ELETRICIDADE II
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Mídias Integradas: sempre que se desejar que os estudantes desenvolvam atividades empregando diferentes mídias: vídeos, filmes, jornais, ambiente AVA e
outras.
Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante
possa realizá-las e conferir o seu domínio do tema estudado.
Saiba mais: oferece novas informações que enriquecem o assunto ou "curiosidades" e notícias recentes relacionadas
ao tema estudado.
Aula prática: apresenta atividades em diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante possa realizá-las e
conferir o seu domínio do tema estudado.
Palavra do Professor
Estudamos até agora circuitos em tensão e correntes contínuas, cujos valores não se alteram com o tempo. Nesta disciplina, iremos estudar circuitos em tensão e correntes alternadas, onde seus valores e polaridades se modificam ao longo do tempo. Os circuitos alternados estão presentes nas usinas geradoras de eletricidade que alimentam as indústrias e residências.
Para um bom entendimento desta disciplina, é fundamental que o aluno aplique uma boa parcela do seu tempo no estudo de conceitos matemáticos importantes, como números complexos, diagramas fasoriais e operações trigonométricas.
Projeto Institucional
Disciplina: Eletricidade II (carga horária: 80h).
Ementa: Números Complexos. Sinais Senoidais. Análise de Circuitos Indutivos. Análise de Circuitos Capacitivos.
AULA OBJETIVOS MATERIAIS CARGA HORÁRIA
Aula 1 - Números Complexos Compreender a teoria dos números
complexos e diagramas de fasores.
Ambiente virtual. Apostila didática. Recursos de apoio: links, exercícios, textos complementares, práticas. 20 horas
Aula 2 - Sinais Senoidais
Compreender formas de onda senoidais para a resolução de circuitos resistivos, capacitivos e indutivos em sistemas alternados.
Ambiente virtual. Apostila didática. Recursos de apoio: links, exercícios, textos complementares, práticas. 20 horas
Aula 3 - Análise de Circuitos Indutivos
Conhecer o funcionamento de circuitos indutivos em regime
alternado. Ambiente virtual. Apostila didática. Recursos de apoio: links, exercícios, textos complementares, práticas. 20 horas
Aula 4 - Análise de Circuitos Capacitivos
Conhecer o funcionamento de circuitos capacitivos em regime
alternado. Ambiente virtual. Apostila didática. Recursos de apoio: links, exercícios, textos complementares, práticas. 20 horas
ELETRICIDADE II
Aula 1 - Números Complexos
Objetivos
Compreender a teoria dos números complexos e diagramas de fasores.
A resolução de circuitos elétricos consiste basicamente no cálculo de correntes, tensões e potências. Para tanto, necessitamos de instrumentos matemáticos que tornem possível a melhor compreensão deste assunto. Sendo assim, primeiramente estudaremos a teoria dos números complexos, que será o instrumento matemático vital para a resolução de circuitos em corrente alternada e, em seguida, estudaremos o diagrama fasorial, que será importante para a análise e visualização dos fenômenos elétricos em corrente alternada.
1.1 - Representação dos Números Complexos
O conceito de número complexo ou número imaginário foi introduzido com o intuito de se poder representar raízes quadradas de números negativos, cujos resultados não fazem parte do conjunto dos números reais. Denomina-se unidade imaginária o numero j, tal que: j2 = -1.
Um número complexo possui três formas diferentes de representação:
1.1.1 - Forma Cartesiana
z = a + jb, onde a e b são números reais e j representa a unidade imaginária.
Ex.: Represente os números complexos a seguir no plano cartesiano: z1 = 3 + j3, z2 = 5, z3 = -2 - j3.
1.1.2 - Forma Polar
z = Z|Φ, onde Z representa o módulo do número complexo z e Φ o ângulo em relação à parte positiva do eixo real.
1.1.3 - Forma Trigonométrica
Um número complexo pode também ser representado na forma trigonométrica, como segue:
1.1.4 - Transformação da Forma Cartesiana para Polar
Para a transformação da forma cartesiana para a polar, valem as expressões:
1. 2. Segmento oz no 3° quadrante: 3. Segmento oz no 4° quadrante:
Atividade de Aprendizagem
1 - Transformar os números complexos a seguir, da forma cartesiana para a polar representando-os no
plano cartesiano: a) z1 = 4 + j4 b) z2 = 7 c) z3 = j4 d) z4 = -3 + j2 e) z5 = -5 f) z6 = -4 - j3 g) z7 = -j4 h) z8 = 4 - j3
1.1.5 - Transformação da Forma Polar para Cartesiana Na figura a seguir podemos obter, por trigonometria, as
expressões de a e b. .
ELETRICIDADE II
Atividade de Aprendizagem
1 - Transformar os números complexos a seguir, da forma polar para a cartesiana, representando-os no
plano cartesiano: a) z1 = 10 |60° b) z2 = 20 |120° c) z3 = 50 |-30° d) z4 = 100 |180° e) z5 = 6 |-90° f) z6 = 20 |240° g) z7 = 30 |45°
1.2 - Operações com Números Complexos
As quatro operações matemáticas básicas podem ser realizadas com números complexos de forma bastante simples, conforme veremos a seguir.
1.2.1 - Soma e Subtração
Para somar e subtrair dois números complexos utiliza-se a forma cartesiana, somando-se ou subtraindo-se as partes reais e imaginárias correspondentes. Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos: z1 = a1 + jb1 e z2 = a2 + jb2
Então: z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)
z1 - z2 = (a1 - a2) + j(b1 - b2)
Exemplos: Considere os seguintes números complexos:
z1 = 10 + j10 z2 = 5 + j4 z3 = -5 + j15 z1 = -10 - j20 a)
Atividade de Aprendizagem
a) z1 + z2 b) z3 + z4 c) z1 + z4 d) z2 + z3 e) z1 – z2 f) z2 – z1 g) z3 – z4 h) z4 – z3 i) z2 – z3Para multiplicar ou dividir dois números complexos, utiliza-se a forma polar da seguinte maneira: Multiplicação: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos (ângulos).
Divisão: dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos (ângulos).
Assim considerando-se os seguintes números complexos genéricos: z1 = Z1 |Φ1 e z2 = Z2 |Φ2
Então: z1 ∙ z2 = Z1.Z2|Φ1 + Φ2
z1/z2 = Z1/Z2|Φ1 – Φ2
Exemplos: Considere os seguintes números complexos:
z1 = 4
2
|60° z2 = 10 |60° z3 = 4 |270° z4 = 10 |120° a)Atividade de Aprendizagem
a) z1.z2 b) z2.z3 c) z3.z4 d) z1.z4 e) z1/z2 f) z2/z3 g) z1/z3 h) z3/z2 i) z4/z2 j) z4/z31.2.3 - Conjugado de um Número Complexo
Dado um número complexo genérico z = a + jb ou z = Z |Φ, o seu conjugado z* é definido como: z* = a – jb ou z* = Z |-Φ
ELETRICIDADE II
Aula 2 - Sinais Senoidais
Objetivos
Compreender formas de onda senoidais para a resolução de circuitos resistivos, capacitivos e indutivos em sistemas alternados.
Os circuitos elétricos trabalham com tensões e correntes contínuas e alternadas.
Em diversos dispositivos, a forma de onda da corrente depende da forma de onda da tensão neles aplicada, além da natureza dos mesmos, ou seja, se são resistivos, indutivos ou capacitivos. Trataremos aqui do sinal alternado.
O sinal alternado (CA – Corrente Alternada ou AC – Alternate Current) varia de polaridade e valor ao longo do tempo e, dependendo de como essa variação ocorre, têm-se diversas formas de sinais alternados (senoidais, quadrada, triangular etc.). Abordaremos daqui em diante a forma de onda senoidal.
2.1 - Análise do Sinal Senoidal
2.1.1 - Representação Gráfica
Uma tensão senoidal pode ser representada graficamente de duas formas: nos domínios temporal e angular, como mostra a figura ao lado.
2.1.2 - Valor de Pico e Valor de Pico a Pico
A amplitude máxima, positiva ou negativa, que a tensão senoidal pode atingir é denominada tensão de pico Vp e
amplitude total, entre os valores máximos positivos e negativos, é denominada tensão de pico a pico Vpp, assim
temos: Vpp = 2.Vp
2.1.3 - Período e Frequência
O tempo que a função necessita para completar um ciclo é chamado de período (T) e o número de vezes que um ciclo se repete por segundo é chamado de frequência (f), sendo a relação entre eles a seguinte: f = 1/T
Onde: T = tempo (s); f = frequência (Hz)
2.1.4 - Representação Matemática
Matematicamente, os gráficos da tensão senoidal nos domínios temporal e angular podem ser representados, respectivamente, por: v(t) = Vp ∙ sen ωt e v(θ) = Vp ∙ sen θ. Onde: v(t) = v(θ) = valor da
tensão no instante t ou para o ângulo θ (em V)
θ = ângulo (rd) 2.1.5 - Frequência Angular
A frequência angular ou velocidade angular, representada pela letra grega ω (ômega), corresponde à variação do ângulo θ do sinal em função do tempo. Das expressões matemáticas anteriores, têm-se a relação: θ = ωt.
Pelos gráficos da figura a seguir, quando θ = 2π, tem-se que t = T. Assim, é válida a relação 2π = ω∙ T. Portanto, a frequência angular ω pode ser calculada por: ω = 2π/
T ou ω = 2π∙ f.
Exemplo: Analisemos o seguinte sinal senoidal:
2.1.6 - Fase Inicial
Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia o seu ciclo no instante t = 0s. Neste caso, dizemos que o sinal possui uma fase inicial θ0. Assim sendo, a expressão completa para
representar o sinal senoidal deve incluir esta fase inicial, conforme segue: v(t) = Vp ∙ sen (ωt + θ0)
Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, θ0 é positivo. Se o sinal
inicia o seu ciclo atrasado, θ0 é negativo, conforme figura ao lado.
Exemplo: Represente graficamente os seguintes sinais senoidais:
a) v(t) = 10.sen (20kπt + π/3) V b) v(t) = 15.sen (8kπt + 30°) V
2.1.7 - Defasagem
Num circuito elétrico, é muito comum a análise de mais de um sinal senoidal, sendo necessário, às vezes, conhecer a diferença de fase entre eles.
A diferença de fase Δθ entre dois sinais de mesma frequência é denominada defasagem, sendo que a mesma é medida tomando-se um dos sinais como referência.
Exemplo: Qual a defasagem entre os seguintes sinais:
a) v1(t) = 10 ∙ sen (ωt + π/2) V b) v1(t) = 18 ∙ sen (ωt - π/4) V c) v1(t) = 12 ∙ sen (ωt + π/4) V v2(t) = 5 ∙ sen ωt V v2(t) = 12 ∙ sen (ωt - π/4) V v2(t) = 8 ∙ sen (ωt - π/2) V
ELETRICIDADE II
2.2 - Diagrama Fasorial
Outra forma de representar um sinal senoidal é através de um fasor ou vetor girante de amplitude igual ao valor de pico(Vp) do sinal, girando no sentido anti-horário com
velocidade angular ω. A este tipo de representação, dá-se o nome de diagrama fasorial, conforme figura ao lado. A projeção do segmento OP = Vp no eixo vertical é uma
função seno, reproduzindo, portanto, a tensão senoidal v(t) ou v(θ): v(t) = Vp ∙ sen ωt ou v(θ) = Vp ∙ sen θ.
A figura a seguir mostra o diagrama fasorial e os valores instantâneos de tensão para os vários valores de θ ou ωt.
Se no instante t = 0 o vetor OP formar um ângulo θ0 com a referência do diagrama fasorial (parte positiva
do eixo horizontal), isso significa que o sinal possui uma fase inicial e, portanto, o valor instantâneo da tensão será dado por: v(t) = Vp ∙ sen (ωt + θ0).
Exemplo: Representar os seguintes sinais senoidais graficamente e através do diagrama fasorial correspondente: v1(t) = 10∙ sen (100πt + π/3) V
v2(t) = 15∙ sen (20πt - 30°) V
2.3 - Representação com Números Complexos
Como foi visto, um número complexo tem um módulo e fase, como na representação fasorial. Isto sugere a possibilidade de se representar um sinal senoidal também por um número complexo, sendo a amplitude e a fase inicial do sinal correspondente respectivamente ao módulo e ao ângulo do número complexo.
2.3.1 - Nomenclaturas Utilizadas Matematicamente Expressão trigonométrica: v(t) = Vp∙ sen(ω+ θ0)
v(t) = tensão instantânea (variável) => letra minúscula; Vp = tensão de pico (valor fixo) => letra maiúscula
Expressão em número complexo: V = Vp | θ0 = Vp ∙ cosθ0 + jVp ∙ sen θ0
No caso de tensões, correntes e potências elétricas representadas por números complexos, os módulos podem ser dados tanto por valores de pico quanto por
valores eficazes, sendo que este último conceito será estudado mais adiante.
Por que quatro formas de representação de um sinal senoidal?
Forma de Onda: Representa visualmente o sinal, tal como ele é e como aparece no osciloscópio, durante a análise de um circuito. Ele pode estar no domínio temporal v(t) ou angular v(θ).
Diagrama Fasorial: Representa o fenômeno graficamente de forma mais simplificada que a forma de onda, permitindo, inclusive, operações de soma e subtração de vários sinais.
Expressões Trigonométricas: Representa matematicamente a função com todos os seus detalhes, como: amplitude, frequência angular e fase inicial, além de permitir o cálculo de valores instantâneos.
Número Complexo: Representa
matematicamente a função de forma mais simplificada que a expressão trigonométrica, informando apenas a amplitude e a fase inicial, facilitando, porém, operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de vários sinais.
Exemplos: Vejamos as quatro formas diferentes de se representar uma tensão senoidal:
Expressão Trigonométrica:
v(t) = 12∙ sen (ωt + 60°) (V) Número Complexo:
v = 12 │60 V ou v = 6 j10,39 V
2.4 - Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos
Para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada, são necessárias diversas operações matemáticas entre tensões, correntes e potências. As operações de adição e subtração podem ser realizadas tanto com diagrama fasorial como através dos números complexos, embora este último processo seja o mais indicado, devido à facilidade e, principalmente, à precisão dos resultados. Já, as operações de multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada devem ser realizadas somente por números complexos, dadas às limitações do digrama fasorial.
ELETRICIDADE II
Já vimos como as operações de adição e subtração podem ser feitas com números complexos. Obviamente, isto vale também quando os números complexos representam tensões, correntes e potências.
Com o diagrama fasorial, tais operações podem ser realizadas através de um processo gráfico denominado método do paralelogramo. Para isso, é necessário conhecer uma propriedade da representação por diagrama fasorial, como segue:
Número Negativo (ou Multiplicado por-1): Num diagrama fasorial, dado um fasor, o seu negativo corresponde ao deslocamento do fasor em 180°. Nos números complexos, isto corresponde a:
Forma Polar: Somar ou subtrair 180° na fase.
Forma Cartesiana: Trocar os sinais das partes real e imaginária.
Atividade de Aprendizagem
1 - Dadas às tensões a seguir, obter v1 + v2 e v1 - v2 por diagrama fasorial e por números complexos,
representando o resultado graficamente:
a) v1 = 20 |0º V e v2 = 5 |0º V b) v1 = 20 |0º V e v2 = 12 |90º V c) v1 = 20 |60º V e v2 = 10 |-30º V
2.4.2 - Multiplicação e Divisão
Para realizar operações de multiplicação e divisão envolvendo tensões, correntes e potências complexas, basta utilizar a forma polar, uma vez que através de diagrama fasorial, tais operações seriam extremamente complicadas.
