MAT /03 Topologia e elementos de análise funcional

MAT - 2002/03

Topologia e elementos de an´ alise funcional

Salvatore Cosentino

Departamento de Matem´atica e Aplica¸c˜oes - Universidade do Minho Campus de Gualtar, 4710 Braga - PORTUGAL

gab B.4023, tel 253 604086 e-mail[email protected] urlhttp://w3.math.uminho.pt/~scosentino

13 de Dezembro de 2002

Resumo

Isto n˜ao ´e um livro! Estas p´aginas contˆem as minhas notas das aulas de topologia lecci- onadas no ano letivo 2012/03, e portanto foram escritas de maneira sint´etica, esquem´atica e por vezes informal.

Conte´ udo

1 Espa¸cos m´etricos 2

2 Espa¸cos topol´ogicos 8

3 No¸c˜oes topol´ogicas 12

4 Aplica¸c˜oes cont´ınuas 16

5 Espa¸cos compactos 21

6 Espa¸cos m´etricos completos 25

7 Conexidade 30

1

1 ESPAC¸ OS M ´ETRICOS 2

1 Espa¸ cos m´ etricos

Espa¸cos m´etricos. Seja X um conjunto n˜ao vazio. Uma m´etrica em X ´e uma fun¸c˜ao d : XˆXÑRtal que para todosx, x¹, x²PX

dpx, x¹q ě0, edpx, x¹q “0 ssex“x¹ dpx, x¹q “dpx¹, xq

dpx, x¹q ďdpx, x²q `dpx², x¹q A ´ultima propriedade ´e dita desigualdade do triˆangulo.

Um espa¸co m´etrico ´e um par pX, dq, um conjunto n˜ao vazio X munido de uma m´etrica d.

Os elementos deX s˜ao ditos pontos do espa¸co m´etrico, e o n´umero n˜ao negativodpx, x¹q´e dito distˆancia entre os pontosxex¹.

Distˆancias distintas em X definem espa¸cos m´etricos distintos. Por raz˜oes de economia ´e usual escrever “o espa¸co m´etricoX” em vez de “o espa¸co m´etricopX, dq”, quando a m´etrica particular n˜ao ´e importante, ou quando est´a impl´ıcita no contexto.

egM´etrica discreta. SejaX um conjunto n˜ao vazio. Am´etrica discreta,oum´etrica zero-um, em X ´e a m´etrica definida por dpx, x¹q “ 1 se x ‰x¹. Em particular, todo conjunto n˜ao vazio admite uma m´etrica.

eg Recta real e recta complexa. A fun¸c˜ao px, x¹q ÞÑ |x´x¹| define uma m´etrica na recta realR. A fun¸c˜aopz, z¹q ÞÑ |z´z¹|define uma m´etrica emC.

eg Espa¸cos normados. Se V ´e um espa¸co vectorial real ou complexo, e|¨|´e uma norma em V, ent˜aod, definida pordpx, x¹q:“ |x´x¹|, ´e uma m´etrica emV.

egEspa¸cos euclidianos. SeV ´e um espa¸co vectorial sobre os reais, ex¨,¨y´e um produto interno emV, ent˜ao|¨|, definida por|x| “a

xx, xy, ´e uma norma emV (a desigualdade do triˆangulo sendo uma consequˆencia da desigualdade de Cauchy-Schwarz | xx, x¹y | ď |x| |x¹|), e portanto d, definida por

dpx, x¹q:“a

|x´x¹|²

´e uma m´etrica emV. Espa¸cos euclidianos e espa¸cos normados s˜ao exemplos de espa¸cos m´etricos.

egM´etrica euclidana emRⁿ. Um caso particular da constru¸c˜ao acima ´e am´etrica euclidiana emRⁿ, definida por

d2px, x¹q:“

g f f e

n

ÿ

i“1

pxi´x¹_iq²

que ´e a m´etrica induzida pelo produto interno euclidianoxx, x¹y “řn

i“1xi¨x¹_i. A seguir, a menos de indica¸c˜ao contr´aria, o espa¸co vectorialRⁿ ser´a implicitamente considerado munido da m´etrica euclidiana.

eg Espa¸co de Hilbert. Oespa¸co de Hilbertestandard`²pCq, o espa¸co das sucess˜oes (palavras infinitas)x“ px1, x2, x3, . . .q PC^Ntais que

}x}2:“

8

ÿ

n“1

|xn|²ă 8

munido do produto interno

xx, yy:“

8

ÿ

n“1

xnyn

1 ESPAC¸ OS M ´ETRICOS 3

egM´etrica do m´aximo e m´etrica da soma. Outras normas emRⁿ s˜ao anorma do m´aximo, definida por

}x}₈:“ max

i“1,...,n|xi| e anorma da soma, definida por

}x}₁:“

n

ÿ

i“1

|x_i|

As m´etricas induzidas,d₈ ed₁ respectivamente, s˜ao ditasm´etrica do m´aximoem´etrica da soma.

egNorma e m´etrica do sup. SejamX um conjunto n˜ao vazio, eBpX,Rqo espa¸co das fun¸c˜oes limitadas f : X ÑR (uma fun¸c˜ao f ´e limitada se existe M ą0 tal que |fpxq| ď M para todo xPX). BpX,Rq´e um espa¸co linear sobre os reais, sef`g ´e definido por xÞÑfpxq `gpxqeλf, comλPR, ´e definido porxÞÑλ¨fpxq. Anorma do sup, ounorma da convergˆencia uniforme, em BpX,Rq´e definida por

}f}₈:“sup

xPX

|fpxq|

A m´etrica induzida, dpf, gq “ }f´g}₈, ´e ditam´etrica do sup.

ex Prove qued2,d1ed₈ s˜ao m´etricas emRⁿ.

ex Sejamded¹ duas m´etricas definidas emX. Mostre que maxtd, d¹ued`d¹ s˜ao m´etricas, e que mintd, d¹upode n˜ao ser uma m´etrica.

ex SejaX “ t0,1u^No espa¸co das fun¸c˜oesx:NÑ t0,1u. Ent˜ao

dpx, x¹q “

8

ÿ

i“1

|xi´x¹_i| 2ⁱ

´e uma m´etrica emX.

M´etricas produto. Sejam pX, d_Xq e pY, d_Yq dois espa¸cos m´etricos. Ent˜ao maxtd_X, d_Yu e dX`dY, definidas por

maxtdX, dYu ppx, yq,px¹, y¹qq:“max dXpx, x¹q, dYpy, y¹q( e

pdX`dYqppx, yq,px<sup>1</sup>, y<sup>1</sup>qq:“dXpx, x<sup>1</sup>q `dYpy, y¹q

s˜ao m´etricas no produto XˆY. Enuncie e prove um resultado an´alogo para productos finitos de espa¸cos m´etricos.

Pseudom´etricas. Umapseudom´etricano conjunto X ´e uma fun¸c˜aod:XˆXÑRtal que i)dpx, x¹q ě0, e dpx, x¹q “0 sex“x¹

ii) dpx, x¹q “dpx¹, xq

iii) dpx, x¹q ďdpx, x²q `dpx², x¹q

para todos x, x¹, x² P X. Seja „a rela¸c˜ao de equivalˆencia definida por:x„x¹ sse dpx, x¹q “ 0.

O espa¸co quociˆenteX{ „´e de forma natural um espa¸co m´etrico, se a distˆancia entre duas classes est´a definida como a distˆancia entre dois representantes emX.

1 ESPAC¸ OS M ´ETRICOS 4

Subespa¸cos, imers˜oes isom´etricas e isometrias. Sejam pX, dqum espa¸co m´etrico eS um subconjunto n˜ao vazio de X. A restri¸c˜ao da fun¸c˜aoda SˆS define uma m´etricad_S emS, dita m´etrica induzida. O conjuntoS, munido da m´etrica induzida, ´e ditosubespa¸co (m´etrico)do espa¸co m´etricoX. Portanto, subconjuntos de espa¸cos m´etricos s˜ao de maneira natural espa¸cos m´etricos.

Sejam pX, dXq e pY, dYq dois espa¸cos m´etricos. Uma aplica¸c˜ao f : X Ñ Y ´e uma imers˜ao isom´etrica se preserva as distˆancias, i.e. se

dYpfpxq, fpx¹qq “dXpx, x¹q para todosx, x¹PX. Toda imers˜ao isom´etrica ´e injetiva.

Uma imers˜ao isom´etrica bijetiva f : X ÑY ´e ditaisometria, e neste caso os espa¸cos X e Y s˜ao ditosisom´etricos. ´E imediato ver que:

a identidade id :XÑX ´e um isometria,

sef :XÑY ´e uma isometria ent˜aof^´1:Y ÑX tamb´em ´e uma isometria, sef :XÑY eg:Y ÑZ s˜ao isometrias, ent˜aog˝f :XÑZ´e uma isometria.

Portanto, a existˆencia de uma isometria entre dois espa¸cos m´etricos ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia.

As propriedades comuns `as classes de espa¸cos isom´etricos s˜ao ditaspropriedades m´etricas.

eg M´etrica induzida por uma inje¸c˜ao. SejampY, d_Yqum espa¸co m´etrico eX um conjunto n˜ao vazio. Uma aplica¸c˜ao injetivaf :X ÑY induz uma m´etricad_XemX, definida pord_Xpx, x¹q “ d_Ypfpxq, fpx¹qq, que tornaf uma imers˜ao isom´etrica.

