VII. Árvore Geradora Mínima (Minimum Spanning Tree) 1. Árvore
O grafo não orientado G = { V,A} em que "V" é um conjunto com 2 ou mais vértices e "A" é o conjunto das arestas, constitui uma "Árvore" se é Conexo e Acíclico (sem ciclos).
São definições equivalentes:
• G é acíclico e tem "n-1" arestas (sendo "n" o número de vértices) • G é conexo e tem "n-1" arestas
• G é acíclico mas passa a ter ciclo se aumentado com mais uma aresta
• G é conexo mas suprimindo qualquer aresta passará a ter duas componentes conexas (deixa de ser conexo)
• Em G há uma e só uma cadeia entre cada par dos seus vértices O grafo da figura é uma Árvore.
B C E A D Árvore
Qualquer Árvore tem pelo menos dois vértices Suspensos (extremos de uma única aresta). 2. Árvore Geradora Mínima
Um grafo G, conexo, admite várias Árvores.
Uma Árvore com todos os vértices do grafo G denomina-se Árvore Geradora ou de Suporte ou Máxima. Na figura tem-se o grafo G, uma Árvore Geradora e uma Árvore de G:
A condição necessária e suficiente para que o grafo G admita uma Árvore Geradora é que G seja conexo. Um grafo G pode admitir mais do que uma Árvore Geradora.
B F C E A D Grafo Conexo B F C E A D
Árvore Geradora do grafo
B C E A D Árvore do Grafo
3. Cálculo da Árvore Geradora Mínima (Algoritmo de Prim1)
Uma empresa pretende, a partir de um sistema de captação de água situado em "D", montar um sistema de rega com aspersão em "A", "B", "C" e "E" (ver figura).
Os custos da instalação (possível) de condutas entre os diferentes pontos da rede estão associadas a cada uma das arestas.
Que condutas devem ser instaladas Minimizando o custo total da instalação?
A solução do problema é a Árvore Geradora Mínima (a.g.m.) do Grafo.
Veja-se a sua determinação pelo Método Gráfico sabendo que a solução tem 5 vértices, "n -1 = 4 arestas", não tem ciclos e tem pelo menos 2 vértices suspensos.
Determinação da a.g.m.:
• Seleccionar a conduta de menor custo (AD);
• Seleccionar a conduta de menor custo que ligue a A ou D. Não seleccionar aresta que estabeleça ciclo(s). A conduta a seleccionar é AB;
• Seleccionar a conduta de menor custo que ligue a A, B, ou D. Não seleccionar aresta que estabeleça ciclo(s). A conduta a seleccionar é BE;
• Seleccionar a conduta de menor custo que ligue a A, B, D ou E. Não seleccionar aresta que estabeleça ciclo(s). A conduta a seleccionar é BC;
1
Robert Clay Prim (1957)
D C B A E 7.5 7.2 10.4 3.1 1.6 5.4 6.2 5.5 6.7 2.3 D A 1.6 D B A 1.6 2.3 D B A E 1.6 5.4 2.3 D C B A E 1.6 5.4 6.7 2.3
Na figura tem-se a Árvore Geradora Mínima com custo total mínimo de 16 u.m.
Como é notório ao usar o método gráfico a dificuldade reside em identificar a melhor aresta a acrescentar em cada momento evitando que tal escolha provoque ciclo(s).
O Algoritmo de Prim aplicado na matriz do grafo contorna estas dificuldades e segue exactamente a mesma sequência do método gráfico.
Para a situação precedente organiza-se a matriz do grafo. Porque este é não orientado, a matriz é simétrica sendo por isso suficiente a metade inferior ou superior daquela para aplicar o método de Prim.
• Seleccionar a conduta de menor custo (AD);
(para ligar outra aresta a "A" ou "D", a mesma tem que ter extremos em "A" ou "D"; estes extremos podem ser visualizados cortando com rectas as linhas e colunas de "A" e "D". As intersecções das rectas interditam as arestas que provocam ciclo(s).
Deste modo a escolha seguinte fica facilitada pois será feita sobre as rectas e evitando as intersecções destas.
• Seleccionar, nas rectas traçadas, a conduta de menor custo que ligue a A ou D.
Nas rectas traçadas o menor custo é 2.3 (BA).
Assinalar a escolha. Cortar com rectas as linhas e colunas de B e A (este último já está cortado).
• Seleccionar, nas rectas traçadas, a conduta de menor custo (que ligue a A, B ou D)
Nas rectas traçadas o menor custo é 5.4 (EB).
Assinalar a escolha. Cortar com rectas as linhas e colunas de E e B (este último já está cortado).
• Seleccionar, nas rectas traçadas, a conduta de menor custo (que ligue a A, B, D ou E)
Nas rectas traçadas o menor custo é 6.7 (CB).
Assinalar a escolha. Cortar com rectas as linhas e colunas de C e B (este último já está cortado).
Na matriz as arestas não escolhidas estão em intersecções de rectas pelo que se seleccionadas produzem ciclo(s); estão seleccionadas 4 arestas = nº de vértices -1; a Árvore Geradora Mínima está calculada; o conjunto de arestas é AB, CB, DA e EB (ver figura no método gráfico).
A B C D E A B 2.3 C 7.2 6.7 D 1.6 3.1 7.5 E 5.5 5.4 10.4 6.2 A B C D E A B 2.3 C 7.2 6.7 D 1.6 3.1 7.5 E 5.5 5.4 10.4 6.2 A B C D E A B 2.3 C 7.2 6.7 D 1.6 3.1 7.5 E 5.5 5.4 10.4 6.2 A B C D E A B 2.3 C 7.2 6.7 D 1.6 3.1 7.5 E 5.5 5.4 10.4 6.2
4. Cálculo da Árvore Geradora Mínima (Algoritmo de Kruskal2) Considere-se o seguinte grafo não orientado:
A B C D E F G H I J A B 17 C 15 D 19 17 E 21 17 F 20 16 15 G 18 17 18 19 15 H 15 22 13 17 I 22 21 J 19 22 20 21 17 1º Passo
Ordenar as arestas por ordem crescente do custo associado:
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 H G H F C F G H B J D E G G J D G F J J E I I J H Aresta E F B D A C C G A I C D A D A B E B D E A F E C D cij 13 15 15 15 15 16 17 17 17 17 17 17 18 18 19 19 19 20 20 21 21 21 22 22 22 2º Passo
Escolher, sucessivamente, a aresta de menor custo e inseri-la numa das árvores existentes, se possível ou iniciar nova árvore. Inserida a aresta, fundir árvores, se possível. Terminar logo que uma das árvores tenha um número de arestas igual ao número de vértices menos um (10-1=9 arestas neste exemplo).
Vejamos então o processo iterativo:
• Aresta nº 1 HE: atribuí-la à Árvore nº1 Árvore nº 1
HE
• Aresta nº 2 GF: não pode ser inserida na árvore nº1, porque nesta não existem os vértices G ou F. Atribuir a aresta a uma nova Árvore nº 2.
Árvore nº 1 Árvore nº 2 HE GF • Aresta nº 3 HB: inseri-la na Árvore nº1, onde existe o vértice H.
Árvore nº 1 Árvore nº 2 BH GF HE
2
• Aresta nº 4 FD: não pode ser inserida na Árvore nº1, porque nesta não existem os vértices F ou D. Inseri-la na Árvore nº2, onde existe o vértice F.
Árvore nº 1 Árvore nº 2
BH GF
HE FD
Aresta nº 5 CA: não pode ser inserida nas árvores existentes nºs 1 e 2. Atribuir a aresta a uma nova Árvore nº 3.
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 BH GF CA HE FD
• Aresta nº 6 FC: não pode ser inserida na Árvore nº1, porque nesta não existem os vértices F ou C. Inseri-la na Árvore nº2, onde existe o vértice F.
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 BH GF CA HE FD
FC
A Árvore nº 3 pode agora ser fundida na Árvore nº 2 onde existe o vértice C Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3
BH GF HE FD
FC
CA
• Aresta nº 7 GC: não pode ser inserida na Árvore nº1, porque nesta não existem os vértices G ou C. Não pode ser inserida na Árvore nº 2, porque dava origem ao ciclo CFGC. Inseri-la na Árvore nº 3
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 BH GF GC HE FD
FC
CA
• Aresta nº 8 HG: inseri-la na Árvore nº1, onde existe o vértice H. Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3
BH GF GC HE FD HG FC
A árvore nº 2 pode agora ser fundida na Árvore nº 1. Ambas só têm o vértice comum G. Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3
BH GC HE HG GF FD FC CA
A árvore nº 3 não pode ser fundida com a Árvore nº 1 onde existem os vértices G e C pelo que se provocaria um ciclo.
• Aresta nº 9 BA: não pode ser inserida na Árvore nº1 onde provocaria o ciclo ABHGFCA. Não pode ser inserida na Árvore nº 3 onde não figuram B ou A. Inseri-la na Árvore nº 2.
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 BH BA GC HE HG GF FD FC CA
• Aresta nº 10 JI: não pode ser inserida nas árvores existentes porque nelas não existem os vértices J ou I. Atribuir a aresta a uma nova Árvore nº 4.
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 BH BA GC JI HE HG GF FD FC CA
• Aresta nº 11 DC: inseri-la na Árvore nº 3, onde existe o vértice D (na Árvore nº 1 provocaria ciclo) Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4
BH BA GC JI HE DC HG GF FD FC CA
• Aresta nº 12 ED: inseri-la na Árvore nº 3, onde existe o vértice D (na Árvore nº 1 provocaria ciclo) Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4
BH BA GC JI HE DC HG ED GF FD FC CA
• Aresta nº 13 GA: inseri-la na Árvore nº 2, onde existe o vértice A (na Árvore nº 1 provocaria ciclo) Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4
BH BA GC JI HE GA DC HG ED GF FD FC CA
Fundir a Árvore nº 3 com a Árvore nº 2
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 BH BA JI HE GA HG GC GF DC FD ED FC CA
• Aresta nº 14 GD: inseri-la na Árvore nº 3 (nas Árvores nºs 1 ou 2 provocaria ciclo) Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4
BH BA GD JI HE GA HG GC GF DC FD ED FC CA
• Aresta nº 15 JA: inseri-la na Árvore nº 1, onde existe o vértice A
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 BH BA JI HE GA HG GD GF DC FD ED FC CA JA
Fundir a Árvore nº 3 com a Árvore nº1 (J é único vértice comum).
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 BH BA HE GA HG GD GF DC FD ED FC CA JA JI
5. Auto Teste
a. Considere a matriz de custos (u.m.) associados às arestas de um grafo G e determine a Árvore Geradora Mínima pelo método de Prim.
b. Repita o cálculo anterior recorrendo ao método de Kruskal.
A B C D E F G H I J K L A 7 5 13 11 19 8 9 15 9 7 16 B 7 12 9 8 10 12 5 14 17 6 14 C 5 12 7 14 6 7 11 16 12 15 8 D 13 9 7 7 5 8 12 14 10 18 22 E 11 8 14 7 11 9 3 12 11 21 17 F 19 10 6 5 11 5 14 11 13 19 13 G 8 12 7 8 9 5 7 13 15 16 21 H 9 5 11 12 3 14 7 9 10 13 12 I 15 14 16 14 12 11 13 9 7 4 14 J 9 17 12 10 11 13 15 10 7 6 5 K 7 6 15 18 21 19 16 13 4 6 9 L 16 14 8 22 17 13 21 12 14 5 9
c. Uma empresa pretende acrescentar 6 terminais à sua rede de informática.
O computador central encontra-se no local "X" devendo os terminais ser instalados nos locais L1 , L2 , L3 , L4, L5 e L6.
Feita a medição de distância (metros) entre locais de instalação e computador central organizou-se a matriz seguinte: X L1 L2 L3 L4 L5 L6 X 34 30 35 43 35 40 L1 34 40 40 35 39 45 L2 30 40 35 38 37 36 L3 35 40 35 40 38 46 L4 43 35 38 40 43 42 L5 35 39 37 38 43 36 L6 40 45 36 46 42 36
A ligação ao computador central é estabelecida com fibra óptica com custo de montagem de 1000 u.m./metro.