2.5 Circuitos Resistivos em C.A.
A resistência elétrica, quando submetida a uma tensão alternada, produz uma corrente elétrica com a mesma forma de onda, mesma frequência e mesma fase da tensão, porém, com amplitude que depende dos valores da tensão aplicada e da resistência, conforme a Primeira Lei de Ohm, que pode agora ser generalizada para sinais alternados senoidais.
2.5.1 - Tensão e Corrente na Resistência Elétrica Considere o circuito a seguir, no qual
uma fonte de tensão senoidal v(t) alimenta um resistor R:
A forma de onda da tensão e da corrente, bem como a representação fasorial desses sinais estão mostradas na figura a seguir:
Forma Polar: R = R |0º = R
Forma Cartesiana: R = R + j0 = R
Como se vê, o resistor não provoca nenhuma defasagem entre tensão e corrente e, portanto, a resistência elétrica pode ser representada por um número complexo com módulo R e fase nula (na forma polar) ou composta apenas pela parte real R (na forma cartesiana), isto é:
Representando a Primeira Lei de Ohm com números complexos, tem-se, portanto: v = Vp|0º e R = R |0º
2.5.2 - Potência Dissipada pela Resistência Elétrica
Vejamos agora o que acontece com a potência elétrica numa resistência submetida a uma tensão alternada senoidal. A potência instantânea p(t) dissipada por uma resistência elétrica R pode ser obtida pelo produto, ponto a ponto, entre v(t) e i(t), ou em função de R, isto é:
p(t) = v(t) ∙ i(t) ou p(t) = R ∙ i² (t) ou A figura a seguir mostra como fica a forma de onda da potência:
Como resultado, tem-se que a potência elétrica consumida é pulsante e sempre positiva, pois num mesmo instante, a tensão e a corrente são ambas positivas ou negativas, o que prova que, independente da polaridade da tensão ou do sentido da corrente, a resistência comporta-se sempre como um receptor, consumindo a potência fornecida pela fonte, que por sua vez, comporta-se sempre como um gerador. Além disso, nota-se que a frequência da
ELETRICIDADE II
forma de onda da potência é o dobro da frequência da tensão e da corrente. Neste caso, Pp representa
a potência de pico, e vale: Pp = Vp ∙ Ip.
Pela figura acima, percebe-se também que, enquanto a corrente e a tensão têm valores médios iguais a zero, a potência média P dissipada pelo resistor é a metade da potência de pico, ou seja:
Como será visto a seguir, a potência média é a que interessa na análise da potência nos circuitos em corrente alternada.
2.6 - Valor Eficaz
Para sinais alternados senoidais, existe um conceito muito importante denominado valor eficaz ou rms.
O valor eficaz Vef ou Vrms de uma tensão alternada corresponde ao valor de uma tensão contínua que,
se aplicada a uma resistência, faria com que ela dissipasse a mesma potência média caso fosse aplicada essa tensão alternada.
As medidas de tensão e corrente alternadas realizadas por multímetros são dadas sempre em valores eficazes. Matematicamente, para uma tensão alternada senoidal, a tensão eficaz Vrms pode ser
calculada a partir do valor de pico Vp ou de pico a pico Vpp, através das seguintes expressões:
Observações:
1. A sigla rms significa root mean square ou raiz média quadrática;
2. O conceito de valor eficaz é aplicado também à corrente elétrica;
3. As tensões da rede elétrica são dadas em valores eficazes (110V rms e 220V rms).
4. Para compreender melhor o significado físico deste valor, consideremos um sinal senoidal com
tensão de pico Vp alimentando um resistor R, conforme a figura ao lado.
A tensão e a corrente eficazes no resistor valem, respectivamente:
A potência dissipada pelo resistor, calculada em função dos valores eficazes de corrente e tensão, é equivalente à potência média P analisada no tópico anterior, ou seja:
Desta forma, para sinais alternados senoidais, é muito mais fácil trabalhar em função de valores eficazes, uma vez que a potência resultante nos cálculos já corresponde à potência média P.
Essa mesma potência seria dissipada caso fosse aplicada ao resistor uma tensão C.C. de valor igual ao da tensão eficaz. Desta forma, a potência pode ser calculada
por uma das seguintes expressões:
Apenas para finalizar, já vimos que as tensões e correntes alternadas senoidais num circuito podem ser representadas por números complexos.
Daqui em diante, os seus módulos poderão ser expressos em valores de pico ou eficazes, sendo que neste último caso, suas grandezas ou unidades deverão vir acompanhadas da sigla rms, para que não sejam confundidas, isto é:
Em valores eficazes: vms = Vms | 00 e ims = Ims |ϴ0
Em valores de pico: v = Vp |ϴ0 e i = Ip |ϴ0
Atividade de Aprendizagem
1 - Dado o gráfico das tensões senoidais a seguir, pedem-se, para ambos os sinais: a) Valor de pico e valor de pico a pico;
b) Período, frequência e frequência angular; c) Fase inicial e defasagem entre eles; d) Expressão matemática.
2 - Uma tensão senoidal tem frequência de 100 Hz, valor de pico de 10V e inicia o ciclo com atraso de
π/3 rd. Pedem-se:
a) Período e frequência angular; b) Expressão matemática; c) Representação gráfica.
3 - Dadas às tensões v1 = 30 |0º V e v2(t) = 20 ∙ sen (ωt: + π/ 2) (V), pedem-se os sinais:
a) v3 = v1 + v2 fasorialmente;
b) v3 = v1 + v2 matematicamente através de números complexos;
c) v3 = v1 + v2 matematicamente através das expressões trigonométricas;
d) v3 = v1 + v2 graficamente (soma ponto a ponto);
ELETRICIDADE II
f) v4 = v1 - v2 matematicamente através de números complexos;
g) v4 = v1 - V2 matematicamente através das expressões trigonométricas;
h) v4 = v1 - v2 graficamente (subtração ponto a ponto).
4 - Dado o circuito ao lado, determine:
a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas trigonométrica e
complexa;
b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t) e i(t);
c) Expressões de v1(t) e v2(t) nas formas trigonométrica
e complexa;
d) Formas de onda e representações fasoriais de v1(t) e v2(t);
e) Potências de pico e média fornecida pelo gerador e dissipada por cada resistor; f) Formas de onda das potências do item anterior.
5 - Dado o circuito ao lado, determine:
a) Expressões de v(t) e i(t) nas formas
trigonométrica e complexa;
b) Formas de onda e representações fasoriais de v(t) e i(t);
c) Expressões de i1(t) e i2(t) nas formas
trigonométrica e complexa;
d) Formas de onda e representações fasoriais de i1(t) e i2(t);
e) Potências de pico e média fornecida pelo gerador e dissipada por cada resistor. f) Formas de onda das potências do item anterior.
6 - Um aquecedor elétrico para torneira tem o circuito ao lado: a) Qual a potência média e de pico dissipada pelo
aquecedor em cada posição?
b) Qual a corrente eficaz e de pico consumida pelo
Aula 3 - Análise de Circuitos Indutivos
Objetivos
Conhecer o funcionamento de circuitos indutivos em regime alternado.
3.1 - Indutor
Um indutor ou bobina consiste em um fio enrolado helicoidalmente Sobre um núcleo, que pode ser de ar, ferro ou ferrite.
A figura ao lado mostra os três principais tipos de indutores e seus respectivos símbolos:
3.1.1 - Indutor em Corrente Contínua Quando a chave é fechada, uma corrente i começa à circular pelo indutor. Esta corrente, ao passar pelas espiras, cria um campo magnético. As linhas de força cortam as espiras subsequentes, gerando nelas uma tensão e, denominada força eletromotriz induzida (fem).
