DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DO SOM NO AR. Ondas sonoras

TRABALHO PRÁTICO

DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DO SOM NO AR

Objectivo: Pretende-se determinar a velocidade de propagação do som no ar. A experiência será

realizada utilizando um tubo de ressonância munido de altifalante e microfone e far-se-á de dois modos diferentes: 1) determinando a frequência e o comprimento de onda a partir de ondas sonoras estacionárias que se propagam no tubo; 2) medindo o tempo que medeia entre a emissão de um impulso sonoro e a recepção do seu eco.

1. Introdução

Ondas sonoras

Quando um objecto vibra com uma frequência típica do intervalo de frequências audíveis (como, por exemplo, a membrana de um tambor, quando percutida), efectua um movimento vibratório e, ao fazê-lo, obriga as partículas do ar que o rodeia a um movimento de oscilação idêntico ao seu; essas partículas, por sua vez, comunicam esse movimento às seguintes e assim sucessivamente. As moléculas do meio não se propagam; o que se propaga é a vibração provocada nessas moléculas, fazendo alterar as suas posições médias e o valor local da densidade de massa do meio. Passada a perturbação, as moléculas voltam a ocupar as mesmas posições médias anteriores e a densidade de massa volta também ao valor característico do meio.

Figura 1

(A) Posição das moléculas de um meio unidimensional em vários instantes de tempo sucessivos, quando nele se propaga uma onda longitudinal.

(B) Deslocamento (elongação) de cada molécula do meio no instante t = T/4 em relação à posição que a mesma ocupava em t = 0. Como se vê, esta perturbação do meio tem a forma de uma onda sinusoidal.

Trata-se de uma onda longitudinal, uma vez que as partículas do meio ficam sujeitas a deslocações na mesma direcção em que a onda se propaga. A figura 1 ilustra estes aspectos, representando a posição das moléculas de um meio unidimensional em vários instantes de tempo sucessivos, durante a propagação de uma onda sonora.

Designam-se por nodos (N) os pontos do meio onde a amplitude da onda é nula (as moléculas de ar não vibram) e por antinodos (A) os pontos onde essa amplitude é máxima (máximo afastamento das moléculas relativamente às suas posições médias) (figura 1-B).

Outro modo de considerar uma onda sonora é como uma onda longitudinal de pressão, ou seja, como uma série de compressões e rarefacções que se vão propagando no meio. Tomando novamente como exemplo a vibração da membrana do tambor, quando ela se expande o volume de ar contíguo é comprimido e a pressão nesse pequeno volume torna-se relativamente elevada. Por sua vez, esse volume de ar comprime o que lhe está adjacente e assim sucessivamente, fazendo com que a compressão se propague. Pelo contrário, quando a membrana se retrai gera-se um volume de ar a baixa pressão, ou seja, uma rarefacção, que se propaga do modo idêntico.

Em geral, o som propaga-se a partir da fonte sonora em todas as direcções do espaço. Contudo, o estudo da propagação do som pode ser simplificado restringindo o seu movimento a uma dimensão com a utilização de um tubo de ressonância, como se fará.

Ondas Estacionárias num Tubo

Quando duas ondas sonoras atingem uma mesma região do espaço, as partículas dessa região são solicitadas para efectuarem dois movimentos oscilatórios diferentes, daí resultando a sobreposição de ambos os movimentos. Se as oscilações estão em fase reforçam-se: interferência construtiva (fig. 2-a). Se, tendo a mesma amplitude, estão em oposição de fase anulam-se: interferência destrutiva (fig. 2-b)).

Em geral, quando uma onda incide sobre um objecto não é totalmente reflectida em virtude de uma parte da energia que a onda transporta ser absorvida pelo objecto. Um emissor de ondas sonoras muito comum é o diapasão. Se um diapasão a vibrar for mantido nas proximidades de um tubo de vidro cheio de ar, fechado numa das extremidades, as suas vibrações transmitem-se a essa coluna de ar gerando-se assim uma onda sonora que se reflecte ao atingir a extremidade fechada do tubo. Da interferência da onda incidente com a onda reflectida (de intensidade menor que a onda incidente devido a alguma absorção na extremidade fechada do tubo) resulta uma onda estacionária (figura 3) dentro do tubo. Uma onda estacionária é caracterizada por ter nodos e antinodos em posições fixas. Como é mostrado na figura 3-A, num tubo fechado, a onda estacionária que representa a elongação de cada partícula do meio tem um nodo na extremidade fechada e um antinodo na extremidade aberta. Na representação da onda de pressão (fig. 3-B) também existem nodos e antinodos mas em posições trocadas relativamente aos nodos e antinodos da representação anterior.

a)

b)

Figura 2

Figura 3

(A) Posição dos nodos e antinodos da onda sonora estacionária dentro do tubo, representada em termos de elongação.

(B) Posição dos nodos e antinodos da onda sonora estacionária dentro do tubo, representada em termos de variação de pressão. O microfone detecta variações de pressão, à semelhança do que acontece com o tímpano.

Ressonância

Como se disse, uma onda estacionária ocorre quando uma onda incidente é reflectida na extremidade fechada do tubo e a onda reflectida interfere com a onda original. Na realidade, uma onda sonora é muitas vezes reflectida e reemitida entre as extremidades do tubo e todas estas múltiplas ondas reflectidas interferem umas com as outras. Em geral, as múltiplas ondas reflectidas não estão todas em fase e a amplitude da onda resultante é pequena.

Contudo, para um dado valor do comprimento de onda (c.d.o.) do som emitido, em determinados pontos da coluna de ar, este vibra em ressonância com o diapasão, fazendo com que a intensidade do som nesse ponto seja bastante ampliada.

Figura 4

Ondas sonoras estacionárias dentro de um tubo com uma extremidade fechada e outra aberta. Mostram-se as posições dos pontos de amplitude de elongação nula (nodos N) e de amplitude de elongação máxima (antinodos A), bem como a relação entre a altura L da coluna de ar, o c.d.o. da onda sonora incidente e a

correcção de extremidade c.

A menor altura da coluna de ar que pode entrar em ressonância com o diapasão é igual a ¼ do comprimento de onda λ das ondas sonoras geradas pela sua vibração. Também ocorre ressonância

para alturas iguais a 3

4λ , 5

4λ , ..., 4 λ

1 2n+

, com n inteiro. Se L₁ for a posição, lida numa escala

métrica associada ao tubo, para a primeira ressonância, L2 for a posição para a segunda ressonância,

| L₁ - L₂ | = λ

2 (1)

| L₁ - L₃ | = λ. (2)

(Repare-se que as mesmas relações são válidas se, em vez de considerarmos os nodos da onda de elongação das partículas do meio, considerarmos os antinodos da onda de pressão.)

Como já foi dito atrás, nas condições de ressonância existe um antinodo de elongação na extremidade aberta do tubo. Contudo, o antinodo não se situa exactamente à altura da extremidade aberta mas um pouco acima (fig. 4). Este efeito resulta de o ar se poder mover livremente nessa extremidade e as vibrações se propagarem um pouco para além da mesma. A distância entre o nível de formação do antinodo e a extremidade do tubo tem o nome de correcção de extremidade, c. Embora exista esta correcção, a distância entre dois nodos (ou dois antinodos) é exactamente λ/2, sendo assim possível, através da medição das posições das colunas de ar para as quais houve ressonância, obter o comprimento de onda λ da onda sonora.

Deste modo, se a frequência da fonte de vibrações for conhecida e determinarmos experimentalmente o c.d.o. da onda sonora emitida pelo diapasão, é possível calcularmos a velocidade do som no ar, v, através de:

v = f λ, (3)

onde f é a frequência do diapasão.

Por sua vez, o valor da correcção de extremidade pode ser também estimado subtraindo a altura da coluna de ar (L), figura 4-a, ao valor λ/4, ou seja,

c L 4 − =

λ

. (4)

Definindo como Lc a posição do bordo do tubo no seu extremo aberto, a relação (4) pode

escrever-se: c 4 L L₁ − _c = λ − (5) Tubo de Ressonância

Neste trabalho prático, em vez de um tubo simples de vidro, fechado numa das extremidades, e de um diapasão a vibrar junto à sua extremidade aberta, usar-se-á um tubo de ressonância como o ilustrado na figura 5. Numa das extremidades do tubo está montado um altifalante, o qual, ligado a um gerador de ondas (ligação 1 na fig. 5-a)), emite as ondas sonoras que percorrerão o tubo. Esta extremidade corresponde, portanto, à extremidade aberta do tubo da figura 3.

O sinal do gerador de ondas pode ser caracterizado – a sua frequência e amplitude podem ser determinadas – com a ajuda de um osciloscópio, sendo necessário, para tal, introduzir o mesmo sinal de saída do gerador de ondas num dos canais de entrada do osciloscópio (ligação 2 da fig. 5-a)).

Dentro do tubo de ressonância existe um microfone. O microfone está montado sobre uma vareta de plástico que se pode deslocar dentro do tubo, permitindo estudar as características das ondas de pressão emitidas pelo altifalante e que se propagam dentro do tubo. O sinal recebido pelo microfone é introduzido noutro canal do osciloscópio (ligação 3 da fig. 5-a)), depois de ser um pouco amplificado, permitindo que os máximos de ressonância possam ser identificados.

corresponde, portanto, à extremidade fechada do tubo. Quando o pistão se move e o microfone detecta um novo máximo, a nova posição do pistão corresponderá a mais um antinodo da onda de pressão. Dentro do tubo existe uma escala métrica, permitindo medir posições, comprimentos e distâncias entre máximos de amplitude sonora.

a)

b)

Figura 5

a) Parte inicial do tubo e montagem; b) Parte final do tubo.

Tempo de trânsito de impulsos sonoros

A velocidade de propagação do som no ar pode ser também determinada medindo o tempo que a onda sonora leva a propagar-se num determinado comprimento, sendo a velocidade, como sabemos, a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto nesse percurso.

S (B) (A) R E t (B') (A') Figura 6

SINAL DE ENTRADA NO CANAL 1 do osciloscópio: A – representação de dois períodos de uma onda sonora aproximadamente quadrada; A’ – mesma onda seleccionando, na base de tempo do osciloscópio, uma velocidade de varrimento menor. SINAL DE ENTRADA NO CANAL 2 do osciloscópio (trigger feito pelo

sinal do canal 1): B – ecos dos impulsos representados em A, detectados pelo microfone; B’ – sinal expandido correspondente à parte S do sinal representado em B; t é o tempo que medeia entre a emissão do

sinal e a recepção do 1º eco.

Dependência com a temperatura da velocidade de propagação do som no ar

A velocidade do som no ar a 0 ºC é 331,5 ms-1, aumentando à medida que a temperatura

também aumenta. Quando a temperatura ambiente é de t ºC, a velocidade correspondente do som no ar é:

v(t) = 331,5 + 0,6t ms-1. (6)

2. Procedimento

Como preparação para o trabalho, aconselha-se a leitura das notas “Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas”, nomeadamente, das secções 1 a 5.1 e 6.

Material necessário: Tubo de ressonância (tubo de plástico munido de altifalante, microfone,

pistão e escala métrica); gerador de ondas; osciloscópio; cabos de ligação e terminais adequados; termómetro; craveira.

Parte I

Determinação da velocidade de propagação do som no ar medindo o c.d.o. a partir de ondas estacionárias

1. Anote a temperatura ambiente na zona onde se realiza a experiência. Utilizando a expressão (6) determine o valor da velocidade de propagação do som no ar a essa temperatura.

2. Anote o diâmetro interno do tubo de ressonância (usando uma craveira) e a posição Lc do bordo

da extremidade aberta do tubo (usando a escala métrica do tubo).

4. Seleccione, no gerador de ondas, uma onda de frequência aproximadamente 800 H_Z e aumente a amplitude até ouvir o altifalante. Meça o seu valor no osciloscópio e registe-o. Sugere-se a criação de duas Tabelas como as apresentadas a seguir.

ATENÇÃO - O som deve ser audível, mas não muito alto, para não danificar o altifalante. Aumentando a frequência, pode ser necessário reduzir a amplitude.

Tabela I.1 f (Hz) L_i (m) L_i – L₁ (m) λ (m) λ (m) v (ms-1₎ v σ ν ± (ms-1) ________ ________ ________ ________ xxxxxxxx ________ ________ ________ xxxxxxxx ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ xxxxxxxx ________ ________ ________ xxxxxxxx ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ xxxxxxxx ________ ________ ________ xxxxxxxx ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ xxxxxxxx ________ ________ ________ xxxxxxxx ________ ________ ________ Tabela I.2

Lc (posição do bordo da extremidade aberta do tubo) = ...

f (Hz) 1/f (s) L₁ (m) |L₁ – L_c| (m)

5. Desloque o pistão para uma posição próxima do altifalante. Desloque, lentamente, o pistão no tubo, de modo a obter a menor coluna de ar a que corresponda uma ressonância. Esta posição do pistão deve ser cuidadosamente ajustada e pode ser detectada por um aumento na intensidade do som ou pela produção de um sinal de amplitude máxima no ecrã do osciloscópio. Meça esta 1ª posição de ressonância, L1, na escala do tubo e registe o seu valor nas tabelas I.1 e I.2.

6. Continue a deslocar o pistão (aumentando a coluna de ar) até obter outra ressonância. Registe esta 2ª posição de ressonância, L₂ .

7. Continue a deslocar o pistão, caso seja possível, e anote a 3ª posição de ressonância, L3 e,

8. Calcule as diferenças |L₂ – L₁|, |L₃ – L₁| e, eventualmente, |L₄ – L₁| e os valores de λ obtidos através dessas diferenças. Determine o valor médio de λ e a velocidade do som correspondente. Registe todos os valores na Tabela I.1.

9. Repita o procedimento indicado seleccionando no gerador de ondas mais 3 frequências diferentes. Ajuste sempre a amplitude até ouvir no altifalante o som respectivo.

10. Calcule a média dos valores obtidos para a velocidade do som e respectivo erro (consulte a referência bibliográfica [5], secções 5.2.2 e 5.2.3) e compare-os com o valor determinado através da expressão (6). Comente os resultados.

11. Represente num gráfico, em papel milimétrico, os valores de 1/f em função de l, sendo c

L L

l = ₁− .

12. Trace a recta que melhor se ajusta aos pontos experimentais, “quer a olho” (tendo em conta que os desvios dos pontos experimentais que ficam acima e abaixo dessa recta devem compensar-se), quer através de um tratamento matemático rigoroso (consulte a referência

bibliográfica [5], secções 7 e 8). Sabendo que 1 4 4

f = v l + v c, determine, a partir do gráfico, os valores de v e de c. Compare v com os resultados anteriormente obtido. Comente.

Parte II

Determinação da velocidade de propagação do som no ar a partir da medição do tempo de propagação de impulsos sonoros

1. Desloque o pistão para o extremo do tubo, de modo a obter a maior coluna de ar possível. Seleccione, no gerador de ondas, uma onda quadrada com uma frequência de aproximadamente

10 H_Z e aumente a amplitude até ouvir o som no altifalante (semelhante a uma sucessão de

estalidos).

2. Manipule a base de tempo e a amplitude dos sinais de modo a obter no écran do osciloscópio, sinais semelhantes aos da figura 6-A e B. O trigger deve ser feito utilizando o sinal de output do gerador de ondas (canal 1).

3. Aumente a velocidade de varrimento do osciloscópio (time/divisão), manipulando a base de tempo, para observar os pormenores dos impulsos dos dois canais, tal como ilustrado na figura 6-A’ e B’.

4. Leia, no ecrã do osciloscópio, a distância d1 (em divisões) do impulso inicial ao primeiro eco (ver

figura 6-B’). Registe este valor numa tabela semelhante à Tabela II. Registe, também, a

velocidade de varrimento vvar (em s/divisão) do osciloscópio e a distância L do altifalante ao

pistão.

5. Calcule o tempo de propagação do impulso até ao aparecimento do eco e a velocidade do som, sabendo que

a) sendo vvar a velocidade de varrimento seleccionada no osciloscópio e d1 a distância medida no

1 vard

v t= ;

b) para cada comprimento da coluna de ar, L, a expressão para o cálculo da velocidade de propagação do som no ar é simplesmente

v L

t

= 2 .

Tabela II

L - comprimento da coluna de ar; vvar - velocidade de varrimento do osciloscópio; d1 – distância, medida no écran, entre o sinal emitido e o seu 1º eco; t - tempo que o impulso leva a percorrer o

comprimento 2L; v - velocidade de propagação do som no ar.

L (m) vvar (s/div) d1 (div) t(s) v (ms-1) ν ±σ_v (ms-1)

6. Desloque o pistão para uma nova posição. Note que o primeiro eco também se desloca. Nesta nova posição, volte a registar os valores de L, d1 e vvar.

7. Continue a deslocar o pistão até obter, pelo menos, cinco conjuntos de dados. 8. Determine o valor médio da velocidade de propagação do som e respectivo erro.

9. Comente o resultado obtido. Qual o método de determinação da velocidade de propagação do som no ar que lhe parece mais fiável? Justifique.

3. Relatório

Elabore um relatório do trabalho efectuado, no qual deve incluir, para além da identificação do trabalho e da equipa (nome, licenciatura, turma e grupo) que o realizou:

• o objectivo do trabalho (4 a 5 linhas);

• os resultados experimentais obtidos (organizados em tabelas e gráficos sempre que possível); • o tratamento matemático adequado desses resultados e a discussão/comentário dos mesmos; • as conclusões finais.

Bibliografia

[2] Jenkins F.A. & White H.E. - Fundamentals of Optics.

[3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999)

[4] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, Coimbra, Livraria Almedina (1993).

[5] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da FCTUC (2003/04).