COMPACIDADE EM ESPAC ¸ OS M´ ETRICOS

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN ´A - UFPR.

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUÇ ÃO DE MATEM ÁTICA - PPGM

COMPACIDADE EM ESPAC ¸ OS M´ ETRICOS

WENDELL PRATES

ABSTRACT.Neste artigo, depois de explorarmos os principais conceitos de compacidade em espa¸cos m´etricos, iremos tratar do teorema de Tychonoff, um resultado sobre compactos sob a pre- sen¸ca marcante do axioma da escolha.

Introdu¸c˜ao

Em matemática, o teorema de Tychonoff afirma que o produto de qualquer cole¸cão de espa¸cos topológicos compactos é compacto com respeito à topologia produto. O teorema é nomeado após Andrey Nikolayevich Tychonoff provar uma versão particular em 1930. A mais antiga prova publicada conhecido está contido em um artigo de Eduard ˇCech 1937.

O teorema depende fundamentalmente das defini¸c˜oes de compacidade e topologia produto.

A defini¸cão Heine-Borel de compacta¸cão que cada recobrimento de um espa¸co por conjuntos abertos admite um sub-recobrimento finito é relativamente recente.

Mais popular nos séculos 20 e in´ıcio dos anos 19 foi o critério de Bolzano-Weierstrass que cada rede admite uma sub-rede convergente, agora chamado de compacidade sequêncial. Estas condi¸cões são equivalentes para espa¸cos metrizáveis, mas nem um implica o outro na classe de todos os espa¸cos topológicos.

Teorema de Tychonoff tem sido utilizado para provar muitos outros teoremas matemáticos. O teorema de Banach-Alaoglu no fraco *, que garante a compacidade da bola unitária do espa¸co dual de um espa¸co vetorial normado e o teorema Arzela- Ascoli caracterizando as seqüências de fun¸cões em que cada subsequência tem uma subsequência uniformemente convergente são alguns exemplos de sua aplica¸cão.

V´arios textos identificam o teorema de Tychonoff como o resultado mais impor- tante da topologia geral; outros permitem-lo compartilhar esta honra com o lema de Urysohn.

Antes de iniciarmos, precisamos deixar claro que umatopologiaem um conjunto X ´e uma cole¸c˜aoT de subconjuntos de X, satisfazendo os seguintes axiomas:

(T1) ∅ e X s˜ao elementos deT;

(T2) A interseçcão finita de elementos de T é ainda um elemento de T; (T3) Uma união qualquer de elementos de T ainda é um elemento de T. Umespa¸co topológicoé um par (X,T), ondeXé um conjunto eT uma topologia em X. Indicaremos (X,T) por apenas X quando não houver dúvidas sobre a topologia.

Um subcunjunto A⊂X ´e chamado de aberto se A∈ T.

(2)

Um subcunjunto F ⊂X ´e chamado de fechado se X\F ∈ T.

Iremos chamar detopologia produto emX×Y `a topologia gerada pelo conjunto {U1 ×U2 :U1 ∈ TX e U2 ∈ TY}:=TX × TY

Seja X um espa¸co topol´ogico e x ∈ X. Um conjunto V ⊂ X ´e dito ser uma vizinhan¸ca de x se existirU ∈ T tal que x∈U ⊂V.

1. Redes

Um conjunto Λ, junto com uma rela¸c˜ao ≤, ´e chamado de conjunto dirigido se para todoλ, µ, ν ∈Λ se verificam as seguintes propriedades:

(a) λ≤λ;

(b) Se λ≤µe µ≤ν, ent˜aoλ≤ν;

(c) Para todoλ, µ∈Λ, existe ω ∈Λ tal que λ≤ω e µ≤ω.

Seja X um espa¸co topol´ogico. Chamaremos de rede em X qualquer fun¸c˜ao da forma x : Λ → X, sendo Λ um conjunto dirigido. Escreveremos x_λ no lugar de x(λ), e denotaremos a rede por (x_λ)λ∈Λ.

Diremos que a rede (x_λ)λ∈Λconverge a um pontox∈Xse para toda vizinhan¸ca Ux dex, existeλ0 ∈Λ tal quexλ ∈Ux sempre queλ≥λ0. Neste caso escreveremos x_λ →x.

Uma fun¸c˜aof : (X,TX)→(Y,TY) ´e dita cont´ınua se, e somente se dadoU ∈ TY, tivermos f⁻¹(U)∈ T_X.

Sejam (X,TX) e (Y,TY) espa¸co topol´ogicos e x∈ X. Dizemos que f :X → Y

´e cont´ınua em x sef⁻¹(U)⊂V_x para toda vizinhan¸ca U ⊂V_f(x).

Teorema 01: Seja {X_i :i ∈ I} uma fam´ılia não-vazia de espa¸cos topológicos não-vazios, e sejaX =Q

i∈IX_i. Ent˜ao uma rede (x_λ)λ∈Λ converge para x em X se e s´o se a rede πi(xλ)λ∈Λ converge para πi(x) em Xi para cada i∈I.

Prova:

Como π_i ´e cont´ınua em x, para todo i ∈ I e x_λ → x em X. Ent˜ao, dada V ∈U_π_i_(x), existe U ∈U_x tal que π_i(U)⊂V.

