MECÂNICA I CINEMÁTICA ESCALAR

MECÂNICA I – CINEMÁTICA ESCALAR

I- INTRODUÇÃO À FÍSICA

1) Grandeza Física

- algo suscetível de ser comparado e medido. As grandezas físicas são classificadas em:

a) Grandeza Escalar: fica perfeitamente caracterizada pelo valor numérico e pela unidade de medida. Exemplos:

tempo, massa, volume temperatura, etc.

b) Grandeza Vetorial: necessita, para ser perfeitamente caracterizada, das idéias direção, de sentido, de valor numérico e de unidade de medida. Exemplos:

deslocamento, velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento.

2)

Padrões Fundamentais da Mecânica no SI

Grandeza Comprimento Massa Tempo

Padrões m kg s

3) Notação Científica (potência de dez)

É uma maneira simplificada de se escrever um número como um produto de dois fatores, sendo o primeiro fator um número entre um (1) e dez (10) e o segundo uma potência inteira de dez.

N x 10 ⁿ, com “n” inteiro, 1  N  10 Exemplos:

a) 0,00000453 m = 4,53 . 10 ^{- 6} m b) 703000000 cm= 7,03 . 10 ^{+ 8} cm

4) Proporcionalidades de Grandezas Físicas

a) Grandezas Diretamente Proporcionais: Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando a razão (quociente) entre um valor qualquer de uma delas e o valor correspondente da outra é constante. O gráfico característico de duas grandezas diretas é uma reta que passa pela origem. Exemplo: Massa e volume.

b) Grandezas Inversamente Proporcionais: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto entre os seus valores correspondentes é constante. O gráfico característico de duas grandezas inversas é uma hipérbole. Exemplo: Velocidade e tempo.

II- CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA CINEMÁTICA

Ponto Material – Corpo Extenso – Movimento – Repouso – Referencial – Trajetória – Espaço ou Posição(S) - Deslocamento Escalar (ΔS) e Distância Percorrida(d).

III) VELOCIDADE

– é a grandeza que mede a variação da posição com o tempo em relação a um referencial.

VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA (Vm): define-se como sendo a razão entre o deslocamento escalar e o intervalo de tempo gasto pelo móvel.

Outras unidades de velocidade: km/h , cm/s, etc Conversões: m/s ↔ km/h: 1 m/s = 3,6 km/h

Velocidade Escalar Instantânea (V): é a velocidade que o móvel possui em um determinado instante ou

t lim S v

t 0



 



 (limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero).

IV) ACELERAÇÃO

- é a grandeza que relaciona a varação da velocidade sofrida pelo móvel e o intervalo de tempo gasto.

ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA (am)– é a razão entre a variação de velocidade ( ΔV ) siofrida pelo móvel e o intervalo de tempo gasto (Δt).

Aceleração Escalar Instantânea ( a ): valor da aceleraçao num instante t ou

t lim V a t 0 

 



 ( limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero).

V) MOVIMENTO UNIFORME (MU)

É todo movimento no qual a velocidade escalar é constante (aceleração nula). O móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais. V = Vm

Massa (g) 7,5 15,0 22,5 30,0 Volume ( cm³) 1,0 2,0 3,0 4,0

v (km/h) 50 100 200 400

t ( h) 4 2 1 0,5

0

m

t t

0

V V t a V



 



 

m/s² (SI)

Hipérbole

1 2 4

200

100 50

0 t (h)

v (km/h) Temos:

50 x 4 = 100 x 2 = 200 x 1 = 400 x 0,5 = k = 200 km

m (g)

V (cm³)

cm

3

/ g 5 , 7 V k

m  

k = fator ou coeficiente de proporcionalidade.

t

ou

V

_m

S



 

0 m

t t

0

S V S



 

_{m/s (SI)}

a) Tipos de MU:

MRU – Movimento Retilíneo Uniforme MCU – Movimento Circular Uniforme b) Função Horária do MU:

Sinal da velocidade:

Se v > 0: movimento progressivo ⇨ a partícula se move no sentido dos espaços crescentes.

