podemos ter no máximo p+1 subgrupos de ordem p, pois caso fosse uma quantidade maior, algum dos subgrupos deveria ter elemento em comum logo seriam iguais.

Z

Êxemplo ^3. ^z²^×^z² com adi¸cão possui 3 subgrupos de ordem 2, que são

<(0,1)>={(0,1), (0,0)}

(12)

<(1,0)>={(1,0), (0,0)}

<(1,1)>={(1,1), (0,0)}.

Z

^Exemplo ^4. ^Z⁴ com adi¸c˜ao possui os seguintes subgrupos {0}=<0>

{1,2,3,0}=<1>

<2 >={2,0}

<3>={3,2,1,0}

não chega a possuir 3 subgrupos de ordem 2, pois se um grupo contém 3 gera o grupo, se contém 1 também a única possibilidade do subgrupo ter ordem 2 é conter 2 e 0 apenas.

Quest ˜ao 5

b

Propriedade 17. Se H e K s˜ao subgrupos de G ent˜ao vale (G:H∩K)≤(G: H)(G:K).

ê Demonstra ¸c ão. Seja A = {g(H∩K) | g ∈ G} que é o conjunto das classes laterais da interse¸cão e C ={gH | g ∈G}×{gK |g ∈ G} que é o produto cartesiano das classes laterais de H e K respectivamente, vamos definir uma fun¸cão f: A→ C que seja injetora, antes observamos que

g(H∩K)H=H g(H∩K)K=K

pois H∩K⊂K e H∩K⊂H. Com isso podemos definir a fun¸c˜ao com f(g(H∩K)) = (gH, gK), ela ´e injetora, pois se

f(g(H∩K)) = (gH, gK) =f(g⁰(H∩K)) = (g⁰H, g⁰K)⇒gH=g⁰HegK=g⁰K isso implica queg⁻¹g⁰ ∈He g⁻¹g⁰ ∈Kpor issog⁻¹g⁰ ∈H∩Ke da´ıg(H∩K) =g⁰(H∩K) disso segue

(13)

(G:H∩K)≤(G:H)(G:K).

$

Corol ário 4. Se (G:H) e (G:K) são finitos então (G:H∩K) também é finito nas condi¸cões da propriedade anterior.

Quest ˜ao 6

b

Propriedade 18. Seja G6={e}, tal que seus únicos subgrupos sejam {e} e G. Então G é c´ıclico finito de ordem prima.

ê Demonstra ¸c ão. Tomamos a6=e∈G, < a > é subgrupo de G da´ı < a >=G, pois não pode ser < a >= {e}, pois < a > possui pelo menos dois elementos e

< e > apenas um. Se a² = e então o grupo é finito de ordem prima, se não

< a² >= G =< a >, logo a ∈< a² >, implicando que existe n ∈ Z tal que a²ⁿ = a da´ı a²ⁿ⁻¹ =e, logo o grupo ´e finito. Seja p a ordem do grupo, para todo 0< s < p,

< a^s > gera o grupo e da´ı o(a^s) =o(a) implicando pela identidade o(a^s) = o(a)

mdc(o(a), s)

que mdc(p, s) = 1 da´ı nenhum n ´umero menor que p divide p, implicando que ele ´e primo.

Quest ˜ao 7

b

Propriedade 19. Se |G|=m n∈N tal que mdc(n, m) =1, ent˜ao para todo g∈G, g=xⁿ para algum x∈G.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Como mdc(n, m) = 1 ent˜ao existem x₀, y₀ ∈ Z tais que nx₀+my₀ =1 da´ı

g=g^nx⁰g^my⁰ = (g^x⁰)ⁿ =xⁿ.