Seja λ₀ ∈Λ tal que x_λ ∈U para todo λ≥λ₀. Ent˜ao π_i(x_λ) ∈π_i(U)⊂ V para todoλ≥λ₀. Logoπ_i(x_λ)→π_i(x).

Por outro lado, ao supormos queπ_i(x_λ)→π_i(x) para cadai∈I. Tome U uma vizinhan¸ca aberta b´asica dex em X, ou seja,

x∈U = \

j∈J

π_j⁻¹(U_j) , comJ finito,U_j aberto emX_j.

Para cada j ∈J, π_j(x)∈U_j. Logo, existe λ_j ∈Λ tal que π_j(x_λ)∈U_j para todo λ≥λ_j.

Como Λ ´e um conjunto dirigido, existe λ0 ∈Λ tal queλ0 ≥λj para cadaj ∈J.

(3)

Segue que

xλ ∈U = \

j∈J

π⁻¹_j (Uj) para todo λ≥λ0. Logo x_λ →x.

Seja X um espa¸co topológico, e seja (x_λ)λ∈Λ uma rede em X. Diremos que x ∈ X é um ponto de acumula¸cão de (x_λ)λ∈Λ se dados U ∈ U_x e λ₀ ∈ Λ, existe λ≥λ0 em Λ tal que xλ ∈U.

Se (x_λ)_λ∈Λ converge para x, é claro que xé ponto de acumula¸cão de (x_λ)_λ∈Λ. Seja X um espa¸co topológico, e seja x: Λ→X uma rede em X. Chamaremos de subrede de x : Λ → X qualquer rede da forma x◦φ : M → X, sendo M um conjunto dirigido, e sendo φ:M →Λ uma fun¸cão com as seguintes propriedades:

(a) µ₁ ≤µ₂ implicaφ(µ₁)≤φ(µ₂) (φ ´e crescente);

(b) dado λ∈Λ, existe µ∈M tal que φ(µ)≥λ (φ´e cofinal).

A subrede x◦φ:M →X ser´a denotada por (x_φ(µ))µ∈M.

Proposi¸c˜ao 01. Seja X um espa¸co topol´ogico, e seja (xλ)λ∈Λ uma rede emX.

Entãox∈X é um ponto de acumula¸cão de (x_λ)λ∈Λ se, e só se existe uma subrede de (x_λ)λ∈Λ que converge parax. A prova vide [MS].

2. Espa¸cos Topol´ogicos Compactos

SejaX um conjunto não-vazio eA ⊂X. Uma cole¸cãoR ⊂ P(X), formada por subconjuntos de X, é dita ser um recobrimento de A se a união de todos os seus elementos contiverA, ou seja, se A⊂S

R∈RR

Se T é uma topologia em X e R é um recobrimento de A ⊂ X tal que todo elemento de R é um elemento de T, dizemos que R é um recobrimento de A por T-abertos , ou simplesmente um recobrimento de A por abertos.

Se T é uma topologia emX, entãoT é um recobrimento de X por T-abertos.

Logo, X possui ao menos um recobrimento porT-abertos para qualquer topologia T definida em X, na pior das hip´oteses aquela formada pela pr´opria topologiaT.

SeRé um recobrimento deA, dizemos queS ⊂ Ré um sub-recobrimento deA por R seS também for um recobrimento de A. É claro que um sub-recobrimento de um recobrimento por abertos é também um recobrimento por abertos.

Um recobrimento ´e dito ser finito se possuir um n´umero finito de elementos.

Espa¸cos compactos. Um espa¸co topológico (X,T) é dito ser um espa¸co topológico compacto se todo recobrimento de X por T-abertos possuir um sub- recobrimento finito.

Espa¸cos σ-compactos. Um espa¸co topológico (X,T) é dito ser um espa¸co topológico σ-compacto se possuir um recobrimento contável por T-compactos.

Espa¸cos contavelmente compactos. Um espa¸co topológico (X,T) é dito ser umespa¸co topológico contavelmente compacto se todo recobrimento contável de X por T-abertos possuir um sub-recobrimento finito.

(4)

SejaX um conjunto n˜ao-vazio e T uma topologia em X. Um conjunto K ⊂X

é dito ser um conjunto T-compacto, ou conjunto compacto em rela¸cão à topologia T, se todo recobrimento de K por T-abertos possui um sub-recobrimento finito.

Fica claro que dizer que (X,T) é um espa¸co topológico compacto equivale a dizer queX é um conjunto T-compacto.

Seja X um espa¸co topol´ogico. A ⊂ X ´e dito ser um conjunto relativamente compacto seA, o fecho deA, for compacto.

Dados dois espa¸cos topológicos (X,TX) e (Y,TY) diremos queX é homeoformo aY quando existir um homeomorfismo deXemY, ou seja, uma fun¸cãof :X →Y cont´ınua com inversa cont´ınua.

Uma consequência imediata desta defini¸cão é que se (X,T_X) e (Y,T_Y) são espa¸cos topológicos tais que existe um homeomorfismo entre eles eK ⊂X é compacto, entãof(K)⊂Y é compacto. Justamente por causa desta propriedade que, encontrar compactos em ambientes “desconhecidos” tornou-se uma prática comum em matemática, principalmente em topologias produto, onde se permite entender objetos em dimensão infinita.

