2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar. 4.3 Significado físico das pequenas deformações

Cap. 4. Deformação

1. Deslocamento

2. Gradiente de deslocamento

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar 2.2 Significado físico da rotação pura

3. Tensor de deformação de Lagrange 4. Tensor das pequenas deformações

4.1 Caracter tensorial das deformações 4.2 Teoria geometricamente linear

4.3 Significado físico das pequenas deformações

4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão) 4.3.2 Variação do ângulo

4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção) 4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário 5. Deformação volúmica

6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas 7. Equações de compatibilidade

8. Forma matricial das equações introduzidas 9. Estados de deformação

Deformação é outra reposta do meio contínuo ao carregamento. Neste caso, a sua definição não é fictícia como no caso das tensões, mas pode-se visualizar.

Cada vizinhança em torno de um ponto interior do meio contínuo, depois da aplicação do carregamento muda:

- a sua posição via translação e rotação do “corpo rígido”

- o seu volume representado pela parte volúmica do tensor das deformações - a sua forma representada pela parte desviatórica do tensor das deformações

1. Deslocamento

Deslocamento define-se como o vector que liga a posição inicial, com a posição final de cada ponto do meio contínuo. Nota-se que para definição de vectores, basta falar sobre pontos e não é preciso introduzir vizinhanças, como no caso de tensores.

Deslocamento é “visível”, porque pode-se medir pelo menos nos pontos de superfície, ao contrário de tensão, que é a nossa ficção.

Vamos usar a designação

  

u



u v w

, ,



T para evitar índices. Salienta-se que é preciso ter cuidado, e de contexto, distinguir o vector de deslocamento

u

da sua primeira componente

u

.

2. Gradiente de deslocamento

O gradiente de deslocamento

 

M

define-se usando pontos vizinhos na posição original e deformada.

Na figura acima representa-se um corpo na sua posição inicial, ou seja, sem o carregamento aplicado. Escolhem-se 2 pontos vizinhos, ou seja, o ponto Q está contido na vizinhança elementar do ponto

P

. A figura no entanto representa os dois pontos bastante afastados para uma melhor visualização. Após a aplicação do carregamento, o corpo muda a sua posição, volume e forma. Os pontos

P

e Q encontram-se nas posições novas, designadas

P



e Q.

O vector que liga os dois pontos designa-se

  

    

s

x

,

y

,

z



T e as componentes correspondem a

 

x

x

_Q



x

_P,

 

y

y

_Q



y

_P,

 

z

z

_Q



z

_P. De acordo com a definição do deslocamento,

u

_P

 

P



P

e

u

_Q



Q





Q

. Fazendo uma paralela ao vector

u

_Pque passa pelo ponto Q, observa-se facilmente da figura acima, que a variação do deslocamento



u

, pode-se escrever como

     

    

u

s



s

ou seja

     

    

s



s

u

Caso   s s P Q, verificar-se para cada escolha dos pontos

P

e Q diz-se que não há deformação, ou seja, no máximo pode existir movimentos na forma do corpo rígido. No entanto, não podemos já designar o corpo como rígido, isso só seria possível no caso em que não haja deformação para qualquer carregamento.

É possível aproximar a variação do deslocamento. Tal como no capítulo anterior, para esta aproximação usa-se o primeiro termo da expansão de Taylor. Neste caso, a variação efectua-se ao longo de uma direcção arbitrária, e não como no capítulo anterior, na direcção do eixo cartesiano. Por esta razão é preciso efectuar as três derivadas parciais em cada componente, ou seja

u

u

u

u

x

y

z

x

y

z







 

 

 









e analogamente

v

v

v

v

x

y

z

x

y

z







 

 

 









,

w

w

w

w

x

y

z

x

y

z







 

 

 









Na forma matricial por isso

e

 

M

chama-se gradiente de deslocamento.

 

u

u

u

x

y

z

v

v

v

M

x

y

z

w

w

w

x

y

z













_

_

_

















 

_

_

_



















_

_

_







Nota-se que estamos perante uma expansão em que foram utilizados apenas dois termos e outros foram desprezados. Assume-se que

det

 

 

M



0

.

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar

Para se definir a deformação, é preciso apenas a variação de forma e de volume, por isso tem que se eliminar a translação e a rotação do corpo rígido.

 

 

 

 

 

...



