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Classificação Topológica de Sistemas de Controle

Oficina de Tendências Dinâmicas - Imecc/Unicamp 2015

Thiago Ferraiol

Universidade Estadual de Maringá

Um problema simples de controle

u θ mg mg sen θ Figura:Pêndulo mg ¨θ(t) + mg sen θ(t) = u(t) (1) m = massa g = aceleração da gravidade u = torque (função de controle)

Linearizando (sen θ ≈ θ), fazendo a mu-dança ϕ = θ − π, e reescalonando ficamos com ¨ ϕ(t) − ϕ(t) = u(t) (2) Pondo x (t) =ϕ ˙ ϕ  ficamos com: ˙ x (t) = Ax (t) + Bu(t) (3) onde A =0 1 1 0  = B =0 1 

O que é um sistema de controle?

X : M × Rm→ TM, Xu:= X (·, u) : M → TM,

U ⊂ L1_loc(R, U).

Um sistema de controle Σ é uma família de equações diferenciais

Σ : ˙x (t) = X (x (t), u(t)), u ∈ U (4)

Para cada u ∈ U e condição inicial x (0) = x0, denotamos a solução (trajetória do

sistema) por

ϕ(t) = ϕ(t, x0, u) (5)

˙

ϕ(t) = X (ϕ(t), u(t)), ϕ(0) = x0

O conjunto das trajetórias do sistema é definido por

Solução no sentido de Carathéodory

Considere a equação diferencial na forma ˙

x (t) = f (t, x (t)) (7)

onde f : I × D → Rn_{, é uma função satisfazendo} I _{f (·, x ) é mensurável para cada x ∈ D ⊂ R}n;

I _{f (t, ·) é contínua para cada t ∈ I ⊂ R;}

f é chamada de função de Carathéodory.

Definição (Solução de Carathéodory)

Uma solução de (7) com condição inicial x (t0) = x0 é uma curva absolutamente

contínua ϕ : J ⊂ I → Rn_{que para todo t num intervalo contendo t} 0satisfaz

ϕ(t) = x0+

Z t t0

Teorema de Existência e Unicidade

Teorema

Considere ˙x = f (t, x ) com f de Carathéodory e suponha que para cada x0∈ D fixado

existem δ > 0 e α, β ∈ L1

loc(I , R>0) tais que I kf (t, x0)k ≤ α(t), para quase todo t ∈ I

I kf (t, x) − f (t, y )k ≤ β(t)kx − y k, para todo t ∈ I e x, y ∈ Bδ(x0)

Então a equação diferencial com condição inicial ˙

x (t) = f (t, x (t)), x (t0) = x0

O problema

Dados dois sistemas de controle Σ1 e Σ2, cujas famílias de trajetória são Γ1 e Γ2,

queremos saber quando existe um homeomorfismo, difeomorfismo ou isomorfismo h : M → M tal que

ϕ ∈ Γ1⇔ h ◦ ϕ ∈ Γ2

Em outras palavras:

h deve levar trajetórias do sistema Σ1 em trajetórias do sistema Σ2e vice-versa.

Quando existe tal h dizemos que os sistemas são topologicamente (∼T),

Conjugação de sistemas de EDOs lineares

ΣA: ˙x = Ax , ϕtA: R

n_{→ R}n_{fluxo do sistema}

Dois sistemas de EDOs, ΣA e ΣB, são conjugados se existe uma bijeção h : Rn→ Rn

tal que h ◦ ϕt A= ϕ t B◦ h h x ϕt A(x ) y = h(x ) ϕt B(y ) = h ◦ ϕtA(x )

Nestes casos dizemos que os sistemas são (topologicamente, diferenciavelmente, linear-mente) conjugados e denotamos a relação por

Classificação de sistemas de EDOs lineares

I Σi : ˙x = Aix , i = 1, 2 dois sistemas lineares.

Teorema (Classificação diferenciável/linear)

São equivalentes:

i. Σ1∼DΣ2;

ii. Σ1∼LΣ2;

iii. As matrizes A1 e A2são semelhantes.

I L+ i , L

−

i e Li os subespaços estável, instável e central de Ai; I p_i+, pie p−i as dimensões desses subespaços;

I s(Ai) = (p_i+, p_i−, pi) a inércia de Ai.

Teorema (Classificação topológica)

Sistemas de controles lineares

Σ(A, B) : ˙x = Ax + Bu, u ∈ L1 loc(R, R

m_{) (8)}

é um sistema de controle linear, onde

I A ∈ Mn×n, B ∈ Mn×m são matrizes que definem o sistema I u é uma função de controle

As trajetórias do sistema são dadas por curvas da forma

ϕ(t) = ϕ(t, x0, u) = eAtx0+

Zt 0

Controlabilidade

I _{x ∈ R}néatingível a partir de x0se existem um controle u ∈ U e um instante

t > 0 tal que ϕ(t, x0, u) = x

I R conjunto de atingibilidade (a partir da origem)

R = {x ∈ Rn| ∃t > 0, u ∈ U t.q. x = Z t

0

eA(t−τ )Bu(τ ) d τ } (10)

I R é um subespaço vetorial chamado de subespaço controlável do par (A, B)

Proposição

R é o menor subespaço de Rn_{que contém B = im(B) e é invariante por A. Isto é}

R = hA | Bi = B + AB + A2_{B + · · · + A}n−1_B.