Grupos de isometrias. Seja X um espa¸co m´etrico. O conjunto IsompXq das isometrias g:X ÑX ´e um grupo, dito grupo das isometrias deX, com respeito `a lei de composi¸c˜ao.

eg Isometrias de Rⁿ. As transla¸c˜oes x ÞÑ x`a, com a P Rⁿ, s˜ao isometrias do espa¸co euclidianoRⁿ. Em particular,Rⁿ ´e um espa¸co m´etrico homog´eneo: dados x, x¹ PRⁿ existe uma isometriagPIsompRⁿqtal quegpxq “x¹. As isometrias deRⁿ que fixam a origem 0PRⁿ s˜ao as transforma¸c˜oes linearesxÞÑTpxqcomT POpnq. O grupo das isometrias do espa¸co euclidiano Rⁿ

´e, portanto,

IsompRⁿq “ txÞÑTpxq `acomT POpnqeaPRⁿu

ex Sejama, bPRⁿcom|b| “1. A aplica¸c˜aof :RÑRⁿ, definida portÞÑa`tb, ´e uma imers˜ao isom´etrica.

Diˆametro e distˆancia entre conjuntos. Um subconjunto n˜ao vazioS do espa¸co m´etricoX

´elimitado se existeM ą0 tal quedpx, x¹q ăM para todosx, x¹PS. O diˆametro do subconjunto n˜ao vazioS´e

diampSq:“ sup

x,x¹PS

dpx, x¹q

Ou seja, um subconjunto de um espa¸co m´etrico ´e limitado sse tem diˆametro finito.

A distˆancia entre dois subconjuntos n˜ao vaziosS eT deX ´e definida por dpS, Tq:“ inf

xPS,x¹PTdpx, x¹q

A distˆancia de um pontoxPX a um subconjunto n˜ao vazioS deX ´e definida por dpx, Sq:“ inf

x¹PSdpx, x¹q

ex Um subconjuntoS de um espa¸co m´etricoX ´e limitado sse est´a contido numa bola, i.e. se existemxPX eRą0 tais queSĂ tx¹PX t.q. dpx, x¹q ăRu.

ex A reuni˜ao de uma fam´ılia finita de subconjuntos limitados de um espa¸co m´etrico ´e um conjunto limitado.

1 ESPAC¸ OS M ´ETRICOS 5

ex Sejam X um espa¸co m´etrico,x, x¹ PX eSĂX um subconjunto n˜ao vazio. Ent˜ao ˇˇdpx, Sq ´dpx¹, Sqˇ

ˇďdpx, x¹q

Bolas e conjuntos abertos. SejapX, dqum espa¸co m´etrico. A bola abertade centro xe raio rą0 ´e o conjunto dos pontos de X a distˆancia menor querdex, i.e.

Brpxq “ x¹PX t.q. dpx, x¹q ăr(

Um subconjuntoAdo espa¸co m´etricoX ´eabertoemX se para todoxPAexisterą0 tal que Brpxq ĂA, i.e. se (´e vazio ou se) todo ponto deA´e centro de uma bola aberta contida emA.

“Ser aberto” ´e uma propriedade relativa. Pode acontecer que um subconjunto A Ă X n˜ao seja aberto no espa¸co m´etrico pX, dq, mas seja aberto no espa¸co m´etrico pY, d_Yq, onde Y ´e um subconjunto deX munido da m´etrica induzida d_Y. Por raz˜oes de economia, ´e costume dizer que um subconjunto A de X “´e aberto” em vez de “´e aberto emX”, desde que seja claro o espa¸co ambientepX, dq.

O conjunto vazioHe o espa¸co todoX s˜ao abertos emX. Uma observa¸c˜ao trivial mas crucial

´e que as bolas abertas de um espa¸co m´etrico s˜ao subconjuntos abertos, pois, se x¹ P Brpxq e s“dpx, x¹q ăr, ent˜ao a desigualdade do triˆangulo implica que Br´spx¹q ĂBrpxq.

Teorema 1.1(um aberto ´e uma reuni˜ao de bolas abertas). Um subconjunto de um espa¸co m´etrico

´e aberto sse ´e uma reuni˜ao de bolas abertas.

Demonstra¸c˜ao. ñSeja A um aberto do espa¸co m´etricoX. Para todoxPA existe εpxq ą0 tal queB_εpxqpxq ĂA. PortantoA“Ť

xPAB_εpxqpxq.

ðSejaA“ YαPABαuma reuni˜ao de bolas abertasBα do espa¸co m´etricoX. Se xPA existe αPAtal que xPBα. SendoBα aberta, existeεą0 tal queBεpxq ĂBαĂA.

Teorema 1.2 (propriedades dos abertos). Toda reuni˜ao de subconjuntos abertos ´e aberta. A interse¸c˜ao de dois (e portanto toda interse¸c˜ao finita de) subconjuntos abertos ´e aberta.

Demonstra¸c˜ao. SejaA“ YαPAA_α, onde osA_αs˜ao abertos no espa¸co m´etricoXeA´e um conjunto arbitr´ario. Se xP A ent˜ao existe αPA tal que xPA_α. Sendo A_α aberto, existe εą0 tal que Bεpxq ĂAαĂA.

SejamAeA¹dois abertos no espa¸co m´etricoX, exPAXA¹. Ent˜ao existemεą0 eε¹ ą0 tais queBεpxq ĂA eBε¹pxq ĂA¹. Portanto, a bola abertaB_mintε,ε1upxqest´a contida emAXA¹.

ex Sejam xex¹ dois pontos distintos do espa¸co m´etricoX. Ent˜ao existem duas bolas abertas disjuntasB eB¹ que contˆem respectivamente xex¹.

ex O intervalor0,1r´e aberto emr0,2s, mas n˜ao ´e aberto na rectaR. ex Diga se os seguintes subconjuntos de Rⁿ euclidiano s˜ao abertos emRⁿ.

QemR, ZemR, QˆRemR²

tpx1, x2qt.q. x1“x2u emR², tpx1, x2qt.q. x1¨x2‰0u emR², tpx1, x2qt.q. x1ą0u emR² txPRⁿ t.q. |x| ď1u emRⁿ , txPRⁿ t.q. |x| “1u emRⁿ , txPRⁿ t.q. |x| ‰0uemRⁿ ex Uma interse¸c˜ao de subconjuntos abertos de um espa¸co m´etrico pode n˜ao ser aberta.

egBolas em espa¸cos ultram´etricos. Uma m´etricaddefinida no conjuntoX´e dita ultram´etrica se

dpx, x¹q ďmax dpx, x²q, dpx², x¹q(

para todosx, x¹, x²PX. Mostre que sex¹PBrpxqent˜ao Brpx¹q “Brpxq, i.e. todo ponto de uma bola aberta ´e um seu centro.

1 ESPAC¸ OS M ´ETRICOS 6

Abertos e continuidade. Sejam pX, d_Xq e pY, d_Yq dois espa¸cos m´etricos. A aplica¸c˜ao f : X ÑY ´econt´ınua no ponto xP X se para todoε ą0 existe δą 0 tal qued_Ypfpxq, fpx¹qq ă ε sedpx, x¹q ăδ. Isto quer dizer que para toda bola abertaBεpfpxqq ĂY centrada em fpxq existe uma bola abertaBδpxq ĂX centrada emxtal que

fpBδpxqq ĂBεpfpxqq

A aplica¸c˜ao f : X Ñ Y ´econt´ınua se ´e cont´ınua em todos os pontos deX. A rela¸c˜ao entre continuidade e abertos ´e contida na seguinte observa¸c˜ao.

Teorema 1.3(f cont´ınuaôf^´1(aberto) = aberto). Uma aplica¸c˜aof :XÑY entre os espa¸cos m´etricosX eY ´e cont´ınua sse a imagem inversa f^´1pAqde todo abertoA deY ´e aberta emX.

Demonstra¸c˜ao. pñqSejamf cont´ınua,Aum subconjunto aberto e n˜ao vazio de Y, exPf^´1pAq.

ComoA ´e aberto e fpxq PA, existe uma bola abertaB_εpfpxqqcontida em A. Pela continuidade def emx, existe uma bola abertaB_δpxq tal quefpB_δpxqq ĂB_εpfpxqq. Portanto, a bola aberta B_δpxqest´a contida emf^´1pAq. Isto prova quef^´1pAq´e aberto emX.

pðqSejaxPX. A bolaBεpfpxqq´e aberta emY, portanto a sua imagem inversaf^´1pBεpfpxqqq

´e aberta emX. ComoxPf^´1pBεpfpxqqq, existe uma bola abertaBδpxqcontida emf^´1pBεpfpxqqq, logofpBδpxqq ĂBεpfpxqq. Isto prova quef ´e cont´ınua emx.

Este teorema mostra que a ´unica estrutura de um espa¸co m´etrico que joga um papel na defini¸c˜ao de continuidade ´e a fam´ılia dos conjuntos abertos, dita topologia. Portanto, espa¸cos m´etricos que tˆem os mesmos abertos s˜ao dom´ınios ou contradom´ınios das mesmas fun¸c˜oes cont´ınuas.

eg Aplica¸c˜oes lipschitzianas. Uma aplica¸c˜aof :X ÑY entre os espa¸cos m´etricospX, d_Xqe pY, d_Yq´elipschitzianase existeλą0 (dita constante de Lipschitz def) tal que

d_Ypfpxq, fpx¹qq ďλ¨d_Xpx, x¹q

para todosx, x¹ PX. Uma aplica¸c˜ao lipshitziana ´e cont´ınua (basta pˆor δ“ε{λna defini¸c˜ao com εeδ).

eg Imers˜ao de Kuratowski. Sejam pX, dq um espa¸co m´etrico, xP X, e BpX,Rqo espa¸co das fun¸c˜oes limitadas f : X Ñ R munido da m´etrica do sup. A aplica¸c˜ao fx : X ÑR definida por fxpx¹q “ dpx, x¹q ´e cont´ınua. A aplica¸c˜ao ϕ : X Ñ BpX,Rq definida por x¹ ÞÑ fx¹ ´fx ´e uma imers˜ao isom´etrica. Portanto, todo espa¸co m´etrico ´e de maneira natural um subespa¸co de um espa¸co normado.

Homeomorfismos. Uma aplica¸c˜ao f : X Ñ Y entre os espa¸cos m´etricos pX, dXq e pY, dYq

´e um homeomorfismose ´e bijectiva, cont´ınua e tem inversa cont´ınua. Dois espa¸cos m´etricos s˜ao homeomorfosse existe um homeomorfismo entre eles.

Toda isometria ´e um homeomorfismo, mas um homeomorfismo pode n˜ao ser uma isometria.

eg Por exemplo, x ÞÑ exppxq ´e un homeomorfismo de R sobre R`, mas n˜ao ´e uma isometria (para as m´etricas euclidianas deReR`).

ex Sejam X um espa¸co m´etrico, x¹ P X e S um subconjunto n˜ao vazio de X. A aplica¸c˜ao ϕ:X ÑRdefinida porxÞÑdpx, x¹q´e cont´ınua. A aplica¸c˜aoφ:X ÑRdefinida porxÞÑdpx, Sq

´e cont´ınua. A aplica¸c˜ao d : XˆX Ñ Rdefinida por px, x¹q ÞÑ dpx, x¹q´e cont´ınua, se X ˆX ´e munido da m´etrica produto.

ex Seja X um espa¸co m´etrico discreto e Y ´e um espa¸co m´etrico arbitr´ario. Toda fun¸c˜ao f : XÑY ´e cont´ınua.

1 ESPAC¸ OS M ´ETRICOS 7

ex Uma aplica¸c˜ao linear L:RⁿÑRⁿ ´e cont´ınua.

ex Uma fun¸c˜ao constantef :X ÑY (i.e. tal quefpxq “ypara todoxPX) entre dois espa¸cos m´etricos ´e cont´ınua.

ex SeY ´e um subconjunto do espa¸co m´etricoX, munido da m´etrica induzida, ent˜ao a inclus˜ao i:Y ÑX, definida poripyq “y, ´e cont´ınua.

ex Imers˜oes isom´etricas e isometrias s˜ao aplica¸c˜oes cont´ınuas.

ex Uma aplica¸c˜aof :X ÑY entre os espa¸cos m´etricospX, dXqepY, dYq´e h¨olderiana se existem αą0 eµą0 tais que

d_Ypfpxq, fpx¹qq ﵨd_Xpx, x¹q^α para todosx, x¹PX. Uma aplica¸c˜ao h¨olderiana ´e cont´ınua.

ex Existe um homeomorfismo entre QeR?

M´etricas equivalentes. E poss´ıvel que m´´ etricas distintas no espa¸co X definam os mesmos subconjuntos abertos, neste caso as m´etricas s˜ao ditastopologicamente equivalentes. As m´etricasd ed¹ emX s˜ao equivalentes sse, para todoxPX, toda bola abertaBεpxqpara a m´etricadcont´em uma bola abertaB_ε¹1pxqpara a m´etricad¹ e vice-versa.

eg Normas equivalentes num espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. No espa¸co vectorial Rⁿ, as m´etricas euclidiana, do m´aximo e da soma s˜ao topologicamente equivalentes. Isto vem das desigualdades

d₈px, x¹q ďd₂px, x¹q ďd₁px, x¹q ďn¨d₈px, x¹q que implicam

B_ε{n⁸ pxq ĂB_ε¹pxq ĂB_ε²pxq ĂB_ε⁸pxq para todoxPRⁿ e todoεą0.

De facto, todas as normas num espa¸co vetorial de dimens˜ao finita s˜ao equivalentes!

ex A m´etrica discreta e a m´etrica euclidiana emRn˜ao s˜ao equivalentes.

ex Se d ´e uma m´etrica em X e λ ą 0, a m´etrica dλ definida por dλpx, x¹q “ λ¨dpx, x¹q ´e equivalente ad(observe que as bolas depX, dqs˜ao tamb´em bolas depX, dλqe vice-versa).

ex SejapX, dqum espa¸co m´etrico.Ent˜aod¹, definida por d¹px, x¹q:“ dpx, x¹q

1`dpx, x¹q

´

e uma m´etrica emX, equivalente ad. Observe que o espa¸co m´etricopX, d¹q´e limitado, i.e. tem diˆametro finito, independentemente deX ser limitado ou n˜ao.

ex Sejam de d¹ duas m´etricas equivalentes em X. A aplica¸c˜ao identidade id :X Ñ X ´e um homeomorfismo entrepX, dqepX, d¹q.

2 ESPAC¸ OS TOPOL ´OGICOS 8

2 Espa¸ cos topol´ ogicos

Espa¸cos topol´ogicos. Seja X um conjunto n˜ao vazio. Umatopologia em X ´e uma fam´ılia n˜ao vaziaτ de subconjuntos deX, ditosabertos(da topologia), tal que

i)H eX s˜ao abertos,

ii) toda reuni˜ao de abertos ´e um aberto, iii) a interse¸c˜ao de dois abertos ´e um aberto.

A ´ultima propriedade ´e equivalente a “toda interse¸c˜ao finita de abertos ´e um aberto”.

Umespa¸co topol´ogico´e um par pX, τq, um conjunto n˜ao vazioX munido de uma topologiaτ.

Os elementos deX s˜ao ditos pontos do espa¸co topol´ogico, os elementos deτ s˜ao ditos abertos do espa¸co topol´ogico.

Topologias distintas em X definem espa¸cos topol´ogicos distintos. Por raz˜oes de economia ´e usual escrever “o espa¸co topol´ogicoX” em vez de “o espa¸co topol´ogicopX, τq”, quando a topologia particular n˜ao ´e importante, ou quando est´a implicita no contexto. ´E tamb´em usual dizer que um subconjunto A deX “´e aberto” em vez de utilizar a express˜ao correcta “´e um aberto do espa¸co topol´ogico pX, τq”, desde que seja claro qual ´e o espa¸co ambienteX e qual ´e a topologiaτ. eg Topologia trivial. A fam´ıliatH, Xu´e uma topologia no conjuntoX, ditatopologia trivial.

Um conjuntoX munido da topologia trivial ´e dito espa¸co (topol´ogico) trivial.

Espa¸cos topol´ogicos metriz´aveis. SejapX, dq um espa¸co m´etrico. A fam´ılia formada pelas reuni˜oes das bolas abertas deX ´e uma topologia, ditatopologia induzidada m´etricad. Portanto, todo espa¸co m´etrico ´e de maneira natural um espa¸co topol´ogico. M´etricas equivalentes induzem a mesma topologia.

Um espa¸co topol´ogicopX, τq´e dito metriz´avel se o conjuntoX admite uma m´etricadque induz a topologiaτ. A seguir, portanto, as express˜oes “sejapX, τqum espa¸co topol´ogico metriz´avel” ou simplesmente “sejaX um espa¸co metriz´avel” ser˜ao sin´onimos de “sejapX, τqum espa¸co topol´ogico tal que a topologiaτ ´e induzida por uma m´etricaddefinida emX”. A raz˜ao desta defini¸c˜ao est´a no facto da m´etrica particular d, que evidentemente n˜ao ´e ´unica, n˜ao jogar nenhum papel nas propriedades deX em quanto espa¸co topol´ogico.

eg Topologia euclidiana. A topologia euclidianaemRⁿ ´e a topologia induzida pela m´etrica euclidianad2, ou pelas m´etricas equivalentesd1 ed₈. A seguir, a menos de indica¸c˜ao contr´aria, o espa¸co vectorialRⁿ ser´a implicitamente considerado munido da topologia euclidiana.

egTopologia discreta. A fam´ıliaPpXq, as partes deX, ´e uma topologia emX, ditatopologia discreta. ´E a topolgia induzida pela m´etrica discreta emX. Um conjuntoX munido da topologia discreta ´e dito espa¸co (topol´ogico) discreto.

eg Topologia cofinita. Atopologia cofinita emX ´e a fam´ılia K formada pelo conjunto vazio e pelos conjuntos cujos complementares tˆem cardinalidade finita, i.e.

K“ tHu Y tAĂX t.q. XzA´e finitou

egTopologia de Sierpinsky. SeX´e um conjunto finito, toda m´etrica emXinduz a topologia discreta. Portanto, uma topologia diferente da topologia discreta em um conjunto finito n˜ao ´e metriz´avel. Um exemplo ´e atopologia de SierpinskyemX “ ta, bu, definida porτ “ tH,tau, Xu.

Topologia relativa. SejampX, τqum espa¸co topol´ogico eY um subconjunto n˜ao vazio deX.