(14)

Quest ˜ao 8

b

Propriedade 20. Seja a∈G com o(a)<∞ então o(a^s) = o(a) mdc(o(a), s). ê Demonstra ¸c ão. Sejam s > 0, n = o(a) e m = o(a^s) então m = min{t >

0, t ∈ N | a^st = e}. Sabemos que n|s.m ent˜ao sm = mmc(n, s), usando que mmc(n, s).mdc(n, s) =n.s e a identidade anterior tem-se

m = mmc(n, s)

s = n.s

mdc(n, s) 1

s = n

mdc(n, s) ent˜ao

o(a^s) = o(a) mdc(o(a), s). Quest ˜ao 10

b

Propriedade 21. Sejam N, H < G e HCG, ent˜ao H∩NCN. ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que mostrar que

n(H∩N)n⁻¹⊂H∩N ∀n∈N.

Seja a ∈ H∩N, temos que a ∈ N e como n ∈ N vale nan⁻¹ ∈ N e como vale a ∈ H e todo elemento de n ∈ N implica n ∈ G, por H ser normal em G temos nan⁻¹ ∈ H,como vale nan⁻¹ ∈ H e nan⁻¹ ∈ N vale nan⁻¹ ∈ H∩N de onde segue n(H∩N)n⁻¹ ⊂H∩N de onde (H∩N) ´e normal em N.

Quest ˜ao 11

b

Propriedade 22. Sejam H e K dois subgrupos de um grupo finitoG, tais que

|H|>√

G e |K|>√

G ent˜ao |H∩K|>1. ê Demonstra ¸c ˜ao. Da identidade

|HK|= |H| |K|

|H∩K| se fosse |H∩K|=1 ter´ıamos

|G|≥|HK|=|H||K|>p

|G|√

G=|G|

|G|≥|HK|>|G| o que ´e absurdo, logo deve valer |H∩K|>1.

(15)

Quest ˜ao 12

b

Propriedade 23. Seja f:G₁→G₂ homeomorfismo de grupos ent˜ao

f(G₁⁰)⊂[f(G₁)]⁰. ê Demonstra ¸c ˜ao.

Seja t∈f(G₁⁰) vamos mostrar que t∈[f(G₁)]⁰. Um elemento de f(G₁⁰) ´e da forma

t=f(xyx⁻¹y⁻¹) =f(x)f(y)f(x)⁻¹f(y)⁻¹ que realmente pertence a f(G₁)⁰.

Quest ˜ao 13

b

Propriedade 24. Seja f : G → G com f(x) = x⁻¹. G ´e abeliano ⇔ f ´e morfismo.

⇒). Supondo G abeliano. f(xy) = (xy)⁻¹ =y⁻¹x⁻¹=x⁻¹y⁻¹=f(x)f(y).

⇐). Supondo que f seja morfismo. ∀x, y∈G tem-se f(x⁻¹y⁻¹) =f(x⁻¹)f(y⁻¹) =xy=yx.

$

Corol ário 5. Se ∀ a ∈G a² =e então G é abeliano. a é inverso dele mesmo a=a⁻¹, portanto

(xy)⁻¹ =y⁻¹x⁻¹=yx=xy.

Quest ˜ao 17 e 18 Letra a)

b

Propriedade 25. Sejam a, b ∈ R com a 6= 0. Definindo σ_(a,b) : R → R por

(16)

σ_(a,b)(x) = ax+b para cada x ∈R. Ent˜ao o conjunto G={σ_(a,b), a, b ∈ R, a6=0}

com a opera¸cão de composi¸cão de fun¸cões é um grupo.

ê Demonstra ¸c ão. Primeiro vamos mostrar que a opera¸cão é fechada sobre G, vamos simbolizar (a, b) ao invés de σ_(a,b), temos que

(a, b)◦(a⁰, b⁰)(x) =a(a⁰x+b⁰) +b=a.a⁰x+a.b⁰ +b= (a.a⁰, a.b⁰+b)(x) Escrevemos ent˜ao

(a, b)◦(a⁰, b⁰) = (a.a⁰, a.b⁰+b)

a opera¸cão é fechada, pois como a6=0 e a⁰ 6=0 são reais temos a.a⁰ 6=0 e a.b⁰ +b

´e um n ´umero real.