Conforme Lenz, esta tensão se opõe, através de i’ à causa que a originou (aumento da corrente i). Como resultado da oposição, a corrente leva certo tempo Δt = t1 para atingir o valor de regime I, imposto
apenas pela resistência ôhmica do fio do indutor. Quando a corrente atinge o valor de regime e fica constante, a chave é aberta no instante t2, como indica a figura seguinte:
A variação do campo magnético devido à diminuição da corrente i induz uma fem e com polaridade contrária, originando uma corrente i’ que se opõe a essa diminuição. Desta forma, mesmo sem a alimentação E, a corrente leva certo tempo Δt = t3 –t2 para ser eliminada.
3.1.2 - Indutância
Colocando-se um núcleo de ferro na bobina e repetindo-se a experiência da figura que representa um indutor alimentado, a oposição oferecida pelo indutor à variação da corrente será maior, como mostra a figura acima. Uma bobina ou indutor é caracterizado por sua indutância. A indutância L depende das dimensões do indutor (comprimento e diâmetro do enrolamento), do material de que é feito o núcleo (ar, ferro ou ferrite) e do número de espiras. Quando um núcleo de ferro é colocado na bobina, a sua indutância L aumenta.
ELETRICIDADE II
3.1.3 - Indutância L
A indutância L é a medida da capacidade do indutor de armazenar energia na forma de campo magnético. A unidade de medida da indutância é o Henry (H).
Observação: A unidade de medida de indutância (H) é em homenagem ao físico norte-americano
Joseph Henry (1797 - 1878) que descobriu diversos fenômenos eletromagnéticos e criou o telégrafo magnético.
A oposição às variações de corrente num indutor é análoga à oposição à passagem de corrente num resistor. No indutor, a tensão é diretamente proporcional à variação de corrente.
Sendo L esta constante de proporcionalidade, que é dada por: Onde: v (t) = tensão do indutor l = indutância
= variação da corrente em função do tempo
Porém, como esta expressão depende de conceitos de matemática avançada (função derivada), ela será tratada de forma bem mais simples a partir do próximo tópico.
3.2 - Indutor Ideal em Corrente Alternada
No tópico anterior, foi visto que quando uma tensão contínua é aplicada a um indutor, a corrente sofre um atraso até atingir o valor de regime.Se a tensão aplicada a um indutor ideal (resistência ôhmica nula) é senoidal, a corrente (também senoidal) fica atrasada de 90° em relação à tensão, como mostra a figura a seguir, considerando que a tensão aplicada tem fase inicial nula (θ0 = 0°).
Neste caso: v (t) = Vp ∙ sen ωt ou v = Vp |0º
i (t) = Ip ∙ sen (ωt - 90°) ou I = Ip |90º
3.2.1 - Reatância Indutiva XL
A medida da oposição que o indutor oferece à variação da corrente é dada pela sua reatância indutiva XL. O valor (em módulo) da reatância indutiva é diretamente proporcional à indutância L e à frequência f
da corrente (ou de sua frequência angular ω), sendo calculada por: XL= 2π ∙ f ∙ L ou XL = ω ∙ L
Onde: XL = módulo da reatância indutiva em Ohm [Ω]
L = indutância da bobina em Henry [H] f = frequência da corrente em Hertz [Hz]
ω = frequência angular da corrente em radianos/segundo [rd/s]
Pela expressão da reatância indutiva, percebe-se que quanto maior a indutância L e a frequência f (ou
Conclusão: O indutor ideal comporta-se como um curto-circuito em corrente contínua e como uma resistência elétrica em corrente alternada. Para uma frequência muito alta, o indutor comporta-se como um circuito aberto.
3.2.2 - Primeira Lei de Ohm para o Indutor Ideal
A Primeira Lei de Ohm pode ser usada num circuito em corrente alternada, substituindo-se a resistência elétrica pela reatância indutiva, isto é:
Considerando-se as variáveis em questão na forma de números complexos, tem-se:
Neste caso, V e I podem ser valores de pico, pico a pico ou eficazes. Assim, pode-se representar a reatância indutiva por: XL = ω ∙ L |90º ou XL = jω ∙ L
Percebe-se, portanto, que a reatância indutiva de um indutor ideal tem fase sempre igual a 90° (forma polar) ou tem somente parte imaginária positiva (forma cartesiana). A fase da reatância indutiva, que corresponde à defasagem entre a tensão e a corrente no indutor, é chamada de Ф.
Se a tensão possui fase inicial θ0, a corrente no indutor passa a ter fase (θ0 - 90°), de forma que a fase da
reatância indutiva continua sendo Ф = 90°.
A fase Ф de uma reatância, como será visto mais adiante, é muito importante para a análise da potência em circuitos reativos (indutivos e/ou capacitivos).
Exemplos:
1. Sobre uma bobina de 200mH é aplicada uma tensão de 110Vrmsl60Hz.
2. Considerando a bobina ideal e fase inicial da tensão nula, pedem-se:
a) Reatância da bobina em módulo e em número complexo. Cálculo de XL em módulo: XL = 2π ∙ f ∙ L = 2 π ∙ 60 ∙ 200 ∙ 10-3 = 75,4Ω. Em número complexo, tem-se: X
L = j75,4Ω ou XL = 75,4 |90º Ω.
b) Valor eficaz da corrente na bobina:
c) Gráficos da tensão e corrente na bobina Ip = √2 ∙ Irms = √2 ∙ 1,46 = 2A
ELETRICIDADE II
3. Em que frequência uma bobina de 100rnH tem 150Ω de reatância?
4. Em um circuito indutivo alimentado com 110Vrms/60Hz, deseja-se que a corrente seja limitada
em 200mA. Qual deve ser o valor da indutância da bobina? Sendo a corrente de pico na bobina iguala 200mA, seu valor eficaz é:
A reatância da bobina vale:
Portanto, a indutância da bobina deve valer:
5. Dado o circuito a seguir, pede-se:
a) Expressão da corrente na forma polar e em função do tempo.
Calculando-se a reatância do indutor, tem-se: XL = ω ∙ L = 2π ∙ 60 ∙ 50 ∙ 10-3 = 18,85Ω
Assim: XL = j18,85Ω ou XL = 18,85 |90º Ω
A corrente, na forma polar, vale:
Transformando a expressão da corrente para o domínio tempo, tem-se:
i(t) = 1,6 ∙ sen (ωt - 30°) (A) ou i(t) = 1,6.sen (377t -π/ 6) (A) b) Diagrama fasorial
3.2.3 - Potência num Indutor Ideal
Através da expressão p(t) = v(t) ∙ i(t), pode-se levantar o gráfico da potência instantânea num indutor ideal, que fica como mostra a figura a seguir:
Em um circuito puramente indutivo (sem resistência ôhmica), não há dissipação de energia. Observando o gráfico da potência instantânea, verifica-seque a potência é ora positiva, ora negativa, de forma que sua potência média é zero.
Quando a potência é positiva, significa que o indutor está recebendo energia do gerador, armazenando-a na forma de campo magnético. Quando a potência é negativa, significa que o indutor está se comportando como um gerador, devolvendo a energia armazenada ao circuito. Esta sequencia se repete duas vezes em cada ciclo da tensão do
gerador. Desta forma, a energia é sempre trocada entre o gerador e o indutor, não havendo dissipação de potência (perdas).
3.2.4 - Potência Ativa
Num circuito reativo, a potência média (dissipada) é denominada potência ativa P (ou real), sendo calculada por: P = Vms ∙ Ims ∙ cos Ф [W].