     



 



   

V D



 

s I s M s I





s I



   





s

               _{   }  

Define-se como tensor de deformação, a parte simétrica do gradiente de deformação, ou seja

     







M



M

T



/ 2

e como tensor de rotação a parte anti-simétrica do gradiente de deformação, ou seja

     







M



M

T



/ 2

1

1

1

1

0

2

2

2

2

1

1

0

2

2

u

u

v

u

w

u

v

u

w

u

u

u

x

y

x

z

x

y

x

z

x

x

y

z

v

v

v

v

v

w

v

w

x

y

z

y

z

y

z

y

w

w

w

w

antis

sim

x

y

z

z

















































_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_



_

_

_



_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_



_{ }

_











_

_







_





_

_





_















_

_

_



_

_

_

_

_

_

_











_{ }

_











_



_



_

_

_



_

_

_



_{ }

_

0

im









































Voltando às relações acima, o movimento do corpo rígido representa-se pela translação,

 

I

, e rotação

 



. A deformação

 



envolve a variação de volume,

 

_{ }



V que designa a parte volúmica do tensor

 



e a variação de forma,

 

_{ }



D que designa a parte desviatórica do tensor

 



. Neste caso, o tensor

 



chama-se tensor das pequenas deformações, como se vai justificar no texto seguinte.

2.2 Significado físico da rotação pura

Assume-se que estamos a trabalhar no plano coordenado 0xy. No caso de rotação pura e assumindo ângulos infinitesimais

0

xy

v

u

u

tg

x

y

y









 









 









Consequentemente

1

2

xy

u

v

y

x







_









_

 











ou seja

0

0

u

x

y

v

y

x















 

  

   









 

_

_

_

  

_

_



  

   



Que comprova que o tensor de rotação representa a rotação do corpo rígido e o ângulo de rotação tem o sentido oposto. Na dinâmica dos corpos rígidos, definiu-se desta forma deslocamento virtual correspondente à rotação

0

0

0

z

i

j

k

u

s

x

y



   









 

0

0

0

z y z x y x



























_



_



_







Pode-se comprovar que a condição de ângulo pequeno não era precisa, ou seja

 

1

0

0

1

cos

sin

 

 

0

1

0

1

sin

cos

T

x

x

x

x

s

R

s

y

y

y

y











































 

   

   

  







_

_{ }



_

_{ }



_

_{  }





_

_



_{ }



_

_



_{ }



 



















 

   



   

  

e por isso   s s o ângulo pode ser finito. Neste caso é preciso usar funções trigonométricas.

3. Tensor de deformação de Lagrange

Em alternativa, exprimindo a diferença entre os quadrados das normas dos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação, ou seja, já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas



 

                

2 2 _{T T T T T}

s



s

s

u

s

u

s

s

u

s

s

u

u

u



 

   

     

   

   

   

 

 

 





T

   

T



 

 





 

 



T



 

 



M s s s M s M s M s                

 

T

 

T

   

T

 

   

T

   

T

 

s

M

s

s

M

s

s

M

M

s

 



   



   





 

 

s

T



       

M

T

M

M

T

M



   

s

2

s

T

 



_L

 

s

 









   



 

Na dedução em cima usou-se o facto que a norma de um vector pode ser escrita como o produto interno deste vector consigo.

       

1 2 T L M M







  e

 

1



   



2 T M M



 

O tensor

 



chama-se o tensor das pequenas deformações e

 



_L o tensor Lagrangiano das deformações grandes. Existem várias definições para descrever deformações grandes nesta cadeira, apenas esta única definição será introduzida.

4. Tensor das pequenas deformações

O tensor das pequenas deformações contém os termos de gradiente de formação com expoente 1 e o tensor Lagragiano contém ainda os termos em que os termos de gradiente de deformação aparecem em multiplicação. Pode-se assim facilmente concluir que o tensor das pequenas deformações é possível usar sempre, quando os termos de gradiente de deformação são pequenos, ou seja, quando

M

_ij



1



i j

,

. Neste caso, os termos de gradiente de deformação em multiplicação são desprezáveis.

4.1 Caracter tensorial das deformações

O gradiente de deformação é definido como o gradiente do vector, e por isso corresponde ao tensor de segunda ordem (assimétrico). A soma ou a subtracção dos tensores de segunda ordem é também o tensor de segunda ordem, o que comprova que

 



e

 



são tensores de segunda ordem. O tensor Lagrangiano é também um tensor de segunda ordem porque o termo que se soma a

 



representa um produto interno de dois tensores de segunda ordem, cujo resultado é também um tensor de segunda ordem.

