Prof. Daniel Almeida AULA 01/20
1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
- Números Naturais (IN )Foram os primeiros números a surgir devido à necessidade dos homens em contar objetos.
- Números Inteiros ( Z )
Se juntarmos os números naturais aos números inteiros negativos formamos o conjuntos dos números inteiros.
- Números Racionais ( Q )
A motivação para a criação dos números racionais foi a necessidade de efetuar medidas. O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com denominador não-nulo. Entre dois números racionais quaisquer existem infinitos números racionais. Representamos esse conjunto por meio de uma característica comum a todos os elementos:
Q = { x | x =
q
p
, p
Z e q
Z* }Observação: Verifique que todo número inteiro também é racional. Porque ? Exemplos:
7
6
,
4
3
,
2
4
,
2
1
- Números Irracionais ( I ):Existem números que não podem ser escritos na forma de fração, como por exemplo
2
e π . Estes números formam o conjunto dos números irracionais I, e todo número pertencente a este conjunto é chamado de número irracional.Números Reais (IR):
A junção dos números racionais Q e dos números irracionais I, formam o conjunto dos números reais IR.
OPERAÇÕES BÁSICAS
Regra de sinais* + (+) = + sinais iguais → positivo; * − (+) = − sinais diferentes → negativo; * − (−) = + sinais iguais → positivo.
Lembrar que a regra de sinais só é utilizada para multiplicação e divisão.
A ordem na resolução de expressões numéricas
1º os parênteses → ( ) 2º os colchetes → [ ] 3º as chaves →{ }
Quanto aos sinais, também precisamos obedecer a ordem correta entre eles:
1º multiplicação e divisões → (× e ÷) 2º adições e subtrações → (+ e −)
Na adição e subtração:
+ 5 + (+3) = 8 → sinais iguais, soma-se e conserva-se o sinal;
− 2 − (+4) = - 6 → note que a operação resulta em sinais iguais, então aplicamos a regra anterior;
+ 7 − (−1) = 8 a operação também resulta em sinais iguais, então aplicamos a mesma regra;
− 3 − (−5) = +2 a operação resulta em sinais diferentes, então subtrai-se e conserva-se o sinal do valor de maior módulo.
Na multiplicação e divisão:
+5×(+3) = + 15 → sinais iguais → positivo;
−2 × (+4) = − 8 → sinais diferentes→ negativo;
+7 ÷ (−1) = −7 → sinais diferentes → negativo
− 8 ÷ (−2) = + 4 sinais iguais → positivo.
Operação com incógnitas x + x = 2x
x × x = x²
x − x = 0
x ÷ x = 1
Transformando a linguagem numérica em escrita 2x → o dobro de um número;
x² → o quadrado de um número;
x − y → a diferença de dois números;
x ÷ y → o quociente entre dois números;
x × y → o produto de dois números;
3x + x/2 → o triplo de um número mais sua metade;
x/3 − 5x → a terça parte de um número menos o seu quíntuplo;
x² + 3x −2 → o quadrado de um número mais o seu triplo menos dois;
x² - y² → a diferença do quadrado de dois números.
Propriedades gerais da potenciação
a n · a m = a n + m . Logo 22 ·23 = 22+3 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 → na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes;
a n ÷ a m = a n−m . Então 23÷22 = 23−2 = 21 = 2 → na divisão de potências de mesma base conservamos a base a subtraímos os expoentes;
IN = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ... }
(a m) n = a m · n. Logo: (22) 3 = 22x3 = 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 → na potência de potência, multiplicamos os expoentes;
(a × b) n = a n · b n. Logo: (2 × 3) 2 = 22 · 32 = 4 × 9 = 36 → observe que o primeiro e o segundo valor estão elevados ao mesmo expoente.
n
b
a
= n nb
a
, b ≠ 0 Então: 33
2
= 3 33
2
=27
8
→ note que tanto o numerador quanto o denominador estão elevados ao mesmo expoente.Lembretes
a 0 = 1, logo: 10= 1 ; 20= 1 → qualquer número, não nulo, elevado a zero é igual a um;
a1 = a, então: 11 = 1; 21 = 2 → qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo;
a –n = n
a
1
, a ≠ 0, logo: 2-5 = 52
1
=32
1
→ quando um expoente é negativo, invertemos a base e o sinal do expoente.CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade.
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8
Exemplo: 10, 32, 1.408 Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3.
Exemplo:
36 (3 + 6 = 9) 147 (1 + 4 + 7 = 12)
Divisibilidade por 4
Um número é divisível quando os 2 últimos números formam um número divisível por 4.
Exemplo: 840 (40 é divisível por 4) 1.232 (32 é divisível por 4) 987.624 (24 é divisível por 4)
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou 5
Exemplo: 20, 45, 1.355.
NÚMEROS PRIMOS
Denominamos números primos todos os números naturais divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos.
Números primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...}
FATORAÇÃO
Fatorar significa escrever uma expressão algébrica na
forma de um produto de expressões o mais simples.
Exemplos: 1. ax + ay = a.(x + y) 2. bx + by – bz = b.(x+y-z) 3. 49 = 7.7 = 7² 4. 32 = 2 . 2. 2. 2. 2. = 25 5 1.296 = 6 x 6 x 6 x 6 = 64
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qual quer expressão numérica. Resumidamente: 1) Parênteses 2) Colchetes 3) Chaves 4) Potência ou Radiciação 5) Multiplicação 6) Soma ou Subtração Veja o exemplo abaixo:
[6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 170 . (40 : 8 -3)] / 1 – 2= [6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / 1 – 2 = [6 + 3 . (20) - 1 . 2] / 1 – 2 = [6 + 60 - 2] / 1 – 2 = 64 / 1 – 2 = 64 – 2 = 62
MÁXIMO DIVISOR COMUM (mdc
)Dois ou mais números naturais sempre têm divisores comuns, mesmo que esse divisor seja 1.
Vamos encontrar os divisores comuns de 30 e 60
MINIMO MULTIPLO COMUM (mmc)
Dois ou mais números naturais sempre têm múltiplo comuns a eles.
Vamos encontrar os múltiplos comuns de 4 e 6.
12 3 2 2 1 3 , 1 3 , 2 6 , 4
Prof. Daniel Almeida AULA 01/20
3
Os múltiplos comuns de 6 são 0, 6, 12, 18, 24....Os múltiplos comuns de 4 são 0, 4, 12, 16, 20, 24...
Observe que os múltiplos comuns de 4 e 6 são 0, 12, 24... Dentre estes, diferentes de zero, 12 é o menor. Então, nós o denominamos de mínimo múltiplo comum de 4 e 6 e representamos por: m.m.c. (4,6) = 12
FRAÇÕES
O que é uma fração?
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi divido uma unidade ou inteiro.
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.
Qual o significado de uma fração?
Uma fração significa dividir algo em partes iguais. Seja então a fração
4
1
Chamamos 1 o numerador da fração e 4 o denominador da fração.
Fração Decimal: quando o denominador da fração for igual a 10 ou múltiplo de 10.
Fração Ordinária: é quando o denominador for um número diferente de 10 e seus múltiplos.
Exemplos: a)
8
1
fração ordinária b)5
4
fração ordinária c)10
3
fração decimal d)100
7
fração decimalFrações equivalentes: são frações que representam a
mesma parte de um todo, como o próprio nome já diz, são equivalentes.
Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração,
devemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo número inteiro. Observem comparando com os quadradinhos acima. a) b) Outros exemplos: a) b)
4
3
não é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível.
Tipos de fração:
- Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o
denominador.
Ex: ( 7<9 )
- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou
igual ao denominador. Exemplo:
4
15
e4
4
a) b) PROPRIEDADESPropriedades da adição dos naturais
Fechamento: A soma de dois números naturais é
um numero natural.
Associativa: A adição de três parcelas pode ser
feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas, indiferentemente.
Exemplo: (5+13) + 4 = 5 + (13+4)
Comutativa: A ordem das parcelas não altera a
soma. Exemplo:
4
8
8
4
12
4
8
12
8
4
Elemento neutro: No conjunto dos números
naturais, zero é chamado de elemento neutro da adição.
Exemplo: 5 + 0 = 5
Propriedades da multiplicação dos naturais
Fechamento: O produto de dois números naturais
é sempre um numero natural.
Associativa: Numa multiplicação de três fatores,
podem-se associar aos dois primeiros ou os dois últimos, indiferentemente. Exemplo
(
4
5
)
2
4
(
5
2
)
40
10
4
)
2
5
(
4
40
2
20
2
)
5
4
(
Comutativa: A ordem dos fatores não altera o
produto. Exemplo:
7
4
4
7
28
7
4
28
4
7
É importante lembrar que, se num produto de três os mais fatores um deles for zero, o produto será igual a zero:
Exemplo: 3 × 0 × 5 = 0
Distributiva da multiplicação em relação à adição (ou subtração): O produto de um número
por uma soma (ou diferença) pode ser obtido multiplicando-se o número por cada um dos termos da soma (ou diferença) e adicionando-se (ou subtraindo-se) os produtos parciais. Observe essa propriedade nos exemplos seguintes:
2
9
3
9
)
2
3
(
9
45
18
27
2
9
3
9
45
5
9
)
2
3
(
9
Elemento inverso Exemplo: 3×3-1 = 3×
3
1
= 1 TESTES EM SALA:01. (FUVEST-SP) O valor da expressão
2
1
1
1
6
3
1
1
3
6
2
2
é: a) 1/2 b) 3/5 c) 3/4 d) -3/502. (FCC) Os soldados de um batalhão são reunidos a cada
10 dias para tratar de assuntos específicos de segurança e a cada 12 dias para tratar de assuntos gerais da comunidade local. Se as duas reuniões coincidiram em 1º de agosto, deverão voltar a coincidir em
a) 30 de setembro. b) 1o de outubro. c) 2 de outubro. d) 15 de outubro. e) 30 de outubro.
03. Três peças de tecidos que medem 24 metros, 30 metros
e 48 metros, devem ser cortadas em pedaços todos do mesmo comprimento e do maior tamanho possivel, sem que haja sobra de tecidos em qualquer uma das peças. Nestas condições. Os pedaços, iguais, medem:
a) 2m b) 6m c) 3m d) 7m e) 10m
04. (FCC/2008-TRT-18ª)Na notação científica, um número é escrito como um produto de dois números x e y, tais que 1 x < 10 e y é uma potência de 10. Assim, por exemplo, a notação científica do número 0,08016 é . Com base nessa informação, é correto afirmar que a notação científica do número
5
,
1
04
,
2
00625
,
0
x
A
é a) 8,5 104 b) 7,5 104 c) 8,5 10 d) 7,5 10 e) 8,5102 TESTES:01. No ponto de ônibus passa ônibus para o bairro X de 15
em 15 minutos e um ônibus para o bairro Y de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram juntos às 8 horas e 30 minutos, a que horas vão passar juntos novamente?
a) 8h 55min b) 9h 15min c) 9h 30min d) 9h 45min e) 8h 50min
02. (ACAPLAM) Num país Latino as eleições para
presidente da república ocorrem de 4 em 4 anos e as eleições para primeiro ministro ocorrem de 6 em 6 anos. Se as últimas eleições para presidente e para primeiro ministro ocorreram em 2002 em que ano mais próximo as eleições poderão voltar a coincidir?
a) 2012. b) 2016. c) 2014. d) 2026. e) 2024.
Prof. Daniel Almeida AULA 01/20
5
03. Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com
comprimento 2,40m, 2,70m, e 3m, respectivamente, em pedaços iguais e de maior comprimento possível. Assim, o comprimento de cada parte cortada será:
a) 40 cm b) 30 cm c) 20 cm d) 50 cm e) 60 cm
04. Alberto foi ao médico e este lhe receitou quatro
medicamentos, A, B, C, D, que devem ser tomados da seguinte forma: O medicamento A deve ser tomado de 3 em 3 horas. O medicamento B de 6 em 6 horas e o medicamento C de 5 em 5 horas, e o medicamento D de 4 em 4 horas. Se Alberto tomou todos os medicamentos juntos, às 10 horas da manhã de uma sexta feira, quando estará ingerindo todos os medicamentos juntos outra vez? a) às 10 horas da manhã de domingo
b) às 10 horas da noite de domingo c) às 10 horas da manhã de segunda-feira d) às 10 horas da noite de segunda-feira e) às 12 horas da manhã de terça-feira
05. (FCC) Três funcionários fazem plantões nas seções em
que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias e o terceiro a cada 20 dias, inclusive sábados domingos e feriados. Se no dia 18/05/002 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi: a) 18/11/02 b) 17/09/02 c) 18/08/02 d) 17/07/02 e) 18/06/02
06. (FESP-PE) Resolvendo a expressão
2 5 1 1 9 1 1 : . 2 6 3 5 4 2 3 a)17/12 b)12/17 c)3/8 d)3/85
07. (UTFPR – 2009) Duas empresas de ônibus fazem o
trajeto de Curitiba até as praias do Paraná. Todos os dias os primeiros ônibus das duas empresas saem simultaneamente, da Rodoviária, às 6 horas da manhã. A partir de então, a primeira empresa tem ônibus de 4 em 4 horas e a segunda empresa tem ônibus de 3 em 3 horas. O próximo horário em que os ônibus destas empresas sairão simultaneamente será:
a) 15h b) 18h c) 21h d) 24h
e) somente às 6 horas do dia seguinte.
08. (UTFPR) Qual o menor algarismo que se deve colocar
no lugar da letra a, no número 79831a; para que este seja divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 09.(UTFPR) A expressão
