FP3 - Ex 3) Dada a equação

function y=f3(x) y = x.^3-5*x+1;

FP3 - Ex 3) Dada a equação     , verifique graficamente e com a ajuda do método da bissecção que as três raízes da equação estão perto de 2.35, 0.20 e 2.10.

>> fp3_ex3 (-2.5, 2.5)

Determinar as raízes de é equivalente a determinar os pontos que intersectam as funções e .

Podemos determinar o zero de uma função ou raiz da equação 0  utilizando a função fzero do MatLab.

Para programar a função f(x) podemos utilizar a função inline na linha de comandos ou criar e salvar a função num ficheiro externo.

>> f3 = inline(‘x.^3-5*x+1'); ou no ficheiro f3.m

>> fzero('f3', [0,0.5]) ([0, 0.5] é o intervalo onde vai ser determinado o zero) ans =

0.201639675723405

Como a função f(x) é um polinómio de grau 3 podemos alternativamente utilizar a função

roots para determinar as raízes de um polinómio.

>> roots([1 0 -5 1]) ([1 0 -5 1] representam os 4 coeficientes do polinómio de grau 3 , 5 1)

ans =

Determinar aproximações das raízes da equação linear x3 = 5x-1 usando o método da bissecção com erro absoluto inferior a ε = 10-5.

ƒ Para aproximar r1

∈

I1=[-2.5, -2]

>> y1 = f3(-2.5)

y1 = -2.12500000000000 >> y2 = f3(-2)

y2 = 3

Como f(-2.5) * f(-2) < 0 e f’(x)= 3 x2 _{– 5 > 0 ∀ x ∈ I}

1 então r1 é o único zero em I1.

Podemos usar o método da bissecção para determinar uma aproximação de r1 em I1.

>> bissec('f3', -2.5,-2, 10^-5, 20)

Após 16 iterações, obtemos

r1 ≈x16 = -2.3300552368164 com | e(x16) | < 0.7629394531 x 10-5 < ε = 1 x 10-5

Como | e(x16) | < 0.7629394531 x 10-5 < 0.5 x 10-4

esta aproximação da raiz r1 ∈ I1 tem pelo menos 4 casas decimais correctas.

r1 = - 2.330058739567982 (tomando como valor exacto o valor calculado com a função fzero)

x16 = -2.3300552368164

Podemos constatar que as 4 primeiras casas decimais da aproximação encontrada resultam de um arredondamento correctamente efectuado sobre r1.

(a quinta casa decimal da aproximação x16 se for obtida por um arredondamento correcto seria 6 e não 5).

ƒ

Para aproximar r

2

∈

I

2

=[0, 0.5]

>> y1 = f3(0)

y = 1 (valor da função f(x)=x3 – 5 x + 1) >> y2 = f3(0.5)

y = -1.37500000000000

Como f(0) * f(0.5) < 0 e f’(x)= 3 x2 _{– 5 < 0 ∀ x ∈ I}

2 então r2 é o único zero em I2.

Podemos usar o método da bissecção para determinar uma aproximação de r2 em I2.

>> bissec('f3', 0, 0.5, 10^-5, 20)

Após 16 iterações, obtemos

r2 ≈x16 = 0.20163726806641 com | e(x16) | < 0.7629394531 x 10-5 < ε = 1 x 10-5

Como | e(x16) | < 0.7629394531 x 10-5 < 0.5 x 10-4

Seja f(x) uma função contínua num intervalo I=[a , b].

(1) Se f(a) f(b) <0 então existe pelo menos um zero α em I

(2) Se f’(x) existir e preservar o sinal em ]a , b[, então α é o

r2 = 0.201639675723405 (calculado com a função fzero do MatLab) x16 = 0.20163726806641

Podemos constatar que as 4 primeiras casas decimais da aproximação encontrada resultam de um arredondamento correctamente efectuado sobre r2.

(a quinta casa decimal da aproximação x16 se for obtida por um arredondamento correcto seria 4 e não 3).

ƒ Para aproximar r3 ∈ I3=[2, 2.5]

>> y1 = f3(2) y = -1

>> y2 = f3(2.5) y = 4.125

Como f(2) * f(2.5) < 0 e f’(x)= 3 x2 _{– 5 > 0 ∀ x ∈ I}

3 então r3 é o único zero em I3.

Podemos usar o método da bissecção para determinar uma aproximação de r3 em I3.

>> bissec('f3', 2, 2.5, 10^-5,20)

Após 16 iterações, obtemos

r3 ≈x16 = 2.1284255981445 com | e(x16) | < 0.7629394531 x 10-5 < ε = 1 x 10-5

Como | e(x16) | < 0.7629394531 x 10-5 < 0.5 x 10-4

esta aproximação da raiz r3 ∈ I3 tem pelo menos 4 casas decimais correctas.

r3 = 2.1284190638446 (calculado com a função fzero do MatLab)

x16 = 2.1284255981445

2 3_{(5 1)}

3 5 )

( '

− =

x x

g

) 1 5 ( )

(_x =3 _x− g

a) Encontre, para cada raiz, uma função iteradora g que torne o método do ponto fixo convergente. Justifique.

Definição: Um ponto fixo de uma função g(x) é um número real α tal que α=g (α).

Podemos encontrar uma função g(x) tal que f(x) = 0 ⇔ x = g(x) (g(x) é chamada função iteradora )

I. Função iteradora para aproximar a única raiz de f(x) em I

1

= [-2.5, -2]

3 3

3

1

5

)

(

1

5

0

1

5

+

=

⇔

=

−

⇒

=

−

−

x

x

x

g

x

x

x

>> fp3_ex3_a_1(-2.5, -2)

Graficamente verifica-se que g(x) e g'(x) são contínuas em I1. Além disso: i) g(x) ⊂ I1=[-2.5, -2], ∀ x ∈ I1

ii) 0 < M = max |g’(x)| < 1

Como g’(x) é monótona crescente, então M= | g’(-2) | ≈ 0.337 Teorema: (condições de convergência do método de ponto fixo)

Seja α uma raiz da equação f(x) = 0, isolada num intervalo I=[a,b]. Seja g(x) ∈ C’(I) uma função iteradora para a equação f(x) = 0. se:

i)

g

(I) ⊂ I ( i.e.

g

(x) ∈ I, ∀x∈ I)

ii) 0 < M= max |

g

’(

x

)| < 1

x

∈ I

então

∀

x

0

∈

I

>> [y, y1]=f3_it_1(-2.5) y =

-2.3811 % g(x) y1 =

0.2940 % g’(x)

>> [y, y1]=f3_it_1(-2) y =

-2.2240 % g(x) y1 =

0.3370 % g’(x)

3 _{5 1}

)

(x = x−

g

Então, ∀ x0 ∈ I1 a fórmula de iteração definida por

x

k

=

3

5

x

k−1

−

1

,

k = 1, 2, … converge para a única raiz da equação f(x)=0 existente em I1=[-2.5, -2].

Podemos também verificar as condições de convergênciaanaliticamente:

3 _{5 1}

)

(x = x−

g ,

2 3 _{(5 1)}

3 5 )

( '

− =

x x

g , I1 = [-2.5, -2]

Podemos constatar pelas expressões de g(x) e g'(x) que ambas as funções são contínuas em I1=[-2.5, -2].

Verificando condições i) e ii):

i) g(x)

⊂

I1,

∀

x

∈

I1

Como g'(x) > 0 ∀ x ∈ I1 ⇒ g(x) é monótona crescente em I1

Por outro lado, g(-2.5) = -2.3811 e g(-2.0) = -2.2240

⇒ g(x) ⊂ I1 = [-2.5, -2] ∀ x ∈I1

ii) 0 < M = max |g’(x)| < 1

g'(x) monótona cresce em I1

( h(x) = (5x-1)2 _{é monótona decrescente em I}

1 (h’(x)= 50x -10 < 0 ∀ x ∈ I1) e

3 _{h(x)mantém o sinal, pelo que}

3 _{( )}

1

x h

resulta numa função monótona crescente)

Por outro lado, g'(-2.5) = 0.2940 e g'(-2.0) = 0.3370

⇒ 0 < M = max | g'(x) | = | g'(-2.0) | ≈ 0. 3370 < 1

⇒

∀

x

0

∈

I1

=[-2.5, -2]

a fórmula de iteração definida por

x

k

=

3

5

x

k−1

−

1

,

k = 1, 2, …

converge para a única raiz existente emI1.

II. Função iteradora para aproximar a única raiz de f(x) em I

2

= [0, 0.5]

>> fp3_ex3_a_1(0, 0.5)

2 3 _{(5 1)}

3 5 )

( '

− =

x x

2

5

3

)

(

'

x

x

g

=

Como g'(x) não é contínua em I2 (para x=0.2, g'(x) está indefinida) não podemos usar esta função iteradora em I2=[0, 0.5].

Temos que procurar uma outra função iteradora alternativa:

Graficamente verifica-se que g(x) e g'(x) são contínuas em I2. Além disso:

i) g(x) ⊂ I2=[0, 0.5], ∀ x ∈ I2 ii) 0 < M = max |g’(x)| < 1

Como g’(x) é monótona crescente, então M= |g’(0.5) | ≈ 0.15 Então, ∀ x0 ∈ I2 a fórmula de iteração definida por:

5

1

3

1

+

=

k−

k

x

x

_{, k = 1, 2, ….}

converge para a única raiz existente em I2=[0, 0.5].

5

1

)

(

5

1

0

1

5

3

3 3

+

=

⇒

+

=

⇔

=

+

−

x

x

g

x

x

x

III. Função iteradora para aproximar a única raiz de f(x) em I

3

= [2, 2.5]

>> fp3_ex3_a_2(2, 2.5)

5

1

)

(

3

₊

=

x

x

g

2

5

3

)

(

'

x

x

g

=

Não podemos considerar esta função de iteração pois g’(x)>1 ∀ x ∈I3.

Voltamos a considerar a 1ª função de iteração:

>> fp3_ex3_a_1(2, 2.5)

_g(x)=3 _5x−₁

2 3 _{(5 1)}

3 5 )

( '

− =

x x

g

Graficamente verifica-se que g(x) e g'(x) são contínuas em I3. Além disso: i) g(x) ⊂ I3, ∀ x ∈ I3

ii) 0 < M = max |g’(x)| < 1

>> [y, y1]=f3_it_1(2) y =

2.0801 % g(x) y1 =

0.3852 % g’(x)

>> [y, y1]=f3_it_1(2.5) y =

2.2572 y1 =

0.3271

Podemos também verificar as condições de convergênciaanaliticamente_:

3 _{5 1}

)

(x = x−

g ,

2 3 _{(5 1)}

3 5 )

( '

− =

x x

g , I3 = [2, 2.5]

Podemos constatar pelas expressões de g(x) e g'(x) que ambas as funções são contínuas em I3.

Verificando condições i) e ii):

i) g(x)

⊂

I3,

∀

x

∈

I3

Como g'(x) > 0 ∀ x ∈ I3 ⇒ g(x) é monótona crescente em I3.

Por outro lado, g(2) = 2.0801 e g(2.5) = 2.2572

⇒ g(x) ⊂ I3 = [2, 2.5] ∀ x ∈I3

ii) 0 < M = max |g’(x)| < 1

g'(x) monótona decresce em I

( h(x) = (5x-1)2 é monótona crescente em I3 (h’(x)= 50x -10 > 0 ∀ x ∈ I3)

e 3 _{h(x)mantém o sinal, pelo que}

3 _{( )}

1

x h

resulta numa função monótona decrescente)

Por outro lado, g'(2) = 0.3852 e g'(2.5) = 0.3271

⇒ 0 < M = max | g'(x) | = | g'(2.0) | ≈ 0. 385 < 1

⇒

∀

x

0

∈

I3 a fórmula de iteração definida por

x

k

=

3

5

x

k−1

−

1

,

k = 1, 2, … converge

b) Considerando x0=2.10, execute 10 iterações do método do ponto fixo

usando uma iteradora xk = g(xk-1) convergente, e diga, justificando qual a

ordem de convergência da sequência de iterações obtida.

