Me todos Computacionais em Fı sica I

(1)

Gr ´aficos S. Taylor Histogramas Array-Matrizes Algebra Linear´ interface OO (Opcional)

M ´etodos Computacionais em F´ısica I

Sandra Amato

Instituto de F´ısica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

(2)

Matplotlib

Ü Gr áficos e animaç ões s ão ferramentas extremamente úteis

Ü Existem v ários pacotes de visualizaç ão para o Python

Ü Usaremos neste curso o pacote mais b ´asico - Matplotlib

Ü Detalhes podem ser encontradosaqui (site oficial) Ü e nesselink: Problem Solving with Python (mais did ´atico)

Ü Criado pelo neurologista John D. Hunter no in´ıcio dos anos 2000.

(3)

Gr ´aficos

Ü Suponha que queiramos fazer o gr áfico da funç ão f (x ) no intervalo a ≤ x ≤ b

Ü Os passos computacionais s ˜ao:

m criar uma lista (numpy.array) com os n valores de xi, em geral, igualmente espac¸ados de δx

xi =a + iδx , com δx = b − a n − 1 m calculamos os valores de yi =f (xi)para cada ponto i m colocamos esses pontos em um gr ´afico e ligamos os pontos

Ü J ´a trabalhamos com a classe array do pacote num ´erico NumPy

Ü V árias funç ões do matplotlib utilizam funç ões da NumPy

(4)

Gr ´aficos no Matplotlib

ÜEx: Gr áfico da funç ão y = sin(x ) para x entre 0 e 4π espaçados de 0.1: plotSin0.py >>> import numpy as np >>> import matplotlib.pyplot as plt >>> #np.arange(start,stop,step) >>> x = np.arange(0, 4 * np.pi, 0.1) >>> y = np.sin(x) >>> plt.plot(x, y) >>> plt.show()

(5)

Embelezando

(6)

(7)

Embelezando

plotSin1.py import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #np.arange(start,stop,step) x = np.arange(0, 4 * np.pi, 0.1) y = np.sin(x)

plt.plot(x, y, ’ro’) # r de red; o ´e um c´ırculo plt.xlabel(’angulo (0 a 4 pi)’)

plt.ylabel(’seno(x)’)

plt.title(’Grafico de seno(x)’)

plt.axhline(color=’gray’, y=0, zorder=-1) #y=0 ´e o default, pode ser omitido

# tire o parametro zorder=-1 e veja o que acontece

plt.savefig(’seno1.png’) # deve vir antes de plt.show() plt.show()

(8)

Propriedades de Linhas

Argumentos que podem ser passados juntamente com a func¸ ˜ao plot

para controlar propriedades de linhas

Propriedade

Valores

alpha

transpar ˆencia (0–1)

color

Cor: b,g,r,c,m,y,k,w

label

legenda

linestyle

: .

-linewidth

Espessura da linha (pontos)

marker

+

o . s v x > <

markeredgewidth

Espessura da margem do s´ımbolo

markeredgecolor

Cor da margem do s´ımbolo

markerfacecolor

Cor do s´ımbolo

markersize

Tamanho do s´ımbolo (pontos)

(9)

Gr ´aficos S. Taylor Histogramas Array-Matrizes Algebra Linear´ interface OO (Opcional) plotSin.py

x = np.arange(0, 4 * np.pi, 0.1) y = np.sin(x)

plt.plot(x, y, linewidth=2.0, linestyle=’--’,

color=’r’, marker=’o’, markersize=5, markeredgecolor=’b’, markerfacecolor=’g’, alpha=0.5) plt.xlabel(’angulo (0 a 4 pi)’) plt.ylabel(’seno(x)’) plt.title(’Grafico de seno(x)’) plt.grid(True) plt.xticks(

np.arange(0, 4*np.pi + np.pi/2, np.pi/2), [’0’,’pi/2’,’pi’,’3pi/2’,’2pi’,’5pi/2’, ’3pi’,’7pi/2’,’4pi’])

plt.yticks()

plt.savefig(’seno.png’) # deve vir antes de plt.show() plt.show()

(10)

Ex. de Duas Curvas no mesmo gr áfico e aproveitando pra definir a funç ão com def import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def f1(t): return t**2*np.exp(-t**2) def f2(t): return t**2*f1(t) t = np.linspace(0, 3, 51) y1 = f1(t) y2 = f2(t) plt.plot(t, y1, ’r-’) plt.plot(t, y2, ’bo’) plt.xlabel(’t [s]’) plt.ylabel(’y [m]’) plt.legend([’tˆ2*exp(-tˆ2)’,\ ’tˆ4*exp(-tˆ2)’]) plt.title(’Duas curvas’) plt.savefig(’duasCurvas.pdf’) plt.show() 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t [s] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y [m] Duas curvas t^2*exp(-t^2) t^4*exp(-t^2)

(11)

Gr ´afico de pontos com incertezas

Crie o arquivo plotPontos.py com os seguintes comandos import matplotlib.pyplot as plt

x = [0, 2, 4, 6] y = [1, 3, 4, 8]

plt.errorbar(x, y, yerr=0.2) #... e com incertezas plt.xlabel(’x’)

plt.ylabel(’y’)

plt.title(’Grafico com barra de erro’)

plt.legend([’resultado 1’],loc=0) #melhor local plt.show()

(12)

Propriedades de Texto

Argumentos opcionais dos comandos de texto

Propriedade

Valores

alpha

transpar ˆencia (0–1)

color

Cor: b,g,r,c,m,y,k,w

fontangle

italic, normal, oblique

fontname

Nome da fonte

Tamanho da fonte

fontweight

normal, bold, light4

horizontalalingnment

left, center, right

verticalalingnment

bottom, center, top

rotation

horizontal, vertical

(13)