Proposi¸cão 02: Seja X um espa¸co topológico e C1, . . . , Cn uma cole¸cão finita de compactos, entãoC₁∪. . .∪C_n é compacto.

Veremos, ainda neste artigo, que a proposi¸cão 02 é um corolário do teorema de Tychonoff.

SejaX não-vazio. Uma cole¸cãoC ⊂ P(X) de subconjuntos de Xé dita possuir a propriedade de interseçcão finita se a interseçcão de qualquer subcole¸cão finita deC for não-vazia, ou seja, se C₁ ∩. . .∩C_n 6=∅ para qualquer n ≥ 1 e quaisquer C1, . . . , Cn ∈ C.

Teorema 02: Seja X não-vazio e T uma topologia em X. Então, X é um espa¸co topológico compacto se, e somente se toda cole¸cão F de subconjuntos T- fechados deX que possua propriedade de interseçcão finita, tem-se T

F∈FF 6=∅.

Prova:

Vamos supor que toda cole¸cãoF de subconjuntosT-fechados deX com propriedade de interseçcão finita tem-seT

F∈FF 6=∅e sejaRum recobrimento deX por T-abertos. Ent˜ao S

R∈RR = X e, tomando complementos, T

R∈RR^c = ∅. Desse modo, se F :={R^c:R ∈ R} possu´ısse propriedade de interseçcão finita, ter´ıamos uma contradi¸cão, uma vez que T

F∈FF =T

R∈RR^c=∅. Logo, existe uma cole¸c˜ao finita de elementos deF tal queF₁∩. . .∩F_n=∅e, tomando os complentos teremos R1∪. . .∪R2 =X. Logo R´e um sub-recobrimento finito de X, o que prova X ser compacto.

Vamos agora supor que X é compacto e seja F uma cole¸cão de subconjuntos T-fechados deX que possua a propriedade de interseçcão finita. Ao supormos que T

F∈FF = ∅, tomamos os completares teremos que X = S

F∈FF^c. Como X é compacto, para o recobrimento {F^c : F ∈ F } de X existe uma sub-cole¸cão finita {F₁^c, . . . , F_nⁿ} tal queX =F₁^c∪. . .∪F_n^c. Tomando novamente o complementar, te- remosF₁∩. . .∩F_n=∅, contrariando o fato deF ter a propriedade de interseçcão finita. Logo,T

F∈FF 6=∅.

(5)

Teorema 3: (Propriedade de Bolzano-Weierstrass) Um espa¸co topol´ogico (X,T)

´

e compacto se, e somente se toda rede em X tem uma sub-rede convergente.

Prova:

Suponhamos que (X,T) seja compacto e seja (x_λ)_λ∈Λ uma rede em X. Vamos supor que (x_λ)λ∈Λ não tenha nenhuma sub-rede convergente. Pela proposi¸cão 01, (x_λ)λ∈Λ não tem pontos de acumula¸cão. Assim, para todo x∈X existe um aberto A_x contendoxe umλ_x ∈Λ tais que x_λ 6∈A_x para todo λ≥λ_x. O conjunto desses abertos A_x é um recobrimento de X por abertos e, pela hipótese de compacidade, existe um recobrimento finito A_x₁, . . . , A_x_n de X por tais abertos. Como Λ é um conjunto dirigido, existe λ₀ ≥ λ_x_k para todo k = 1, . . . , n. Logo, x_λ₀ 6∈ A_x_k para todo k = 1, . . . , n, ou seja, x_λ₀ 6∈ X, um absurdo. Assim concluimos que (x_λ)λ∈Λ

tem pontos de acumula¸c˜ao e, pela Proposi¸c˜ao 01, tem uma sub-rede convergente.

Vamos agora supor que toda rede em X tem uma sub-rede convergente. Pelo proposi¸c˜ao 01, isso equivale a supor que toda rede em X tem um ponto de acumula¸c˜ao.

Supondo por absurdo que X não seja compacto, deve existir um recobrimento por abertos R de X que não possui nenhum sub-recobrimento finito. Tome este R e defina o conjunto Λ como sendo a cole¸cão de todos os subconjuntos finitos de P(R), ou seja, Λ = {{A₁, . . . , A_n} : A_k ∈ Re n < ∞}. Λ é um conjunto dirigido por inclusão, onde{A₁, . . . , A_m} ≤ {A⁰₁, . . . , A⁰_n} significa{A₁, . . . , A_m} ⊂ {A⁰₁, . . . , A⁰_n}.

Com isso, podemos construir uma rede sobre Λ emX da seguinte forma: a cada λ={A₁, . . . , A_n} ∈Λ associamos umx_λno conjunto complementar deA₁∪. . .∪A_n, ou seja, x{A₁,...,An} ∈ A^c₁ ∩. . .∩A^c_n. Note que o complementar de A₁ ∪. . .∪A_n nunca é vazio pois, por hipótese, nenhuma sub-cole¸cão finita deR cobreX.