Se v < 0: movimento retrógrado ou regressivo ⇨ a partícula se move no sentido dos espaços decrescentes.

c) GRÁFICOS DO MU

1º) Gráficos dos Espaços: S = f(t)  Reta inclinada

2 º) Gráfico da Velocidade: V = f(t)  Reta paralela ao eixo dos tempos

Propriedades:

i) Gráfico S = f(t):

N tg θ V

ii) Gráfico v = f(t):

N S ) A ( área 

VI– MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

(MUV)

a) Características:

Aceleração escalar constante (a CTE ≠ 0),

 a = am

 A velocidade tem variações proporcionais aos intervalos de tempos.

b) Tipos de MUV

* MRUV: Movimento Retilíneo Uniformemente Variado;

*MCUV: Movimento Circular Uniformemente Variado.

c) Classsificação quanto à velocidade e aceleração Acelerado: quando ΙVΙ aumenta no decorrer do tempo; os sinais de “a” e “v” são iguais ( a > 0 e v > 0 ou a < 0 e v < 0).

Retardado: quando Ι V Ι diminui; os sinais de “a” e “v” são diferente ( a > 0 e v < 0 ou a < 0 e v > 0).

d) EXPRESSÕES DO MUV

F. Horária da velocidade: V = V0 + a.t (1° grau)

F. Horária dos espaços:

2 t.

t. a V S

S 

₀



₀



² (2º grau)

Equação de Torricelli:

V

²

 V

₀²

 2 . a .  S

Velocidade média:

t V

_m

S



 

ou

2 V V

_m

V

⁰





e) GRÁFICOS DO MUV:

(1º) Gráfico da Velocidade: v = f(t) reta inclinada

Propriedades:

i)

N tg θ

a 

ii)

 S N área ( A )

(2º) Gráfico da Aceleração: a = f(t)  Reta paralela

Propriedade do gráfico: a =f(t):

(3º) Gráfico dos espaços: S = f(t)  Parábola a > 0: concavidade voltada para cima;

a < 0: concavidade voltada para baixo.

V = 0: nos pontos de máximo e de mínimo (nos vértices)

VII - MOVIMENTOS VERTICAIS NO VÁCUO

Queda Livre (v = 0) e Lançamento Vertical (v 0) Todos os corpos que se movimentam nas proximidades da superfície terrestre ou de outro planeta, na ausência do ar, adquirem uma mesma aceleração (praticamente constante), denominada aceleração da gravidade (g), independentemente de suas massas, formas e dimensões;

tendo g

direção vertical, apontando para o centro da Terra (ou de outro planeta).

a < 0 a >0

v = 0

v = 0

=0

Progressivo Retardado

Retrógrado t Acelerado

Progressivo Acelerado Retrógrado

Retardado

t a

V < 0 - a

a < 0

A + a

a

V > 0

t

t1 t2

A

V = 0

 v

t

( a < 0 ) ( a > 0 )

v0



t v

S < 0 - v

v < 0

A + v

v

S > 0

t

t1 t2

A

 S

t

M. Retrógrado ( V < 0 ) M. Progressivo ( V > 0 )

S0



S = S0 + v.t (1º grau)

N V

)

A

(

Área 

São casos particulares de MUV, onde na ausência do ar ou no vácuo, teremos:

a) trajetória retilínea e vertical;

b) aceleração da gravidade: g = 9,8 m/s² (valor normal a 45 ° de latitude e ao nível do mar). Na resolução de exercícios usaremos g = 10 m/s², para simplificação de cálculos.

Assim sendo, utilizamos as mesmas funções do MUV, bastando trocar “a” por “+ g” se orientarmos positivamente para baixo; e “a” por “- g” se orientarmos positivamente para cima.

(1) V = V0 + g.t (2)

2 t.

t. g V S

S ₀ ₀  ² (3) V² = V0

2 + 2.g∆S

Observações:

1ª) Durante a SUBIDA, o movimento é uniformemente RETARDADO, pois o módulo da velocidade diminui;

durante a DESCIDA, o movimento é uniformemente ACELERADO, visto que o módulo da velocidade aumenta.

2ª) As velocidades de um corpo, num ponto da trajetória, na subida e na descida são iguais em módulo.

3ª) O tempo de subida e o tempo de descida (queda) são iguais para o mesmo ponto da trajetória.

VIII - NOÇÕES DE VETORES

VETOR - é um ente puramente matemático, sem qualquer significado Físico, caracterizado por módulo, direção e sentido; representam na Física as grandezas vetoriais e são representados graficamente por um segmento de reta orientado.

CARACTERÍSTICAS DO VETOR:

 Módulo: intensidade, valor numérico;

representado pelo comprimento do segmento de reta.

Usamos a notação: 

V 

 ou V.

 Direção: ângulo que o vetor forma com um eixo de referência; é determinada pela reta suporte (reta que contém o vetor). Podemos ter como exemplos: vertical, horizontal, esquerda - direita, norte-sul, etc. Vetores paralelos têm a mesma direção.