A fase Ф é a defasagem entre a tensão e a corrente, que corresponde à fase da reatância. Como no indutor ideal Ф = 90°, tem-se que:
P = Vms ∙ Ims ∙ cos 90° = Vms ∙ Ims ∙ 0 = 0W (potência
média nula).
3.3 - Circuito RL Série
Na prática, um indutor apresenta indutância e resistência elétrica (devido à resistividade do fio do indutor).
Portanto, a corrente elétrica, ao percorrer um indutor, encontra dois tipos de oposição: a reatância indutiva e a resistência ôhmica do fio. Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito RL série, a corrente continua atrasada em relação a ela, só que de um ângulo menor que 90°, pois, enquanto a indutância tende a defasá-Ia em 90°, a resistência tende a colocá-Ia em fase com a tensão. A figura ao lado (a) mostra um circuito RL série, no qual a resistência R representa o equivalente de todas as resistências em série com o indutor (inclusive a resistência ôhmica do fio do indutor). Por simplicidade, a corrente foi considerada com fase inicial nula. Pelo diagrama fasorial, vê-se que a corrente i no indutor (que é a mesma no resistor) está atrasada de 90° em relação à tensão vL.
Como tensão e corrente num resistor estão sempre em fase vR e i estão representadas no mesmo eixo.
A tensão v do gerador é a soma vetorial de vL com vR, resultando numa defasagem Ф menor que 90°
em relação à corrente.
3.3.1 - Impedância Indutiva ZL
A oposição que o indutor real oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e de XL. Esta combinação é denominada
impedância indutiva ZL, dada em (Ω], e pode ser representada
ELETRICIDADE II
Aplicando-se a Primeira Lei de Ohm, tem-se:
Do diagrama fasorial da figura a seguir, vL, vR e i podem ser representados na forma de números
complexos:
A reatância indutiva XL vale:
A resistência R vale:
Como v = vR+ vL (soma vetorial), dividindo-se ambos os lados da igualdade por i, tem-se:
Assim, a impedância indutiva ZL vale: ZL = R + jXL ou ZL = R + jω ∙ L
A impedância indutiva pode ser também representada na forma polar como segue:
Módulo: Fase: ou, ainda:
No plano cartesiano, a impedância indutiva fica como na figura ao lado. Em geral, a resistência do enrolamento de uma bobina é baixa (de unidades a centenas de Ohm). Portanto, em muitos casos ela pode ser desprezada, sendo o indutor considerado ideal.
Exemplos:
1. Uma bobina,quando ligada a uma fonte CC de 10V, consome 100mA e, quando ligada a uma fonte CA de 10Vrms /500Hz, consome 20mArms. Calcular:
a) Resistência da bobina.
Quando a bobina é ligada à fonte CC, só existe o efeito da resistência ôhmica, pois sendo a tensão constante, a
b) Reatância e indutância da bobina. Quando a bobina é ligada à fonte CA, além da resistência ôhmica, há o efeito da reatância indutiva. Assim, o módulo da impedância indutiva é:
Como o valor da reatância indutiva é:
Portanto, a indutância vale:
c) Impedância complexa da bobina e sua representação gráfica Para a representação na forma polar, é necessário calcular a fase:
Portanto:
d) Diagrama fasorial do circuito CA (considerando fase inicial da tensão da fonte nula). Tem-se: Vrms= 10 ∙ |0° V.
Como a corrente i está atrasada de Ф= 78,5° em relação à tensão, seu valor na forma complexa é: irms = 20 |-78,5º mA. As tensões vR e vL valem:
VRrms = R ∙ i =100 ∙ 0,02 |-78,5° = 2 |-78,5° V
VLrms = XL∙ i = 490 |90° ∙ 0,02 |-78,5° = 9,8 |11,5° V
2. Dado o circuito ai lado, determinar: a) Impedância do circuito e o valor de L. A impedância, na forma cartesiana, vale: ZL= 30 + j40 Ω. Na forma polar, tem-se:
ELETRICIDADE II
Fase:
Portanto: ZL= 50 |53° Ω
Pela reatância indutiva, tira-se L:
b) Corrente no circuito:
c) Diagrama fasorial e formas de onda.
Para o diagrama fasorial, tem-se: v = 110 |90° Vrms e i = 2,2 |37° Arms
Calculando-se vL e vR: vL= XL ∙ i = 40 |90º ∙ 2,2|37º = 88 |127°Vrms
vR= R ∙ i= 30 |0º ∙ 2,2 |37º = 66 |37°Vrms
Portanto:
Para as formas de onda, tem-se:
V(t)= 110 ∙ √2 ∙ sen (2π ∙ f ∙ t + 90°) = 156 ∙ sen (377t + 90°) (V) VL(t) = 88 ∙ √2.sen (377t +127º) = 124,5 ∙ sen (377t+127º) (V)
vR(t) = 66 ∙ √2 ∙ sen (377t + 37°) = 93,3 ∙ sen (377t + 37°) (V)
i(t) = 2,2 ∙ √2. sen (377t + 37°) = 3,1 ∙ sen (377t+ 37°) (A)
3. Para o circuito ao lado, calcular:
a) A tensão no indutor e a corrente do circuito.
Cálculo de vL, através da fórmula do divisor de tensão:
Tem-se: R = 100Ω e v =110 |45ª Vrms
Logo:
A corrente do circuito pode ser calculada por: b) Diagrama fasorial
3.3.2 - Potência em Circuitos Indutivos
Para a análise da potência num circuito indutivo formado por um resistor e um indutor ligados em série, consideremos o circuito da figura a seguir (a). Representando os fasores das tensões envolvidas (em
Vrms) na forma de um triângulo, tem-se a figura (b).
Notar que a fase Ф corresponde tanto à fase da impedância equivalente quanto à defasagem entre tensão e corrente do gerador. Multiplicando-se os lados do triângulo de tensões pela corrente i do circuito, obtém-se o triângulo de potências, como na figura acima (c).
A base deste triângulo é a potência ativa P (ou real), dada em Watt [W], que pode ser obtida através de uma das seguintes expressões:
A hipotenusa do triângulo representa a potência aparente PAP, cuja unidade é Volt-Ampère [VA], e
dada pela expressão:
A altura do triângulo é a potência reativa PR(neste caso, potência reativa indutiva PRI). A potência reativa
ELETRICIDADE II
Como mostra a figura a seguir, essas três potências se relacionam da seguinte forma:
3.3.3 - Fator de Potência - FP
A relação entre a potência real P e a potência aparente PAP é denominada fator de potência FP, cuja
expressão pode ser tirada da figura acima.
Portanto, o fator de potência pode ser calculado diretamente através da fase Ф da impedância.
É muito comum chamar o fator de potência de cosseno fi, devido à sua expressão.
O fator de potência dá uma medida do aproveitamento da energia fornecida pelo gerador à carga. Em circuitos formados por resistores e/ou indutores, três situações são possíveis:
Se a carga é puramente resistiva, não há potência reativa e, portanto, PAp= P, ou seja, FP = 1. Neste caso, a carga aproveita toda a energia
fornecida pelo gerador (dissipa potência por efeito Joule).
Se a carga é puramente indutiva (ou reativa), não há potência ativa e, portanto, PAP = PR' ou seja, FP = O. Neste caso, a carga não aproveita
nenhuma energia fornecida pelo gerador, ou seja, não dissipa potência, mas apenas troca energia com o gerador.
Se a carga é indutiva (impedância reativa indutiva), há potência ativa e reativa e, portanto, P2AP = P2 + P2R, ou seja, O<FP< 1. Neste caso, a
carga aproveita somente uma parte da energia fornecida pelo gerador, ou seja, somente a parte resistiva da carga dissipa potência por efeito Joule.
