aos 07/05/2017, c FERNANDO J. O. SOUZA autovalores e autofun¸ c˜ oes; problemas de contorno:

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – ´ AREA II MA129 (C ´ ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4)

aos 07/05/2017, c FERNANDO J. O. SOUZA autovalores e autofun¸ c˜ oes; problemas de contorno:

exemplos resolvidos – v. 2.1

Primeiro, apresentamos alguns exemplos de problemas de contorno que ilustram o fato destes problemas poderem ter exatamente uma solu¸cão, m´ ul- tiplas solu¸cões e até mesmo nenhuma solu¸cão. Consideremos a EDO

y

^′′

(t) + y(t) = 0. Logo, y

gh

(t) = C

¹

cos(t) + C

²

sen(t), onde C

¹

, C

²

∈ R . Agora, a EDO ser´a submetida a cada conjunto de condi¸c˜oes de contorno abaixo.

Ex. 1: y(0) = 0 = y(π). Ora, 0 = y(0) = C

¹

· 1 + C

²

· 0 + C

¹

∴ C

¹

= 0. Mas 0 = y(π) = C

²

sen(π) = 0, não restringindo o que já foi obtido. Logo, há in- finitas solu¸cões duas a duas distintas, a saber: y(t) = C

²

sen(t), onde C

²

∈ R . Ex. 2: y(0) = 0 = y(π/2). Como no Ex. 1, a primeira condi¸c˜ao leva a y(t) = C

²

sen(t), onde C

²

∈ R . Mas 0 = y(π/2) = C

²

· 1 = C

²

. Logo:

y(t) = 0, solu¸c˜ao ´ unica.

Ex. 3: y(0) = 0, y(π) = 5. Como no Ex. 1, a primeira condi¸c˜ao leva a y(t) = C

²

sen(t), onde C

²

∈ R . Mas 5 = y(π) = C

²

sen(π) = 0 ∴ 5 = 0, que

é imposs´ıvel. Logo, o problema não possui solu¸cão.

A seguir, resolveremos dois problemas de contorno que aparecem como problemas auxiliares no método de separa¸cão para EDPs em várias situa¸cões e exemplos importantes. As respostas deles serão fornecidas no 3

^o

E.E.

Seja

¹

L um n´ umero real positivo. Para cada um dos itens abaixo, calcu- lar todos os poss´ıveis valores reais λ tais que o problema de contorno possui solu¸c˜ao n˜ao-trivial

²

X(x) definida e cont´ınua em [0, L]. Para cada um destes calores, calcular encontrar tais solu¸c˜oes.

1

L do inglˆes “length”, comprimento.

2

Ou seja, X(x) n˜ ao ´e a fun¸c˜ ao identicamente nula em [0, L]. Simbolicamente, X 6≡ 0 .

1

(2)

a.

X

^′′

(x) + λ X(x) = 0,

X(0) = 0 = X(L); b.

X

^′′

(x) + λ X(x) = 0, X

^′

(0) = 0 = X

^′

(L).

Obs. Em ambas os itens, podemos interpretar o problema de contorno como o problema de autovalores (no caso, −λ) para o operador linear D e

²

= d

²

dx

²

e autofun¸cões (autovetores X) associados a eles, submetidos às condi¸cões de contorno de cada item. O autoespa¸co associado a cada autovalor em questão consiste de todas as autofun¸cões associadas a ele e da fun¸cão 0 identicamente nula em [0, L], a qual é o vetor nulo no espa¸co vetorial em questão:

D e

²

[X(x)] = −λ X(x).