Existência de elemento neutro . Existe elemento neutro para a opera¸cão (1,0), tal elemento é realmente neutro pois

(a, b)(1,0) = (a.1, a.0+b) = (a, b).

Existˆencia de inverso. Para cada elemento(a, b)existe um inverso(a⁻¹,−b.a⁻¹) tal que (a, b)(a⁻¹,−b.a⁻¹) = (1,0), a propriedade realmente vale , pois

(a, b)(a⁻¹,−b.a⁻¹) = (aa⁻¹, a.(−b).a⁻¹+b) = (1,0).

Associatividade. Segue da associatividade de composi¸cão de fun¸cões. Então temos realmente um grupo .

O grupo ´e n˜ao abeliano pois

(2,3)◦(3,4) = (6,11)6= (3,4)◦(2,3) = (6,13).

O centro de G (conjunto dos elementos que comutam com todos os outros elementos) contém apenas a identidade, pois dado um elemento diferente da identidade (x, y), x 6= 1 e y 6= 0 existe um elemento que não comuta com ele da forma (1, w) com w > 0 se 1−x > 0 (logo w(1−x) > 0) e w < 0 se 1−x < 0 (logo também w(1−x)>0), pois

(x, y)(1, w) = (x, xw+y), (1, w)(x, y) = (x, y+w)

da´ı vale sempre y+w > y+xw pois equivale `a w > xw ⇔w(1−x)>0 que sempre vale pelo que observamos anteriomente

(17)

Letra b)

b

Propriedade 26. Seja H={(1, b), b∈R} ent˜ao H ´e um subgrupo normal em G.

ê Demonstra ¸c ão. Primeiro vamos mostrar que H é um subgrupo de G. Temos que H possui o elemento neutro (1,0), pois basta fazer b = 0 em (1, b). Sendo (1, b) ∈ R seu inverso é (1, b)⁻¹ = (1⁻¹,−b.1⁻¹) = (1,−b) logo como (1, b)⁻¹ é do tipo (1, c) para c real, temos o inverso de cada elemento pertence ao conjunto.

Seja agora (1, b)∈H e (1, c)∈Htemos que (1, b)(1, c) = (1, c+b) como c+b é real temos que o produto é fechado no subgrupo. Assim são satisfeitas todas propriedades de um subgrupo logo H é um subgrupo de G.

Vamos mostrar agora que o subgrupo é normal. Sejam (1, b) ∈ H e (a, c) ∈ G elementos arbitrários, vamos mostrar que (a, c).(1, b).(a, c)⁻¹ ∈ H. Temos que (a, c).(1, b) = (a, a.b+c) e (a, c)⁻¹ = (a⁻¹,−c.a⁻¹), aplicando a opera¸cão (a, a.b+ c)(a⁻¹,−c.a⁻¹) = (1,−c+a.b+c) = (1, a.b)∈H logo o subgrupo é normal.

b

Propriedade 27. G/H é isomorfo ao grupo multiplicativo R∗=R−{0}. ê Demonstra ¸c ão. Seja a aplica¸cão fde G/H em R∗ definida comof(H(a, b)) = a. Vamos mostrar que tal aplica¸cão é uma fun¸cão, isto é, se H(a, b) =H(c, d) então f(H(a, b)) =f(H(c, d)). Se H(a, b) =H(c, d) então existem elementos (1, x),(1, y)∈H tal que (1, x)(a, b) = (a, b+x) = (1, y)(c, d) = (c, d+y) logo a= c. Como a =c em H(a, b) = H(c, d) segue que f(H(a, b)) = f(H(c, d)) = f(a) assim a fun¸cão está bem definida.

Mostraremos agora que tal fun¸c˜ao ´e um homomorfismo.

f(H(a, b)H(c, d)) = f(H(a, b)(c, d)) =f(H(ac, ad+b)) = ac=f(H(a, b))f(H(c, d)).

Olhando para o n úcleo veremos que a fun¸cão é injetiva ker(f) ={B∈G/H|f(B) =1}

temos que B =H(a, b) se f(B) = 1 então a =1, logo o único elemento no núcleo é H(1, b) =H pois (1, b)∈H.