Pela hipótese (x_λ)λ∈Λ tem um ponto de acumula¸cão x∈X. Assim, se U é um aberto que contém x, para todo λ₀ ∈ Λ existe λ ≥ λ₀ em Λ tal que x_λ ∈ U. Por outro lado, pela defini¸cão de (x_λ)λ∈Λ, se λ₀ = {A₁, . . . , A_m} e λ = {A⁰₁, . . . , A⁰_n} teremosx_λ ∈(A⁰₁)^c∩. . .∩(A⁰_n)^c⊂A^c₁∩. . .∩A^c_m. Portanto, U∩A^c₁∩. . .∩A^c_m 6=∅ para qualquer {A₁, . . . , Am} ∈ Λ e qualquer U que contém x. Ora, R cobre X, logo existe U ∈ R que contém x. Quando esse U pertencer a uma cole¸cão finita {A₁, . . . , A_m} a rela¸cão U ∩A^c₁∩. . .∩A^c_m 6=∅ será um absurdo, pois U ∩U^c=∅.

3. Compacidade em Espa¸cos M´etricos

Diremos que um espa¸co topológico Xé metrizável, quando pudermos conseguir uma fun¸cãod:X×X →R, que associa a cada par ordenado de elementosx, y ∈X a um número reald(x, y) chamadodistância dexay, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condi¸cões para quaisquer x, y, z ∈X:

(d1) d(x, x)≥0;

(d2) Se x6=y ent˜ao d(x, y)>0;

(d3) d(x, y) = d(y, x);

(d4) d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z).

(6)

Claramente, se (X,T) é metrizável por uma métrica d, então o conjunto Td de conjuntos do tipo B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r, onde x ∈ X e r ∈ R⁺} define uma métrica em X de modo que (X,T_d) = (X,T). Isto motiva definir um espa¸co métrico por um par (X, d), ondeX é um conjunto e d uma métrica em X.

Em um espa¸co métrico, um conjuntoM é ditototalmente limitadose, e somente se para todo ε > 0, pudermos obter uma decomposi¸cão M = X₁ ∪. . .∪X_n, de M como reunião de um número finito de subconjuntos, cada um dos quais tem diâmetro menor do que ε.

Espa¸cos métricos compactos podem ser caracterizados por meio de espa¸cos totalmente limitados, no sentido de que, se um espa¸co métrico é totalmente limitado então seu completamento é compacto.

Seja (M, d) um espa¸co métrico. Um conjunto K ∈ M é dito ser um conjunto sequencialmente compacto na métrica d se toda a sequência de elementos de K possuir uma sub-sequência convergente em K em rela¸cão à métricad.

O teorema que segue reúne as defini¸cões de acima, estabelecendo resultados fundamentais sobre compacidade em espa¸cos métricos.

Teorema 4: Seja (M, d) um espa¸co métrico e seja T_d a topologia induzida em M pela métrica d. Seja K ⊂M. São equivalentes as seguintes afirma¸cões:

1. K ´e T_d-compacto;

2. K ´e sequencialmente compacto na m´etrica d;

3. K ´e totalmente limitado e completo na m´etrica d.

Prova:

1⇒2]

Seja K T_d-compacto e seja (x_n)n∈N uma sequˆencia de elementos de K. Defina para cada n∈N, E_n:={x_k:k ≥n}. Seja F_n o fecho de E_n.

Inicialmente precisaremos provar queK ∩(T

n∈NFn)6=∅.

Suponha que K ∩(T

n∈NF_n) = ∅, ent˜ao K ⊂ (T

n∈NF_n)^c = S

n∈N(F_n)^c. Como osF_n^c s˜ao abertos, isso diz que {F_n^c:n∈N}´e um recobrimento deK por abertos.

Como K, por hipótese, é compacto, existe uma cole¸cão finita F_n^c₁, . . . , F_n^c

j que cobre K, ou seja, que satisfaz K ⊂ F_n^c₁ ∪ . . .∪ F_n^c_j. Porém, isso implica que K∩E_n_j ⊂K∩F_n_j =∅, uma contradi¸cão, já que E_n_j ⊂K.

J´a que K∩(T

n∈NF_n) ´e n˜ao-vazio, podemos tomar um pontoa nesse conjunto.

Logo,a∈K assim comoa∈F_n para todon ∈N. ComoF_né o fecho deE_n, existe uma sequência de pontos de E_n que converge para a na métrica d. Isto prova que existe uma sub-sequência da sequência (x_n)n∈N que converge paraa∈K, provando queK é sequencialmente compacto.

2⇒3]

Seja (x_n)n∈N uma sequência de Cauchy na métricadde elementos deK. Como K é sequencialmente compacto, (xn)n∈N possui uma sub-sequência convergente a um elemento de K e, portanto, (x_n)n∈N converge a um elemento de K, provando queK completo. Passemos à demonstra¸cão de que K é totalmente limitado, o que será feito por absurdo, supondo que K não seja totalmente limitado.

(7)

Se K n˜ao fosse totalmente limitado existiria ε > 0 tal que para cada conjunto finito F_n = {k_j : 1 ≤ j ≤ n} ⊂ K poder´ıamos encontrar um k ∈ K tal que d(k, F_n)≥ε.

