Vamos ver como calcular áreas de figuras do plano descritas em coor- denadas polares, como a seguinte:
θ0
x
y θ1
r =r(θ)
Figura 1: Uma regiãoR⊆R2descrita em coordenadas polares.
Tem dois jeitos de pensar na situação:
(1) Considere o seguinte setor, de abertura infinitesimal:
r
dθ
Figura 2: Um setor infinitesimal.
Se a área de um círculo de raioréπr2, a área de um setor de abertura dθ pode ser descoberta fazendo, por exemplo, uma regra de três: é
1
2r2dθ. A área deRseria obtida somando as áreas de todos estes seto- res infinitesimais, mas sabemos que somar uma quantidade infinita de coisas infinitesimais tem um nome: “integral”. Então vemos que
Área(R) = 1 2
Z θ1
θ0
r(θ)2dθ.
Isto pode ser formalizado matematicamente usando a definição de in- tegral, via somas de Riemann e partições, coisa que você talvez tenha visto no curso de CálculoI.
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(2) Usando a mudança de variáveis vista em aula. Para evitar abusos de notação (que nesta dedução pode causar confusão), escreva tempora- riamenter = f(θ)ao invés der =r(θ), e suponha que o ângulo varia emθ0 ≤θ ≤θ1. Então
Área(R) =x
R
dxdy=x
R
rdrdθ
= Z θ1
θ0
Z f(θ)
0 rdrdθ = Z θ1
θ0
r2 2
f(θ) 0
dθ
= 1 2
Z θ1
θ0
f(θ)2dθ.
De qualquer jeito, concluímos que Área(R) = 1
2 Z θ1
θ0
r(θ)2dθ Resolvamos oExercício 9 da Lista 1, para ilustrar:
(a) Queremos achar a área de um dos laços darosáceadeterminada pela equaçãor=cos 3θ.
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Antes de calcularmos a integral, precisamos achar qual o intervalo cor- reto queθ deve percorrer para obtermos exatamente um laço da rosá- cea. Veja que paraθ = 0, temosr =1, e assim começamos o desenho no ponto(1, 0)do plano cartesiano. Conforme aumentamos o valor de θ, o valor dervai variando até que obtemos o ponto(0, 0). Vemos que cos 3θ se anula pela “primeira vez” paraθ = π/6. Do mesmo modo, se começarmos comθ = 0 ediminuirmoso valor deθ até−π/6, obte- mos novamente o ponto(0, 0), desta vez traçando a parte de baixo do laço. Assim, se Ldenota a região delimitada pelo laço, temos que
Área(L) = 1 2
Z π/6
−π/6cos2(3θ)dθ
= Z π/6
0 cos2(3θ)dθ
(∗)= Z π/6
0
1+cos(6θ)
2 dθ
= θ
2+ sen(6θ) 12
π/6
0
= π 12, onde em(∗)usamos a identidade
cos2t= 1+cos(2t)
2 ,
válida para todot ∈R, e na última igualdade que senπ =sen 0=0.
(b) Agora, queremos achar a área da lemniscata(é uma curva similar ao símbolo de infinito∞) delimitada pela equaçãor2=4 cos 2θ.
Como 4 cos 2θ =r2 ≥ 0, sabemos que o intervalo em queθpercorre é aquele para o qual cos 2θ é positivo, ou seja, −π/4 ≤ θ ≤ π/4. Mas
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tal intervalo somente considerará a parte direita da lemniscata (a parte direita corresponde à valores negativos derpara osθneste intervalo).
SeLdenota a regiãototaldelimitada pela lemniscata, temos Área(L) =2
1
2 Z π/4
−π/44 cos(2θ)dθ
=4 Z π/4
−π/4cos(2θ)dθ
(∗)= 8 Z π/4
0 cos(2θ)dθ
=4 sen(2θ)
π/4 0
=4,
onde usamos em(∗)que o integrando é umafunção par.
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