4 - Derivação implícita.
Considere a função y = f(x) definida por
x = y
2.
Então,´
2
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
2 2y
yy
dx
d
y
dy
d
y
dx
d
x
dx
d
=
⇒
=
⇒
=
Uma função explícita de y em x expressa explicitamente
y
em termos dex
e podem serdiferenciadas (ou derivadas) de acordo com as regras estudadas até agora.
Uma função implícita (algumas equações do tipo
f(x,y) = 0
) não podem explicitary
emrelação a
x
. Exemplo:x
2y
−
x
+
y
2=
0
0
)
(
)
(
)
(
2+
2−
+
y
2=
dx
d
x
dx
d
dx
dy
x
y
x
dx
d
0
)
(
)
(
)
(
2+
2−
+
2=
dx
dy
y
dy
d
x
dx
d
dx
dy
x
y
x
dx
d
0
'
2
1
'
2
xy
+
x
2y
−
+
yy
=
xy
y
y
x
2
)
'
1
2
(
2+
=
−
)
2
(
2
1
'
2y
x
xy
y
+
−
=
Exercícios: 4) Calcular as derivadas das seguintes funções definidas implicitamente:
1
2
)
1
(
x
2+
xy
−
x
=
(
2
)
x
2y
+
3
xy
3−
x
=
3
x
seny
y
+
=
)
3
(
(
4
)
x
cos
y
=
y
1
)
5
(
x
2+
y
2=
(
6
)
x
2cos
y
+
y
2senx
=
1
1
)
7
(
x
2/3+
y
2/3=
5 - Diferencial dex
ey
Até agora,dx
dy
foi considerado como
x
y
x
∆
∆
→Diferencial de
x
:dx
Diferencial dey
:dx
f
x
dx
dx
dy
dy
=
=
'
(
)
Exemplos: 1) Sey
=
x
2 entãody
=
f
'
(
x
)
dx
=
2
xdx
2) Sey
=
5x
4 entãody
=
f
'
(
x
)
dx
=
20
x
3dx
3) 2 2)
1
(
)
1
(
x
dx
dx
x
x
d
=
−
=
−
4)d
(
uv
)
=
[
u
'
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
'
(
x
)]
dx
dx
x
v
x
u
dx
x
v
x
u
uv
d
(
)
=
'
(
)
(
)
+
(
)
'
(
)
udv
vdu
uv
d
(
)
=
+
6) Utilize o conceito de diferencial para calcular o valor de 3
1010
. Sabe-se que10
1000
3=
. 3x
y
=
dx
x
dx
x
f
dy
3 23
1
)
(
'
=
=
033
,
0
10
⇒
=
=
dy
dx
033
,
10
033
,
0
10
033
,
0
1000
1010
3 3=
+
=
+
=
6 - Derivadas sucessivasA derivada da primeira derivada é a segunda derivada. A derivada da segunda derivada é a terceira derivada, e assim por diante.
derivada
primeira
de
chamada
é
x
f
´(
)
derivada
segunda
de
chamada
é
x
f
´´(
)
derivada
terceira
de
chamada
é
x
f
´´´(
)
derivada
quarta
de
chamada
é
x
f
4(
)
derivada
ésima
n
de
chamada
é
x
f
n(
)
−
Notações da derivada de ordem n:
y
D
y
x
f
dx
y
d
n x n n n n=
=
=
(
)
( )Ex. Calcular as derivadas de ordem superior de
f
(
x
)
=
x
7+
x
6+
x
5+
x
4+
x
3+
x
2+
x
+
10
6
24
60
120
210
)
´´´(
x
=
x
4+
x
3+
x
2+
x
+
f
24
120
360
840
)
´´´(
x
=
x
3+
x
2+
x
+
f
120
720
2520
)
(
2 4x
=
x
+
x
+
f
720
5040
)
(
5x
=
x
+
f
5040
)
(
6x
=
f
0
)
(
7x
=
f
Ex. Calcular as derivadas de ordem superior de
f
(
x
)
=
sen
x
x
x
f
´(
)
=
cos
x
x
f
´´(
)
=
−
sen
x
x
f
´´´(
)
=
−
cos
x
x
f
4(
)
=
sen
x
x
f
5(
)
=
cos
x
x
f
6(
)
=
−
sen
x
x
f
7(
)
=
−
cos
x
x
f
8(
)
=
sen
Exercícios: 12) – Calcular as derivadas sucessivas de cada uma das funções seguintes:
x
e
x
f
(
)
=
−)
21
(
4
)
(
)
22
(
2+
=
x
x
x
f
x
x
x
f
(
)
ln
)
23
(
=
(
24
)
f
(
x
)
=
(
2
x
+
4
)
ln
3
x
2 21