Assim, tomando x₁ ∈ K, existe x₂ ∈ K tal que d(x₂, x₁) ≥ ε. Analogamente, existe x₃ ∈ K tal que d(x₃,{x₁, x₂}) ≥ ε. Prosseguindo indutivamente, podemos construir uma sequência (xn)n∈N de elementos de K tal que d(xi, xj) ≥ ε para todo i 6= j. Uma tal sequência não pode ter uma sub-sequência convergente, contrariando a hipótese que K é sequencialmente compacto.

3⇒1]

Suponhamos, por contradi¸cão, que K não seja compacto. Então, existe um recobrimento R deK por abertos tal que Rnão possui nenhum sub-recobrimento finito de K. Como K é totalmente limitado, existe para cada ε >0 um conjunto finito de pontos de K tais que as bolas de raio ε centradas nesses pontos cobrem K.

Fixemos um talε >0 e sejamB_d(x_j, ε), comx_j ∈K,j = 1, . . . , m, as bolas que cobremK. ComoRcobre cada um dos conjuntosK∩Bd(xj, ε), j = 1, . . . , m, deve haver pelo menos um conjunto K ∩B_d(x_j, ε) que não tem um sub-recobrimento finito porRpois, se tal não fosse verdade, haveria um sub-recobrimento finito para K, contrariando as hipóteses.

Seja K∩B_d(f₁, ε), onde f₁ ∈ {x₁, . . . , x_m}, o conjunto tal que não possui um sub-recobrimento finito porR. Desse modo, podemos repetir o procedimento e obter um pontof₂ ∈K∩B_d(f₁, ε) e uma bola de raio ^ε₂ centrada emf₂,B_d(f₂,^ε₂), tal queK∩B_d(f₁, ε)∩B_d(f₂,₂^ε) é não-vazio e não tem um sub-recobrimento finito por R. Precedendo indutivamente, constru´ımos uma sequência de pontos fn, n ≥ 1, com

1. f_n+1 ∈K∩B_d(f₁, ε)∩. . .∩B_d(f_n,₂^εn);

2. K∩B_d(f₁, ε)∩. . .∩B_d(f_n+1,₂n+1^ε )6=∅;

3. K∩B_d(f₁, ε)∩. . .∩B_d(f_n+1,₂n+1^ε ) n˜ao tem um sub-recobrimento finito porR.

Observe agora que, para i > j,

d(f_i, f_j)≤

j−i−1

X

k=0

B_d(f_i+k, f_i+k+1)<

j−i−1

X

k=0

ε 2^i+k <

∞

X

k=0

ε

2^i+k = ε 2ⁱ⁻¹

Isso estabelece que (f_n)n∈N, ´e uma sequˆencia de Cauchy de elementos de K.

ComoK foi tamb´em suposto completo, a sequˆencia de Cauchy (f_n)_n∈_N, converge a um ponto f ∈K.

Como f ∈ K e R cobre K, existe um aberto A_f ∈ R que cont´em o ponto f.

Como f_n →f, existe um p grande o suficiente tal que B_d(f_p, ε

2^p)⊂A_f.

Isso, todavia, implica que K∩B_d(f₁, ε)∩. . .∩B_d(f_p,₂^εp)⊂B_d(f_p,₂^εp), contrariando o item 3 da constru¸cão indutiva. Essa contradi¸cão revela que a suposi¸cão de que K não é compacto é falsa, completando a demonstra¸cão.

(8)

Corolário. Se (M, d) é um espa¸co métrico completo no qual vale a propriedade que todo conjunto d-limitado é totalmente limitado, então K é compacto se, e somente se for T_d-fechado e d-limitado.

4. Bases e Subbases

Antes de apresentar o teorema de Tychonoff introduziremos o conceito sobre base, o qual ser´a fundamental na demonstra¸c˜ao do teorema.

Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto não é necessário descrever todos os conjuntos abertos da topologia, mas apenas alguns conjuntos especiais, os chamados abertos básicos da topologia.

Diremos que B ´e uma base para T se para todo A ∈ T, existir um conjunto de ´ındices Γ de modo que a cole¸c˜ao {B_α : α ∈ Γ} seja um subconjunto de B e S

α∈ΓB_α =A.

O seguinte teorema é um ótimo critério para verificar se uma fam´ılia de subconjuntos é uma base.

Teorema 5: Sejam (X,T) um espa¸co topol´ogico eB⊂ T. A fam´ıliaB´e uma base deT se, e somente se

1. X = [

B∈B

B.

2. Para todo B₁, B₂ ∈ B, se x ∈ B₁ ∩ B₂, ent˜ao existe B ∈ B tal que x∈B ⊂B₁∩B₂.

Lembre-se que se B ⊂ X ´e base da topologia T_X se para todo U ∈ T_X e para todox∈U existeB ∈B tal que x∈B ⊂U.

Prova:

ComoBé uma base de alguma topologiaT eXé aberto, então se escreve como união de abertos básicos, verificando assim o ´ıtem 1. Além disso, se B₁, B₂ ∈ B, então B1 e B2 são abertos e B1 ∩B2 é aberto. Logo se x ∈ B1 ∩B2, existe um aberto B ∈B tal que x∈B ⊂B₁∩B₂.

