Matemática D – Extensivo – V. 5
Exercícios
01) B
I. Falso. Pois duas retas determinam um plano quando
são concorrentes ou paralelas e distintas.
II. Falso. Pois duas retas podem ser perpendiculares
ou paralelas a um mesmo plano.
III. Verdadeiro. Pois os planos são paralelos.
02) V - V - V - V
(V) Pois três pontos não colineares formam um plano. (V) Pela definição de secante.
(V) Pela definição de semiplano.
(V) Pois uma reta e um ponto não pertencente à reta formam um plano.
03) B
a) Falso. Pois se r ∩ α = r então α ⊃ r, portanto r inter-cepta α.
b) Verdadeiro. Pois r ⊂ α e duas retas concorrentes formam um plano.
c) Falso. Pois uma reta pode ser concorrente a r e
parelela a α.
d) Falso. Existem infinitas retas paralelas a r e não
contidas em α.
e) Falso. Pois uma reta pode ser perpendicular a α e não interceptar r.
04) E
I. Verdadeiro. Pela definição de espaço.
II. Verdadeiro. Pela definição de reta.
III. Verdadeiro. Pela definição de plano.
05) E
a) Falso. Pois são necessárias duas retas concorrentes
ou duas retas paralelas distintas.
b) Falso. Pois são necessários uma reta e um ponto
fora da reta.
c) Falso. Pois duas retas reversas não definem um
plano.
d) Falso. Pois são necessárias duas retas paralelas
distintas.
e) Verdadeiro. Pela definição de plano.
06) A
a) Verdadeira. Pela definição de retas reversas.
b) Falso. Pois retas para serem reversas não estão
c) Falso. Nem todas as retas que não se interceptam
são reversas.
d) Falso. Nem todas as retas que não são paralelas
são reversas, elas podem ser concorrentes. e) Falso. Retas reversas não podem ser paralelas.
07) C
I. Falso. Elas podem ser reversas.
II. Falso. Pois se forem colineares determinam infinitos.
III. Verdadeiro. Por definição de plano.
IV. Verdadeiro. Por definição de retas reversas.
08) B
a) Falso. Basta rotacionar r em torno do eixo formado
pela intersecção de r e s.
b) Verdadeira. Pois duas retas concorrentes formam
um plano.
c) Falso. Pois r pode ser perpendicular a α. d) Falso. Não necessariamente.
e) Falso. Não necessariamente.
09) E
a) Falso. Pois existe um plano perpendicular a r no
ponto A.
b) Falso. Pois podem existir infinitas retas paralelas a r não contidas em α.
c) Falso. Pois r ⊂ α.
d) Falso. Pois dois planos perpendiculares formam uma
única reta.
e) Verdadeiro. Pela definição de plano.
10) D
Se os pontos não são coplanares, então cada um se encontra em um plano distinto, portanto determinam 4 planos.
11) E
a) Falso. Eles podem ser distintos dois a dois e
coline-ares definindo infinitos planos.
b) Falso. Pois o ponto pode estar contido na reta
for-mando infinitos planos.
c) Falso. Pois necessariamente eles terão uma reta em
comum e portanto infinitos pontos. d) Falso. Por definição de plano.
12) B
Como os pontos A, B e C são não colineares dois a dois, então são coplanares, portanto as arestas reversas desse tetraedro são A e B, A e C e A e D.
13) A
a) Verdadeiro. Não é possivel formar mais de uma
reta perpendicular em relação a um ponto p não
pertencente a α. b) Falso. Idem a.
c) Falso. Passam infinitas retas paralelas a α pelo ponto
p.
d) Falso. Passam infinitos planos perpendiculares a α. e) Falso. Passa apenas um plano paralelo.
14) C
a) Falso. Pois existem infinitas retas pertencentes a α que não são paralelas a r.
b) Falso. Pois r pode pertencer ao plano.
c) Verdadeiro.
d) Falso. Pois para serem perpendiculares é necessário
que as retas tenham uma intersecção. e) Falso.
15) C
a) Falso. Pois os planos podem ser perpendiculares
entre si e paralelos à reta. b) Falso. Pois são paralelos.
c) Verdadeiro.
d) Falso. Pois as retas podem ser concorrentes e
pa-ralelas ao plano.
e) Falso. Eles podem ser perpendiculares entre si.
16) F - V - V - V - V.
r
s (F) r e s são reversas.
