MAT 206 - An´alise Real - 1

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Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri

Notas das aulas e exerc´ıcios sugeridos - Atualizado 21.6.2018

1. Segunda-feira, 5 de mar¸co de 2018

Apresenta¸cão do curso. Veja-se o arquivo relativo às informa¸cões do curso na minha pagina web www.ime.usp.br/∼pluigi

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O primeiro conjunto numérico que encontramos na matemática é o conjunto Ndos números naturais. As opera¸cões de soma e produto, com as propriedades usuais, são bem definidas em N, enquanto não podemos dizer o mesmo para as inversas, subtra¸cão e divisão. Para poder definir e usar estas duas opera¸cões inversas introduzimos os conjuntos Z(inicial de Zahlen, in Alemão, que significa número) dos números inteiros relativos, e Q dos números racionais (fra¸cões de números inteiros). O conjunto Z é introduzido para definir a subtra¸cão eQpara a divisão.

O sistemaQdos números racionais poderia constituir a base de boa parte da matemática, enquanto permite resolver muitos problemas matemáticos, mas não todos!

A mais famosa “dificuldade” (digamos ass´ım) dos números racionais foi descoberta pela escola matemática de Pitágoras no VI século a.C.: usando o clássico Teorema de Pitágoras, se consideramos um quadrado de lado 1, a diagonal mede um númerodtal qued² = 2 (veremos depois que tal número se chama raiz quadrada).

Todavia, podemos provar que não existe nenhum número racional cujo quadrado é 2.

Proposi¸cão 1. (com demonstra¸cão)Não existe nenhum número racional cujo quadrado é 2.

Defini¸cão 2. Dado um númeroa≥0 dizemos que bé uma raiz quadrada de a, denotada por√

aseb≥0 e b²=a.

Observa¸cão 3. De acordo com a defini¸cão acima é errado dizer que−2 = √

4, mas as igualdades corretas s˜ao 2 =√

4 e−2 =−√

4. A Defini¸cão 2 é devida a uma questão prática: queremos que √

x seja uma fun¸cão e portanto queremos obter um valor e não múltiplos valores. Em pr´ıncipio, do ponto de vista lógico, seria correta a defini¸cão de raiz de 4 como o conjunto dos números cujo quadrado é 4. Finalmente, a escolha do valor positivo, ou seja√

4 = 2 e não −2, é também devida a uma razão unicamente prática.

Exerc´ıcio 1. Dˆe a prova da Proposi¸c˜ao 1.

Exerc´ıcio 2. Prove que n˜ao existe nenhum n´umero racional atal quea³ = 2.

Exerc´ıcio 3. Prove que n˜ao existe nenhum n´umero racional atal quea² = 3.

A Proposi¸cão 1 diz que não existe emQo número√

2. Da´ı, podemos tentar resover o problema (e outros) ampliando a fam´ılia dos números racionais (analogamente àquilo que se faz passando deNa Ze deZaQ) e definindo um novo conjunto: o dos números reais,R. A defini¸cão dos números irracionais, todavia, não é tão simples. Além disso, a união dos racionais e dos irracionais, que iria formar o conjunto numérico desejado, o conjunto Rdos números reais, deveria satisfazer as mais conhecidas propriedades algébricas, normalmente usadas (as opera¸cões clássicas). As provas de todos estes fatos é longa e complicada.

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Aquela resumida muito rapidamente acima é a assim-chamada abordagem construtiva à defini¸cão dos números reais. Se trata da abordagem qua acompanha, como é fácil imaginar, o processo histórico de forma¸cão dos números reais. E é a abordagem que os alunos encontram ao longo do caminho escolar, desde a infância. Obviamente sem entrar em todos os delicados problemas teóricos que o processo esconde.

Existe uma outra abordagem à defini¸cão dos números reais, que é mais abstrata, ditaabordagem axiomática aos números reais. Nesta segunda abordagem, o conjunto dos números reais é um conjunto totalmente abstrato definido em base à verifica de algumas propriedades. Que portanto são dadas dentro da defini¸cão e não devem ser provadas.

Na defini¸cão seguinte, o leitor deve fazer um esfor¸co: “esquecer” os conhecimentos que tem sobre os números e pensar noRcomo num conjunto “abstrato”, encontrado pela primeira vez. Ele será definido pelas propriedades que são aqui dadas como axiomas.

Defini¸cão axiomática de R. O conjuntoR, dito dos ”números reais”, é um conjunto onde são definidas duas opera¸cões, soma e produto, uma rela¸cão de ordem e um axioma de continuidade. A soma é uma correspondência que a cada par de elementos a e b de R associa um elemento de R, denotado pelo s´ımbolo a+b, e que deve verificar as propriedades seguintes:

S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b∈R,a+b=b+a;

S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c∈R, (a+b) +c=a+ (b+c);

S3) Existˆencia do elemento neutro da soma: existe um elemento de R, denotado por 0, tal que, ∀a∈R, a+ 0 =ae 0 ´e dito elemento neutro da soma;

S4) Existˆencia do oposto: ∀a∈ Rexiste um elemento de R,b, dito oposto de a, tal quea+b= 0. Este opostobpode ser denotado por−ae a opera¸c˜aoa+ (−a) = 0 pode ser escrita simplesmentea−a= 0.

Analogamente, o produto ´e uma correspondˆencia que a cada par de elementos a e b de R associa um elemento deR, denotado pelo s´ımboloa·b, e que deve verificar as propriedades seguintes:

P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b∈R,ab=ba;

P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c∈R, (ab)c=a(bc);

P3) Existˆencia do elemento neutro do produto: existe um elemento deR, denotado por 1, tal que,∀a∈R, a·1 =ae 1 ´e dito elemento neutro do produto;

P4) Existˆencia do inverso: ∀a∈R, a6= 0, existe um elemento de R,b tal que a·b= 1; b ´e dito inverso de ae pode ser escrito como 1/a.

Apropriedade distributiva liga soma e produto:

SP) ∀a, b, c∈R,(a+b)c=ac+bc.

Em R é definida uma rela¸cão de ordem. Em geral, uma rela¸cão de ordem em um conjunto (também chamada ordenamento) é uma rela¸cão binária, ou seja, uma lei que associa uma informa¸cão a cada par de elementos do conjunto. No caso da rela¸cão de ordem, a cada par de elementosaebdo conjuntoCinvestigado associa a informa¸cão a ≤ b, ou seja a é menor o igual a b, ou também escrevo a à esquerda de b. O que significa na prática? Pego um conjunto C de três elementos: uma banana, uma pera, uma laranja. Defino um ordenamento emCdizendo que banana≤pera, pera≤laranja, laranja≤banana. Esta rela¸cão tem uma utilidade? Não sabemos por enquanto. É um ordenamento?

Não todas as rela¸cões binárias são ordenamentos. Uma rela¸cão de ordem é corretamente definida, num conjuntoC, se verifica as três propriedades seguintes:

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(1) (propriedade reflexiva) a≤a, para todoa∈C;

(2) (propriedade antisim´etrica) sea≤be b≤a, ant˜ao, a=b;

(3) (propriedade transitiva) se a≤be b≤c, ant˜ao, a≤c.

Voltando aR, ele é um conjunto onde é definido um ordenamento que se relaciona às opera¸cões de soma e produto gra¸cas às duas propriedades seguintes:

OS) ∀a, b, c∈R, se a≤b, ent˜ao a+c≤b+c;

OP) ∀a, b, c∈R, conc >0, se a≤b, ent˜ao ac≤bc.

O s´ımboloa < b deve ser pensado como a≤b ea6=b.

Exerc´ıcio 4. Dê exemplos, da vida real, de rela¸cões de ordem e de rela¸cões que não são de ordem.

Exerc´ıcio 5. O conjunto Q dos n´umeros racionais verifica todas as propriedades acima. Prove algumas delas.

Exerc´ıcio 6. Provar, usando as propriedades acima dos n´umeros reais, as propriedades seguintes:

1) ∀a∈R,a·0 = 0;

2) ∀a∈R,a >0⇒ −a <0;

3) ∀a, b∈R, sea >0 eb <0, ent˜ao ab <0;

3b) ∀a, b∈R, sea >0 eb >0, ent˜ao ab >0;

3c) ∀a, b∈R, sea <0 eb <0, ent˜ao ab >0;

4) ∀a, b, c∈R, se c <0, sea≤b, ent˜aoac≥bc;

5) ∀a, b,∈R, coma >0,b >0,a≤b se e somente sea² ≤b². 6) ∀a, b,∈R, coma >0,b >0,a≤b se e somente se 1/a≥1/b;

7) nos itens 4,5,6 vale a desigualdade estrita tese se for verificada na hip´otese?

8) dadoa∈R, prove que−1·a´e o oposto de a.

O exerc´ıcio acima pode desorientar, parecendo óbvio. De fato, queremos que as propriedades acima sejam provadas só usando as 11 propriedades algébricas introduzidas acima em R, que deve ser pensado, como já foi dito, como um conjunto abstrato.