Incompatibilidade entre fontes no Windows

Pode haver uma incompatibilidade entre a biblioteca matplotlib e o

sistema operacional Windows ao salvar as imagens em .pdf, pois a

fonte de texto original da biblioteca n ˜ao vem instalada por padr ˜ao no

Windows. Para contornar isso, basta mudarmos a fonte de texto a ser

utilizada. Escreva essas duas linhas de comando antes de comec¸ar a

montar seu plot:

plt.rcParams[’pdf.fonttype’] = 42

(14)

Embelezando

import matplotlib.pyplot as plt x = [0, 2, 4, 6] y = [1, 3, 4, 8] plt.xlim(left=-1,right=8)

plt.errorbar(x, y, yerr=0.2, fmt=’o’) plt.xlabel(’x’,fontsize=20)

plt.ylabel(’Voltagem [$\mu$V]’, color=’r’) plt.title(’Grafico com barra de erro’)

plt.text(5,2,’$\sum_iˆ\infty x_i$’,fontsize=20) plt.legend([’resultado 1’],loc=’upper left’)

plt.savefig(’pontos.pdf’) plt.show()

Para ver as possibilidades: >>> help(plt.plot) >>> help(plt.legend) 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 1 2 3 4 5 6 7 8 Vo lta ge m [ V] ixi

Grafico com barra de erro

resultado 1

(15)

S ´erie de Taylor

Ü S érie de Taylor é uma das ferramentas matem áticas mais importantes em m étodos num éricos e computaç ão cient´ıfica

Ü Ela é usada para desenvolver os m étodos que veremos neste curso m M étodo de Newton para encontrar a raiz de uma funç ão m M étodo dos Trap ézios e de Simpson para calcular integrais m M étodos de Euler e Runge-Kutta pra EDO

Ü e nos permite uma an álise da acur ácia que o m étodo prov ê

Ü Suponha conhecido o valor da funç ão f em um ponto x0e queremos saber o valor de f em ponto pr óximo x = x0+h, com h sendo bem pequeno. Suponha que saibamos tamb ém a derivada de f no mesmo ponto x0. Uma primeira aproximaç ão pode ser escrita como:

f0(x0) ≈

f (x0+h)− f (x0)

h ⇒ f (x0+h) ≈ f (x0) +h f 0_(x

(16)

S ´eries de Taylor

Se uma funç ão f (x ) é diferenci ável n vezes no intervalo (a, b) : podemos escrev ê-la como: aS érie de Taylor:

f (x ) = f (x0) +f1(x0)(x − x0) +2!1f 2 (x0)(x − x0)2+ · · · +n!1f n (x0)(x − x0)n+ . . . f (x ) = ∞ X n=0 1 n! dn_f dxn(x0)(x − x0) n fn_(x

0) ´e sua n- ´esima derivada calculada no ponto x0∈ (a, b)

A contribuic¸ ˜ao relativa de cada termo cai com n (∝ 1/n!)

Se truncarmos a s érie no termo de ordem n, a soma ser á uma aproximaç ão Quanto maior o n, melhor a aproximaç ão

A soma dos termosdesprezadosser á dominada pelo termo de ordem n + 1 Ao truncar a s érie de Taylor no termo de ordemnteremos umerrona aproximaç ão proporcional ao pr óximo termo, ou seja,δf = O(x − x0)(n+1),

o erro depende de h = x − x0e do n ´umero de termos n

(17)

S ´eries de Taylor - Exemplos

f (x ) = f (x0)+f1(x0)(x −x0)+_2!1f2(x0)(x −x0)2+· · ·+_n!1fn(x0)(x −x0)n+. . . f (x ) = ex, em torno de x0=0: f1(x ) = ex → f1_{(0) = 1,} f2_{(x ) = e}x _{→ f}2_{(0) = 1, . . .} ex =1 + x +1₂x2+_3!1x3+ · · · + _n!1xn+ . . . n = 1, 2, 3, . . . f (x ) = sin(x ), em torno de x0=0: f1_{(x ) = cos(x ) → f}1_{(0) = 1,} f2_{(x ) = − sin(x ) → f}2_{(0) = 0,} f3_{(x ) = −cos(x ) → f}3_{(0) = −1,} f4_{(x ) = sin(x ) → f}4_{(0) = 0, . . .} sin(x ) = x − _3!1x3+_5!1x5− 1 7!x 7_{. . .} sin(x ) = ∞ X i=0 (−1)n(x − x0) 2n+1 (2n + 1)!

(18)

S ´erie de Taylor de e

x

ÜUm programa extremamente simples e n ão muito funcional para calcular alguns poucos termos da s érie de Taylor da funç ão exponencial poderia ser (exp taylor simples.py)

from math import exp

h = float(input(’Digite o valor de (h)\n’)) print (’exp(%f) = %f’ %(h, exp(h)))

soma = 1. ordem = 0

print (’ordem=%d, serie=%g, erro=%g’ %(ordem,soma,exp(h)-soma)) ordem = 1

soma += h

soma += (1/2.0)*h**2

soma += (1/6.0)*h**3

soma += (1/24.0)*h**4

(19)

S ´erie de Taylor de e

x $ python3 exp_taylor_simples.py Digite o valor de (h) .2 exp(0.200000) = 1.221403

ordem=0, serie = 1, erro = 0.221403 ordem=1, serie = 1.2, erro = 0.0214028 ordem=2, serie = 1.22, erro = 0.00140276 ordem=3, serie = 1.22133, erro = 6.94248e-05 ordem=4, serie = 1.2214, erro = 2.75816e-06

$ python3 exp_taylor_simples.py Digite o valor de (h)

3

exp(3.000000) = 20.085537

ordem=0, serie = 1, erro = 19.0855 ordem=1, serie = 4, erro = 16.0855 ordem=2, serie = 8.5, erro = 11.5855 ordem=3, serie = 13, erro = 7.08554 ordem=4, serie = 16.375, erro = 3.71054

(20)

S ´erie de Taylor de e

x

Ü Neste exemplo, truncamos a s ´erie de Taylor em n = 4, portanto, para a exponencial, esperamos um erro da ordem de

δf ≈ (x − x0)(n+1)/(n + 1)!