(V) Pois r e s não possuem ponto e comum e não são
coplanares
(V) Por se tratar de um cubo. (V) Pois r e s são reversas.
(V) Pois elas não se interseccionam.
17) A A v t 4 m cumeeira u 4 m 3 m r s a) Verdadeiro.
b) Falso. São paralelas.
c) Falso. Pois t ∩ u = ∅ d) Falso. Pois t ∩ u = ∅ e) Falso. Pois r ∩ s = ∅ 18) C
Basta contar as retas que não interceptam a reta r e
não são paralelas, totalizando 8 pares. 19) D E M N F G H I J K L
a) Falso. Pois sua interseção é não nula e são planos
distintos.
b) Falso. É comum apenas ao plano EFH.
c) Falso.
20) B
a) Falso. Eles podem ser concorrentes e não
perpen-diculares. b) Verdadeiro.
c) Falso. r é perpendicular a α. d) Falso.
e) Falso. Pois r é perpendicular a α. 21) 18
01. Falso. Os planos que contêm r são perpendiculares
a α e β. 02. Verdadeiro.
04. Falso. r é paralelo ou está contido.
08. Falso.
16. Verdadeiro.
22) C
I. Falso. Eles podem ser reversos ou perpendiculares
e ainda ser paralelos a uma mesma reta. II. Falso.
III. Verdadeiro.
IV. Falso. Os planos podem ser concorrentes ou
per-pendiculares e ainda assim um plano ser paralelo a uma reta de outro.
23) B
a) Falso. Pois nem todas as retas α interceptam a reta
r.
b) Verdadeiro. Pois β e γ são perpendiculares a α. c) Falso. Pois β e γ são perpendiculares a α.
d) Falso. Pois existem planos que não interceptam os
planos β e γ e são perpendiculares a α. e) Falso. Pois eles são perpendiculares.
24) A
I. Verdadeiro. Pois os planos são paralelos.
II. Verdadeiro. Pois as retas são perpendiculares ao
plano.
III. Verdadeiro. Pois se a reta é perpendicular ao plano
o plano que a contém também será. 25) D b A c B d t
α
xConforme a figura é possivel perceber que, indepen-dentemente da posição de x, a reta que passa por x e
B sempre será perpendicular a d.
26) 09
01. Verdadeiro. Pois r e s são paralelas, assumindo
assim o mesmo ângulo entre a reta e o plano. 02. Falso. Pois r e s podem formar um plano distinto
do formado por s e t.
04. Falso. Pois r e s definem um único plano mas não
todos os planos que contêm r ou s.
08. Verdadeiro. Pois as retas são paralelas.
16. Falso. Pois bastam duas retas paralelas distintas
para se formar um plano. 27) C
I. Verdadeiro. Pois os planos interceptados são
para-lelos e as retas formadas pertencem a um mesmo plano.
II. Falso. As retas podem ser ortogonais ou reversas.
III. Falso. Os planos podem assumir qualquer posição
e ainda assim serem paralelas à reta. IV. Verdadeiro. Por definição de reverso.
28) 26
01. Falso. Pois a reta pode assumir qualquer ângulo
em relação a π.
02. Verdadeiro. Pois r é perpendicular a π. 04. Falso. Elas são ortogonais.
08. Verdadeiro. Por serem paralelas.
16. Verdadeiro.
32. Falso. Pois ou é paralelo a π e ortogonal a r ou paralela a r e perpendicular a π.
29) V - F - V - V - V
(V) Pois as retas definem o plano.
(F) Já que em um espaço é possivel apenas três retas distintas perpendiculares duas a duas.
(V) Pois todas as retas que passam por esse ponto são perpendiculares à reta perpenducular ao plano. (V) Por definição de perpendicularidade.
30) E r t α β p s
a) Falso. Não necessariamente.
b) Falso. Não necessariamente.
c) Falso. Elas não se encontram no mesmo plano.
d) Falso. Elas podem ser paralelas.
e) Verdadeiro. Conforme o desenho.
31) E r t α β A s
I. Verdadeiro. Conforme figura acima.
II. Verdadeiro. Pois α e β são perpendiculares. III. Verdadeiro. Conforme figura acima.
IV. Verdadeiro. Conforme figura acima.
32) E
p
α
a) Falso. Pode resultar em um ponto ou outro segmento
de reta.
b) Falso. Pode resultar em um ponto.
c) Falso. Pode resultar apenas em uma reta ou uma
semirreta.
d) Falso. Pode resultar em um segmento de reta ou
outros triângulos.
e) Verdadeiro. Basta a circuferência estar ortogonal ao
plano. 33) D
Sendo o poliedro convexo, temos que ele obedece à relação de Euler, V + F = A + 2.