Exerc´ıcio 7. Dado um conjunto abstrato que admite as duas opera¸cões de soma e produto e uma rela¸cão de ordem tal que as 11 propriedades acima sejam verificadas, prove que 0 e 1 são necessariamente diferentes.

Prove que a soma e o produto não podem ser a mesma opera¸cão. Prove que não podemos ter dois elementos neutros da soma e prove que não podemos ter dois elementos neutros do produto. Este inteligente exerc´ıcio foi sugerido por alguns alunos em conversas logo depois da conclusão das áulas.

2. Quarta-feira, 7 de mar¸co de 2018

Pode ser provado que Qé um conjunto onde podem ser introduzidas as opera¸cões de soma e produto e a rela¸cão de ordem tais que as onze propriedades acima sejam verificadas. A demonstra¸cão disso leva um tempo e não será abordada.

Vamos agora introduzir o axioma de continuidade, aquilo que diz que R (se existir) n˜ao pode ser Q. Ou seja, se existir um conjunto abstrato, que estamos chamando deR que admite uma soma, um produto e um

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ordenamento com as onze propriedades acima e que verifica também o próximo axioma de continuidade, ele não pode serQ.

Defini¸cão 4. Dados dois números reais a e b, é dito intervalo de extremos a e b cada um dos conjuntos seguintes:

[a, b] ={x∈R:a≤x≤b}, [a, b) ={x∈R:a≤x < b}, (a, b] ={x∈R:a < x≤b}, (a, b) ={x∈R:a < x < b}.

O primeiro e o quarto dos intervalos anteriores s˜ao ditos rispectivamentefechadoeaberto. N˜ao esquecemos os intervalos

[a,+∞) ={x∈R:x≥a}, (a,+∞) ={x∈R:x > a}, (−∞, b] ={x∈R:x≤b}, (−∞, b) ={x∈R:x < b}.

O primeiro e o terceiro s˜ao fechados, enquanto o segundo e o quarto s˜ao abertos.

Como o leitor sabe desde os cursos de Cálculo, os s´ımbolos +∞e−∞não denotam elementos do conjunto R, mas o s´ımbolo (−∞, b), por exemplo, denota o intervalo dos números de Rmenores deb.

Exerc´ıcio 8. Prove que o conjunto R possui infinitos n´umeros maiores de zero (que podemos chamar positivos). Use unicamente as 11 propriedades que definemRe eventualmente consequˆencias delas.

Exerc´ıcio 9. Dado qualquerb∈R, prove que o intervalo (−∞, b) possui infinitos elementos.

Consideramos agora uma sequˆencia (infinita) de intervalos fechados, I_k = [a_k, b_k] tais que I_k ⊆ Ik−1 e b_k−a_k = bk−1−ak−1

2 . Na igualdade anterior, o número 2, que aparece pela primeira vez, é definido por 2 = 1 + 1, assim como todos os números inteiros usados para “contar” os intervalos são definidos como somas de 1. Observe que, acima, se o primeiro intervalo da sequência é denotado por I0 = [a0, b0] temos bk−ak= b0−a0

2^k .

Uma fam´ılia de intervalosI_k como acima ´e chamada fam´ılia de intervalos encaixantes.

Axioma de continuidade. Dada uma sequência (infinita) de intervalos encaixantesIk como acima, existe e é único um elemento deR que pertence a todos osI_k.

Defini¸c˜ao 5. Dadoa >0, se existe um n´umero realb >0 tal queb² =a, chamamosbderaiz quadrada dea.

Usando o axioma de continuidade poderiamos provar que cadaapositivo (ou seja>0) possui raiz quadrada.

Porém a prova será feita depois da introdu¸cão das fun¸cões cont´ınuas.

Exerc´ıcio 10. Usando as propriedades algébricas dos números reais, prove que a raiz quadrada dea >0, se existir, é única.

O leitor pode fazer agora, como treinamento, alguns exerc´ıcios sobre conjuntos.

Exerc´ıcio 11. Seja U um conjunto, A e B subconjuntos deU. Denotamos porC_UA o complementar deA em U, ou seja o conjunto dos elementos deU que n˜ao pertencem a A. Prove as seguintes leis (ditas de De Morgan):

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1)C_U(A∪B) =C_UA∩ C_UB, 2)C_U(A∩B) =C_UA∪ C_UB.

Exerc´ıcio 12. Provar as propriedades seguintes: dados trˆes conjuntos A,B e C, 1)A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C),

2)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

Exerc´ıcio 13. Prove queQ não verifica o axioma de continuidade. Pode prová-lo como uma conseqüência do fato que, por exemplo, não existe nenhum racional cujo quadrado seja 2

Como consequˆencia do axioma de continuidade temos o importantissimo resultado seguinte.

Teorema 6(Princ´ıpio de Arquimédes). (com demonstra¸cão)Dados dois números reaisa, bcom0< a < b, existe um número inteiroN tal queN a > b.

O Princ´ıpio de Arquim´edes permite provar as propriedades seguintes que deixamos como exerc´ıcio.

Exerc´ıcio 14. Prove, usando o Princ´ıpio de Arquimedes, que o conjunto dos números reais positivos não admite m´ınimo. Ou seja, precisa provar que não existe o número positivo menor de todos os outros.

Exerc´ıcio 15. Prove o Princ´ıpio de Arquimedes (por exemplo usando o m´etodo visto em sala de ´aula).

Exerc´ıcio 16. Prove que, dados dois números reais, positivos a e b, tais que a < b, existe um número racional m/ntal quea < m/n < b e que existe um númeroirracional stal quea < s < b.

O exerc´ıcio acima mostra uma conseqüência do Princ´ıpio de Arquimedes: o fato bem conhecido de que entre dois números reais estão infinitos números racionais e infinitos números irracionais.

Exerc´ıcio 17. O resultado do Princ´ıpio de Arquimedes vale obviamente nos números racionais. Neste caso a demonstra¸cão é bem mais simples. Verifique.

3. Sexta feira 9 de mar¸co de 2018

Seja agoraE um subconjunto deR. Um n´umero realM ´e ditomajorantedeE sex≤M para todox∈E.

Um n´umero real m´e ditominorante deE sex≥m para todox∈E.

Um conjunto E é dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto é dito limitado inferiormente se admite pelo menos um minorante. É dito limitado se é limitado superiormente e inferiormente.

SeE é limitado superiormente definimossupremo de E, supE, o m´ınimo dos majorantes; se Eé limitado inferiormente definimos ´ınfimo de E, infE, o máximo dos minorantes. Se E é ilimitado superiormente escrevemos supE = +∞, seE é ilimitado inferiormente escrevemos infE =−∞.

O máximo de um conjunto E é o elemento maior, se existe, enquanto o m´ınimo é o elemento menor, se existe.

Um conjunto ´e dito finito se possui um n´umero finito de elementos.

O fato seguinte é uma consequência do axioma de continuidade (em alguns livros ele é de fato dado como o axioma de continuidade).

Teorema 7 (Existência do supremo e do ´ınfimo). (com demonstra¸cão) Um conjunto de números reais, limitado superiormente (inferiormente) admite supremo (´ınfimo) em R.

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Exerc´ıcio 18. Dˆe a demonstra¸c˜ao do Teorema 7.

Exerc´ıcios: Determine o superemo e o ´ınfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o m´aximo e o m´ınimo.

19. (2,3) 20. [0,+∞)

21. [−5,1)∪(1,4] 22. (0,3]∪[3,5]

23.

1− 1

n, n≥1

∪

1 + 1

n, n≥1

24. S

n≥2

− 1

2n,1− 1 n

25. {x∈Q:x²<2} 26.

2n

n²+ 1, n∈N

Exerc´ıcio 27. Determine supremo, ´ınfimo, m´aximo e m´ınimo (se existem) do conjunto:

A=

1− 1

n, n∈N, n≥1

, Exerc´ıcio 28. Seja A = S

n≥2

An, onde, para cada n, An =

− 1

2n,1− 1 n

. Determine supremo, ´ınfimo, m´aximo e m´ınimo (se existem).

Exerc´ıcio 29. Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A ⊆ B. Prove que supA ≤ supB e infA≥infB.

Dado un número real a, definimos módulo (ouvalor absoluto) de anúmero não negativo

|a|=

( a sea≥0

−a sea <0.

Exerc´ıcio 30. Prove asdesigualdades triangulares seguintes: para todosa, b∈R,

|a+b| ≤ |a|+|b|, |a−b| ≥ |a| − |b|.

Resolva algumas das inequa¸c˜oes seguintes.

