Geometria Analítica I

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Geometria Anal´ıtica I

01/03/2011

Respostas dos Exerc´ıcios do M´odulo I - Aula 7

Aula 7

1. a. Procedendo como nos Exemplos 7.1 e 7.2, ou a Proposi¸cão 7.15 da Aula 7, você encontrará:

Q1 = −41 13, − 29 13 , Q2 = (0, −2). b. R1 = 11₁₃, −₁₃3 , R2 = −30₁₃, −₁₃6 c. M1 = −17₁₃, −45₁₃ , M2 = −30₁₃, −₁₃6

d. A interse¸c˜ao P0 entre as retas r e s ´e encontrada

resolvendo-se o sistema formado pelas equa¸c˜oes destas retas. Assim, P0 = −15₁₃, −16₁₃. Para encontrar T1 sim´etrico a P1 em

rela¸c˜ao a P0, basta proceder como na discuss˜ao que segue

a Defini¸c˜ao 7.21, isto ´e, determinar T1 = (x, y) de forma

que P0 seja o ponto m´edio de P1T1. Procedendo assim,

P0 = −15 13, − 16 13 = x − 1 2 , y + 1 2 ⇒ T1 = (x, y) = −17 13, − 45 13 .

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Da mesma forma encontramos T2, que ser´a −30₁₃, −₁₃6 .

Repare que T1 = M1 e T2 = M2. Isto acontece porque as

retas r e s s˜ao perpendiculares (verifique). Quando refleti-mos P1 em rela¸c˜ao a r e depois refletimos o ponto obtido Q1

em rela¸cão a s, acabamos por obter a reflexão em rela¸cão ao ponto de interse¸cão das retas.

2. a. Primeiro, observe que as retas não são paralelas. Assim, para obter a simétrica de s em rela¸cão a r, procedere-mos da seguinte forma: 1. Encontraprocedere-mos o ponto Q de interse¸cão entre r e s. Como Q está sobre r ele será seu próprio simétrico em rela¸cão a r. 2. Escolhemos um ponto arbitrário P ∈ s, tomando o cuidado para que não seja o ponto Q. 3. Determinamos o simétrico P0 de P em rela¸cão a r. 4. A reta s0 será a reta determinada pelos pontos Q e P0.

(Não é o caso do exerc´ıcio, mas se as retas r e s fossem paralelas, não poder´ıamos utilizar no passo 4 o ponto Q. Precisar´ıamos utilizar seu simétrico Q0 em rela¸cão a r). Resolvendo o sistema das equa¸cões de r e s, obtemos Q = (−1, 0). Fa¸camos P = (0, 1) (verifique que P ∈ s). Cal-culando o simétrico P0 de P em rela¸cão a r, obtemos P0 = (4/13, −7/13) (fa¸ca como nos Exerc´ıcio 1). Agora, basta determinar a reta que passa pelos pontos Q = (−1, 0)

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e P0 = (4/13, −7/13) (veja como na Aula 3). Assim, ter-emos

s0 : 7 x + 17 y + 7 = 0.

b. [HB] Como uma reflexão com rela¸cão a uma reta leva re-tas em rere-tas (Proposi¸cão 16), conclu´ımos que o simétrico do triângulo de vértices A = (1, 1), B = (−1, 4) e C = (3, 1) é o triângulo de vértices A0 = (16/13, −2/13), B0 = (7/13, −48/13) e C0 = (40/13, 8/13). Uma vez que re-flexões com rela¸cão a uma reta também preservam distâncias, pelo caso LLL de congruência de triângulos, segue-se que ∆ABC e ∆A0B0C0 são, de fato, triângulos congruentes.

3. Primeiramente, observe que a interse¸cão das retas x − y = 0 e 2x − y = 3 é o ponto Q = (3, 3). A partir de agora, não mais precisaremos destas retas.

Podemos proceder agora de duas formas.

Solu¸c˜ao 1: Vamos considerar dois pontos da reta x − 2y + 4 = 0, P1 = (−4, 0) e P2 = (0, 2). Os sim´etricos destes pontos em

rela¸cão ao ponto Q = (3, 3) são, respectivamente, P₁0 = (10, 6) e P₂0 = (6, 4). Agora, basta determinar a reta que passa por P₁0 e P₂0, que é dada por x − 2y + 2 = 0.

