UTFPR - PR Matemática Aplicada Profª.: Rita de Cássia

1 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

0, 1, 2, 3, 4, … ú .

… 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, … ú .

! " # " ⁄ ^% _& , ' # , ' ( 0 ) ú . * + " , " ⁄ √2, √3 ,

√5 , … 0, , … ú .

A diferença entre um número racional e um número irracional:

Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima).

Exemplo de números racionais:

a) ¹

23 0,3 é um decimal finito.

b) ²

4 ^0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6.

c) ⁶

7 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional.

Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica.

Exemplo:

a) 0 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.

0 :;<=>?<@AB; C% :?>:DAE@>êA:?%

C?â<@B>; C% :?>:DAE@>êA:?% 3,1415927 … é

2,7182818 … , é J KL.

√2 1,4142135 … é um número infinito sem dízima.

Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais.

M N ú . M *

Exercícios:

Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais:

a) 3,12 e) 0 i) - 9

b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232...

c) 1,73205... g) √4 l) 0,5 d) 25 h) - 1,4142... m) ⁷

1

2 RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta.

Os números da reta real são simétricos e opostos.

-6 -5 -4 -3,14 -3 -2 - √2 -1 0 1 √2 2 3 3,14...

. . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real

* Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número.

Exemplo: 1 á P 2 logo 1 Q 2

R6S á P R5S LT R6S Q R5S

R2,3S á P R1,5S LT R2,3S Q R1,5S

Em geral ... 4 Q 3 Q 2 Q 1 Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 …

*Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número.

Exemplo: R 1Sá R4S LT R 1S U R4S

V √2 Wá R3,1415 … S LT R √2 S U R3,1415 … S

OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS

ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real.

Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal.

Exemplos:

RXS X RXS RXS RS X RS RS a) 2 X 9 11 c) ( 2 S X R 9S 11 b) 15 X 10 25 d) ( 15 S X R10S 25

YZ[\Z] ^Z_`a`[b`]: subtraem se os números e dá se o ]Z[\o ^p q\Zpa em módulo R maior algarismoS.

Exemplos:

a) R3S X 5 2 v 5 é LT é vw.

b) R15S X 10 5 v 15 é LT é Tw.

S 7 X R3S 4 S 4 X R10S 6

SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda subtração é uma adição.

O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal.

Exemplo:

a) 8 X R 9 S 8 X 9 1

b) 8 X R9S 8 9 17 c) 12 X R15S 12 15 3

O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado.

Exemplos:

a) ( 4S RX 6S R4S 6 10 b) 16 R20S 16 X 20 4

c) 9 R10S 9 X 10 19

3 MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real.

Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo.

Exemplo:

a) RX 5S . RX4S X 20 b) R3 S . R6S X18

YZ[\Z] ^Z_`a`[b`] multiplicam se os números e ^á ]` p ]Z[\o V– W [`{\bZ|p.

Exemplo:

a) RX8S . R5S 40 b) R1,5S. RX10S 15

DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação.

Exemplo: ^{X 1}}

~} ^{X 7 R6S}

R€S X ⁶ _€

_{R S} ⁷² 3

^R2‚S

1 ⁶

QUADRO DE SINAIS

. :

X

X X

X

Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo:

a) 27 X 20 e) R15S R15S b) 65 30 f) 23 X R45S c) R41S X 39 TS R90S R90S d) 87 R7S h) R1S R1S

X Adição

Somar Subtrair X L X Sinal do maior em módulo Subtrair Somar Sinal do maior L em módulo

Respostas a) 47 b) 35 c) 2 d) 94 e) 0 f) 22 g) 180 h) 0

4 EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos:

1º ) Resolver primeiro o que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves.

2º ) Efetuarmos primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão.

3º ) Efetuarmos a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão.

Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica:

a ) 5 X ƒ4 6R1 X 3S X ²³

7 ( 2 4 S„ X 1 b ) 6 X 4 .3 ƒ 5 R1 9S„

{5 X ƒ4 6R 2S X 5R2 S„ X 1 6 X 12 ƒ 5 R8S„

5 X ƒ4 12 10„ X 1 6 X 12 ƒ 5 X 8„

5 X ƒ8 10„ X 1 6 X 12 ƒ 13„

5 X ƒ18„ X 1 6 X 12 13 5 18 X 1 7 7

13 X 1 12

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo:

a ) 20 X R9 X 12S R15 X 20S b ) 2 …11 X † R17— 12S X 10W 3 ˆ

c ) 55 X R10S. R4S ƒ2 V6 ‰ R3SW X 2„ d ) 31 X R40S: 2 ƒ R9 X 9S 7 „

e) ƒ 9 X ^‚2 _€ + 4 R4S X R19 1S„ f) 10 ƒ 6 R9 4S „ . ƒ R2S 5 „

g) 60 ‰ R5S V1 R1SW X 13 h) } ~ 4R6S  €R7S

7

i) ^{R ‚S}

26  ‚ . 7 ~ 6 j) 7  4 . 1  7R7S

6 ~ 1R7S

Respostas:

a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0

h) ² 7

i) 4 j) 6

5 FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b ( 0, quando escritos na forma ^% _& representam uma fração.

^%

& = ŠD<@>%C;>

‹@A;<?A%C;> R ⁽ 3S

Œ P  Ž R M ã " wã v ŽS.

O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e consideramos 3 partes (numerador). A fração será:

Exemplo de frações : ₇ ² ; ⁷ ₁ ; _2} ^ ; ₂₃₃ ² ; ⁴ _} ; ⁶ ₆ ; ^ ₂ ; ₆ ³

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES:

Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador.

