aula 04

Convergência Absoluta

Luciana Borges Goecking

Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas maio - 2013

Definição

Uma série alternada é uma série cujos termos são alternada-mente positivos e negativos.

Exemplos: 1 _{1 −} 1 2 + 1 3− 1 4+ 1 5 − · · · = ∞ X n=1 (−1)n−1 n . 2 −1 2+ 2 4 − 3 8 + 4 16− · · · = ∞ X n=1 (−1)n n 2n.

Definição

Uma série alternada é uma série cujos termos são alternada-mente positivos e negativos.

Exemplos: 1 _{1 −} 1 2 + 1 3− 1 4+ 1 5 − · · · = ∞ X n=1 (−1)n−1 n . 2 −1 2+ 2 4 − 3 8 + 4 16− · · · = ∞ X n=1 (−1)n n 2n.

Teste da Série Alternada

Exemplo

1 _{Verifique se a série harmônica alternada}

∞ X n=1 (−1)n n =1 − 1 2 + 1 3− 1 4 + · · · é convergente.

2 _{Verifique a convergência da série}

∞

X

n=1

(−1)n3n 4n − 1 .

3 _{Verifique a convergência da série}

∞ X n=1 (−1)n+1 n 2 n3₊₁.

Exemplo

1 _{Verifique se a série harmônica alternada}

∞ X n=1 (−1)n n =1 − 1 2 + 1 3− 1 4 + · · · é convergente.

2 _{Verifique a convergência da série}

∞ X n=1

(−1)n3n 4n − 1 .

3 _{Verifique a convergência da série}

∞ X n=1 (−1)n+1 n 2 n3₊₁.

Exemplo

1 _{Verifique se a série harmônica alternada}

∞ X n=1 (−1)n n =1 − 1 2 + 1 3− 1 4 + · · · é convergente.

2 _{Verifique a convergência da série}

∞ X n=1

(−1)n3n 4n − 1 .

3 _{Verifique a convergência da série}

∞ X n=1 (−1)n+1 n 2 n3₊₁.

Definição Uma sérieXané ditaabsolutamente convergente se a série de valores absolutosX|an| for convergente. Exemplo 1) A série ∞ X n=1 (−1)n−1 n2 é absolutamente convergente.

Teorema Se uma sérieXanfor absolutamente convergente,

Definição Uma sérieXané ditaabsolutamente convergente se a série de valores absolutosX|an| for convergente. Exemplo 1) A série ∞ X n=1 (−1)n−1 n2 é absolutamente convergente.

Teorema Se uma sérieXanfor absolutamente convergente,

Definição Uma sérieXané ditaabsolutamente convergente se a série de valores absolutosX|an| for convergente. Exemplo 1) A série ∞ X n=1 (−1)n−1 n2 é absolutamente convergente.

Teorema Se uma sérieXanfor absolutamente convergente,

O Teste da Razão

b) se limn→∞     an+1 an     = ρ >1 ou se a série é limn→∞     an+1 an    

= ∞então a sérieXan é divergente.

c) se limn→∞     an+1 an     =1 o teste é inconclusivo.

O Teste da Razão

b) se limn→∞     an+1 an     = ρ >1 ou se a série é limn→∞     an+1 an    

= ∞então a sérieXan é divergente.

c) se limn→∞     an+1 an     =1 o teste é inconclusivo.

O Teste da Razão

b) se limn→∞     an+1 an     = ρ >1 ou se a série é limn→∞     an+1 an    

= ∞então a sérieXan é divergente.

c) se limn→∞     an+1 an     =1 o teste é inconclusivo.

Exemplo Investigue a convergência das séries a seguir. a)X(−1)nn 3 3n b)X2 n₊₅ 3n c)X(2n)! n!n! d)X4 n_n!n! (2n)!

O Teste da Raiz

a) Se limn→∞_{p|an| = ρ < 1, então}n X_{ané absolutamente}

convergente (e, portanto, convergente).

b) Se limn→∞p|an n| = ρ > 1, ou Se limn→∞p|an n| = ∞, então X

ané divergente.

Exemplos

Quais das séries a seguir convergem e quais divergem

1 ∞ X n=2 n (ln n)n (C) 2 Xn 2 2n (C) 3 ∞ X n=1 n10 10n (C) 4 X2 n n2 (D) 5 X 2n + 3 3n + 2 n (C)

Convergência Condicional

Uma sérieXané chamadacondicionalmente convergente

se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.

Exemplo: A série harmônica alternada.

Exemplo: ∞ X n=2 (−1)n ln n

Convergência Condicional

Uma sérieXané chamadacondicionalmente convergente

se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.

Exemplo: A série harmônica alternada.

Exemplo: ∞ X n=2 (−1)n ln n

Convergência Condicional

Uma sérieXané chamadacondicionalmente convergente

se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.

Exemplo: A série harmônica alternada.

Exemplo: ∞ X n=2 (−1)n ln n

Série de Potências

Uma série de potências é uma série da forma ∞

X n=0

cnxn =c0+c1x + c2x2+c3x3+ ... onde x é uma variável e c_n0s são constantes chamadas

coeficientes da série.

Para cada x fixado, podemos testar a série de potências quanto à convergência ou divergência.

Exemplo Tomando cn=1 para todo n, a série de potências se torna a série geométrica

∞ X n=0

xn=1 + x + x2+x3+ ... +xn+ ...

que converge quando |x | < 1, ou seja, quando −1 < x < 1 e diverge quando |x | ≥ 1. A série ∞ X n=0 cn(x − a)n=c0+c1(x − a) + c2(x − a)2+c3(x − a)3+ ...

Exemplo Tomando cn=1 para todo n, a série de potências se torna a série geométrica

∞ X n=0

xn=1 + x + x2+x3+ ... +xn+ ...

que converge quando |x | < 1, ou seja, quando −1 < x < 1 e diverge quando |x | ≥ 1. A série ∞ X n=0 cn(x − a)n=c0+c1(x − a) + c2(x − a)2+c3(x − a)3+ ...

Exemplos

1) Para quais valores de x a série de potências ∞ X n=1 (x − 3)n n converge?

2) Para quais valores de x a série ∞ X n=1 (−1)nx2n 22n_(n!)2 converge? Dizemos que J0= ∞ X n=1 (−1)nx2n

22n_(n!)2 é chamadafunção de Bessel

de ordem 0. O domínio da função de Bessel J0é

(−∞, ∞) =R.

3) Para quais valores de x a série

∞

X

Exemplos

1) Para quais valores de x a série de potências ∞ X n=1 (x − 3)n n converge?

2) Para quais valores de x a série ∞ X n=1 (−1)nx2n 22n_(n!)2 converge? Dizemos que J0= ∞ X n=1 (−1)nx2n

22n_(n!)2 é chamadafunção de Bessel

de ordem 0. O domínio da função de Bessel J0é (−∞, ∞) =R.

3) Para quais valores de x a série

∞

X

n=0

Exemplos

1) Para quais valores de x a série de potências ∞ X n=1 (x − 3)n n converge?

2) Para quais valores de x a série ∞ X n=1 (−1)nx2n 22n_(n!)2 converge? Dizemos que J0= ∞ X n=1 (−1)nx2n

22n_(n!)2 é chamadafunção de Bessel

de ordem 0. O domínio da função de Bessel J0é (−∞, ∞) =R.

3) Para quais valores de x a série ∞ X

Teorema Para uma dada série de potências

∞ X n=0

cn(x − a)n, existem apenas três possibilidades:

(i) A série converge apenas quando x = a. (ii) A série converge para todo x .

(iii) Existe um número positivo R tal que a série converge se |x − a| < R e diverge se |x − a| > R.

Teorema Para uma dada série de potências

∞ X n=0

cn(x − a)n, existem apenas três possibilidades:

(i) A série converge apenas quando x = a. (ii) A série converge para todo x .