Por outro lado, se B satisfaz as condi¸c˜oes 1 e 2. Definamos:

T ={U ⊂X :U ´e uni˜ao arbitraria de elementos de B}.

Devemos provar que T ´e uma topologia sobre X.

Claramente ∅ ∈ T e pelo ´ıtem 1, X ∈ T.

Seja {A_α ∈ T : α ∈ I} uma cole¸c˜ao arbitr´aria de T. Cada A_α = S

µ∈ΓB_α,µ, onde B_α,µ ∈B, ent˜ao:

A= [

α∈I

A_α = [

α∈I

[

µ∈Γ

B_α,µ

!

= [

α∈I µ∈Γ

B_α,µ ∈ T.

(9)

Agora consideremos A1, A2 ∈ T, ent˜ao A1 =S

α∈ΓBα e A2 =S

µ∈ΛBµ, assim:

A₁∩A₂ = [

α∈Γ

B_α

!

∩ [

µ∈Λ

B_µ

!

= [

α∈Γµ∈Λ

(B_α∩B_µ).

Logo, se existir x∈ A₁∩A₂, ent˜ao existe pelo menos um par de ´ındices (α, µ) tal que x∈B_α∩B_µ. Pelo ´ıtem 2, existe B ∈B tal que

x∈B ⊂B_α∩B_µ. Portanto, A₁∩A₂ ´e aberto.

Definimos T(B) ={U ⊂X :∀x∈U,∃B ∈B;x∈B ⊂U}.

Uma consequência imediata é que se X é um conjunto qualquer e B ∈ P(X).

Então B é base de topologia se, e somente se T(B) é uma topologia. Por isso chamamos T(B) de topologia induzida pela base de topologia B.

Como uma cole¸cão S de subconjuntos de X pode não ser uma base para uma topologia deX, então iremos procurar a menor topologia tal que os membros deS são abertos. Isso leva à defini¸cão de sub-base: S é uma sub-base de uma topologia T, quando o conjunto B(S) = {B ⊂ X :B =

n

\

i=1

S_i, com S_i ∈ S} ´e uma base de T.

A topologia gerada por S e denotada do hSi ´e a topologia induzida por B(S), ou seja, hSi=T(B(S)).

5. Tychonoff e o Axioma da Escolha

E extremamente elegante a liga¸c˜´ ao tão profunda entre o Axioma da Escolha e o Teorema de Tychonoff. No entanto, a demonstra¸cão desta liga¸cão é feita as custas do Lema de Zorn, que por sua vez é equivalente ao Axioma da escolha.

Teorema 6: As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes :

Axioma da escolha: Dada uma fam´ılia {A_α :α ∈J}n˜ao vazia, de conjuntos n˜ao vazios, existe um conjunto C ao qual pertence exactamente um elemento de cada Aα.

Lema de Zorn: SejaX um conjunto parcialmente ordenado onde cada cadeia tem um majorante. Ent˜ao existe elemento um maximal em X.

Teorema de Tychonoff: Seja {Kα : α ∈ J} uma fam´ılia de espa¸cos to- pológicos compactos. Então, Πα∈JK_i com a topologia produto, é compacto.

Prova:

A prova de que Axioma da escolha implica o Lema de Zorn será omitida, não por ser dif´ıcil, mas por ser muito extensa. Ao leitor interessado aconselham-se duas boas referências : [Du, pg.32-34] ou [Hal, pg.63-65].

(10)

Para provar que o Lema de Zorn implica no Teorema de Tichonoff comecemos por provar os seguintes resultado:

Teorema 7: Seja (X,T) um espa¸co topológico e S uma sub-base para T. Se qualquer recobrimento de X por elementos de S tem um sub-recobrimento finito, então X é compacto.

Prova:

Suponha-se, por contradi¸cão, que todo recobrimento de X por abertos em S tem um sub-recobrimento finito e ainda assim, X não é compacto. Então, F = {coberturas abertas deX sem subcobertura finita} 6=∅ e é parcialmente ordenado por inclusão. Seja {C_α : α ∈ J} uma cadeia em F e defina-se C = S

α∈JC_α. Vamos verificar queC é um majorante de{C_α :α∈J}emF, bastando provar que C não contém sub-recobrimento finito de X. Considere-se uma subcole¸cão finita U₁, . . . , U_n deC. Como {C_α :α∈J}é uma cadeia, existe α₀ ∈J tal queU_i ⊂C_α₀ para todoi∈ {1, . . . , n}. Então, como C_α₀ não tem sub-recobrimento finito de X, o mesmo se passa comC.

Assim sendo, pelo Lema de Zorn existe um elemento maximal M em F. SejaZ =M∩ S. Se mostrarmos queZ cobreX, chegaremos a uma contradi¸cão pois Z ⊂ S e como tal, tem subcobertura finita, mas por outro lado Z ⊂ M, e portanto não pode ter uma subcobertura finita. Voltemos à prova queZ cobre X.