31. x²−2x−1≤0 32. 3x²−x+ 2>0 33. x−2

x+ 1 > 1

x−1 34. x²+x−1

x²−2x+ 1≤ 1 2 35. x⁴−3

4x² > 1

4 36. x² ≤1

37. 2

x + 3< 4

x −1 38. 3

x² + 1≤x²−1 39. √

x−1< x−3 40. √

x²+ 2x−1>3−x 41. √

x−1<√

x 42. |x²−4x−5|>−x 43. √

−x <5 +x 44. | −6x+ 3|>−x+ 2

Defini¸cão 8. Dado um conjunto E contido emR, um pontop∈Ré ditoponto de acumula¸cão deE se cada vizinhan¸ca de p contém infinitos pontos de E.

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Observa¸cão 9. O leitor observe que um ponto de acumula¸cão de um conjunto E pode pertencer a E ou pode não pertencer.

Exerc´ıcio 45. Determine os pontos de acumula¸c˜ao de alguns dos conjuntos dos exerc´ıcios anteriores.

Exerc´ıcio 46. Determine um conjunto feito de infinitos elementos que n˜ao possui pontos de acumula¸c˜ao.

Exerc´ıcio 47. Tente escrever um exemplo de conjunto que tem s´o um ponto de acumula¸c˜ao.

4. Segunda feira 12 de mar¸co de 2018

Teorema 10 (de Bolzano-Weierstrass). (com demonstra¸c˜ao)Um subconjunto limitado e infinito (ou seja que possui infinitos elementos) possui (pelo menos) um ponto de acumula¸c˜ao.

Exerc´ıcio 48. Prove o Teorema de Bolzano-Weierstrass.

Agora vou colocar aqui alguns exerc´ıcios de “reaquecimento” (ou pouco de ginástica sobre conceitos de Cálculo 1 - teoria básicas das fun¸cões).

Exerc´ıcio 49. Dada f : E → R, prove que, para todo D ⊆ R e C ⊆ E, temos f(f⁻¹(D)) ⊆ D e f⁻¹(f(C))⊆C. Procure exemplos onde vale a igualdade e outros onde vale a inclus˜ao estrita.

Em particular, prove que, sef ´e sobrejetora, valef(f⁻¹(D)) =D e quef⁻¹(f(C)) =C sef ´e injetora.

Exerc´ıcio 50. Estude a monotonia das fun¸c˜oes seguintes:

(1) f :R→R,f(x) =x², (2) f : [2,6]→R,f(x) =x⁴, (3) f : [0,+∞)→R,f(x) =|x|, (4) f[−5,−4]∪[1,2], f(x) = 1/x.

Ou seja, diga se as fun¸cões acima são monótonas, ou se podem ser monótonas se restritas em oportunos subconjuntos do dom´ınio. Seja claro que o crescimento ou decrescimento das fun¸cões acima não pode ser provado usando as derivadas, mas usando unicamente as propriedades algébricas dos números reais.

Exerc´ıcio 51. Prove que a soma de duas fun¸cões crescentes é uma fun¸cão crescente. A composi¸cão de duas fun¸cões crescentes é uma fun¸cão crescente? E o produto? A inversa de uma fun¸cão estritamente crescente é uma fun¸cão estritamente crescente?

Exerc´ıcio 52. E evidente que uma fun¸´ cão estritamente monótona é invers´ıvel. É verdadeiro ou falso o vice-versa, ou seja, que uma fun¸cão invers´ıvel é estritamente monótona?

Uma fun¸cão é dita limitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela é limitada (superiormente, inferiormente). Neste caso o supremo (´ınfimo) de f, supf (inff) é, por defini¸cão, o supremo (´ınfimo) de Im (f). Se f não é limitada superiormente, dizemos que supf = +∞. Se não é limitada inferiormente, dizemos que inff =−∞.

Exerc´ıcio 53. Prove que cada fun¸cão f :R→Ré soma de uma fun¸cão par e de uma fun¸cão impar.

Conclu´ımos esta parte sobre a defini¸cão do sistema numérico da análise matemática com algumas observa¸cões.

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(1) A abordagem construtiva aos números reais parece mais simples. Pelo menos ela é intuitiva, digamos familiar, enquanto a abordagem axiómatica deixa algumas perplexidades. Aqui no queremos montar uma disputa entre dois partidos: o partido construtivo e o partido axiomático. Mas é preciso observar algumas coisas. A constru¸cão de R é dada a partir de N, passando pela constru¸cão de Z, depois de Q e finalmente de R. Já foi dito que as propriedades de soma produto e ordamento devem ser demonstradas. Inclusive, o axioma de continuidade deve ser provado. A questão delicada é: qual é a defini¸cão de N? A pergunta parece inocente, mas não é. De fato, um processo axiomático, que acreditavamos poder evitar, necessariamente deve ser usado para construir os primeiros passos do processo. A mais clássica defini¸cão do conjuntoNé devida a Giuseppe Peano (1858-1932) no come¸co do século XX.

(2) Portanto o conjunto Qé obtido a partir da defini¸cão de Ne da sua extensão contrutiva, como já foi dito. També foi observado queQpossui soma, produto, ordenamento que verificam as 11 propriedades, e pode provar queQnão verifica o axioma de continuidade. Uma pergunta que surge é a seguinte: de fato, existe um conjunto que possui soma, produto, ordenamento que verificam as 11 propriedades, e que verifica o axioma de continuidade? Uma das respostas que pode ser dada consiste na constru¸cão de um modelo que de fato que satisfa¸ca aquilo que a defini¸cão de R impõe. E portanto vamos cair na abordagem construtiva. Precisamos partir deN, que somente podem ser dados axiomaticamente, e contruimos Ra partir deQcom um processo abstrato. Seja claro que não podemos definir número real como alinhamento decimal, porque não faz algum sentido. Não tenho a possibilidade colocar aqui as ideias (resumidas) vistas em sala de áula.

As fun¸c˜oes cont´ınuas

Defini¸cão 11 (fun¸cão cont´ınua). SejamE um subconjunto de R,f :E →R uma fun¸cão dada e x∈E um ponto dado. Dizemos quef écont´ınua emxse para cadaε >0 existeδ >0 tal quef(x)∈(f(x)−ε, f(x) +ε) para todox∈(x−δ, x+δ)∩E. Af é ditacont´ınua se é cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio.

Em outras palavras a defini¸c˜ao acima diz quef ´e cont´ınua emxse, dada uma vizinhan¸caV def(x), existe uma vizinhan¸caU de xtal quef(U∩E)⊆V.

Exerc´ıcio 54. Sejam f :E →Ruma fun¸cão dada ex∈E um ponto isolado deE (umponto isolado de um conjunto é um ponto do conjunto que não é de acumula¸cão). Prove quef é cont´ınua em x.

O significado do conceito de continuidade emx (que é parecido – mas não igual – ao de limite) diz que, quando x se aproxima de x, então f(x) se aproxima de f(x). Se x for isolado em E, ele não tem pontos que se aproximam. Portanto f é trivialmente cont´ınua em x; porém, por outro lado, a continuidade não é interessante no caso dos pontos isolados, porque o conceito de fun¸cão cont´ınua quer dizer que “a imagem muda pouco quando a variável muda pouco”.

Exerc´ıcio 55. Sejamf :E→Ruma fun¸cão dada ex∈Eum ponto de acumula¸cão deE. Usando a defini¸cão de limite que foi vista nos cursos anteriores, prove quef é cont´ınua emxse e somente se limx→xf(x) =f(x).

Observa¸cão 12. Esta observa¸cão é devida a algumas dúvidas justamente levantada por alguns alunos em sala de áula. Nos livros de cálculo diferencial (ou de análise matemática) geralmente é apresentada primeiramente a teoria dos limites e depois a teoria das fun¸cões cont´ınuas. Todavia, a teoria das fun¸cões cont´ınuas pode ser tranquilamente apresentada e desenvolvida sem usar o conceito de limite de uma fun¸cão. Aqui (apesar

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do exerc´ıcio anterior) é justamente isso que está sendo feito. A teoria dos limites pode ser desenvolvida em seguida, sem algum prejuizo na compreensão. Eu prefiro, por outro lado, pular completamente a teoria dos limites porque isso dá a possibilidade de ter mais tempo para aprofundar melhor os outros conceitos da análise.

No cap´ıtolo seguinte será introduzida a derivada. Este conceito irá precisar da no¸cão e das propriedades dos limites e assim faremos o esfor¸co de usar a teoria dos limites conforme foi feita nos cursos do primeiro ano; sem voltar no assunto.

Em conclusão, todos os resultados deste cap´ıtulo sobre as fun¸cões cont´ınuas podem ser provados sem o uso dos limites; assim será feito em sala de áula e as propriedades da teoria dos limites não devem ser usadas na prova P1.

Exerc´ıcio 56. Determine alguns pontos que você acha interessante onde a fun¸cão é cont´ınua ou descont´ınua.

Justifique obviamente a resposta com as contas necess´arias.

(1) f :R→R,f(x) =

( 1/x sex6= 0 0 sex= 0.

(2) f : [0,4]→R,f(x) =

( x+ 3 se 0≤x≤3 x²−5 se 3< x≤4.