1
)
(
)
25
(
x
x
x
f
−
+
=
3)
4
(
)
(
)
26
(
2 x xe
x
e
x
x
f
− −+
=
x
x
f
(
)
ln
)
27
(
=
(
28
)
f
(
x
)
=
e
2x+
e
−2x+
ln
2
x
7 - Aplicações do estudo de derivadas. Máximos e Mínimos. Pontos de inflexão. A função
f
é dita crescente no pontox
sef’(x) > 0
.A função
f
é dita decrescente no pontox
sef’(x) < 0
.Exemplo: Ache o intervalo em que a função
y
=
3
x
2+
7
é crescente e o intervalo em que ela é decrescente.x
x
f
'
(
)
=
6
0
0
6
0
)
(
'
x
>
⇒
x
>
⇒
x
>
f
0
0
6
0
)
(
'
x
<
⇒
x
<
⇒
x
<
f
Portanto, a função
y
=
3
x
2+
7
é crescente parax
>
0
e é decrescente parax
<
0
. 7.1 - Pontos de máximo e de mínimoDizemos que
c
é ponto de máximo relativo (ou local) da funçãof
, sef
(
c
)
≥
f
(
x
)
para todox
pertencente a uma vizinhança dec
. Nesse caso, dizemos quef
(c) é o máximo relativo (ou local) daDizemos que
c
é ponto de mínimo relativo (ou local) da funçãof
, sef
(
c
)
≤
f
(
x
)
para todox
pertencente a uma vizinhança dec
. Nesse caso, dizemos quef
(c) é o máximo relativo (ou local) dafunção
f
nopontoc
.Observações:
1. Se
f(x)
possui um máximo ou um mínimo relativo emx = c
, entãof’(c)=0
2.
f’(c)=0
não implica na existência de um máximo ou de um mínimo relativo emx = c
, mesmo quef(x)
ef ’(x)
sejam contínuas emc
.3. Um máximo ou um mínimo relativo no ponto c implica em
f ’(c) = 0
somente sef
ef ’
forem contínuas em
c
.7.2 - Critérios para localização de pontos de máximo e de mínimo. 1. Calcule
f’(x)
;2. Encontre os pontos críticos da função: as raízes da equação
f’(x) = 0
e/ou os pontos de3. Verifique a mudança de sinal em torno dos pontos críticos:
Se
f ’ (x)
muda de + para –, entãof(c)
é um máximo relativo. Sef ´(x) > 0
parax < c
ef ´(x) < 0
parax > c
entãoc
é um ponto de máximo def(x)
.Se
f ’ (x)
muda de – para +, entãof(c)
é um mínimo relativo. Sef ´(x) < 0
parax < c
ef ´(x) > 0
parax > c
entãoc
é um ponto de mínimo def(x)
.Se f’ (x) não muda de sinal, então c é um ponto de inflexão. Se
f ´(x) < 0
parax < c
ef ´(x) < 0
parax > c
entãoc
é um ponto de inflexão def(x)
. Sef ´(x) > 0
parax < c
eExemplos:
1) Encontre os máximos e/ou mínimos relativos da seguinte função:
2
3
)
(
x
=
x
2−
x
+
f
Solução:f
'
(
x
)
=
2
x
−
3
5
,
1
0
3
2
0
)
(
'
x
=
⇒
x
−
=
⇒
x
=
f
2
,
0
)
6
,
1
(
'
2
,
1
)
4
,
1
(
'
=
−
e
⇒
f
=
f
Portanto,
x
=
1
,
5
é um ponto de mínimo relativo.2) Encontre os máximos e/ou mínimos relativos da seguinte função:
1
3
)
(
x
=
x
3−
x
2+
f
Solução:f
'
(
x
)
=
3
x
2−
6
x
2
0
0
6
3
0
)
(
'
x
=
⇒
x
2−
x
=
⇒
x
=
ou
x
=
f
63
,
0
)
1
,
0
(
6
)
1
,
0
(
3
)
1
,
0
(
'
−
=
×
−
2−
×
−
=
f
57
,
0
)
1
,
0
(
6
)
1
,
0
(
3
)
1
,
0
(
'
=
×
2−
×
=
−
f
57
,
0
)
9
,
1
(
6
)
9
,
1
(
3
)
9
,
1
(
'
=
×
2−
×
=
−
f
63
,
0
)
1
,
2
(
6
)
1