Ü Para x − x0=0.2 o erro foi 2.75816e-06 e o valor esperado ´e δf = 0.25_{/5! = 2.666 × 10}−6

Ü Para x − x0=3 o erro foi 3.71054 e o valor esperado ´e δf = 35_{/5! = 2.025}

Ü Mas podemos ir adicionando quantos termos quisermos at é atingir a acur ácia desejada. Para x − x0=3, obtemos o valor de 20.086 com 15 termos da s érie.

Ü Para x − x0=50, e50=5.1847 × 1021e variando o n ´umero de termos: n+1 s ´erie 2 51 4 2.2134 ×104 8 1.7960 ×108 16 3.2964 ×1013 32 1.3928 ×1019 64 5.0196 ×1021 128 5.1847 ×1021

(21)

Exerc´ıcio

Ü Vamos analisar a func¸ ˜ao sin(x ) em torno de x0=0: sin(x ) = x − 1 3!x 3₊ 1 5!x 5₋ 1 7!x 7_{· · · =} ∞ X i=0 (−1)n (x ) 2n+1 (2n + 1)!

Ü Voc ˆe vai produzir o gr ´afico

0 50 100 150 200 250 x(graus) 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 sen(x)

Serie de Taylor - sen(x)

sen(x) N=3 N=5 N=7 N=9

(22)

Histogramas

Ü

Histogramas s ˜ao usados para visualizar e analisar dados

distribu´ıdos em determinadas categorias ou em intervalos de uma

dada vari ´avel. Permitem que se perceba o valor central (m ´edia), a

faixa de variaç ão (desvio padr ão), poss´ıveis estruturas e eventos

inesperados.

(23)

Histogramas

Ü

Para construir um histograma classificamos os dados de acordo

com os intervalos

, calculando o n ´umero N(x

i

)

ou a frequ ˆencia

(24)

Histogramas

Ü

Para construir um histograma classificamos os dados de acordo

com os intervalos,

calculando o n ´umero N(x

i

)

ou a frequ ˆencia

)

v ão representar o n úmero de ocorr ências

entre x

i

e x

i

+ ∆x .

(26)

Histogramas

Ü

Quando queremos fazer um histograma de uma vari ´avel real,

definimos uma largura do intervalo (

bin

), ∆x .

As quantidades N(x

i

)

v ão representar o n úmero de ocorr ências

entre x

i

e x

i

+ ∆x .

N(x

i)

depende da escolha da largura ∆x .

(27)

Histogramas

Ü

Quando queremos fazer um histograma de uma vari ´avel real,

definimos uma largura do intervalo (

bin

), ∆x .

As quantidades N(x

i

)

v ão representar o n úmero de ocorr ências

entre x

i

e x

i

+ ∆x .

(28)

Histogramas

bin xi +∆x Cont 1 9.00 9.08 0 2 9.08 9.16 0 3 9.16 9.24 2 4 9.24 9.32 0 5 9.32 9.40 1 6 9.40 9.48 4 7 9.48 9.56 8 8 9.56 9.64 19 9 9.64 9.72 20 10 9.72 9.80 35 11 9.80 9.88 32 12 9.88 9.96 33 13 9.96 10.04 23 14 10.04 10.12 10 15 10.12 10.20 9 16 10.20 10.28 7 17 10.28 10.36 4 18 10.36 10.44 1 19 10.44 10.52 0 20 10.52 10.60 0

Observe que, para melhor visualizaç ão, o gr áfico cobre uma faixa um pouco maior que a faixa de valores de x

(29)

Histogramas

bin xi +∆x Cont 1 9.00 9.08 0 2 9.08 9.16 0 3 9.16 9.24 2 4 9.24 9.32 0 5 9.32 9.40 1 6 9.40 9.48 4 7 9.48 9.56 8 8 9.56 9.64 19 9 9.64 9.72 20 10 9.72 9.80 35 11 9.80 9.88 32 12 9.88 9.96 33 13 9.96 10.04 23 14 10.04 10.12 10 15 10.12 10.20 9 16 10.20 10.28 7 17 10.28 10.36 4 18 10.36 10.44 1 19 10.44 10.52 0 20 10.52 10.60 0

Observe que, para melhor visualizaç ão, o gr áfico cobre uma faixa um pouco maior que a faixa de valores de x

(30)

Histogramas

Determinac¸ ˜ao do bin a que pertence um certo valor

De forma intuitiva:

Percorra os intervalos e veja se xi−1<valor <= xi

Podemos obter uma forma direta para sabermos a que bin um certo valor pertence:

min = 1.5 max = 2.0 Nbins = 5: ´ındice pode ser i=0,1,2,3,4 Dado um valor , ´ındice i = ?

Ex: se valor = 1.52 ⇒ i = 0 se valor = 1.91 ⇒ i = 4

(36)

Determinac¸ ˜ao do bin a que pertence um certo valor

De forma intuitiva:

min = 1.5 max = 2.0 Nbins = 5

: ´ındice pode ser i=0,1,2,3,4 Dado um valor , ´ındice i = ?

