Valores Proprios Vectores Proprios

Álgebra

g

 

Linear

 

e

Geometria

 

Analítica

Valores Próprios

Valores

 

Próprios

e

D fi i ã

Definição:

Seja

λ

um número real e

A

uma matriz

λ

quadrada n

×

n. Diz

‐

se que

λ

é um valor

próprio da matriz

A

se existir uma matriz

próprio da matri

A

se existir uma matri

coluna não nula

X

n×1

tal que

A X

λ

X

A

 

X

=

 

λ

X

À matriz coluna

X

chama

‐

se vector

E

l

Exemplo:

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

2

1

1

3

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

1

1

3

3

3

1

1

4

1

1

2

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

1

4

1

3

1

3

 

é

 

valor

 

próprio

Um vector próprio associado é

_⎢

⎡

1

_⎥

⎤

Um

 

vector

 

próprio

 

associado

 

é

 

_⎥

Como

 

determinar

 

os

 

valores

 

próprios

p p

 

e

 

os

 

vectores

 

próprios

 

de

 

uma

 

matriz?

0

0 ⇔ − =

= −

⇔

= X AX X AX IX

AX

λ

λ

λ

(

A

λ

I

)

X 0

c

(

A −

λ

I

)

X = 0

Este

 

sistema

 

homogéneo

 

tem

 

que

 

ser

 

Definições:

Definições:

(A ‐ λ I) – matriz característica de A

det (A ‐ λ I) – polinómio característico de A

det (A λ I)  polinómio característico de A

d t (A λ I) 0 ã t í ti d A

Como

 

determinar

 

os

 

valores

 

próprios

p p

 

e

 

os

 

vectores

 

próprios

 

de

 

uma

 

matriz?

(

_A

−

λ

_I

)

_X

=

0

(

)

Este

 

sistema

 

homogéneo

 

tem

 

que

 

ser

 

indeterminado

 

pois

 

queremos

 

X

≠

0

então

então

det (

A

‐

λ

I

) = 0

Como

 

determinar

 

os

 

valores

 

próprios

p p

 

e

 

os

 

vectores

 

próprios

 

de

 

uma

 

matriz?

(

_A

−

λ

_I

)

_X

=

0

(

)

det (

A

‐

λ

I

)

 

=

 

0

então

⎤

⎡

2

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

4

1

1

2

A

⎟

⎞

⎜

⎛

_⎡

2

1

_⎤

_⎡

1

0

_⎤

d

)

d (

λ

λ

⎦

⎣

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

−

1

0

4

1

det

)

det(

A

λ

I

λ

⎠

⎤

⎡

2

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

4

1

1

2

A

⎟

⎞

⎜

⎛

⎥

⎤

⎢

⎡

⎥

⎤

⎢

⎡

λ

λ

)

d t

2

1

1

0

d t(

A

I

⎦

⎣

=

⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

⎢

⎣−

⎥

⎦

−

⎢

⎣

⎥

⎦

=

−

λ

λ

1

0

4

1

det

)

det(

A

I

⎥

⎤

⎢

⎡ −

=

det

2

λ

1

_⎥

⎦

⎢

⎣

−

−

=

λ

4

⎤

⎡

2

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

4

1

1

2

A

⎟

⎞

⎜

⎛

⎥

⎤

⎢

⎡

⎥

⎤

⎢

⎡

2

1

1

0

d t

)

d t(

A

λ

I

λ

⎦

⎣

=

⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

⎢

⎣−

⎥

⎦

−

⎢

⎣

⎥

⎦

=

−

1

0

4

1

det

)

det(

A

λ

I

λ

(

)(

)

+

=

=

⎥

⎤

⎢

⎡ −

=

det

2

λ

1

_⎥

=

(

2

−

λ

)(

4

−

λ

)

+

1

=

⎦

⎢

⎣

−

−

=

2

4

1

4

1

det

λ

λ

⎤

⎡

2

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

4

1

1

2

A

0

1

1

2

det

)

det(

A

λ

I

_⎜⎜

⎛

_⎢

⎡

_⎥

⎤

λ

_⎢

⎡

_⎥

⎤

⎞

_⎟⎟

⎦

⎣

1

0

4

1

det

)

det(

_⎟⎟

=

⎠

⎜⎜

⎝

⎢

⎣−

⎥

⎦

−

⎢

⎣

⎥

⎦

=

−

λ

I

λ

A

(

2

)(

4

)

1

1

2

det

_⎢

⎡ −

_⎥

⎤

=

−

−

+

=

=

λ

(

2

λ

)(

4

λ

)