A fam´ılia

τY “ tAXY comAPτu

2 ESPAC¸ OS TOPOL ´OGICOS 9

´e uma topolgia emY, dita topologia relativa. O conjuntoY, munido da topologia relativa, ´e dito subespa¸co (topol´ogico) do espa¸co topol´ogico X. Portanto, os aberto de Y s˜ao os subconjuntos BĂY tais que existe um abertoAdeX tal queB “AXY.

Sed´e uma m´etrica emX eY ĂX ´e munido da m´etrica induzida dY, ent˜ao as bolas abertas depY, dYqs˜ao da forma Brpxq XY ondeBrpxq´e uma bola aberta de pX, dqexPY. Portanto, se τ´e a topologia induzida pela m´etricad, a topologia relativaτY coincide com a topologia induzida pela m´etricadY emY.

ex Determine todas as poss´ıveis topologias deX “ ta, b, cu.

ex (metriz´avel e finitoñdiscreto) A topologia de um espa¸co metriz´avel finito ´e a topologia discreta.

ex (metriz´avelñ Hausdorff) Seja X um espa¸co topol´ogico metriz´avel. Prove que, dados dois pontos distintosxex¹ deX, existem dois abertos disjuntosAeB deX tais quexPAex¹PB.

ex Seja X um conjunto n˜ao vazio, exPX. Prove que τ “ tHu Y tAĂX t.q. xPAu´e uma topologia emX. Prove que, seX ‰ txu, a topologiaτ n˜ao ´e metriz´avel.

Compara¸c˜ao entre topologias. Sejamτeτ¹duas topologias no conjuntoX. A topologiaτ¹´e mais finado que a topologiaτ (ou, a topologiaτ´e menos fina do que a topologiaτ¹) seτ Ăτ¹, i.e.

se todo aberto depX, τq´e tamb´em um aberto de pX, τ¹q. Observe que esta ´e apenas uma ordem parcial no espa¸co das topologias definidas num conjunto fixadoX, e que duas topologias distintas podem n˜ao ser compar´aveis.

ex A topologia discreta em X ´e mais fina do que toda topologia emX. ex Toda topologia em X ´e mais fina do que a topologia trivial em X.

Bases. Seja pX, τqum espa¸co topol´ogico. Umabaseda topologiaτ ´e uma fam´ıliaBde abertos tal que todo aberto deX ´e uma reuni˜ao de elementos deB. Isto ´e equivalente a dizer que para todoAPτ e todoxPAexisteBPBtal que xPB ĂA.

Evidentemente,τ ´e uma base da topologiaτ. A importˆancia desta defini¸c˜ao consiste na possi- bilidade de definir uma topologia `a custa de uma fam´ılia particular de abertos.

egBase de uma topologia metriz´avel. As bolas abertas de um espa¸co m´etrico s˜ao uma base da topologia induzida pela m´etrica, porque todo aberto ´e uma reuni˜ao de bolas abertas. .

egBase da topologia discreta. A fam´ıliattxu comxPXu´e uma base da topologia discreta emX.

Teorema 2.1 (caracteriza¸c˜ao das bases). Seja Xum conjunto n˜ao vazio, e B uma fam´ılia de subconjuntos deX tal que

i)B´e uma cobertura deX, i.e. Ť

BPBB “X

ii) seB, CPB ent˜ao BXC ´e uma reuni˜ao de elementos deB Ent˜ao existe uma (´unica) topolgiaτ_B em X tal queB ´e uma sua base.

2 ESPAC¸ OS TOPOL ´OGICOS 10

Demonstra¸c˜ao. A unicidade ´e evidente, uma vez provada a existˆencia. Pois, τ_B tem que conter todas as reuni˜oes de elementos de B, e, vice-versa, todo elemento deτ_B tem que ser uma reuni˜ao de elementos deB.

Sejaτ_Ba fam´ılia formada pelas reuni˜oes de elementos deB. Os subconjuntosHeX pertencem aτ_B, o conjunto vazio porque ´e a reuni˜ao da fam´ılia vazia de elementos deB, eX porqueB´e uma cobertura deX, a condi¸c˜ao i).

Sejam Vα“Ť

βPI_αBβ, comBβPB eαPJ, uns elementos arbitr´arios deτ_B. Ent˜ao a reuni˜ao ď

αPJ

Vα“ ď

αPJ

˜ ď

βPI_α

Bβ

¸

“ ď

αPJ

ď

βPI_α

Bβ

tamb´em pertence a τB, porque ´e reuni˜ao de elementos de B. Por outro lado, uma interse¸c˜ao de dois elementos

Vα

čVα¹ “

˜ ď

βPIα

Bβ

¸ č

¨

˝ ď

β¹PI_α1

Bβ¹

˛

‚“ ď

βPIα,βPI_α1

´ Bβ

čBβ¹

¯

tamb´em pertence aτ_B pela condi¸c˜ao ii).

eg A fam´ılia tBrpxq “ sx´r, x`rr comxPQerPQ`u das bolas abertas de centro e raio racionais ´e uma base, enumer´avel, da topologia euclidiana deR.

eg tra, bs coma, bPReaăbun˜ao ´e base de nenhuma topologia na recta real.

egBase enumer´avel da topologia euclidiana. A fam´ıliaB“ tBrpxqcomxPQⁿ erPQ`u

´e uma base, enumer´avel, da topologia euclidiana deRⁿ. Portanto, o espa¸co euclidianoRⁿ admite uma base enumer´avel (satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade).

ex Um espa¸co topol´ogico discreto n˜ao enumer´avel n˜ao admite uma base enumer´avel.

ex A fam´ılia τ_e “ ts´8, xr comxPRu Y tH,Ru´e uma topologia em R, menos fina do que a topologia euclidiana. A subfam´ıliaB“ ts´8, rr comrPQu´e uma base desta topologia.

Produtos finitos de espa¸cos topol´ogicos. SejampX, τXqepY, τYqdois espa¸cos topol´ogicos.

A fam´ılia

B“ tAˆB comAPτX eBPτYu

´e uma base de uma topologia no produto cartesianoXˆY (porque ´e uma cobertura, e a interse¸c˜ao de dois elementos deB´e ainda um elemento deB), ditatopologia produto. O espa¸coXˆY, munido desta topologia, ´e dito produto topol´ogicodos espa¸cosX eY.

Se pX, dXq epY, dYq s˜ao espa¸cos m´etricos munidos da topologia induzida, ent˜ao a topologia producto emXˆY ´e a topologia induzida pela m´etrica produto, por exemplo maxtdX, dYu, em XˆY.

De maneira an´aloga ´e possivel definir produtos topol´ogicos de uma fam´ılia finita de espa¸cos topol´ogicos.

Topologia produto. Sejam pX_α, τ_αqespa¸cos topol´ogicos, comαPA(um conjunto n˜ao neces- sariamente finito nem enumer´avel), e

X“ ź

αPA

X_α:“

#

x:AÑ ď

αPA

X_αt.q. x_αPX_α para todosαPA +

2 ESPAC¸ OS TOPOL ´OGICOS 11

o produto cartesiano dosX_α(onde utilizamos a nota¸c˜aoxpαq “x_αpara a “coordenada”α-´esima do pontox). Umcilindro abertodeX ´e um conjuntoC formado da seguinte maneira: existem um conjunto finito de ´ındicesα1, α2, ..., αnPAe uns abertosCα_i ĂXα_i parai“1,2, ..., ntais que

C“ tx“ pxαqαPAPX tais quexα_iPCα_i para todoi“1,2, ..., nu

A fam´ıliaC formada pelos cilindros abertos deX satisfaz as condi¸c˜oes do teorema2.1, portanto ´e base de uma topologia emX, ditatopologia produto.

ex A topologia produto emRⁿ, onde cada c´opia de R´e munida da topologia euclidiana, ´e a topologia euclidiana (observe que, tratando-se de um produto finito, e sendo os cilindros abertos produtos de abertos dos factores, a fam´ılia dos cilindros abertos cont´em as bolas abertas do espa¸co Rⁿ munido da m´etricad₈).

Vizinhan¸cas. Sejam pX, τq um espa¸co topol´ogico e x P X. Uma vizinhan¸ca de x ´e um subconjuntoN ĂX tal que existe um aberto Aque cont´em o pontoxe que est´a contido em N, i.e. xPAĂN.

Evidentemente, todo aberto que cont´emx´e uma vizinhan¸ca dex.

ex Sejaxum ponto de um espa¸co topol´ogicoX. SeAeB s˜ao vizinhan¸cas dex, ent˜aoAXB´e uma vizinhan¸ca dex. SeA´e uma vizinhan¸ca dexeAĂB, ent˜aoB ´e uma vizinhan¸ca dex.

Teorema 2.2 (abertos e vizinhan¸cas). Um subconjuntoA de um espa¸co topol´ogico ´e aberto sse ´e uma vizinhan¸ca de todos os seus pontos.

Demonstra¸c˜ao. ñTrivial.

ðPara todo xPA, sendo A uma vizinhan¸ca de x, existe um abertoA_x tal quexPA_x ĂA.

Isto implica queA“ YxPAA_x, e portanto ´e aberto.