(3) A fun¸c˜ao sinal de x, definida emR, sign (x) =











−1 sex <0 0 sex= 0 1 sex >0.

(4) A fun¸cão parte inteira de x, o s´ımbolo é [x], definida em R, onde [x] é o maior inteiro relativo que não supera x.

(5) A fun¸c˜ao de Dirichlet,f :R→R,f(x) =

( 1 sex∈Q 0 sex∈R\Q. Exerc´ıcio 57. Prove quef(x) =x´e cont´ınua em todos os xreais.

Exerc´ıcio 58. Prove quef(x) =|x|´e cont´ınua em todos os x reais.

Exerc´ıcio 59. Dadosc∈Re f :R→R, definida porf(x) =c para todox (fun¸c˜ao constante), prove quef

´e cont´ınua.

Dadaf :E →R, um pontox∈E tal quef não é cont´ınua em xé ditoponto de descontinuidade.

Exerc´ıcio 60. Determine os pontos de descontinuidade das fun¸c˜oes parte inteira, sinal e da fun¸c˜ao de Dirichlet.

Observa¸cão 13. Considerando f(x) = 1/x, não é correto dizer que 0 é ponto de descontinuidade, porque 0 não pertence ao dom´ınio.

Exerc´ıcio 61. (dif´ıcil)(Veja Rudin pag. 76, ex. 10.) Seja f : (0,1]→Rdefinida como f(x) =

( 1/n sex=m/n, m en inteiros positivos e primos entre si (m≤n) 0 sex ´e irracional.

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Prove quef ´e cont´ınua nos pontos irracionais de (0,1] e descont´ınua nos racionais.

Proposi¸cão 14( Álgebra das fun¸cões cont´ınuas). (com demonstra¸cão)Sejam f :E →R, g:E→Rduas fun¸cões cont´ınuas em um ponto x∈E. Então:

(1) f +g ´e cont´ınua em x;

(2) f ·g ´e cont´ınua em x;

(3) f /g ´e cont´ınua em x (posto queg(x)6= 0).

Observa¸cão 15. A prova da continuidade do quociente é mais fácil usando o Teorema da conserva¸cão do sinal (Teorema 17 abaixo).

Exerc´ıcio 62. Prove os três itens da álgebra das fun¸cões cont´ınuas.

Exerc´ıcio 63. Gra¸cas à proposi¸cão acima é fácil verificar que os polinômios e as fun¸cões racionais são cont´ınuas. Verifique os detalhes desta afirma¸cão.

Proposi¸cão 16(Continuidade das fun¸cões compostas). (com demonstra¸cão)Sejam duas fun¸cõesf :A→ Reg:B→Rtais que Im(f)⊆B. Dadox∈A, suponhamos quef seja cont´ınua em xeg emf(x). Então, g◦f é cont´ınua em x.

Exerc´ıcio 64. Dê a demonstra¸cão da proposi¸cão acima.

Coloco agora alguns exerc´ıcios sugeridos pelo monitor Rodrigo Lima Dias.

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 65. Em cada afirma¸c˜ao abaixo, mostre ou dˆe contra-exemplo.

(1) Seae bsão números irracionais, â+b₂ é irracional.

(2) A soma ou a diferen¸ca entre um número racional e um irracional é um número irracional.

(3) O produto de dois números irracionais é um número irracional.

(4) O produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é um número irracional.

(5) Ser é um número irracional, então ¹_r também é irracional.

(6) Sex e y forem números irracionais tais quex²−y² seja racional não nulo, entãox+y e x−y serão ambos irracionais.

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 66. Verifique se os seguintes subconjuntos de R s˜ao limitados superiormente e/ou inferiormente e encontre, quando existirem, seus supremos e ´ınfimos, justificando.

(1) {ⁿ⁺⁽⁻¹⁾_n ⁿ :n∈N, n≥1}.

(2) {x∈R: ¹_x ≤x}.

(3) {x∈Q:x³−x <0}.

(4) {x∈R:x²+x+ 1≤0}.

(5) {_x¹₂ :x∈R, x6= 0}.

(6) {_n+1ⁿ :n∈N, n≥1}.

(7) {n+⁽⁻¹⁾_nⁿ :n∈N, n≥1}.

(8) T∞

n=1]1−_n¹,1 +¹_n[.

(9) S∞

n=1[_n¹,2− ¹_n].

(11)

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 67. Definaf: [0,1]→Rpor f(x) =







x, sex∈Q, 0, sex /∈Q. f admite pontos nos quais ´e cont´ınua? Justifique.

6. Sexta-feira, 16 de mar¸co de 2018

Vamos ver agora os teoremas clássicos das fun¸cões cont´ınuas. Entre as consequências deles, poderemos finalmente definir a fun¸cão raiz quadrada (mais em geral a raiz n-esima).

Teorema 17 (Conserva¸cão do sinal). (com demonstra¸cão) Seja f :E→R uma fun¸cão cont´ınua em um pontox∈E. Suponhamosf(x)>0. Então existe uma vizinhan¸ca de x, (x−δ, x+δ), tal que f(x)>0 para todox∈(x−δ, x+δ)∩E.

O leitor não terá dificuldade em adaptar o resultado acima ao caso em quef(x) é negativo.

Exerc´ıcio 68. Prove o Teorema de conserva¸c˜ao do sinal.

Exerc´ıcio 69. Um subconjunto E de Ré chamadoaberto se para todo c ∈ E existe um intervalo do tipo (c−δ, c+δ) que é contido emE. Dê alguns exemplos de subconjuntos abertos deRque não sejam os clássicos intervalos aberto do tipo (a, b) ou (−∞, b) ou (a,+∞). Dê alguns exemplos de subconjuntos de R que não são abertos.

Exerc´ıcio 70. Um subconjuntoE de Ré chamadofechado se seu complementar,R\E, é aberto. Prove que um conjuntoE éfechadose e somente se contém todos seu pontos de acumula¸cão.

Exerc´ıcio 71. (dif´ıcil) Prove que uma fun¸cão f :R→ Ré cont´ınua se e somente se para cada aberto A (no contradom´ınio) a imagem inversa dele,f⁻¹(A), é um aberto (no dom´ınio).

A teoria das fun¸cões cont´ınuas poderia ser elaborada para uma análise matemática baseada nos números racionais. Todos os resultados acima continuariam valendo. O seguinte não. Ele precisa do axioma da continuidade. Não casualmente é dado para fun¸cões definidas em intervalos.

Teorema 18 (de anulamento). (com demonstra¸cão) Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão cont´ınua em todo ponto de[a, b]. Suponhamos f(a)·f(b)<0. Então, existe um ponto c∈(a, b) tal que f(c) = 0.

Exerc´ıcio 72. Todas as hipóteses do enunciado acima são importantes para a demonstra¸cão (geralmente é assim: se um teorema é corretamente expresso, não tem hipóteses supérfluas). O leitor procure exemplos de fun¸cões cont´ınuas em conjuntos que não são intervalos para as quais o teorema de anulamento não vale.

Exerc´ıcio 73. Dˆe a demonstra¸c˜ao do Teorema de anulamento.

Exerc´ıcio 74. O teorema de anulamento é um teorema de existência e não fornece diretamente uma técnica para encontrar uma solu¸cão de uma equa¸cão f(x) = 0. Todavia, um algoritmo para aproximar solu¸cões de equa¸cões f(x) = 0 é fácil para ser determinado. Seja f : [a, b] → R cont´ınua e tal que f(a)·f(b) < 0.

Sejac1 = a+b

2 o ponto médio do intervalo. Se f(c1) = 0, o problema é resolvido. Senão, o novo intervalo [a1, b1] é obtido escolhendo aquela metade de [a, b] tal que f(a1)·f(b1) < 0. Continuando o processo, não temos nenhuma certeza de encontrar uma solu¸cão, mas sim uma sua aproxima¸cão. Se, digamos, ao passo n,

(12)

observamos queb_n−a_n= b−a

2ⁿ , o ponto médiocdon-ésimo intervalo tem uma distância menor de b−a 2ⁿ⁺¹ de uma solu¸cão da equa¸cão (embora este processo não permita conhecer, a menos de uma casualidade, a solu¸cão exata).

7. Segunda-feira, 19 de mar¸co de 2018

Consequˆencia importante do Teorema de anulamento e o seguinte Teorema dos valores intermedi´arios.

Cabe ao leitor lembrar as defini¸c˜oes de supremo e ´ınfimo de uma fun¸c˜ao (pag. 7).

Teorema 19 (dos valores intermediários). (com demonstra¸cão) Sejam I um intervalo de R e f :I → R uma fun¸cão cont´ınua. Então, a imagem def é feita por todos os valores entreinf(f) esup(f).

Observa¸cão 20. O teorema é falso se o dom´ınio não é um intervalo (pense em f(x) = 1/xque não admite zero como imagem).