1

4

1

det

_⎥

=

+

=

⎦

⎢

⎣

−

−

=

λ

λ

λ

(

)

2

2

3

9

6

+

=

−

−

⎤

⎡

2

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

4

1

1

2

A

Os valores próprios de 

⎦

⎣

1

4

(

)

2

3

−

λ

são as raízes de 

3

=

⎤

⎡

2

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

4

1

1

2

A

Os valores próprios de 

⎦

⎣

1

4

(

)

2

3

−

λ

são as raízes de 

é a única raiz deste polinómio:

3

=

λ

_temé a única _{multiplicidade} raiz deste  ₂polinómio: 

Como

 

encontrar

 

o

 

vector

 

próprio

 

associado?

0 3 1

2

0 )

3 (

⎟ ⎞ ⎜

⎛_{⎡ ⎤ ⎡ ⎤} =

− I X A

0 3

0 0 3 4

1 1 2

= ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

Como

 

encontrar

 

o

 

vector

 

próprio

 

associado?

0 3

1 2

0 )

3 (

⎞ ⎛_{⎡ ⎤ ⎡ ⎤}

= − I X A

1

1 ⎤

⎡

0 3

0

0 3

4 1

1 2

= ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− X _{1 1} 0

1 1

= ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− −

X

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

b a

X _{⎥ Deve ser tal que – a + b = 0}

⎦ ⎢

O conjunto de todos os vectores

j

próprios associados ao mesmo valor

próprio é um subespaço vectorial que

se designa por subespaço próprio

No exemplo:

No

 

exemplo:

⎤

⎡

2

1

T l ó i λ 3

⎥

⎤

⎢

⎡

2

1

Tem um valor próprio λ = 3

Os valores próprios associados

⎥

⎦

⎢

⎣−

1

4

Os valores próprios associados 

têm que ser da forma

⎥ ⎤ ⎢ ⎡

= a

X

q

com    – a + b = 0

⎥ ⎦ ⎢ ⎣ =

b X

( )

{

,

2

:

}

3

=

a

b

∈

ℜ

a

=

b

=

E

( )

{

}

( )

:

,

∈

ℜ

=

=

a

a

a

( )

1

,

1

No exemplo:

No

 

exemplo:

( )

( )

1

,

1

3

=

E

di

1

Definição:

Definição:

Chama

‐

se

Teorema:

Teorema:

A

A

multiplicidade algébrica

multiplicidade

 

algébrica

d

l

ó i é

i

i

l à

de

 

um

 

valor

 

próprio

 

é

 

maior

 

ou

 

igual

 

à

 

sua

  

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎢

⎢ ⎢

⎣

− −

−

6 7

7

7 8

7

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎢

⎢ ⎢

⎣

− −

−

6 7

7

7 8

7

⎦ ⎣

⎥ ⎥ ⎤ ⎢

⎢ ⎡

− −

− −

−

λ λ

7 8

7

7 7

6

det

⎥ ⎥ ⎦ ⎢

⎢

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎢

⎢ ⎢

⎣

− −

−

6 7

7

7 8

7

⎦ ⎣

⎥ ⎤ ⎢

⎡ − ⎥

⎤ ⎢

⎡ −6 λ 7 7 6 λ 7 7

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎢

⎢ ⎢

⎣ −

− − −

− =

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎢

⎢ ⎢

⎣ −

− −

− −

λ λ

λ λ

λ

6 7

7

0 1

1 det

6 7

7

7 8

7 det

⎦ ⎣

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − 6 7 7 7 8 7 ⎦ ⎣ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎤ ⎢

⎡ −6 λ 7 7 6 λ 7 7

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − 6 7 7 7 8 7 ⎦ ⎣ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎤ ⎢

⎡ −6 λ 7 7 6 λ 7 7

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − − λ λ λ λ λ 6 7 7 0 1 1 det 6 7 7 7 8 7 det ( + )( ) _⎢⎡ −− _⎥⎤ = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − + ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ + λ λ λ λ λ 0 1 det 1 1 0 0 1 7 1 6

det ( )( )1 2 _⎥

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − 6 7 7 7 8 7 ⎦ ⎣ λ λ λ λ λ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − 0 1 1 7 7 6 d 7 8 7 7 7 6 d λ λ λ λ λ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − − 6 7 7 0 1 1 det 6 7 7 7 8 7 det

(

λ

)( )

λ

λ λ λ = ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ −− + = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − +

+ 1 0

det 1 1 0 0 1 7 1 6

det

(

)( )

1 2

(

)( ) (

(

)(

)

)

λ λ

λ

λ _⎥ =

⎦ ⎢ ⎣ − − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − − − 6 7 det 1 1 6 0 7 0 0 1 det

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − 6 7 7 7 8 7 ⎦ ⎣ λ λ λ λ λ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − 0 1 1 7 7 6 d t 7 8 7 7 7 6 d t λ λ λ λ λ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − − 6 7 7 0 1 1 det 6 7 7 7 8 7 det

(

λ

)( )

λ

λ λ λ = ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ −− − + = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − + −

+ 1 0

det 1 1 0 0 1 7 1 6

det

(

)( )

1 2

λ λ

λ

λ _⎥ =

⎦ ⎢ ⎣ − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢

⎣ − 7 6

det 1 1 6 0 7 0 0 1 det

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎢

⎢ ⎢

⎣

− −

− =

6 7

7

7 8

7

A

(

₁

+

λ

) (

2

₆

−

λ

)

⎦ ⎣

λ

= 6 é valor próprio de A com

λ

 

6

 

é

 

valor

 

próprio

 

de

 

A

 

com

 

multiplicidade

p

 

algébrica

g

 

1

λ

=

 ‐

1

 

é

 

valor

 

próprio

p p

 

de

 

A

 

com

 

Determinação dos subespaços próprios:

Determinação

 

dos

 

subespaços próprios:

⎥ ⎤ ⎢

⎡ −6 λ 7 7

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − − − λ λ 6 7 7 7 8 7

1

−

=

λ

( ) 0 0

0 7 7 7 7 7 7 3 2 1 2 1 = + + ⇒ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − =

− x x x x

x X I A λ 0 7 7

7 ₃ ⎥

⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ x

(

)

{

(

)

3

}

{

}

(

)

{

:

}

0 : , , 3 3 2 1 3 3 2 1 1 = − − = ℜ ∈ = = = + + ℜ ∈ = − x x x x x x x x x x x x E

(

)

{

}

(

)

{

, , : ,

}

: , , 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 1 = ℜ ∈ − − = = − − = ℜ ∈ = x x x x x x x x x x x x

(

−1,1,0

) (

, −1,0,1

)

Determinação dos subespaços próprios:

Determinação

 

dos

 

subespaços próprios:

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = 6 7 7 7 8 7

A

λ

=

6

⎦ ⎣

( ) 1 0 1 1 1 0

1 0 1 0 0 7 14 7 7 7 0 x x x x X I

A _⎥⎥ =

⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − ⇒ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = λ ( ) 3 2 3 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 7 7 7 14 7 x x x x X I A = ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⇒ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = −λ 3 2 3

1 x x x

x = ∧ = −

⇒

(

)

{

ℜ3

}

E

{

(

)

}

(

)

{

, ,

}

(

1, 1,1

)

: , , 3 3 3 3 3 2 3 1 3 3 2 1 6 − = ℜ ∈ − = = − = ∧ = ℜ ∈ = x x x x x x x x x x E

(

)

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢

⎢ ⎢ ⎣

− −

− =

6 7

7

7 8

7

A

(

1, 1,1

)

6 = −

E

(

1,1,0

) (

, 1,0,1

)

1 = − −

−

E ₁

(

) (

)

₆

(

)

(

−1,1,0

) (

, −1,0,1

) (

, 1,−1,1

)

(

)

( 11 0) b( 1 0 1) (1 11)

(

x, y, z

)

= a(−1,1,0) + b(−1,0,1) + c(1,−1,1)

⎧

+

+

⎧

a

b

+

c

x

a

x

2

y

z

⎪

⎨

⎧

−

−

=

+

+

=

⇔

⎪

⎨

⎧

=

−

=

+

−

−

y

x

b

z

y

x

a

y

c

a

x

c

b

a

2

⎪

⎩

⎨

+

+

=

−

−

=

⇔

⎪

⎩

⎨

=

+

=

−

z

y

x

c

y

x

b

z

c

b

y

c

a

⎩

+

+

Valores próprios e invertibilidade:

Valores

 

próprios

 

e

 

invertibilidade:

• Seja A uma matriz que tem o valor próprio 

λ = 0 então: λ  0 então:

det(A – 0 I) = 0 → det(A) = 0

Valores próprios e invertibilidade:

Valores

 

próprios

 

e

 

invertibilidade:

• Seja A uma matriz que tem o valor próprio 

λ = 0 então: λ  0 então:

det(A – 0 I) = 0 → det(A) = 0

Conclusão: a matriz não é invertível.

Diagonalização de matrizes

Diagonalização de

 

matrizes

Definição:

Uma matriz A diz‐se semelhante a

Definição:

Uma matriz A diz se semelhante a 

uma matriz B se existir uma matriz invertível P  tal que B = P‐1 _{A P}

tal que    B = P A P. 

Se A é semelhante a B então B é semelhante a A.  PBP‐1 _= PP‐1 _A PP‐1⇒ _PBP‐1 _=  A 

Definição:

Uma matriz A diz‐se diagonalizável 

se for semelhante a uma matriz diagonal isto é se for semelhante a uma matriz diagonal, isto é  se houver uma matriz diagonal D e uma matriz  invertível P tais que: D = P‐1 _{A P}

Teorema:

 

Duas

 

matrizes

 

semelhantes

 

têm

 

os

 

mesmos

 

valores

 

próprios

det(B ‐ λ I) = det(P‐1 _A P ‐ λ _I) =  

det(P‐1 _{A P} ‐ λ_P‐1 _{P ) =}

Teorema:

 

Duas

 

matrizes

 

semelhantes

 

têm

 

os

 

mesmos

 

valores

 

próprios

det(B ‐ λ I) = det(P‐1 _A P ‐ λ _I) =  

det(P‐1 _{A P} ‐ λ_P‐1 _{I P ) = det(P}‐1 _(A ‐ λ_{I ) P ) =}

Teorema:

 

Duas

 

matrizes

 

semelhantes

 

têm

 

os

 

mesmos

 

valores

 

próprios

det(B ‐ λ I) = det(P‐1 _A P ‐ λ _I) =  

det(P‐1 _{A P} ‐ λ_P‐1 _{P ) = det(P}‐1 _(A ‐ λ_{I) P ) =}

Teorema:

 

Duas

 

matrizes

 

semelhantes

 

têm

 

os

 

mesmos

 

valores

 

próprios

det(B ‐ λ I) = det(P‐1 _A P ‐ λ _I) =  

det(P‐1 _{A P} ‐ λ_P‐1 _{P ) = det(P}‐1 _(A ‐ λ_{I) P ) =}

det(P A P  λP P )   det(P (A   λI) P )  det(P‐1_{) det (A}  ‐ λ_{I) det(P) =}

Teorema:

 

Duas

 

matrizes

 

semelhantes

 

têm

 

os

 

mesmos

 

valores

 

próprios

det(B

 ‐

λ

I)

 

=

 

det(P

‐1

_A

 

_P

 ‐

λ

_I)

 

₌

  

det(P

‐1

_A

 

_P

 ‐

λ

_P

‐1

_{P )}

 

₌

 

_det(P

‐1

_(A

  ‐

λ

_{I) P )}

 

₌

det(P

‐1

₎

 

_{det (A}

  ‐

λ

_I)

 

_det(P)

 

₌

d t(P

1

_{) d t(P) d t (A}

λ

_I)

det(P

‐1

₎

 

_det(P)

 

_{det (A}

  ‐

λ

_I)

 

₌

Teorema:

 

A

 

matriz

 

A

‐1

_tem

 

_os

 

_valores

 

ó i

i

d

l

ó i

próprios

 

inversos

 

dos

 

valores

 

próprios

 

de A

de

 

A

Seja λ valor próprio de A. Então:

A X = λ X ⇒ A‐1 _{A X =} λ _A‐1 _X ⇒ _{X =} λ _A‐1 _X

A X = λ X ⇒ A 1 _A X = λ _A 1 _X  ⇒ _X = λ _A 1 _X 

Se A é invertível todos os valores próprios são  diferentes de 0

X = λ A‐1 _X   ⇒ _{X A X ou A X X}

λ λ

1

1 _{1 1}

=

= − −

Valores

 

próprios

 

de

 

uma

 

matriz

 

diagonal:

Os valores próprios de uma matriz diagonal  são os elementos da diagonal.g

EXEMPLO: ⎤

⎡ ⎡ −2 λ 0 0 ⎤

⎥ ⎥ ⎤ ⎢

⎢ ⎡

0 1

0

0 0

2

3 0

0

0 1

0 det

λ

λ =

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

−

⎥ ⎥ ⎦ ⎢

⎢

⎣0 0 3

) 3

)( 1

)( 2

(

3 0

0

λ λ

λ

λ

− −

− =

⎥⎦

⎢⎣ −

) )(

Teorema:

 

Uma

 

matriz

 

quadrada

q

 

de

 

ordem

 

n

 

é

 

semelhante

 

a

 

uma

 

matriz

 

di

l

ó

i ti

t i

diagonal

 

se

 

e

 

só

 

se

 

existir

 

uma

 

matriz

 

invertível P cujas colunas são vectores

invertível

 