A fun¸cão é sobrejetora também pois, dado b 6=0 ∈ R temos que existe x ∈ G/H da forma H(b, c) tal que fH(b, c) =b.

(18)

Quest ˜ao 27

F Teorema 1. Seja o conjunto d|n ={d > 0 ; d|n, n∈ N}, como n é natural o n úmero de divisores de n é finito, logo podemos tomar a seguinte soma sobre o conjunto finito

g(n) = X

k∈d|n

ϕ(k).

Vamos mostrar que

X

k∈d|n

ϕ(k) =n.

ê Demonstra ¸c ão. Como g(n) é multiplicativa, por ϕ(k)ser multiplicativa, basta sabermos qual o resultado de g(p^s) sendo p um n úmero primo e s um natural, pois todo n úmero n > 0 natural pode ser escrito como produto de fatores primos n = Ym

k=1

p^s_k^k e por propriedade de fun¸c˜ao multiplicativa g(n) = Ym

k=1

g(p^s_k^k), pois obviamente os n úmeros primos distintos são primos entre si. Seja então n=p^s, os divisores de n são os números da forma p^k com k variando de 0 até s, então nosso conjunto d|n

é d|n = {p^k,0 ≤ k ≤ s}, tomamos então a seguinte enumera¸cão dos elementos do conjunto d|n f(k) =p^k (0≤k≤s) logo a soma se escreve

X

k∈d|p^s

ϕ(k) = Xs k=0

ϕ(p^k) =ϕ(p⁰) + Xs

k=1

ϕ(p^k) =1+ Xs

k=1

p^k−p^k−1 =1+ Xs

k=1

∆p^k−1=

=1+p^k−1

s+1 1

=1+p^s −1=p^s.

logo X

k∈d|p^s

ϕ(k) =p^s

sendo n= Ym

k=1

p^s_k^k, aplicando a propriedade de fun¸c˜ao multiplicativa

g(n) = Ym

k=1

g(p^s_k^k) = Ym

k=1

p^s_k^k

assim em geral X

k∈d|n

ϕ(k) =n.

(19)

Podemos tamb´em demonstrar por indu¸c˜ao sobre o expoente de n=p^s, para s=0 temos n=1 e n tendo assim 1 divisor apenas, logo a soma

X

k∈d|1

ϕ(k) =ϕ(1) =1. Supondo v´alido para p^s

X

k∈d|p^s

ϕ(k) =p^s vamos provar para p^s+1

X

k∈d|p^s+1

ϕ(k) =p^s+1

Como os divisores de p^s+¹ são d|p^s+¹ = d|p^s ∪{p^s+¹} (os divisores de p^s+¹ são os divisores de p^s mais o termo p^s+1), temos uma parti¸cão do conjunto logo

X

k∈d|p^s+1

ϕ(k) = X

k∈d|p^s∪{p^s+1}

ϕ(k) = X

k∈d|p^s

ϕ(k)+ X

k∈{p^s+1}

ϕ(k) =p^s+ϕ(p^s+1) =p^s+p^s+1−p^s =p^s+1 .

Quest ˜ao 28

b

Propriedade 28. Seja n= Ym

k=1

p^a_k^k, ent˜ao vale ϕ(n) =n Ym

k=1

(1− 1 p_k).

ê Demonstra ¸c ão. Usaremos que a fun¸cão ϕ é multiplicativa e a propriedade de aplica¸cão em primos

ϕ(n) = Ym

k=1

ϕ(p^a_k^k) = Ym

k=1

(p^a_k^k −p^a_k^k⁻¹) = Ym

k=1

p^a_k^k(1− 1 p_k) =n

Ym k=1

(1− 1 p_k).

1.1.7 Se ¸c ˜ ao 6

1.1.8 1.2-Quest ˜ ao 1

b

Propriedade 29. Sejam HCG e a fun¸cão f:G→ P(H) com f_g(h) = ghg⁻¹ então f é uma representa¸cão de G no grupo das permuta¸cões de H.