Exemplos:
a) Leitura dos aparelhos XL = j2π.f. L = j2 π.60.0,1 = j37,7 Ω ZL = 50 + j37,7 = 62,6 |37º Ω (o amperímetro indica 1,76 Arms) V1 = R.i =50 |0° . 1,76 |-37º = 88 |-37º Vrms (V1 indica 88 Vrms) v2 = XL.i = 37,7 |90° . 1,76 |-37° = 66,4 |53° Vrms (V2 indica 66,4 Vrms) b) Fator de potência FP = cosФ = cos37°= 0,799
c) Potência ativa dissipada pelo circuito
P = Vrms. Irms. cosФ = 110.1,76.0,799 = 154,7W
d) Potências aparente e reativa do circuito PAp = Vrms. Irms = 110.1,76 = 193,6 VA
PR = Vrms. Irms. senФ = 110.1,76.sen37°= 116,5 VAR
e) Diagrama fasorial
Embora o resistor esteja em série com o indutor, devido à fase das
tensões nestes dispositivos serem diferentes, a soma de suas tensões (medidas pelos voltímetros) não é igual à tensão fornecida pelo
ELETRICIDADE II
gerador. Essa soma só é válida se feita vetorialmente, já que as tensões são valores complexos.
De toda a potência que o gerador entrega à carga, somente uma parte
é consumida (154,7W). A outra parte (potência reativa) não é usada para realizar trabalho útil, sendo constantemente trocada entre a carga e o gerador. Um wattímetro conectado ao circuito mediria apenas essa potência ativa de 154,7W.
Se a potência reativa aumentar, sem aumento na potência ativa, a
potência aparente aumenta, causando aumento no consumo de corrente e implicando numa fiação de bitola maior e, portanto, num aumento de custo. Por isso, a concessionária de energia elétrica controla o fator de potência (cosФ) dos usuários, estipulando um valor mínimo, que é de 0,85, abaixo do qual os usuários pagam multa. Na prática, quando o FP cai abaixo do mínimo estabelecido (0,85), é possível fazer a correção, introduzindo-se capacitores ao circuito.
2. A potência consumida (ativa) por uma instalação elétrica é de 2400W. Se a tensão de alimentação é de 220Vrms, calcular a potência aparente e a corrente consumida quando:
a) FP = 0,9
b) FP = 0,6
Observação: Apesar de a potência consumida útil ser a mesma, a corrente consumida aumentou com a diminuição do fator de potência da instalação elétrica.
3. Calcular o fator de potência de um circuito RL série cujo amperímetro indica 10A, o voltímetro ligado ao gerador indica 220V e o wattímetro indica 2000W.
Como os instrumentos medem valores eficazes, tem-se:
4) No circuito a seguir, a leitura dos instrumentos V=220V, 1=55ª e P=10kW. Calcular:
a) Impedância do circuito
b) Resistência e indutância
c) Potências aparente e reativa
ELETRICIDADE II
Aula 4 - Análise de Circuitos Capacitivos
Objetivos
Conhecer o funcionamento de circuitos indutivos em regime alternado.
4.1 - Capacitor
Um capacitor ou condensador é um dispositivo que armazena cargas elétricas. Ele consiste basicamente em duas placas metálicas paralelas, chamadas de armaduras, separadas por um isolante, chamado material dielétrico.
A figura ao lado mostra os detalhes construtivos e o símbolo genérico de um capacitor:
4.1.1 - Capacitância C
A capacitância C é a medida da capacidade do capacitor de armazenar cargas elétricas, isto é, armazenar energia na forma de campo elétrico. A unidade de medida de capacitância é o Farad [F], e seu valor depende, principalmente, das dimensões do
capacitor e do tipo de dielétrico.
Observação: A unidade de medida de capacitância [F] é em homenagem ao físico inglês Michael Faraday (1791 - 1867) que estudou diversos fenômenos relacionados às cargas elétricas.
Capacitância: Consideremos um capacitor alimentado por uma fonte de tensão contínua E, como mostra a figura ao lado.
Quando a chave é fechada (t=O), o capacitor começa a
armazenar cargas até atingi rum valor Q. A quantidade de cargas que um capacitor pode armazenar depende de sua capacitância C e da tensão V entre seus terminais, isto é:
Q = V ∙ C Onde: Q => quantidade de cargas em Coulomb [C] V => tensão entre os terminais em Volt [V] C => capacitância em Farad [F]
Exemplo: Num capacitor de 100µF, é aplicada uma tensão de 10V. Determinar a carga elétrica total armazenada no capacitor e a quantidade de elétrons que se deslocaram de uma placa para outra.
Q = V ∙ C = 10 ∙ 100 ∙ 10-6 = 10-3 = 1mC
Como Q = n.qe, onde n representa o número de elétrons (em excesso ou em falta) e qe = 1,6 ∙ 10 -19C (carga
Isto significa que a placa superior está com 6,25 ∙ 1015 elétrons em falta e a inferior tem um excesso de
6,25 ∙ 1015
elétrons, ou seja, os elétrons da placa superior se dirigiram para a placa inferior através da fonte de alimentação.
4.1.2 - Tensão e Corrente no Capacitor
Aplicada uma tensão E no capacitor, inicialmente, a corrente i (fluxo de cargas) é mais intensa, diminuindo à medida que o capacitor se carrega, até parar (i=O).
Por outro lado, a tensão v no capacitor (potencial associado às cargas elétricas) começa em zero e cresce até atingir o valor da tensão de alimentação (v = E).
O tempo necessário para que o capacitor se carregue totalmente (situação em que a tensão atinge o valor máximo e a corrente vale zero) depende das resistências do circuito. Num circuito puramente capacitivo, esse tempo é extremamente pequeno, isto é, o capacitor se carrega quase que instantaneamente, comportando-se, a partir daí, como um circuito aberto.
Assim, três conclusões muito importantes podem ser tiradas em relação ao comportamento do capacitor:
1. Um capacitor armazena energia na forma de campo elétrico.
2. Um capacitor comporta-se como um circuito aberto em tensão contínua, mas permite a condução de corrente para tensão variável.
3. Num capacitor, a corrente está adiantada em relação à tensão.
O fato de o capacitor permitir a condução de corrente quando a tensão aplicada é variável, não significa que esta condução ocorra sem qualquer oposição. Só que no caso do capacitor, ao contrário do que ocorre no indutor, quanto mais rápida é a variação da tensão, menos oposição existe à passagem da corrente.
Portanto, no capacitor, a corrente é diretamente proporcional à variação de tensão, sendo esta constante de proporcionalidade a capacitância C, que é dada por:
Onde:
i(t) => corrente no indutor c => capacitância
dv(t) / dt => variação da tensão em função do tempo
Da mesma forma que para o indutor, esta expressão depende de conceitos de matemática avançada (função derivada), sendo tratada de forma bem mais simples a partir do próximo tópico.
ELETRICIDADE II
4.1.3 - Circuito RC Série em Corrente Contínua O comportamento do circuito RC série alimentado por uma fonte de tensão contínua é muito importante, já que os conceitos envolvidos serão de grande utilidade no projeto de circuitos temporizados.
Carga do Capacitor
Se o capacitor for conectado a uma fonte de tensão contínua E através de um resistor R, como na figura ao lado, ele levará certo tempo para se carregar totalmente.
Na figura acima, o capacitor encontra-se inicialmente descarregado. No instante t = 0, a
chave é fechada (b). De acordo com a Segunda Lei de Kirchhoff, tem-se: vR(t) + vC(t) = E = constante
Em t = 0, o capacitor está descarregado, ou seja, Vc(0) = 0. Assim, VR(O) = E. Portanto, a corrente
inicial é máxima, e vale: i(0)= I = E/R.
Do ponto de vista físico, não existe corrente através do capacitor, mas uma movimentação de elétrons, como indica a figura (c).
Como a carga q do capacitor começa a aumentar, a tensão no capacitor vC(t) também aumenta,
diminuindo a tensão no resistor vR(t) e a corrente i(t) do circuito.
Após um determinado tempo, o capacitor carrega-se completamente com carga máxima Q, fazendo com que sua tensão atinja o valor da fonte (Vc =E) e a corrente no circuito seja nula, como na figura (d).
Conclui-se, portanto, que durante certo intervalo de tempo, a tensão no capacitor aumenta e a corrente no circuito diminui.
Como se vê pelos gráficos, a curva de vc(t) é uma exponencial crescente, enquanto vR(t) e i(t) são
Observação: Nestas expressões, e é o algarismo neperiano e vale aproximadamente 2,718.
Pelas expressões, percebe-se que quanto maior o valor do resistor e do capacitor, mais tempo leva para que o capacitor carregue-se totalmente.
A medida da velocidade de crescimento da tensão no capacitor é dada pela constante de tempo τ (letra grega tau) do circuito, definida como:
Onde: R => resistência em Ohm [Ω]; C => capacitância em Farad [F];
τ => constante de tempo em segundo [s]
Na expressão de vc(t), considerando-se t = τ = R ∙ C, obtém-se:
vd(τ) = E ∙ (1- e-1) ≈ O,63 ∙ E
Isto significa que, passado um tempo t igual a uma constante de tempo τ, a tensão no capacitor atinge aproximadamente 63% da tensão da fonte E.
Na expressão de vc(t), considerando-se o tempo dado em constantes de tempo τ, o gráfico da carga do
capacitor fica como mostra a figura a seguir:
Deste gráfico, conclui-seque, do ponto de vista prático, o capacitor pode ser considerado totalmente carregado, ou seja, VC ≈ E, passado um tempo t ≥ 4 ∙ τ ou t ≥ 4 ∙ R ∙ C, pois, nesta condição, a sua
tensão é maior que 98% da tensão da fonte.
Descarga do Capacitor
Estando o capacitar totalmente carregado, com VC = E, e desligando-se a fonte de tensão, ele
permanece neste estado por muito tempo, já que a resistência do dielétrico é muito elevada (isolante). Assim, a descarga só pode ocorrer caso haja resistência de fuga entre as placas do capacitar, ou se no lugar da fonte for colocado um fio, curto-circuitando-se os terminais do resistor e do capacitar.
Considerando-se este último caso, como na figura a seguir (a), inicialmente o capacitar encontra-se com vc(O)= E, o mesmo ocorrendo com o resistor, porém com polaridade invertida, ou seja, VR(O)= - E.
ELETRICIDADE II
Assim, o capacitor se descarrega pelo resistor com a mesma constante de tempo 't =R ∙ C. até que, passado um tempo t ≥ 4τou t ≥ 4 ∙ R ∙ C, ele pode ser considerado totalmente descarregado, como mostra a figura (b). Observe que a curva da tensão no resistor tem o mesmo aspecto que a do capacitor, mas sua polaridade é contrária.
Com a corrente ocorre algo semelhante. Inicialmente ela é máxima, mas no sentido contrário ao da carga do capacitor. Conforme diminui a tensão no capacitor e no resistor, sua intensidade também diminui, até zerar.
As expressões das tensões e corrente no circuito, durante a descarga do capacitor, são as seguintes:
Exemplo: No circuito ao lado, considerando que o capacitor encontra-se inicialmente descarregado, determinar:
a) Constante de tempo do circuito: τ = R ∙ C = 1 ∙ 103 ∙ 1 ∙ 10-6 = 1ms b) Com a chave na posição 2, expressões de vc(t), vR(t)e i(t)
c) Após t = 10 ∙ τ, coma chave na posição 3, expressões de vc(t), vR(t) e i(t)
Passado o tempo t = 10 ∙ τ, pode-se considerar que o capacitor encontra-se totalmente carregado, com Vc = E = 10V. Portanto:
Tensão no Resistor:
Corrente no Circuito:
d) Esboço da curva de vc(t), baseado nos itens (b) e (c):
4.2 - Capacitor em Corrente Alternada
No tópico anterior, foi visto que quando uma corrente contínua é aplicada a um capacitor, a tensão leva um certo tempo para atingir o valor máximo. Portanto, no capacitor, a corrente está adiantada em relação à tensão.
Se a tensão aplicada a um capacitar é senoidal, a corrente (também senoidal) fica adiantada de 90° em relação à tensão. A figura a seguir mostra o diagrama fasorial e as formas de onda da tensão e da corrente num capacitor, considerando que a tensão aplicada tem fase inicial nula (θ0= 0°).
Neste caso: v(t) = Vp ∙ senωt ou v = Vp|0º
i(t) = Ip ∙ sen(ωt+90º) ou i = Ip |90º
4.2.1 - Reatância Capacitiva Xc
A medida da oposição que o capacitor oferece à variação da corrente é dada pela sua reatância capacitiva Xc. O valor (em módulo) da reatância capacitiva é inversamente proporcional à capacitância
C e à frequência f da corrente (ou de sua frequência angular ω),sendo calculado por:
Onde: Xc => módulo da reatância capacitiva em Ohm [Ω]
ELETRICIDADE II
f => frequência da corrente em Hertz [Hz]
ω => frequência angular da corrente em radianos/segundo [rd/s]
Pela expressão da reatância capacitiva, percebe-se que quanto maior a capacitância C e a frequência f (ou ω), menor é a reatância Xc do capacitor.
Conclusão: O capacitor comporta-se como um circuito aberto em corrente contínua e como uma resistência elétrica em corrente alternada. Para uma frequência muito alta, o capacitor comporta-se como um curto circuito.
4.2.2 - Primeira Lei de Ohm para o Capacitor
A Primeira Lei de Ohm pode ser usada para o cálculo da reatância capacitiva como segue:
Considerando-se as variáveis em questão na forma de números complexos, tem-se:
Neste caso, V e I podem ser valores de pico, pico a pico ou eficazes. Assim, pode-se representar a reatância capacitiva por:
Percebe-se, portanto, que a reatância capacitiva de um capacitor tem fase sempre igual a -90º (forma
polar) ou tem somente parte imaginária negativa (forma cartesiana). A fase da reatância capacitiva, que corresponde à defasagem entre a tensão e a corrente no capacitar, é chamada de Φ.
Se a tensão possui fase inicial θ0, a corrente no capacitar passa a ter fase (θ0+ 90º), de forma que a fase
da reatância capacitiva continua sendo Φ =-90º.
Exemplos: 1. Calcular a reatância de um capacitar de 4,7µF nas frequências de 60Hz e 400Hz. Para f = 60Hz:
Para f = 400Hz:
Portanto, quanto maior a frequência, menor a reatância capacitiva.
2. Qual a intensidade da corrente no circuito a seguir e como fica o diagrama fasorial?
Como a fase da tensão é de 120°, a corrente tem fase de 210°, pois está adiantada em 90°. Assim, o diagrama fasorial fica como mostrado ao lado.
3. Em que frequência a corrente no circuito a seguir vale 0,5A rms?
Se I=0,5A, então:
Portanto, a frequência deve ser de:
4.2.3 - Potência num Capacitor
Através da expressão p(t) = v(t) ∙ i(t), pode-se levantar o gráfico da potência instantânea num capacitor, que fica como mostra a figura a seguir.
Em um circuito puramente capacitivo, não há dissipação de energia. Observando o gráfico da potência instantânea, verifica-se que a potência é ora positiva, ora negativa, de forma que sua potência média é zero. Quando a potência é positiva, significa que o capacitor está recebendo energia do gerador, armazenando-a na forma de campo elétrico nas suas armaduras. Quando a potência é negativa, significa que o capacitor está se comportando como um gerador, devolvendo a energia armazenada ao circuito.
ELETRICIDADE II
Esta sequencia se repete duas vezes em cada ciclo da tensão do gerador. Desta forma, a energia é sempre trocada entre o gerador e o capacitor, não havendo dissipação de potência (perdas).