P

 

cujas

 

colunas

 

são

 

vectores

 

próprios

 

da

 

matriz

D = P‐1 _{A P} ⇒ _{PD = AP}

D   P A P ⇒ PD   AP AP = [ AP₁ AP₂ . . . AP_n]

Teorema:

Sendo A uma matriz

Teorema:

Sendo A uma matriz

quadrada de ordem n, existe uma

matriz invertível cujas colunas são

ó

d

ó

vectores próprios de A se e só se a

soma das multiplicidades algébricas

soma das multiplicidades algébricas

dos valores próprios de A é n e as

dos valores próprios de A é n e as

multiplicidades

algébricas

e

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎤ ⎢

⎡−1 −1 1

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 1 2 1

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎤ ⎢

⎡−1 −1 1

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 1 2 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = 6 7 7 7 8 7 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = 1 1 0 1 0 1 P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = − 1 1 1 0 1 1 1 P ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡− − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = − 1 0 1 1 1 1 7 8 7 7 7 6 0 1 1 1 2 1 1 AP P ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − − = 1 1 0 1 0 1 6 7 7 7 8 7 1 1 1 0 1 1 AP P ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢

⎡ 1 2 1 1 1 6

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎤ ⎢

⎡−1 −1 1

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 1 2 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = 6 7 7 7 8 7 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = 1 1 0 1 0 1 P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = − 1 1 1 0 1 1 1 P ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡− − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = − 1 0 1 1 1 1 7 8 7 7 7 6 0 1 1 1 2 1 1 AP P ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − − = 1 1 0 1 0 1 6 7 7 7 8 7 1 1 1 0 1 1 AP P ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢

⎡ 1 2 1 1 1 6

⎥ ⎤ ⎢

⎡−1 0 0

Uma aplicação:

Uma

 

aplicação:

Calcular A32

A32    _{= A A A . . . A A A A}

32 vezes

A32    _{= (P}‐1 _{D P)} 32 _{= P}‐1 _{D P P}‐1 _{D P . . . P}‐1 _{D P =}

32 vezes

A  (P D P)  P D P P D P . . . P D P  P‐1 _D (P P‐1 _{)D P . . . P}‐1 _D (P P‐1 _)D P =

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎤ ⎢

⎡−1 −1 1

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 1 2 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = 6 7 7 7 8 7 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = 1 1 0 1 0 1 P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = − 1 1 1 0 1 1 1 P ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡− = − 0 1 0 0 0 1 1 AP

P

_P

−1

_AP

_D

⇒

_A

_PDP

−1

⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − = 6 0 0 0 1 0 AP

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎤ ⎢

⎡−1 −1 1

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 1 2 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = 6 7 7 7 8 7 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = 1 1 0 1 0 1 P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = − 1 1 1 0 1 1 1 P ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡− = − 0 1 0 0 0 1 1 AP

P

_P

−1

_AP

_D

⇒

_A

_PDP

−1

⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − = 6 0 0 0 1 0 AP

P

_P

_AP

=

_D

⇒

_A

=

_PDP

= ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − −

= 1 1 0

1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 7 8 7 7 7

6 32 32

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 6 7 7

⎥ ⎤ ⎢

⎡−1 −1 1

⎥ ⎤ ⎢

⎡ 1 2 1

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = 6 7 7 7 8 7 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = 1 1 0 1 0 1 P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = − 1 1 1 0 1 1 1 P ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡− = − 0 1 0 0 0 1 1 AP

P

_P

−1

_AP

_D

⇒

_A

_PDP

−1

⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − = 6 0 0 0 1 0 AP

P

_P

_AP

=

_D

⇒

_A

=

_PDP

= ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − −

= 1 1 0

1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 7 8 7 7 7

6 32 32

32 A ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− − ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 6 0 0 1 1 0 6 7 7 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 1 1 0 1 1 1 2 1 6 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 32 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

= ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − −

= 1 1 0

1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 7 8 7 7 7

6 32 32

32 A ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 6 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 6 7 7 7 8 7 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − −

= 1 1 0

1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢⎣ 0 1 1 0 0 632 1 1 1

⎤ ⎡ − + − +

⎤ ⎡

⎤

⎡− − 32 32 32 32

6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 32 32 32 32 32 32 32 32 6 6 1 6 1 6 1 6 2 6 1 6 1 6 1 6 1 1 1 0 1 1 1 2 1 6 1 0 6 0 1 6 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣− + − + ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

⎢⎣ 32 32 32 32