RESOLU ¸ C ˜ AO

Lidaremos primeiro com as solu¸cões gerais das EDOs na fam´ılia de EDOs comum aos itens a e b , as quais constituem um autoespa¸co de dimensão 2 associado ao autovalor −λ para cada n´ umero real λ. Da sua equa¸cão auxiliar r

²

+λ = 0, temos 3 casos de acordo com o sinal do discriminante ∆ = −4λ, os quais correspondem aos 3 casos do sinal de λ. Denotaremos a raiz principal de |λ| por µ = p

|λ| ≥ 0:

Caso λ = 0: r

²

= −λ = 0 ∴ r = 0 com multiplicidade 2 ∴ X(x) = Ax + B, onde A, B ∈ R ∴ X

^′

(x) = A;

Caso λ < 0: r

²

= −λ = |λ| ∴ r = ±µ ∴ X(x) = Ae e

^µx

+ B e exp

⁻^µx

, onde A, e B e ∈ R . Este formato é inconveniente para a análise de autofun¸cões e, por- tanto, tomaremos um conjunto fundamental (base) de solu¸cões consistindo de uma fun¸cão par e uma ´ımpar: X(x) = A cosh (µx) + B senh (µx), onde A, B ∈ R ∴ X

^′

(x) = µ [A senh (µx) + B cosh (µx)];

Caso λ > 0: r

²

= −λ ∴ r = ±iµ ∴ X(x) = A cos (µx) + B sen (µx), onde A, B ∈ R ∴ X

^′

(x) = µ [−A sen (µx) + B cos (µx)].

Problema de contorno a.

Caso λ = 0: 0 = X(0) = A · 0 + B · 1 = B ∴ X(x) = Ax. J´a 0 = X(L)

= A L. Mas L > 0 ∴ A = 0 ∴ X ≡ 0 (não há autofun¸cão que satisfa¸ca as condi¸cões de contorno);

2

(3)

Caso λ < 0: 0 = X(0) = A · 1 + B · 0 = A ∴ X(x) = B senh (µx). J´a 0 = X(L) = B senh (µL). Mas µ, L > 0 ∴ µL > 0, donde

³

senh (µL) > 0 ∴ B = 0 ∴ X ≡ 0 (não há autofun¸cão que satisfa¸ca as condi¸cões de contorno);

Caso λ > 0: 0 = X(0) = A · 1 + B · 0 = A ∴ X(x) = B sen (µx). Já 0 = X(L) = B sen (µL) ∴ B = 0 (solu¸cão trivial, nula) ou sen (µL) = 0. Mas µL > 0 ∴ µL = nπ ∴ µ = nπ/L para n = 1, 2, 3 . . . Obtemos, assim, as solu¸cões não-triviais, m´ ultiplas não-nulas de X

n

(x) = sen nπx

L

, que s˜ao

as autofun¸c˜oes associadas ao autovalor − − λ

n

= − nπ L

²

, para n inteiro positivo.

Problema de contorno b.

Caso λ = 0: 0 = X

^′

(0) = A = X

^′

(L) ∴ X(x) = B. Obtemos, assim, solu-

¸cões não-triviais, m´ ultiplos não-nulos de X

⁰

(x) = 1, que s˜ao as autofun¸c˜oes associadas ao autovalor −λ

0

= 0;

Caso λ < 0: 0 = X

^′

(0) = µ[A · 0 + B · 1] = µB. Sendo µ > 0, temos que B = 0 ∴ X(x) = A cosh (µx). J´a 0 = X

^′

(L) = µA senh (µL). Mas µ > 0 e, do mesmo modo que foi deduzido acima (no Item a), senh (µL) > 0 ∴ A = 0 ∴ X ≡ 0 (não há autofun¸cão que satisfa¸ca as condi¸cões de contorno);

Caso λ > 0: 0 = X

^′

(0) = µ[−A · 0 + B · 1] = µB. Sendo µ > 0, temos que B = 0 ∴ X(x) = A cos (µx). J´a 0 = X

^′

(L) = −µA sen (µL) ∴ A = 0 (e X ≡ 0 ) ou sen (µL) = 0. Mas µL > 0 ∴ µL = nπ ∴ µ = nπ/L para n = 1, 2, 3 . . . Logo, as solu¸cões não-triviais são os m´ ultiplos não-nulos de X

n

(x) = cos nπx

L

, autofun¸c˜oes associadas a −λ

n

= − nπ L

²

, para cada inteiro positivo n.

3

senh ´e estritamente crescente porque senh

^′