Índices de Kronecker

I Ri_{= B + AB + · · · + A}i −1_{B subespaços de Kalmann} I li= dim Ri/Ri −1

I l1≥ l2≥ · · · ≥ lnePni =1li= dim R I ki = quantidade de lj’s maiores ou iguais à i I k1≥ k2≥ · · · ≥ kmePmi =1ki = dim R

(l1, l2, ..., ln) e (k1, k2, ..., km) são partições duais da dim R

l5= 1 l4= 2 l3= 2 l2= 4 l1= 6 k1= 5 k2= 4 k3= 2 k4= 2 k5= 1 k6= 1 15

Feedback equivalência

Mudanças do controle: F : Rn_{→ R}m_{linear altera o controle para}

u(t) = Fx (t) + v (t)

O sistema Σ(A, B) fica então ˙x = Ax + B(Fx + v ) = (A + BF )x + Bv . Ou seja, ocorre a mudança

(A, B) ↔ (A + BF , B)

Mudança de base: T : Rn_{→ R}n_{e G : R}m_{→ R}m_{isomorfismos alteram as matrizes}

(A, B) ↔ (TAT−1, TBT−1) e (A, B) ↔ (A, BG )

Proposição

Mudanças de feedback preservam os subespaços de Kalmann:

I Ri_{(A + BF , B) = R}i_{(A, B)} I Ri_(TAT−1_{, TBG ) = R}i_{(A, B)}

Equivalência Linear

Corolário

Sejam Σ1e Σ2 dois sistemas controláveis. Então

Forma canônica

Todo sistema (A, B) é equivalente por feedback (e linearmente conjugado) a um sistema ( ˜A, ˜B) em que ˜ A :=Ac 0 0 D  , B :=˜ Bc 0  Ac:=      A1 0 · · · 0 0 A2 · · · 0 . . . . . . . .. ... 0 0 · · · Am      Bc:=      b1 0 · · · 0 0 · · · 0 0 b2 · · · 0 0 · · · 0 . . . . . . . .. ... . . . . . . 0 0 · · · bm 0 · · · 0      Ai:=        0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . .. ... 0 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0        k_i×k_i , bi :=        0 0 . . . 0 1        k_i×1

Classificação topológica (caso controlável)

Teorema

Sejam Σi : ˙x = Aix + Biu, i = 1, 2, dois sistemas de controle linear controláveis.

Então são equivalentes:

i. Σ1e Σ2 tem os mesmos índices de Kronecker

ii. Σ1∼LΣ2

iii. Σ1∼DΣ2

Classificação topológica (caso geral)

Teorema

Sejam Σi : ˙x = Aix + Biu, i = 1, 2, dois sistemas de controle linear. Então

a. Σ1∼LΣ2⇐⇒ Σ1∼DΣ2⇐⇒

I (A1, B1) e (A2, B2) tem os mesmos índices de Kronecker e I A1/R1e A2/R2são semelhantes

b. Σ1∼TΣ2se, e somente se,

I (A1, B1) e (A2, B2) tem os mesmos índices de Kronecker, I s(A1/R1) = s(A2/R2) e

I (A1/R1)|_L1 e (A2/R2)|_L2 são semelhantes (Li é o subespaço central de

Lema (Principal)

Σ1∼TΣ2com conjugação h ⇒ h(x + Ri1) = h(x ) + Ri2 ∀x ∈ Rne i = 1, 2, ...

Lema

x ∈ B = im(B) ⇔ ∃M < ∞ | ∀ T > 0 existe uma trajetória ϕT de Σ satisfazendo

i. kϕT(t)k ≤ M, ∀ t ∈ [0, T ]

ii. ϕT(0) = 0 e ϕT(T ) = x

Lema

Σ1∼ Σ2 com conjugação h : Rn→ Rn⇒ Σ1/V1∼ Σ2/V2com conjugação h.

Rn/V1 Rn/V2 Rn Rn π h π h

Lema (Principal)

Σ1∼TΣ2com conjugação h ⇒ h(x + Ri1) = h(x ) + Ri2 ∀x ∈ Rne i = 1, 2, ... Demonstração: x ∈ x0+B ⇔ ∃ M < ∞, {ϕT}T >0⊂ Σ t.q. kϕT(t)k < M, ϕT(0) = x0, ϕT(T ) T →0 −−−→ x Σ1∼TΣ2⇔ h(x + B1) = h(x ) + B2

Repete o processo para Σ1/B1e Σ2/B2

Caso não controlável usa-se a forma canônica de Brunovsky: (A, B) ∼L( ˜A, ˜B) ˜ A :=Ac 0 0 D  , B :=˜ Bc 0  ˙ x = Ax + Bu ←→ ˙x = ˜Ax + ˜Bu ←→ ( ˙ x = Acx + Bcu ˙ x = Dx

Teorema

Σi: ˙x = Aix + Biu, i = 1, 2, dois sistemas de controle linear são conjugados se, e

somente se

I (A1, B1) e (A2, B2) tem os mesmos índices de Kronecker,

Sistemas de controle lineares com controles restritos?

Sistemas de controle lineares em espaços de Banach?

Sistemas de controle não autônomos?

Referências

A. A. Agrachev and Y. Sachkov.

Control Theory from the Geometric Viewpoint. Springer, 2004.

F. Colonius and W. Kliemann. The Dynamics of Control. Birkhäuser, 2000.

J. C. Willems.

Topological classification and structural stability of linear systems. Journal of Differential Equations, Volume 35, Pages 306–318, 1980.