As componentes de deformação não têm unidade, visto que os números costumam ser bastante pequenos, às vezes usa-se o prefixo





10

6 para aumentar a grandeza do número. Salienta-se que



não é unidade.

4.2 Teoria geometricamente linear

O tensor das pequenas deformações é uma função linear dos termos de gradiente de deformação, ou seja, função linear de derivadas de componentes do vector de deslocamento. Esta linearidade chama-se linearidade geométrica. Neste caso, usa-se também o termo “a teoria das pequenas deformações”.

Nota-se que as pequenas deformações não impedem deslocamentos grandes. Por exemplo, o movimento do corpo rígido pode representar deslocamentos grandes, no entanto, o tensor das deformações é nulo. Usa-se por isso também o termo, “a teoria dos pequenos deslocamentos”. A teoria dos pequenos deslocamentos implica a teoria das pequenas deformações, mas não vice-versa. Neste caso, visto que os deslocamentos são pequenos, não se costuma distinguir a

forma do corpo original da deformada, para a determinação das propriedades, ou para escrever as condições de equilíbrio. Salienta-se que na disciplina de estática, as equações de equilíbrio escreveram-se na posição da estrutura indeformada. Esta limitação não consegue analisar outros fenómenos como por exemplo, a instabilidade. Usam-se por isso os termos “a teoria de I. ordem” e “a teoria de II. ordem”. Na teoria de II. ordem, as equações de equilíbrio escrevem-se na fora do corpo deformada. Nota-se que a palavra “deformada” não corresponde ao termo “deformação”. O corpo na posição deformada corresponde ao corpo constituído pelos pontos na sua posição final, ou seja, aplicando o campo de deslocamento. Visto que os pontos de superfície mantém-se na superfície após aplicação do carregamento e o corpo mantém-se contínuo, a posição deformada pode-se obter como a posição “deslocada” de superfície, aplicando o vector do deslocamento a cada ponto de superfície.

4.3 Significado físico das pequenas deformações

4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)

As componentes normais do tensor das pequenas deformações chamam-se extensões. O significado físico corresponde à variação relativa do comprimento. O valor positivo representa alongamento, e o valor negativo encurtamento. Tal como no caso das tenções, o sinal da componente normal não depende do referencial.

Na realidade, a variação relativa do comprimento aproxima-se pela variação relativa do comprimento projectado na direcção original, ou seja x

u x





 . Esta interpretação só é possível

na teoria dos pequenos deslocamentos.

Assume-se que o comprimento

L

é infinitesimal e na direcção do eixo cartesiano

x

. A variação relativa da distância destes pontos (não se pode dizer comprimento, porque a ligação P Q 

pode ser curva) é L

L



. Pode-se provar que x

u L

x L



  

 e assim, o significado físico descrito

acima confirma-se. Prova:

0 lim P x PQ P u P Q PQ x PQ



      

Pretende-se provar que:

0 0

lim

lim

PQ PQ

P Q

PQ

P Q

PQ

PQ

PQ

 





_

 



Assumiu-se que:

L

   

s

x

Por isso, a relação acima pode-se escrever como

s

s

s

x

P Q

PQ

s

x

PQ





  

  

  









Usando a definição do tensor de pequenas deformações

 

   

2 2 2 2 2

2

T

2

_x

s



s

s



x

s



s



x



 

 

   



  



Voltando à relação anterior

2 2 2 2 2

1

1 1 1

1 1

s

s

x

s

x

s

x

x

x

x



_

_



_

_

_{ }









  



_

_



_

_



   

 







_



_









Substituindo 2 2 2 2 2 2

2

1 1

x

1 1

2

1 1

2

1

1 1

1

x x x x x

s

x

_x

x

x



_

_

_

_

_





 

_

  

  

  

 

    





Consequentemente x u x



  ,

 

f i x x f i x

L



x dx

u

u

 







,

L

   

L

L

e para distribuição uniforme de deformações, mesmo para comprimentos finitos:

L L



  ,

 

L



L

,

L

     

L

L



1





L

4.3.2 Variação do ângulo

As componentes tangenciais do tensor das pequenas deformações chamam-se distorções e correspondem às variações angulares dos ângulos.

Assume-se um ângulo



formado pelos braços unitários

 

n

 A e

 

n

 B . Pode-se provar que

 

 

_{ }

_{ }

 

_

_

2

cos

sin

A T B _{A B} n n

n



n



















 

Para isso exprime-se o produto interno dos braços na posição nova de duas maneiras diferentes:

 

 

_{ }

 



_{ }

 

_{ }

_{ }

 





_{ }

 

_{ }

_{ }

 



 

 

_{ }

 

_{ }

 

_{ }

_{ }

 

_{ }

 

_{ }

_{ }

 

 

 

_{   }

_{ }

 

 

 

_{ }

 

_{ }

 



_{   }



_{ }

 

 

 

_{ }

 

_{ }

 

_{ }

_{ }

 

_{ }

 

_{ }

_{ }

 

2

cos

2

T A T B A A B B A T B A T B A T T B A T T B A T B A T T B A T B A T B A T B

n

n

n

M

n

n

M

n

n

n

n

M

n

n

M

n

n

M

M

n

n

n

n

M

M

n

n

n

n



n



n



n









































































Nas relações acima utilizou-se a definição do gradiente de deformação e omitiu se um termo de ordem maior, ficando apenas com o termo absoluto e de ordem 1.

 

 

_{ }

     

_

_

 





 







_{ }

_{ }

































cos

1

1

cos cos

sin sin

1

1

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

A T B A B A A B B n n A B n n A B A B n n n n A B A B n n n n

n

n

n

n

n

n















































 































 









 









 



 















 



 





Nas relações acima utilizou-se a definição do produto interno que implementa o ângulo entre os dois vectores, a definição de extensão para introduzir a extensão dos braços e simplificações das funções seno e co-seno para ângulos pequenos. A última relação envolve também apenas o termo absoluto e de 1 ordem. Comparando as duas expressões pode-se concluir que

 

 

_{ }

_{ }

 





cos 2 A T B cos sin A B cos

n n n n



 



 



 















 

 

_{ }

_{ }

 





2 A T B sin A B cos n n n 



 n  















Quando o ângulo é originalmente recto, a fórmula simplifica-se para

 

 

_{ }

_{ }

 

2

n

A T

n

B





 





Por exemplo em 2D, alinhando os braços com o referencial cartesiano

 

 

_{ }

1, 0

A T

n



,

 

n

 B



 

0,1

T

 

 

_{ }

_{ }

 

2

n

A T

n

B

2

_xy







 







E por isso, o dobro da componente tangencial representa a variação do ângulo originalmente recto. Note-se que





foi introduzido para diminuir o ângulo e por isso a distorção positiva diminui o ângulo, e a distorção negativa aumenta-o.

Por esta razão introduz-se a distorção de engenharia, _xy

2

_xy

u

v

y

x



















. Assim

xy



 

 

, ou seja, corresponde à variação total do ângulo formado pelos eixos cartesianos, como já dito anteriormente.

tan

tan

xy

u

v

y

x

















  

 





Em resumo



tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto. A componente tensorial



_xy corresponde à media dos dois ângulos e

1

2

2

xy yx

u

v

y

x

 







_









_

 















O que significa que no caso de distorção pura, ou seja quando a distorção não está afectada pela rotação de corpo rígido,

 

 . Para eliminar a rotação, tem que se rodar o eixo azul do ângulo que fazem os braços depois da deformação (azuis) pelo



_xy positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho).

4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário

Na figura acima podem-se identificar os seguintes passos:

O rectângulo elementar da sua posição inicial desloca-se para a sua posição final, os pontos que designam os vértices: A B C D, , , ocupam agora posições A B C D   , , , . O rectângulo sofre a translação, a rotação e a deformação. A rotação deve assegurar que os ângulos no vértice

A



são iguais. A translação e a rotação correspondem ao movimento do corpo rígido, ou seja, o rectângulo não altera nem a sua forma nem o volume. A deformação poder-se-ia separar na parte volúmica (alteração do volume) e desviatórica (alteração de forma), mas neste momento isso não é importante. Na teoria dos pequenos deslocamentos as alterações de deslocamentos são pequenos e podem-se aproximar pelas primeiras derivadas. Já foi usado no capítulo

anterior, que quando a alteração se efectua somente na direcção do eixo cartesiano, a derivada efectua-se apenas segundo esta variável.

Pode-se facilmente concluir que no caso dos lados infinitesimais mas unitários, os deslocamentos correspondem directamente às deformações. Na visualização das deformações retira-se assim a parte de movimento do corpo rígido, ou seja,

A



A



e o rectângulo representado a azul roda-se para que os lados coincidam com o referencial. Assumindo ainda os lados unitários, pode-se concluir que a visualização das deformações no quadrado elementar unitário obedece às regas da figura em baixo. Nesta figura assume-se que



_y



0

.

As formulas para esta representação escrevem-se

x xy

u



x



y

    

e

    

v



_y

y



_xy

x

.

Estas fórmulas podem-se deduzir facilmente do pressuposto das deformações uniformes:

 

x x x x u u dx dx u x F y x



  







 



 





 

y y y y

v

v

dy

dy

v

y G x

y































Visto que também



_xy é constante

 

 

xy xy

dF y

dG x

u

v

y

x

dy

dx























 

 

xy

dF y

dG x

C

dy

dx









 

_{ }

dG x

C

G x

Cx

D

dx









 

_{ }

xy xy

dF y

C

F y

y Cy

E

dy

  













Juntando as duas fórmulas

x xy

u





x





y Cy





E

y

v





y Cx D





Aplicando as condições de fronteira

u

 

0, 0



0



E



0

,

v

 

0, 0



0



D



0

e finalmente exigindo a rotação nula ou seja

0

1

2

xy xy

u

v

C

y

x







_



_

_

_

_





o que confirma as relações acima.

Conclui-se ainda que o campo de deslocamento que corresponde à deformação uniforme é linear; neste caso as rectas mantêm-se rectas e os planos mantêm-se planos após a deformação.

5. Deformação volúmica

Assume-se um paralelepípedo elementar no referencial principal. Neste caso as deformações são apenas as principais, ou seja, não há distorções. Volume inicial é V    x y z e o volume após deformação













1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

1

1

1

1

2

2

2

V

x y z

x y z







  

 

 

    

  





  

    







  

Desprezando os termos de ordem maior, conclui-se que a variação do volume é



1 2 3

2

1 2

2

1 3

2

2 3 1 2 3





1 2 3



1

V

V



V

  

 

 

    

x y z

  

V

I V



   

  







   

 



Visto o valor ser invariante, pode concluir-se que o pressuposto do referencial principal não era necessário e que a definição da deformação volúmica é

1 2 3 V x y z



     

  

 



Depois escreve-se V

V



V

 

em conformidade com

 

L



_x

L

Recorda-se que a deformação desviatórica corresponde à alteração de forma num volume inalterado, e sim, o traço do desviador ou seja a deformação volúmica são nulos.

6. Medição das deformações: extensómetros,

rosetas

As medições de deformações efectuam-se nas superfícies de componentes. Usando a extensometria, tem que se escolher uma zona em que há deformações uniformes, porque as várias medições efectuadas nesta zona tem que corresponder ao mesmo “ponto”. Por esta razão os extensómetros devem colocar-se suficientemente longe de extremidades e de pontos de aplicação de carga. O tensor de deformações em 2D tem 3 componentes diferentes e por isso é necessário colocar pelo menos 3 extensómetros para medir 3 valores. Os 3 extensómetros formam uma roseta. Um extensómetro consegue apenas registar a variação de comprimento e por isso mede apenas a extensão na sua direcção.

Os resultados das medições representam depois o problema que já foi abordado na parte de cálculo tensorial, ou seja, determinar as componentes do tensor sabendo 3 valores normais nas 3 direcções diferentes

Que resulta num problema de 2 equações para 2 incógnitas



_y e



_xy:

 

 

   

2 2

cos

sin

2

sin

cos

b a y xy







 























 



2 2

cos

sin

2

sin

cos

c a y xy







 







 







 



 



Às vezes colocam-se numa roseta 4 extensómetros para reduzir os erros de medição.

7. Equações de compatibilidade

As equações de compatibilidade chamam-se também as equações de integrabilidade, continuidade ou admissibilidade física. O problema coloca-se da seguinte maneira: Sabendo o campo de deslocamento, é possível unicamente determinar o campo de deformação pelas derivadas. No entanto, sabendo o campo de deformações, já não é possível concluir directamente se o campo de deslocamentos existe. O problema está no número de componentes, ou seja, a partir de 6 componentes de deformações devem-se determinar apenas 3 componentes de deslocamento, o que pode implicar contradição. Quando o campo de deslocamento não existe, por outras palavras, não existe na forma de uma função contínua, o resultado viola a continuidade do meio contínuo o que não é fisicamente possível, e por isso as designações de “continuidade” ou de “admissibilidade física”. O outro termo está ligado à fundamentação matemática. O campo de deslocamento determina-se pela integração, ou seja se existir, as equações de compatibilidade representam a “integrabilidade” do campo de deformação.