Corol´ario 21. Uma fun¸c˜ao cont´ınua aplica intervalos em intervalos.

Exerc´ıcio 75. Dê a demonstra¸cão do Teorema dos valores intermediários.

Gra¸cas ao teorema dos valores intermediários podemos resolver um problema que parece óbvio mas não é.

Vamos escrevé-lo na forma seguinte: seja f : [0,2]→R, definida por f(x) = x². Qual é a imagem def? A resposta parece óbvia: a imagem é o intervalo [0,4]. É realmente óbvia tal resposta? A pergunta podem ser reformulada ass´ım: dado um número real bentre 0 e 4, existe um número real aentre 0 e 2 tal quea²=b?

O problema da imagem dex² é de fato o problema da existência da raiz quadrada (que é bem diferente do problema da unicidade dela, como no colocado num exerc´ıcio anterior).

A resposta ao problema da existência da raiz quadrada se dá usando as propriedades que fundamR. Dada a f acima (por exemplo), pelas propriedades algébricas dos números reais sabemos provar que: a) f(x) ≥0 para todox; b)f é estritamente crescente; c) atinge o máximo emx= 2 e o m´ınimo em x= 0; d) o máximo vale 4 e o m´ınimo 0. Portanto a imagem de f é contida em [0,4], mas podemos afirmar que coincide com [0,4]só usando o teorema dos valores intermediários.

O teorema dos valores intermediários permite (finalmente) provar a existência da raiz quadrada de um número positivo. Seja de fatoa >0 dado e seja a fun¸cãox²−a. Tal fun¸cão é negativa em zero e positiva para x suficientemente grande (pelo Teorema de Arquimédes). Portanto se anula em um ponto b, evidentemente positivo. Ou seja existe b tal que b² = a. Este b é a raiz quadrada de a, cuja unicidade já foi provada (exerc´ıcio 9). Portanto podemos definir agora f : [0,+∞)→R,f(x) =√

x.

Exerc´ıcio 76. Raiz n-ésima. Analogamente podemos definir a raiz n-ésima de um número positivo se n for par, e de um número real qualquer senfor impar. O leitor pode provar que a raiz existe e quef(x) = √ⁿ

x

é definida em [0,+∞) sené par e em Rsené impar.

Exerc´ıcio 77. Potências com expoente racional. Usando a defini¸cão de raizn-ésima e, em particular, o fato de que ela existe, podemos definir uma potência com expoente racional.

Come¸camos definindox⁰= 1 para cadax6= 0. Esta defini¸cão, absolutamente abstrata, permite a extensão das propriedades das potências aos casos que envolvem x⁰: sabemos que x^m/x^m = 1. por outro lado, se queremos aplicarx^m/x^m=x^m−m, a única possibilidade é dada da escolha acima.

(13)

Em seguida: dadosx real e positivo e m, ninteiros positivos, definimos precisamente:

x^m/n = √ⁿ

x^m = √ⁿ xm

. Podemos ir al´em: dadosx∈Re m inteiro positivo, definimos

x^−m= 1 x^m. As duas defini¸c˜oes acima permitem definir

x^m/n = √ⁿ

x^m = √ⁿ xm

, x >0, m, n∈Z, m, n6= 0.

Observamos o seguinte.

a) A fun¸cão f(x) =x^m/n, definida em (0,+∞) pode ser extendida em 0 se não tiver problema em anulamento de denominadores. O leitor verifique para quais valores dem, n é poss´ıvel.

b) A fun¸cão f(x) = x^m/n, definida em (0,+∞) pode ser extendida aos x ≤0 se não tiver problema em anulamento de denominadores e raizes de ´ındice par de números negativos. O leitor verifique para quais valores dem, né poss´ıvel.

c) O leitor prove que as potências de expoente racional verificam as clássicas propriedades das potências:

x^r ·x^s = x^r+s, x^r ·y^r = (xy)^r, (x^r)^s = x^rs. (O caso do expoente inteiro ´e imediato e n˜ao precisa ser aprofundado.)

d) A potência 0⁰ não é definida. O leitor pode tentar explicar quais poss´ıveis problemas encontraria uma tentativa de associar um valor a 0⁰.

Observa¸cão 22. O passo seguinte seria a defini¸cão de potência com expoente real. Nos cursos de Cálculo não é dedicado muito espa¸co ao aprofundamento deste conceito, e são usadas sem grandes problemas fun¸cões do tipo x^α, ondex é real e positivo e α é real, ea^x, ondeaé real e positivo e x é real. ( É inclusive definida a fun¸cão x^x para todo x real e positivo.) Fica claro que, por exemplo, 2^π não pode significar o produto do número 2 por si “π vezes”. Uma possibilidade para definir 2^π e obté-lo como um processo de aproxima¸cão de sequências de potências 2^m/n quando os expoentes racionais aproximam π. Mais simplesmente podemos definir

2^π = sup{2^m/n, onde m, n∈N, em/n < π}.

Por esta via não é particularmente dif´ıcil (mas não é totalmente trivial) provar que 2^xé estritamente crescente.

Fica mais complicado todavia provar a continuidade e a derivabilidade.

A estratégia que usaremos neste curso para a apresenta¸cão das potências con expoente real será outra.

Baseia-se na teoria da integra¸cão e portanto não pode ser desenvolvida agora. A avantagem principal desta abordagem, além do fato de permitir ao estudante ver um outro ponto de vista, é a extrema facilidade da demostra¸cão das principais propriedades dex^α e a^x.

Vamos ver agora a continuidade das fun¸cões inversas. Primeiramente observamos o fato seguinte. As fun¸cões estritamente monótonas são invers´ıveis, mas o vice-versa é falso.

(14)

- 6

@

O acima ´e o gr´afico def : (−1,1)→R,f(x) =

( −x se −1≤x <0 x+ 1 se 0≤x <1.

Além disso, é fácil ver que f é descont´ınua em zero. Por outro lado a fun¸cão g: (−1,0)∪[1,2]→R,g(x) =

( −x se −1≤x <0

x se 1≤x≤2 ´e cont´ınua ´e invers´ıvel, mas com inversa descont´ınua em 1.

- 6

@

Exerc´ıcio 78. Escreva a fun¸c˜ao inversa (determinando o dom´ınio) e desenhe o gr´afico.

Sobre a rela¸c˜ao entre invers´ıbilidade, monotonia e continuidade valem os resultados seguintes.

Lema 23. (com demonstra¸cão) Seja I intervalo de R e f : I → R cont´ınua e invers´ıvel. Então, f é estritamente monótona em I.

O lema acima ´e usado para a demonstra¸c˜ao do teorema seguinte.

Teorema 24 (Continuidade da fun¸cão inversa). (com demonstra¸cão) Seja I intervalo de R e f :I → R cont´ınua e invers´ıvel. Então, f⁻¹ é cont´ınua.

Uma consequˆencia do teorema acima ´e a continuidade de √ⁿ

x (no oportuno dom´ınio que depende do fato denser par o impar). Usando a continuidade do quociente de fun¸cões cont´ınuas e da composi¸cão, é fácil ver a continuidade de x^m/n,m, n∈Z.

Exerc´ıcio 79. Apresente os detalhes das afirma¸c˜oes acima e prove o Lema 23 e o Teorema 24.

9. Sexta-feira 23 de mar¸co de 2018

(15)

Seja f :E → R uma fun¸cão definida em um subconjunto E de R qualquer. Definimos o máximo de f, max(f) em s´ımbolos, o máximo da imagem de f. O m´ınimo de f, min(f), é definido como o m´ınimo da imagem def.

E claro que temos in´´ umeros exemplos de fun¸cões que não possuem máximo nem m´ınimo. O seguinte teorema, devido a Weierstrass¹, garante a existência do máximo e do m´ınimo de uma fun¸cão cont´ınua definida em um conjunto limitado e fechado (um subconjunto limitado e fechado deRé chamado compacto).

Teorema 25(de Weierstrass). (com demonstra¸cão)Uma fun¸cão cont´ınua definida em um conjunto compacto possui máximo e m´ınimo.

Exerc´ıcio 80. A hipótese de compacidade do dom´ınio é essencial. O leitor procure um exemplo de uma fun¸cão cont´ınua definida em um conjunto não limitado que não possui máximo (ou m´ınimo) e um exemplo de uma fun¸cão cont´ınua definida em um conjunto não fechado que não possui máximo (ou m´ınimo).

Exerc´ıcio 81. Prove o seguinte fato: dado um subconjunto E de R, um ponto c ´e ponto de acumula¸c˜ao de E se e somente se cada intervalo (c−δ, c+δ) possui infinitos pontos deE.

Exerc´ıcio 82. Dê a demonstra¸cão do Teorema de Weierstrass (use o exerc´ıcio anterior, entre as várias ferramentas).

* * *

Vamos ver agora o conceito de continuidade uniforme.

