Centro Federal de Educa¸c˜ ao Tecnol´ ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Unidade Descentralizada de Ensino de Nova Igua¸cu – UnED NI
Engenharia de Produ¸c˜ ao e Engenharia de Controle e Automa¸c˜ ao Disciplina: Probabilidade e Estat´ıstica
Prof. Anna Regina Corbo
CAP´ ITULO 1: Introdu¸ c˜ ao ` a Estat´ıstica
1 Modelos Matem´ aticos
Para muitos fenˆ omenos de interesse geral s˜ ao constru´ıdos modelos matem´ aticos, sempre com base na premissa:
CAUSA = ⇒ EFEITO
Estes modelos podem ser divididos pelo seu tipo de natureza:
Determin´ıstica: sem incerteza.
Probabil´ıstica: com incerteza.
1.1 Modelos Determin´ısticos
Se o experimento ´ e realizado sempre sob as mesmas condi¸c˜ oes, os resultados ser˜ ao sempre os mesmos.
Exemplo: Circuito El´ etrico i = V R
1.2 Modelos Probabil´ısticos
As condi¸c˜ oes do experimento definem o comportamento do resultado, isto ´ e, mesmo real-
izando o experimento sob as mesmas condi¸c˜ oes os resultados ser˜ ao diferentes.
Exemplo: Tr´ afego Telefˆ onico
Quantos cabos s˜ ao necess´ arios para garantir que todas as liga¸c˜ oes entre os terminais A e B sejam efetuadas?
Se n = 200 ⇒ 100% das liga¸c˜ oes ser˜ ao completadas;
Se n 200 ⇒ 99% ou 95% das liga¸c˜ oes ser˜ ao completadas, o que ´ e aceit´ avel.
2 Estat´ıstica Descritiva
O objetivo ´ e descrever dados atrav´ es de gr´ aficos, tabelas, medidas num´ ericas etc.
2.1 Conceitos B´ asicos
Popula¸ c˜ ao: cole¸c˜ ao de todos os elementos cujas caracter´ısticas desejamos estudar.
Amostra: subconjunto de elementos cujas caracter´ısticas ser˜ ao medidas.
Exemplo: Popula¸c˜ ao: Eleitores do RJ
Amostra: 650 eleitores
Caracter´ıstica (ou Vari´ avel): percentual que pretende votar no candidato X.
2.2 T´ ecnicas de descri¸ c˜ ao gr´ afica
Para descrever graficamente um conjunto de dados ´ e necess´ ario verificar a frequˆ encia dos valores existentes na vari´ avel.
Frequˆ encia f
i´ e o n´ umero de vezes que um valor i foi observado em uma vari´ avel. ´ E f´ acil perceber que
k
X
i=1
f
i= n
onde k ´ e o n´ umero de diferentes valores existentes na vari´ avel de n amostras.
Frequˆ encia relativa p
i´ e a propor¸c˜ ao de um dado valor i numa vari´ avel, ou seja, p
i= f
in = ⇒
k
X
i=1
p
i=
k
X
i=1
f
in = 1
Exemplo 1: Candidatos ` a p´ os-gradua¸c˜ ao Tabela de Frequˆ encias
f
ip
iEngenheiros 38 0,281 Economistas 30 0,222 Administradores 35 0,259 Contadores 32 0,238
TOTAL 135 1,000
Histograma
Exemplo 2: Diˆ ametro de pe¸cas produzidas por uma m´ aquina, em mil´ımetros.
21,5 21,4 21,8 21,5 21,6 21,7 21,6 21,4 21,2 21,7 21,3 21,5 21,7 21,4 21,4 21,5 21,9 21,6 21,3 21,5 21,4 21,5 21,6 21,9 21,5
Exerc´ıcio: Construir a Tabela de frequˆ encias com f
i, p
ie as frequˆ encias acumuladas F
i, P
ie seu respectivo histograma.
Distribui¸ c˜ ao dos dados em Classes de Frequˆ encia
O n´ umero m´ aximo para a quantidade de classes de frequˆ encia ´ e √
n. Deste modo, para o
exemplo 2, podemos ter:
Classes f
iF
ip
iP
i21,2 ` 21,4 3 3 0,12 0,12 21,4 ` 21,6 12 15 0,48 0,60 21,6 ` 21,8 7 22 0,28 0,88 21,8 ` 30,0 3 25 0,12 1,00 Amplitude h do intervalo : 0,2.