(20)

• Vamos mostrar que f_g : H → H é bĳe¸cão. Ela é injetora pois ghg⁻¹ = gtg⁻¹ segue por lei do corte que h=t, além disso ela é sobrejetiva, pois dado t ∈ H queremos achar h ∈ H tal que ghg⁻¹ = t, da´ı h = g⁻¹tg e h dessa forma realmente pertence a H pois H é subgrupo normal de G.

• Falta mostrar que f ´e homomorfismo

(f_t◦f_g)(x) =f_t(gxg⁻¹) =f(tgxg⁻¹t⁻¹) =f(tgx(tg)⁻¹) =f_tg(x).

1.2 Cap´ıtulo 6-Estudo de um grupo via Representa ¸c ˜ oes por permuta ¸c ˜ oes

1.2.1 Quest ˜ oes do fim do cap´ıtulo 1.2.2 Quest ˜ ao 1

b

Propriedade 30. Sejampprimo, Gn˜ao abeliano com |G|=p³ ent˜ao|Z(G)|= p e

G/Z(G)wZp×Zp. Al´em disso G⁰ =Z(G).

ê Demonstra ¸c ão. Como G é p-grupo então seu centro é não trivial, |Z(G)| ∈

{p, p², p³}. Se G/Z(G) é c´ıclico então G é abeliano, então não podemos ter |Z(G)|

valendo p² ou p³, logo |Z(G)| = p. Portanto |G/Z(G)| = p², os únicos grupos de ordemp² a menos de isomorfismo sãoZ_p2 e z_p×z_p como G/Z(G) é não c´ıclico então devemos ter G/Z(G) isomorfo a z_p×z_p.

Como G/Z(G) é abeliano, então G⁰ ⊂ Z(G), G⁰ é não trivial (pois G não é abeliano) e subgrupo de G então segue G⁰ =Z(G).

Usamos o resultado G/N ´e abelianos ⇒ G⁰ ⊂N.

Quest ˜ao 2

(21)

b

Propriedade 31. Seja G um grupo finito com apenas duas classes de conjuga¸c˜ao ent˜ao |G|=2.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos que |G|=X

|C(x)| e |C(x)|= |G|

|N(x)|, como C(e) = {e} ´e uma classe todo outro x 6=e pertence a classe C(x) logo

|G|=1+|C(x)|⇒|G|−1=|C(x)| de |C(x)| = |G|

|N(x)| segue que |G|−1 divide |G|, como s˜ao n´umero primos entre si temos |G|−1=1, |G|=2.

Quest ˜ao 3

Z

Êxemplo ^5. Mostre que se |G|=11²13² então G é abeliano.

Seja G um grupo com|G|=13².11². Temos 13-Sylow e 11-Sylow. n₁₁ ∈{1,13,13²} conclu´ımos que n₁₁ = 1 pois nenhum outro satisfaz n₁₁ ≡ 1 mod 11, da mesma maneira temos que n₁₃ ∈ {1,11,11²} como 11 ≡ −2 mod 13 logo 13² ≡ 4 mod 13 conclu´ımos que n₁₃ =1 . Disso temos que ambos 13-Sylow e 11-Sylow s˜ao normais.

Sejam ent˜ao H o 11-Sylow e K o 11-Sylow. H∩K ´e subgrupo de H e de K logo

|H∩K| | | |H| e |H∩K| | | |K| assim |H∩K| |mdc(13²,11²) =1, disto conclu´ımos que

|H∩K|=1 implicando H∩K={e} e pelo princ´ıpio de contagem

|HK|= |H||K|

|H∩K| =|H||K|=13².11². Disto podemos concluir que HK=G.