Base local. SejampX, τqum espa¸co topol´ogico exPX. Umabase local, ousistema fundamental de vizinhan¸cas, emx´e uma fam´ılia Bx de vizinhan¸cas de xtal que todo aberto Aque cont´em x tamb´em cont´em um elemento de Bx.

egEspa¸cos metriz´aveis admitem bases locais enumer´aveis. SejamX um espa¸co m´etrico exPX. A fam´ılia tBrpxqcomrą0u´e uma base local emxdo espa¸co m´etricoX. As fam´ılias tBrpxqcomrPQ`ue B_1{npxqcomnPN(

s˜ao bases locais, enumer´aveis, emxdo espa¸co m´etrico X. Portanto, todo espa¸co metriz´avel admite uma base local enumer´avel em todos os seus pontos (satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade).

Sucess˜oes. SejapX, τqum espa¸co topol´ogico. Umasucess˜aoemX ´e uma aplica¸c˜aof :NÑX.

E costume designar por´ x_n o valor da sucess˜ao no pontonPN, e porpx_nqa sucess˜ao. O conjunto tx_nu_nPNĂX ´e a imagem da sucess˜ao.

A sucess˜aopx_nq´econvergente para o pontoxPX se para toda vizinhan¸ca V dexexiste um natural n tal que x_n P V se n ą n. Se isto acontecer, diz-se que x´e um limite da sucess˜ao, e escreve-se

nÑ8lim xn“x ou xn Ñx

Uma subsucess˜ao de f : NÑX ´e uma aplica¸c˜ao da forma f ˝k, onde k : NÑN´e uma fun¸c˜ao estritamente crescente. Sepx_nqdenota a sucess˜aof ek_n o valor de kemn, ent˜aopx_knqdenota a subsucess˜aof˝k. Em particular, a imagemtx_knu_nPNda subsucess˜ao ´e um subconjunto detx_nu_nPN. eg Se X ´e um espa¸co topol´ogico trivial (e portanto a ´unica vizinhan¸ca de um ponto x ´e X) ent˜ao toda sucess˜ao converge para todo ponto xde X. Isto mostra que, num espa¸co topol´ogico arbitr´ario, o limite de uma sucess˜ao pode n˜ao ser ´unico.

3 NOC¸ ˜OES TOPOL ´OGICAS 12

Limites em espa¸cos m´etricos e metriz´aveis. SejampX, dqum espa¸co m´etrico e px_nquma sucess˜ao em X. A sucess˜ao ´e covergente paraxPX sse para todoεą0 existe um naturalntal quedpxn, xq ă ε sen ąn. A sucess˜ao ´e covergente para xPX sse para todo k PN existe um naturalntal quedpxn, xq ă1{k senąn.

Se X ´e um espa¸co topol´ogico metriz´avel e pxnq ´e uma sucess˜ao convergente, ent˜ao o limite ´e

´

unico (porque pontos distintos de um espa¸co m´etrico admitem vizinhan¸cas disjuntas).

3 No¸ c˜ oes topol´ ogicas

Interior, exterior e fronteira. Sejam X um espa¸co topol´ogico eS um subconjunto deX.

Um pontoxPX´einterioraS se existe uma vizinhan¸caN dextal queN ĂS. Ointeriorde S´e o conjunto rmintpSqdos pontos interiores aS.

Um pontoxPX ´eexteriora S se existe uma vizinhan¸caN dextal que NĂXzS, ou seja se

´e interior ao complementar deS. Oexterior deS ´e o conjunto extpSqdos pontos exteriores a S.

A fronteira de S ´e o conjuntos frpSq (ou BS) dos pontos que n˜ao s˜ao nem interiores nem exteriores a S, ou seja o conjunto dos pontos xPX tais que toda vizinhan¸ca N dex intersecta querS querXzS.

Sendo estas trˆes condi¸c˜oes mutuamente exclusivas, temos queX ´e a reuni˜ao disjunta X “intpSq YextpSq YfrpSq

Das defini¸c˜oes segue que

intpSq ĂS extpSq “intpXzSq extpSq XS“ H frpSq “frpXzSq

Teorema 3.1(o interior deS´e o “maior” aberto contido emS). SejaS um subconjunto do espa¸co topol´ogicoX. Ent˜ao intpSq´e a reuni˜ao dos abertos contidos em S.

Demonstra¸c˜ao. Seja A um aberto contido em S. Se x P A ent˜ao x P intpSq, porque A ´e uma vizinhan¸ca dex. Isto prova que todo aberto contido emS est´a contido em intpSq.

Para todo x PintpSq existe uma vizinhan¸ca Nx de x tal que xP Nx Ă S, e portanto existe um aberto Ax tal que x P Ax Ă S. Pela observa¸c˜ao acima Ax Ă intpSq, e portanto intpSq “ Ť

xPintpSqAx´e um aberto, por ser uma reuni˜ao de abertos.

Teorema 3.2(caracteriza¸c˜ao dos abertos). Seja S um subconjunto do espa¸co topol´ogico X. As seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

a)S ´e aberto b)S “intpSq c)SXfrpSq “ H

Demonstra¸c˜ao. añb SeA´e aberto, cont´em todos os abertos contidos emA, e portantoA“intpSq.

bñc SeS“intpSqent˜aoSXfrpSq “ H, porque a fronteira deS ´e disjunta do interior de S.

cña Se S XfrpSq “ H ent˜ao todo ponto x P S tem uma vizinhan¸ca N tal que N Ă S, e portantoS ´e aberto.

Subconjuntos fechados. Um subconjunto S do espa¸co topol´ogico X ´e fechado se o seu complementarXzS ´e aberto.

A fam´ılia dos subconjuntos fechados de um espa¸co topol´ogico satisfaz propriedades duais aos axiomas de uma topologia, ou seja

i)HeX s˜ao fechados,

ii) toda interse¸c˜ao de fechados ´e um fechado, iii) a reuni˜ao de dois fechados ´e um fechado.

Definir uma topologia, ou seja a fam´ılia dos subconjuntos abertos, emX ´e equivalente a definir a fam´ılia dos subconjuntos fechados, i.e. uma fam´ılia de subconjuntos deX que satisfaz as trˆes propriedades acima.

3 NOC¸ ˜OES TOPOL ´OGICAS 13

Teorema 3.3(caracteriza¸c˜ao dos fechados). Seja S um subconjunto do espa¸co topol´ogicoX. As seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

a) S ´e fechado b)S “intpSq YfrpSq c)frpSq ĂS.

Demonstra¸c˜ao. E a proposi¸´ c˜ao3.2para o conjuntoXzS.

Aderˆencia. SejaS subconjunto do espa¸co topol´ogicoX . O fecho S, ouaderˆencia, deS ´e a interse¸c˜ao dos subconjuntos fechados de X que contˆem S, i.e. o “menor” conjunto fechado que cont´emS. Em particular,SĂS. Sendo extpSqa reuni˜ao dos abertos contidos emXzS, ´e imediato ver que

S“XzextpSq “intpSq YfrpSq e portantoS´e fechado sseS“S.

Os pontos de S s˜ao ditospontos de aderˆencia deS. Do facto de ser S “XzextpSqsegue que xPX ´e um ponto de aderˆencia deS sseNXS ‰ Hpara toda vizinhan¸caN dex.

Teorema 3.4 (pontos de aderˆencia em espa¸cos metriz´aveis). Seja S um subconjunto do espa¸co metriz´avelX. Ent˜aoxPS sse existe uma sucess˜ao px_nq de elementos deS que converge para x.

Demonstra¸c˜ao. ð Seja pxnq uma sucess˜ao de elementos de S que converge para x. Para toda vizinhan¸caN dexexiste um elementoxnda sucess˜ao tal quexn PN, e portantoNXS ‰ H(esta parte da prova n˜ao depende do facto deX ser metriz´avel).

ñSejam duma m´etrica que induz a topologia emX, exPS. As bolas abertas centradas em xs˜ao vizinhan¸cas de x, portanto para todo nPNexiste um ponto xn PS tal quexn PB1{npxq.

Isto implica que a sucess˜aopx_nqconverge parax, porque a fam´ılia das bolas abertas de centroxe raios 1{ncomnnatural ´e uma base local da topologia em x.

ex Sejam S eT subconjuntos do espa¸co topol´ogicoX. Ent˜ao

intpSq XintpTq “intpSXTq intpSq YintpTq ĂintpSYTq frpSYTq ĂfrpSq YfrpTq SYT “SYT SXT ĂSXT

Dˆe exemplos tais que as inclus˜oes acima s˜ao estrictas.

ex Sejam S eT subconjuntos do espa¸co topol´ogicoX tais queS ĂT. Ent˜aoS ĂT. Dˆe um exemplo tal que frpSqn˜ao esteja contido em frpTq.

ex A fronteira de um subconjunto arbitr´ario de um espa¸co topol´ogico ´e um conjunto fechado.

ex A fronteira de um subconjunto aberto ou fechado de um espa¸co topol´ogico tem interior vazio.

ex SepX, dq´e um espa¸co m´etrico eS ĂX, ent˜aoS “ txPX t.q. dpx, Sq “0u.

ex SejaX um espa¸co topol´ogico discreto. Todo subconjuntoSĂX tem fronteira vazia.

ex SepX, dq´e um espa¸co m´etrico,xPXerą0, a bola fechadaBrrxs “ tx¹PX t.q. dpx, x¹q ďru

´e um conjunto fechado.

ex Dˆe um exemplo de um espa¸co m´etricopX, dqtal que o fecho da bola aberta Brpxqn˜ao ´e a bola fechadaBrrxs “ tx¹PX t.q. dpx, x¹q ďru.

