TÓPICOS DE ÁLGEBRA LINEAR: SISTEMAS LINEARES. Paulo Agozzini Martin & Maria Lúcia Singer

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T ´ OPICOS DE ´ ALGEBRA LINEAR:

SISTEMAS LINEARES

Paulo Agozzini Martin

&

Maria L´ ucia Singer

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Sum´ ario

Cap´ıtulo 1. SISTEMAS LINEARES 5

1. Sistemas lineares 5

2. Sistemas equivalentes. 6

Cap´ıtulo 2. O M´ETODO DE GAUSS 13

1. Escalonamento 13

2. Sistemas homogêneos e sistemas não-homogêneos 16

Cap´ıtulo 3. MATRIZES 19

1. Opera¸c˜oes com sistemas lineares 19

2. Matrizes Invers´ıveis 24

Cap´ıtulo 4. DETERMINANTES 29

1. Motiva¸c˜ao 29

2. Defini¸c˜ao e propriedades 33

3. Determinantes e matrizes invers´ıveis 43

Cap´ıtulo 5. MATRIZES ELEMENTARES 49

1. Escalonamento revisitado 49

2. Matrizes elementares e determinantes 53

Cap´ıtulo 6. EXERC´ICIOS 55

1. Exerc´ıcios Propostos. 55

2. Respostas aos exerc´ıcios 65

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CAP´ıTULO 1

SISTEMAS LINEARES

1. Sistemas lineares

Neste cap´ıtulo vamos estudar ossistemas lineares, ou seja, sistemas dem equa¸c˜oes em n inc´ognitas, da forma

a¹¹x¹+· · ·+a¹nxn =b¹ a²¹x¹+· · ·+a²nxn =b² ...

am1x¹+· · ·+amnxn =bm

onde os coeficientes aij e os bj são números reais. Se algum dos bi for diferente de zero dizemos que o sistema é um sistema não-homogêneo; caso contrário, dizemos que é umsistema homogêneo. Uma solu¸cãodo sistema acima é um conjunto ordenado de n números reais u1, . . . , un, que, quando colocados respectivamente no lugar das incógnitas, verifi- cam as m identidades:

n

j=1

aijuj =bi, 1≤i≤m.

Denotaremos um conjunto ordenado de n n´umeros reais por (u¹, u², . . . , un),

e o chamaremos de uman-upla de números reais. O conjunto detodas as poss´ıveisn-uplas de números reais será denotado porRⁿ. Assim:

Rⁿ ={(u¹, . . . , un) : u¹, . . . , un ∈R}.

Nosso problema inicial consiste em saber se um dado sistema possui alguma solu¸cão e em encontrá-las todas, caso existam. Como não fizemos nenhuma restri¸cão aos inteirosmen, temos sistemas commais equa¸cões do que incógnitas, com menos equa¸cões do que incógnitas ou sistemas onde o números de equa¸cões é igual ao número de incógnitas.

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6 1. SISTEMAS LINEARES

Intuitivamente, um sistema com mais inc´ognitas do que equa¸c˜oes, como por exemplo:

2x¹+x²−x³ = 5,

tem uma infinidade de solu¸c˜oes. Nesse exemplo, podemos deixar livres x2 e x3, e determinar x1:

x¹ = 5−x²+x³

2 ,

de modo que as 3-uplas (5−u²+u³

2 , u², u³), u², u³ ∈R

são todas as solu¸cões. Podemos também deixar livres as variáveisx¹ e x³, de modo que as solu¸cões sejam representadas pelas 3-uplas:

(x¹,5 +x³−2x¹, x³).

Tamb´em intuitivamente percebemos que um sistema com mais equa-

¸cões do que incógnitas não tem muita chance de ter solu¸cão, por exemplo:

2x1+x2 = 2 3x1 = 1 3x² = 1

Note que se a primeira equa¸cão do sistema acima fosse 2x¹+x² = 1, então a 2-upla (1/3,1/3) seria solu¸cão!

Assim como a rela¸cão entre o número de equa¸cões e o número de incógnitas influencia na existência de solu¸cões, destacamos também um caso digno de considera¸cão: todo sistema homogêneo possui pelo menos uma solu¸cão, a saber (0,0, . . . ,0), chamada de solu¸cão trivial.

Vimos acima exemplos de sistemas com uma infinidade de solu¸cões, com uma única solu¸cão e com nenhuma solu¸cão. Veremos adiante que não existem outras possibilidades!

2. Sistemas equivalentes.

Uma primeira observa¸cão importante, embora muito simples, é a seguinte: dado um sistema linear, o seu conjunto solu¸cão pode ser igualmente determinado (ou descrito) por inúmeros outros sistemas de equa¸cões. Por exemplo o sistema:

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2. SISTEMAS EQUIVALENTES. 7

x1−x2 = 0 x¹+x² = 2

determina o conjunto solu¸cão S = {(1,1)}. Esse mesmo conjunto solu¸cão é determinado pelo sistema:

x¹−x² = 0 3x¹+x² = 4 ou pelo sistema

7x¹+x² = 8 3x1+x2 = 4.

Assim, podemos nos fazer uma pegunta: fixado um sistema, existem transforma¸cões que podemos realizar nele de modo a simplificar as suas equa¸cões e, ao mesmo tempo, não alterar o seu conjunto solu¸cão?

Vamos come¸car a responder essa quest˜ao por meio de um sistema simples

x¹+x²−2x³ = 1 3x¹−x²+x³ = 2 x¹−x²+ 3x³ = 4,

composto de três equa¸cões a três incógnitas. Denotaremos cada equa-

¸cão acima porEi(x¹, x², x³) =bi, (i= 1,2,3) ou, mais abreviadamente, Ei =bi. Apresentaremos a seguir três opera¸cões muito simples que não alteram o conjunto solu¸cão do sistema:

1. Permuta¸c˜ao. Trocar de lugar duas equa¸c˜oes do sistema:

E¹ = 1 E² = 2 E³ = 4

⇐⇒

E³ = 4 E² = 2 E¹ = 1

2. Multiplica¸cão. Substituir uma das equa¸cões por um múltiplo não nulo dela mesma:

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E¹ = 1 E² = 2 E³ = 4

⇐⇒

λ·E¹ =λ·1 E² = 2 E³ = 4 onde λ= 0.

3. Adi¸cão. Substituir a equa¸cão Ei = bi pela sua soma com um múltiplo de uma outra equa¸cão, ou seja Ei +µ·Ej = bi +µbj (onde j =i) também não alteramos o conjunto solu¸cão:

E¹ =b¹ E² =b² E³ =b³

⇐⇒

E¹+µ·E³ =b¹+µ·b³ E² =b²

E³ =b³

Cada uma das três opera¸cões acima é chamada deopera¸cão elementar. Veremos que, aplicadas em sequência, elas são extremamente úteis para simplificar as equa¸cões que descrevem um dado conjunto solu¸cão.

Dado um sistema linear, todo sistema obtido a partir dele, por meio de uma sequência finita de opera¸cões elementares, é dito um sistema equivalente ao sistema dado. Vimos acima que sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solu¸cão. Usualmente escrevemos

Ei =bi ∼ E_i^′ =b^′_i para denotar que os sistemas s˜ao equivalentes.

E muito fácil de se perceber que se o sistema´ E_i^′ = b^′_i pode ser obtido do sistema Ei = bi por meio de uma sequência de opera¸cões elementares, então Ei =bi também pode ser obtido do sistema E_i^′ =b^′_i por meio de uma sequência de opera¸cões elementares. Isso porque cada opera¸cão elementar pode ser desfeita ou invertida por outra opera¸cão elementar. De fato: consideremos o sistema S de equa¸cões

E¹(x¹, . . . , xn) = b¹ E²(x¹, . . . , xn) = b² E³(x¹, . . . , xn) = b³ ...

Em(x¹, . . . , xn) = bm

onde Ei(x¹, . . . , xn) = bj representa a i-ésima equa¸cão ai1x¹ +· · ·+ ainxn = bi do sistema S. Se S1 é o sistema obtido a partir de S

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2. SISTEMAS EQUIVALENTES. 9

permutando-se as linhas i e j, com i = j, então é claro que se per- mutarmos novamente as mesmas linhasi ej do sistema S¹, obteremos o sistema original S. Se S² é obtido de S multiplicando-se a i-ésima equa¸cão de S por λ = 0 então obteremos S multiplicando a i-ésima equa¸cão de S2 por µ = 1/λ. Se S3 é obtido de S substituindo-se a i-ésima equa¸cão de S, Ei =bi, por E_i^′ =b^′_i, onde E_i^′ =Ei+λEj (com j =i) e b^′_i =bi+λbj, então S³ fica:

E¹(x¹, . . . , xn) = b¹ E²(x¹, . . . , xn) = b² ...

E_i^′(x¹, . . . , xn) = b^′_i ...

Em(x¹, . . . , xn) = bm

e substituindo-se ai-ésima linha deS³ pela diferen¸ca entre ela eλvezes a j-ésima linha (que não se alterou) obteremos o sistema S.

Al´em disso, se o sistema S ´e obtido do sistema S^′ e o sistema S^′

é obtido do sistema S^′′ então S é obtido de S^′′. Isso mostra que se definirmos S ∼ S^′ como: S^′ é obtido de S por meio de opera¸cões elementares, então:

1)S ∼S

2)S ∼S^′ =⇒S^′ ∼S

3)S ∼S^′ & S^′ ∼S^′′ =⇒S ∼S^′′

As três propriedades acima caracterizam as chamadas rela¸cões de equivalência. Essa rela¸cão∼definida acima entre sistemas lineares par- ticiona o conjunto de todos os sistemas lineares em classes de sistemas equivalentes de tal modo que se S ∼S^′ então o conjunto solu¸cão de S e o conjunto solu¸cão de S^′ são iguais.

Vamos aplicar algumas opera¸c˜oes elementares no exemplo acima para simplificar as suas equa¸c˜oes, produzindo coeficientes nulos:

x1+x2−2x3 = 1 3x¹−x²+x³ = 2 x¹−x²+ 3x³ = 4

∼

x1+x2−2x3 = 1

−4x²+ 7x³ =−1 x¹−x²+ 3x³ = 4

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Acima trocamos a segunda equa¸c˜ao E² = 2 por E²−3E¹ = 2−3·1.

Podemos tamb´em trocar E³ = 4 por E³−E¹ = 4−1:

x¹+x²−2x³ = 1

−4x² + 7x³ =−1 x¹−x²+ 3x³ = 4

∼

x¹+x²−2x³ = 1

−4x²+ 7x³ =−1

−2x²+ 5x³ = 3 Finalmente, trocamosE³ = 3 por 2·E³−E² = 2·3−(−1):

x¹+x²−2x³ = 1

−4x² + 7x³ =−1

−2x² + 5x³ = 3

∼

x¹+x²−2x³ = 1

−4x²+ 7x³ =−1 3x³ = 7

e agora resolvemos recursivamente, de baixo para cima. O ´ultimo sistema tem uma forma particularmente simples e vamos cham´a-lo de sistema escalonado, pela sua forma de escada

x¹+x²−2x³ = 1

−4x2+ 7x3 =−1 3x3 = 7.

Embora essa forma j´a nos permita resolver o sistema, podemos con- tinuar simplificando as equa¸c˜oes, se assim o desejarmos: substituimos E³ = 7 por (1/3)E³ = (7/3) e obtemos

x¹+x² −2x³ = 1

−4x2+ 7x3 =−1 x³ = 7/3.

No lugar da segunda equa¸c˜ao E² = −1 colocamos E² −7E³ = −1− 7(7/3) e no lugar da primeira equa¸c˜ao E¹ = 1 colocamos E¹ + 2E³ = 1 + 2(7/3):

x1+x2 = 17/3

−4x² =−52/3 x³ = 7/3.

Multiplicando a segunda equa¸c˜ao por−1/4 e trocando a primeira equa-

¸c˜ao pela diferen¸ca das duas primeiras: