Expansão/Redução de imagens no domínio das frequências

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Televisão Digital 2006/2007

Trabalho 1:

Expansão/Redução de imagens no

domínio das frequências

Grupo 8:

Pedro Cunha (ee00047@fe.up.pt) Nuno Mano (ee99080@fe.up.pt)

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0. Índice

1.Introdução... 3

2.Principios Gerais e Algoritmos Implementados ... 4

3.Resultados... 8

4.Discussão dos Resultados... 12

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1.Introdução

O objectivo deste trabalho era desenvolver um algoritmo, implementado ou na linguagem C ou na linguagem Matlab, que fosse capaz de realizar a expansão ou a redução de uma imagem no domínio das frequências recorrendo a duas transformadas distintas e no final compara-las com base nos resultados obtidos. Essas transformadas são nomeadamente a FFT(Fast Fourier Transform) e a DCT(Discret Cosine Transform).

Usamos neste trabalho, como sugerido pelo docente, dois métodos de implementação das duas Transformadas em causa, que designamos como sendo Linear e Recursivo.

Fazia parte também dos requisitos do programa que fosse possível ao utilizador especificar qual o valor do factor expansão/redução fazendo variar uma variável k, ou seja, no caso de queremos fazer a expansão de uma imagem com as dimensões M x N a imagem final iria ficar com a forma k.M x k.N, no caso de querermos fazer uma redução a imagem final iria ficar com a forma M/k x N/k.

A variação da energia da imagem também era um factor que deveria ser registado e manipulado se assim se desejasse.

Usamos como ferramenta de trabalho o Matlab.

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2.Principios Gerais e Algoritmos Implementados

Todas as imagens, com a excepção das imagens a preto e branco que possuem só uma matriz da imagem digital, possuem 3 matrizes da imagem digital, compostas por uma matriz com a cor vermelha (Red), uma verde (Green) e uma azul (Blue). Estas imagens são denominadas imagens RGB.

Como tal todas as operações que sejam feitas sobre as imagens a preto e branco são feitas directamente sobre a única matriz que essas imagens possuem, mas no caso das imagens a cores os métodos tem de ser aplicados individualmente a cada uma das matrizes R, G, B, por isso é preciso retira-las da imagem original, trata-las e no final voltar a junta-las.

Como referido na Introdução foram utilizados dois métodos para a implementação das transformadas, Linear e Recursivo.

• Método Linear: Neste método após a aplicação da FFT ou da DCT a cada uma das matrizes da imagem original, é aplicado directamente a cada uma das matrizes resultantes os processos de aumento ou redução. Em seguida aplica-se a FFT inversa ou a DCT inversa consoante o método que se esteja a usar.

o FFT(Fast Fourier Transform): Um espectro FFT apresenta a maior parte da sua informação no centro e suas proximidades, valores representativos das baixas frequências. Logo quando se aplica a FFT a uma imagem será no centro da matriz que irá estar contida a maior parte da informação relativa à imagem original.

Como tal deveremos conservar o máximo possivél de informação contida no centro do espectro para podermos realizar a expansão ou redução. O problema é que quando se aplica a FFT a uma imagem acontece um fenómeno denominado wraparound, que desloca a informação contida nas baixas frequências para os cantos da matriz.

A forma que adoptamos para corrigir este grave problema foi usar a função do Matlab fftshift que volta a colocar a informação dispersa pelos cantos de novo no centro.

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Fig.2-Espectro FFT do RED com correcção do erro wraparound

o Expansão: Para se expandir uma imagem usando a FFT neste método colocaram-se linhas e colunas com zeros na periferia de cada matriz que compõem a imagem, após ter-lhe sido aplicada a FFT. Sendo a dimensão da matriz original M x N, o numero de linhas a acrescentar em cima e em baixo da matriz original é dado por ((k-1).M)/2 e o numero de colunas a acrescentar à esquerda e a direita da matriz original é dado por ((k-1).N)/2.

Fig.3-Expansão FFT usando o método Linear

o Redução: Para de reduzir uma imagem usando a FFT neste método é necessário retirar-se uma matriz com o tamanho pretendido do centro da matriz original. Visto que a maior parte da informação de um espectro FFT encontra-se no seu centro quando se quer reduzir uma imagem de um factor k, interessa retirar-se a informação presente nas M/k linhas e N/k colunas do centro da matriz original.

Fig.4-Redução FFT usando o método Linear

o DCT: Um espectro DCT, apresenta a maior parte da sua informação no canto superior esquerdo e suas proximidades, onde se situam os valores das baixas frequências. Ou seja após a aplicação da DCT numa imagem interessa

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preservar o máximo de informação possível contida no canto superior esquerdo para se realizar as operações de expansão ou redução.