Suponha-se, por contradi¸cão, queZ não cobreXe sejax∈Xum elemento que não pertence a nenhum elemento deZ. Como M cobreX, existeO ∈M tal que x∈O e comoS é uma sub-base, existem V₁, . . . , V_n em S tais que x∈Tn

i=1V_i. Nenhum destes conjuntosV_i estão emM, caso contrário,xseria elemento de algum membro de Z. Pelo facto de M ser maximal, cada M ∪Vi contém um sub-recobrimento finito deX; digamosX =V_i∪W_i com W_i uma união finita de subconjuntos deM. Então, X ⊂ Tn

i=1(V_i∪W_i) ⊂O∪(Sn

i=1W_i). Mas isto é imposs´ıvel pela defini¸cão de M, que não admite sub-recobrimento finito. Conclui-se que Z cobre X, o que implica, como notado anteriormente, queX é compacto.

Lema: Seja{(X_α,T_α) :α∈J} uma fam´ılia de espa¸cos topol´ogicos compactos.

Qualquer recobrimento aberto de X = Π_α∈JX_α por conjuntos da forma π⁻¹_α (U) com U um aberto de (X_α,T_α), cont´em um sub-recobrimento finito de X.

Prova:

Seja R um recobrimento por elementos da forma π_α⁻¹(U) e seja, para cada α ∈ J, R_α = {U ∈ T_α : π_α⁻¹(U) ∈ R}. Vamos provar que existe α ∈ J tal que R_α cobre X_α. Ora, se não fôsse esse o caso, para cada α ∈ J, existiria x_α ∈ X_α tal que x_α não pertenceria a nenhum dos elementos de C_α. Seja x ∈ X tal que π_α(x) = x_α. Então chegamos à contradi¸cão que C não recobrir X, pois tal x não pertenceria a nenhum do elementos deC. Escolha-se entãoαtal que C_α cobreX_α. Por compacidade de X_α, existe um sub-recobrimento finito {U₁, . . . , U_n} ⊂ C_α. Temos então que{π_α⁻¹(U₁), . . . , π_α⁻¹(U_n)} ⊂C é um sub-recobrimento finito de X.

O Teorema de Tychonoff é uma consequência imediata do Teorema 7 e do Lema, onde o Lema de Zorn é usado de maneira clara. Basta notar que os elementos

(11)

da sub-base de X na topologia produto s˜ao da forma π⁻¹(U), com U aberto de (X_α,T_α).

Para acabar a prova do teorema 5, resta-nos a ´ultima implica¸cao, Teorema de Tichonoff implica no Axioma da escolha:

Seja{A_α :α∈J}uma fam´ılia não vazia de conjuntos não vazios. O objectivo é mostrar que de fato, Πα∈JA_α 6=∅. Para cadaα∈J definaX_α =A_α∪{a}e sejaX = Q

α∈JXα. Considere uma topologia cofinita modificada nos conjuntos Xα, cujos abertos são os subconjuntos cofinitos deX_α, o conjunto vazio e o conjunto singular {a}, em cada X_α. É imediato que X_α é compacto e portanto, pelo Teorema de Tychonoff, temos queXcom a topologia produto é compacto. Como cada aplica¸cão de proje¸cão π_α : X → X_α é cont´ınua e cada A_α é fechado, então cada π_α⁻¹(A_α)

´

e um fechado de X. Al´em disso, T

α∈Jπ⁻¹_α (A_α) = Q

α∈JA_α e se mostrarmos que a fam´ılia {π⁻¹_α (Aα) : α ∈ J} tem a propriedade da intersec¸c˜ao finita. Sendo X compacto, pelo teorema 02, concluimos que Q

α∈JA_α 6=∅.

Ora, mas para todo n∈Ntem-se queQ

1≤i≤nA_α_i 6=∅, pois ´e um produto finito de conjuntos n˜ao-vazios. Logo, podemos escolher x⁰ = (x_α₁, . . . , x_α_n) pertencente a esse produto cartesiano para construir x∈T

1≤i≤nπ⁻¹_α

i(A_α_i) por:

x= (x_α)α∈J, onde x_α =

x_α_k, se α=α_k a, caso contr´ario

6. Aplica¸c˜oes do Teorema de Tychonoff

Como mencionado no in´ıcio deste artigo, Tychonoff tem sido utilizado na demonstra¸c˜ao de v´arios teoremas, dentre eles vejamos o seguinte:

Teorema 08 (Alaoglu): SeN é um espa¸co normado (o mesmo que métrico), então a bola fechada B^∗ := BN^∗(0; 1) é um espa¸co topológico de Hausdorff compacto na topologia fraca^∗.

Antes da prova, precisamos de alguns conceitos para entender o que seria uma topologia fraca^∗. Comecemos pela defini¸cão deEspa¸co de Banach que é um espa¸co normado completo com a métrica induzida pela norma. O conjunto dos operadores lineares de N₁ em N₂ será denotado por B(N₁,N₂). Note que B(N₁,N₂) é um espa¸co vetorial com opera¸cões pontuais, e decorre que

kTk:= sup

ξ∈N₁, kξk≤1

kT ξk

´

e uma norma em B(N1,N2).

