FORMAS DE APRESENTAÇÃO DO MOVIMENTO MATEMÁTICO

(1)

(2)

4.° BIMESTRE - 2016 Contatos CED: [email protected] - [email protected] Telefones: 2976-2301 / 2976-2302 EDUARDO PAES

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO REGINA HELENA DINIZ BOMENY

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO JUREMA HOLPERIN

SUBSECRETARIA DE ENSINO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA CLOVIS DO NASCIMENTO LEAL DALTON DO NASCIMENTO BORBA ELABORAÇÃO

CLAUDIA ROSANIA NUNES DOS SANTOS VASCONCELLOS MOVIMENTOS MATEMÁTICOS

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA

SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO

FÁBIO DA SILVA JULIA LYS DE LISBOA

MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO

EDIGRÁFICA IMPRESSÃO

O “Movimento Matemático” é uma contribuição da Professora Regente Claudia Rosania Nunes dos Santos Vasconcellos, da Escola Municipal 08.33.016 Mário Casasanta.

Objetivo: facilitar o entendimento de determinado conceito.

Acesso: para ter acesso às páginas em que se encontra o Movimento Matemático, será necessário estar logado na sua conta do rioeduca.net

FORMAS DE APRESENTAÇÃO DO MOVIMENTO MATEMÁTICO I – On line

• Para o caderno do aluno, acessar o Portal Rioeduca (www.rioeduca.net), Recursos Pedagógicos, Material 3º ou 4º bimestres/ 2016.

• Para o caderno do Professor, acessar a intranet (http://sme) – Material Pedagógico 2016 – 3º ou 4º bimestres – Matemática.

• Ao apresentar o caderno no Datashow ou, apenas, no computador, ao clicar no Movimento Matemático, você deverá ser encaminhado à apresentação. Em seguida, clicando em qualquer parte da apresentação, ocorrerá (por meio de sucessivos cliques) o movimento na imagem.

II – Off line

Basta baixar o arquivo do caderno. Ao acessar a página, clique no Movimento Matemático. Você deverá ser redirecionado à página de

download. Após baixar e abri-la, clique, sucessivamente, permitindo,

assim, a apresentação do Movimento Matemático.

Para criar sua conta rioeduca.net, entre em contato com o Help Desk, através do telefone 4501-4018.

(3)

4.° BIMESTRE - 2016

3

1- Dada a reta numérica abaixo, a localização aproximada da

12

é

(A) A. (B) B. (C) C. (D) D.

2- Sabendo que estas duas figuras são semelhantes, podemos afirmar que o valor de x da figura maior é

(A) 6. (B) 11. (C) 12. (D) 14. 4 6 x 9

3- Observando o plano cartesiano, apresentado abaixo, podemos afirmar que o vértice E está localizado nas coordenadas

(A) (3, 2). (B) (2, 3). (C) (2, -2). (D) (-3, 2).

4- Um foguete é lançado sob um ângulo constante de 30º.

Depois de percorrer 20 km, a que altura se encontra o foguete? (A) 40 km. (B) 20 km. (C) 10 km. (D) 5 km. PÁGINA 3

(4)

4.° BIMESTRE - 2016

4

5- Observando o gráfico, podemos dizer que são as coordenadas do zero da função:

(A) (-2, 0). (B) (0, -2). (C) (0, 0). (D) (2, -2).

7- Qual dos gráficos representa a função definida por y = 2x + 4?

(A) (B)

(C) (D)

6- Um estacionamento cobra o valor de 20 reais para a primeira hora. As demais horas excedentes R$ 7,00. Desse modo, se o carro ficar estacionado, por 5 horas, será pago

(A) 20 reais. (B) 35 reais. (C) 48 reais. (D) 55 reais.

(5)

4.° BIMESTRE - 2016

5

1- Sabendo-se que cada quadradinho da malha quadriculada mede 1 cm², determine a área de cada figura:

a)

b)

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

ÁREA DO RETÂNGULO

Consideremos um retângulo com base de medida 7 cm e altura de medida 4 cm.

Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figura plana, concluímos que 28 quadrados de 1 cm de lado formam a área desse retângulo.

A = 7 cm ∙ 4 cm A = 28 cm² AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

Podemos concluir que a área de

qualquer retângulo é: base(b) x altura(h) ou

A = b . h

Vanderson, esta fórmula será utilizada, também, em outro quadrilátero. Eu sei, Laina. O paralelogramo também utiliza a mesma fórmula!!! PÁGINA 5

(6)

4.° BIMESTRE - 2016

6

ÁREA DO QUADRADO

O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados são congruentes.

Como todos os lados possuem medidas iguais, podemos dizer que a base é igual a

l

e a altura também igual a

l

.