Exemplo: ⁷ ₁ X ²³ ₁ ⁴ ₁ ^{7 ~ 23 4} ₁ ⁴ ₁ ²

² _} ^€ _} X ⁶ _} ^{2 – € ~ 6} _} ^6 _} ⁶ _}

Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores).

m.m.c.(3- 5- 2) 2

Exemplo: ⁷ ₁ ¹ _} X ² ₇ ^732‚~2} ₁₃ ^732‚~2} ₁₃ ^2 ₁₃ 3 - 5- 1 3

1- 5- 1 5

1-1-1 2.3.5 = 30 ¹ ₆ X ^} _‚ X ² ₇ 4 ~ } ~ 6

‚ ^2} _‚ m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1- 2- 1 2 1- 1- 1 2.2.2 = 8

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente.

Exemplo: ^}

‚ . ⁷ ₁ ^{} . 7} _{‚ . 1} ²³ _{76 27} ^{} 0,42 7}

} . ¹ ₆ . R ² ₄ ) = 7 . 1 R2S

} . 6 . 4 ^R4S _{273 73} ²

3

5

6 NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1.

Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador.

O Inverso de ^} _‚ é ^‚

} O Inverso de ¹ ₂ é ⁷

2 ²

O Inverso de 7

1 _é ¹

7 O Inverso de ^ ₇ é ⁷ _

*O número zero não admite inverso: o inverso de 3

2 ^{é 2} ₃ nos _M não existe divisão por zero.

DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda.

Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo:

a) ⁷ _} : ¹

 ⁷ _} . ^ ₁ ^{7 . } _{} . 1} ²⁶ _2}

b)

‘ ’ ^“ _/

4

 . ¹ ₇ ^{4 . 1} _{ . 7} ^2‚ ₂₆ ^€ _

c) ^2}

^“ _/ ^{15 . 1} ₇ ^{2} . 1} ₇ ^6} ₇

Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas:

a) ⁷

1 . ⁶ _ X ^} ₇ : ² ₆ ^7.6 _1. X ^} ₇ . ⁶ ₂ ^‚ ₇₂ X ⁷³ ₇ ^‚ ₇₂ X ²³ ₂ ^‚ ₇₂ X ^72.23 ₇₂ ^‚~723 ₇₂ ^72‚ ₇₂

b) ^{1 2} X4 1 ³ ₂

¹ ₂ X ⁸ ₂

2 2 ³ ₂

⁹ ₂

¹ ₂ 9

2 . ” ⁷ ₂ • ^2‚ ₇ ⁹

c)

/ – ~ ^—‘ _˜ . ^—˜ _™

šš ™ ^{/ – ~} —‘ . —˜

˜ . ™

šš

™ ^{/ – ~} ™ . /

— . —

šš

™ ^{/ –} šš ^{~ —“ —}

™ ^{/ –} šš ^{~ š‘ –}

™

^šš šš ^–

™ ^€€ _‚ . ⁶ _€€ €€ . 6

‚ . €€ 2 . 2

7 . 2 ² ₇

7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo:

a)

2 ^“ _/ ~ ^™ _˜

 ^—’ _—˜

b) 9

10 . ⁵ ₃ X ⁸ ₃ ^{2 1} ₅

c) ” ¹ ₆ X ⁷ ₁ ^ ₇ • : R ^} ₂₇ S

d ) _— ^

“ ~ _˜ ^—

e) 7 ( ⁶

 X ⁷ )

f) R _€ ^{7 7 . 6} ₁ S ¹⁸

Respostas: aS 1 bS 0,033 … cS 5 dS 10 e) 45 f) 52

8 POTENCIAÇÃO:

Potência de um Número Natural: Seja œ # M, chama-se Potência de base œ e expoente ,  # ,  ž Ÿ, o número   œ ^ que é o produto de   iguais a œ.

^A . . . … ' onde ' "v ' vê Exemplos:

a) 4 ⁷ 4 . 4 16

b) R2S ¹ R2S . R2S . R2S 8

c) 0 ⁷ 0 . 0 ¡ R 3,14S. R 3,14S ¡ 9,87

d) R3S ¹ R3S. R3S. R3S 27 Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa.

e) R3S ⁶ R3S. R3S. R3S. R3S 81 Base negativa com expoente par tem-se potência positiva.

*ATENÇÃO: R6S ⁷ ( 6 ⁷ , pois R6S . R6S ( 6 . 6 36 ( 36

Potência de expoente nulo (zero):

Por definição, qualquer número, exceto o número 0 RŽS ,elevado a potência zero é igual a 1 . Exemplos:

5 ³ 1 R1S ³ 1 0 ³ ? ^{Rçã )}

R3S ³ 1 1 ³ 1

” ⁷ _} • ³ ₁ R0,25S ³ = 1

Qualquer número elevado ao expoente 1 RáS é igual ao próprio número.

Exemplos:

3 ² 3 R9S ² 9 0 ² 0 1 ² 1 ” ¹ _ • ^{2 1} _

Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo:

a) 10 ³ 'S 1 ²³ c) 10 ² d) R3S ¹

e) R2S ⁶

f) R8S ²

g) R1S ³

9 Inverso da Potência: Sejam # M ^¤ , R ( 0S , o inverso de ^A representado por

^A _% ² _¥

Exemplos:

a) 5 ^7 _} ² _{“ 7}} ² d) R3S ^7 _R1S ² _“ ² _€

b) 2 ^2 ₇ ² _— ² ₇ e) R3S ^1 _R1S ² _{/ 7} ² ₂₇ ¹

c) 1 ^2 ₂ ² _— 1 f ) 2 ^6 ₇ ² _{™ 24} ²

PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam , ' # M , # , tem-se:

# O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.

^< . ^{A <~A}

a) 3 ⁷ . 3 ¹ 3 ^7~1 3 ^} 243 b) 2 ¹ . 2 ⁷ . 2 2 ^1~7~2 2 ⁴ 64 c) 10 ⁷ . 10 ^1 . 10 ⁶ 10 ^{7  1 ~ 6} 10 ¹

d) R5S ⁷ . R5S ^} . R5S ^4 R5S ^7~}4 R5S ² 5

# O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

^< ‰ ^{A <A}

a) 6 ¹ ‰ 6 ⁶ 6 ^16 6 ^2 2

4 ^{— 2} ₄

b) 6 ^˜

6 ^/ = ₄ ^}1 ₄ ⁷ ₁₆

c)  ^™

 ^‘ = ₇ ^{6  4} ₇ ^{7 1}

7 ^{2 1} ₄₉

e) 7 ^“

7 ^¦/ = ₂ ^{7 –R 1S} ₂ ^7~1 ₂ ^} ₃₂

10

# A potência do produto é igual ao produto das potências.

R . ' S ^{A A} . ' ^A a) R 7 . " S ⁷ 7 ⁷ . " ⁷ 49 " ⁷ b) R2 . S ¹ 2 ¹ . ¹ 8 . ¹

# A potência do quociente é igual ao quociente das potências.

” ^% _& • ^{A %} _& ^¥ _¥

a) ” ^} ₄ • ^{1 }} ₄ ^/ / ^27} ₇₂₄ ¡ ^0,58

b) ” ¹ ₆ • ^1 ₆ ^{1 ¦/} _¦/ ^{// —} —

™/ _7 ² . ⁴⁶ ₂ ⁴⁶ _7

c) ” ^§ _} • ⁷ X ^§ _} “ ^{“ §} _7} ^“

# A potência de uma potência é igual ao produto das potências.

R ^< S ^{A < . A}

a) R" ⁷ S ¹ " ^7.1 " ⁴

b) R 2 ⁷ . ^2 S ⁷ R2 ⁷ S ⁷ . R ^2 S ⁷ 2 ⁶ . ¹⁶ . ^7

Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números , ' # M, R, ' U 0S, ⁼ _¨ , ^> _© # .

P

) ^{ª «} . ^{¬ ­ ª « ~ ¬ ­}

P

) ^{ª «} ‰ ^{¬ ­ ª «  ¬ ­}

P

) R . 'S ^{ª « ª «} . ' ^{ª «}

P

) R ‰ 'S ^{ª « ª «} ‰ ' ^{ª «} ou ” ^% _& •

ª

« ^%

ª «

& ^{ª «}

P

) R ^{ª «} S ^{­ ¬ ª « . ¬ ­}

11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência:

a) 9 ^} . 9 ^}

b) 10 ⁶ . 10 ^4

c) 12 ³ . 12 ² . 12 ¹

d) ” ² _‚ • ^{7 X 8 7}

e) ” ₁ ² • ⁷ ” ¹ ₂ • ³

f) ƒR3" S ¹ X R3S ⁷ " ¹ „ ‰ R2S" ¹

g) R'S ⁶ ‰ R'S ^6

h) R2 ⁷ S ^2 R4 ^2 S ⁷

i) 10 ⁶ . 10 ^7 . 10 ^1

j) ₁₀ ⁴ _{: ƒ10} ⁶ _{. 10} ^2 _„

l) ^{23 ¦/ . 23 ’}

R23 ^“ S ^/

m) 23 ^¦“ : 23 ^/

R23 ^“ S ^¦/

Respostas:

a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 ® 32 e) 17 72 ® f) 9 g) R 'S ⁸ h) ¹

24 i) 0,1 j) 10 ¹ l) 0,01 m) 10

12 RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação.

Definição: Dado um número real não negativo œ e um número natural , ž 1, chama-se

Ž é é œ ú L ã Tw   (b ž ¯S tal que ' ^A ,

 √œ   °   ^ œ onde √ ± L ± radicando , œ ž ¯ ' ± raiz ,   ž ¯

± í L,  ž ³ ´  #

√ √

Lê Ž P

3 √ Lê Ž ú'

4 √ Lê Ž P

Exemplos:

a) √16 ? ° R ? S ⁷ 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16?

Resposta: O número é 4, pois 4 ⁷ 16 , logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 4

b)

√8 ? ° R ? S ¹ 8 µ √8

2 ¶ 2 ¹ 8 , portanto 2 é Ž ú' 8.

c) √1

? ° R ? S ^} 1 µ √1

1 ¶ 1 ^} 1 , portanto 1 é Ž ú' 1.

d) √16

2 ¶ 2 ⁶ 16 portanto 2 é Ž P 16.

Índice Par : Quando í   ·¸¹ a restrição é que ž 0 , pois não existe no conjunto dos números reais raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número negativo.

√16 º R ã "S M º P Lw P L R16S.

Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte em um número negativo.

a) √ 8 ³ ? ° R ? S ¹ 8 µ √8 ³ 2 ¶ R2S ¹ 8 , portanto 2 é Ž ú' 8.

b)

√243 3 ¶ R3S ^} 243 , portanto 3 é Ž P 243.

Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo:

a) √0 b) √1 c) ⁴ √ 81

d) ³ √ 27

e) √4

f) ⁴ √16

13 Propriedades da radiciação: a, b # M ~

, , ' ž 0, # , R, v ž 2S # .

P

)

√ ^< √

^<.= Ex.: ³ √" ⁷ √" ^{3.5 7.}} √" ^{15 23} P

)

√. ' √

. √'

Ex.: ¼". ½ √" . ¼½

P

) ^¥ ¾ _& ^{% ¥ ¥ √%} _√& ^{R' ( 0S} Ex.: ¾ ^/ _7 ^‚ / _√7 ^{/ √‚ 7} ₁

P

) V √

W ^< √

^< Ex.: V√ ³ W ¹ √ ^{3 1}

P

)

¼ √

√

Ex.: ³ ¼√5

√5 ^3.2 √5 ⁶

Potência de expoente racional: Sejam os números # M ~ , R U 0S, v # , P # , P ž 1, J

·ê ' œ "v ^¿ _À Ž Pé é ⁼ .

^{ª «} √ ^{« =}

Exemplos:

a) 25 ^{1 2} √25

² √25 5 b) 8 ^{1 3} √8 ^{3 2} 2 c) 2 ^{3 2} √2

¹ √8

√ ⁼

« ^{ª «} quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar.

Exemplos:

a)

√5 ⁷ 5

5 ² 5

b)

√7 ⁷ 7 c) ³ √4 ¹ 4

d) ⁶ √5 ⁷ √5 ^{3 2} √5 ³ e) ⁶ √5 ⁷ √5 ^{3 2} √5 ³ f) ⁷ √9 ²⁶ √9 ^{1 7} 9 ⁷ 81

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

Resolver as operações com radicais:

a) ³ √27 X √8 ³ b) ¼ ⁶ 3 ^{12 3 ¼} 5 ³

c) √0 X √1 X √4 ^{3 1} – ” √2 ⁴ • ⁶

Respostas a) 1 b) 4 c) 3

14 POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência.

10 ^A '

10 ^2‚ 1 000 000 000 000 000 000 R " S K 10 ^2} 1 000 000 000 000 000 R v S · 10 ²⁷ 1 000 000 000 000 R S Á 10 ^€ 1 000 000 000 R TT S Â

10 ⁴ 1 000 000 R T S à 10 ¹ 1 000 R PL S Ä 10 ⁷ 100 R J S J 10 ² 10 R S 10 ^2 0,1 R S 10 ^7 0,01 R S 10 ^1 0,001 R L S 10 ^4 0,000 001 R S Å 10 ^€ 0,000 000 001 R S 10 ^27 0,000 000 000 001 R v S v 10 ^2} 0,000 000 000 000 001 R  S  10 ^2‚ 0,000 000 000 000 000 001 R S

Transformando um número decimal em potência de 10:

Exemplos:

a) 0,5 ₁₀ ⁵ ₁₀ ⁵ 1 5. 10 ^2 b) 0,05 ₁₀₀ ⁵ ₁₀ ⁵ 2 5. 10 ^7

c) 0,005 ₁₀₀₀ ⁵ ₁₀ ⁵ 3 5. 10 ^1

Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o expoente da potência de 10 diminui ³¯ ^³ , ³¯ ^Ÿ , ³¯ ^Æ , … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.

Resumindo, o número aumenta o expoente diminui . Ǻ . 10 ^A

Exemplos:

a) 1,7 1,7. 10 ³ 17 . 10 ^32 17 . 10 ^2

deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade.

b) 2,45 2,45. 10 ³ 245 . 10 ^37 245 . 10 ^7

deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades.

c) 84,052 84052 . 10 ^1

Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita:

a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais

b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais

c) Três casas decimais f) Seis casas decimais

15 Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o expoente da potência de 10 aumenta ³¯ ^³ , ³¯ ^Ÿ , ³¯ ^Æ , … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.

Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. Ǻ . 10 ^A Exemplos:

a) 17 17 . 10 ³ 1,7 . 10 ^3~2 1,7 . 10 ²

deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade.

b) 245 2,45 . 10 ⁷

deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades.

Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda:

a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais

Adição e Subtração de potência de base 10:

É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos:

a) 5 . 10 ⁷ X 4 . 10 ⁷ R 5 X 4 S10 ⁷ 9 . 10 ⁷ expoentes iguais

b) 29. 10 ^1 1. 10 ^1 R29 1S10 ^1 28. 10 ^1

c) 1 .10 ^7 X 3 . 10 ^7 7 . 10 ^7 R1 X 3 7 S. 10 ^7 3 . 10 ^7

d) 10 ⁶ + 10 ⁶ X 10 ⁶ 1. 10 ⁶ X 1. 10 ⁶ X 1. 10 ⁶ R1 X 1 X 1S10 ⁶ 3 . 10 ⁶

Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o mesmo expoente. Exemplos:

a) 6 . 10 ¹ X 4 . 10 ⁷ 60 . 10 ⁷ X 4 . 10 ⁷ R 60 X 4 S10 ⁷ 64 . 10 ⁷

transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 10 ¹ 60. 10 ⁷

b) 0, 29 . 10 ^2 147. 10 ^1 29 . 10 ^27 147. 10 ^1 29. 10 ^1 147. 10 ^1 118 . 10 ^1 expoentes diferentes expoentes iguais

c) 0,0 9 .10 ^2 X 10 ^7 3 . 10 ^1 9 .10 ^27 X 10 .10 ^72 3 . 10 ^1 9 .10 ^1 X 10.10 ^1 3 . 10 ^1 16. 10 ^1

expoentes diferentes expoentes iguais

16 Exercícios Propostos:

a) 15 . 10 ¹ X 13 . 10 ¹ b) 21 . 10 ⁷ 10 ⁷

c) 44 . 10 ⁶ X 4 . 10 ⁶ 8 . 10 ⁶ d) 666 . 10 ⁴ X 2220 . 10 ^} e) 5,9 . 10 ^7 X 9 . 10 ^1 f) 6 . 10 ¹ 10 ¹ X 40 . 10 ⁷

Respostas a) 28 . 10 ¹ b) 20 . 10 ⁷ c) 40 . 10 ⁶ d) 888 . 10 ⁴ e) 50 . 10 ^1 f) 9 . 10 ¹

Multiplicação de Potência de base 10:

Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos:

a) 4. 10 ^} . 2. 10 ^7 4 . 2 . 10 ^}7 8 . 10 ¹

b) 8. 10 ^4 . R 3. 10 ⁶ S 8 . (-3) . 10 ^4~6 24 . 10 ^7 c) 7. 10 ^} . 10 ^7 . 2. 10 ^1 7.1.2 . 10 ^}71 14. 10 ³ 14.1

Divisão de Potência de base 10:

Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10.

Exemplos:

a) 6 . 23 ^˜

7 . 23 ^{¦“ 6} ₇ ^{. 10 }R7S 2 . 10 }

b) 76 . 23 ^¦‘

6 .23 ^{/ 76} ₆ ^{. 10 41 6 . 10 €}

c) } . 23 ^/

€ .23 ^{¦— }} _€ ^{. 10 1R2S 0,56 . 10 6}

d) 7}.23 ^“ ~23 ^“

3,2.23 ^¦™ . 7.23 ^¦/ R3,2S.7 .23 ^{R7}~2S.23 ¦™¦/ “} _3,7.23 ^74.23 _¦’ ^“ _3,7 ⁷⁴ . ^{10 7~ 130 . 10 €}

17 Exercícios Propostos:

Resolver as operações de potência de base 10:

a) 23. 10 ^} X 0,023. 10 ^7

b) 99 . 10 ¹ 89. 10 ¹ X 90 . 10 ⁷

c) 7 .23 ^“ ~ 1,1 .23 ^/

22 .23 ^¦™ ~ 72. 23 ^¦™

d) 48 .10 ⁷ X2 .10 ^7, 10 ⁶ X 4 .10 ⁶

e) ²

7 . ₁₀ ^ _X ⁷ 1 . ₁₀ ^

f) 2 R 2.10 ⁴ 4. 10 ⁴ S X 5 R 2 . 10 ^} X 10 ^} S

g) ¹

} . ₁₀ ^{6 2} 7 . ₁₀ ¹

h) ₄ ¹ . ₁₀ ^7 _X ⁷

1 . ₁₀ ^1 _{X 10} ^1

Respostas:

a) 46. 10 ^} b) 19. 10 ¹ c) 35. 10 ^} d) 10 ⁷ e) 1,17. 10 ^ f S 25. 10 ^} g) 5,5. 10 ¹ h) 0,83. ..

18 POLINÔMIOS:

Monômio: Na variável " é uma expressão do tipo œ È ^ onde œ  ô, œ # Ê .  T ô,  # . Grau do monômio: É o expoente da variável.

Exemplo:

a) 4 " ⁷ é um monômio na variável " de 4  ô

2 T ô µ ô é 2º T b) 6 ½ é um monômio na variável ½ de coeficiente 6 e grau 1.

c) ^}

7 é um monômio na variável de coeficiente ₂ ⁵ e grau 1.

d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0.

e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau.

f) 8" ^7 não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e Ÿ # . g) 3" ^{2 7 ⁄} não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e ^³

Ÿ # .

POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável.

PRxS _A " ^A X _A2 " ^A2 X _A7 " ^A7 X Í X ₇ " ⁷ X ₂ " ² X ₃

Os números complexos ( A , A2 , A7 , … , 7 , 2 , 3 S 㠍 vLô de variável " e  # .

Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável.

Exemplo:

a) 3" ⁷ X 2" 1 é um polinômio de 2º grau de variável " e coeficiente 3.

b) 12 5 é um polinômio de 1º grau de variável e coeficiente 12.

c) 9" ¹ X 2" ⁷ 3" X 7 é um polinômio de 3º grau de variável " e coeficiente9.

Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável:

a) 2" ⁶ X 3" ¹ 3" ⁷ X 8" 1 b) 4 ⁷ X 1

c) '" ⁷ X " '

19 Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau.

Exemplo

a) 3" ⁷ X 2" 1 X 9" ¹ X 2" ⁷ 3" X 7 9" ¹ X R3 X 2S" ⁷ X R2 3S" 1 X 7 ÎÈ ^Æ X ÏÈ ^Ÿ È X Ð b) 7" ¹ 5" ⁷ X 2" X 1 R " ¹ X 2" ⁷ 4" X 3S trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses.

7" ¹ 5" ⁷ X 2" X 1 X " ¹ 2" ⁷ X 4" 3 somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau.

8" ¹ 7" ⁷ X 6" 2

Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação.

Propriedade Distributiva: R X 'S. R X S . X . X '. X '.

Exemplo:

a) R2" X 5S . R" 1S 2". " 2". 1 X 5. " 5.1 2" ⁷ 2" X 5" 5 2" ⁷ X 3" 5

b) " . R" 1S ". " ". 1 " ⁷ "

c) 2" ⁷ R " 3S 2" ⁷ . " 2.3" ⁷ 2" ¹ 6" ⁷

d) ( 3" ⁷ X 2" 1 ) . ( 8" ¹ 7" ⁷ X 6" 2S

3.8" ^7~1 3.7" ^7~7 X 3.6" ^7~2 3.2" ⁷ X 2.8" ^2~1 2.7" ^2~7 X 2.6" ^2~2 2.2" 1.8" ¹ X 1.7" ⁷ 1.6" X 1.2 24" ^} 21" ⁶ X 18" ¹ 6" ⁷ X 16" ⁶ 14" ¹ X 12" ⁷ 4" 8" ¹ X 7" ⁷ 6" X 2

24" ^} X R21 X 16S" ⁶ X R18 14 8S" ¹ X R6 X 12 X 7S" ⁷ X R4 6S" X 2 24" ^} 5" ⁶ 4" ¹ X 13" ⁷ 10" X 2

Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo ( ( 0S.

( 8" ¹ 4" ⁷ X 6" 2 ) : ( 2" ⁷ X 3" 5 S 8" ¹ 4" ⁷ X 6" 2 2" ⁷ X 3" 5 R( 0S

8" ¹ 12" ⁷ X 20" 4" 8 0 16" ⁷ X 26" 2

16" ⁷ X 24" 40

0 50" 42 (Resto) Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo:

a) 5" ⁷ X " X 2 "R6" 2S b) R3" ⁷ 7" X 1S"

20 Produtos notáveis:

1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

R" X ½S ⁷ " ⁷ X 2. ". ½ X ½ ⁷ Demonstração:

R" X ½S ⁷ R" X ½S. R" X ½S vL vv 'w R" X ½S ⁷ " ⁷ X 2. ". ½ X ½ ⁷

Exemplo:

R" X 5S ⁷ " ⁷ X 2. " .5 X 5 ⁷ " ⁷ X 10" X 25

2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

R" ½S ⁷ " ⁷ 2. ". ½ X ½ ⁷ Demonstração:

R" ½S ⁷ R" ½S. R" ½S vL vv 'w R" ½S ⁷ " ⁷ 2. ". ½ X ½ ⁷

Exemplo:

R2 S ⁷ 2 ⁷ 2.2. X ⁷ 2 4 X ⁷

3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

R " X ½ S . R " ½ S " ⁷ ½ ⁷ Exemplos:

a) R " X 3 S. R " 3 S " ⁷ 3 ⁷ È ^Ÿ Î

b) R 4 S. R X 4 S œ ^Ÿ ³Ð

c) R 2" X 5 S. R 2" 5 S R 2" S ⁷ 5 ⁷ ÑÈ ^Ÿ ŸÏ

d) V 6È ^Ÿ 1W. V 6È ^Ÿ X 1W R 6È ^Ÿ S ⁷ 1 ⁷ ÆÐÈ ^Ñ ³

21 Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo:

a) R 2 X 3 S. R 2 3 S

b) 5"R 4 S

c) R ⁷ 7 S. R ⁷ X 7 S

d) R" X 1S ⁷ " X 1

Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.

Exemplos:

a) Fatorar o polinômio 2 ² " ⁵ X 4 ³ " ³

Podemos escrever o polinômio desta maneira:

Ÿœ ^Ÿ " ⁷ . È ^Æ X 2. Ÿœ ^Ÿ . . È ^Æ Ÿœ ^Ÿ È ^Æ . R" ⁷ X 2 S

Foi colocado em evidência :

o maior divisor comum dos números ‰ . . . R 4 , 2 S Ÿ e as potências repetidas de menor expoente: œ ^Ÿ È ^Æ

b) Fatorar o polinômio 6" ² 3"

6" ⁷ 3" ÆÈ R 2" 1 S , . . . R6 , 3S Æ menor expoente: È

c) Fatorar o polinômio 6 " ⁴ X 4" ³ 12" ²

6 " ⁶ X 4" ¹ 12" ⁷ 2 " ⁷ R3 " ⁷ X 2" 6 S . . . R6, 4 , 12S Ÿ menor expoente: È ^Ÿ

d) Fatorar o polinômio 8 ⁶ ' ^} X 20 ¹ ' ⁷

8 ⁶ ' ^} X 20 ¹ ' ⁷ 2. Ñ. œ ^Ÿ . ⁷ .   ^Ÿ . ' ¹ X 5. Ñ. . œ ^Ÿ .   ^Ÿ . . . R8, 20S Ñ

4 ⁷ ' ⁷ R 2 ⁷ ' ¹ X 5 S menor expoente: œ ^{Ÿ   Ÿ}

22

Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ( 0S .

Exemplos de frações algébricas:

§

2" ² X3"5 , ^}

§~} , ^§

§2

Adição e Subtração de frações algébricas:

a) §

7§ ^“ X _1§ ⁷ _4§ ^1.§ _“ X ^7.7§ _{4§ “} ^1§~6§ _{4§ “ 4§} ^§ _{“ 4§} ^ m.m.c (2 , " ⁷ , 3 , "S 2

_{1, "} ⁷ , 3 , " 3 1, " ⁷ , 1 , " "

1, " , 1, 1 "

1, 1 , 1, 1 6" ⁷ b) §

§Ó X _§~Ó ² X _§ ^Ó§ _{“ Ó “} R§ÓS.R§~ÓS ^§.R§~ÓS X R§ÓS.R§~ÓS ^2.R§ÓS X R§ÓS.R§~ÓS ^Ó§

^{" 2} X".½X"½X½"

V "½ ^W .R"X½S _{V "½} ^{" 2 X".½} _{W .R"X½S} "R"X½S

V "½ ^W .R"X½S _{V "½} ^" _W

Multiplicação e Divisão de frações algébricas:

a) §

R§ÓS . ^{§ /}

R§~ÓS R§ÓS.R§~ÓS ^{§.§ /} _{§ “} ^§ _Ó ^™ _“

b) R§ÓS ^/

R§~ÓS : _R§ÓS ^R§~ÓS _“ ^R§ÓS _R§~ÓS ^{/ . R§ÓS} _R§~ÓS ^{“ R§ÓS} _R§~ÓS ^˜

Atenção:

Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos.

É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos.

^§

§ ~ 2 errado ^{§  2}

§ errado ^{§ ~ 2}

§  2 errado

23 Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo:

a) 1

^{" 1} _" X 1

b) ^6§~1

1§ X _§ ⁴ _{“ §} ²

c) ²

§ ^/ X ²⁷ _{§ “} ¹ _§

d)

"X1

" ~ §

§

e) ⁷

1§ ^/ X _§ ² _“ ^6§ ₁

f) ^{6 §}

1 ² _{4§ X 1}

Respostas:

a) ^§

7§2 b) ^6§

“ ~2‚

1§ ^“ c) ^2~27§1§

“

§ ^/ d) ^§

“ ~ § ~2

§ ^“ e) ^7~1§6§

™

1§ ^“ f) ^‚§

“ ~4§2

4§

24 EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA

1) Resolver as expressões algébricas:

a) { 7" ƒ 3"R " 1S 6"„ X ^3" _" ³ b) 3" ⁷ . 7" ¹ X 13" ^} X 3" ⁷ . " . R2" ⁷ S

2) Resolver as operações de potências de base 10:

a) _{5 . 10} ^€ _{X 8 . 10} ^€ _{3. 10} ^€ b) 24 .23 ^¦“ ~ 7.23 ^¦“

7.23 ^/ . 23 ^/

c) ^{23 ‘ ~ 23 ‘}

23 ^¦— . 23 ^¦˜

d) ^{27,1 .23 ¦/}  ‚,1 . 23 ^¦/

7.23 ^/ . 23 ^¦/

e) 6 .23 ^—“ . ‚ .23 ^¦“

77 .23 ^˜ ~23 .23 ^˜

3) Resolver as equações :

a) 7%

1§ X _7§ ^{& 1} b) 4

}§ _7§ ² _“ ²² ₆ ^}} ₇₃

c) 2" X 15 R 5 8" S d) }§

€ X ^7R§~2S ₁ ^§ _€

e) ‚§~

 ^7§~2 ₁ f) 1 ^“ §  ‚

7 ^{“ 4" X 5}

Respostas:

1a) 16"

1b) 28" ^}

2a) 10 ²³ 2b) 9. 10 ^{ 8}

2c) 2. 10 ²⁷

2d) 2. 10 ^1 2e) 10 ^} 3a) ^23'4 6

3b) ^}

27 3c) 2 3d) ¹ ₂ 3e) 1,4 3f) 4

25 FUNÇÕES:

Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra.

Exemplo:

a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e escrevemos ¸ R ℓ S. Se ℓ varia então ¸ varia.

b) Õ R S, v ê çã .

cS Ö R S , wL çã v.

Notação de Função: ×: M ± M ØÙÚíÛÙ RMS ± contra-domínio ( MS È ± Ü ×RÈS

 é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento È # ØÙÚíÛÙ RMS existe em correpondência um único elemento Ü ×RÈS # contra-domínio( MS que é a sua imagem.

Definição de função: Sejam È Ü variáveis, tais que para cada valor atribuído a È existe em correspondência um único valor Þ . Dizemos que Ü é uma função de " e representamos por

Ü ×RÈS È wáwL Lw v Ü wáwL v

PLANO CARTESIANO:

O plano cartesiano M ^Ÿ é representado pelos eixos das abscissas, " " ØÙڍR"S # M ordenadas, " ½ ßڍR"S # M .

à : 1º. 2º , 3º 4º

Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ·R0,0S , formando quatro regiões chamadas de quadrantes.

½ ( contra-domínio)

Ÿº áâœãäœå´ ³º áâœã䜝å´

RÈ Q 0, ½ U 0S RÈ U 0, ½ U 0S

0 È ( domínio da função )

ƺ áâœãäœå´ Ñº áâœã䜝å´

RÈ Q 0, ½ Q 0S RÈ U 0, ½ Q 0S

26 Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ·R", ½S .

½

R"S - - - - æ R abscissa, ordenada S

0 " "

Exercícios:

Representar no plano cartesiano os pontos abaixo:

·R 2 , 2 S ½ àR1 , 2S 4 ¹R 3 , 2S 3 ç ” ² ₇ , 3• 2 ÁR3 , 0S 1

èR 0 , 1S ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... "

ÖR4 , 3S - 1 - 2 - 3

Construindo Gráficos de Funções: Seja a função Ü ŸÈ com domínio nos reais

1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente È , encontramos as imagens que são os valores de Ü 2º Passo: As coordenadas R", ½S colocamos no plano cartesiano

3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados.

" Ü ŸÈ ·R", ½S

2 ½ 2. R2S 4 R 2 , 4S ½

1 ½ 2. R1S 2 R1 , 2S 4 . 0 ½ 2 . 0 0 R 0 , 0S 3

1 ½ 2 . 1 2 R 1 , 2S 2 . 2 ½ 2 . 2 4 R2 , 4S 1

... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... "

- 1 . - 2 - 3 . – 4

Exercícios: Construir os gráficos das funções:

a) ½ 2" X 1 'S ½ 2" 1 c) ½ 2" X 1 d) ½ 2" 1 e) ½ "

f) ½ "

" , ½

27 Função Crescente: Seja a função Ü ×RÈS e sejam È ³ e È Ÿ elementos do domínio da função com È Ÿ U " ³ ,

dizemos que a função é Crescente se as imagens R" 7 S U R " 2 )

Função Decrescente: Seja a função Ü ×RÈS e sejam È ³ e È Ÿ elementos do domínio da função com È Ÿ U " ³ , dizemos que a função é Decrescente se as imagens

R" 7 S Q R " 2 )

Função Constante: Seja a função Ü ×RÈS e sejam È ³ e È Ÿ elementos do domínio da função com È Ÿ U " ³ , dizemos que a função é Constante se as imagens

R" 2 S R " 7 ).

Exemplo:

A função é crescente nos intervalos:

½ Õ ê " ê ë e ì ê " ê í D E

Ü ×RÈS A B C F G H I J

0 " A função é decrescente nos intervalos:

¸ ê " ê î K ê " ê Â

A função é constante nos intervalos:

î ê " ê Õ , ë ê " ê K , Â ê " ê ì

Exercícios:

Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente, decrescente ou constante.

½ ½ ½ ½ 4 8 1 1

0 2 4 6 8 10 " 0 5 10 15 " 0 " 0 "

28 Função Linear: Ü œÈ X  

œ Coeficiente Angular da reta: T ï ^Ó _§ œ ( ¯ É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas.

Se a função é crescente o coeficiente angular œ é positivo, œ U 0 . Se a função é decrescente o coeficiente angular œ é negativo, œ Q 0 .

Se a função é constante o coeficiente angular œ T 90° , º T 90° , logo œ não está definido.

  Coeficiente Linear da reta:

É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto ·R 0 , ½S.

Exemplos: Sejam as funções,

1 ½ 2" X 1 Coeòiciente Angular 2 µ 2 U 0 ± 

Coeficiente Linear ' 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S.

½ 2" 1 Coeòiciente Angular 2 µ 2 U 0 ± 

Coeficiente Linear ' 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S. -1

½ 2" X 1 Coeòiciente Angular 2 µ 2 Q 0 ±  1 Coeficiente Linear ' 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S.

½ 2" 1 Coeòiciente Angular 2 µ 2 Q 0 ±  Coeficiente Linear ' 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S.

-1 ½ " Coeòiciente Angular 1 µ 1 U 0 ± 

Coeficiente Linear ' 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S.

0 ½ " Coeòiciente Angular 2 1 µ 1 Q 0 ± 

Coeficiente Linear ' 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S.

0 ½ 3 Coeòiciente Angular ã á  ±  3 Coeficiente Linear ' 3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , 3S.

½ 3 Coeòiciente Angular ã á  ±  Coeficiente Linear ' 3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , 3S .

-3

29  2

Exercícios:

Determine os valores do coeficiente angular œ e coeficiente linear   das funções  ₂ e  _{7 ,} nos gráficos abaixo:

a) b) ½ ½

4  2  2  7 5

0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 "

-5

c)

½ d) ½

6  2  7 35  2  7

0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 "

Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide.

Período ( T ) : São intervalo , ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira.

A : é o pico máximo da onda.

1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante.

a) b) ½ ½

9 3

4 0 1  7 2 3 "

0 0,1 0,2 0,3 0,4 "

Á 2 Á 0,2 ¸ 3 ¸ 9

 ₂ ½ 2 3 0 ê " ê 1  ₂ ½ 2 9 0 ê " ê 0,1

 7 ½ 7 0 1 ê " ê 2  7 ½ 7 4 0,1 ê " ê 0,2

30 2) Ondas Triangulares:

Utilizaremos a fórmula

½ ½ ₃ R " " ₃ S , ^Ó

§ , · R " 3 , ½ 3 S

a) b)

½ ½

6  2  7 35  2  7

0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 "

Á 4 Á 14 ¸ 6 ¸ 35

 2 é , ê 0 ô ^Ó _§  2 é , ž 0 ô X ^Ó _§

substituindo ·R 2, 0S #  2 na fórmula substituindo ·R 0, 0S #  2 na fórmula

½ ½ 3 R " " 3 S ½ ½ 3 R " " 3 S

 ₂ ½ 0 ⁴ ₇ R" 2S  ₂ ½ 2 0 ^1} _ R" 0S

 ₂ ½ 2 3" X 6 0 ê " ê 2  ₂ ½ 2 5" 0 ê " ê 7

 7 é , ž 0 , X ^Ó _§  7 é , ê 0 ô ^Ó _§ substituindo ·R 2, 0 S #  7 na fórmula substituindo ·R 14, 0 S #  7 na fórmula ½ ½ 3 R " " 3 S ½ ½ 3 R " " 3 S

 ₇ ½ 0 ⁴ ₇ R" 2S  ₇ ½ 0 ^1} _ R" 14S

 ₇ ½ 7 3" 6 2 ê " ê 4  ₇ ½ 7 5" X 70 7 ê " ê 14

P

31 c)

½

10  2  7

0 5 10 15 20 "

-10 - - - Á 20

¸ 10

 2 é , ê 0 ô ^Ó _§  7 é , ž 0 ô ^Ó _§ substituindo ·R 5, 0S #  2 na fórmula substituindo ·R 15, 0S #  7 na fórmula ½ ½ ₃ R " " ₃ S

 ₂ ½ 0 ²³ _} R" 5S  7

 ₇ ½ 0 ²³ _} R" 15S

 ₂ ½ 2 2" X 10 0 ê " ê 10  ₇ ½ 7 2" 30 10 ê " ê 20

3) Ondas Dentes de Serra:

a) b) ½ ½

4  ₂  ₂  ₇ 5

0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 "

-5

Á 3 Á 0,2

¸ 4 ¸ 5

 2 é , ê 0 , ^Ó _§  2 é , ž 0 , X ^Ó _§

·R 3, 0S #  2 substituindo na fórmula ·R 0, 0S #  2 substituindo na fórmula

½ ½ 3 R " " 3 S ½ ½ 3 R " " 3 S

 ₂ ½ 0 ⁶ ₁ R" 3 S

 ₂ ½ ₂ 0 _3,2 ^} R" 0S

 ₂ ½ 2 6

1 " X 4 0 ê " ê 3  ₂ ½ 2 50" 0 ê " ê 0,1

 7 é , ž 0 , X ^Ó _§ , · 3 R0,2 , 0S #  7

 ₇ ½ 7 0 _3,2 ^} R" 0,2S

 ₇ ½ 7 50" 10 0,1 ê " ê 0,3

32 4) Ondas trapezóides

½ õ Æ ö ÷ × ³ ÷È ø´ ¯ ê È ê ³

× Ÿ ÷ ø´ ³ ê È ê Ÿ

7 × _Æ ÷È X Ÿ³ ø´ Ÿ ê È ê Æ

0 1 2 3 4 5 "

Exercícios Propostos:

Determine as funções para um período dos gráficos abaixo:

a) b) ½ ½

7 10

3 0 3 6 9 12 "

0 2 4 6 8 "

c) d) ½ ½

18  2 6  2  7

0 3 6 9 " 0 2 4 6 8 "

-6

e) f)

½ ½

20  2 35  2  7

0 5 10 15 20 25 " 0 7 14 21 28 "

P