Números de arestas: número total de lados dividido por dois. A = 4 3 3 4
2
. + . = 12. Portanto, V = A + 2 − F ⇒ V = 7 34) E
Basta relacionar os lados das figuras: o pentágono aparece em A e 1, os lados retangulares em C e 2 e os lados triangulares em B e 3.
35) E
Sendo o poliedro convexo, ele obedece à relação de Euler. Número de arestas: A = 12 5 20 6 2 . + . = 180 2 = 90 Portanto, V + F = A + 2 V = 90 + 2 − 32 V = 60 vértices. 36) B
I. Falso. O número de arestas corresponde ao número
total de lados de cada face dividido por dois. A = 2 3 4 5
2
. + . = 13
Como o poliedro é convexo, temos V + F = A + 2, portanto:
V = 13 + 2 − 6 V = 9
II. Verdadeiro. S = 360 . (V − 2) = 360 . 7 = 2520,
en-quanto, 28 . 90 = 2520
III. Verdadeiro. Conforme calculado em I
37) D
Sabendo quwe todo poliedro regular é convexo temos: V + F = A + 2
F = 30 + 2 − 12 F = 20. 38) C
O único que se enquadra na descrição é o c, pois é o
único que tem lado trapézoidal e fundo quadrado. 39) B
Conforme a figura é possivel perceber que o novo po-liedro será formado por 6 quadriláteros, 12 triângulos e 2 hexágonos, portanto somando 20 faces.
40) A
O número de vértices é dado por: 1440 = 360 . (V − 2) ⇒ V = 6
Sendo assim, cada face do poliedro é um triângulo equilátero, tratando-se de um octaedro, ou seja, 12 arestas.
41) E
Pela propriedade de poliedros convexos temos: 2 . A = n . F ⇒ A = 3
2 F
Portanto pela relação de Euler, temos: V + F = A + 2
20 + F = 3 2F + 2 F = 40 − 4 = 36. 42) 4F3 e 5F4
Pela relação de Euler: V + F = A + 2 9 + F = 18 ⇒ F = 9
Portanto, sejam x e y o número de quadriláteros e
Dessa forma: 4 3 32 4 27 3 32 9 5 x y x x x y x + = ⇒ + − = + = = Substituindo, 5 + y = 9 ⇒ y = 4 43) 27
01. Verdadeiro. Primeiro encontramos o número de
arestas supondo n = 4 2A = 2 . 5 + 4 . 4 + 4 . 3 A = 5 + 8 + 6 = 19
Desta forma como o poliedro é convexo temos: V + F = A + 2, portanto
V = 19 + 2 − 10 = 11
02. Verdadeiro. Pois, as faces pentagonais e
quadran-gulares somam 6, portanto para o número de faces ser 16, n deve ser 10.
04. Falso. Suponha n = 1 então:
2A = 2. 5 + 4 . 4 + 1 . 3 A = 5 + 2 . 4 + 3
2 A = 29
2 = 14, 5
Portanto, o número de arestas não seria inteiro. 08. Verdadeiro. Suponha n = 6, então
2A = 2 . 5 + 4 . 4 + 6 . 3 A = 22
Portanto V = 22 + 2 − 12 = 12
Sabendo que S = 360 . (V − 2), temos: S = 360 . 10 = 3 600 16. Verdadeiro. 2A = 2. 5 + 4 . 4 + 3n 2 . 25 = 10 + 16 + 3n n = 50 26 3 − = 8 44) D
Basta verificar que no vértice A concorrem as arestas AE, AF, AB e AD e na planificação temos no ponto as retas ab, af, ae e as. Como:
AB ⇒ ab AE ⇒ ab AF ⇒ af
AD ⇒ as, então, usando o mesmo raciocíonio AE ⇒ ae
CE ⇒ cp DE ⇒ eq
Portanto, D está relacionado ao menos com q e s.