ÁREA DO PARALELOGRAMO

Com as medidas da base e da altura do paralelogramo, podemos calcular a sua área:

1- Determine a área de cada figura: a) b) c)

AGORA, É COM VOCÊ

!!!

Observando o movimento, apresentado ao lado, podemos

concluir que a área de um paralelogramo é igual à área do

retângulo. Então: A = base(b) x altura(h) ou

A = b . h

5,1 cm Substituindo na fórmula A = b . h, temos: A =

l

.

l

=

l²

ou

A =

l²

PÁGINA 6

(7)

4.° BIMESTRE - 2016

7

ÁREA DO LOSANGO

ÁREA DO TRAPÉZIO

Observe, na movimentação, que, quando dobramos a área de um trapézio, obtemos o formato de um paralelogramo. Assim, a área do trapézio será a área do paralelogramo dividida por 2.

1- Determine a área de cada figura: a) b) c) AGORA, É COM VOCÊ

!!!

Base maior

A área de um losango será dada pela multiplicação de suas diagonais, dividindo o valor encontrado por 2.

(8)

4.° BIMESTRE - 2016

8

AGORA, É COM VOCÊ

!!!

1- Determine a área de cada figura: a) b) c)

ÁREA DO TRIÂNGULO

Vamos realizar juntos algumas atividades? 4 cm 6,5 cm Observe, de acordo com a movimentação, que, quando dobramos a

área do triângulo, obtemos o formato de um paralelogramo. Assim, a área do triângulo será a área do paralelogramo dividida por 2.

(9)

4.° BIMESTRE - 2016

9

3- Na Copa do Mundo de 2014, houve a compra de grama natural.

Sabendo que cada campo possui as dimensões de 110 m por 75 m, quantos metros quadrados de grama natural são necessários para cobri-lo?

2- João pretende fazer pipas.

Sabendo que as diagonais da pipa que ele pretende fazer, no formato de losango, medem 30 cm e 50 cm, quantos centímetros quadrados de papel serão necessários, no mínimo, para construir 10 pipas iguais a esta?

pix

ab

ay

.com

OBMEP – NÍVEL 2

Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão indicadas na figura dada. Qual é a área do retângulo ABCD?

(A) 80. (B) 84. (C) 86. (D) 88. (E) 91. 16 27 12 A B C D PÁGINA 9

(10)

4.° BIMESTRE - 2016

10

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

A circunferência é formada por todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado

centro da circunferência. ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA

CIRCUNFERÊNCIA

O = centro da circunferência r = raio d = diâmetro a = arco Se você observar, a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio! O diâmetro mede o dobro do valor do raio:

d = 2r

PÁGINA 10

(11)

4.° BIMESTRE - 2016

11

C é o comprimento da circunferência.

π é igual 3,14159... (usualmente consideramos π = 3,14)

r é o raio da circunferência.

COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Observe a praça:

A Prefeitura da cidade de Guaíba/RS pretende cercar a Praça Gastão Leão com grades. Para isso, precisa conhecer o comprimento de seu contorno. Para esse cálculo, utiliza-se a fórmula do comprimento da circunferência:

Onde:

C = 2

π

r

Exemplos:

1) A Praça Gastão Leão possui a forma de um círculo, cujo raio é de 18 metros. De quantos metros, aproximadamente, deverá ser o comprimento da grade que irá cercá-la?

(π = 3,14)

Resposta: A grade terá, aproximadamente, 113 m de comprimento.

2) Uma circunferência tem 31,4 cm de comprimento. Quanto mede seu raio?

Resposta: Seu raio mede 5 cm. Louise, será que

consigo medir o contorno dessa praça com meus

braços? C = 2π r C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 18 C = 113,04 m C = 2π r 31,4 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r 31,4 = 6,28r r = 31,4/6,28 r = 5 ht tp: //w w w .gaz et ac ent ro -s u l.co m. b r/

Claro que não, Breno! O contorno da praça é muito maior que o comprimento dos seus braços!!! PÁGINA 11

(12)

4.° BIMESTRE - 2016

12

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1- Calcule o comprimento de uma circunferência quando a) o raio mede 5 cm:

b) o raio mede 8 m:

c) o diâmetro mede 14 cm:

d) o diâmetro mede 30 m:

2- A atleta Andressa está em treinamento, dando voltas em torno de uma pista redonda. Sabendo que o raio dessa pista é de 60 m, quantos metros ela percorrerá em cada volta?

3) Bruno dará 10 voltas ao redor de uma praça circular que possui diâmetro de 24 m. Quantos metros, aproximadamente, ele percorrerá?

(13)

4.° BIMESTRE - 2016

13

O ginásio Gilberto Cardoso, mais conhecido como Maracanãzinho, recebeu o vôlei nas Olimpíadas de 2016.

ÁREA DO CÍRCULO

http :/ /www. rj. go v. br / Parece até um disco voador!!!

O telhado do Maracanãzinho lembra a forma de um círculo, desconsiderando a curvatura dele. Se precisassem reformá-lo e colocá-lo plano, necessitariam saber a área total. Para isso, utilizariam a fórmula:

Onde:

A =

π

r

²

A é a área do círculo.

π é igual 3,14159... (usualmente consideramos π = 3,14)

r é o raio do círculo.

Exemplo:

O raio do telhado do Maracanãzinho mede 60 metros. Qual a área desse telhado?

Resposta: A área do telhado é de, aproximadamente, 11 304 m². A = π r² A = 3,14 ⋅ 60² A = 3,14 ⋅ 3 600 A = 11 304 PÁGINA 13

(14)

4.° BIMESTRE - 2016

14

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1- Calcule a área de um círculo quando a) o raio mede 6 m.

b) o raio mede 7 cm.

c) o diâmetro mede 15 m.

d) o diâmetro mede 30 cm.

2- Quantos metros quadrados de cerâmica serão necessários para cobrir toda a área da Praça Brasil, localizada no centro da cidade de Volta Redonda/RJ, sabendo que ela possui 20 m de raio?

Pr aç a Br as il, é um do s m ar co s de V ol ta R edo nda ht tp: // re de gl obo .g lo bo .c om /r j/ tv rio sul PÁGINA 14

(15)

4.° BIMESTRE - 2016

15

FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2.º GRAU

Observe a figura:

A área total da figura (quadrado) é: x². A área do retângulo azul é: 3(x - 5).

Com essas informações, podemos determinar a área pintada de verde: x² - 3(x - 5), ou seja, x² - 3x + 15

Indicando essa área por y, teremos: y = x² - 3x + 15

A função definida por y = x² - 3x + 15 é um exemplo de função polinomial de 2.o_{grau (ou}

função quadrática).

Uma função polinomial de 2.º grau é toda função do tipo

ou

• a, b e c sendo números reais • a ≠ 0

• definida para todo x real.

y = ax² + bx + c

Observe os exemplos: a) y = 5x² - 7x + 3 sendo a = 5, b = - 7 e c = 3 b) y = - x² + 8 sendo a = - 1, b = 0 e c = 8 c) y = - 2x² - 6x sendo a = - 2, b = - 6 e c = 0

f(x) = ax² + bx + c

PÁGINA 15

(16)

4.° BIMESTRE - 2016

16

Para compreendermos melhor a função de 2.o_{grau, acompanhe o seguinte raciocínio:}

Observe a trajetória descrita pelo projétil lançado através da catapulta. Essa curva chama-se PARÁBOLA.

O gráfico de uma função de 2.º grau é dado por uma PARÁBOLA com concavidade voltada para cima ou para baixo.

A forma geral de uma equação de 2.º grau é ax² + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números reais e a deve ser diferente de zero. Uma função de 2.º grau respeita a sentença f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde x e y são pares ordenados pertencentes ao plano cartesiano e responsáveis pela construção da parábola.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU

Parece a curva que a bolinha de papel faz quando

arremessamos em direção à lixeira!!!

(17)

4.° BIMESTRE - 2016

17

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO DE 2.º GRAU

Para construir o gráfico de uma função de 2.º grau, devemos fazer o mesmo que na função de 1.º grau: ● Atribuímos valores para x e encontramos o correspondente em y.

● Localizamos esses pontos no plano cartesiano.

● Ligamos esses pontos por meio de uma linha curva denominada parábola. Exemplos:

A) Construindo o gráfico da função definida por y = x² - 4x + 3 y = x² - 4x + 3 y (x, y) Para x = -1 y = (-1)² - 4(-1) + 3 y = 1 + 4 + 3 y = 8 (-1, 8) Para x = 0 y = (0)² - 4(0) + 3 y = 0 + 0 + 3 y = ___ (0, ___) Para x = 1 y = (1)² - 4(1) + 3 y = ___ (___,___) Para x = 2 y = (2)² - 4(2) + 3 y = ___ (___,___) Para x = 3 y = (3)² - 4(3) + 3 y = ___ (___,___) Para x = 4 y = (4)² - 4(4) + 3 y = ___ (___,___) Para x = 5 y = (5)² - 4(5) + 3 y = ___ (___,___) y = x² - 4x + 3

O vértice da parábola de uma função de 2.° grau é o ponto máximo ou mínimo da curva (depende da concavidade). Encontra-se, exatamente, no lugar

em que a parábola faz a curva.

y = 1 - 4 + 3 y = 4 - 8 + 3 y = 9 - 12 + 3 y = 16 - 16 + 3 y = 25 - 20 + 3 Observe os pares ordenados (x, y) no plano cartesiano. A união deles formou a parábola. Vértice da parábola PÁGINA 17

(18)

4.° BIMESTRE - 2016

18

B) Construindo o gráfico da função definida por y = x² - 2x + 1 y = x² - 2x + 1 y (x, y) Para x = -1 y = (-1)² - 2(-1) + 1 _{y = 1 + 2 + 1} y = 4 (-1, 4) Para x = 0 y = (0)² - 2(0) + 1 _{y = 0 + 0 + 1} y = 1 (0, ___) Para x = 1 y = (1)² - 2(1) + 1 _{y = 1 - 2 + 1} y = 0 (1, ___) Para x = 2 y = (2)² - 2(2) + 1 _{y = 4 - 4 + 1} y = _____ (2, ___) Para x = 3 y = (3)² - 2(3) + 1 y = 9 - 6 + 1 y = _____ (___, ___) Complete a tabela. Observe os pares ordenados (x, y) no plano cartesiano. Ligando-os construiremos a parábola. As coordenadas do vértice da parábola são (1, 0). PÁGINA 18

(19)

4.° BIMESTRE - 2016

19

C) Construindo o gráfico da função definida por y = - x² + 6x - 8 y = - x² + 6x - 8 y (x, y) Para x = 0 y = - (0)² + 6(0) - 8 _{y = - 0 + 0 - 8} y = -8 (0, -8) Para x = 1 y = - (1)² + 6(1) - 8 y = - 1 + 6 - 8 y = -3 (1, -3) Para x = 2 y = - (2)² + 6(2) - 8 y = - 4 + 12 - 8 y = 0 (2, ___) Para x = 3 y = - (3)² + 6(3) - 8 _{y = - 9 + 18 - 8} y = 1 (3, ___) Para x = 4 y = - (4)² + 6 (4) - 8 _{y = - 16 + 24 - 8} y = _____ (4, ___) Para x = 5 y = - (5)² + 6 (5) - 8 _{y = - 25 + 30 - 8} y = _____ (___, ___) Para x = 6 y = - (6)² + 6 (6) - 8 y = - 36 + 36 - 8 y = _____ (___, ___) Complete os valores que estão faltando na

tabela.

As coordenadas do vértice da parábola

são (___, ___).

(20)

4.° BIMESTRE - 2016

20

D) Construindo o gráfico da função definida por: y = - x² + 2x - 2 y = - x² + 2x - 2 y (x, y) Para x = -1 y = - (-1)² + 2(-1) - 2 _{y = - 1 - 2 - 2} y = -5 (-1, -5) Para x = 0 y = - (0)² + 2(0) - 2 _{y = - 0 + 0 - 2} y = -2 (0, ___) Para x = 1 y = - (1)² + 2(1) - 2 _{y = - 1 + 2 - 2} y = _____ (1, ___) Para x = 2 y = - (2)² + 2(2) - 2 _{y = - 4 + 4 - 2} y = _____ (___, ___) Para x = 3 y = - (3)² + 2(3) - 2 y = - 9 + 6 - 2 y = _____ (___, ___) As coordenadas do vértice da parábola são (___, ___). Lembre-se de completar os valores que estão faltando

na tabela!

(21)

4.° BIMESTRE - 2016 21 x y = x² - 3 y (x, y) -2 y = (-2)² - 3 y = 4 - 3 1 (-2, 1) -1 0 1 2

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1) Complete a tabela:

2) Localize os pares ordenados da atividade anterior no plano cartesiano abaixo. Depois, trace a parábola:

(22)

4.° BIMESTRE - 2016 22 x y = - x² + 2x + 3 y (x, y) -1 y = - (-1)² + 2(-1) + 3 y = - 1 - 2 + 3 0 (-1, 0) 0 1 2 3

3) Complete a tabela: 4) Localize os pares ordenados da atividade anterior no

plano cartesiano abaixo. Depois, trace a parábola:

(23)

4.° BIMESTRE - 2016 23 x y = x² + 2x - 3 y (x, y) -3 y = (-3)² + 2(-3) - 3 y = 9 - 6 - 3 0 (-3, 0) -2 -1 0 1

(24)

4.° BIMESTRE - 2016 24 x y = x² - 4x + 4 y (x, y) 0 y = (0)² - 4(0) + 4 y = 0 - 0 + 4 4 (0, 4) 1 2 3 4

(25)

4.° BIMESTRE - 2016

25

CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

a) Quanto à concavidade da parábola:

● Se a > 0 ⇒ concavidade voltada para “cima”. ● Se a < 0 ⇒ concavidade voltada para “baixo”.

Adrielly, observe que, nas páginas 17 e 18, as parábolas

estão com a concavidade voltada para cima.

Percebi, Gabriela! Mas nas parábolas das páginas 19 e

20, a concavidade está voltada para baixo.

Para saber em que direção a concavidade está, basta olhar o sinal

do coeficiente de x². O valor de a!

(26)

4.° BIMESTRE - 2016

26

b) Quanto às coordenadas do vértice:

● Se a > 0 ⇒ o vértice é o ponto mínimo (ponto mais baixo). ● Se a < 0 ⇒ o vértice é o ponto máximo (ponto mais alto).

⇒ A abscissa (x) do vértice pode ser calculada pela seguinte fórmula:

⇒ A ordenada (y) do vértice pode ser calculada, substituindo-se o x encontrado na função dada. Observe este exemplo:

𝑥

_𝑣

=

−𝑏

_2𝑎

Determinar as coordenadas do vértice da função y = x² - 6x + 4

𝑥𝑣 = −𝑏_{2𝑎 =}− −6_{2 ∙ 1 =}6_{2 = ______}

𝑦𝑣 = ____ 2− 6 _____ + 4 = ____ − ____ + 4 = ______

V(3, -5)

Com isso, determinamos, exatamente, onde a parábola faz a curva. O vértice dessa parábola

está nas coordenadas (3, -5). Nesse gráfico, o mínimo é dado pelo menor valor na reta y. E, nesse outro, o máximo é dado pelo maior valor

na reta y.

(27)

4.° BIMESTRE - 2016

27

I. Se ∆ > 0 ⇒ a parábola “corta” o eixo x em dois pontos. II. Se ∆ = 0 ⇒ a parábola tangencia o eixo x em um ponto. III. Se ∆ < 0 ⇒ a parábola não “toca” no eixo x.

c) Quanto ao discriminante (∆ = b² - 4ac):

∆ < 0

A parábola não toca no eixo x

∆ = 0

A parábola “toca” o eixo x em um ponto

∆ > 0

A parábola corta o eixo x em dois pontos O discriminante (∆) é o mesmo que utilizamos na

fórmula de Bháskara (equação de 2.º grau).

I II III

(28)

4.° BIMESTRE - 2016

28

I

II

III

(29)

4.° BIMESTRE - 2016

29

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1) Sabendo que o gráfico de cada função é uma parábola, determine qual a concavidade de cada uma delas (para cima ou para baixo): a) y = x² + 7x + 6 ________________________ b) y = - 2x² + x - 3 ________________________ c) y = - x² + 5 ________________________ d) y = 3x² - 4x - 1 ________________________ e) y = x² + 9x - 7 ________________________

2) Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa cada uma das funções:

a) y = x² - 10x + 9

b) y = x² + 2x - 8

c) y = x² - 2x + 1

d) y = - x² + 9

(30)

4.° BIMESTRE - 2016

30

3) Determine o ponto mínimo ou o ponto máximo em cada um dos gráficos:

a) b)

_________________________ _______________________

c) d)

________________________ _______________________

4) Determine a existência e a quantidade de pontos em que a função intercepta o eixo das abscissas (eixo x):

a) y = x² - 7x + 6 b) y = 2x² + 5x + 3

c) y = x² - 6x + 10 d) y = x² + 14x + 49

(31)

4.° BIMESTRE - 2016

31

ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Os zeros de uma função quadrática são os valores de x para os quais y = 0 (os pontos que a parábola “corta” o eixo x).

Isso significa que, para achar os zeros de uma função quadrática, é só resolver a equação de 2.º grau. Vamos ler os exemplos:

Exemplo 1:

Determinar os zeros da função y = x² - 7x + 12: Solução:

Igualando a função a zero: x² - 7x + 12 = 0 a = 1 b = (-7) c = 12 𝑥 = −(−7) ± 1_{2 ∙ 1} =7 ± 1_{2 =}

Resposta: Os zeros da função y = x² - 7x + 12 são 3 e 4. ∆ = 𝑏2_{− 4𝑎𝑎} ∆ = (-7)² - 4⋅1⋅12 ∆ = 49 - 48 ∆ = 1 𝑥 =−𝑏 ± ∆_2𝑎 𝑥′₌ 7 + 1 2 = 8 2 = 4 𝑥′′ ₌7 − 1 2 = 6 2 = 3 Exemplo 2:

Determinar os zeros da função y = - x² + 6x - 9:

∆ = 6² - 4⋅(- 1)⋅(- 9) ∆ = 36 - 36

∆ = 0

Solução:

Igualando a função a zero: - x² + 6x - 9 = 0 a = (- 1)

b = 6 c = (- 9)

𝑥 = −6 ± 0_{2 ∙ (− 1) =}−6 ± 0_{−2 =}

Resposta: O zero da função y = - x² + 6x - 9 é 3. ∆ = 𝑏2_{− 4𝑎𝑎} 𝑥 =−𝑏 ± ∆_2𝑎 𝑥′₌ −6 + 0 −2 = −6 −2 = 3 𝑥′′ ₌−6 − 0 −2 = −6 −2 = 3 Igualando a função a zero, teremos a equação

de 2.º grau.

(32)

4.° BIMESTRE - 2016 32

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1) Sendo y = x² + 2x - 3, determine a) os zeros da função (y = 0): b) as coordenadas do vértice 𝑥_𝑣 = −𝑏 2𝑎 :

c) a concavidade da parábola está virada para cima ou para baixo?

d) esboce o gráfico:

(33)

4.° BIMESTRE - 2016 33 2) Sendo y = - x² + 4, determine a) os zeros da função (y = 0): b) as coordenadas do vértice 𝑥_𝑣 = −𝑏 2𝑎 :

(34)

4.° BIMESTRE - 2016 34 3) Sendo y = x² - 4x + 5, determine a) os zeros da função (y = 0): b) as coordenadas do vértice 𝑥_𝑣 = −𝑏 2𝑎 :

(35)

4.° BIMESTRE - 2016 35 4) Sendo y = x² - 2x + 1, determine: a) os zeros da função (y = 0): b) as coordenadas do vértice 𝑥_𝑣 = −𝑏 2𝑎 :

(36)

4.° BIMESTRE - 2016

36

1- Qual das funções abaixo é de 2.º grau? (A) y = x³ - 3x² + 5 (B) y = x - 3x + 5 (C) y = x² + 7x - 1 (D) y = - 4x + 9

2- A função y = ax² + bx + c terá a concavidade voltada para cima se:

(A) a = 0. (B) a for positivo.

(C) a for negativo. (D) a não for positivo.

3- A função definida por y = x² - 6x + 8 tem como zero(s):

(A) 6 e 8. (B) 1 e 9.

(C) 5. (D) 2 e 4.

4- O gráfico que representa uma função de 2.º grau é:

(A) (B)

(C) (D)

(37)

4.° BIMESTRE - 2016

37

5- Podemos afirmar que são os zeros da função

(A) -1 e 4 (B) -3 e 1

(C) 0 (D) -3

6- As coordenadas do vértice da parábola são

(A) (-1, -4) (B) (-3, 1)

(C) (0, -3) (D) (-3, 0)

Observe o gráfico e responda às questões 5, 6, 7 e 8. _{7- O valor do coeficiente de x² é}

(A) zero. (B) positivo.

(C) negativo. (D) irracional.

8- O valor de y quando x = 0 é

(A) -3. (B) 0.

(C) 3. (D) 5.

9- Dada a função f(x)= 3x2_{- 10x + 3, assinale a única}

opção verdadeira: (A) f(0)= -10.

(B) O gráfico é uma reta crescente.

(C) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

(D) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

(38)

4.° BIMESTRE - 2016

38

PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÃO DE 2.º GRAU

Exemplo:

O lucro (y), em reais, de uma pequena confecção de bonés é calculado através da função y = x² - 20x , sendo x o número de bonés produzidos.

a) Se a confecção produzir 35 bonés, quanto ela lucrará em reais?

b) Se a confecção produzir somente 10 bonés, como ficará a situação da confecção?

Solução: y = 35² - 20∙35 y = 1 225 - 700 y = 525

Resposta: Lucrará 525 reais.

c) Quantos bonés terá que produzir para ter um lucro de 1 500 reais?

Solução: y = 10² - 20∙10 y = 100 - 200 y = -100

Resposta: Terá um prejuízo de 100 reais.

Solução: x² - 20x = 1 500 x² - 20x – 1 500 = 0 a = 1 b = (-20) c = (-1 500) ∆ = (-20)² - 4 1 (-1 500) ∆ = 400 + 6 000 ∆ = 6 400 𝒙 = − −𝟐𝟐 ± 𝟔 𝟒𝟐𝟐_{𝟐 ∙ 𝟏} 𝒙 = 𝟐𝟐 ± 𝟖𝟐_𝟐 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 + 𝟖𝟐_𝟐 = 𝟓𝟐 𝒙𝒙 =𝟐𝟐 − 𝟖𝟐_𝟐 = −𝟑𝟐 O resultado -30 não serve porque

não poderemos produzir um número negativo

de bonés.

Resposta: Terá que produzir 50 bonés.

(39)

4.° BIMESTRE - 2016

39

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1- Uma bola, lançada para cima, a partir do solo, tem sua altura h (em metros) expressa em função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela lei:

h(t) = 40t - 5t2

a) Qual a altura em que a bola se encontra, um segundo após o lançamento?

b) Qual a altura máxima atingida pela bola?

3- Depois de estudar o comportamento de uma bola, arremessada para o alto e para a frente, um pesquisador elaborou a seguinte lei para seu movimento:

y = - 2x2_{+ 8x em que y é a altura e x, o alcance horizontal.}

Observe o gráfico que descreve a trajetória da bola:

Determine:

a) a maior distância horizontal alcançada pela bola: _______

b) a altura máxima atingida pela bola: _______

http://brainly.com.br/

2- Um golfinho realiza um salto, percorrendo uma trajetória descrita por h(t) = – t² + 4t, em que h é a altura, em metros, dada em função do tempo t, em segundos. Determine a altura máxima atingida pelo golfinho.

pi x abay .c om PÁGINA 39

(40)

4.° BIMESTRE - 2016

40

Porcentagem é a razão centesimal representada por % (por cento). Observe: cem - cento - centesimal Exemplo: a) 10 100 = 10% b) 15 100 = 15% c) 25 100 = 25%

PORCENTAGEM

Essa forma de representação (10%, 15%, 25%...) chama-se taxa percentual.

Exemplos: 1) Calcular 20% de 500. 20% 𝑑𝑑 500 = 20 100 𝑑𝑑 500 = 500 ∙ 20 ÷ 100 = 100 Resposta: 100. 2) Calcular 12% de 1 100. 12% 𝑑𝑑 1 100 = 12 100 𝑑𝑑 1 100 = 1 100 ∙ 12 ÷ 100 = 132 Resposta: 132. x ÷ x ÷

3) 15% de uma quantia é 90 reais. Qual é essa quantia?

15% 𝑑𝑑 ? = 90 15 100 𝑑𝑑 ? = 90 90 ∙ 100 ÷ 15 = 600 Resposta: 600 reais. x ÷ PÁGINA 40

(41)

4.° BIMESTRE - 2016

41

2- A turma de Débora possui 40 alunos e 15% faltaram à aula hoje. Qual a quantidade de alunos faltosos neste dia?

3- Um produto que custa 600 reais foi vendido com um desconto de 12%. Qual foi o valor do desconto?

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1- Determine: a) 40% de 70: b) 7% de 300: c) 25% de 640: d) 15% de 1200: PÁGINA 41

(42)

4.° BIMESTRE - 2016

42

6- Nas compras com cartão de crédito, as lojas pagam às operadoras 5% do valor da nota. Quanto uma loja pagará se a compra for de 840 reais?

7- A produção mensal de uma fábrica aumentou em 20%, o que corresponde a 360 peças a mais. Quantas peças eram produzidas anteriormente?

4- Comprei um carro por 20 mil reais. Depois, o vendi com um acréscimo de 7%. Por quanto vendi o carro?

5- Uma conta de R$ 350,00 tem um acréscimo de 10% se for paga com atraso. Qual o novo valor se for paga com atraso?

(43)

4.° BIMESTRE - 2016 43

JURO

Nos jornais e revistas, encontramos, muitas vezes, informações sobre juros.

JURO SIMPLES

O juro é simples quando a taxa é definida, tendo, como base, o valor inicial emprestado, sem a incidência de juros sobre juros.

JURO COMPOSTO

Já o sistema de juro composto consiste na definição do percentual da taxa de juros de acordo com cada período, sendo este novo valor adicionado ao valor inicial, para que seja feito um novo cálculo no período seguinte.

Em outras palavras, os juros compostos são juros sobre juros.

Esse é o regime de juros mais comum no sistema financeiro. Portanto, é utilizado para os cálculos de situações cotidianas.

Exemplo: Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi realizado para quitação, em 2 meses, a uma taxa de 10% ao mês, no sistema de juros compostos. Observe:

Mês R$ 1.000,00

1 1 000.10% + 1 000 = 1 100

2 1 100.10% + 1 100 = 1 210 Pagamento realizado _{após dois meses.}

PÁGINA 43

Definição

Juro ou juros (termo mais usado) é o rendimento que se obtém quando uma instituição financeira empresta dinheiro por um determinado período.

Por outro lado, quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a crédito, geralmente terá que pagar um acréscimo pela utilização do dinheiro ou pelo parcelamento da totalidade do valor do bem. A esse acréscimo também dá-se o nome de juro.

(44)

4.° BIMESTRE - 2016

44

AGORA,

É COM VOCÊ

!!!

1- As tabelas, apresentadas a seguir, apresentam os valores

obtidos por conta de um empréstimo de R$ 1.500,00, a partir de março.

a) Qual o valor emprestado, inicialmente, na tabela 1? _______________________________________________

b) Qual o valor do juro mensal na tabela 1?

_______________________________________________

c) Qual o valor total dos juros até o mês de julho na tabela 1? _______________________________________________

d) Qual o valor emprestado, inicialmente, na tabela 2? _______________________________________________

e) Qual o valor total dos juros, até o mês de julho, na tabela 2? _______________________________________________

f) Qual é a tabela que cobrou o maior juro até o mês de julho? _______________________________________________

g) Com base no que você observou, complete as frases com as expressões simples ou compostos:

Na tabela 1, incidem juros _______________.

Na tabela 2, incidem juros _______________.

Valor (R$) Tempo 1.500,00 Março 1.575,00 Abril 1.650,00 Maio 1.725,00 Junho 1.800,00 Julho Valor (R$) Tempo 1.500,00 Março 1.575,00 Abril 1.653,75 Maio 1.736,44 Junho 1.823,26 Julho PÁGINA 44

(45)

4.° BIMESTRE - 2016

45

2- Leia a propaganda:

a) Qual o valor, à vista, dessa casa?

_______________________________________________

b) Qual o valor a ser pago de entrada, se essa casa for comprada parceladamente?

_______________________________________________

c) Qual o valor total pago nas 60 parcelas?

_______________________________________________ d) Após pagar todas as parcelas e a entrada, qual o valor total pago pela casa?

_______________________________________________ pi x abay .c om

3- O banco emprestou R$ 2.000,00, com juros simples de 5% ao mês, para Vânia. Observe as anotações de Vânia:

a) Qual o valor dos juros cobrados, por mês, pelo banco? _______________________________________________

b) Em quanto estará a dívida de Vânia ao final de 10 meses? _______________________________________________ Valor emprestado R$ 2.000,00 1.º mês R$ 2.100,00 2.º mês R$ 2.200,00 3.º mês R$ 2.300,00 . . . . . . 10.º mês ? R$ 70.000,00 à vista ou entrada de 50% e saldo em 60 parcelas mensais com taxa

de 1% ao mês, no sistema de juros simples.

(46)

4.° BIMESTRE - 2016

46

1- Na reta, apresentada a seguir, a letra que melhor representa a localização aproximada de 31 é:

(A) A. (B) B.

(C) C. (D) D.

2- A única sentença que representa uma função de 2.º grau é: (A) y = 2x – 7 (B) y = 2(3x – 4)

(C) y = x³ – 3x² + 5x (D) y = 5x² – 3x + 4

3- O lucro (y), em reais, de uma pequena confecção é calculado através da função y = x² – 15x, sendo x o número de peças produzidas. Se a confecção produzir 40 peças de roupa, arrecadará, de lucro,

(A) 800 reais. (B) 1 000 reais. (C) 1 600 reais. (D) 2 400 reais.

4- A função de 2.º grau, definida por y = x² + 3x – 4, tem, como zeros da função,

(A) -4 e 1. (B) -4 e 3.

(C) 1 e 3. (D) 3.

5- A Professora Penha escreveu, no quadro, a seguinte função: f(x) = x² - 16

Na construção do gráfico, o vértice ficou localizado no seguinte par ordenado:

(A) (8, 0). (B) (1, 6).

(C) (0, -16). (D) (-3, 3).

6- A função representada pelo gráfico apresentado a seguir, possui: (A) ∆ > 0 e a > 0. (B) ∆ < 0 e a > 0. (C) ∆ = 0 e a = 0. (D) ∆ = 0 e a < 0. PÁGINA 46

(47)

4.° BIMESTRE - 2016

47

7- O gráfico que melhor representa a função y = x² - 9 é:

(A) (B)

(C) (D)

8- Para colocar piso numa sala, no formato retangular, com 6 m de comprimento e 3,5 m de largura, serão necessários

(A) 30 m² de piso. (B) 21 m² de piso. (C) 9,5 m² de piso. (D) 2,5 m² de piso.

9- O comprimento de uma circunferência com 10 cm de raio é, em cm,

(A) 3,14. (B) 13,14.

(C) 31,4. (D) 62,8.

10- A circunferência, apresentada abaixo, possui raio de 7,5 cm. Com essa informação, podemos afirmar que o segmento

AB

mede, em cm,

(A) 7,5. (B) 15.

(C) 20. (D) 75.

11- Diego aplicou, na poupança, 7 mil reais, a uma taxa de 2% ao mês, por 10 meses. Quanto ele recebeu de juros simples?

(A) 14 reais. (B) 140 reais. (C) 1 400 reais. (D) 14 000 reais.

12- Quais os juros simples produzidos por empréstimo de 5 mil reais, durante 3 anos, a uma taxa de 15% ao ano?

(A) R$ 2.250,00. (B) R$ 3.000,00. (C) R$ 5.550,00. (D) R$ 10.000,00. A B π = 3,14 PÁGINA 47

(48)