(iii) Existe um número positivo R tal que a série converge se |x − a| < R e diverge se |x − a| > R.

No caso (i) dizemos que o raio de convergência é R = 0, em (ii), R = ∞.

Ointervalo de convergência de uma série de potências é

aquele que consiste em todos os valores de x para os quais s série converge.

No caso (i) dizemos que o raio de convergência é R = 0, em (ii), R = ∞.

Ointervalo de convergência de uma série de potências é

aquele que consiste em todos os valores de x para os quais s série converge.

Exemplos

1 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 n(x + 2)n 3n+1 .

2 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 (−3)nxn √ n + 1 .

3 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 (−1)n x n 4n_{ln n}.

Exemplos

1 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 n(x + 2)n 3n+1 .

2 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 (−3)nxn √ n + 1 .

3 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 (−1)n x n 4n_{ln n}.

Exemplos

1 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 n(x + 2)n 3n+1 .

2 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 (−3)nxn √ n + 1 .

3 _{Encontre o raio de convergência e o intervalo de}

convergência da série ∞ X n=0 (−1)n x n 4n_{ln n}.

Representações de funções como séries de

potências

Certos tipos de funções podem ser representados por séries de potências através de manipulação das séries geométricas ou pela derivação ou integração de tais séries. É o que vamos ver. Vimos que 1 1 − x =1 + x + x 2_+x3_{+ ... =} ∞ X n=0 xn |x| < 1

Ou seja, no intervalo −1 < x < 1 a série geométrica representa a função 1/(1 − x ).

Exemplo

1) Expresse f (x ) = 1/(1 + x2)como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência.

2) Encontre uma representação em série de potências para 1/(x + 2)

3) Encontre uma representação em série de potências para x3/(x + 2)

Derivação e Integração de Séries de Potências

A soma de uma série de potências é uma função f (x ) =

∞ X n=0

cn(x − a)ncujo domínio é o intervalo de convergência da série. Vamos ver agora como podemos derivar e integrar tais funções.

Derivação e Integração de Séries de Potências

A soma de uma série de potências é uma função f (x ) =

∞ X n=0

cn(x − a)ncujo domínio é o intervalo de convergência da série. Vamos ver agora como podemos derivar e integrar tais funções.

Teorema Se a série de potênciasXcn(x − a)ntiver uma raio de convergência R > 0, então a função f definida por

f (x ) = c0+c1(x − a) + c2(x − a)2+ ... = ∞ X n=0

cn(x − a)n

é diferenciável (e portanto contínua) no intervalo (a − R, a + R) e (i) f0(x ) = c1+2c2(x − a) + 3c3(x − a)2+ ... = ∞ X n=1 ncn(x − a)n−1 (ii) Z f (x )dx = C + c0(x − a) + c1 (x − a)2 2 +c2 (x − a)3 3 + ... =C + ∞ X cn (x − a)n+1

Os raios de convergências das séries de potências nas equações (i) e (ii) são ambos R.

As equações (i) e (ii) no teorema anterior podem ser reescritas na forma (iii) d dx "_∞ X n=0 cn(x − a)n # = ∞ X n=0 d dx[cn(x − a) n_] (iv) Z "∞ X n=0 cn(x − a)n # dx = ∞ X n=0 Z cn(x − a)ndx

Os raios de convergências das séries de potências nas equações (i) e (ii) são ambos R.

As equações (i) e (ii) no teorema anterior podem ser reescritas na forma (iii) d dx "_∞ X n=0 cn(x − a)n # = ∞ X n=0 d dx[cn(x − a) n_] (iv) Z "∞ X n=0 cn(x − a)n # dx = ∞ X n=0 Z cn(x − a)ndx

Exemplos

1) Vimos que a função de Bessel J0= ∞ X n=0

(−1)n_x2n

22n_(n!)2 é definida para todo x . Então pelo teorema anterior, J0é diferenciável para todo x , e sua derivada é encontrada pela derivação termo a termo: J₀0(x ) = ∞ X n=0 d dx (−1)nx2n 22n_(n!)2 = ∞ X n=1 (−1)n2nx2n−1 22n_(n!)2 2) Expresse 1/(1 − x )2como uma série de potências pela derivação da equação 1 1 − x =1 + x + x 2_+x3_{+ ... =} ∞ X n=0 xn |x| < 1. Qual é o raio de convergência?

3) Encontre uma representação em série de potências para ln(1 − x ) e seu raio de convergência.

Observação: Colocando x = 1

2 no resultado deste exemplo e lembrando que ln1 2 = −ln 2, vemos que ln 2 = 1 2+ 1 8 + 1 24 + 1 64+ ... = ∞ X n=1 1 n2n

4) Encontre uma representação em série de potências para f (x ) = arctg(x ).

A série de potências de tg−1x é chamadaSérie de Gregory.

Em x = 1 a série se torna: π

3) Encontre uma representação em série de potências para ln(1 − x ) e seu raio de convergência.

Observação: Colocando x = 1

2 no resultado deste exemplo e lembrando que ln1 2 = −ln 2, vemos que ln 2 = 1 2+ 1 8 + 1 24 + 1 64+ ... = ∞ X n=1 1 n2n

4) Encontre uma representação em série de potências para f (x ) = arctg(x ).

A série de potências de tg−1x é chamadaSérie de Gregory.

Em x = 1 a série se torna: π 4 =1 − 1 3+ 1 5− 1 7 + 1 9 + ...

3) Encontre uma representação em série de potências para ln(1 − x ) e seu raio de convergência.

Observação: Colocando x = 1

2 no resultado deste exemplo e lembrando que ln1 2 = −ln 2, vemos que ln 2 = 1 2+ 1 8 + 1 24 + 1 64+ ... = ∞ X n=1 1 n2n

4) Encontre uma representação em série de potências para f (x ) = arctg(x ).

A série de potências de tg−1x é chamadaSérie de Gregory.

Em x = 1 a série se torna: π

5) Calcule Z

Séries de Taylor e de Maclaurin

Nosso objetivo agora é determinar quais funções têm representações em séries de potências e como podemos encontrar tais representações.

Teorema Se f tiver uma representação (expansão) em série de

potências em a, isto é, se f (x ) = ∞ X n=0 cn(x − a)n |x − a| < R então seus coeficientes são dados pela fórmula

cn= f (n)_(a)

Substituindo essa fórmula para cnde volta na série obtemos: f (x ) = ∞ X n=0 f(n)_(a) n! (x − a) n =f (a) +f 0_(a) 1! (x − a) + f00(a) 2! (x − a) 2₊f000(a) 3! (x − a) 3_{+ ...} Esta série é chamadasérie de Taylor da função f em a (ou centrada em a, ou em torno de a).

Se a = 0, a série de Taylor torna-se

f (x ) = ∞ X n=0 f(n)(0) n! x n_{=f (0) +} f0(0) 1! x + f00(0) 2! x 2₊f000(0) 3! x 3_{+ ...}

Substituindo essa fórmula para cnde volta na série obtemos: f (x ) = ∞ X n=0 f(n)_(a) n! (x − a) n =f (a) +f 0_(a) 1! (x − a) + f00(a) 2! (x − a) 2₊f000(a) 3! (x − a) 3_{+ ...} Esta série é chamadasérie de Taylor da função f em a (ou centrada em a, ou em torno de a).

Se a = 0, a série de Taylor torna-se

f (x ) = ∞ X n=0 f(n)(0) n! x n_{=f (0) +} f0(0) 1! x + f00(0) 2! x 2₊f000(0) 3! x 3_{+ ...}

Exemplos

1) Encontre a série de Maclaurin da função f (x ) = ex e seu raio de convergência.

2) Encontre a série de Taylor de f (x ) = ex _{em a = 2.} 3) Encontre a série de Maclaurin de senx