3 NOC¸ ˜OES TOPOL ´OGICAS 14

ex Dˆe um exemplo de uma fam´ılia de subconjuntos fechados de um espa¸co topol´ogico tal que a reuni˜ao deles n˜ao ´e um conjunto fechado.

ex Seja Rmunido da topologia cofinita. Prove que os subconjuntos fechados s˜ao os conjuntos finitos eR. Prove que, se S“ sa, brcoma, bPReaăb, ent˜ao intpSq “ H,S“Re frpSq “R. Pontos limites e pontos isolados. SejaSum subconjunto do espa¸co topol´ogicoX. Um ponto xPX ´eponto de acumula¸c˜ao, ouponto limite, deS se toda vizinhan¸caN dexcont´em pelo menos um ponto deS diferente dex, i.e. se

pNz txuq XS‰ Hpara toda vizinhan¸caN dex

O conjuntoderivadodeS ´e o conjuntoS¹ dos pontos de acumula¸c˜ao deS. Um conjuntoS ´e dito perfeitoseS“S¹, i.e. se todo seu ponto ´e um ponto de acumula¸c˜ao.

Teorema 3.5. Seja S um subconjunto do espa¸co topol´ogico X. Ent˜ao S“SYS¹.

Demonstra¸c˜ao. Da defini¸c˜ao conclui-se queS¹XextpSq “ H, logoSYS¹ĂS. Por outro lado, se xPS exRS, ent˜ao xPfrpSq, e portanto toda vizinhan¸ca N dextem interse¸c˜ao n˜ao vazia com Sz txu. LogoSĂSYS¹.

SejaS um subconjunto do espa¸co topol´ogicoX . Um pontoxPS´e dito ponto isolado deS se xRS¹, i.e. se existe uma vizinhan¸caN dextal queNXS “ txu. O conjuntoS´e dito discreto se todo seu ponto ´e um ponto isolado.

Da proposi¸c˜ao3.5segue que o fecho de um subconjuntoS do espa¸co topol´ogicoX ´e a reuni˜ao disjunta do conjunto dos pontos isolados deS e do conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao deS.

exDiscreto emRⁿñenumer´avel. SejaSum subconjuntos discreto do espa¸coRⁿeuclidiano.

Ent˜aoS ´e enumer´avel (lembre-se que a topologia euclidiana de Rⁿ admite uma base enumer´avel).

exFinito em espa¸co metriz´avelñdiscreto. Um subconjunto finito de um espa¸co metriz´avel

´e discreto.

ex DetermineQ¹ emR.

Teorema 3.6(pontos limites em espa¸cos metriz´aveis). SejaSum subconjunto do espa¸co metriz´avel X. Ent˜ao xPS¹ sse existe uma sucess˜ao pxnq de elementos deSz txu que converge para x. Em particular, sexPS¹ ent˜ao toda vizinhan¸ca dexcont´em infinitos pontos de S.

Demonstra¸c˜ao. Seja d uma m´etrica que induz a topologia em X. Sejam x P S¹ e B₁ “ B₁pxq.

SendoB₁uma vizinhan¸ca dex, existe um pontox₁P pB₁z txuqXS. DadosB_nex_nP pB_nz txuqXS, sejamB_{n`1</sub>“B<sub>dpx,xnq{2</sub>pxqex<sub>n`1}um ponto da interse¸c˜aopB_n`1z txuq XS. ´E imediato verificar que os pontosx_n s˜ao distintos, a sucess˜aopx_nq´e convergente e lim_nÑ8x_n“x.

ex Sejapxnquma sucess˜ao de pontos deX, eS“ txnu_nPN a sua imagem. SexPS¹ ent˜aopxnq admite uma subsucess˜ao convergente parax.

3 NOC¸ ˜OES TOPOL ´OGICAS 15

eg Conjunto de Cantor. Sejaϕ:t0,1,2u^NÑ r0,1sa aplica¸c˜ao sobrejetiva definida por px_nq ÞÑ

8

ÿ

n“1

xn

3ⁿ

(a representa¸c˜ao em base 3 dos reais entre 0 e 1). Oconjunto de Cantorstandard (o “middle-third Cantor set”) ´e

K:“ϕ´

t0,2u^N¯

“

#₈ ÿ

n“1

x_n

3ⁿ comx_nP t0,2u +

i.e. o conjuntos dos reais entre 0 e 1 cujas representa¸c˜oes em base 3 n˜ao contˆem a letra “1”. ´E imediato verificar queϕ

ˇ ˇ

ˇt0,2u^N ´e uma bijec¸c˜ao det0,2u^NsobreK.

Outra defini¸c˜ao ´eK“ r0,1s zY⁸_k“1Ik, onde os intervalos abertosIks˜ao definidos iterativamente da seguinte maneira: I1 ´e o ter¸co central s1{3,2{3r de r0,1s, I2 e I3 s˜ao os ter¸cos centrais dos intervalos der0,1s zI₁, a sabers1{9,2{9res7{9,8{9r, . . . etc.

Mais uma defini¸c˜ao do conjunto de Cantor ´e K “ Ş8

n“1K_n, onde a fam´ılia decrescente dos fechados¨ ¨ ¨ ĂK_n`1ĂK_nĂ. . . ´e definida por

K_n “ r0,1s z

1`2`2²`...`2^n´1

ď

k“1

I_k.

Os fechados Kn s˜ao formados por 2ⁿ intervalos fechados e disjuntos, cada um de diˆametro 3^´n. Em particular, o comprimento de Kn ´e |Kn| “ p2{3qⁿ, e converge para zero no limite quando nÑ 8. Ou seja,K ´e um conjunto de medida (de Lebesgue) nula! .

O conjunto de Cantor ´e fechado emr0,1s, sendo uma interse¸c˜ao de conjuntos fechados.

O conjunto de Cantor tem interior vazio, porque nenhum intervalo aberto de diˆametroεą0 est´a contido emKn se 3^´n ăε.

O conjunto de Cantor ´e perfeito. De facto, sex“ř8 n“1

xn

3ⁿ P K, ent˜ao a sucess˜ao ` x_pkq˘

de pontos deK definida por

x_pkq“

k´1

ÿ

n“1

xn

3ⁿ `xk`2pmod 4q

3^k `

8

ÿ

n“k`1

xn

3ⁿ converge parax, sendoˇ

ˇx´x_pkqˇ

ˇ“2{3^k. A aplica¸c˜aoψ:t0,1u^NÑ r0,1s, definida por

py_nq ÞÑ

8

ÿ

n“1

yn

2ⁿ

´e sobrejetiva (´e a representa¸c˜ao bin´aria dos n´umeros reais entre 0 e 1). Por outro lado, a aplica¸c˜ao φ:t0,2u^NÑ t0,1u^N, definida porpxnq ÞÑ pxn{2q, ´e bijetiva, e portantoψ˝φ˝ϕ^´1:KÑ r0,1s´e sobrejetiva. Isto mostra que o conjunto de Cantor tem a cardinalidade da recta real, em particular n˜ao ´e enumer´avel.

Subconjuntos densos. SejaS um subconjunto do espa¸co topol´ogicoX . O conjuntoS´edenso emX seS“X.

Teorema 3.7 (caracteriza¸c˜ao dos subconjuntos densos). Seja S um subconjunto do espa¸co to- pol´ogicoX. As seguintes propriedades s˜ao equivalentes:

a)S ´e denso emX b)intpXzSq “ H

c) todo aberto n˜ao vazio de X tem interse¸c˜ao n˜ao vazia comS

d) existe uma base B da topologia de X tal que todo elemento n˜ao vazio de B tem interse¸c˜ao n˜ao vazia comS.

4 APLICAC¸ ˜OES CONT´INUAS 16

Demonstra¸c˜ao. añb SeX “S“intpSqY frpSqent˜ao intpXzSq “extpSq “ H.

bñc Seja A um aberto n˜ao vazio de X tal que AXS ‰ H. Ent˜ao A Ă XzS, e portanto intpXzSqn˜ao ´e vazio, porque cont´emA.

cñd A topologiaτ ´e uma base da topologiaτ.

dña Seja xP XzS. Para toda vizinhan¸ca N de x existe um elemento B da base B tal que xPB ĂN. A condi¸c˜aoBXS‰ He o facto de serxPXzS implicam quepNz txuq XS ‰ H, ou seja quexPS¹. Isto mostra queX “SYS¹“S.

eg O conjuntoQ´e denso emR. O conjuntoQⁿ´e denso emRⁿ. Portanto, os espa¸cos euclidianos Rⁿ admitem subconjuntos densos enumer´aveis (s˜ao ditosespa¸cos separ´aveis).

ex SejaS um subconjunto denso no espa¸co topol´ogicoX, eAum aberto deX. Ent˜ao AĂSXA

ex Caracteriza¸c˜ao dos abertos da recta real. Todo aberto da recta real ´e uma reuni˜ao enumer´avel de intervalos abertos.

(SejaA um aberto de R. Para xPA, seja Ax a reuni˜ao de todos os intervalos abertosB tais quexPBĂA. Prove queAx´e um intervalo aberto. Prove que sex, x¹PAent˜ao ouAx“Ax¹ ou AxXAx¹ “ H. Prove que a fun¸c˜aof :QÑ tAx comxPAu, definida porfprq “AxserPAx, ´e sobrejectiva, e deduza queA´e uma reuni˜ao enumer´avel de intervalos abertos).

ex Determine interior, exterior, aderˆencia, fronteira e derivado dos seguintes subconjuntos da recta real:

r´1,0r Y s0,1r r0,1r Q Z RzQ

"

n

n`1 comnPN

*

ex Dˆe exemplos, se existirem, de subconjuntosSĂRtais que

frpSq “ H intpSq “ H RzS“R S¹“ H S¹ ´e aberto

S“frpSq S“S¹ S¹XS“ H S“intpSq frpSq ‰frpfrpSqq

4 Aplica¸ c˜ oes cont´ınuas

Aplica¸c˜oes cont´ınuas. Sejam X e Y dois espa¸cos topol´ogicos. A aplica¸c˜ao f : X Ñ Y ´e cont´ınua em xPX se para toda vizinhan¸ca N de fpxq PY existe uma vizinhan¸caM dexPX tal quefpMq ĂN.

A aplica¸c˜aof :X ÑY ´econt´ınuase ´e cont´ınua em todos os pontos deX.

ex SejaS um subconjunto do espa¸co topol´ogico X, e1_S :X ÑRa fun¸c˜ao caracter´ıstica deS, definida por 1_Spxq “ 1 sex PS e 1_Spxq “ 0 se xR S. Prove que1_S ´e cont´ınua em xP X sse xRfrpSq.

ex Seja f : X ÑY uma aplica¸c˜ao cont´ınua entre os espa¸cos m´etricos X eY. Se px_nq ´e uma sucess˜ao convergente emX, ent˜aopfpxnqq´e uma sucess˜ao convergente em Y e

lim

nÑ8fpx_nq “f´ lim

nÑ8x_n¯

Teorema 4.1 (f cont´ınuaô f^´1(aberto) = aberto). Sejam X e Y dois espa¸cos topol´ogicos, e f :X ÑY uma aplica¸c˜ao. As propriedades seguintes s˜ao equivalentes:

a)f ´e cont´ınua,

b)f^´1pAq´e aberto em X para todoA aberto emY, c)f^´1pFq´e fechado emX para todoF fechado emY.

4 APLICAC¸ ˜OES CONT´INUAS 17

Demonstra¸c˜ao. añb Sejam A um subconjunto aberto e n˜ao vazio de Y, e x P f^´1pAq. Sendo aberto,A´e uma vizinhan¸ca defpxq. Pela continuidade def emx, existe uma vizinhan¸caM dex tal quefpMq ĂA. Portanto, M est´a contido emf^´1pAq. Isto prova quef^´1pAq´e aberto emX. bña Sejam x P X eN uma vizinhan¸ca de fpxq. N cont´em um aberto A tal que xP A Ă N. Se a imagem inversa f^´1pAq ´e aberta em X, ent˜ao f^´1pAq´e uma vizinhan¸ca de xtal que f`

f^´1pAq˘

ĂAĂN. Isto prova quef ´e cont´ınua em x.

A equivalˆencia entre b) e c) ´e evidente.

ex Sejam τ eτ¹ topologias emX, com τ Ăτ¹. Ent˜ao a fun¸c˜ao identidade id :X ÑX ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua depX, τ¹qsobrepX, τq, mas a inversa pode n˜ao ser cont´ınua.

Teorema 4.2(cont´ınua˝cont´ınua = cont´ınua). SejamX,Y eZ espa¸cos topol´ogicos,f :XÑY eg:Y ÑZ duas aplica¸c˜oes. Sef ´e cont´ınua emxPX e g´e cont´ınua emfpxq PY, ent˜ao g˝f

´e cont´ınua em xPX. Sef eg s˜ao cont´ınuas, ent˜ao g˝f ´e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. Exerc´ıcio.

Topologia induzida por uma aplica¸c˜ao. SejampX, τqum espa¸co topol´ogico,Y um conjunto n˜ao vazio ef :Y ÑX uma aplica¸c˜ao. A fam´ılia

f^´1pτq “ f^´1pAqcomAPτ(

´e uma topologia emY, dita topologia induzida pela aplica¸c˜ao f. ´E a menos fina das topologias emX tais quef :Y ÑX ´e cont´ınua.

Topologia quociente. Sejam pX, τq um espa¸co topol´ogico e „ uma rela¸c˜ao de equivalˆencia definida em X. Existe uma proje¸c˜ao natural π : X Ñ Xr do conjunto X sobre o conjunto das classes de equivalˆenciaXr “X{ „, definida porxÞÑ rxs ““a classe dex”. A fam´ılia

πpτq “

!

AĂXr tais queπ^´1pAq Pτ )

´e uma topologia em Xr , dita topologia quociente. ´E a mais fina das topologias em Xr tais que a proje¸c˜aoπ:X ÑXr ´e cont´ınua.

eg Espa¸cos projetivos reais. O espa¸co projetivo real RPⁿ “P` R<sup>n`1</sup>˘

´e o espa¸co dos su- bespa¸cos vectoriais de dimens˜ao um (as rectas que passam pela origem) de R^{n`1</sup>. Toda recta deR<sup>n`1}que passa pela origem intersecta a esfera unit´aria Sⁿ “ xPR^n`1t.q. |x| “1(

em dois pontos antipodais. Portanto,RPⁿ ´e o quociente da esferaSⁿ pela rela¸c˜ao de equivalˆenciax„ ´x.

A topologia natural no espa¸co projetivo RPⁿ ´e a topologia quociente, induzida pela proje¸c˜ao π:Sⁿ ÑRPⁿ, definida porxÞÑ“a recta deR^n`1passante por xe 0”.

Topologia relativa e continuidade. SejamX eY dois espa¸cos topol´ogicos ef :X ÑY uma aplica¸c˜ao cont´ınua. SeZ ĂX´e munido da topologia relativa, ent˜ao a aplica¸c˜aof|Z :Z ÑY ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua. SefpXq ĂY ´e munido da topologia relativa, ent˜ao a aplica¸c˜aofr:X ÑfpXq, definida porfrpxq “fpxq, ´e tamb´em uma aplica¸c˜ao cont´ınua.

eg Proje¸c˜oes em Rⁿ. As proje¸c˜oes π_i : RⁿÑR, definidas por π_ippx₁, x₂, ..., x_nqq “ x_i, s˜ao aplica¸c˜oes cont´ınuas, pois s˜ao lineares.

Uma aplica¸c˜aof :RⁿÑR^m´e cont´ınua sse as “componentes” πi˝f s˜ao cont´ınuas para todos i“1,2, ..., m.

ex Prove que a aplica¸c˜ao ϕ:RÑR², definida portÞÑ pt², t³q, ´e cont´ınua e que a sua imagem ϕpRq´e fechada emR².

4 APLICAC¸ ˜OES CONT´INUAS 18

ex Sejam f, g : X Ñ R fun¸c˜oes cont´ınuas definidas no espa¸co topol´ogico X. Prove que s˜ao cont´ınuas as seguintes fun¸c˜oes

|f|:X ÑR, definida porxÞÑ |fpxq|

λf :X ÑR, definida porxÞÑλ¨fpxqcomλPR f`g:X ÑR, definida porxÞÑfpxq `gpxq f g:X ÑR, definida porxÞÑfpxq ¨gpxq 1{f :Xzf^´1t0u ÑR, definida porxÞÑ1{fpxq

ex Sejam f, g : X Ñ Rⁿ fun¸c˜oes cont´ınuas definidas no espa¸co topol´ogico X. Prove que s˜ao cont´ınuas as seguintes fun¸c˜oes

|f|:X ÑR, definida porxÞÑ |fpxq|

λf :X ÑRⁿ, definida porxÞÑλ¨fpxqcomλPR f`g:X ÑR<sup>n</sup>, definida porxÞÑfpxq `gpxq

ex SejaMnpRqo conjunto das matrizesnˆncom entradas reais, identificado ao espa¸co euclidiano Rⁿ

2 por meio da bije¸c˜ao

M_npRq QA“ pa_ijq ÞÑ pa₁₁, a₁₂, ..., a_1n, a₂₁, ..., a_2n, ..., a_nnq PRⁿ

2

Prove que a aplica¸c˜ao det : M_npRq Ñ R, definida por A ÞÑ detpAq, ´e cont´ınua. Deduza que o conjuntoGL_npRqdas matrizesnˆninvert´ıveis ´e um aberto em M_npRq.

eg Conjuntos de n´ıvel. Sejam f : X Ñ R uma aplica¸c˜ao cont´ınua e a P R. Ent˜ao txPX t.q. fpxq ăau ´e aberto em X, pois ´e a imagem inversa do aberto sa,8r da recta real, etxPX t.q. fpxq ďau´e fechado emX, pois ´e a imagem inversa do fechadora,8rda recta real.

O conjunto de n´ıvelf^´1tau “ txPX t.q. fpxq “au´e fechado emX, pois ´e a imagem inversa do fechadotauda recta real.

Em geral, se f :X ÑY ´e cont´ınua, e se os pontos de Y s˜ao fechados emY, os conjuntos de n´ıvelf^´1tyus˜ao fechados emX para todoyPY.

eg Subespa¸cos afins. SejaL :RⁿÑRuma aplica¸c˜ao linear diferente da aplica¸c˜ao nula. Os conjuntos de n´ıvel L^´1tau, comaPR, s˜ao hiperplanos afins de Rⁿ. Dois hiperplanosL^´1taue L^´1tbudefinidos pela mesma aplica¸c˜ao linear s˜ao paralelos.

