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w<′′1 z<′′1 y<′′1 x,
z<′′2 w<′′2 y<′′2 x,
y<′′3x<′′3 z<′′3 w,
x<′′4 y< ′′ 4 z<
′′ 4 w.
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c({x, z}) = c({x, y, z}) ❛♥❞✱ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ x <1 z✳ ■❢ y ∈ c({x, y}) ❛♥❞ z ∈ c({y, z})✱ t❤❡♥ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡
y < x✱ z < y✱ x ∈ c({x, y}) ❛♥❞ y ∈ c({y, z})✳ ❇② t❤❡ tr❛♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ <✱ ✇❡ ❧❡❛r♥ t❤❛t z < x✳ ■❢ x /∈
c({x, y, z})✱ Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P ✐♠♣❧✐❡s t❤❛tc({x, y, z}) ={y, z}✳ ❇✉t t❤❡♥ ❈❡♥tr❛❧✐t② ♣❧✉sx∈c({x, y})✐♠♣❧✐❡s
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❇② Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P✱ y /∈c({x, y})✐♠♣❧✐❡s t❤❛t y /∈c({x, y, z})✳ ❇② t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢<1✱ z∈c({y, z})✐♠♣❧✐❡s
t❤❛t z < y ❛♥❞ y ∈ c({y, z})✳ ◆♦✇✱ ❜② Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P✱ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡ x ∈ c({x, y, z})✱ ✇❤✐❝❤✱ ❛❣❛✐♥ ❜②
Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P✱ ❣✐✈❡s ✉s t❤❛tx∈c({x, z})✳ ❲❡ ❝❛♥♥♦t ❤❛✈❡x<z❛♥❞ z∈c({x, y, z})✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ ❈❡♥tr❛❧✐t②
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✇♦✉❧❞ ✐♠♣❧② t❤❛t z ∈ c({x, y, z}) ✐❢ z ∈ c({x, z})✳ ❙✐♥❝❡ z /∈ c({x, y, z})✱ ✇❡ ❧❡❛r♥ t❤❛t z /∈ c({x, z})❛♥❞✱
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❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❧❛✐♠✿
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|A| ≤n❛♥❞ ✜①As✉❝❤ t❤❛t|A|=n+ 1❛♥❞x∈max(A,<1)✳ ■❢ t❤❡r❡ ✐sy∈A\ {x}s✉❝❤ t❤❛tx<y✱ t❤❡♥ t❤❡
❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ <1 ✐♠♣❧✐❡s t❤❛ty /∈c({x, y})❛♥❞✱ ❜② Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P✱c(A)⊆A\ {y}✳ ◆♦✇ Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P ❛♥❞
t❤❡ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✐♠♣❧② t❤❛tx∈c(A\ {y})⊆c(A)✳ ❚❤❡ ♦♥❧② r❡♠❛✐♥✐♥❣ ❝❛s❡ ✐s ✇❤❡♥y<x❢♦r ❡✈❡r② y∈A\ {x}✳ ▲❡tz∈A❜❡ s✉❝❤ t❤❛tz<w❢♦r ❡✈❡r②w∈A✳ ■❢c(A) ={z}✱ t❤❡♥ Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t