Solu¸cão 2: Seja P0 = (x0, y0) um ponto da reta simétrica a r : x − 2y + 4 = 0 em rela¸cão ao ponto Q = (3, 3). Esse ponto P0 será simétrico a um ponto P = (x, y) da reta r. Como Q é o ponto médio de P P0, temos

(3, 3) = Q = x + x 0 2 , y + y0 2 ⇒ (x, y) = (6 − x0, 6 − y0).

Sabemos que (x, y) ∈ r, logo

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Assim, a equa¸c˜ao da reta procurada ´e x0 − 2y0 + 2 = 0.

4. [HB]

Toda reta r que passa pela origem pode ser descrita por uma equa¸c˜ao cartesiana na forma

a x + b y = 0,

com a e b constantes não simultaneamente nulas. Se (x, y) é um ponto do c´ırculo de equa¸cão x2+ y2 = r2, então o seu simétrico com rela¸cão a reta r é, conforme a Proposi¸cão 7.15, dado por

(x0, y0) = (b 2 _{− a}2_{) x − 2 aby} a2 _{+ b}2 , (a2 − b2_{) y − 2 abx} a2 _{+ b}2 .

Devemos mostrar que (x0, y0) tamb´em pertence ao c´ırculo de equa¸c˜ao

x2 + y2 = r2. Para isto, basta mostrar que (x0)2 + (y0)2 = r2. Ora, (x0)2 + (y0)2 = (b 2 _{− a}2_{) x − 2 aby} a2 _{+ b}2 2 + (a 2 _{− b}2_{) y − 2 abx} a2 _{+ b}2 2 = x 2_b4 _{+ 2 x}2_b2_a2 _{+ x}2_a4 _{+ 2 a}2_b2_y2 _{+ y}2_a4 _{+ y}2_b4 (a2 _{+ b}2₎2 = (x 2 _{+ y}2_{) (a}2 _{+ b}2₎2 (a2 _{+ b}2₎2 = x2 + y2 = r2. 5. [HB]

a. Seja P = (x, y) um ponto da elipse de equa¸c˜ao (x−x0)2/a2+

(y − y0)2/b2 = 1. Devemos mostrar que os sim´etricos de

P com rela¸cão às retas x = x0 e y = y0 e com rela¸cão ao

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estes pontos sim´etricos s˜ao dados, respectivamente, por

Q = (x1, y1) = (x0 + (x0 − x), y) = (2 x0 − x, y),

R = (x2, y2) = (x, y0 + (y0 − y)) = (x, 2 y0 − y),

M = (x3, y3) = (x0+(x0−x), y0+(y0−y)) = (2 x0−x, 2 y0−y).

Agora, (x1 − x0)2 a2 + (y1 − y0)2 b2 = (2 x0 − x − x0)2 a2 + (y − y0)2 b2 = (x0 − x)2 a2 + (y − y0)2 b2 = (x − x0)2 a2 + (y − y0)2 b2 .

Como P = (x, y) é um ponto da elipse, esta última ex-pressão é igual a 1 e, portanto,

(x1 − x0)2

a2 +

(y1 − y0)2

b2 = 1.

Assim, o ponto sim´etrico Q = (x1, y1) tamb´em satisfaz

a equa¸cão da elipse e, conseqüentemente, ela é invariante pela simetria com rela¸cão à reta x = x0. Do mesmo modo,

mostra-se que (x2 − x0)2 a2 + (y2 − y0)2 b2 = 1 e (x3 − x0)2 a2 + (y3 − y0)2 b2 = 1.

de onde se segue que a elipse de equa¸c˜ao (x − x0)2/a2 +

(y − y0)2/b2 = 1 tamb´em ´e invariante pela simetria com

rela¸cão à reta y = x0 e pela simetria com rela¸cão ao ponto

P0 = (x0, y0).

b. Solu¸cão análoga ao do item (a) (basta trocar o sinal de “+” pelo sinal de “−” na equa¸cão da cônica.

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equa¸cão x2/a2 + y2/b2 = 1 (este ponto é um dos vértices da elipse). Pela Proposi¸cão 7.15, o simétrico de P com rela¸cão `

a reta x − y = 0 (bissetriz do primeiro quadrante) ´e dado por V0 = (0, a).

