CAPÍTULO V. Em um corpo que está submetido a um sistema de forças ativas e reativas, isto é, que está em equilíbrio ocorre:

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Resistência dos Materiais E – DECivil . PUCRS- Profas: Sílvia Baptista Kalil / Maria Regina Leggerini

CAPÍTULO V

I. INTRODUÇÃO

Em um corpo que está submetido a um sistema de forças ativas e reativas , isto é, que está em equilíbrio ocorre:

1. Um fenômeno geométrico que é a mudança da sua forma original: Isto é deformação.

2. Um fenômeno mecânico que é a difusão dos esforços para as diversas partes do corpo: Isto é tensão.

É claro que podemos entender que a capacidade que um material tem de resistir as solicitações que lhe são impostas é limitada, isto é, pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for excessivo, portanto é necessário conhecer esta capacidade para que possamos projetar com segurança.

II. TENSÕES

Suponhamos um corpo carregado e em equilíbrio estático. Se cortarmos este corpo por uma seção qualquer "S" ao separarmos as partes cortadas podemos observar as forças distribuídas que atuam na seção do corte e equilibram cada uma das partes da barra. Estas forças distribuídas são as tensões. Os esforços solicitantes são obtidos pela redução das tensões no centro de gravidade da seção transversal onde atuam .

ρ

Sejam:∆ A → elemento de área ∆ F → elemento de força

ρ

= tensão atuante em um ponto ou tensão resultante em um ponto ou graficamente: ρ = → lim ∆ ∆ ∆ A F A dF 0 = dA S

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Como a tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço segundo 3 direções ortogonais que queiramos, e, portanto escolheremos como referência de costume 2 direções contidas pelo plano da seção de referência "S" (x,y) e a terceira perpendicular à este plano (n).

Isto nos permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias:

- Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (ττττ) - contidas pela seção de referência

- Tensão Normal (σσσσ) - perpendicular à seção de referência III. TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL- TENSÃO NORMAL

Seja uma barra prismática de eixo longitudinal reto e seção transversal constante de área A. Quando sob ação de duas forças iguais e opostas,

coincidentes com o seu eixo (lugar geométrico de todas as seções transversais) originam-se esforços no seu interior. Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da seção de corte é necessária para manter o equilíbrio.Por meio deste artifício (corte) os esforços internos

transformaram-se em externos e o seu cálculo se fez aplicando-se uma equação de equilíbrio.

Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua(A), ficando a tensão definida pela expressão:

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sendo:

N → Esforço Normal desenvolvido A→ Área da seção transversal

Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualização simplificada como:

Σ_{Fy = 0}∴ Q = 0

Σ_{Ms = 0}∴ M = 0

Σ_{Fx = 0}∴ N - F = 0

Deformação específica longitudinal (εεεε)

Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica longitudinal que é a relação que existe entre a deformação

σσσσ = N

A

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medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão.

Seja:

li → comprimento inicial da barra lf → comprimento final da barra

∆l →deformação total

∆_{l = l f - l i}

Observe que no exemplo dado ∆ l > 0 portanto ε> 0 (alongamento) Poderíamos mostrar um outro exemplo onde ∆ l < 0 conseqüentemente ε < 0

(encurtamento) Neste exemplo ∆ l 0 portanto

ε

0 b. sinal:

(+) - alongamento→ Corresponde à uma tensão de tração que também será positiva (-) - encurtamento → Corresponde à uma tensão de compressão que também será negativa

c. Unidade:

- adimensional quando tomarmos para ∆_{l a mesma unidade que para li}

-Taxa milésima (o/oo) - Nestes casos medimos ∆_{l em mm e li em m(metros).}

IV. CISALHAMENTO CONVENCIONAL - TENSÕES TANGENCIAIS (

ττττ

)

Consideremos inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entre si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo.A largura destas chapas é representada por "l" e a ligação está sujeita à uma carga de tração "P".

_{εεεε = ∆∆∆∆l}

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Considerando-se o método das seções, se cortarmos a estrutura por uma seção "S", perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seção de pino cortada devem ser desenvolvidos esforços que equilibrem o sistema isolado pelo corte. Então:

Isolando:

Aplicando as equações de equilíbrio: Σ_{Fx = 0} Q - P = 0 ∴ Σ_{MS = 0} M - P.t/2 =0 ∴ M = P . t 2

Vimos então que as solicitações que se desenvolvem na seção de corte do pino são de Momento Fletor e Esforço Cortante, com os valores acima calculados.

Podemos, nestes casos, fazer uma aproximação, desprezando o efeito do momento fletor em presença do efeito do esforço cortante.

Isto facilitaria o desenvolvimento matemático do problema, mas teóricamente não é exato pois sabemos que momento e cortante são grandezas interligadas: Q dM

dx

====

Em casos de ligações de peças de pequena espessura, como normalmente aparecem em ligações rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta solução simplificada nos leva a resultados práticos bastante bons, e então adotaremos nestes casos, o cisalhamento aproximado, também chamado de cisalhamento convencional.

Conceito: O cisalhamento convencional é uma aproximação do cisalhamento real,

onde o efeito do momento é desprezado.

Como teríamos apenas uma área sujeita à uma força contida em seu plano e passando pelo seu centro de gravidade, para o cálculo das tensões desenvolvidas adotaríamos a da distribuição uniforme, dividindo o valor da força atuante pela área de atuação da mesma, área esta denominada de ÁREA RESISTENTE, que deveria então ser o objeto da nossa análise.

A distribuição uniforme nos diz que em cada ponto desta área a tensão tangencial teria o mesmo valor dada por:

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ττττ = Q

_A

_resist

A lei exata da distribuição de tensões deve ser posteriormente estudada para os outros casos em que o cisalhamento convencional não é adotado.

Distorção Específica ( γγγγ )

Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.

Vamos supor um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces. Para melhor visualizarmos a deformação vamos considerar fixa a face compreendida pelas arestas A e B.

tg DD DB = CC'

CA

γγγγ ==== '

Como em estruturas trabalharemos sempre no campo das pequenas deformações e então γ<<< 1 rad, então arco e tangente se confundem :

CC' CA γγγγ ≅≅≅≅ ==== DD DB ' a. Conceito:

Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva, medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o ângulo reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento.

b. Unidade:

As observações quanto a unidade da distorção seguem as da deformação específica longitudinal: adimensional ou taxa milésima, ressalvando-se que quando adimensional representa um arco expresso em radianos.

IV. LEI DE HOOKE

Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos corpos em regime elástico.

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Resistência dos Materiais E – DECivil . PUCRS- Profas: Sílvia Baptista Kalil / Maria Regina Leggerini "As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas conseqüentes são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material."

Expressões analíticas:

σσσσ

εεεε ==== E(mod. de elasticidade longitudinal) ττττ

γγγγ ==== G(mod.de elasticidade transversal)

Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são determinados experimentalmente.

VI.LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL)-εεεε_t

Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem nas direções perpendiculares a da aplicação da tensão normal.

Conceito:

Deformação específica transversal é a relação entre a deformação apresentada e o seu comprimento respectivo, ambos medidos em direção perpendicular à da tensão.

εεεε_t D

D

==== ∆∆∆∆

Os estudos de Poisson sobre a deformação transversal nos levam as seguintes conclusões:

1. ε e ε_{t tem sempre sinais contrários}

2. As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em um mesmo material

εεεε

εεεεt ==== −−−−µµµµ

O coeficiente de Poisson é a terceira constante elástica de um material, também determinada experimentalmente.

3. Em uma mesma seção a deformação específica transversal é constante para qualquer direção perpendicular ao eixo.

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Resistência dos Materiais E – DECivil . PUCRS- Profas: Sílvia Baptista Kalil / Maria Regina Leggerini ∆∆∆∆a ∆∆∆∆ a b b t cons te ==== ====εεεε ==== tan

4. As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão: G==== E

++++

2 1( µµµµ)

VII. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em laboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova.O ensaio de tração axial é o que discreveremos a seguir.Ele consiste em submeter-se uma barra de aço a duas forças axiais iguais e opostas nas extremidades da barra Com a realização destes ensaios podemos separar os materiais em dois grupos

Materiais dúcteis : são aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura.

Materiais Frágeis: são materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a ruptura.

1. Dúctil com escoamento real:

Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados através de um diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ).

No caso de material dúctil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo:

reta AB - Indica a proporcionalidade entre

σ x ε , portanto o período em que o material trabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis.

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σ_{p - Tensão de proporcionalidade}

Representa o limite do regime elástico.

curva BC - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis.

σ_{e - Tensão de escoamento}

Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a deformação que ele apresenta.

trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas no material , ficando o mesmo invalidado para a função resistente.

curva DE - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais.

σ_{R - Tensão de ruptura}

2. Dúctil com escoamento convencional

Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento. Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona em 2 o/oo este limite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO.

B. MATERIAIS FRÁGEIS

São materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a ruptura. O diagrama σ x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke.

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σσσσ_{T = Limite de ruptura a tração} σσσσ_{C = Limite ruptura a compressão}

Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração.

VIII. ANÁLISE PLÁSTICA E ANÁLISE ELÁSTICA

O dimensionamento das estruturas pode ser realizado no domínio elástico do material ou no domínio plástico. Atualmente a maioria das normas construtivas permitem que os elementos estruturais sofram deformações plásticas objetivando economia de material.

Por outro lado, até não muito tempo atrás, todas as normas construtivas

trabalhavam com os materiais no domínio elástico.A análise elástica é ainda usada para uma aproximação inicial das dimensões necessárias as estruturas. Na análise

elástica, as propriedades mecânicas relativas a resistência, permitem que se fixe

uma tensão admissível do material, que nada mais são do que as tensões de escoamento dividida por um coeficiente se segurança nos materiais dúcteis e a tensão de ruptura dividida por um coeficiente de seguranças nos materiais frágeis.

EXERCÍCIOS :

1. Uma barra de latão de seção circular de diâmetro 3 cm está tracionada com uma força axial de 50 kN. Determinar a diminuição de seu diâmetro. São dados do material o módulo de elasticidade longitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3.

R: 5,89 . 10-4 cm

2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta uma força axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e ν = 0,3 , qual a variação unitária do seu volume ?

R: 0,000133

3. Suponha a barra do problema anterior submetida à uma força axial de tração. Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica longitudinal 0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33, pergunta-se qual o volume final desta barra?

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4. Uma barra de alumínio de seção circular de diâmetro 1. 1/4" está sujeita à uma força de tração de 5.000 kgf. Determine:

a. Tensão normal (a) 651,89 kgf/cm2 b. Deformação específica longitudinal (b) 0,000815 c. Alongamento em 8" (c) 0,163 mm d. Variação do diâmetro (d) - 0,006 mm e. Variação da área da seção (e) ≅ -0,3 mm2

f. Variação de volume em um comprimento de 200 mm (f)≅ 65 mm3

Admita-se E = 0,8 . 106 kgf/cm2 ν = 0,25 1" = 25 mm

5. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50 mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a força aplicada é de 100 kN e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padrão de 300 mm.O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal.

R: ν = 0,33 E =0,7 . 104 kN/cm2

6. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.Determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar lateralmente, e despresa-se o peso próprio das barras.

Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2 OBS : medidas em cm

R : P ≅ 1.900 kN

7. A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira por intermédio de uma arruela de diâmetro interno 25 mm e de diâmetro externo "d". Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35

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MPa e que a tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder 5MPa, calcule o diâmetro "d" necessário para a arruela.

R: 6,32 cm

8. Aplica-se à extremidade C da barra de aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eaço é de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diâmetro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm.

R: 21,8 mm

9. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumínio com módulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diâmetro da parte BC é de 28 mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento não pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tensão de escoamento admissível para o alumínio é de 16,5 kN/cm2.

R: P ≅ 84 kN

10. O fio de aço CD de 2 mm de diâmetro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E.

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R: x = 10 cm

11. Uma barra de aço tem seção transversal de 10 cm2 e está solicitada pelas forças axiais indicadas. Determinar as tensões desenvolvidas nos diversos trechos da barra.

R: trecho 1 : 1.000 kgf/cm2 trecho 2 : 700 kgf/cm2

trecho 3 : 900 kgf/cm2

12. Uma barra de aço colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quando suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do aço:

E = 2,1 . 104 kN/cm2 γ = 80 kN/m3

R: 0,004763 mm

13.Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 2 metros de largura de corte e 450 kN de capacidade. Determinar as espessuras máximas de corte em toda a largura para as chapas :

a. Aço (τ = 220 MPa ) R: (a) 0.10 cm b. Cobre (τ = 130 MPa ) (b) 0.17 cm c. Alumínio (τ = 70 MPa) (c) 0.32 cm

14.As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P' se na solda usada a tensão admissível ao cisalhamento é de 8 kN/cm2. Determine também o menor trespasse possível adotando-se todas as possibilidades de solda.

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R: P ≤ 356.16 kN g ≥ 14 cm

15.Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A força "P" igual à 37.50 kN. Admita a distribuição de tensões de cisalhamento uniforme. Qual o valor destas tensões nos planos a-a' e b-b'.

R: 1.528 Kgf/cm2

16.De acôrdo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior (1) deslize sobre a inferior (2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tensão desenvolvida no plano de contato entre as duas peças?

R: 4,71 kN/cm2

1. O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diametro, em uma chapa deste aço com 3/8" de espessura.

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17.Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm, usado para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tensão de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a" indicado, para que a ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por tração é de 10,4 kN.