Pretende-se aproximar a raiz r3∈ I3=[2, 2.5] da equação    5 1 pelo método do ponto

fixo

Aproximação Inicial: x0= 2.10

Fórmula Iteradora: 3

1

1

)

5

1

(

=

−

=

_{k− k−}

k

g

x

x

x

, k

= 1, 2, …

(na alinha anterior foi provada a convergência desta iteradora) Critério de Paragem: k_max = 10

k xk = g(xk-1) |f(xk)|

0 2.1 0.238999999999999

1 2.11791179212745 0.089558960637234

2 2.12454635469756 0.033172812850546

3 2.12699332396014 0.012234846312916

4 2.12789439916539 0.004505376026243

5 2.12822602012021 0.001658104774124

6 2.12834803992282 0.000610099013032

7 2.12839293354130 0.000224468092405

8 2.12840945035895 0.000082584088268

9 2.12841552699921 0.000030383201306

10 2.12841776262435 0.000011178125664  

r3 = 2.1284190638446 (calculado com a função fzero do MatLab)

r3 ≈x16 = 2.1284255981445 com |e(x16)| = |r3 - x16| < 0.8 x 10-5 < 0.5 x 10-4 (Bissecção) r3 ≈x10 = 2.1284177626243 com |e(x10)| = |r3 - x10| ≈ 0.1 x 10-5 < 0.5 x 10-5 (PontoFixo)

A aproximação de r3 encontrada pelo método do ponto fixo é melhor pois com menos iterações (10 vs. 16) foi determinada uma aproximação com pelo menos 5 casas decimais correctas

>> [y, y1]=f3_it_1(2.12841776262435)

y =

2.128418585120388 y1 =

0.367904131281848

IMPORTANTE:

ƒ O método do ponto fixo tem convergência linear se g’(α) ≠ 0

ƒ O método do ponto fixo tem convergência quadrática se g’(α) = 0, g’’(α) ≠ 0 Diga, justificando qual a ordem de convergência da sequência de iterações obtida.

Seja α o ponto fixo de _g(x)=3 _5x−_{1 em I}

3 = [2, 2.5].

Como g’(x) monótona decresce em I3

g'(2) = 0.3852, g'(2.5) = 0.3271 e por outro lado α∈ I3= [2, 2.5]

então | g’(α) | ≠ 0

⇒ a convergência é linear.

Assim, a sucessão {xk} gerada pela fórmula iterativa

x

k

=

3

5

x

k−1

−

1

,

k = 1, 2,… com

aproximação inicial x0 = 2.1 converge para α com ordem de convergência linear sendo a

razão de convergência C = |g’(α)|.

Considerando para raiz αo valor aproximado de x10 temos que

c = | g’(x10) | ≈ 0.3679

Isto quer dizer que quando

k

→

∞

:

e

k+1

≈

0.3679

×

e

k

c) Indique estimativas, a priori e a posteriori, para o erro absoluto da aproximação x7 obtida na alínea anterior.

ƒ 1 0

1

L

x

x

L

x

e

k

k

k

=

α

−

≤

₋

−

- estimativa

a priori

para |ek |

ƒ 1

1

−

−

−

≤

−

=

_{k k k}

k

x

x

L

L

x

e

α

_{- estimativa}

_{a posteriori}

_{para |ek |}

onde

max

_{[ ]}

|

'

(

)

|

,

g

x

L

b a x∈

Tem-se que: 1 1 0

1

1

L

x

x

L

x

x

L

L

x

k k k k

−

−

≤

−

−

≤

−

₋

α

Para _g(x)=3 _5x−_1,

2 3 _{(5 1)}

3 5 ) ( ' − = x x

g , I3 = [2, 2.5]:

ƒ

L

≈

0.3852 < 1

_{(o máximo de g’(x) se atinge quando x=2)}

ƒ | x1 – x0 | = | 2.11791179212745 - 2.1 | = 0.01791179212745

ƒ | x7 – x6 | = | 2.12839293354130 - 2.12834803992282 | = 0.44893618480036 x 10-4

então:

ƒ Estimativa a priori para |e7 | : 1 0 7

7

1

L

x

x

L

x

−

−

≤

−

α

≈ 0.36619 x 10-4

ƒ Estimativa a posteriori para |e7 | : 7 7 6

1

L

x

x

L

x

−

−

≤

−

α

≈ 0.28128 x 10-4

d) Indique um conjunto de comandos em MatLab que considerando x0=2.10, permita executar 10 iterações do método do ponto fixo usando a iteradora

(

)

5

1

,

1

,

2

,...,

3

1

1

=

−

=

=

g

x

−

x

−

k

x

_{k k k} .

para aproximar a raiz r3∈ I3=[2, 2.5] da equação    5 1.

Implementação em MatLab

• Implementação na Linha de Comandos

• Implementação construindo um programa (script) em Matlab

k xk = g(xk-1) |f(xk)|

0 2.1 0.238999999999999 1 2.11791179212745 0.089558960637234 2 2.12454635469756 0.033172812850546 3 2.12699332396014 0.012234846312916 4 2.12789439916539 0.004505376026243 5 2.12822602012021 0.001658104774124 6 2.12834803992282 0.000610099013032 7 2.12839293354130 0.000224468092405 8 2.12840945035895 0.000082584088268 9 2.12841552699921 0.000030383201306 10 2.12841776262435 0.000011178125664

  >> g=inline('(5*x-1).^(1/3)'); >> x0=2.1 >> x1=g(x0) x1 = 2.117911792127447 >> x2=g(x1) x2 = 2.124546354697556 >> x3=g(x2) x3 = 2.126993323960139 >> x4=g(x3) x4 = 2.127894399165388 >> x5=g(x4) x5 = 2.128226020120213 >> x6=g(x5) x6 =

2.128348039922820 >> x7=g(x6) x7 = 2.128392933541300 >> x8=g(x7) x8 = 2.128409450358953 >> x9=g(x8) x9 = 2.128415526999214 >> x10=g(x9) x10 = 2.128417762624346 g=inline('(5*x-1).^(1/3)'); x=2.1; for i=1:10 x=g(x); end

Ao executar o programa anterior obtemos

Para visualizar todas as aproximações, basta apenas enviar uma mensagem com o comando display após de ser calculada cada aproximação.

Ao executar o novo programa obtemos todas as aproximações com 8 casas decimais:

• Implementação utilizando a função pontofixo do pacote de rotinas de MN

Nota: para obter a raiz real de um número real negativo "x", em vez de executar: x.^(1/3) devemos utilizar sign(x).*abs(x.^(1/3)). A raiz retornada pelo operador ^ do MatLab é a raiz complexa com o menor ângulo de fase.

Após 10 iterações a aproximação encontrada é

x =

2.128417762624346

g=inline('(5*x-1).^(1/3)'); x=2.1;

for k=1:10 x=g(x);

display(['x(', num2str(k),')= ', num2str(x,8)]); end

display('Após 10 iterações a aproximação encontrada é'); x

x(1)= 2.1179118 x(2)= 2.1245464 x(3)= 2.1269933 x(4)= 2.1278944 x(5)= 2.128226 x(6)= 2.128348 x(7)= 2.1283929 x(8)= 2.1284095 x(9)= 2.1284155 x(10)= 2.1284178

Após 10 iterações a aproximação encontrada é x =

2.128417762624346

>> f=inline('x.^3-5*x+1');

>> g=inline('sign(5*x-1).*abs((5*x-1).^(1/3))');