Note- No caso da DCT não existe o factor wraparound que existia na FFT.

Fig.5-Espectro DCT do RED

o Expansão: Para se expandir uma imagem usando a DCT neste método é necessário acrescentar linhas e colunas com zeros abaixo e à direita da matriz original após lhe ter sido aplicado a DCT. Depois de aplicar a expansão é feito a transformada inversa da DCT ou seja a IDCT.

Neste caso para se expandir uma imagem por um factor k numa imagem com dimensões M x N é necessário acrescentar (k-1).M linhas preenchidas com zeros na parte inferior da matriz original e (k-1).N colunas à direita da matriz original.

Fig.6-Expansão DCT usando o método Linear

o Redução: Para se reduzir uma imagem usando a DCT neste método é necessário retirar-se uma matriz do tamanho pretendido, ou seja k vezes menor, do canto superior esquerdo da matriz original, uma vez que é onde se encontra a maior parte da informação sobre a imagem em questão como já foi referido. Portanto para se reduzir uma imagem de dimensões M x N k vezes interessa retirar informação presente nas M/k linhas mais acima e nas N/k colunas mais à esquerda.

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• Método Recursivo: Este método separa o processo de expansão/redução de k vezes em n iterações, isto é, em vez de se expandir/reduzir a matriz k vezes de uma vez só, vai-se dividir esse processo em n iterações.

Para cada uma dessas n iterações o k terá o valor de k^(1/n), sendo o n o número de iterações escolhido pelo utilizador. Na primeira iteração se como no método linear, onde o k=k^(1/n). Na segunda iteração procede-se de igual forma mas desta vez aplicando os procedimentos de expansão/redução sobre a matriz resultante da iteração anterior e assim sucessivamente até se atingir o número de iterações especificado pelo utilizador.

o Expansão:

Fig.8-Expansão usando o método Recursivo

o Redução:

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3.Resultados

Utilizando o programa realizado ao longo deste trabalho ir-se-á agora apresentar cada um dos resultados obtidos face à utilização de cada um dos métodos.

• Métodos de expansão de Imagem:

Imagem inicial

Método: Expansão Linear Expansão Linear

Factor de Expansão: 2x 2x

Transformada: FFT DCT

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Método: Expansão Recursivo Expansão Recursivo

Transformada: FFT FFT

Numero de Iterações: 4 15

Imagem resultante:

Método: Expansão Recursivo Expansão Recursivo

Transformada: DCT DCT

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• Métodos de Redução de Imagem:

Imagem inicial

Método: Redução Linear Redução Linear

Transformada: FFT DCT

Imagem resultante:

Método: Redução Recursivo Redução Recursivo

Transformada: FFT FFT

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Método: Redução Recursivo Redução Recursivo

Transformada: DCT DCT

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4.Discussão dos Resultados

Com base nos resultados obtidos no ponto 3 chegou-se a conclusões bastante interessantes face aos métodos implementados e verificou-se algumas vantagens e desvantagens para cada um deles.

Vai-se de seguida fazer uma breve comparação entre eles.

• Expansão FFT linear VS. Expansão DCT linear:

Neste ponto pode-se verificar que ao aplicarmos a mesma imagem aos dois métodos, estes não apresentam grandes diferenças de qualidade embora seja possível uma menor perda de qualidade da imagem no caso da DCT salientando principalmente os bordos da imagem.

• Redução FFT linear VS. Redução DCT linear:

Este ponto assemelha-se em tudo ao anterior dado que mais uma vez não se nota grande diferença mas a DCT continua a favorecer a imagem final.

• Expansão FFT recursiva VS. Expansão DCT recursiva:

Como era de se esperar a aplicação da DCT é a mais favorável, uma vez que o método recursivo recorre a um uso iterativo do método linear. Pode-se reparar que os resultados obtidos com este método e o linear são semelhantes.

Com este método consegue-se uma maior eficiência espectral, o que é bastante útil na expansão de imagens em que se pretende reforçar o espectro nas médias e altas frequências.

• Redução FFT recursiva VS. Redução DCT recursiva: Igual ao ponto anterior.

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5.Conclusão

Podemos dizer que este trabalho foi concluído com sucesso, uma vez que se atingiu todos os pontos especificados no Guião do trabalho.

Com base nos resultados obtidos pode-se afirmar que o método e a transformada mais eficiente são o método Recursivo e a DCT (Discret Cosine Transform) respectivamente.