Dica: dx = max −min_Nbins = 0.5/5 = 0.1

(37)

Determinac¸ ˜ao do bin a que pertence um certo valor

De forma intuitiva:

min = 1.5 max = 2.0 Nbins = 5: ´ındice pode ser i=0,1,2,3,4

Dado um valor , ´ındice i = ? Ex: se valor = 1.52 ⇒ i = 0 se valor = 1.91 ⇒ i = 4

(38)

Determinac¸ ˜ao do bin a que pertence um certo valor

De forma intuitiva:

Dica: dx = max −min_Nbins = 0.5/5 = 0.1

(39)

Determinac¸ ˜ao do bin a que pertence um certo valor

De forma intuitiva:

(40)

Exerc´ıcio - Preparac¸ ˜ao de um histograma

ÜSuponha que voc ˆe tenha uma lista de valores para fazer um histograma.

ÜPara isso voc ˆe deve dividir o intervalo dos valores em sub-intervalos iguais

e contar quantos valores est ˜ao dentro de cada um desses sub-intervalos.

ÜEscreva um algoritmo para realizar essa operac¸ ˜ao.

ÜObserve o conte údo do arquivo gravidade.dat que cont ém mediç ões

da acelerac¸ ˜ao da gravidade feita por alunos na FisexpI. Os dados contidos

nesse arquivo variam entre 975.0 e 995.0 cm/s2_.

ÜEscreva um programa em Python (histogramaRaiz.py) que:

1 _{Leia do teclado os limites do histograma e o n ´umero de bins.} 2 _{Leia os valores do arquivo gravidade.dat}

3 _{determine a que bin cada valor ser ´a atribu´ıdo} 4 _{Conte quantos valores caem em cada intervalo}

5 _{Faça o gr áfico de y × x onde x s ão os valores da aceleraç ão da}

gravidade e y é o n úmero de ocorr ências de medidas em cada bin

Rode o programa com 20 e 60 bins

(41)

Histograma da numpy

Ü Felizmente n ão precisamos fazer toda essa manipulaç ão para trabalharmos com histograma no Python.

Ü A funç ão numpy.histogram() j á faz tudo automaticamente:

Ü ela recebe dois argumentos como input: um array com os valores a serem considerados para o histograma, e uma lista com os limites dos bins

Ü e retorna duas listas, a contagem de cada bin, e a pr ´opria lista com os limites dos bins

a=np.array([22,87,5,43,56,73,55,54,11,20,51,5,79,31,27]) hist,bins = np.histogram(a,bins = [0,20,40,60,80,100]) print (hist)

print (bins)

O resultado ser ´a: [3 4 5 2 1]

(42)

Histograma em Matplotlib

Ü O m ´odulo matplotlib.pyplot nos fornece o m ´etodo plt.hist(valores, bins=20) ou

plt.hist(valores, bins=20, density=True)

Ü que plota o histograma dos valores contidos no array valores. Quando o argumento density for setado para True o histograma ´e normalizado.

Ü Fac¸a o exerc´ıcio de histograma da lista das Tarefas

(43)

Relembrando... Pacote Numpy

Numpy

E o pacote do Python mais fundamental para computac¸ ˜ao

´

cient´ıfica.

Ele cont ´em, entre outras coisas:

Ü

arrays e matrizes

Ü

funç ões matem áticas sofisticadas

Ü

ferramentas de ´algebra linear

Ü

transformada de Fourier

Ü

geradores de n ´umeros aleat ´orios

Ü

ferramentas para integrar Python com C/C++ e Fortran

Voc ê pode encontrar um tutorial no pr ópriosite da Numpy, ouaqui... existem v ários.

Existe uma quantidade enorme de m ´etodos j ´a prontos na numpy, cobriremos apenas alguns deles aqui.

(44)

Array

Ü

J ´a vimos o container Array, definido no m ´odulo numpy:

m

´e muito mais r ´apido que List, especialmente se contiver

muitos n ´umeros

m

j á tem os m étodos matem áticos, como se fossem aplicados a

vetores, p. ex. soma de dois arrays, produto escalar, etc.

Assim n ão é necess ário fazer loops sobre os elementos

m

pode ser bi-dimensional,

para aplicac¸ ˜oes com matrizes

m

usado no m ódulo de visualizaç ão de gr áficos matplotlib

Ü

Atenc¸ ˜ao:

m

todos os elementos devem ser do mesmo tipo (float, int ...)

m

o n úmero de elementos deve ser conhecido na criaç ão, n ão pode

ser modificado posteriormente

m

detalhes no

site do SciPy

(45)

Inicializac¸ ˜ao de um Array

Podemos inicializar um array de v ´arias formas

>>> import numpy as np #ser´a omitido nos pr´oximos slides >>> a = np.zeros(4) # cria array com 4 el. com 0. (float) >>> print (a)

[0. 0. 0. 0.] # repare que ´e sem v´ırgula >>> b = np.ones(5) # (omitindo os comandos print)) [1. 1. 1. 1. 1.]

>>> c= 6*np.ones(4) [6. 6. 6. 6.]

>>> alist = [1., 1.5, -2.2] # uma lista

>>> aarray = np.array(alist) # pode ser convertida em array >>> aarray = np.array([5, 10, 15], float)

array([ 5., 10., 15.])

>>> s = np.linspace(0, 2, 3) # (in´ıcio, fim, num. elem) array([0., 1., 2.]) # inclui o último. sempre float >>> s = np.arange(1, 8, 2) # (in´ıcio, fim, passo) array([1, 3, 5, 7]) # não inclui o último.