Em geral, se L : Rⁿ Ñ R^m ´e uma aplica¸c˜ao linear e aP R^m, o conjunto de n´ıvel L^´1tau´e um subespa¸co afim se Rⁿ, o conjunto das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao linear Lpxq “ a. O conjunto de n´ıvelL^´1t0u “kerpLq´e um subespa¸co vectorial deRⁿ, o conjunto das solu¸c˜oes da equa¸c˜ao linear homog´eneaLpxq “0. Portanto,

L^´1tau “L^´1t0u `a“ x`acomxPL^´1t0u( Os subespa¸cos afins deRⁿ s˜ao subconjuntos fechados deRⁿ.

eg Gr´aficos. Sejaf : X ÑY uma aplica¸c˜ao cont´ınua entre os espa¸cos m´etricos X eY, e seja XˆY munido da m´etrica produto maxtdX, dYu. O gr´afico def, definido por

graphpfq “ tpx, fpxqq PXˆY comxPXu

´e fechado emX ˆY, pois ´e igual ao conjuntoϕ^´1t0u, onde ϕ:XˆY ÑR´e a fun¸c˜ao cont´ınua definida porpx, yq ÞÑd_Ypfpxq, yq.

Aplica¸c˜oes abertas. SejamX eY dois espa¸cos topol´ogicos. Uma aplica¸c˜aof :X ÑY ´e dita abertasefpAq´e aberto emY para todoAaberto emX.

As proje¸c˜oesπi:RⁿÑRs˜ao abertas.

A fun¸c˜aoxÞÑx²definida na recta real n˜ao ´e aberta, mesmo sendo cont´ınua, poisfpRq “ r0,8r.

4 APLICAC¸ ˜OES CONT´INUAS 19

Aplica¸c˜oes fechadas. Sejam X eY dois espa¸cos topol´ogicos. Uma aplica¸c˜ao f :X ÑY ´e ditafechada sefpFq´e fechado emY para todoF fechado emX.

As inclus˜oes i : Rⁿ Ñ R^m, definidas por ippx1, x2, ..., xnqq “ px1, x2, ..., xn,0,0, ...,0q para nďm, s˜ao aplica¸c˜oes fechadas.

As proje¸c˜oes πi :RⁿÑRn˜ao s˜ao fechadas, desde que ną 1. Por exemplo, o conjuntoG “ graphparctanxq, onde arctan :RÑR, ´e fechado em R², masπ2pGq “ s´π{2, π{2r n˜ao ´e fechado na recta real.

ex A composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes abertas ´e aberta. A composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes fechadas ´e fechada.

Continuidade uniforme. Sejam pX, d_Xq e pY, d_Yq dois espa¸cos m´etricos. A aplica¸c˜ao f : X ÑY ´euniformemente cont´ınuase para todoεą0 existeδą0 tal qued_Ypfpxq, fpx¹qq ăεse d_Xpx, x¹q ăδ.

Uma aplica¸c˜ao uniformemente cont´ınua ´e cont´ınua.

ex Lipschitz ñ uniformemente cont´ınua. Uma aplica¸c˜ao lipschitziana ´e uniformemente cont´ınua.

ex A fun¸c˜aoxÞÑ?

x, definida emR`, ´e uniformemente cont´ınua mas n˜ao ´e lipschitziana.

ex A fun¸c˜aoxÞÑx²´e uniformemente cont´ınua em todos os intervalos limitadosra, bsda recta real, mas n˜ao ´e uniformemente cont´ınua na rectaR.

ex A fun¸c˜aoxÞÑ1{x, definida emRzt0u, ´e cont´ınua mas n˜ao ´e uniformemente cont´ınua.

Homeomorfismos. Sejam X e Y dois espa¸cos topol´ogicos. A aplica¸c˜ao f : X Ñ Y ´e um homeomorfismo, ou umaequivalˆencia topol´ogica, se ´e cont´ınua, bijetiva, e se a inversaf^´1:Y ÑX

´e cont´ınua.

Os espa¸cos topol´ogicosXeY s˜ao ditos homeomorfos, outopologicamente equivalentes, se existe um homeomorfismof :X ÑY. ´E imediato ver que:

a identidade id :X ÑX ´e um homeomorfismo,

sef :X ÑY ´e um homeomorfismo ent˜aof^´1:Y ÑX tamb´em ´e um homeomorfismo, sef :X ÑY eg:Y ÑZ s˜ao homeomorfismos, ent˜aog˝f :X ÑZ ´e um homeomorfismo.

Portanto, a equivalˆencia topol´ogica ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia entre espa¸cos topol´ogicos. Uma nota¸c˜ao para indicar que os espa¸cosX eY s˜ao homeomorfos ´eX «Y. As propriedades comuns

`

as classes de espa¸cos homeomorfos s˜ao ditas propriedades topol´ogicas.

Por exemplo, ser um espa¸co discreto, ser um espa¸co trivial, ter um subconjunto denso enu- mer´avel, admitir uma base enumer´avel, s˜ao propriedades topol´ogicas.

eg Proje¸c˜oes. SejaXˆY o produto topol´ogico dos espa¸cos topol´ogicosX eY. A proje¸c˜ao πX:XˆY ÑX

definida porpx, yq ÞÑx, ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, aberta e sobrejetiva. Em particular, sey PY, a aplica¸c˜ao

π_Xˇ

ˇ_Xˆtyu :Xˆ tyu ÑX

´e um homeomorfismo.

eg Gr´aficos. Seja f : X Ñ Y uma aplica¸c˜ao cont´ınua entre os espa¸cos topol´ogicos X eY. A aplica¸c˜ao xÞÑ px, fpxqq´e um homeomorfismo deX sobre graphpfq, cuja inversa ´e a restri¸c˜ao πX

ˇ

ˇ_graphpfq da proje¸c˜ao πX : X ˆY Ñ X. Portanto, o gr´afico de uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e homeomorfo ao dom´ınio.

4 APLICAC¸ ˜OES CONT´INUAS 20

eg Grupos de homeomorfismos. Seja X um espa¸co topol´ogico. O conjunto HompXq dos homeomorfismos g :X ÑX ´e um grupo, dito grupo dos homeomorfismos de X, com respeito `a lei de composi¸c˜ao.

egHomeomorfismos de Rⁿ. Os grupos AffpRⁿqe IsompRⁿqs˜ao subgrupos de HompRⁿq. Em particular, o espa¸co euclidianoRⁿ´e um espa¸co topol´ogicohomog´eneo: dados dois pontos arbitr´arios xex¹ existe um homeomorf´ısmo gPHompRⁿqtal que gpxq “x¹.

eg Proje¸c˜ao estereogr´afica. SejamSⁿ“ xPR^n`1 t.q. |x| “1(

a esfera unit´aria deR<sup>n`1</sup>e p“ p0, ..,0,1q PS<sup>n</sup> o seu “p´olo norte”. Dado xPS<sup>n</sup>z tpu, a recta que passa porxepintersecta o hiperplanotxn`1“0u «Rⁿ num ´unico ponto

π_ppxq:“ px`Rpp´xqq X tx<sub>n`1</sub>“0u.

A proje¸c˜ao estereogr´aficaπ_p:Sⁿz tpu ÑRⁿ, definida por xÞÑπ_ppxq, ´e um homeomorfismo. Em geral, sexPSⁿ, o espa¸coSⁿz txu´e homeomorfo aRⁿ.

ex Uma aplica¸c˜aof :X ÑY cont´ınua e bijetiva ´e um homeomorfismo sse ´e aberta ou fechada.

ex Determine um homeomorfismo entre as bolasBrpxqeBr¹px¹qdo espa¸co euclidiano Rⁿ (por exemplo uma transforma¸c˜ao afim).

ex Determine um homeomorfismo entre a recta real e o intervalo s0,1r.

ex Prove que a aplica¸c˜aoxÞÑx{ |x|²´e um homeomorfismo deRⁿz t0u.

ex Prove que a aplica¸c˜ao

xÞÑ x b

1` |x|²

define um homeomorfismo deRⁿ sobreDⁿ“ txPRⁿ t.q. |x| ă1u.

ex Determine uns homeomorfismos entre as “esferas”

S^n´12 :“ txPRⁿ t.q. |x|₂“1u, S^n´11 :“ txPRⁿ t.q. |x|₁“1u e S^n´1₈ :“ txPRⁿ t.q. |x|₈ “1u

ex Determine um homeomorfismo entre R²z t0u e o cilindro C “ xPR³ t.q. x²₁`x²₂“1( . Deduza que, sex ex¹ s˜ao dois pontos distintos da esfera S², ent˜ao S²z tx, x¹u´e homeomorfo ao cilindroC.

ex Diga se os seguintes subconjuntos deRⁿs˜ao fechados, abertos, e determine as suas fronteiras:

S^n´1“ txPRⁿ t.q. |x|₂“1u Dⁿ“ txPRⁿ t.q. |x|₂ă1u

Hⁿ“ tx“ px₁, x₂, ..., x_nq PRⁿ t.q. x_ną0u px, yq PR² t.q. x´y²ą0(

px, yq PR² t.q. x²´y²“1( px, yq PR² t.q. xyă0(

px, y, zq PR³t.q. z´x²´y²“0(