Traçando sua Situação Patrimonial
Finanças Empresariais
Traçando sua Situação Patrimonial
1. Introdução
Bem vindo ao curso de Finanças Empresariais!! O objetivo deste curso é aprofundar os conceitos de gestão em finanças, fornecendo ferramentas para as duas principais questões que um administrador financeiro se depara no longo prazo: “que investimentos a empresa deve fazer?” e “quais recursos serão utilizados para os investimentos escolhidos?”, ou seja, discutiremos temas ligados às decisões de investimento e financiamento de longo prazo. Estas decisões são relevantes porque afetam diretamente a dinâmica de crescimento da empresa e sua rentabilidade.
Para analisarmos as diversas opções de financiamento disponíveis para gerar os recursos necessários para os investimentos de uma empresa, utilizaremos algumas técnicas da Matemática Financeira.
Com isso, o objetivo desta primeira aula é percorrer alguns conceitos e aplicações da Matemática Financeira, visto que o cálculo financeiro é uma ferramenta essencial no processo decisório e na gestão financeira das empresas e das pessoas. Decisões erradas geralmente levam a perdas financeiras e por isso o conhecimento do instrumental básico para cálculos financeiros é extremamente relevante.
2. Conceitos Básicos
Para que as operações financeiras sejam executadas, são necessários cálculos adequados a cada situação e o estudo desses cálculos é o objeto de estudo da Matemática Financeira. Antes, porém, de iniciar esse estudo é importante que se fixem alguns conceitos básicos. 2.1. Capital (C) ou Valor Presente (VP) [ou Present Value (PV)]:
É o recurso financeiro transacionado no período inicial (na data focal zero) em uma determinada operação financeira. Também chamado de Principal ou Investimento Inicial. 2.2. Juros (J):
Com o desenvolvimento das sociedades surgiu a especialização e a troca de mercadorias para solucionar o problema de satisfação das necessidades e minimizar a questão da escassez. Com isso a moeda passou a ser um intermediário das trocas e as pessoas
perceberam que ela era um meio de acumular valor e constituir riqueza (o estoque de bens poderia ser usado para gerar novos bens e riquezas).
A maioria das pessoas prefere consumir seus bens no presente e não no futuro. As pessoas que acumulam riqueza querem portanto uma recompensa pela abstinência de não consumir hoje, deixando para o futuro. Este prêmio é chamado de juro. Dessa forma, “são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia” (ASSAF NETO, 2008).
Assim, podemos classificar o juro como a remuneração do capital empregado. Para o investidor ou emprestador os juros recebidos devem ser suficientes para cobrir as despesas (operacionais, de formalização do empréstimo, taxas, etc) e o risco da operação, além de proporcionar um certo lucro.
Do ponto de vista do tomador do empréstimo o juro pode ser considerado como o custo do capital. Se o tomador pretende utilizar o capital emprestado em um negócio qualquer, os juros pagos pelo empréstimo devem ser menores do que a receita prevista com o negócio. 2.3. Taxa de juros (i):
A taxa de juros é o parâmetro de cálculo dos juros, representa o coeficiente obtido da relação dos juros recebidos (J) e o capital inicialmente aplicado (PV). É indicada por i (interest = juros).
Exemplo: Um investimento em CDB de R$ 30.000,00 proporcionou após 180 dias um juros de R$ 8.750,00. Qual a taxa do período?
i = J/PV
i = 8.750,00/30.000,00
i = 0,2917 = 29,17% para 180 dias
As taxas de juros geralmente são expressas em percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo
Exemplos: 12% ao ano = 12% a.a. 6% ao semestre = 6% a.s. 5% ao trimestre = 5% a.t. 10% ao mês = 10% a.m.
Os juros são obtidos através da multiplicação da taxa de juros pelo valor aplicado. J = PV.i
Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 16,75% a.a., no final de um ano proporciona qual rendimento?
J = 1.000,00 x 0,1675
J = R$ 167,50 Repare que o cálculo é feito com a taxa unitária (em decimal), que é obtida pela divisão da taxa percentual por 100. 16,75% = 16,75 = 0,1675 100
Nas fórmulas de Matemática Financeira todos os cálculos são feitos com a taxa unitária (em decimal), porém as
respostas finais de taxas de juros são apresentadas na forma percentual.
2.4. Montante (M) ou Valor Futuro (VF) [ou Future Value (FV)]:
É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação financeira após um determinado período de tempo, ou seja, é a soma do juros com o capital inicial.
2.5. Prazo ou período (n):
É o tempo em que um certo capital (C) aplicado a uma taxa (i) necessita para
produzir um montante (M), ou em outras palavras, é o período após o qual o juro é cobrável
2.6. Regras básicas:
Algumas regras são fundamentais para as questões que envolvem Matemática Financeira. Destacamos uma: As periodicidades da taxa de juros e do prazo da operação devem estar na mesma unidade de tempo.
Por exemplo, se uma situação apresentar taxa de juros anual e o período da operação for em meses, a periodicidade não está coincidente e portanto temos que utilizar fórmulas financeiras para transformar a taxa de juros em mensal. Somente após a definição do prazo e da taxa de juros na mesma unidade de tempo é que podemos aplicar as demais fórmulas da Matemática financeira.
Os critérios de transformação da taxa e do prazo dependerão do regime de capitalização da operação (se é juros simples ou composto).
3. Juros Simples
3. 1. Conceito e Fórmulas
No regime de juros simples os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros não são somados ao principal para cálculo de novos juros nos períodos seguintes (os juros não são capitalizados e por isso não rendem juros).
Exemplo
Um investidor aplicou R$ 1.500,00 pelo prazo de cinco anos, com uma taxa de juros de 10% ao ano, no regime de juros simples. Determine o valor do saldo a ser resgatado no final de cada um dos cinco períodos.
Os juros de cada período são obtidos pela multiplicação da taxa de juros pelo principal.
Juros de um período: J = PV. i
No nosso exemplo: J = 1500 x 0,10 J = 150
Os juros de n períodos são resultado da multiplicação do juro de um período pelo número de períodos considerado
Juros de n períodos:
No nosso exemplo, os juros do 5º período: J = 1.500 x 0,10 x 5 = 150 x 5 J = 750
O total da operação será: FV = PV + J
FV = 1.500 + 750 FV = 2.250
Podemos encontrar uma fórmula para o Montante ou valor futuro: FV = Principal + Juros =
FV = PV + PV.i.n
Exemplo: Qual o valor de resgate de uma aplicação no valor de R$ 84.975,59, por três meses a uma taxa de juros simples de 1,45% ao mês?
J = PV.i.n FV = PV( 1+ i.n) J = 84.975,59 x 0,0145 x 3 FV = 84.975,59 (1 + 0,0145x3) J = 3.696,44 FV = 84.975,59 (1 + 0,0435) FV = PV + J FV = 84.975,59 (1,0435) FV = 84.975,59 + 3.696,44 FV = 88.672,03 FV = 88.672,03 OU
Obs.: na fórmula, usar a taxa de juros (i) sempre em decimal Os juros simples têm aplicações bastante restritas. São raras as operações financeiras e comerciais que utilizam este regime de capitalização. A utilização mais comum para os juros simples refere-se ao cálculo dos juros por atraso de pagamentos (boletos em atraso).
3.2. Períodos não inteiros (taxas proporcionais):
Podem ocorrem situações em que o prazo de aplicação não é um número inteiro de períodos a que se refere a taxa dada. Também podemos encontrar situações em que a periodicidade da taxa e do período não estão na mesma unidade de tempo.
Nestes casos é necessário calcular a taxa proporcional.
• Duas ou mais taxas são proporcionais se, quando aplicadas sobre o mesmo principal durante o mesmo período, produzem o mesmo montante.
Exemplo: Um investidor aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros simples de 12% ao semestre, qual valor a ser resgatado no final de 5 anos e 9 meses?
n = 5 anos e 9 meses = 69 meses taxa de juros = 12% ao semestre
A periodicidade da taxa (semestre) não é coincidente com a periodicidade do prazo (meses), precisamos encontrar a taxa proporcional em meses.
12% ao semestre = 12% = 2% ao mês
6
Após o ajuste, podemos calcular os juros pela fórmula: J = PV . i. n
J = 1.000,00 x 0,02 x 69 J = 1.380,00
FV = 1.000,00 + 1.380,00 FV = 2.380,00
Exemplo de taxas proporcionais:
a) 5% ao mês = 30% ao semestre = 60% ao ano
b) 18% ao ano = 9% ao semestre = 6% ao quadrimestre = 1,5% ao mês Para ajustar a taxa
podemos nos basear na seguinte tabela:
Assim, se tivermos uma taxa de 2% ao mês e quisermos passá-la para ano (em juros simples), devemos aplicar a fórmula:
Taxa anual = taxa mensal x 12 = 2% x 12 = 24% ao ano
4. Juros Compostos
4. 1. Conceito e Fórmulas
No regime de juros compostos os juros de cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte; dizemos então que os juros são capitalizados. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e no cálculo
econômico e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do cotidiano.
A tabela abaixo mostra a diferença de cálculo entre os dois regimes, para um empréstimo de R$ 1.000,00 por um período de 4 meses à taxa de juros de 20% ao mês.
Podemos observar que no regime de juros simples o valor dos juros é constante enquanto que no regime de juros compostos o valor dos juros cresce em função do tempo. Isto faz com que o dinheiro cresça mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. No juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente (em progressão geométrica) e no juros simples ele cresce linearmente (em progressão aritmética). Assim, matematicamente o cálculo dos juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.
Considere a seguinte nomenclatura genérica:
PV = Capital inicial ou principal ou valor presente FV = montante ou valor futuro
i = taxa de juros de cada período n = número de períodos
J = Juros
A fórmula para cálculos em juros compostos é:
Exemplos:
1. Cálculo do Montante (FV):
Uma loja financia uma geladeira de R$ 1.500,00 sem entrada para pagamento em uma única parcela no final de 6 meses à taxa de 3% ao mês. Quanto a loja receberá pela geladeira?
PV = 1.500 FV = 1500 (1+0,03)6
i = 3% a.m. = 0,03 FV = 1500 (1,1941)
Podemos utilizar as calculadoras financeiras para realizar os cálculos de juros compostos. O modelo mais tradicional é a HP12C:
As funções financeiras encontram-se na primeira linha da calculadora:
Saiba Mais
Você encontra na internet vários emuladores da HP12C para instalar em seu computador. Uma sugestão de site que contém este e outros modelos de calculadoras científicas e financeiras para download grátis é:
http://www.livrariamaconica.com.br/ calculadoras/calculadoras.htm
Também podemos efetuar estes cálculos utilizando o Excel. Considerando a versão 2007:
Clicar na barra de ferramentas em Fórmulas
Depois clicar em Financeira
Procurar na lista de fórmulas a que trate do valor futuro (VF):
Aparecerá a seguinte caixa:
Você pode preencher os campos com os valores ou indicar as células que contém os respectivos valores.
No nosso exemplo:
4.2. Taxas equivalentes
Em juros compostos, quando a periodicidade da taxa não coincide com a periodicidade do prazo, precisamos encontrar a taxa equivalente.
• Duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, por um período de tempo equivalente, geram o mesmo rendimento.
Pelo critério de juros compostos utilizamos a relação:
iq = taxa que eu quero
it = taxa que eu tenho (taxa conhecida) q = quanto eu quero
t = quanto eu tenho Exemplos:
1) Qual é a taxa mensal equivalente à taxa de 12% ao ano? 1 ano = 12 meses im = (1+0,12)1/12 – 1
im = (1,12)0,0833333 - 1
im = 0,009489 = 0,949% ao mês
2) Os cartões de crédito cobram em média uma taxa mensal de 13% ao mês para
refinanciamento (para quem não paga a fatura por completo), quanto isso representa em termos anuais?
1 ano = 12 meses ia = (1 + 0,13)12/1 - 1
ia = 4,3345 – 1
5. Séries Uniformes
Uma Série, também chamada de Renda, é uma seqüência de pagamentos ou recebimentos efetuados a determinado intervalo de tempo. Os vencimentos dos termos de uma Série podem ocorrer no final de cada período (termos vencidos ou postecipados) ou no início (termos antecipados). Pode ocorrer, também, da Série contar com um período de carência (termos diferidos).
As Séries podem ser uniformes (quando os pagamentos ou recebimentos são iguais) ou variáveis (quando os pagamentos ou recebimentos são crescentes, decrescentes ou até desproporcionais).
Vamos tratar das séries uniformes.
Nas calculadoras financeiras o pagamento periódico é identificado pela função
(periodic payment).
5.1. Séries postecipadas
São aquelas em que o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre no final do primeiro período, ou seja, quando o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre no momento 1 (um), como por exemplo, empréstimos bancários e vendas a prazo sem entrada - do tipo (0+n). Antes de fazer a conta na calculadora financeira, é preciso ajustar o plano para postecipado, modo END, apertando as teclas:
Na HP-12c
No caso de compras ou empréstimos com o primeiro pagamento no período 1 (postecipado), casos em que temos o valor presente (valor da compra ou valor do empréstimo), a fórmula usada é:
Exemplo:
Um computador é vendido à vista por R$ 3.000,00 ou financiado em 24 parcelas mensais iguais, sem entrada. Sabendo que a loja cobra taxa de juros de 2,99% ao mês, calcule o valor de cada parcela
PV = 3.000 3000 = PMT (1,0299)24 - 1 . n = 24 (1,0299)24. 0,0299 i = 2,99% PMT = ? 3.000 = PMT . 1,028063 0,060639 3.000 = PMT . 16,9538 PMT = 3.000 16,9538 PMT = 176,95
Na calculadora HP12C:
No Excel:
• Clicar na barra de ferramentas em Fórmulas • Depois clicar em Financeira
• Procurar na lista de fórmulas a que trate das prestações (PGTO)
• Abrirá a caixa para preenchimento dos valores ou das células que contenham os valores.
Uma observação importante é que o ajuste do plano de pagamento é feito aqui.
Para pagamentos no final do período, ou seja, postecipados, o tipo deve ser 0 (zero) ou ficar em branco e, para pagamentos antecipados, no início do período, o tipo deve ser 1 (um)
Quando nos deparamos com situações em que são realizados pagamentos para acumular um valor no futuro, geralmente em situações de poupança, usamos a seguinte fórmula:
Exemplo:
João está programando suas férias e resolveu juntar dinheiro. Para tanto, aplicará, a partir do próximo mês, R$ 200,00 por mês durante seis meses consecutivos a uma taxa de 5% ao mês. Quanto resgatou no final do período?
PMT = 200,00 FV = 200. (1,05)6- 1 i = 5% 0,05 n = 6 FV = ? FV = 200 (6,8019) FV = 1.360,38
5.1. Séries antecipadas
São aquelas em que o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre no início do primeiro período, ou simplesmente, quando o primeiro pagamento (ou recebimento) ocorre na data zero. Exemplo: compras a prazo do tipo (1+n), cuja primeira parcela é no ato da compra
Na calculadora HP 12C é preciso ajustar o plano de pagamentos, apertando as teclas
Após o ajuste do plano de pagamentos, o procedimento para a realização do cálculo é o mesmo do plano postecipado.
No Excel, o procedimento também é idêntico ao realizado no plano postecipado, apenas atenção ao preenchimento do Tipo, é preciso colocar o número 1 (um) que equivale ao plano antecipado.
Matematicamente, quando nos depararmos com situações de compra ou de empréstimos (situações em que temos o Valor Presente) com pagamentos antecipados, usamos a seguinte fórmula:
Exemplo: Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 parcelas iguais, mensais e consecutivas. Sabendo que a primeira parcela deverá ser paga no ato e que a taxa de juros é de 4% ao mês, calcular o valor das prestações. PV = 30.000 30.000 = PMT (1,04)12-1 (1+0,04) = n = 12 (1,04)12.0,04 i = 4 30.000 = PMT (9,3851) (1,04) PMT = 30.000/9,7605 PMT = 3.073,62
Para situações em que são efetuados pagamentos ou depósitos consecutivos e iguais para acumular valores em uma data futura, sendo que o primeiro destes pagamentos é feito no início do contrato ( no ato), usamos a seguinte fórmula:
Exemplo: Manoel quer iniciar uma poupança. Para tanto, aplicará R$ 150,00 mensais, sendo que o primeiro depósito ocorre na abertura da conta poupança (ou seja,
antecipadamente). Considerando uma taxa de 0,8% ao mês, quanto conseguirá juntar após um ano de aplicação? PMT = 200,00 FV = 150.(1,008)12- 1 .(1,008) i = 5% 0,008 n = 6 FV = ? FV = 150 (12,542337).(1,008) (modo Begin) FV = 1.896,40
Na série de pagamentos/recebimentos iguais com termos postecipados é comum a ocorrência de um valor a título de entrada, valor este diferente do valor das prestações. Quando isto acontece, deve-se deduzir o valor desta entrada do Valor Presente, ou seja, neste caso o PV é igual ao valor total menos o valor da entrada. Isto significa, obviamente, que o valor da entrada não será onerado com juros. Apenas o restante do Valor Presente, que será efetivamente financiado, será encarecido com juros.
Ex. Financiamento de R$ 3.000,00 sem entrada: PV= 3.000,00 Financiamento de R$ 3.000,00 com entrada de R$ 500,00:
PV= 3.000 - 500 ---> PV= 2.500,00
Na série antecipada, o valor presente é integralmente financiado. A parcela dada como “entrada” possui valor idêntico ao das demais parcelas. Neste caso, o PV é igual ao valor total.
Ex. Financiamento de R$ 3.000,00 com vencimento antecipado das parcelas o PV será os R$ 3.000,00
5.3. Séries Diferidas
São aquelas em que existe um período de carência entre a concessão do financiamento e o início dos pagamentos, ou seja, o primeiro pagamento ocorre em datas superiores a um período. Este tipo de plano é muito comum no comércio, em que as promoções usam o jargão “compre hoje e só comece a pagar em...”
Exemplo: Silva contraiu um empréstimo de R$ 4.200,00 a uma taxa de 2,5% a.m. O pagamento será efetuado em 4 prestações mensais e terá uma carência de três meses para o primeiro pagamento. Determinar o valor das prestações.
Ao invés de usarmos uma fórmula específica para séries com carência, podemos calcular as prestações usando os conceitos já aprendidos. Temos duas formas de calcular este tipo de prestação.
Bibliografia
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 10.ed. São Paulo: Atlas, 2008.
MATHIAS, Washington Franco & GOMES, José Maria. Matemática Financeira. 6.ed. São Paulo: Atlas, 2009.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 7.ed. São Paulo: Saraiva, 2008.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: aplicação à análise de investimentos. 4.ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall, 2007