Diz-se que o campo de deformação é compatível quando as condições de compatibilidade verificam-se. Estas representam 3 equações em 3 planos coordenados, uma delas é

2 2 2 2 2 xy x y

x y

y

x









_



_



 





e 3 equações que ligam uma direcção com os 3 planos coordenados, uma delas é

2

2

x yz zx xy

y z

x

x

y

z

























_







_

 



_







_

Restantes equações obtêm-se pela permutação positiva de índices.

Nota-se que todos os termos representam segundas derivadas, e por isso o campo de deformação linear é sempre compatível, porque depois de duas derivadas cada termo nas equações é nulo.

Considerando as deformações apenas em 2D, é preciso verificar apenas uma equação de compatibilidade neste plano. Reduzindo a 1D, não há equações de compatibilidade porque a uma componente de deformação corresponde uma componente de deslocamento e não há contradição referida acima.

8. Forma matricial das equações introduzidas

Verifica-se facilmente que as equações de equilíbrio do capítulo anterior podem-se escrever na forma:

Em que a matriz de operadores é

  

       

/

x

, /

y

, /

z



T.

No entanto, já não é possível escrever as equações deformações-deslocamento numa forma compacta usando a matriz de componentes

 



. Torna-se mais vantajoso escrever as componentes na forma vectorial e as vantagens desta formulação tornam-se ainda mais claras no próximo capítulo. Define-se:

 







     

_x, _y, _z, _yz, _xz, _xy



T

E analogamente

 

 



     x, y, z, yz, xz, xy



T

Chama-se à atenção que a ordem das componentes de 2 índices segue a seguinte regra:

yz (falta x), xz (falta y), xy (falta z). Chama-se ainda à atenção que as componentes de deformação de 2 índices incluem a distorção de engenharia,  , ou seja, o dobro da distorção,

 , que é considerada como a componente tensorial. Esta forma torna-se ainda mais vantajosa na descrição de termos usados na parte de princípios variacionais ligados à definição da energia de deformação.

Com esta definição de deformações escreve-se:

 

 

T

 

u



  

A definição de matriz de operadores pode-se facilmente deduzir

 

/

0

/

0

0

0

/

0

/

0

/

/

0

0

/

/

/

0

x

z

y

y

z

x

z

y

x

 

 

 









 

_

 

 

 

_



 

 

 







Para se manter a uniformidade nas designações, escrevem-se as equações de equilíbrio na forma

 

 

     





f



0

E o equilíbrio na fronteira, em vez de

 

p



 





 

n

 

p



 

n

ˆ



 



Em que a matriz de componentes da normal tem a forma semelhante com a matriz de operadores

 



 

ˆ

0

0

0

0

0

0

0

0

0

x z y y z x z y x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n









 











Para as equações de compatibilidade, existem duas possíveis formas, no entanto nenhuma usa matrizes de operadores já introduzidos.

 



T

 

0            com

0

0

0

z

y

z

x

y

x







_





_

_















 

 

_



_

 

_

_











_





_

_







e 2

   

0



 



 

 

em que a matriz

 



2

 

é facilmente deduzível e não se vai apresentar por razões de simplicidade.

9. Estados de deformação

Em analogia com estados de tensão, definem-se os estados de deformação. Os mais comuns representam-se no quadrado elementar unitário nas seguintes formas:

extensão pura

distorção pra

deformação volúmica pura

10. Vector das deformações

Analogamente com o vector das tensões pode definir-se o vector das deformações:

 





 





 

n

A aplicabilidade desta definição é reduzida, porque não tem significado físico importante. Usa-se componente intrínseca normal no sentido da extensão numa dada direcção definida pelo versor

 

n

 

 





T

   

T

 

 

n n n n n







   





e a variação do ângulo originalmente recto, definido pelos braços cujos versores são

 

n

e

 

s

, substitui a componente intrínseca tangencial

 

 

   

 

 

2

n

s

2

s

n







 











Recorda-se que é preciso utilizar o dobo da multiplicação semelhante àquela usada na parte das tensões, porque o significado físico pode atribuir-se mais facilmente à alteração do ângulo completo, ou seja ao análogo da distorção.