2.3 Medidas Num´ ericas
2.3.1 Medidas de Posi¸ c˜ ao
Servem para localizar a distribui¸c˜ ao de frequˆ encias de uma vari´ avel.
a) M´ edia x ¯
Seja x
i, onde i = 1, 2, 3, · · · , n, o conjunto de dados. A m´ edia aritm´ etica ¯ x ´ e dada por:
¯ x =
n
X
i=1
x
in
Se os dados estiverem dispostos numa tabela de frequˆ encias com k linhas, ent˜ ao
¯ x =
k
X
i=1
x
i· f
in (1)
Se os dados estiverem distribu´ıdos em classes de frequˆ encia, definimos a m´ edia substi- tuindo x
iem (1) pelo ponto m´ edio de cada classe.
A m´ edia ´ e uma medida pouco robusta com rela¸c˜ ao a erros de media¸c˜ ao, no entanto ´ e muito pr´ atica em sua utiliza¸c˜ ao.
Exemplo: C´ alculo da m´ edia
Classes f
ix
ix
if
iF
i39,5 ` 44,5 3 42 126 3 44,5 ` 49,5 8 47 376 11 49,5 ` 54,5 16 52 832 27 54,5 ` 59,5 12 57 689 39 59,5 ` 64,5 7 62 434 46 64,5 ` 69,5 3 67 201 49 69,5 ` 74,5 1 72 72 50
Total 50 2725
¯ x =
P
ki=1
x
i· f
in = 2725
50 = 54, 5 X
b) Mediana M
dE uma estat´ıstica de ordem, que determina centralidade. ´
Considere a amostra x
1, x
2, · · · , x
n. Ordenamos a amostra de tal modo que x(1) → menor elemento;
x(2) → segundo menor elemento;
.. .
x(n) → maior elemento;
A mediana ´ e a amostra do meio e ´ e definida matematicamente por:
M
d=
x(
n+12) , se n ´ e ´ımpar x(
n2) + x(
n2+ 1)
2 , se n ´ e par Exemplo: x
i= {2, 3, 7, 5, 5, 9, 4}
x(1) = 2; x(2) = 3; x(3) = 4; x(4) = 5; x(5) = 5; x(6) = 7; x(7) = 9.
M
d= x(
7+12) = x(4) = 5 X
Considerando uma distribui¸c˜ ao em classes de frequˆ encia, calculamos a mediana pela express˜ ao
M
d= L
i+ (
n2) − F
antf
md· h
mdonde:
L
i´ e o limite inferior da classe que cont´ em a mediana;
n ´ e o n´ umero total de dados;
F
ant´ e a soma das frequˆ encias das classes anteriores;
f
md´ e a frequˆ encia da classe da mediana;
h
md´ e a amplitude da classe da mediana.
Exemplo: No ´ ultimo exemplo de classes temos que a mediana ser´ a dada por L
i= 49, 5; n = 50; F
ant= 11; f
md= 16; h
md= 5.
M
d= 49, 5 +
25−1116· 5 = 52, 875 X
A mediana caracteriza melhor que a m´ edia o centro de um conjunto de dados pois n˜ ao considera, em seu c´ alculo, valores extremos.
c) Moda M
oE a observa¸c˜ ´ ao mais frequente, indicando a regi˜ ao das “m´ aximas frequˆ encias”.
Considerando a distribui¸c˜ ao em classes de frequˆ encia, a moda pode ser definida como um ponto da “classe modal” dado por
M
o= L
i+ d
1d
1+ d
2· h onde:
L
i´ e o limite inferior da classe modal;
d
1= f
classemodal− f
ant; d
2= f
classemodal− f
seguinte; h ´ e amplitude do intervalo.
Exemplo: No exemplo de classes temos:
Classe Modal = “49, 5 ` 54, 5”;
L
i= 49, 5;
h = 5;
d
1= 16 − 8 = 8;
d
2= 16 − 12 = 4;
M
o= 49, 5 + 8
8 + 4 · 5 = 52, 833 X 2.3.2 Medidas de Dispers˜ ao
Complemento das medidas de posi¸c˜ ao: indicam o quanto os dados est˜ ao espalhados em torno da regi˜ ao central. Indica a varia¸c˜ ao dos dados.
a) Variˆ ancia s
2s
2= P
ni=1
(x
i− x) ¯
2n − 1
Se os dados estiverem dispostos numa tabela de frequˆ encias, ent˜ ao:
s
2= P
ni=1
(x
i− x) ¯
2· f
in − 1 Exemplo: x
i= {15, 12, 10, 17, 16}
x
ix
i− x ¯ (x
i− x) ¯
215 1 1
12 -2 4
10 -4 16
17 3 9
16 2 4
Total 34
¯
x = 14; n = 5.
s
2= P
ni=1
