SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CURSO DE ESTATÍSTICA
Débora Morales
UM ESTUDO DA VOLATILIDADE DOS RETORNOS DA AÇÃO DA
INTEL CORPORATION ENTRE JANEIRO DE 1973 E AGOSTO DE
2013 USANDO MODELAGEM GARCH
CURITIBA 2013
UM ESTUDO DA VOLATILIDADE DOS RETORNOS DA AÇÃO DA
INTEL CORPORATION ENTRE JANEIRO DE 1973 E AGOSTO DE
2013 USANDO MODELAGEM GARCH
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à disciplina Laboratório de Estatística do Curso de Graduação em Estatística da Universidade Federal do Paraná, como exigência parcial para obtenção do grau de Bacharel em Estatística.
Orientador: Prof. Dr. Fernando Lucambio Pérez
CURITIBA 2013
Ao meu querido amigo Cássio J. Pagnoncelli, pelo apoio, ajuda e incentivo para a realização deste trabalho.
AGRADECIMENTOS
À Deus, por me manter sempre forte e confiante, mesmo nos momentos difíceis. Ao meu orientador Professor Dr. Fernando Lucambio Pérez pelos ensinamentos compartilhados, a paciência, a compreensão e a confiança depositada.
Ao meu pai Raul Morales, pelo apoio no decorrer desses anos de graduação.
Às minhas irmãs Carla e Helen, mesmo distantes, estão sempre presentes no meu coração.
À minha querida amiga Cherlynn, pela amizade, companheirismo e incentivo.
À Professora Dra. Sônia Isoldi Marty da Gama Müller, a disponibilidade em participar da banca deste trabalho.
“Alguns homens veem as coisas como são, e dizem ´Por quê?´ Eu sonho
com as coisas que nunca foram feitas e digo ´Por que não?`”.
RESUMO
Uma Análise da Volatilidade dos Retornos da Ação da Intel Corporation entre Janeiro de 1973 e Agosto de 2013 Usando Modelagem GARCH
As ações que pertencem ao mercado de ações, como a NASDAQ, por exemplo, possuem volatilidade em suas séries financeiras. Dado o grande número de fatores que influenciam a formação dos preços de um ativo, a volatilidade como medida de incerteza e risco é o parâmetro mais observado pelos gerenciadores de carteiras de ativos. A série financeira utilizada da Intel Corporation possui como variável que compõe o banco de dados os seus retornos. A volatilidade foi analisada descritivamente e foi ajustado um modelo autorregressivo que assume que a volatilidade condicional não é constante ao logo do tempo, modelo GARCH. O de seleção do modelo mais apropriado foi o AIC e o BIC, para a série observou-se pela análise de seus resíduos, pelo teste de Ljung-Box o efeito ARCH e pelo teste de Jarque-Bera a normalidade dos resíduos resultando uma resposta satisfatória ao ajuste do modelo para os dados estudados. Também foi feita a previsão para os meses de setembro, outubro e novembro do ano de 2013. Esta previsão para o log dos retornos se mostrou adequada pois está dentro dos limites das bandas de um desvio padrão.
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
AIC Critério de Informação de Akaike
AMD Advanced Micro Devices
AR Modelo Autorregressivo
ARCH Modelo Autorregressivo de Heterocedasticidade Condicional
ARIMA Modelo Autorregressivo Integrado De Médias Móveis
ARMA Modelo Autorregressivo e de Médias Móveis
BIC Critério de Informação Bayesiano
CARIMA Modelo Autorregressivo Integrado De Médias Móveis Controlado
EGARCH Exponencial GARCH
FAC Função de Autocorrelação
FACP Função de Autocorrelação Parcial
FACV Função de Autocovariência
GARCH Modelo Autorregressivo de Heterocedasticidade Condicional Generalizado
INTC Intel Corporation
LB Ljung-Box
MA Modelo de Médias Móveis
RB Ruído Branco
SARIMA Modelo Autorregressivo Integrado De Médias Móveis Sazonal
T-GARCH Threshold GARCH
VaR Value at Risk
GARCH-M Garch-in-mean I-GARCH Integrated GARCH
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – EXEMPLO DE UM MICROPROCESSADOR FABRICADO PELA INTEL CORPORATION. ... 1 FIGURA 2 – LEI DE MOORE SUGERE QUE A CAPACIDADE DE