Temos também que H e K são abelianos por terem ordem p² (com p primo); e ainda mais, seja y∈G então y=ab com a∈H e b∈K. Considere

ab.a⁻¹b⁻¹ =











|{z}a

∈H

. (b.a⁻¹b⁻¹)

| {z }

∈HPois ´e normal em ^G

∈H

(aba⁻¹)

| {z }

∈KPois ´e normal em ^G . b|{z}⁻¹

∈K

(22)

Logo aba⁻¹b⁻¹∈H∩K={e}, aba⁻¹b⁻¹=e, implicaab =ba. Sejam ent˜ao y=ab e x =a⁰.b⁰, y, x∈G, temos

yx=₍₀₎ aba⁰b⁰ =₍₁₎aa⁰bb⁰ =₍₂₎a⁰ab⁰b=₍₃₎a⁰b⁰ab=xy

onde de (0) para (1) e de (2) para (3) usamos comutatividade dos elementos de K e H e de (1) para (2) usamos comutatividade em K e H, logo o grupo ´e abeliano.

Quest ˜ao 4

b

Propriedade 32. Sejam pprimo , |G|=p^m.b, HCG e S p-Sylow de G ent˜ao H∩S ´e p-sylow de H.

Vale tamb´em que SH/H ´e um p-Sylow de G/H.

ê Demonstra ¸c ão. Temos que H∩S < H e S, pela segunda tem-se |H∩S|=p^s onde s≤m, disso segue também que |H|=p^t.b₁ onde t≥ s e mdc(b₁, p^t) =1 pois a ordem do subgrupo tem que dividir a ordem do grupo. Como HCG então SH < G e temos por contagem

|SH|= |S||H|

|H∩S| = p^m.p^t.b₁ p^s como SH < G ent˜ao |SH| divide p^m.b=|G|

p^m.b.p^s

p^m.p^t.b₁ = b.p^s p^t.b₁

da´ı p^t divide p^s o que implica s ≥ t, juntando com a condi¸c˜ao t ≥ s tem-se t = s, logo H∩S ´e p-Sylow de H.

Vale que SH/H < G/H pois SH < G, usando os fatos obtidos acima temos

|SH/H|=p^m−s e|G/H|=p^m−s.b logo SH/H ´e p-Sylow de G/H.

Quest ˜ao 6

b

Propriedade 33. Qualquer grupo abeliano G ´e isomorfo produto direto de seus p-Sylows.

(23)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja G com |G| =

Yn k=1

pâ_k^k, produto de primos distintos e ak ∈ N. Seja Pk o pk- Sylow, P_k é único pois o grupo é abeliano e da´ı o conjugado de P_k é ele mesmo, sendo também normal.

P_k ⊂ Yn

k=1

P_k onde esse último é subgrupo pois cadaP_kCG, além disso taisp-Sylows tem e como único elemento em comum pois suas ordem tem valores primos entre si.

Por aplica¸c˜ao sucessiva da propriedade |HK|= |H||K|

|H∩K| tem-se | Yn

k=1

P_k|= Yn

k=1

p^a_k^k, logo Yn

k=1

Pk =G.

Com isso temos um isomorfismo natural com o produto direto P₁× · · · ×Pn dado por

f:G=P₁P₂· · ·P_n →P₁× · · · ×P_n com f(a₁· · ·a_n) = (a₁, · · · , a_n) onde a_k∈P_k.

b

Propriedade 34. Se G ´e um grupo abeliano finito de ordem n, ent˜ao para cada d|n, G possui subgrupo de ordem d.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja G=P₁×P_n, vale |G|= Yn

k=1

pâ_k^k onde P_k é o p_k-Sylow de G. Se d divide |G| então d=

Yn k=1

p^b_k^k onde 0 ≤b_k ≤a_k. Como P_k é um P_k-grupo de ordem pâ_k^k ele contém um subgrupo normal N_k de ordem p^b_k^k por teorema de Cauchy . Seja então N=

Yn k=1

N_k como N_kCG, N é subgrupo de G e os fatores não possuem elemento em comum fora a identidade {e} pois estão contidos emp-Sylows disjuntos,

da´ı _n

Y

k=1

p^b_k^k =|N|=d G possui subgrupo de ordem d.