O espa¸co de Banach B(N,F), onde N é um espa¸co normado e F um corpo, será denotado por N^∗ e chamado de espa¸co dual de N. Cada elemento de N^∗ é chamado de funcional linear cont´ınuo emN. O fato deN^∗ também ser um espa¸co

(12)

de Banach, nos permite definirN^∗∗:= (N^∗)^∗, chamado de segundo dual (ou bidual) de N. H´a uma maneira natural de identificar elementos de N com os elementos de seu segundo dual: a cadaξ ∈ N associa-se ξb∈ N^∗∗ por

ξ(f) :=b f(ξ), f ∈ N^∗.

Esta aplica¸cão é chamada de aplica¸cão canônica de N em N^∗∗. A aplica¸cão canônica b: N → N^∗∗ é uma isometria e, se for sobrejetiva, então o espa¸co normado N é chamado de espa¸co reflexivo. Denotaremos de Nb para representar b(N) .

Atopologia fraca emN é a topologia gerada pelos funcionais lineares emN^∗, ou seja, é a topologia menos fina emN na qual todos os elementos deN^∗ permanecem cont´ınuos. Uma sub-base (aberta) dessa topologia é a cole¸cão

V(ξ;f;ε) ={η ∈ N :kf(ξ)−f(η)k< ε}, com ξ∈ N, f ∈ N^∗ e ε >0.

A topologia fraca^∗ em N^∗é a topologia gerada pelos funcinais lineares emNb, ou seja, é a topologia menos fina emN^∗ em que todos os elementos deNb permane¸cam cont´ınuos. Uma sub-base (aberta) dessa topologia é a cole¸cão

V^∗(ξ;f;ε) ={g ∈ N^∗ :kbξ(f)−ξ(g)kb < ε}={g ∈ N^∗ :kf(ξ)−g(ξ)< ε}, com ξ∈ N, f ∈ N^∗ e ε >0.

Agora temos todos elementos necess´arios para a prova do teorema 08.

Prova:

Já se sabe que B^∗ com a topologia fraca^∗ é de Hausdorff e isto não é foco deste artigo. O objetivo é mostrar que B^∗é compacta utilizando o teorema de Tychonoff para encontrar um espa¸co topológico compacto K, no qual B^∗ é um subconjunto fechado deK, logo compacto, e a topologia induzida coincide com a fraca^∗.

A cada ξ ∈ N associe K_ξ = {z ∈ F : kzk ≤ kξk}, o qual ´e compacto em F e, por Tychonoff, o produto carteziano K de todos os Kξ ´e compacto na topologia produto.

Cada elemento de K é uma fun¸cão f que associa cada ξ ∈ N a um escalar f(ξ)∈F, comkf(ξ)k ≤ kξk; assim, a bola unitáriaB^∗é o subconjunto deK obtido pela restri¸cão às fun¸cões f ∈ K que são lineares. Para cada f ∈ B^∗ considere as fam´ılias V^∗(f;ξ;ε) e U(f;ξ;ε), para ξ percorrendo todo N e todo ε > 0. Tais fam´ılias são sub-bases locais de vizinhan¸cas de f ∈ B^∗ na topologia fraca^∗ e na topologia produto, respectivamente. como B^∗ ⊂K∩ N^∗, vem que

V^∗(f;ξ;ε)∩B^∗ =U(f;ξ;ε)∩B^∗

e a topologia fraca^∗ de B^∗ e a topologia induzida de K em B^∗ coincidem. Assim, para terminar a demonstra¸c˜ao, basta mostrar que B^∗ ´e um subconjunto fechado deK.

(13)

Sejag um elemento do fecho de B^∗ em K. Pela defini¸cão deK tem-sekg(ξ)k ≤ kξk, de forma que para mostrar queg ∈B^∗ é necessário e suficiente verificar queg

´

e linear. Toda vizinhan¸ca deg em K intersectaB^∗; assim, dadosξ, η ∈ N eε >0, existe

h∈[B^∗∩U g;ξ;ε

3

∩U g;η;ε

3

∩U

g;ξ+η;ε 3

].

Usando a linearidade de h segue que

kg(ξ+η)−g(ξ)−g(η)k = kg(ξ+η)−h(ξ+η)−g(ξ) +h(ξ)−g(η) +h(η)k

≤ kg(ξ+η)−h(ξ+η)k+kg(η)−h(η)k+kg(ξ)−g(ξ)k

< ε.

Portanto, g(ξ +η) = g(ξ) +g(η). De forma an´aloga, para todo ξ ∈ N vale g(αξ) =αg(ξ),∀α∈F, e conclui-se que g ´e linear.

Referˆencias:

[Du] J. Dugundji, Topology, William C Brown Pub, 1966.

[Hal] P. Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974.

[Her] Herrlich, Axiom of Choice, Springer, 2006.

[HB] H. Brandsma, A proof of Tychonoff theorem implies AC, Topology Atlas, 2003.

[El1] Lima, Elon Lages, Espa¸cos M´etricos, IMPA, 2007.

[El2] Lima, Elon Lages, Elementos de Topologia Geral. Editora SBM, 2009 [MS] Moura, Wagner - Souza, Wellington, Caracteriza¸cão de conceitos To- pológicos Através da No¸cão de convergência de Redes, 2015.