ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

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Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica I PME 3100 Prova no 3 Data 05 / 12 / 2017 Duração da Prova: 2 horas

• Não é permitido o uso de calculadoras, "tablets", celulares e dispositivos similares.

• Após o início da distribuição do enunciado da prova, é proibido sair da sala antes das 08:30. • A partir do momento em que a prova for encerrada, não é permitido ao aluno continuar

escrevendo na folha de respostas, havendo possibilidade de anulação da respectiva prova se isto ocorrer.

Questão 1 (3,5 pontos): Um sólido de massa total m é formado pela junção das barras BD, ON e EF, homogêneas, idênticas, perpendiculares entre si, de comprimento 2L e dimensões transversais desprezíveis, conforme mostra a figura. As barras AB e CD são ambas de comprimento H e massas desprezíveis. Considere movimento plano em planos paralelos a Oxy, devido a pinos com eixos na direção de Oz em A, B, C e D (conexões sem atrito). No instante inicial, na posição θ =0o, o sistema é abandonado do repouso, sujeito ao próprio peso e à aplicação simultânea de um momento M que se mantém constante.

a – Determine o momento de inércia J_Oz e o produto de inércia J_Oxz do sólido.

b – Expresse a energia cinética do sistema em função de θ& e o trabalho das forças que atuam no sistema em função de θ.

c – Expresse a velocidade angular θ& em função de θ e a equação de movimento do sistema (a expressão de θ& ). &

Dado:

Questão 2 (3,0 pontos): No instante mostrado na figura, o disco não homogêneo, de massa m e momento de inércia J , rola sem escorregar sobre o _G plano horizontal, com uma velocidade angular ω. Para esse instante pede-se:

a – o diagrama de corpo livre do disco. b – o vetor aceleração angular αr do disco. c – a aceleração aG

r

do centro de massa G, bem x O y m l, 3 2 ml JOy = Vista em perspectiva do sólido L 2 B O D z y x E N F L L L L sólido C B _L L L 2 A H H D O F N E≡ ≡ x y z θ g L 2 M G C e R g

ω

ir j r kr

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica I PME 3100 Prova no 3 Data 05 / 12 / 2017 Questão 3 (3,5 pontos): Considere uma bobina com

um fio ideal enrolado conforme mostra a figura. O raio de enrolamento é 2R e o raio de rolamento é R. Não há escorregamento entre a bobina e o suporte fixo, e nem entre a bobina e o fio. No instante inicial o sistema está em repouso e é aplicada no fio uma força Fr =Fir, com F >0, conhecida. Para esse instante:

a – Desenhe o diagrama de corpo livre da bobina. b – Determine a aceleração aG

r

do centro de massa da bobina em função de F e dos parâmetros do sistema.

c – Em função da resposta do item anterior, o fio irá enrolar ou desenrolar?

d – Determine o máximo valor de F tal que não haja escorregamento, considerando que o coeficiente de atrito entre a bobina e o suporte fixo é µ.

B G A R R 2 F g Fio fixo Suporte i r j r kr G J memomentodeinércia massa de Bobina

GABARITO – PME3100 Mecânica I, P3, 05 de dezembro de 2017 Questão 1 (3,5 pontos): Um sólido de massa total m

é formado pela junção das barras BD, ON e EF, homogêneas, idênticas, perpendiculares entre si, de comprimento 2L e dimensões transversais desprezíveis, conforme mostra a figura. As barras AB e CD são ambas de comprimento H e massas desprezíveis. Considere movimento plano em planos paralelos a Oxy, devido a pinos com eixos na direção de Oz em A, B, C e D (conexões sem atrito). No instante inicial, na posição θ =0o, o sistema é abandonado do repouso, sujeito ao próprio peso e à aplicação simultânea de um momento M que se mantém constante.

a – Determine o momento de inércia J_Oz e o produto de inércia J_Oxz do sólido.

b – Expresse a energia cinética do sistema em função de θ& e o trabalho das forças que atuam no sistema em função de θ.

c – Expresse a velocidade angular θ& em função de θ e a equação de movimento do sistema (a expressão de θ& ). &

Dado: x O y m l, 3 2 ml JOy = Vista em perspectiva do sólido L 2 B O D z y x E N F L L L L sólido C B L L L 2 A H H D O F N E≡ ≡ x y z θ g L 2 M

Solução

a) Dado que as dimensões transversais são desprezíveis, observa-se que todos os pontos do sólido têm ou coordenada x nula, ou coordenada z nula, portanto:

⇒ =

_∫

xzdm

J_Oxz JOxz =0

Usando o teorema dos eixos paralelos para uma barra genérica de massa m e comprimento l: 12 4 3 4 3 2 2 2 2 2 2 2 ml J ml ml J ml J ml l m J JA G  ⇒ = G+ ⇒ G= − ⇒ G=      + =

Aplicando para a barra BD:

( )

9 12 2 3 2 2 mL L m J_OzBD  =      =

Notando que todos os pontos da barra EF estão a uma distância 2L do eixo O :z

( )

3 4 2 3 2 2 m L L m JOzEF = = Portanto: {

( )

_{+ ⇒} + = 3 2 1 43 42 1 EF ON BD Oz L m L m mL J barra 2 barra 2 barra 2 3 4 3 2 3 9 2 9 17 mL J_Oz =

b) Diagrama de corpo livre:

Observando o paralelogramo ABCD, conclui-se que o vetor de rotação do sólido é nulo. Neste caso, o sólido está em translação curvilínea e todos os seus pontos têm a mesma velocidade e aceleração. Portanto: vr_G =vr_B e a energia cinética é:

2 2 B v m E r =

O ponto B pertence à barra AB, portanto, observando a figura à direita:

(

)

2 2 2 cos sen i j v H H vr_B =θ& θr− θ r ⇒ r_B =θ& Resultando em: 2 2 2 θ & mH E=

Observando o diagrama de corpo livre, uma vez que os pontos A e C são fixos, as únicas forças que realizam trabalho são o binário de momento M e a força peso:

θ

θ M

mgH W = sen +

c) Teorema da energia cinética para o sólido (parte do repouso): ⇒ + = − ⇒ = −E W mH θ mgH θ Mθ E _i 0 sen 2 2 2 & _θ θ _θ 2 2 2 sen 2 mH M H g + = & ⇒ θ θ θ 2 sen 2 ₂ mH M H g + = &

Derivando no tempo a expressão de θ& obtemos a equação de movimento do sistema: 2

θ θ

θ

θ&&& _&      + = 2 cos 2 ₂ 2 mH M H g _⇒ 2 cos mH M H g + = θ θ&& L 2 B O D z y x E N F L L L L AB F VC B L L L 2 D O g mg θ F N E≡ ≡ C H M C A Cinemática da barra AB B AB CIR A= θ B vr 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

GABARITO – PME3100 Mecânica I, P3, 05 de dezembro de 2017 Questão 2 (3,0 pontos): No instante mostrado na

figura, o disco não homogêneo, de massa m e momento de inércia J , rola sem escorregar sobre o _G plano horizontal, com uma velocidade angular ω. Para esse instante pede-se:

a – o diagrama de corpo livre do disco. b – o vetor aceleração angular αr do disco. c – a aceleração aG

r

do centro de massa G, bem como as reações do plano sobre o disco.

Solução

a) Diagrama de corpo livre

b) Teorema da quantidade de movimento angular (polo em G):

Ne TR JGzα = + (1) Teorema da resultante: T maGx= (2) mg N maGy = − (3) Relações cinemáticas:

(

G C

)

[

(

G C

)

]

a ar_G =r_C+αr∧ − +ωr∧ ωr∧ −

( )

ei k

[

k

( )

ei

]

Ri e j ei k i R ar_G =−α r+α r∧ − r +ωr∧ω r∧ − r =−α r−α r+ω2 r Portanto: R e a_Gx=ω2 −α ₍₄₎ e aGy=−α (5) Usando (4) em (2) e (5) em (3), obtemos:

(

e R

)

T mω2 −α = (6)

(

e

)

N mg N m

(

g e

)

m−α = − ⇒ = −α (7) c) Usando (6) e (7) em (1):

(

e R

)

R m

(

g e

)

e

(

J mR me

)

m

(

R g

)

e m J_Gα = ω2 −α + −α ⇒ _G+ 2+ 2α = ω2 +

(

)

_k me mR J e g R m G r r 2 2 2 + + + = ω α (8) c) Usando (8) em (4) e (5):

(

)

_R me mR J e g R m e a G Gx 2 2 2 2 + + + − =ω ω ⇒

(

)

2 2 2 2 me mR J mgeR J me e a G G Gx _{+ +} − + =ω (9)

(

)

2 2 2 2 me mR J e g R m a G Gy + + + − = ω (10)

(

)

(

)

_j me mR J e g R m i me mR J mgeR J me e a G G G G r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + − + + − + =ω ω Usando (9) e (10) em (2) e (3): Gx ma T = ⇒

(

)

      + + − + = 2 2 2 2 me mR J mgeR J me e m T G G ω

(

g a

)

m N= + ⇒ =  −

(

+

)

 2 2 e g R m g m N ω ⇒ = 

(

+

)

−  2 2 2 e mR g mR J m N G ω G C e R ω mg N T G C e R g

ω

A ir j r kr 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Questão 3 (3,5 pontos): Considere uma bobina com um fio ideal enrolado conforme mostra a figura. O raio de enrolamento é 2R e o raio de rolamento é R. Não há escorregamento entre a bobina e o suporte fixo, e nem entre a bobina e o fio. No instante inicial o sistema está em repouso e é aplicada no fio uma força Fr =Fir, com F >0, conhecida. Para esse instante:

a – Desenhe o diagrama de corpo livre da bobina. b – Determine a aceleração ar_G do centro de massa da bobina em função de F e dos parâmetros do sistema.

c – Em função da resposta do item anterior, o fio irá enrolar ou desenrolar?

d – Determine o máximo valor de F tal que não haja escorregamento, considerando que o coeficiente de atrito entre a bobina e o suporte fixo é µ.

Solução

a) Diagrama de corpo livre b) Teorema da resultante: at Gx x Gx F ma F F ma =

∑

⇒ = − mg N mg N m F ma_Gy =

∑

_y ⇒ 0= − ⇒ =

Teorema da quantidade de movimento angular:

R F R F J M J_Gω& = _Gz⇒ _Gω&= 2 − _at Cinemática (rola sem escorregar):

R a_Gx =−ω& Portanto: at Gx G at Gx G a F F R J R F R F R a J = − ⇒ =− +      − 2 ₂ 2 Comparando com: ma_Gx =F−F_at Resulta em:  =− ⇒      + a F R J m G _Gx 2 _{mR J} i F R a G G r r + − = ₂2 c) Como consequência:

(

)

k mR J RF G r &r 2 + =

ω , ou seja, como o sistema parte do repouso e o vetor aceleração angular é no sentido positivo de kr, a bobina irá girar no sentido anti-horário, e o cabo irá desenrolar.

d) Usando a equação: ⇒       + − − = ⇒ − = 2 ₂ mR J F R m F F F F ma G at at Gx  ⇒      + + = F mR J mR F G at 2 2 1 F mR J mR J F G G at       + + = 2 ₂2

No limite do escorregamento temos que F_at =µN: ⇒       + + = 2 max 2 2 F mR J mR J N G G µ _ ⇒      + + = 2 max 2 2 F mR J mR J mg G G µ mg mR J mR J F G G µ       + + = 2₂ max 2 B O A R R 2 F G A at F N mg B G A R R 2 F g Fio fixo Suporte i r j r kr G J memomentodeinércia massa de Bobina 0,5 _0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5