Quest ˜ao 8

(24)

b

Propriedade 35. Sejam p < q dois n ´umeros primos e G um grupo de ordem pq.

G ´e abeliano ⇔ ele possui apenas um p-Sylow.

⇒).

Se G é abeliano então ele possui apenas um p-Sylow pois o conjugado de um p-Sylow é ele mesmo.

⇐).

Suponha que G possua apenas um p-Sylow H, seja K um q-Sylow, n_q ≡1 mod q e n_q ∈{1, p}, n˜ao podemos ter n_q =p pois p < q, da´ı p6≡ 1 mod q, logo o q-Sylow

´e ´unico, sendo portanto normal.

Disso temos que ambosp-Sylow eq-Sylow são normais. Sejam entãoHo p-Sylow e K o q-Sylow. H∩K é subgrupo de H e de K logo |H∩K| | | |H| e |H∩K| | | |K| assim

|H∩K| | mdc(p, q) = 1, disto conclu´ımos que |H∩K| = 1 implicando H∩K = {e} e pelo princ´ıpio de contagem

|HK|= |H||K|

|H∩K| =|H||K|=pq.

Disto podemos concluir que HK=G.

Temos também que H e K são abelianos por terem ordem p . Seja y ∈ G então y=ab com a∈H e b∈K. Considere

ab.a⁻¹b⁻¹ =











|{z}a

∈H

. (b.a⁻¹b⁻¹)

| {z }

∈HPois ´e normal em ^G

∈H

(aba⁻¹)

| {z }

∈KPois ´e normal em ^G . b|{z}⁻¹

∈K

Logo aba⁻¹b⁻¹∈H∩K={e}, aba⁻¹b⁻¹ =e, implica ab=ba. Sejam ent˜ao y=ab e x=a⁰.b⁰, y, x ∈G, temos

yx=(0) aba⁰b⁰ =(1)aa⁰bb⁰ =(2)a⁰ab⁰b=(3)a⁰b⁰ab=xy

onde de (0) para (1) e de (2) para (3) usamos comutatividade dos elementos de K e H e de (1) para (2) usamos comutatividade em K e H, logo o grupo ´e abeliano.

(25)

Quest ˜ao 10

Z

Êxemplo ^6. ^Sejam ^p ê ^q primos ´ımpares, tais que p < q <2p. G um grupo de ordem pⁿq se (p, q)6= (2,3) então Gpossui um subgrupo normal de ordem pⁿ. Temos que n_p ∈{1, q} e n_q ∈{1, p², p³,· · · , pⁿ}, não podemos ter n_q =p pois q > p e da´ı p 6≡ 1 mod q. Não podemos ter n_p = q pois ter´ıamos q ≡ 1 mod p assim p|(q−1) mas p não pode dividir q−1, pois como q é ´ımpar q−1 é par e o primeiro par m últiplo de p é maior que q de 2p > q. Logo temos que n_p =1 e o p-Sylow é normal, possuindo pⁿ elementos.

Z

^Exemplo ^7. ^Se ^G possui ordem 2ⁿ.3 ent˜ao ele possui subgrupo normal de de ordem 2ⁿ ou 2ⁿ⁻¹.

Se n=1 temos um subgrupo de ordem 2¹⁻¹ =1, que ´e o o grupo formado por

{e}, sendo normal em G. Suponha ent˜ao n≥2.

G possui um subgrupo de ordem 2ⁿ e tal subgrupo ´e grande, pois (G:H) =3, 3!<2².3=12≤2ⁿ.3. O n ´ucleo do homomorfismo

T :G→P({aH|a∈G}) := P(C)

´e um subgrupo normal de G e est´a contido em H. Vamos mostrar que |ker(T)| vale 2ⁿ ou 2ⁿ⁻¹.