,
2
(
3
)
1
,
2
(
'
=
×
2−
×
=
f
Portanto,
x
=
0
é um ponto de máximo relativo ex
=
2
é um ponto de mínimo relativo. 7.3 - Critérios para a determinação da concavidade e dos pontos de inflexão.Se
f ´´(x) > 0
para todox < c
ef ´´(x) < 0
para todox > c
, entãoc
é um ponto de inflexão def(x)
.Se
f ´´(x) < 0
para todox < c
ef ´´(x) > 0
para todox > c
, entãoc
é um ponto de inflexão def(x)
.Exercícios: 13 – Estudar (1) o crescimento e o decrescimento, (2) as concavidades e os pontos de inflexão, (3) os pontos de máximo e de mínimo de cada uma das seguintes funções:
5
10
)
(
)
1
(
f
x
=
x
+
(
2
)
f
(
x
)
=
x
2+
9
6
5
)
(
)
3
(
f
x
=
−
x
2+
x
−
5
50
2
15
3
)
(
)
4
(
f
x
=
x
3−
x
2+
x
+
1
)
(
)
5
(
f
x
=
x
3−
10
3
)
(
)
6
(
3 4−
+
=
x
x
x
f
0
,
1
)
(
)
7
(
=
2x
≠
x
x
f
(
8
)
f
(
x
)
=
xe
−x10
5
)
(
)
9
(
f
x
=
x
5−
x
4+
5
3
5
)
(
)
10
(
3 5+
−
=
x
x
x
f
21
1
)
(
)
11
(
x
x
f
+
=
2)
(
)
12
(
f
x
=
e
− x8 – Máximos e Mínimos Absolutos.
Dizemos que
c
é ponto de máximo absoluto da funçãof
no intervalo[a, b]
, sef(c) > f(x)
para todox
pertencente a esse intervalo. Nesse caso, dizemos quef(c)
é o máximo absoluto da função no intervalo.Dizemos que
c
é ponto de mínimo absoluto da funçãof
no intervalo[a, b]
, sef(c) < f(x)
para todox
pertencente a esse intervalo. Nesse caso, dizemos quef(c)
é o mínimo absoluto da função no intervalo.Exemplos: Encontre os extremos absolutos de y = 3x + 2
Exercício: Encontre os máximos e mínimos da função
f
(
x
)
=
x
2+
3
x
+
2
4. No intervalo [-3, 1] 5. No intervalo [-3, 1) 6. No intervalo (-3, 1)
9 - Critérios para localização de pontos de máximo e de mínimo com a derivada de segunda ordem.
Seja uma função
f
, derivável em 1a e 2a ordens emc
, comf(x)
ef
' x
(
)
contínuas. Então: – Sef
'
(
c
)
=
0
ef
''
(
c
)
>
0
,c é um mínimo relativo;
– Se
f
'
(
c
)
=
0
ef
''
(
c
)
<
0
,c
é um máximo relativo;– Se
f
'
(
c
)
=
0
ef
''
(
c
)
=
0
, testar a vizinhança dec
.Exemplo: Dada a função
f
(
x
)
=
x
3−
x
2−
x
+
5
, calcule seus extremos relativos e indique se são máximos ou mínimos.1
x
3
/
1
0
1
2
3
0
)
(
'
x
=
⇒
x
2−
x
−
=
⇒
x
=
−
ou
=
f
2
6
)
(
''
x
=
x
−
f
0
4
2
)
3
/
1
(
6
)
3
/
1
(
''
−
=
×
−
−
=
−
<
f
0
4
2
1
6
)
1
(
''
=
×
−
=
>
f
A função
f
(
x
)
=
x
3−
x
2−
x
+
5
, possui um máximo local emx
=
−
1
/
3
e um mínimo local emx
=
1
.Exemplo: Dada a função
f
(
x
)
=
x
3+
3
, calcule seus extremos relativos e indique se são máximos ou mínimos.3
)
(
x
=
x
3+
f
23
)
(
'
x
x
f
=
0
0
3
0
)
(
'
x
=
⇒
x
2=
⇒
x
=
f
x
x
f
''
(
)
=
6
0
)
0
(
''
=
f
0
03
,
0
01
,
0
3
)
1
,
0
(
'
−
=
×
=
>
f
0
03
,
0
01
,
0
3
)
1
,
0
(
'
=
×
=
>
f
O amor é a força mais poderosa que possui o mundo e, entretanto, ela é a mais humilde que
