Osmar Tormena Junior, Prof. Me.
tormena@utfpr.edu.br A função de transferência tem sido uma representação matemáticaco-mum para sistemas clássicos. Dada por uma função racional complexa, seus polos e zeros são determinantes no comportamento do sistema. Sistemas SISO (Single Input/Single Output—Única Entrada/Única Saída) LIT (Lineares e Invariantes no Tempo) podem ser representados através de uma única função de transferência H(z). De uma forma geral, a função de transferência é uma função racional no domínio z,
com uma região de convergência2 definida. 2Valores de z onde H(z)é válida.
Sistemas digitais são, usualmente, causais, ou seja, sua saída de-pende apenas de entradas presentes ou passadas, não de entradas futuras. Essa propriedade resolve a ambiguidade da região de con-vergência de H(z), não sendo necessário defini-la explicitamente.
Dessa forma, a análise da função de transferência de um sistema pode ser feita através da transformada z unilateral, dada por
X(z) =
∑
∞ n=0x(n)z−n, (1) lembrando que z é uma variável complexa, cuja decomposição polar é comumente dada por z=rejω.
Através da função de transferência, é possível sintetizar redes que operem de uma forma desejada, como por exemplo, no projeto e implementação de filtros digitais.
Motivação
A Figura 1 representa um filtro rejeita-faixa, aplicado no processa-mento de sinais de ECG, com rede na forma biquad, cuja função de transferência, obtida através da análise z da rede, é dada por
H(z) =0,9795 1−0,6182z−1+z−2
1−0,6055z−1+0,9590z−2. (2) Sua resposta em frequência, obtida através da análise de Fourier da rede, Figura 2, considerando a frequência de amostragem Fs =300 Hz.
Filtros de alta ordem podem ser analisados, e implementados, através da interconexão de vários subsistemas, como os da Figura 1.
Polos e zeros de um sistema
Sistemas digitais realizáveis3são representados por funções de trans- 3Podem ser representados em uma equação de diferenças.
x(n) 0,9795 y(n) z−1 z−1 0,6055 −0,9590 −0,6182
Figura 1: Filtro rejeita-faixa de ordem 2.
0 30 60 90 120 150 −40 −30 −20 −10 0 F (Hz) | H ( F )| (dB)
Figura 2: Resposta em magnitude do filtro.
ferência racionais, ou seja, H(z)é a fração de dois polinômios em
z−1: um polinômio do numerador de ordem M, e um polinômio no denominador de ordem N, da forma
H(z) = b0+b1z−1+. . .+bM−1z1−M+bMz−M
a0+a1z−1+. . .+aN−1z1−N+aNz−N , (3) onde{b}e{a}são os coeficientes do numerador e do denominador, respectivamente.
Na forma canônica, a potência de mais alta ordem do denominador possui coeficiente unitário, ou seja a0=1, sendo possível escrever, de uma forma geral
H(z) = ∑ M
m=0bam0z−m
1+∑Nn=1aan0z−n
. (4)
O polinômio do numerador possui M raízes, chamadas de zeros da função de transferência, enquanto o polinômio do denominador possui N raízes, chamadas de polos da função de transferência. A quantidade e posição dos polos e zeros definem as características do sistema.
A função de transferência da Eq. (4) é, simplesmente, a transfor-mada z de uma equação de diferenças, que também em sua forma
canônica, é dada por y(n) + a1 a0y(n−1) +. . .+ aN−1 a0 y(n−N+1) + aN a0y(n−N) = b0 a0x(n) + b1 a0x(n−1) +. . .+ bM−1 a0 x(n−M+1) + bM a0x(n−M), (5) assumindo que H(z) =Y(z)/X(z).
Comparando a equação de diferenças com a função de transferên-cia, é simples notar que os coeficientes do denominador da função de transferência correspondem à determinação da solução homogênea (a resposta natural) do sistema, enquanto os coeficientes do numera-dor são relevantes na determinação da solução particular (a resposta forçada) do sistema.
Por essa razão, os polos são mais importantes que os zeros na
caracterização do sistema4. 4Por exemplo, a ordem do sistema é dada pelo número de polos N. Como a representação das raízes através dos coeficientes dos
po-linômios é um problema algébrico mal-condicionado, muitas vezes é preferível trabalhar diretamente com a representação em polos e zeros H(z) = ∑ M m=0bam0z−m 1+∑Nn=1aan0z−n = b0 a0 +∑ M m=1bam0z−m 1+∑Nn=1aan0z−n = b0 a0 1+∑m=1M bbm0z−m 1+∑Nn=1aan0z−n , (6) fazendo k=b0/a0, H(s) =k1+∑ M m=1bbm0z−m 1+∑n=1N aan0z−n =k ∏Mm=1(1−zmz−1) ∏Nn=1(1−pnz−1), (7)
onde{z}são os zeros,{p}são os polos e k é o ganho da função de transferência.
Na maioria das aplicações, tanto os sinais quanto os sistemas são considerados reais. Assim, todos os coeficientes{b}e{a}da função de transferência são reais. Isso garante que o ganho k é um valor real. Tomando os polos e zeros como reais, é possível reescrever a função
de transferência bilinear como5 5Por simplicidade, vamos considerar que M=N. H(z) =k N
∏
n=1 1−zmz−1 1−pnz−1. (8)No entanto, mesmo para sistemas reais, os polos e zeros podem ser complexos, desde que figurem como pares complexos conjuga-dos. Neste caso, os pares de zeros conjugados podem ser re-escritos como
(1−znz−1)(1−z∗nz−1) =1−2<(zn)z−1+|zn|2z−2 =1+d1,nz−1+d2,nz−2,
(9) que é a forma quadrática irredutível em reais. O mesmo argumento pode ser feito para os polos, onde
(1−pnz−1)(1−p∗nz−1) =1−2<(pn)z−1+|pn|2z−2 =1+c1,nz−1+c2,nz−2,
(10) resultando assim, para sistemas com N pares do polos e zeros, com-plexos conjugados, na função de transferência da forma biquadrática
H(z) =k
∏
N n=11+d1,nz−1+d2,nz−2
1+c1,nz−1+c2,nz−2. (11) De uma forma geral, as funções de transferência de sistemas reali-záveis são uma combinação de termos bilineares com termos biqua-dráticos (Eqs. (8) e (11)), com M6= N.
O sistema pode ser representado graficamente através do seu diagrama de polos e zeros, sobre o plano z. O sistema
H(z) = 1−z−1 (1−13z−1)(1−1
2z−1)
= z(z−1)
(z−13)(z−12), (12)
possui um zero na origem (z=0), um zero real em z=1 e dois polos
reais z=1/3 e z=1/2. A Figura 3 representa seu diagrama de polos e zeros.
−1 1
−1 1
Figura 3: Diagrama de polos e zeros no plano z.
Modos de um sistema
De forma análoga às EDOs, a solução de uma equação de diferenças é uma sobreposição de sua resposta natural (definida por seus polos)
e a resposta forçada (definida por seus zeros, condições de contorno e excitação). Assim, cada polo, ou par de polos complexos conjugados, representa um modo da resposta natural.
A expansão em frações parciais pode ser utilizada para decompor os modos de um sistema, ainda no domínio z. Assim, um sistema
estritamente próprio6pode ser reescrito como 6N>M
H(z) = N
∑
n=1 rn 1−pnz−1, (13) onde os coeficientes{r}são os resíduos da expansão. No caso da presença de polos complexos conjugados, a expansão pode ser feita em termos quadráticos irredutíveis em reais, da formaH(z) = N1
∑
n=1 rn 1−pnz−1 + N2∑
n=1 rn,0+rn,1z−1 1−2<(pn)z−1+|pn|2z−2. (14) onde N = N1+2N2, sendo N1o número de polos reais e N2o número de pares de polos complexos conjugados.Os polos podem apresentar multiplicidade. Nesse caso, sua expan-são em frações parciais deve contemplar todas as potências entre a multiplicidade do polo e a unidade, por exemplo:
· · · (1+z−1)L = L
∑
l=1 rl (1+z−1)l. (15) Quando o sistema não é estritamente próprio, é necessária uma di-visão longa do numerador de H(z)por seu denominador, resultando em termos polinomiais na expansão em frações parciais, da formaH(z) = M
∑
n=0knz −n+∑
N1 n=1 rn 1−pnz−1 + N2∑
n=1 rn,0+rn,1z−1 1−2<(pn)z−1+|pn|2z−2. (16) A partir de uma expressão nesse formato, a transformada z inversa pode ser facilmente aplicada para obter os modos do sistema no domínio do tempo.Matrizes no espaço de estados
A representação no espaço de estados oferece uma estrutura de fun-cionamento, ao invés de apenas um modelo entrada/saída. Diferente das outras representações estudadas até agora, a representação no espaço de estados permite a modelagem de sistemas não-lineares, variantes no tempo, com múltiplas entradas ou múltiplas saídas.
Porém, neste curso, será estudado apenas o caso da modelagem de sistemas LIT SISO, mantendo a consistência com as representações anteriores.
Por razões históricas, na modelagem por espaço de estados, define-se um vetor x(n)de N estados (N é a ordem do sistema),
x(n) = x1(n) x2(n) ... xN(n)
com uma entrada u(n)e uma saída y(n).
A representação do espaço de estados não é única, dependendo da escolha dos estados. Uma prática comum é escolher os estados como o sinal de entrada e suas diferenças (i.e. controlabilidade) ou escolher como estados o sinal de saída, e suas diferenças (i.e. observabilidade). Assim, a representação das variáveis no espaço de estados pode ser definida por
x(n+1) =Ax(n) +Bu(n), (17)
y(n) =Cx(n) +Du(n) (18) onde A é a matriz (N×N) de estado, B é a matriz (vetor coluna N×1) de entrada, C é a matriz (vetor linha 1×N) de saída e D é a matriz (escalar 1×1) de transmissão direta. A Eq. (17) é chamada de equação de estado, enquanto a Eq. (18) é chamada de equação de saída. A Figura 4 representa, graficamente, a estrutura do espaço de estados.
B + z−1 C +
D
A
u(n) x(n+1) x(n) y(n)
Figura 4: Representação no espaço de estados.
Aplicando a transformada z na representação pelo espaço de esta-dos zX(z) =AX(z) +BU(z) Y(z) =CX(z) +DU(z) reescrevendo a primeira zX(z)−AX(z) =BU(z) (zI−A)X(z) =BU(z) X(z) = (zI−A)−1BU(z)
inserindo na segunda
Y(z) =C(zI−A)−1BU(z) +DU(z)
Y(z) = [C(zI−A)−1B+D]U(z)
resulta em
H(z) =C(zI−A)−1B+D (19) É possível demonstrar que o determinante|zI−A|é igual ao polinômio característico de H(z), de forma que os autovalores de A são os polos do sistema.
Neste curso, a relevância da representação no espaço de estados, e seu uso, é justificada por sua robustez numérica.
Estruturas IIR
As representações da função de transferência H(z)estudadas nesta aula sugerem que existem diferentes maneiras de implementar um
sistema, e que essas maneiras são equivalentes7. 7Considerando uma precisão aritmética infinita.
Na sequência serão apresentadas estruturas de rede IIR, para a solução elíptica de ordem 4 de um filtro notch em 60 Hz, dada uma amostragem de 300 Hz.
Forma direta I
Na forma direta I, o sistema dado pela função de transferência H(z) = 0,873−1,079z−1+2,079z−2−1,079z−3+0,873z−4
1−1,223z−1+2,332z−2−1,198z−3+0,959z−4 , (20) implementado pela equação de diferenças
y(n) =0,873x(n)−1,079x(n−1) +2,079x(n−2)+ −1,079x(n−3) +0,873x(n−4) +1,223y(n−1)+
−2,332y(n−2) +1,198y(n−3)−0,959y(n−4), (21) representada na estrutura da Figura 5.
Considerando M a ordem do numerador e N a ordem do denomi-nador, são necessários M+N+1 multiplicações e M+N adições,
por amostra processada. Também são necessários M+N estados.
Forma direta II
A função de transferência pode ser decomposta como
x(n) 0,873 y(n) −1,079 1,223 z−1 z−1 2,079 −2,332 z−1 z−1 −1,079 1,198 z−1 z−1 0,873 −0,959 z−1 z−1
Figura 5: Forma direta I.
sendo
H1(z) =0,873−1,079z−1+2,079z−2−1,079z−3+0,873z−4 (23) e
H2(z) = 1 1
−1,223z−1+2,332z−2−1,198z−3+0,959z−4. (24) Como o produto H1(z)H2(z)é comutativo, a ordem dos loops de feedback e feedforward podem ser trocadas na Figura 5, resultando na Figura 6. x(n) v(n) 0,873 y(n) −1,079 1,223 z −1 2,079 −2,332 z −1 −1,079 1,198 z −1 0,873 −0,959 z −1
Figura 6: Forma direta II (forma canô-nica).
A Figura 6 representa a forma direta II (ou forma canônica) da função de transferência H(z). Sua análise demonstra que, embora o custo computacional (adições e multiplicações) não seja alterado, o
número de estados cai para max(M, N)8. 8O que pode resultar em até 50 % de redução.
A equação de diferenças que implementa a forma direta II fica dada por v(n) =x(n) +1,223v(n−1)−2,332v(n−2) +1,198v(n−3)+ −0,959v(n−4), y(n) =0,873v(n)−1,079v(n−1) +2,079v(n−2)+ −1,079v(n−3) +0,873v(n−4). (25)
Seções de segunda ordem
Um único termo biquadrático é dado por H(z) = b0+b1z−1+b2z−2
1+a1z−1+a2z−2, (26) que pode ser escalado por uma ganho g, da forma
H(z) =gb0+b1z−1+b2z−2
1+a1z−1+a2z−2. (27) Em ambos os casos, cada seção de segunda ordem consiste de 2 es-tados e 4 adições. No primeiro caso, são necessárias 5 multiplicações, enquanto no segundo caso, 6 multiplicações. Embora o segundo caso pareça desinteressante, a princípio, a criteriosa escolha do ganho e da ordenação dos termos biquadráticos, podem ajudar a minimizar erros aritméticos em implementações de precisão finita.
Forma cascata com seções de segunda ordem
As seções de segunda ordem podem ser cascateadas, resultando em uma função de transferência da forma
H(z) =g L
∏
l=1 bl,0+bl,1z−1+bl,2z−2 1+al,1z−1+al,2z−2 . (28) Para o exemplo desenvolvido nas formas direta I e II, a forma cascata fica definida porH(z) =0,873 1−0,618z−1+z−2
1−0,580z−1+0,979z−2
1−0,618z−1+z−2
1−0,644z−1+0,979z−2, (29) representada na Figura 7.
De uma forma geral, a forma cascata possui um custo computa-cional maior (maior número de multiplicações) que a forma direta. Porém isso é mais que contrabalanceado pela maior robustez numé-rica da aritmética de precisão finita.
Forma paralela com seções de segunda ordem
As seções de segunda ordem também podem ser associadas em
para-lelo, resultando em uma função de transferência da forma9 9Assumindo, por simplicidade, que não haja multiplicidade. H(z) =k+ L
∑
l=1 gl 1+bl,1z −1 1+al,1z−1+al,2z−2. (30) Para o exemplo desenvolvido nas outras formas, a forma paralelax ( n ) 0,873 − 0,618 0,580 z − 1 − 0,979 z − 1 y ( n ) − 0,618 0,644 z − 1 − 0,979 z − 1
é dada por H(z) =0,910−0,018 1−0,802z−1 1−0,644z−1+0,979z−2+ −0,019 1+0,188z−1 1−0,580z−1+0,979z−2, (31) representada na Figura 8. x(n) −0,018 y(n) z−1 0,644 −0,802 z−1 −0,979 0,910 −0,019 z−1 0,580 0,188 z−1 −0,979
Figura 8: Forma paralela.
Assim como a forma cascata, de uma forma geral, a forma paralela possui um custo computacional maior (maior número de multipli-cações e somas) que a forma direta. Porém isso é mais que contra-balanceado pela maior robustez numérica da aritmética de precisão finita.
Formas transpostas
Um dos corolários do teorema de Mason é a propriedade da transpo-sição. Todas as estruturas de rede apresentadas possuem uma forma transposta. Na transposição todas as setas indicando o fluxo do sinal são revertidas, e a entrada e saída inter-cambiadas. Esta operação não altera a função de transferência, resultando em outra forma equiva-lente.
As formas transpostas possuem vantagens computacionais sutis, melhor explicadas através de exemplo. A forma direta II transposta da 6, dada na Figura 9
A única coluna de somadores favorece a utilização de instruções MAC em arquiteturas modernas, oferecendo ganhos computacionais, mesmo com um mesmo custo aparente.
x(n) 0,873 y(n) −1,079 z 1,223 −1 2,079 z −2,332 −1 −1,079 z 1,198 −1 0,873 z −0,959 −1
Figura 9: Forma direta II transposta.
Referências
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S. K. Mitra and J. F. Kaiser, Handbook for Digital Signal Processing. New York, NY: John Wiley & Sons, 1993.
S. K. Mitra, Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach. New York, NY: McGraw-Hill, 1998.
A. V. Oppenheim and R. W. Schafer, Digital Signal Processing. Pren-tice Hall, 1975.
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