MAE0212 Introdução à Probabilidade e Estatística II
Gabarito-Lista 1
Exercicio 1
(a) Dê, na forma de uma tabela de dupla entrada, as possí- veis amostras do número de lhos, X1,X2, de duas famílias que podem ser sorteadas e as respectivas probabilidades de ocorrência.
Resolução: Como X1 e X2 são variáveis aleatórias inde- pendentes e tem a distribuição de probabilidades dada pela tabela no enunciado, então vale:
P(X1 = x1, X2 = x2) = P(X1 = x1) × P(X2 = x2) Daí obtemos a seguinte tabela de dupla entrada:
X1 × X2 0 1 2 Total 0 0.16 0.12 0.12 0.4 1 0.12 0.09 0.09 0.3 2 0.12 0.09 0.09 0.3 Total 0.4 0.3 0.3 1
(b) Se fosse escolhida uma amostra de tamanho 4, qual seria a probabilidade de se observar a quádrupla (2,2,1, 1)? E para (2, 1,2,0)?
Resolução: Aqui n = 4, e as variáveis aleatórias X1, X2, X3 e X4 são independentes e tem a distribuição de proba- bilidades como na tabela do enunciado. Então:
1
• Seja Y1 = (2, 2,1,1)
P(Y1) = P(X1 = 2, X2 = 2, X3 = 1, X4 = 1)
= P(X1 = 2) × P(X2 = 2) × P(X3 = 1)×
P(X4 = 1)
= 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 = 0.0081
• Seja Y2 = (2, 1,2,0)
P(Y2) = P(X1 = 2, X2 = 1, X3 = 2, X4 = 0)
= P(X1 = 2) × P(X2 = 1) × P(X3 = 2)×
P(X4 = 0)
= 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.4 = 0.0108
(c) Se X indicar o número de lhos de uma família escolhida ao acaso dessa população. Calcule a média e a variância populacionais de X.
Resolução: A média populacional é dada pela esperança:
E(X) = Pn
i=1 xi × P(Xi = xi). Então:
E(X) = 0 × 0.4 + 1 × 0.3 + 4 × 0.3 = 0.9
Já a variância populacional é dada pela seguinte fórmula:
V ar(X) = E(X2) − (E(X))2 Então:
E(X2) = 02 × 0.4 + 12 × 0.3 + 22 × 0.3 = 1.5 V ar(X) = 1.5 − 0.92 = 0.69
2
(d) Usando a tabela do item (a) construa a distribuição amos- tral de X. E calcule E(X), V ar(X).
Resolução:Lembrando que X1 e X2 são independentes, va- mos usar a tabela construída no item (a). A distribuição amostral de X é:
P(X = 0) = P(X1 = 0, X2 = 0) = 0.16
P(X = 0.5) = P(X1 = 0, X2 = 1) + P(X1 = 1, X2 = 0)
= 0.12 + 0.12 = 0.24
P(X = 1) = P(X1 = 0, X2 = 2) + P(X1 = 2, X2 = 0)+
P(X1 = 1, X2 = 1)
= 0.12 + 0.12 + 0.09 = 0.33
P(X = 1.5) = P(X1 = 2, X2 = 1) + P(X1 = 1, X2 = 2)
= 0.09 + 0.09 = 0.18
P(X = 2) = P(X1 = 2, X2 = 2) = 0.09 Esperança:
E(X) = 0×0.16+0.5×0.24+1×0.33+1.5×0.18+2×0.09 = 0.9 Variância:
E(X2) = 02 × 0.16 + 0.52 × 0.24 + 12 × 0.33+
1.52 × 0.18 + 22 × 0.18 = 1.155 V ar(X) = 1.155 − 0.92 = 0.345
Exercicio 2 X ∼ N(100,102) (a) P(90 < X < 110)
3
P(90 < X < 110) = P
90 − 100
10 < X − 100
10 < 110 − 100 10
= P(−1 < Z < 1) = 2 × P(Z < 1)
≈ 0.6826 onde Z ∼ N(0, 1)
(b) n = 16 e P(90 < X < 110)
Como X ∼ N(100,102) então X ∼ N
100, 102 16
P(90 < X < 110) = P 90 − 100
√10 16
< X − 100
√10 16
< 110 − 100
√10 16
!
= P(−4 < Z < 4) = 2 × P(Z < 4)
≈ 1 onde Z ∼ N(0, 1)
(c) Grácos: No R, podemos gerar os grácos das distribuições de X e X, através dos seguintes comandos:
Dessa forma, observamos o seguinte gráco:
Note que a distribuição de probabilidade de X ca muito mais concentrada na média do que a distribuição de X.
4
60 80 100 120 140
0.000.050.100.15
x
f(x)
Comparação das distribuições normais
N(100,6.25) N(100,100)
(d) Queremos descobrir n tal que P(90 < X < 110) Resolução: Como X ∼ N(100, 102) então
X ∼ N 100,
10
√n
2!
Então:
0.95 = P(90 < X < 110)
= P 90 − 100
√10 n
< X − 100
√10 n
< 110 − 100
√10 n
!
= 2 × P Z < 110 − 100
√10 n
!
E como 1 − α = 0.95 ⇒ 1 − α2 = 0.975
Observando na tabela Normal Padrão: z0.975 = 1.96 Daí:
5
1.96 = √
n × (110−100)10 ⇒ n = (1.96)2 Portanto, n ≈ 4
pois n é o tamanho de uma amostra, ou seja: um número inteiro.
Exercicio 3 X ∼ U nif orme(1, N)
(a) Média e variância populacional: Como a população é P = {1, 2, . . . , N}, temos pela denição de média amostral que:
µ = 1 + 2 + . . . + N
N =
N
X
i=1
i
N = T N Já a variância populacional é dada pela fórmula:
σ2=PN i=1
(xi−µ)2
N = (1−µ)2+(2−µ)N2+...+(N−µ)2 = PN i=1
(i−µ)2 N
(b) Amostra de tamanho n. X a média amostral. Tˆ = N X Resolução: Vamos primeiro calcular a esperança:
E( ˆT) = E(N · X) = N · E
Pn i=1
xi n
= N n · E
n
X
i=1
(xi)
!
= N n
n · E(X) = N ·
N
X
i=1
i N
!
=
N
X
i=1
i = T
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Vamos agora calcular a variância amostral:
V ar( ˆT) = V ar(N · X) = N2 · V ar(X)
= N2 · V ar Pn
i=1
xi n
= N2
n2 · V ar
n
X
i=1
xi
!
= N2 n2 ·
n
X
i=1
V ar(X) = N2
n2 · n · V ar(X) = N2 n · σ Exercicio 4 Teste para estimar proporção p.
(a) Tamanho da amostra
Resolução: A fórmula para estimar tamanho de amostra para testes de proporção é:
n = z
2
· p(1 − p)
Como não temos nenhuma informação sobre o valor verda- deiro de p, vamos tomar o valor de p que maximiza p(1−p) (essa é a estimativa mais conservadora possível).
O valor de p que maximiza p(1 − p) é p = 0.5. p = 0.5 ⇒ p(1 − p) = 0.25 Então:
n = z
2
· 0.25 =
1.96 0.05
2
· 0.25 ≈ 385
(b) Tamanho da amostra sabendo que p ≤ 0.15
7
Resolução: O valor de p que maximiza p(1−p) neste caso é p = 0.15
p = 0.15 ⇒ p(1 − p) = 0.15 × 0.85 = 0.1275 Então:
n = z
2
· 0.1275 =
1.96 0.05
2
· 0.1275 ≈ 196
8