Defini¸cão 26 (continuidade uniforme). Dado um subconjunto E de R, uma fun¸cão f : E → R é dita uniformemente cont´ınua se, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ E e |x −y| < δ, então

|f(x)−f(y)|< ε.

Teorema 27. (com demonstra¸cão)Uma fun¸cão cont´ınua definida em um conjunto compacto é uniformemente cont´ınua.

Exerc´ıcio 83. Dˆe a demonstra¸c˜ao do teorema anterior.

Exerc´ıcio 84. Prove quex² (definida emR) não é uniformemente cont´ınua. Prove che 1/xnão é uniformemente cont´ınua em (0,1).

Exerc´ıcio 85. (Apostol, pag. 166) Dar um exemplo de uma fun¸cão que é cont´ınua num ponto de um intervalo e descont´ınua em todos os outros pontos do intervalo, ou provar que não existe uma tal fun¸cão.

(Sugest˜ao: pense na fun¸c˜ao de Dirichlet.)

Exerc´ıcio 86. Prove que, para qualquer areal, a equa¸c˜ao x³+x−a= 0 tem uma e somente uma solu¸c˜ao real.

Exerc´ıcio 87. Sejaf :R→Rcont´ınua, tal quex−5< f(x)< x+ 1 para todox∈R. Determine a imagem de R(justificando a resposta).

Exerc´ıcio 88. Lembramos que um subconjuntoAdeRé ditoabertose todo pontox∈Apossui a propriedade seguinte: existe δ (que depende evidentemente de x) tal que (x−δ, x+δ)⊆A. Prove que a união de uma fam´ılia qualquer de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Prove que a interse¸cão de uma fam´ılia finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

1Karl Weierstrass, 1815-1897, foi um dos grandes refundadores e reorganizadores da análise matemática moderna, baseando o trabalho na clareza dos axiomas e das demonstra¸cões.

(16)

Exerc´ıcio 89. Dê um exemplo de uma interse¸cão de uma fam´ılia infinita de conjuntos abertos que seja um conjunto aberto e um exemplo de uma interse¸cão de uma fam´ılia infinita de conjuntos abertos que não seja um conjunto aberto.

Exerc´ıcio 90. Lembramos que um subconjunto E de R é dito fechado se o complementar dele, E^C{x ∈ Rt.q x /∈E}, é aberto. Prove que a união de uma fam´ılia finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

Prove que a interse¸c˜ao de uma fam´ılia qualquer de conjuntos fechados ´e um conjunto fechado.

Exerc´ıcio 91. Dê um exemplo de uma união de uma fam´ılia infinita de conjuntos fechados que seja um conjunto fechado e um exemplo de uma união de uma fam´ılia infinita de conjuntos fechados que não seja um conjunto fechado.

Exerc´ıcio 92. SejaE um subconjunto dado de E. Chamamos fecho de E, em s´ımbolosE, a interse¸c˜ao de todos os conjuntos fechados que contˆem E. Seja dadoE e sejaC um conjunto fechado tal queE ⊆C⊆E.

Prove queC =E.

Exerc´ıcio 93. Um subconjuntoE deR´e chamadodenso se cada intervalo de Rpossui pontos deE. Prove queE ´e denso se e somente seE =R.

Exerc´ıcio 94. Determine o supremo e o ´ınfimo do conjunto E =

x∈

1 2,2

3

: x=m/2ⁿ, m, n∈N

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 95. Um ponto x de um conjunto E ´e chamado ponto interior de E se existe δ >0 tal que (x−δ, x+δ)⊆E. O conjunto dos pontos interiores de E ´e chamado interior de E. Encontre o interior de cada conjunto.

(1) {_n¹ :n∈N} (2) [0,5]∪(6,7]

(3) {r ∈Q: 0< r <√ 2}

(4) {r ∈Q:r≥√ 2}

(5) [0, π]∩[π,5]

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 96. Classifique cada conjunto abaixo como aberto, fechado, ambos ou nenhum dos dois. Al´em disso, determine seu respectivo fecho.

(1) {_n¹ :n∈N} (2) N

(3) Q (4) T∞

n=1 0,_n¹

(5) {x∈R:|x−5| ≤ ¹₂} (6) {x∈R:x²>0}

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 97. Prove que o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de um conjunto dado ´e sempre fechado.

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 98. Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirma¸cões. Em suas explica¸cões não é permitido utilizar qualquer uma das palavras em itálico.

(1) a∈X n˜ao´e pontointeriorde X.

(2) X ⊆Rn˜ao´e um conjuntoaberto.

(3) O conjunto Y ⊆Rn˜ao´e fechado.

(17)

(4) a∈Rnãoéponto de acumula¸cãode X⊆R.

(5) X⁰ =∅ (o s´ımboloX⁰ denota o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de X).

(6) X ⊆Y mas nãoédenso emY. (7) X nãoé compacto.

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 99. DadoS ⊆Rn˜ao vazio, podemos definir, para cadax∈R, f(x) = inf{|x−s|:s∈S}.

(1) Mostre quef(x) = 0 se, e somente se, x∈S.

(2) Mostre quef ´e cont´ınua. [Sugest˜ao: Mostre que |f(x)−f(y)| ≤ |x−y| ∀x, y∈R.]

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 100. Sejam f:R → R cont´ınua e X ⊆R. Suponha que f(x) = 0 para todo x∈X. Mostre quef(x) = 0 para todox∈X. Conclua que, se duas fun¸cões cont´ınuas deRemRcoincidem em um subconjunto denso deR, então elas são iguais.

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 101. Encontre um exemplo de fun¸cãog:R→Rque seja cont´ınua em exatamente um único ponto de R e um outro exemplo de fun¸cão f:R → R que seja descont´ınua em todo ponto de R, mas quef² seja cont´ınua emR.

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 102. Mostre que toda fun¸c˜ao cont´ınuaf: [a, b]→[a, b] admite ponto fixo, isto

´e, existec∈[a, b] tal quef(c) =c.

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 103. Seja f uma fun¸c˜ao definida em um intervalo I. Prove as seguintes afirma¸c˜oes.

(1) Sef é cont´ınua e injetora, então f é estritamente crescente ou estritamente decrescente.

(2) Sef é estritamente crescente (ou decrescente) e sef(I) é um intervalo, então f é cont´ınua.

Exerc´ıcio (lista Rodrigo) 104. SejaI um intervalo. Uma fun¸cão f:I → R é dita Lipschitziana (ou de Lipschitz) se existe uma constante K >0 tal que |f(x)−f(y)| ≤ K|x−y| para tod x, y ∈ I. Mostre que toda fun¸cão Lipschtziana é uniformemente cont´ınua.

10. Segunda feira 2 de abril de 2018

A derivada de uma fun¸cão: defini¸cão e algumas aplica¸cões

Como dito nas páginas anteriores, para introduzir a derivada precisamos trabalhar com os limites. Imag- inamos portanto ter acesso aos resultados clássicos sobre teoria dos limites. Inclusive, será usado, quando necessário, o resultado que diz quef é cont´ınua em um pontocse e somente se limx→cf(x) =f(c) (claramente secé ponto de acumula¸cão do dom´ınio def)

Seja I um intervalo de R, f : I → R uma fun¸cão dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equa¸cões y=f(x₀) +m(x−x₀) representam as retas secantes ao gráfico def no ponto (x₀, f(x₀)) (a reta vertical que tem equa¸cão x=x0 é a única reta que não pode ser escrita na formay=f(x0) +m(x−x0)).

Seja agorax∈I e o correspondente ponto no gr´afico def, (x, f(x)). O quociente f(x)−f(x₀)

x−x0

(18)

se chama razão incremental de f, relativa a x0 e a x e é o coeficiente angular da secante que passa por (x₀, f(x₀)) e (x, f(x)). Se existe o limite desta razão quando x → x₀, este limite dá, intuitivamente, o coeficiente angular de uma “reta posi¸cão limite” das secantes (quandox→x₀).

Defini¸c˜ao 28. Se existe e ´e finito o limite

x→xlim₀

f(x)−f(x₀) x−x₀ =l,

então dizemos quef é derivável em x0 e o númerol se chamaderivada de f em x0.

A derivada def em x0 (se existe) ´e denotada, normalmente, por um dos s´ımbolos seguintes:

f⁰(x0), df

dx(x0), Df(x0), Df(x)|_x=x₀. O primeiro ´e aquele mais comun.

Uma outra forma de escrever a raz˜ao incremental e portanto o limite acima ´e obtida pondo x−x0 = h.

Temos

f(x0+h)−f(x0)

h e lim

h→0

f(x0+h)−f(x0)

h .

A no¸cão de derivada é pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma fun¸cão em um ponto.

Dadaf :I →R, sef é derivável em todos os pontos deI, dizemos quef é derivável e fica bem definida uma nova fun¸cão, a derivada de f,x7→f⁰(x), definida em I.

Se f é derivávelx0, a reta de equa¸cãoy =f(x0) +f⁰(x0)(x−x0) é definida reta tangente ao gráfico def no ponto (x₀, f(x₀)).

Aten¸cão: a precedente é a defini¸cão de reta tangente; outras poss´ıveis defini¸cões, como “a reta que encosta o gráfico só em um ponto”, são corretas só em casos muito particulares, por exemplo a circunferência.

Reta secante e reta tangente em (x₀, f(x₀)).

- 6

x₁ x₀ -

6

HH HH

H HHH x₀

Exerc´ıcio 105. Na parábola de equa¸cão y = x² procure um ponto onde a reta tangente à parabola forma um ângulo deπ/4 com o eixo x.

Derivadas de algumas fun¸c˜oes elementares.

FUNC¸ ˜AO f(x) DERIVADAf⁰(x)

c (fun¸c˜ao constante) 0

xⁿ(n∈N,n≥1) nxⁿ⁻¹

Exerc´ıcio 106. Prove os resultados da tabela acima.

Exerc´ıcio 107. Dados os gr´aficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os gr´aficos das derivadas.

(19)

- 6

c a

- 6

a b

- 6

c d

a

- 6

c d

Exerc´ıcio 108. Sejaf(x) =x³. Calcule, usando a defini¸c˜ao de derivada,f⁰(0), f⁰(−2),f(1/2).

Exerc´ıcio 109. Prove que a derivada de uma fun¸cão par (e derivável) é uma fun¸cão impar; e que a derivada de uma fun¸cão impar (e derivável) é uma fun¸cão par.

Exerc´ıcio 110. Prove que a fun¸cão |x|não é derivável em zero.

Proposi¸cão 29 (Continuidade de uma fun¸cão derivável). (com demonstra¸cão) Seja f : I → R uma fun¸cão derivável em um ponto x0∈I. Então, f é cont´ınua em x0.

Exerc´ıcio 111. Prove a proposi¸c˜ao acima.

Proposi¸cão 30 (Algebra das derivadas). (com demonstra¸cão)Sejamf, g:I →Rduas fun¸cões deriváveis em um pontox0∈I. Então são deriváveis em x0 as fun¸cõesf±g,f·g, 1/g ef /g (nestes últimos dois casos se g(x0)6= 0) e temos as fórmulas seguintes:

(1) (f+g)⁰(x₀) =f⁰(x₀) +g⁰(x₀), (2) (f−g)⁰(x₀) =f⁰(x₀)−g⁰(x₀),

(3) (f g)⁰(x0) =f⁰(x0)g(x0) +f(x0)g⁰(x0), (4) (1/g)⁰(x0) =− g⁰(x0)

(g(x0))²,

(5) (f /g)⁰(x0) = f⁰(x0)g(x0)−f(x0)g⁰(x0) (g(x₀))²

(20)

Como exemplo, sen´e inteiro positivo ex6= 0, D 1

xⁿ =−n 1 xⁿ⁺¹

Proposi¸cão 31(Derivada da fun¸cão composta). (com demonstra¸cão)Sejam dadas duas fun¸cõesf :I →R eg:J →R, tais que Im(f)⊆J. Sejamf derivável em um pontox₀ ∈I eg derivável emy₀ =f(x₀). Então g◦f é derivável em x0 e (g◦f)⁰(x0) =g⁰(y0)f⁰(x0).

Demonstra¸c˜ao. Dado x∈I, consideramos a raz˜ao incremental g(f(x))−g(f(x₀))

x−x₀ .

Vamos dividir a prova em dois casos. Caso A: suponhamos que exista um intervalo (x0−a, x0+a) tal que f(x)6=f(x0) para todo x∈(x0−a, x0+a)∩I e (obviamente)x6=x0. Neste caso temos

g(f(x))−g(f(x₀)) x−x0

= g(f(x))−g(f(x₀)) f(x)−f(x0)

f(x)−f(x₀) x−x0

. (1)

Ou seja, para todo x ∈ (x₀−a, x₀+a)∩I e x 6= x₀ podemos escrever o quociente com f(x)−f(x₀) no denominador. Consideramos agora a fun¸c˜ao h:J →R, definida por

h(y) =







g(y)−g(y₀) y−y0

sey6=y0

g⁰(y₀) sey=y₀.

Sendo g derivável em y0, então h é cont´ınua em y0 (consequência direta da defini¸cão de derivada). A composi¸cão h◦f : (x₀−a, x₀+a)∩I →Ré definida por

(h◦f)(x) =







g(f(x))−g(f(x₀))

f(x)−f(x₀) sex6=x₀ g⁰(y0) sex=x0.

O leitor pode fazer as (simples) contas que justificam esta última fórmula. Aplicando a proposi¸cão 16, temos a continuidade de h◦f emx₀, portanto temos o limite

x→xlim₀

g(f(x))−g(f(x0))

f(x)−f(x₀) =g⁰(y₀).

Por outro lado, pela derivabilidade def em x0, temos

x→xlim0

f(x)−f(x0)

x−x₀ =f⁰(x0).

Agora, as duas fra¸c˜oes do lado direto da igualdade (1) acima tˆem limites finitos. Portanto o limite do produto coincide com o produto dos limites (resultado de teoria dos limites que vamos aqui usar) e temos

x→xlim₀

g(f(x))−g(f(x0))

x−x₀ =g⁰(y₀)·f⁰(x₀).

Caso B: vamos agora eliminar a hipótese auxiliar do caso A. Portanto, não sabendo para quais valores dex temosf(x)6=f(x0), temos que proceder com cuidado. Contudo, uma pequena varia¸cão do método do caso A continua valendo neste caso B: sejah como acima. A diferen¸ca com o caso A está na composi¸cão

G(x) = (h◦f)(x) =







g(f(x))−g(f(x₀))

f(x)−f(x₀) sef(x)6=f(x₀) g⁰(y0) sef(x) =f(x0).

(21)

Gé cont´ınua emx0 porque composi¸cão de fun¸cões cont´ınuas e portanto

x→xlim0

G(x) =g⁰(y0).

Por outro lado, n˜ao sendo poss´ıvel escrever a igualdade (1) acima, consideramos g(f(x))−g(f(x0))

x−x0

=G(x) f(x)−f(x0) x−x0

.

(O leitor verifique que a igualdade acima é correta para todo x. Isso porque quando f(x) = f(x0) os dois membros são nulos). Os limites das duas fun¸cões do segundo membro existem e são finitos. De novo, o limite do produto coincide com o produto dos limites e temos finalmente a tese do teorema.

11. Quarta-feira, 4 de abril de 2018

Proposi¸cão 32 (Derivada da fun¸cão inversa). (com demonstra¸cão)SejaI intervalo,f :I →Rinvers´ıvel eg:Im(f)→Ra fun¸cão inversa def. Seja f cont´ınua em um pontox₀ e a inversa cont´ınua emy₀=f(x₀).

Sef é derivável em x₀ e f⁰(x₀)6= 0, então,g é derivável em y₀ e temosg⁰(y₀) = 1/f⁰(x₀).

Como aplica¸c˜ao dos ´ultimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas.

FUNC¸ ˜AO f(x) DERIVADAf⁰(x)

√n

x(=x^1/n) 1

nx^1/n−1 (veja-se a analogia com as outras f´ormulas)

x^m/n (m, n inteiros) m

nx^m/n−1 (veja-se a analogia com as outras fórmulas) Exerc´ıcio 114. Encontre um ponto P na hipérbole de equa¸cão y = 1

1 +x tal que a tangente por P encontre a origem do plano.

Exerc´ıcio 115. Encontre a equa¸cões das tangentes à parábolay=x²−4x+ 3 que passam pela origem.

Exerc´ıcio 116. Calcule a área do triângulo que tem como vertices os pontos comuns das parábolas y =x² e y =x−x² e o ponto de interse¸cão entre o eixo das abscissas e a tangente à parábola 2y =x² em (−2,2).

Exerc´ıcios. Determine em quais pontos são deriváveis as fun¸cões seguintes e calcule as derivadas.

117. signx·x² p

|x|

118. |x²+x| 119. [x]

Exerc´ıcios. Calcule as derivadas das fun¸c˜oes seguintes.

120. x²+ 2

x³−3x 121. √

x+ 1

√3

x⁴+ 1

Exerc´ıcio 122. Escreva a equa¸cão da reta tangente ao gráfico em (x₀, f(x₀)) da fun¸cão seguinte.

123. x³+ 2x+ 3, x₀ =−1/2

(22)

Exerc´ıcio 124. Diga em quais pontos a fun¸cão seguinte é derivável e calcule a derivada (nos pontos onde existe). Depois, diga se a derivada é cont´ınua.

f(x) =









 2x

x²+ 2 x >0

0 x= 0

x

−x²−3 x <0

12. Sexta-feira, 6 de abril de 2018

Vamos estudar agora os m´aximos e m´ınimos, absolutos e relativos.