Como a elipse é invariante por esta simetria, o ponto V0 = (0, a) também deve satisfazer sua equa¸cão. Substituindo (x, y) = (0, a) na equa¸cão da elipse, temos

x2 a2 + y2 b2 = 1 ⇒ 02 a2 + a2 b2 = 1 ⇒ a 2 _{= b}2_.

Assim, multiplicando a equa¸c˜ao da elipse por a2, temos

x2 + y2 = a2,

Mostrando que, de fato, trata-se de um c´ırculo com centro na origem e raio |a|.

A figura abaixo pode dar uma boa idéia intuitiva do que se passa. Uma reflexão em rela¸cão à bissetriz do primeiro quad-rante nada mais é que uma “troca” das coordenadas x e y. (de fato, pela Proposi¸cão 7.15, o simétrico de (x, y) em rela¸cão a x − y = 0 é (y, x)). Assim, para que a elipse refletida (na figura, a mais clara) “coincida” com a original (mais escura) após tal reflexão, ela deverá ser um c´ırculo.

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7. a. Teremos

A(x − a)2 + B(y − b)2 = 0.

Como A > 0 e (x − a)2 ≥ 0, temos que A(x − a)2 _{≥ 0.}

Da mesma forma, como B > 0 e (y − b)2 ≥ 0, temos B(y − b)2 ≥ 0. Assim, a equa¸cão representa a soma de dois números não negativos resultando em 0, o que só é poss´ıvel se ambos os números forem iguais a 0. Logo

A(x − a)2 = 0 e B(y − b)2 = 0.

Mas, como A > 0 e B > 0, teremos ent˜ao

(x − a)2 = 0 e (y − b)2 = 0,

que implica x = a e y = b. Isto mostra que a equa¸c˜ao representa apenas o ponto (a, b).

b. Teremos

A(x − a)2 + B(y − b)2 = 0.

Como B < 0, temos que −B > 0. Como A > 0 e −B > 0, as expressões √A e √−B estão bem definidas, logo pode-mos escrever √ A (x − a) = ±√−B (y − b), que é equivalente a √ A x − a√A = ± √ −B y − b√−B.

Equivalentemente, podemos dizer que √

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Isto mostra que a equa¸c˜ao representa as retas √ A x −√−B y − a√A + b√−B = 0 e √ A x +√−B y − a√A − b√−B = 0. c. Teremos A(x − a)2 + B(y − b)2 = A, A > 0, B > 0.

Como A 6= 0 e B 6= 0, a equa¸c˜ao ´e equivalente a

(x − a)2 + (y − b)

2

A/B = 1.

Como A > 0 e B > 0, temos que A/B > 0, logo, existe C > 0 tal que C2 = A/B. Assim, a equa¸c˜ao ´e equivalente a

(x − a)2

12 +

(y − b)2 C2 = 1,

que representa uma elipse.

d. Analogamente ao item (b), teremos as retas √ −A x −√B y − a√−A + b√B = 0 e √ −A x +√B y − a√−A − b√B = 0. e. Teremos A(x − a)2 + B(y − b)2 = B, A < 0, B > 0.

Como A 6= 0 e B 6= 0, a equa¸c˜ao ´e equivalente a

(y − b)2 − (x − a)

2

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Como B > 0 e −A > 0, temos que B/(−A) > 0, logo, existe C > 0 tal que C2 = B/(−A). Assim, a equa¸c˜ao ´e equivalente a

(y − b)2

12 −

(x − a)2 C2 = 1,

que representa uma hip´erbole de eixo focal vertical. f. Teremos

B(y − b)2 = 0, B > 0. Como B > 0, teremos ent˜ao

(y − b)2 = 0 ⇒ y − b = 0.

Ou seja, a equa¸c˜ao representa a reta y = b.

Observa¸cão: Você pode achar um pouco estranho expressões como √−A ou √−B. Estas expressões, porém, estão bem definidas nos casos em que A < 0 ou B < 0, respectivamente. Nestes casos, inclusive, o que N ÃO estaria bem definidos seriam √

A e √B!!! Uma outra forma de escrever seria p|A| e p|B|, uma vez que, com A < 0, vale |A| = −A, e, com B < 0, vale |B| = −B.