 Sentido: é a orientação que o vetor possui sobre seu suporte. Exemplos: Da esquerda para direita, de baixo para cima, do norte para o sul, etc.

Vetores iguais ou Eqüipolentes – são vetores que possuem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo.

Vetores opostos ou simétricos – são vetores que possuem a mesma direção e o mesmo módulo, porém sentidos contrários.

A) ADIÇÃO VETORIAL

Vetor soma

S



ou vetor resultante

R 

é o vetor equivalente a dois ou mais vetores.

1- Método do Paralelogramo

Deslocam-se os vetores dados paralelamente e une-se a origem de um com a origem do outro vetor;

com linhas auxiliares, traça-se o paralelogramo. O vetor soma

S 

é a diagonal do paralelogramo formado (ver figura). Sejam

V 

₁

e

V 

₂ .

Cálculo do módulo do vetor soma S  :

2- Método do Polígono ou da Linha Poligonal

Deslocam-se paralelamente os vetores dados, das suas posições originais, unindo a origem de um com a extremidade do outro vetor até o último vetor; o vetor soma (

S



), obtém-se ligando a origem do primeiro vetor com a extremidade do último vetor deslocado. Sejam a adição dos vetores

a 

, b ,

c 

e d

, abaixo.

3- Casos Particulares da Adição Vetorial

: b

a S  



 1°)

a 

e b

têm a mesma direção e o mesmo sentido:

2°)

a 

e b

têm a mesma direção e sentidos contrários:

S = a+ b (módulo) (soma algébrica)

S  a 

b

θ cos . V . V . 2 V V

S ₁² ₂² _{1 2} (Lei dos Cossenos)

V 

1

V 

2 _

Onde: S =

V 

₁

+

V 

₂

(soma vetorial)

S 

Reta suporte.

A = origem B = extremidade

AB V  

u = unidade

Eixo de referência

V 

r

u

^A

B

 (direção)

+

Trajetória orientada para cima

Trajetória orientada para baixo

+

g > 0 V0

g < 0 V0

3°)

a 

eb

têm direções perpendiculares (ortogonais)

B) SUBTRAÇÃO VETORIAL

A diferença entre dois vetores

V 

₁ e

V 

₂

(

V 

₂ -

V 

₁

) obtém-se, adicionando-se vetorialmente o vetor

V 

₂

com o oposto (simétrico) de

V 

₁

. Temos:

) V ( V V V

D  

₂



₁



₂



₁











Módulo do vetor diferença

D 

:

C) MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL (ESCALAR) POR UM VETOR

Ao multiplicarmos um número real n por um vetor

V 

, obteremos outro vetor

P  n . V 



, com as seguintes características:

 Módulo:

P  n . V 



ou P = n.V.

 Direção: a mesma do vetor

V 

.

 Sentido: mesmo de

V 

, se n > 0, oposto de

V 

, se n < 0.

D) DECOMPOSIÇÃO ORTOGONAL DE UM VETOR V 

Projetando perpendicularmente em Ox e Oy, temos:

A expressão cartesiana de

V 

, em função dos vetores unitários

 i

e

j



, chamados versores, é:

j V i V V 

_x



_y







^Sendo:

V

_x

V  x



^e

V

_y

V 

_y



2ª Parte - CINEMÁTICA VETORIAL

A

) Vetor velocidade média ( V 

_m

) ou velocidade vetorial média.

Define-se como sendo o quociente entre o vetor deslocamento

S  d 





e o intervalo de tempo t em que o movimento se realiza.

Consideremos um móvel em uma trajetória qualquer.

Temos:

Sendo d

= vetor deslocamento - vetor que tem origem na posição inicial e extremidade na posição final do móvel.

Notas:

1ª) O vetor velocidade média

V 

_m

tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento d

. 2ª) Em cinemática escalar

t V

_m

S



 

^{. Como}

d    S

. Então:

V  m  V

_m

.

B)

Velocidade vetorial instantânea (vetor velocidade) V 

:

é um vetor de direção sempre tangente à trajetória, no mesmo sentido do movimento é módulo igual ao da velocidade escalar instantânea (

V 

_m

 = Vm).

C) Aceleração Vetorial Instantânea ( a  )

é a aceleração de um móvel num determinado instante t;

indica a variação do vetor velocidade (

V 

) em módulo e em direção. Tem duas componentes:

 ACELERAÇÃO TANGENCIAL (a_t

): indica a variação apenas do módulo do vetor velocidade

V 

, tangente à trajetória e módulo igual ao da aceleração escalar: a_t a

(escalar). Sentido: mesmo de

V 

, se o movimento for acelerado; oposto ao de

V 

, se o movimento for retardado.

Nota:

a 

_t

só existe em movimentos variados No M.U,

a

_t

0

 



, pois 

V 

 não varia.

V  a 

M. Retardado M. Acelerado

a  V 

Trajetória curvilínea,

V 

tem direção variável

V 

2

V 

4

V 

3

V 

1

V 

3

V 

2

V 

1

Trajetória retilínea. V, tem direção constante

t V

_m

d

 

 

d

V 

m

V 

²

B t2

A

t1

V 

₁

j i

 x

y Vy

V 

x

V  V 

2

V 

-

3V

θ cos . V . V . 2 V V

D 

₁²



₂²



_{1 2}

2

2 b

a

S  (módulo)

b

a 

S



S = b- a (módulo) (soma algébrica) b

a 

S 



V 

2

V 

1

D 

V₁



V 

2

Sendo:

V 

=

V 

_x +

V 

_y

, Projeções:

V 

_x

e

V 

_y Módulos:

Vx = V. cos  Vy = V. sen 

 ACELERAÇÃO CENTRÍPETA (a_CP ): é perpendicular à trajetória e indica a variação apenas da direção do vetor velocidade

V 

. Tem sentido para o centro da trajetória e módulo dado por:

 ACELERAÇÃO RESULTANTE (a a_CP a_t



 )

Nota: A aceleração centrípeta (

a 

_CP

) só existe em movimentos de Trajetórias Curvas (

a 

_CP

0 



); em Trajetórias Retilíneas

a 

_CP

0 



^.

I - COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS

Movimentos compostos são aqueles resultantes da composição de dois ou mais movimentos. Como o movimento de um barco na correnteza, de um avião no ar, de um corpo lançado obliquamente no ar, etc.

Sejam dois sistemas de referências (R e r) e um ponto P.

TEMOS:

O Princípio da Simultaneidade ou Independência de GALILEU pode ser enunciado da seguinte forma:

“Quando um corpo se encontra sob a ação simultânea de vários movimentos, cada um deles se processa como se os demais não existissem; e no mesmo intervalo de tempo”.

II - MOVIMENTOS NÃO VERTICAIS NO VÁCUO

1°) Lançamento horizontal

Movimento resultante da composição de dois movimentos retilíneos e ortogonais:

►Componentes da velocidade inicial:

V0x = V0e V0y = 0

►Funções Horárias:

2°) Lançamento Oblíquo no vácuo

É aquele em que a velocidade inicial do movimento forma com a horizontal um ângulo , chamado ângulo de tiro. É, também, uma composição de um MUV na direção vertical com MU na direção horizontal.

►Componentes da velocidade inicial:

► FUNÇÕES HORÁRIAS:

► Em qualquer instante de tempo, para os dois casos L. horizontal e L. oblíquo), teremos:

y x

0

V

V V   





em módulo V² V₀²_xV_y² Notas:

1ª) O módulo da velocidade vertical Vy diminui durante a subida e aumenta na descida.

2ª) No ponto de altura máxima (hmáx) o módulo da velocidade no movimento vertical é zero (Vy = 0).

3ª) Pode-se demonstrar que a trajetória é parabólica e que para uma dada velocidade inicial o alcance máximo é atingido com ângulo de tiro de 45°.

Vy = V0y – g.t y

. g . 2 V V_y² ₀²_y

y 2 0

0

g t.

2 t. 1 v y

y   

Segundo y (MRUV):

Segundo x (MRU): x = x0 + v0x.t v0x=cte 0 V0x = V0.cos  V0y = V0 . sen 

Segundo y: MUV

→ ^{y } ₂ ^{1 gt}

²

e

Vy = g.t x = V0.t Segundo x: MU →

a = alcance

ARR REL

RES

= V + V

V

  

(B/T) (B/A) (A/T) VB/T

Movimento de Arrastamento Movimento

Relativo

Movimento Resultante

( R ) ( r )

( P )

VA/T

VB/A

BARCO (B) ÁGUA (A) TERRA(T)

Módulo:

2t 2CP

a a

a  

Sendo v = velocidade R = raio da trajetória

V 

aCP

 C

R

R

a

_CP

 V

²

Alcance máximo →

g

A_máx  V⁰² ou Amáx = 4.H 4°) Quando o ângulo de lançamento (de tiro) não for 45°;

existirão duas opções de ângulo para se obter o mesmo alcance.Tais ângulos são complementares, isto é 1 + 2 = 90°.

III - CINEMÁTICA DE MOVIMENTOS CIRCULARES

Movimento circular é aquele cuja trajetória é uma circunferência A posição do móvel também pode ser determinada por um ângulo central  (fi, espaço angular – grandeza angular) em lugar de espaço S (espaço linear).

Neste movimento, temos as grandezas:

Grandezas Angulares Grandezas lineares Espaço angular (  )

Velocidade angular (  ) Aceleração angular (

α

)

Espaço linear ( S ) Velocidade linear ( V ) Aceleração linear ( a )

A) Espaço ou posição angular (): é dado pela medida do ângulo central em relação a um referencial prefixado (O).

B) Velocidade angular média (m): é o quociente entre o ângulo descrito (

Δ φ

) e o tempo gasto em descrevê- lo.

Sendo:

Δ

 = deslocamento angular (rad),

Δ φ

= 1 - 2 (

Δ φ

, delta fi)

Δ t

= intervalo de tempo (s).

Nota: Para um intervalo de tempo (

Δ t

) muito pequeno (um instante t), a velocidade angular média (m) é denominada velocidade angular instantânea e é indicada por .

C) Aceleração angular média (

α

_m): é o quociente entre a variação da velocidade angular (

Δ ω

) e o intervalo de tempo (

Δ t

) gasto nesta variação.

RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS ANGULARES E GRANDEZAS LINEARES

Grandeza linear = Grandeza angular x Raio Nota:

Estas relações são válidas apenas quando a grandeza angular for expressa em radiano, caso contrário devemos primeiro convertê-las para depois utilizá-las.

D) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

É aquele cuja trajetória é uma circunferência e o módulo de sua velocidade vetorial é constante e diferente de zero, bem como a velocidade angular (); repetem-se periodicamente os estados do movimento (posição, velocidade).

Como exemplo, temos: O movimento dos ponteiros de um relógio, de um disco em um toca-disco, etc.

E) MOVIMENTOS PERIÓDICOS

São aqueles no qual qualquer posição é repetida identicamente em intervalos de tempos iguais. Temos:

 Período (T) é o tempo gasto numa volta completa (ciclo, rotação ou oscilação). Unidades: Ano, mês, dia, minuto, segundo (s, no SI), etc.

 Freqüência (f): é o número de voltas ciclos, rotações ou oscilações) efetuadas por unidade de tempo.

A freqüência é o inverso do período, e vice-versa.

Unidade(f) = voltas/s = ciclos/s = rps = 1/s = Hz, rpm.

Hz = Hertz (SI)

rps = rotações pos segundo rpm = rotações por minuto

Conversões: Quilohertz: 1 kHz = 1000 Hz Megahertz: 1 MHz= 10 ⁶ Hz

F) RELAÇÕES E FUNÇÕES DO MCU Relações:

Funções Horárias:

f π T 2

π

ω  2  ω . R

R a

_CP

 V

²



²

V= .R

T f  1

x 60

 60

rpm Hz

t n tempo voltas

f 

→

ou

T f  1

f T  1

Onde:

R = raio da circunferência

cte V V

V 

₁

 

₂

 

₃



S = .R V = .R

a = α . R

rad/s² ( SI )

1 2

1

m

t

2

t

ω ω t α ω



 



 

rad/s ( SI )

1 2

1 2

m

t t  t





 





 



Unid () = radiano (rad)  = 1 rad, se R = S 1 volta →  = 2 rad 360° = 2 rad

φ R

S Raio Arco 



Angular:  =

₀

+ .t

Linear: S = S

0

+ V.t

G) TRANSMISSÃO DE MOVIMENTOS COMBINADOS

Há muitos movimentos circulares que se acoplam através de polias, correias e engrenagens.

1) Acoplamentos por correias ou por engrenagens (eixos diferentes: pontos com a mesma velocidade escalar V.

2) Acoplamentos com o mesmo eixo: pontos descrevem o mesmo ângulo e, portanto, a mesma velocidade angular

.

H) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

É aquele em que a trajetória é circular e a aceleração angular é constante (

ω

= cte ) e não nula. Sendo um movimento uniformemente variado, valem as funções do MRUV.

FUNÇÕES HORÁRIAS ANGULARES

Fazendo a correspondência: S  , V  e a

α

, nas expressões do MRUV, obtém-se as expressões do MCUV. Tem-se:

(1ª) F. H. do Espaço Angular: _{0 0}

. t

²

2 t 1 .  











(2ª) F. H. da Velocidade Angular:  = 0

+ α

t (3ª) Equação de Torricelli: ²

= 

₀²

+ 2 α . Δ φ

B

A

VB

VA

VA

VB

 A

= 

B

V

A

= V

B