Vale que |P(C)| = |C|! < |G|, como || {z }f(G)|

|G/(Ker(f))|

≤ |P(C)| então |G/ker(f)| < |G| e da´ı não vale ker(f) ={e}. Como Ker(T)⊂H então a ordem do núcleo está contida no conjunto {2, 2², 2³, · · · , 2ⁿ}. Porém G/ker(T) é isomorfo a

T(G)< P({aH|a∈G})

que tem ordem 6 , logo |G/ker(T)| assume valor 1, 2, 3 ou 6 e portanto |ker(T)| pode ser

{2ⁿ.3, 2ⁿ⁻¹.3, 2ⁿ, 2ⁿ⁻¹}

(26)

tomando a interse¸c˜ao com as outras possibilidades temos que |ker(T)| vale 2ⁿ ou 2ⁿ⁻¹.

Quest ˜ao 11

Z

^Exemplo ^8. ^Se ^G possui ordem 3ⁿ.2² ent˜ao ele possui subgrupo normal de de ordem 3ⁿ ou 3ⁿ⁻¹.

Se n=1 temos um subgrupo de ordem 3¹⁻¹ =1, que ´e o o grupo formado por

{e}, sendo normal em G. Suponha ent˜ao n≥2.

G possui um subgrupo de ordem 2ⁿ e tal subgrupo ´e grande, pois (G:H) =4, 4! <2².3³=36≤3ⁿ.2². O n ´ucleo do homomorfismo

T :G→P({aH|a∈G}) := P(C)

´e um subgrupo normal de G e est´a contido em H. Vamos mostrar que |ker(T)| vale 3ⁿ ou 3ⁿ⁻¹.

Vale que |P(C)| = |C|! < |G|, como || {z }f(G)|

|G/(Ker(f))|

≤ |P(C)| então |G/ker(f)| < |G| e da´ı não vale ker(f) ={e}. Como ker(T)⊂H então a ordem do núcleo está contida no conjunto {3, 3², 3³, · · · , 3ⁿ}. Porém G/ker(T) é isomorfo a

T(G)< P({aH|a∈G})

que tem ordem 24 = 2³.3 , logo |G/ker(T)| assume valor 1, 2, 3, · · · tomando a interse¸c˜ao com as outras possibilidades temos que |ker(T)| vale 3ⁿ ou 3ⁿ⁻¹.

Quest ˜ao 17 Quest ˜ao 17 a)

Z

^Exemplo ^9. ^Seja ^{(G, .)} um grupo com 42 elementos. Mostre que G tem um subgrupo com 6 elementos.

Primeiro fatoramos a ordem do grupo 42=2.3.7, por isso temos 2-Sylow,3-Sylow

(27)

e 7-Sylow subgrupos com n₂ ∈ {1,3,7,3.7} e n₂ ≡ 1 mod 2, n₃ ∈ {1,2,7,2.7} e n₃ ≡1 mod 3 com isso descartamos as possibilidades de 2 e 2.7≡ 14≡ 2 mod 3 por´em temos ainda n₃∈ {1,7} e finalmente analisando n₇, temos n₇ ∈ {1,2,3,2.3}

e n₇ ≡1mod7 implica n₇ =1.

Se n₃ = 7, seja P um dos 3−Sylow temos pelo teorema de Sylow que 7 = 2.3.7

|N(P)|, N(P) =6 e N(P) ´e subgrupo de G, pois P ´e subgrupo de G, neste caso temos um subgrupo com 6 elementos.

Se n₃ = 1 temos |N(P) = 42|, o 3−Sylow é normal, tomamos um 2-Sylow H, logo HP será subgrupo de G, como |H∩P| é subgrupo de H e de P temos ainda

|H∩P| | | |H| e |H∩P| | | |P| assim |H∩P| | mdc(3,2) = 1, disto conclu´ımos que

|H∩P|=1 logo H∩P={e} e pelo princ´ıpio de contagem

|HP|= |H||P|

|H∩P| =|H||P|=2.3=6

, neste caso tamb´em temos um subgrupo de ordem 6. Assim seja n₃=7 ou n₃=1 temos subgrupo de ordem 6 no grupo G.