45) C Área da base (Ab): Ab = 2 3 4 = 8 3 4 2 = 16 3 m2
Volume total do prisma: At = Ab . h
At = 16 3 . 10 = 160 3 46) E
Como altura é igual à aresta, então h = = 2. Área hexagono regular (Ah)
Ah = 6 . 2 3 4 = 6 3 Área total do prisma (At) At = 6 3 . 2 = 12 3 47) D
Área da base do prisma triangular: Abt = a2 3
4
Volume do prisma triangular: Vt = a2 3
4 . h
Área da base do prisma hexagonal: Abh = 6 3 4 2 .a
Volume do prisma hexagonal: Vh = 6 3 4 2 .a . h Razão (R): R = a h a h 2 2 3 4 6 3 4 . . . . . = a h a h 2 2 3 4 4 6 3 . . . . . . = 1 6 48) B L H
Área das faces laterais (Af):
Af = 3 . (L . H) = 3 . (6 3 . 8) = 144 3 cm2 Área da base: Ab = 2 3 4 = 64 3 4 = 16 3 cm 2 Portanto, o custo (C) é: C = (144 3 + 16 3) . 0,05 = 13,60. 49) E 12 cm 10 cm 4 cm eixo comum
O volume da peça será o volume total do prisma hexa-gonal menos o volume do prisma hexahexa-gonal menor. VH = 6 . ( ) .12 3 4 2 . 10 = 2160 3 cm2 Vh = 6 . ( ) .4 3 4 2 . 10 = 240 3 cm2
Portanto o volume da peça é: Vp = VH − Vh = 1920 3 cm2
50) D A D B E F C 10 cm h 6 cm 8 cm
Basta descobrir a altura do prisma. Como o volume é 120 cm2 temos: V = A
b . h ⇒ ⇒ Ab . h = 120. Área da base (Ab): Ab = 6 8 2 . = 24 cm2 Portanto, h = 120 24 = 5 cm Dessa forma, AT = 2 . 24 + 5 . 8 + 5 . 6 + 5 . 10 AT = 48 + 40 + 30 + 50 AT = 168 51) C 8 m 3 m 5 m H H2 = 52 − 42 H = 9 H = 3 Portanto, AT = 8 3 2. = 12 m², e V = Ab . H V = 12 . 3 = 36 m2 52) E
Um desenho que ele poderá reproduzir é o que não tem semelhança alguma com o desenho do artista holandês.
No caso o prisma representado por e.
53) a) 375 3 cm³ Área da base: A = 6 . 2 3 4 = 6 25 34 . = 75 3 2 Volume do prisma: V = A . h = 75 3 2 . 10 = 375 3 b) 50 3 cm2
Com a secção temos:
A C 10 cm 5 cm 5 cm A C 120°
Como o hexágono é regular temos que a base da secção é um triângulo isósceles conforme a figura. Pela lei dos cossenos encontramos AC:
(AC)² = 5² + 5² − 2 . 5 . 5 . cos120° (AC)² = 50 + 25 = 75
AC = 5 3 cm, portanto a área da secção vale: AS = 10 . 5 3 = 50 3 cm²
54) C
Lado do quadrado da base () Altura inicial do prisma (h) Volume inicial do prisma (Vi) Vi = ² . h = ² . h
Volume após ser diminuído (Vf): Vf = 2 2 2 .h = 2 4 2. h = 2 8 . h Portanto, D = Vi − Vf = ² . h − 2 8 . h = 7 8 2 . h D = 0,875 . ² . h
55) B
Basta diminuir o volume total do bloco do volume das portas retiradas para formar o H.
Área da base original: Ao = 3a . 3a = 9a²
Área da base das portas: Ap = 3a . a = 3a²
Volume original
Vo = Ao . h0 = 9a² . 3a = 27a³ Volume das portas: Vp = 2 . (3a² . a) = 6a³
Portanto, o volume do sólido é: V = Vo − Vp = 27a³ − 6a³ = 21a³ 56) B
Como as embalagens têm a mesma capacidade de armazenamento, V1 = V2, portanto h1 . A1 = h2 . A2, em que A1 e A2 são áreas das bases das embalagens 1 e 2 respectivamente. 4 3 6 3 4 12 . a = 3 3 6 3 4 2 2 . a a22 a1 2 4 3 = = 4 2 3 3 2 . ( ) = 16 a2 = 16 = 4
Área total das embalagens: At1 = 6 . (h1 . a1) + 2 . (A1) At1 = 6 . (4 3 . 2 3) + 2 . 6 2 3 3 4 . . At1 = 162 cm² e At2 = 6 . (h2 . a2) + 2 . (A2) At2 = 6 . (3 3 . 4) + 2 . 6 4 3 4 . . At2 = 72 3 + 12 3 = 84 3 ≅ 145,49 cm² 57) A
Primeiramente, calcula-se a área da base e da lateral da embalagem: Ab = b . 2 3 4 = 6 . 10 3 4 2 = 150 3 Al = 30 . 10 = 300
Área total da embalagem: AT = 2 . Ab + 6 . Al = 300 3 + 1800 AT = 2310 cm²
Material necessário para os vincos. Mv = 2310 . 0,2 = 462 cm²
Material total necessário: MT = 500 . (2310 + 462)
MT = 1386 . 10³ cm² = 138,6 . 104 cm²
Como 1 m² = 104 cm², temos M
T = 138,6 m²
58) B
Como os pacotes são semelhantes, então: c = a . n, d = b . n e hm = hM . n.
Tomo VM como o volume do pacote maior e Vm o volume do menor. Portanto, V V M m = a b h c d h M m . . . . = a b h a n b n h n M m . . . . . = 2V V m m Dessa forma, 2 1 1 3 = n ⇒ n = 1 2 3
Dessa mesma forma a soma total da área maior (SM) e a da área do menor (Sm): S S M m = 2 2 ( . . ) ( . . . ) ab b h a h na nb nb nh na nh M M M M + + + + S S M m = 2 2 2 ( . . ) ( . . ) ab b h a h n ab b h a h M M M M + + + + Portanto, S S M m = 12 n= 1 1 2 3 2 ⇒ S S M m = 43
59) B H 10 cm 60° 60° 6 cm
Primeiramente, calcula-se a altura h:
h = sen 60° . 6 h = 6 . 3
2 = 3 3 Portanto a área da base: Ab = 3 3 6
2. = 18 32 = 9 3
Como o prisma é obliquo é necessário calcular H: H = sen 60° . 10 H = 3 2 . 10 = 5 3 Portanto, V = 9 3 . 5 3 = 135 cm² 60) A
Sabendo uma das dimensões da base triangular do prisma calcula-se a base através da lei dos cossenos. Sendo = 20 cm = 0,2 m, temos h = sen 30° . 0,2 h = 0,1 m Então b = 2 . (cos 30° . 0,2) b = 0,2 3
Portanto, a área da base triangular do prisma (Ab) Ab = b h.
2 =
0 2 3 0 1 2
, . , = 0,01 3 Portanto, o volume do prisma é: V = Ab . h = 0,01 3 . 3 = 0,03 3 m³ 61) C
Sejam IJ = y e HI = x.
Como a soma das áreas desses retângulos é igual a 77 m² podemos escrever:
7x + 7 y = 77 7 . (x +y) = 77
O segmento CD é igual a 10, como o segmento HI é igual a x e é paralelo a CD, podemos dizer que o comprimento
do segmento que está faltando para HI ser igual a CD é 10 − x. Observando a figura verifica-se também que do ponto J até o chão o segmento perpendicular a HI é igual a 3. Podemos agora formar um prisma cuja a base é um triângulo retângulo de catetos 3, (10 − x) e hipotenusa igual a y. A sua altura é igual a 7 m.
y² = 3² + (10 − x)² (2) Substituindo (1) em (2), temos: (11 −x)² = 3² . (10 − x)² 121 − 22x + x² = 9 + 100 − 20x +x² 121 − 22x = 109 − 20x 2x = 12 x = 6 cm y = 11 − 6 ⇒ y = 5 cm
Calculando o volume do prisma, temos: Vp = Ab . h Vp = 3 4 2 . . 7 Vp = 42 m³
O volume da piscina é igual a : 280 − 42 = 238 m³ O tempo total é: 8 000L corresponde a 8 m³ t = 238 8 3 3 m m t = 29, 75 h t = 29 h e 45 min 62) C A xy xz zy z y A x T T = + + = = 2 2 4 2 . ( ) ⇒
⇒ 2 [xy + x . (2y) + (2y) . y] = 4x² ⇒ xy + 2xy + 2y² = 2x² ⇒ 2y² + 3xy − 2x² = 0 y = −3 ± 9 −4 2 −2 2 2 x x² . ( ) . ( x² ) . ( ) = −3 ± 9 +16 4 x x² x² y = −3 ± 25 4 x x² = −3 ±5 4 x x ⇒ ⇒ y x x x x y x x x x 1 2 3 5 4 2 4 2 3 5 4 8 4 2 0 =− + = = =− − =− = − < (não serve) Logo, V = x . y . z = x . x . 2 .x = x3