6. Solução do Auto Teste a. Algoritmo de Prim A B C D E F G H I J K L A B 7 C 5 12 D 13 9 7 E 11 8 14 7 F 19 10 6 5 11 G 8 12 7 8 9 5 H 9 5 11 12 3 14 7 I 15 14 16 14 12 11 13 9 J 9 17 12 10 11 13 15 10 7 K 7 6 15 18 21 19 16 13 4 6 L 16 14 8 22 17 13 21 12 14 5 9
O grafo da Árvore Geradora Mínima ( 57 u.m.) é o seguinte:
b. Algoritmo de Kruskal
A Árvore Geradora Mínima com peso total de 57 u.m. é constituída pelas arestas amarelas da matriz seguinte:
Processo iterativo:
• Aresta HE: atribuí-la à árvore nº1.
• Aresta KI: não tem qualquer vértice na(s) árvore(s) existente(s). Atribuí-la à árvore nº2 • Aresta LJ: não tem qualquer vértice na(s) árvore(s) existente(s). Atribuí-la à árvore nº3 • Aresta FD: não tem qualquer vértice na(s) árvore(s) existente(s). Atribuí-la à árvore nº4 • Aresta HB: atribuí-la à árvore nº1, porque um e só um dos seus vértices pertence a esta árvore • Aresta GF: atribuí-la à árvore nº4, porque um e só um dos seus vértices pertence a esta árvore • Aresta CA: não tem qualquer vértice na(s) árvore(s) existente(s). Atribuí-la à árvore nº5
Neste momento temos:
Continuando…
• Aresta KJ: atribuí-la à árvore nº2, porque um e só um dos seus vértices pertence a esta árvore
Agora a aresta LJ da árvore nº 3 deve ser transferida para a árvore nº 2 porque um e só um dos seus vértices pertence a esta árvore.
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5 HE KI LJ FD CA HB GF
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5 HE KI LJ FD CA HB KJ GF
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5 HE KI FD CA HB KJ GF
• Aresta KB: atribuí-la à árvore nº1, porque um e só um dos seus vértices pertence a esta árvore
Agora as arestas da árvore nº 2 podem ser transferidas para a árvore nº 1. A aresta KI tem um e só um dos vértices na árvore nº1 e a sua transferência “arrasta” a das restantes arestas da árvore nº 2.
• Aresta GC: atribuí-la à árvore nº2, pois não tem qualquer vértice na árvore nº1 e os seus dois vértices já figuram na árvore nº 4 (ciclo).
• Aresta HG: atribuí-la à árvore nº1, porque um e só um dos seus vértices pertence a esta árvore Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5
HE KI FD HB KJ GF LJ FC
CA
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5 HE KI FD HB KJ GF KB LJ FC
CA
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5 HE FD HB GF KB FC KI CA KJ LJ
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5 HE GC FD HB GF KB FC KI CA KJ LJ
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5 HE GC FD HB GF KB FC KI CA KJ LJ HG
A aresta GF da árvore nº4 também pode ser transferida para a árvore nº 1 porque um e só um dos seus vértices pertence a esta árvore. De igual modo são transferidas sucessivamente FD, FC e CA.
A árvore nº 1 tem 11 arestas pelo que é a Árvore Geradora Mínima com custo total de 57 u.m. Nota: Há outra opções quando da escolha de GF, pois podia escolher-se GC.
c. As ligações a estabelecer são as assinaladas na matriz:
X L1 L2 L3 L4 L5 L6 X L1 34 L2 30 40 L3 35 40 35 L4 43 35 38 40 L5 35 39 37 38 43 L6 40 45 36 46 42 36
Solução óptima : 205 metros de fibra com custo igual a 205000 u.m. Grafo das ligações a estabelecer (Árvore Geradora Mínima):
L1 L3 L6 L2 X L4 L5 35 35 30 34 35 36
Árvore nº 1 Árvore nº 2 Árvore nº 3 Árvore nº 4 Árvore nº 5 HE GC HB KB KI KJ LJ HG GF FD FC CA
