MAC 4722 Linguagens, Autômatos e Computabilidade Lista preliminar de exercícios
Entrega 23 de agosto de 2009 Exercício 1 (0.10 Sipser)
Encontre um erro na seguinte prova de que2 = 1.
Considere a equaçãoa=b. Multiplique ambos os lados porapara obtera2 =ab. Subtraiab2de ambos os lados para obtera2−b2 =ab−b2. Agora fatore cada lado, obtendo(a+b)(a−b) =b(a−b), e divida cada lado por (a−b), para chegar em a+b =b. Finalmente, faça ae biguais a 1, o que mostra que 2 = 1.
Exercício 2 (0.11 Sipser)
Encontre o erro na seguinte prova de que todos os cavalos são da mesma cor.
AFIRMAÇÃO: Em qualquer conjunto deh cavalos, todos os cavalos são da mesma cor.
PROVA: Por indução emh.
Base: Para h = 1. Em qualquer conjunto contendo somente um cavalo, todos os cavalos claramente são da mesma cor.
Passo da Indução: Para k ≥ 1, vamos supor que a armação é verdadeira para h = k e provar que ela é verdadeira para h =k+ 1. Tome qualquer conjunto H de k+ 1 cavalos. Mostraremos que todos os cavalos nesse conjunto são da mesma cor. Remova um cavalo desse conjunto para obter o conjunto H1 com apenas k cavalos. Pela hipótese de indução, todos os cavalos em H1 são da mesma cor. Agora reponha o cavalo que fora retirado e remova um outro, obtendo um conjunto H2. Pelo mesmo argumento, todos os cavalos emH2 são da mesma cor. Consequentemente, todos os cavalos em H têm que ter a mesma cor, e a prova está completa.
Exercício 3 (0.12 Sipser)
Mostre que todo grafo com2ou mais nós contém dois nós que têm graus iguais.
1 de 1