(46)

Inic. de um Array c/ valores lidos de arquivo

Ü Uma outra forma de criar um array ´e atrav ´es da leitura dos valores

armazenados em um arquivo

Ü Bastante ´util para ler dados obtidos em um experimento, ou gerados por outro programa

Ü Suponha um arquivo valores.txt com o seguinte conte ´udo: Um cabec¸alho

Um t´ıtulo 1.0

1.5 -2.2

Para l ˆe-los em um array, pulando as duas primeiras linhas: >>> a = np.loadtxt ("valores.txt", skiprows=2) >>> print (a)

[ 1. 1.5 -2.2]

ÜRepare que n ão é preciso saber o n úmero de linhas do arquivo

(47)

Operac¸ ˜

oes com np.arrays

Ü Em geral as operaç ões com np.arrays s ão realizadas elemento a elemento e retornam um outro np.array

>>> b = np.arange(3) >>> print (b) [0 1 2] >>> print (np.sqrt(b)) [0. 1. 1.41421356] >>> c = np.array([2., -1., 4.]) >>> print (b * c) [ 0. -1. 8.] >>> print (b<2) [ True True False]

Ü numpyfornece uma grande quantidade de funç ões universais (sin, cos, exp,...) e v ários m étodos prontos. Vejaaquiuma lista deles

(48)

Formatac¸ ˜ao de np.arrays

Ü Vemos que os valores do tipo float s ão apresentados com 8 casas decimais, ocupando 10 colunas. Podemos controlar a precis ão usando o m étodo set printoptions()(omitindo o comando print(a))

Ü para controlar o n ´umero de casas decimais: a = np.linspace(1, 1.5, 4)

[1. 1.16666667 1.33333333 1.5 ]

>>> np.set_printoptions(precision=2) [1. 1.17 1.33 1.5 ]

Ü para escrever em notaç ão cient´ıfica ou controlar tamb ém o n úmero de colunas ocupadas (relembre a funç ão lambdaaqui):

>>> np.set_printoptions(

... formatter={’float’: lambda x: format(x, ’5.1e’)}) [1.0e+00 1.2e+00 1.3e+00 1.5e+00]

>>> np.set_printoptions(

... formatter={’float’: lambda x: format(x, ’6.3f’)}) [ 1.000 1.167 1.333 1.500]

(49)

Slices

Ü Slice se refere `a uma parte de uma lista ou array

Ü Para extrair uma parte de um array, usamos a sintaxe: A[i:j]. Ser ´a extra´ıda uma sublista que comec¸a com o elemento A[i] e termina com o elemento A[j-1]

>>> a = np.array([2,4,6,8,10,12,14,16],int) >>> b=a[3:6] [ 8 10 12] >>> c= a[3:] >>> print (c) [ 8 10 12 14 16] >>> d = a[:3] >>> print (d) [2 4 6] >>> r = a[1:-1] >>> print (r) [ 4 6 8 10 12 14]

(50)

Matrizes

Ü

Matriz ´e um conjunto de n ´umeros organizado em forma de tabela,

com algumas propriedades matem ´aticas. S ˜ao muito utilizadas em

álgebra linear e Mec ânica Qu ântica

Ü

A matriz A

A =









=





0

12 −1 5

−1 −1 −1 0

11

5

2 



´e uma matriz com 3 linhas e 4 colunas, chamada matriz 3×4

Ü

O elemento A

ij

se refere ao n ´umero que est ´a na linha i coluna j

(51)

Matriz em Python

Ü Em Python, uma matriz ´e representada por um array de 2 dimens ˜oes

Ü Algumas maneiras de criar um array de duas dimens ˜oes, p. ex. 3 × 2 m criando todos os elementos com zeros

>>> a = np.zeros([3,2]) >>> print (a) [[0. 0.] [0. 0.] [0. 0.]] m ... ou vazios

>>> b = np.empty([3,2]) #cont´em algum lixo na mem´oria [[0. 0.]

[1. 0.] [0. 12.345]]

m ou uma matriz diagonal:

>>> A = np.diag(np.array([1,2,3,4]))ou >>> A = np.diag(np.arange(1,5))

(52)

Matriz em Python

Ü Algumas maneiras de criar um array de duas dimens ˜oes (cont.) m ... ou com todos os elementos iguais

>>> b=5*np.ones((3,4)) [[5. 5. 5. 5.]

[5. 5. 5. 5.] [5. 5. 5. 5.]]

m Podemos tamb ´em gerar uma matriz diagonal 2 x 2 com inteiros: >>> d=np.eye(2,dtype=int)

[[1, 0] [0, 1]]

m usando uma lista de listas (Tem que ter mesmo n ´umero de colunas para cada linha)

>>> r = np.array([[1, 2],[3, 4],[10, 11]], int) [[ 1 2]

[ 3 4] [10, 11]]

(53)

Matriz em Python

Ü Para acessar um elemento da matriz (lembre: ´ındice comec¸a de zero): >>> print (r[0,1]) 2 >>> r[1,1] = 5 >>> print (r) [[ 1 2] [ 3 5] [10 11]] >>> print(r[2,1]*r[1,1]) 55 >>> print (r[1,2])

Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module>

(54)

Matriz em Python

>>> print (r) [[ 1 2] [ 3 5] [10 11]]

Ü Podemos acessar ou alterar uma linha inteira de uma s ´o vez: >>> print(r[1]) [3 5] >>> r[2]=np.array([7, 9]) >>> r array([[1, 2], [3, 5], [7, 9]]) Ü Visualizando a Transposta: >>> print (r.T) [[1 3 7] [2 5 9]]

(55)

Shape

Ü Para saber o layout da matriz:

>>> r = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9], [10, 11, 12]], int) >>> r.shape (4, 3) >>> r.shape[0] 4 >>> r.shape[1] 3 >>> r.ndim 2 >>> r.size 12 >>> len(r) 4 >>> r.reshape(2,6) array([[ 1, 2, 3, 4, 5, 6], [ 7, 8, 9, 10, 11, 12]])

(56)