Potência Ativa
Num circuito reativo capacitivo, a potência média (dissipada) é denominada potência ativa P (ou real), sendo calculada por:
A fase Φ é a defasagem entre a tensão e a corrente, que corresponde à fase da reatância capacitiva. Como no capacitar Φ = -90° tem-se que:
4.3 - Circuito RC Série
Quando uma tensão alternada é aplicada a um circuito RC série, a corrente continua adiantada em relação a ela, só quede um ângulo menor que 90°, pois enquanto a capacitância tende a defasá-Ia em 90°, a resistência tende a colocá-Ia em fase com a tensão, como mostra a figura a seguir.
Pelo diagrama fasorial, vê-se que a corrente i no capacitar (que é a mesma no resistor) está adiantada de 90° em relação à tensão vC. Como tensão e corrente num resistor estão sempre em fase, vR e i estão
representadas no mesmo eixo.
A tensão v do gerador é a soma vetorial de vc com vR, resultando numa defasagem Φ menor que 90º
em relação à corrente.
4.3.1 - Impedância Capacitiva Zc
A oposição que o capacitor oferece à passagem da corrente elétrica depende de R e de Xc. Esta
combinação é denominada impedância capacitiva Zc, dada em [Ω], e pode ser representada por um
Aplicando-se a Primeira Lei de Ohm, tem-se:
Do diagrama fasorial da figura anterior (b), vC, vR e i podem ser representados na forma de números
complexos:
vc= Vc |0º
vR = VR |90º
i = I |90º A reatância capacitiva Xc vale:
A resistência R vale:
Como v = vR+ rC(soma vetorial), dividindo-se ambos os lados da igualdade por i, tem-se:
Assim, a impedância capacitiva Zc vale:
A impedância capacitiva pode ser também, representada na forma polar como segue:
Módulo:
Fase:
Ou, ainda:
ELETRICIDADE II
4.3.2 - Potência em Circuitos Capacitivos
Para a análise da potência num circuito capacitivo formado por um resistor e um capacitor ligados em série, consideremos o circuito da figura a seguir (a).
Representando os fasores das tensões envolvidas (em Vrms) na forma de um triângulo, tem-se a figura (b).
Multiplicando-se os lados do triângulo de tensões pela corrente i do circuito, como na figura (c), obtém-se o triângulo de potências, formado por:
Potência aparente PAp [VA]: PAp = Vrms ∙ Irms
Potência ativa P [W]: P = Vrms ∙ Irms ou P = Vrms ∙ Irms ∙ cos Φ
Potência reativa PR [VAR]: PR = Vrms ∙ Irms ou PR = Vrms ∙ Irms ∙ sen Φ
A potência reativa, neste caso, recebe o nome de potência reativa capacitiva PRC.
A relação entre essas três potências é:
Fator de Potência - FP
A relação entre a potência real P e a potência aparente PAp é denominada fator de potência FP, cuja
Portanto, o fator de potência pode ser calculado diretamente através da fase Φ da impedância, mesmo que ela seja negativa, pois cosΦ = cos(-Φ).
Em circuitos formados por resistores e/ou capacitores, três situações são possíveis:
Se a carga é puramente resistiva, não há potência reativa e, portanto, PAp = P, ou seja, FP = 1.
Neste caso, a carga aproveita toda a energia fornecida pelo gerador (dissipa potência por efeito JouIe). Se a carga é puramente capacitiva (ou reativa), não há potência ativa e, portanto,
PAp = Pr, ou seja, FP = O. Neste caso, a carga não aproveita nenhuma energia fornecida pelo gerador,
ou seja, não dissipa potência, mas apenas troca energia com o gerador.
Se a carga é capacitiva (impedância reativa capacitiva), há potência ativa e reativa e, portanto, PAp =
P2 + P2R ou seja, O ≤FP ≤ 1. Neste caso, a carga aproveita somente uma parte da energia
fornecida pelo gerador, ou seja, somente a parte resistiva da carga dissipa potência por efeito JouIe.
Exemplos: 1. Dado o circuito ao lado, pedem-se: a) Impedância complexa nas formas cartesiana e polar Forma cartesiana: ZC = R - jXC = 40 - j30 Ω
Forma polar:
Portanto: ZC = 50 | 37° Ω
b) Corrente, tensão no resistor e tensão no capacitor
c) Valor da capacitância
d) Potências aparente, ativa e reativa PAp = Vrms ∙ Irms = 100 ∙ 2 = 200VA
P = Vrms ∙ Irms = 80 ∙ 2 = 160W
PR = VCrms ∙ Irms = 60 ∙ 2 = 120VAR
ELETRICIDADE II
2. Dado o circuito a seguir, pedem-se: a) Valor de R
Pelo triângulo de tensões:
A reatância capacitiva vale:
Valor da corrente:
Portanto, o resistor vale:
Atividade de Aprendizagem
1 - No circuito a seguir, no qual é aplicada uma tensão retangular, a tensão no capacitar vale VC(O) = OV. Determinar:
a) Constante de tempo do circuito e período da tensão retangular;
b) Expressões de vC(t), vR(t)e i(t) para os intervalos O ≤ t < 5µs e 5 ≤ t < 1Oµs;
c) Esboço das formas de onda de vC(t), vR(t) e i(t) para as condições do item b.
2 - Qual o valor mínimo do resistor que deve ser ligado em série com
um capacitar de 1OOOµF, para que o mesmo demore no mínimo, uma hora para se carregar?
3 - Em que frequências um capacitor de 33µF possui reatâncias de 10Ω e 1kΩ?
4 - Qual a intensidade da corrente no circuito ao lado, e como fica o
5 - Em que frequências a corrente no circuito a seguir vale 10mArms e 1A?
6 - O ângulo de defasagem entre tensão e corrente em um circuito RC série é de 60°. Calcular os
valores de R e C, sabendo-se que ZC= 200Ω (em módulo) e que f = 500Hz.
7 - Para o circuito a seguir, pedem-se: a) Corrente e impedância complexas;
b) Tensões complexas no resistor e no capacitor; c) Diagrama fasorial.
8 - Em um circuito RC série, vC= 80 |0º Vrms, VR =
80Vrms e I =0,2Arms. Se a frequência do gerador é 60Hz,
pedem-se
a) Tensão do gerador e impedância complexas; b) Expressões de v(t), vR(t) e vC(t);
c) Diagrama fasorial.
9 - No circuito a seguir, deseja-se um FP = 0,8. Qual deve ser o valor
de C?
10 - No circuito a seguir, deseja-se que vC= vR/3. Determinar:
a) vC e vR; b) Valor de C; c) Ângulo Φ.
ELETRICIDADE II
11 - Em um circuito RC série, o ângulo de defasagem entre tensão e corrente é de 30°. A tensão de
alimentação é 110|0º Vrms/60Hz e a corrente consumida é 5Arms. Calcular:
a) vC e vR;
b) ZC e i (complexas);
c) Potências ativa, reativa e aparente.
12 - Para o circuito ao lado, pedem-se: a) Impedância complexa;
b) Corrente complexa e sua expressão em
função do tempo;
c) Diagrama fasorial.
13 - Em um circuito RC paralelo, são dados: IC = i = 5 |60º Arms R = 10Ω. Determinar:
a) Corrente complexa no resistor; b) Tensão complexa do gerador; c) Impedância complexa;
d) Ângulo Φ;
e) Potências ativa, reativa e aparente; f) Diagrama fasorial.
14 - A impedância complexa de um circuito RC paralelo vale ZC = 50 |-30º Ω. Sabendo-se que v= 110|0º
Vrms /60Hz, pedem-se:
a) Valor de C; b) Expressão de i(t); c) Diagrama fasorial.