Defini¸c˜ao 33. SejaAum subconjunto de Re f :A→Ruma fun¸c˜ao.

a) Omáximo absolutodef é o máximo (se existe) da imagem def. Om´ınimo absoluto def é o m´ınimo (se existe) da imagem de f.

b) Um ponto x0 ∈ A é dito ponto de máximo absoluto se f(x0) é o máximo absoluto de f. Um ponto x0∈Aé dito ponto de m´ınimo absoluto sef(x0) é o m´ınimo absoluto de f.

c) Um ponto x₀ ∈ A é dito ponto de máximo relativo se existe um intervalo (x₀ −δ, x₀ +δ), tal que f(x)≤f(x₀), para cadax ∈A∩(x₀−δ, x₀+δ). Um pontox₀ ∈A é dito ponto de m´ınimo relativo se existe um intervalo (x0−δ, x0+δ), tal que f(x)≥f(x0), para cada x∈A∩(x0−δ, x0+δ).

Exerc´ıcio 125. Seja a fun¸cão f(x) = 2x,x∈[1,2]∪[3,4]. Determine, justificando a resposta, o máximo e o m´ınimo def (porque existem?) e os pontos de máximo e m´ınimo relativos.

Exerc´ıcio 126. Determine, justificando a resposta, os pontos de m´aximo e m´ınimo absoluto e relativo de

f(x) =











x² se −1≤x <0 2 sex= 0 3−x se 0< x≤3.

As defini¸cões acima envolvem fun¸cões quaisquer, ou seja, que podem ser ou não ser cont´ınuas nem de- riváveis. Contudo, se a fun¸cão estudada é derivável, a sua derivada nos dá informa¸cões sobre os máximos e os m´ınimos.

Teorema 34 (de Fermat). (com demonstra¸cão)(Condi¸cão necessária para a existência dos pontos de máximo ou de m´ınimo relativo.) Seja I intervalo de R e f : I → R uma fun¸cão dada. Seja x0 um ponto interior de I (ou seja, um ponto que pertence a I, mas não é extremo) e seja também um ponto de máximo ou de m´ınimo relativo de f. Suponhamos que f seja derivável em x0. Então, f⁰(x0) = 0.

Dada uma fun¸c˜aof :I →R, um pontox₀ tal que f⁰(0) = 0 se chamaponto cr´ıtico ou ponto estacion´ario.

Exemplo: f(x) = x², x ∈ R. Todos os pontos do dom´ınio são internos e f é derivável. Sabemos que x= 0 é ponto de máximo absoluto (e portanto relativo) de f. O teorema de Fermat nos diz que f⁰(0) = 0, coisa que pode ser calculada facilmente.

(23)

O vice-versa do teorema não vale. Dada uma fun¸cão f, se f⁰(x0) = 0, não sabemos se x0 é ponto de máximo ou m´ınimo relativo. x= 0 é ponto cr´ıtico def(x) =x³, mas não é ponto de máximo nem de m´ınimo relativo.

O teorema de Fermat é usado só para estudar pontos interiores ao dom´ınio. Se, por exemplo, consideramos f(x) =x,x∈[0,1], sabemos que 0 é ponto de m´ınimo e 1 é ponto de máximo. Porém, f⁰(x) = 1, para todo x. Neste caso os pontos de máximo e de m´ınimo são os extremos do dom´ınio; o teorema de Fermat não pode ser aplicado.

Resumindo, os pontos de m´aximo ou de m´ınimo relativo de uma fun¸c˜ao f :I →R, devem ser procurados entre:

(1) os pontos internos do dom´ınio ondef é derivável e a derivada é zero;

(2) os pontos ondef não é derivável;

(3) os extremos deI.

Exemplo: f(x) =x³/3−x²/2−3; a fun¸cão é definida emR, que é aberto (todos os pontos são interiores),

é derivável em Re a derivada se anula em 0 e 1. Estes dois pontos são candidatos a ser pontos de máximo ou de m´ınimo relativo, mas ainda não temos condi¸cões suficientes para dizer se de fato são.

Para estudar pontos de máximo ou de m´ınimo relativo, precisamos de um teorema, o Teorema do valor médio ou de Lagrange, que é um dos mais importantes da Análise matemática. Veremos este teorema em breve. O exerc´ıcio seguinte formhece condi¸cões suficientes para obter pontos de máximo ou m´ınimo relativo, só no caso de extremos de intervalos.

Exerc´ıcio 127. Sejaf : [a, b]→R deriv´avel. Prove (pelo menos) uma das rela¸c˜oes seguintes:

(1) sef⁰(a)>0, ent˜ao a´e ponto de m´ınimo relativo;

(2) sef⁰(a)<0, então aé ponto de máximo relativo;

(3) sef⁰(b)>0, então bé ponto de máximo relativo;

(4) sef⁰(b)<0, ent˜ao b´e ponto de m´ınimo relativo.

Exerc´ıcio 128. Considere a fun¸c˜ao f :R→R, definida por f(x) =







x²sen1

x sex6= 0

0 sex= 0,

e aborde os problemas seguintes. A fun¸cão f é derivável em todo x real. Se x 6= 0, calcule a derivada, explicando em detalhes quais ferramentas está utilizando. A derivada emx= 0 se existe (e neste caso existe) somente pode ser calculada usando a defini¸cão de derivada. Porque outras técnicas não podem funcionar?

Explique. Enfim, prove que a derivada n˜ao ´e cont´ınua emx= 0.

13. Segunda-feira, 9 de abril de 2018 e 14. Quarta-feira, 11 de abril de 2018 Excerc´ıcios em sala de ´aula. prepara¸c˜ao da prova P1.

15. Sexta-feira, 13 de abril de 2018 Prova P1.

(24)

16. Segunda-feira, 16 de abril de 2018

Exerc´ıcio 129. Entre todos os números reais, não negativos, cuja soma é 1, determine aqueles cujo produto

´e m´aximo.

Ideia da resolu¸cão: se x, ysão reais e≥0, a fun¸cão (de duas variáveis) produtof(x, y) =xyevidentemente não tem máximo. Contudo, x e y tem o v´ınculo y = 1−x; portanto podemos montar a fun¸cão g(x) = x(1−x), definida em [0,1]. Ag(x) possui máximo absoluto porque podemos aplicar o Teorema de Weierstrass.

Lembrando da lista apresentada anteriormente de candidatos a serem pontos de máximo absoluto, temos 0, 1 e o (único) ponto cr´ıtico interior, que é 1/2. A compara¸cão das imagens determina a solu¸cão do exerc´ıcio.

Exerc´ıcio 130. Refa¸ca de novo o exerc´ıcio. Al´em disso, qual ´e o m´ınimo do produto?

Exerc´ıcio 131. O exerc´ıcio tem uma leitura geométrica e pode ser equivalentemente formulado assim: entre todos os retângulos de per´ımetro fixado, igual a 2, determine aquele de área máxima. Existe o retângulo de

´

area m´ınima?

Exerc´ıcio 132. (Generaliza¸cão do exerc´ıcio inicial.) Determine o máximo de f(x) =x^m(1−x)ⁿ, ondem, n são inteiros positivos fixados e x∈[0,1].

Exerc´ıcio 133. Entre todos os números reais ae b, não negativos e tais quea²+b²= 1, determine aqueles cuja soma é máxima.

Exerc´ıcio 134. Analogamente ao exerc´ıcio anterior, este também tem uma leitura geométrica e pode ser equivalentemente formulado assim: entre todos os retângulos inscritos numa circunferência de raio 1 determine aquele de per´ımetro máximo. Existe o retângulo de per´ımetro m´ınimo? Enuncie e aborde os análogos problemas relativos à àrea máxima e m´ınima.

Exerc´ıcio 135. Enuncie e aborde os an´alogos problemas relativos aos retˆangulos circumscritos.

Exerc´ıcio 3. No desenho ao lado temos duas torres de altura a e b, respectivamente, e distância d. Um passaro voa da cima da primeira torre, encosta o chão em P a vai para cima da segunda torre. Ele percorre caminhos retos. Determine P tal que o caminho percorrido seja m´ınimo. O exerc´ıcio dá a possibilidade de comparar o resultado obtido com a lei de reflexão da luz e a lei dos senos de Snell sobre a

refra¸c˜ao. C

A

D B

P

\

\\

Exerc´ıciosDiga se existem o máximo e o m´ınimo absolutos (e os pontos de máximo e m´ınimo absoluto) das fun¸cões seguintes nos conjuntos indicados ao lado.

136. x²+ 2

x, (0,+∞) 137. x

1 +x², R

138. x−[x], R 139. x²

1 +x², R

Exerc´ıcio 140. Divida 8 em duas partes tais que seja m´ınima a soma dos cubos delas.

Exerc´ıcio 141. SejaV o volume de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero. Determine o lado do triângulos tal que a área total seja m´ınima.

Exerc´ıcio 142. Entre todos os cilindros inscritos na esfera de raio 1 determine: