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Cálculo Numérico NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS Introdução

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Academic year: 2019

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1 Cálculo Numérico

NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS

Introdução

A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio da aplicação de métodos numéricos nem sempre fornece valores que se encaixam dentro de limites razoáveis. Esta afirmação é verdadeira mesmo quando se aplica um método adequado e os cálculos são efetuados de uma maneira correta.

Esta diferença é chamada de erro e é inerente ao processo, não podendo, em muitos dos casos, ser evitada.

Para facilitar a representação das fontes de erros, o processo de solução de um problema físico, por meio da aplicação de métodos numéricos, é representado abaixo de uma forma geral:

Problema Físico Modelo Matemático çã Solução

Erros na fase da modelagem

Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um modelo matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo matemático com o qual se possa trabalhar.

Exemplos:

a) Para o estudo do movimento de umcorpo sujeito a uma aceleração constante, tem-se a seguinte equação:

1 2

Onde:

s = distância percorrida s0 = distância inicial

v0 = velocidade inicial

t = tempo a = aceleração

Supondo que um engenheiro queira determinar a altura de um edifício e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronômetro e a fórmula, ele sobe então ao topo do edifício e mede o tempo que a bolinha gasta para tocar o solo, ou seja, 3 segundos.

Levando-se em consideração a fórmula, tem-se s = 44,1m.

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Provavelmente não, pois no modelo matemático não foram consideradas outras forças, por exemplo, a resistência do ar, a velocidade do vento, etc.

Além dessas, existe outros fatores que exercem influência: a precisão da leitura do cronômetro, por exemplo. Se o tempo fosse 3,5 segundos ao invés de 3 segundos, a altura do edifício seria 60m.

Erros na fase de resolução

a) Se pretendermos calcular a área de uma circunferência de raio 100m, utilizaríamos a

equação , onde:

A = área e r = raio;

Então:

• Se utilizarmos π = 3,14 , A = 31400

• Se utilizarmos π = 3,1416 , A = 31416

• Se utilizarmos π = 3,141592 , A = 31415,92

Como justificar as diferenças entre os resultados? Qual é o certo? É possível obter ‘exatamente’ o resultado desta área?

Para a resolução de modelos matemáticos, muitas vezes torna-se necessária a utilização de instrumentos de cálculo que necessitam, para seu funcionamento, que sejam feitas certas aproximações. Tais aproximações podem gerar erros.

b) Calcular, utilizando a calculadora e o computador, as seguintes somas:

! ∑%$&' #$,

• para: #$ = 0,11;

• para #$ = 0, 57

• para #$ = 0,23

Como justificar as diferenças entre os resultados? Qual é o certo?

Os erros ocorridos nos problemas acima dependem da representação dos números na máquina utilizada. A representação do número depende da base disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação.

O número , por exemplo, não pode ser representado através de um número finito de dígitos decimais, o que gera resultados diferentes dependendo da precisão dos valores. Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca será obtida exatamente, uma vez que é um número irracional.

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Além disso, um número pode ter a representação finita em uma base e não finita em outra. A base decimal é a que mais empregamos atualmente. Na antiguidade, foram utilizadas outras bases, como a base 12, a base 60. Um computador opera normalmente no sistema binário.

Observe o que acontece na interação entre o usuário e o computador: os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; toda esta informação é convertida para o sistema binário, e as operações todas serão efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e, finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo este processo de conversão é uma fonte de erros que afetam o resultado final do cálculo.

Sistemas de Numeração

O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam com base em dois numeros, com o que se dispõe das cifras: zero e um (0 e 1).

Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (ligado, desligado). Com efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um

agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term).

Sistema Octal é um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a representação de quantidade. No ocidente, estes símbolos são os algarismos arábicos: 0 1 2 3 4 5 6 7.

O octal foi muito utilizado em informática como uma alternativa mais compacta ao binário na programação em linguagem de máquina. Hoje, o sistema hexadecimal é mais utilizado como alternativa ao binário.

Sistema Vigesimal: O sistema de numeração maia adotado pela civilização pré-colombiana dos Maias é um sistema de numeração vigesimal, ou seja, tem base vinte. A origem desta base de contagem é o número de dedos somando os dedos das mãos e o dos pés.

O sistema sexagesimal é um sistema de numeração de base 60, criado pela antiga civilização Suméria. Uma possível razão para o aparecimento deste sistema de numeração poderá residir no elevado número de divisores de 60 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60).

Este sistema é utilizado nas medidas de ângulos (e de coordenadas geográficas angulares) e de tempo. A medida angular de um grau é dividida em 60 minutos de arco, e cada minuto de arco em 60 segundos de arco. Nas medidas usuais de tempo, uma hora é dividida em 60 minutos, e cada minuto em 60 segundos. Antigamente o segundo era dividido em 60 terceiros e assim por diante, mas hoje em dia, o segundo é dividido através de um sistema decimal.

O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. Baseia-se em uma numeração de posição, onde os dez algarismos indo-arábicos : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 servem a contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para a esquerda.

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O sistema base 10 competiu, para se tornar o sistema padrão, durante uma fase longa da história da humanidade com o sistema de numeração base 60, cujos resquícios ainda são vistos ainda hoje.

Base 2: {0, 1} Base 3: {0, 1, 2} Base 4: {0, 1, 2, 3} Base 5: {0, 1, 2, 3, 4} Base 6: {0, 1, 2, 3, 4, 5} Base 7: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Base 8: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Base 9: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Base (: {0, 1, 2, ..., ( ) 1}

Conversão de um número da base 10 para outra base:

Parte Inteira: Método das divisões sucessivas

a) Converter (127)10 para a base 2.

(127)10 = (1111111)2

b) Converter (475)10 para a base 4.

(475)10 = (13123)4

Parte Fracionária: Método das multiplicações sucessivas

a) Converter (0,25)10 para a base 2. 0,25 x 2 = 0,50

0,50 x 2 = 1,00 (0,25)10 = (0,01)2

b) Converter (0,4)10 para a base 5.

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5

c) Converter (0,6)10 para a base 2. 0,6 x 2 = 1,2

0,2 x 2 = 0,4 0,4 x 2 = 0,8 0,8 x 2 = 1,6

0,6 x 2 = 1,2 (igual 1ª linha) 0,2 x 2 = 0,4 (igual 2ª linha) 0,4 x 2 = 0,8 (igual 3ª linha) 0,8 x 2 = 1,6 (igual 4ª linha) 0,6 x 2 = 1,2 (igual 5ª linha) ...

(0,6)10 = (0,100110011...)2 ou (0, 1001,,,,,,,)2

Conversão de um número de uma base 10 para base 10 Conversão de um número escrito

a) (125)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 5 x 80

(125)8 = 64 + 16 + 5

(125)8 = (85)10

b) (564)7 = 5 x 72 + 6 x 71 + 4 x 70

(564)7 = 245 + 42 + 4

(564)7 = (291)10

c) (1213)4 = 1 x 43 + 2 x 42 + 1 x 41 + 3 x 40

(1213)4 = 64 + 32 + 4 + 3

(1213)4 = 103

d) (1010,10)2 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2

(1010,10)2 = 8 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0

(1010,10)2 = (10,5)10

e) (222,22)3 = 2 x 32 + 2 x 31 + 2 x 30 + 2 x 3-1 + 2 x 3-2

(222,22)3 = 18 + 6 + 2 + % +

-(222,22)3 = '. %

-(222,22)3 = %/0.0

-(222,22)3 = 1 /- 2

' (222,22)3 = 326, 8,6'

Exercícios

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6

2. Converta (112,23)4 para a base 2;

3. Converta (10111110)2 para a base 4;

4. Converta (11111)2 para a base 4;

5. Converta (101110,1011)2 para a base 4;

6. Converta (1751)8 para a base 2;

7. Converta (165,25)8 para a base 2;

8. Converta (11100)8 para a base 2;

9. Converta (1111,101)2 para a base 8;

10. Converta para o sistema decimal: a) (100110)2;

b) (11000101)2;

c) (10011,10011)2;

d) (153,3)8;

e) (2063)8;

f) (760,75)9;

g) (82,14)8;

11. Converta para o sistema binário os números abaixo: a) (0,125)10;

b) (123)10;

c) (243)8;

d) (761)8;

e) (42,25)8;

f) (3490)10;

Referências

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