Shape

Ü Um loop sobre todos os elem. da matriz pode ser feito com dois loops: >>> for i in range(r.shape[0]): ... for j in range(r.shape[1]): ... r[i,j] += 1 ... >>> print (r) [[ 2 3 4] [ 5 6 7] [ 8 9 10] [11 12 13]]

(57)

Matrizes - Operac¸ ˜

oes

>>> b=np.array([[3,5],[2,7]]) array([[3, 5],

[2, 7]])

>>> c=1/b # Note que isso n˜ao ´e o inverso da matriz!

array([[0.33333333, 0.2 ], [0.5 , 0.14285714]]) >>> d=b**2 array([[ 9, 25], [ 4, 49]]) >>> e=2**b array([[ 8, 32], [ 4, 128]]) >>> f=-(0.5*b + 1) array([[-2.5, -3.5], [-2. , -4.5]]) >>> b += b.T array([[ 6, 7], [ 7, 14]])

(58)

Slices

Ü

Podemos tamb ´em extrair partes da matriz, assim como foi feito com

array de uma dimens ˜ao:

>>> r = np.array([[2,3],[4,6],[11,10]])

#Extrair primeira coluna:

# 0:3 (todas as linhas)

0 (primeira coluna)

>>> print(r[0:3, 0])

#ou

>>> print(r[0:r.shape[0], 0])

#ou

>>> print(r[:, 0])

[ 2

4 11]

#extrair a segunda linha:

>>> print(r[1, :])

[4 6]

(59)

Inicializac¸ ˜ao de array 2D com leitura de arquivo

Ünumpyoferece um grande n úmero de operaç ões com matrizes

Ümas podemos us ´a-las simplesmente para ler os dados de um arquivo que est ˜ao organizados em forma de tabela:

m Dado um arquivo dados.txt com os valores abaixo: 0.5 3.7 2.1 7.0

2.3 2.9 5.4 3.1

m Voc ˆe pode l ˆe-lo para uma matriz:

>>> dados=np.loadtxt("dados.txt") array([[ 0.5, 3.7, 2.1, 7. ],

[ 2.3, 2.9, 5.4, 3.1]])

m Voc ˆe pode utilizar s ´o algumas colunas usando slices

m ou ler s ´o algumas colunas diretamente do arquivo para uma matriz: >>> dados2=np.loadtxt("dados.txt",usecols=(0, 2)) array([[ 0.5, 2.1],

(60)

Inicializac¸ ˜ao de array 2D com leitura de arquivo

m ou ler cada coluna diretamente para arrays de uma dimens ˜ao, usando a

opc¸ ˜ao unpack=True

>>> a, b,c = np.loadtxt("dados.txt",usecols=(0, 2,3),\ unpack=True) >>> a array([0.5, 2.3]) >>> b array([2.1, 5.4]) >>> c array([7. , 3.1])

m Fac¸a o exerc´ıcio sobre a densidade da ´agua da lista de Tarefas

m Fac¸a um programa que dadas duas matrizes A e B n × n, calcule o produto dessas duas matrizes. Compare com o obtido pelo m ´etodo np.dot(A,B)

(61)

Indexaç ão sofisticada: M áscara booleana

m Índice como Máscara booleana é uma ferramenta muito poderosa e útil

para acessar v ´arios elementos de um np.array. Vamos usar array de uma dimens ˜ao para simplificar.

>>> b = 1.0/np.arange(0.2, 3, 0.2)

[5. 2.5 1.66666 1.25 1. 0.83333

0.71428 0.625 0.55555 0.5 0.45454 0.41666

0.38461 0.35714]

m Queremos imprimir apenas os elementos que sejam > 1 (repare que o array b n ˜ao foi modificado:

>>> print(b[b > 1])

[5. 2.5 1.66666667 1.25 ]

m ´util para alterar valores que atendam a um crit ´erio:

>>> b[b > 1] = 1 >>> print(b)

[1. 1. 1. 1. 1. 0.83333

0.71428 0.625 0.55555 0.5 0.45454 0.41666

(62)

Indexaç ão sofisticada: M áscara booleana

m Vamos criar um outro array com o mesmo tamanho de b (b.size ´e 14):

>>> c = np.linspace(0, 10, b.size)

[ 0. 0.76923 1.53846 2.30769 3.07692 3.84615

4.61538 5.38461 6.15384 6.92307 7.69230 8.46153

9.23076 10. ]

m e queremos que os elementos de c sejam 3 onde os elementos de b s ˜ao 1:

>>> c[b == 1] = 3

[ 3. 3. 3. 3. 3. 3.84615

4.61538 5.38461 6.15384 6.92307 7.69230 8.46153

9.23076 10. ]

uma condic¸ ˜ao booleana (b==1) sobre um array pode ser usada para indexar um outro array, desde que eles sejam do mesmo tamanho.

(63)

Indexaç ão sofisticada: M áscara booleana

m mais um exemplo: extrair n ´umeros pares de uma lista

>>> a=np.array([17, 2, 2, 1, 19, 5, 8, 14, 1, 10]) >>> print(a[a%2 ==0])

(64)

SciPy

m

SciPy

é um pacote que cont ém v árias ferramentas de

computac¸ ˜ao cient´ıfica. ´

E composto de subm ´odulos que

correspondem à diferentes aplicaç ões:

1

_{Algebra linear: scipy.linalg}

´

2

_{estat´ıtica e n ´umeros aleat ´orios: scipy.stats}

3

_{integraç ão num érica: scipy.integrate}

4

_{otimizac ˜ao e fit: scipy.optimize}

5

_{func¸ ˜oes especiais: scipy.special}

6

_{file input/output: scipy.io}

7

_{processamento de imagem: scipy.ndimage}

8

_{transformada de Fourier: scipy.fftpack}

9

_{processamento de sinal: scipy.signal}

(65)

´

Algebra Linear

m O pacote para ´algebra linear ´e oscipy.linalg m determinante de uma matriz:

>>> import scipy.linalg

>>> a = np.array([[-2, 3], [4, 5]]) >>> scipy.linalg.det(a)

-22.0

m Inversa de uma matriz:

>>> b = scipy.linalg.inv(a) [[-0.22727273 0.13636364]

[ 0.18181818 0.09090909]]

m Verifique que A × A−1=I: >>> c=np.dot(a,b)

array([[ 1.00000000e+00, 2.77555756e-17], [-5.55111512e-17, 1.00000000e+00]]) >>> c[np.abs(c) < 1.e-10] = 0

array([[1., 0.], [0., 1.]])

(66)

Soluç ão sistemas de equaç ˜

oes lineares

m Para resolver sistemas de equac¸ ˜oes lineares basta criar uma matriz de coeficientes e um vetor coluna (array 1D)

2x1+4x2+6x3 = 4 x1− 3x2− 9x3 = −11 8x1+5x2− 7x3 = 1

m Queremos encontrar o vetor ~x tal que A~x = ~b A =   2 4 6 1 −3 −9 8 5 −7  , ~x =   x1 x2 x3  , ~b =   4 −11 1   >>> A = np.array([[2, 4, 6], [1, -3, -9], [8, 5, -7]]) >>> b = np.array([4, -11, 2]) >>> x = scipy.linalg.solve(A, b) >>> print (x) [-8.91304348 10.2173913 -3.17391304]

(67)

Autovalores e autovetores

m O m ódulo scipy.linalg fornece o m étodo eig para achar os autovalores λ associados à matriz A: A~x = λ~x .

m essa func ão retorna um array, cujos elementos s ão os autovalores e uma matriz cujas linhas s ão os autovetores

>>> A = np.array([[2, 4, 6], [1, -3, -9], [8, 5, -7]]) >>> lam, evec = scipy.linalg.eig(A)

>>> lam array([ 2.40995356+0.j, -8.03416016+0.j, -2.3757934 +0.j]) >>> evec array([[-0.77167559, -0.52633654, 0.57513303], [ 0.50360249, 0.76565448, -0.80920669], [-0.38846018, 0.36978786, 0.12002724]])

m o primeiro autovalor e seu correspondente autovetor s ˜ao : >>> lam[0]

(2.4099535647625494+0j) >>> evec[:,0]

(68)

m

(69)

(70)

m

(71)

Interface orientada a objeto (Opcional)

Ü

Vimos alguns tipos de gr ´aficos:

m

plot(x,y)

– gr ´afico de linha ou pontos

m

errorbar(x, y, xerr = , yerr = )

– com barra de erro

m

scatter(x , y)

– gr ´afico de pontos

(esse n ˜ao vimos, pesquise!)

m

hist(dados, n bins)

– histograma

Ü

Vimos o m ´etodo mais simples e direto, exemplo

(72)

plotSin-simples.py

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #np.arange(start,stop,step) x = np.arange(0, 4 * np.pi, 0.1) y = np.sin(x)

plt.plot(x, y, linewidth=2.0, linestyle=’--’, color=’r’, marker=’o’, markersize=5, markeredgecolor=’b’, markerfacecolor=’g’) plt.xlabel(’angulo (0 a 4 pi)’)

plt.ylabel(’seno(x)’)

plt.title(’Grafico de seno(x)’) plt.show()

(73)

Interface orientada a objeto

Ü Existe uma outra forma de fazer os gr ´aficos, ligeiramente diferente, chamada de Interface Orientada a Objeto

Ü Nessa interface, as componentes do gr áfico (eixos, t´ıtulo, linhas, pontos, labels dos ticks, etc.) s ão tratados como objetos program áveis que tem associados atributos, cujos valores podem ser fixados, e m étodos (funç ões), que podem ser chamados para modificar o objeto.

Ü A anatomia b ´asica de um plot inclui quatro camadas:

m Figure:a camada mais de baixo. Pense nela como sendo uma janela que cont ém os bot ões de minimizar, maximizar e fechar m Plot: é criado sobre a camada da figure. Se existir mais de um

plot na mesma figure, cada um ´e chamado de subplot m Axis:s ˜ao os eixos x e y , onde as linhas, pontos, histogramas,

etc, s ˜ao desenhados sobre a camada plot. Um axis tem atributos como axis labels, tick labels, espessura da linha

m Data:pontos, linhas, formas que s ˜ao plotados sobre a camada axis

(74)

(75)

Interface orientada a objeto

Ü A func¸ ˜ao plt.subplots() cria ao mesmo tempo o objeto figure e o objeto axis. Quando usada sem argumentos, cria apenas uma

figuree apenas um axis

Ü por convenc¸ ˜ao, chama-se o objeto figure de fig e o objeto axis de ax:

fig, ax = plt.subplots()

Ü Uma vez criados os objetos, podemos adicionar seus atributos , usando a estrutura de linguagem orientada a objeto:

< objeto > . < atributo >, p. ex: ax.plot(x, y)

ax.plot(x, z)

onde x, y e z s ˜ao numpy.arrays

Ü O objeto ax, tem v ´arios m ´etodos e atributos, p. ex. : ax.set title(), ax.legend().

Ele tem tamb ´em objetos filhas , com seus pr ´oprios atributos:

(76)

plotSin-oo.py

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.arange(0,4*np.pi,0.1) y = np.sin(x) z = np.cos(x) fig, ax = plt.subplots() ax.plot(x,y,linewidth=2.0, linestyle=’--’) ax.plot(x,z)

ax.set_title(’Duas func¸˜oes’) ax.legend([’sin’,’cos’])

ax.xaxis.set_label_text("angulo")

ax.yaxis.set_label_text(’Seno e Cosseno’) plt.show()

(77)

M ´etodos e atributos de axis

tabela retirada desse link

Comando Orientado a objeto Descric¸ ˜ao correspondente plt. fig, ax = plt.subplots() Cria o objeto figure e eixo –

ax.plot(x,y) cria gr áfico de linha plt.plot(x,y) ax.set title(’Meu T´ıtulo’) t´ıtulo do gr áfico plt.title(’My Title’) ax.set xlabel(’x label’) legenda do eixo x plt.xlabel(’x label’) ax.set ylabel(’y label’) legenda do eixo y plt.ylabel(’x label’) ax.legend([’line1’,’line2’]) legenda do gr áfico plt.legend([’line1’,’line2’]) ax.set xlim([0, 5]) limites do eixo x plt.xlim([0, 5]) ax.set ylim([-1, 1]) limites do eixo y plt.ylim([-1, 1]) ax.axis([-x, +x, -y, +y]) limites dos 2 eixos

-ax.grid(True) grid nas duas direc¸ ˜oes plt.grid(True) ax.xaxis.grid(True) grid na vertical -ax.yaxis.grid(True) grid na horizontal

-ax.xaxis.set xticks([loc]) localizaç ão dos ticks em x plt.xticks([loc],[label]) ax.xaxis.set xticklabels([labels]) tick labels x plt.xticks([loc],[label]) ax.yaxis.set yticks([loc]) localizaç ão dos ticks em y plt.yticks([loc],[label]) ax.yaxis.set yticklabels([labels]) tick labels y plt.yticks([loc],[label]) ax.xaxis.set ticks([]) remove x tick labels plt.xticks([],[]) ax.yaxis.set ticks[]) remove y tick labels plt.yticks([],[]) ax.set aspect(’equal’) iguala as escalas dos eixos

-fig.tight layout() ajusta padding plt.tight layout() plt.show() mostra o gr ´afico plt.show()

Al ´em do ax.plot(x,y) temos todos os outros tipos de gr ´aficos:

(78)

Interface orientada a objeto

Ü

Essa forma de fazer gr ´aficos no matplotlib ´e a mais utilizada nos

exemplos

Ü

Ela oferece muitas possibilidades que n ˜ao s ˜ao poss´ıveis (ou que

n ão é t ão simples) utilizando o modo plt.:

m

apresentar mais de um gr ´afico na mesma figura

m

apresentar mais de um tipo de gr ´afico no mesmo plot

(p. ex. histograma e uma func¸ ˜ao superposta)

m

posicionar o eixo x no zero do eixo y

m

mostrar o gr ´afico em escala log

m

animac¸ ˜ao

m

...

(79)

Mais de um gr ´afico na mesma figura - 1

Ü Para termos mais de um gr áfico em uma figura colocamos o n úmero de linhas e colunas como argumento da funç ão subplots(), e atribu´ımos cada um a um objeto do tipo axis

Ü A sintaxe geral ´e:

fig, <ax objects> = plt.subplots(rows, cols)

Ü e um exemplo de uma figura com dois 6 gr ´aficos, apresentados em 2 linhas e 3 colunas:

fig, ( (ax1,ax2,a3), (ax4,ax5,ax6) ) = plt.subplots(2, 3) Ü Uma atributo bastante utilizado da classe axis s ˜ao as escalas

logar´ıtmicas dos gr ´aficos:

ax.plot() linear em x e em y

ax.semilogy() linear em x, logar´ıtmica em y ax.semilogx() logar´ıtmica em x, linear em y ax.loglog() logar´ıtmica em x e em y

(80)

maisDeUmPlot-1.py

t = np.arange(0.01, 20.0, 0.01)

# Cria a figure com 2 linhas e 2 colunas de subplots fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(2, 2)

ax1.plot(t, np.exp(-t / 5.0)) # linear x e y

ax1.set_title(’linear x and y’) ax1.grid()

ax2.semilogy(t, np.exp(-t / 5.0)) # log eixo y

ax2.set_title(’semilogy’) ax2.grid()

ax3.semilogx(t, np.exp(-t / 5.0)) # log eixo x

ax3.set_title(’semilogx’) ax3.grid()

ax4.loglog(t, 20 * np.exp(-t / 5.0), basex=2) # log eixo x e y ax4.set_title(’loglog base 2 on x’)

ax4.grid()

fig.tight_layout() plt.show()

(81)

maisDeUmPlot-1.py

(82)

Mais de um gr ´afico na mesma figura - 2

Ü Existe uma outra forma de fazer subplots: m primeiramente cria-se apenas uma figura

plt.figure()

m depois adiciona-se cada plot individualmente: ax1 = plt.subplot(1, 3, 1)

a ordem dos argumentos ´e:

n úmero de linhas, n úmero de colunas, ´ındice desse gr áfico (que começa com 1)

repare que o m ´etodo ´e subplot (sem “s” no final)

(83)

maisDeUmPlot-2.py

# Cria apenas a figure , podendo definir seu tamanho plt.figure(figsize=(9, 3)) # largura e altura em inches

t = np.arange(0.01, 20.0, 0.01) ax1 = plt.subplot(1, 3, 1) ax1.plot(t, np.exp(-t / 5.0)) ax1.set_title(’exp(-t / 5.0)’) t = np.arange(0,4*np.pi,0.1) ax2 = plt.subplot(1, 3, 2) ax2.plot(t, np.sin(t)) ax2.set_title(’seno (x) ’) ax3 = plt.subplot(1, 3, 3) ax3.plot(t, np.sin(t)) ax3.spines[’bottom’].set_position(’zero’) ax3.spines[’right’].set_color(’none’) ax3.spines[’top’].set_color(’none’) plt.show()

(84)