PROCESSAMENTO DOS PROCESSADORES, AQUI MEDIDA EM NÚMERO DE TRANSÍSTORES, DOBRA A CADA 18 MESES. ... 2 FIGURA 3 – EXEMPLO DE Q-Q PLOT PARA UMA DISTRIBUIÇÃO QUE NÃO ADERE À DISTRIBUIÇÃO NORMAL ... 15 FIGURA 4 – GRÁFICO DA SÉRIE TEMPORAL DOS RETORNOS DA INTC ... 29 FIGURA 5 – GRÁFICO DA SÉRIE TEMPORAL DOS LOG-RETORNOS DA INTC. 29 FIGURA 6 – GRÁFICO DE PERFIL ANUAL DOS RETORNOS DA INTC. ... 31 FIGURA 7 – GRÁFICO DE PERFIL ANUAL DOS LOG-RETORNOS DA INTC. ... 31 FIGURA 8 – O GRÁFICO Á ESQUERDA CONTRASTA OS QUANTIS DOS
RETORNOS COM OS QUANTIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO; A BORDA VERMELHA INDICA UM INTERVALO DE CONFIANÇA DE 95%. O
SEGUNDO GRÁFICO É IDÊNTICO AO PRIMEIRO EXCETO POR CONTRASTAR OS QUANTIS DOS LOG-RETORNOS AO INVÉS DOS QUANTIS DOS
RETORNOS. ... 33 FIGURA 9 – DECOMPOSIÇÃO DOS LOG-RETORNOS DA INTC EM TENDÊNCIA E SAZONALIDADE. A SÉRIE MAIS ABAIXO SÃO OS RESÍDUOS. ... 34 FIGURA 10 – NO GRÁFICO SUPERIOR À ESQUERDA, APARENTEMENTE, OS LOG-RETORNOS NÃO SÃO SERIALMENTE DEPENDENTES. ENTRETANTO, NOS DEMAIS GRÁFICOS HÁ EVIDÊNCIAS DE QUE OS LOG-RETORNOS NÃO SÃO SERIALMENTE INDEPENDENTES. OS GRÁFICOS DA DIREITA MOSTRAM AS CORRELAÇÕES PARCIAL E TOTAL DO QUADRADP DOS
LOG-RETORNOS...35 FIGURA 11 – SÉRIE DOS RESÍDUOS PADRONIZADOS NO MODELO
GARCH(1,1) PARA OS LOG-RETORNOS DE INTC. ... 38 FIGURA 12 – HISTOGRAMA DOS RESÍDUOS PADRONIZADOS NO MODELO
GARCH(1,1) PARA OS LOG-RETORNOS DE INTC. ... 38 FIGURA 13 – QQ-PLOT CONTRASTANDO OS QUANTIS DOS RESÍDUOS NO MODELO GARCH(1,1) PARA OS LOG-RETORNOS DE INTC CONTRA OS
QUANTIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL. ... 39 FIGURA 14 – DESVIO PADRÃO CONSICIONAL DOS LOG-RETORNOS NO
MODELO GARCH(1,1). ... 40 FIGURA 15 – LOG-RETORNOS (EM AZUL) COM DUAS BANDAS (EM PRETO PONTILHADO): INFERIOR E SUPERIOR. ... 41 FIGURA 16 – DESVIO PADRÃO CONDICIONAL NO ESCOPO DE 2013. A
PREVISÃO É REPRESENTADA PELA LINHA PONTILHADA. ... 42 FIGURA 17 – LOG-RETORNOS COM DUAS BANDAS DE CONFIANÇA DE 1 DESVIO PADRÃO EM TORNO DA MÉDIA AMOSTRAL E COM TRÊS MESES DE PREVISÃO ADIANTE. A PREVISÃO É REPRESENTADA PELA LINHA
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – PRIMEIRAS LINHAS DO BANCO DE DADOS DOS RETOROS DA
INTC ... 28
TABELA 2 - PRINCIPAIS MEDIDAS DESCRITIVAS DOS RETORNOS MENSAIS DAS ... 30
AÇÕES DA INTC ENTRE JANEIRO DE 1973 A AGOSTO DE 2013 ... 30
TABELA 3 - PRINCIPAIS MEDIDAS DESCRITIVAS DOS LOG-RETORNOS MENSAIS DAS ... 30
AÇÕES DA INTC ENTRE JANEIRO DE 1973 A AGOSTO DE 2013 ... 30
TABELA 4 – TESTE JARQUE-BERA DOS RETORNOS ... 32
TABELA 5 – TESTE JARQUE-BERA DOS LOG-RETORNOS ... 32
TABELA 6 – TESTE DE LJUNG-BOX PARA A HIPÓTESE DE QUE AS PRIMEIRAS DEFASAGENS DA FAC DA SÉRIE {a2t} ... 36
TABELA 7 – VALORES DE AIC PARA GARCH(I,J) ... 37
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 1 1.1JUSTIFICATIVA ... 4 1.2OBJETIVOS GERAIS ... 4 1.3OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 5 2 MATERIAL E MÉTODOS ... 6 2.1 MATERIAL ... 6 2.1.1 Conjunto de Dados... 6 2.1.2 Recursos Computacionais ... 6 2.2 MÉTODOS ... 7 2.2.1. Séries Temporais ... 7 2.2. ESTACIONARIEDADE ... 10 2.3 INDEPENDÊNCIA ... 11 2.3.1 Função de Autocovariância ... 11 2.3.2 Função de Autocorrelação ... 12
2.3.3Função de Autocorrelação Parcial ... 13
2.3.4 Teste Ljung-Box ... 13
2.4 TESTE DE NORMALIDADE ... 14
2.4.1 Método gráfico Q-Q Plot ... 14
2.4.2 Teste Jarque-Bera... 15 2.5. SÉRIES FINANCEIRAS ... 17 2.5.1 Retornos ... 17 2.6. MODELOS PARAMÉTRICOS ... 18 2.7. MODELOS LINEARES ... 19 2.71. Ruído Branco ... 19
2.7.2. Modelos autorregressivos (AR) ... 19
2.7.3. Modelos de médias móveis (MA) ... 20
2.7.4. Modelos autorregressivos e de médias móveis (ARMA) ... 20
2.7.5. Modelos autorregressivos integrados de médias móveis (ARIMA) ... 21
2.8 MODELOS NÃO LINEARES ... 21
2.8.1 Modelos com Heteroscedasticidade Condicional ... 22
2.8.2 Modelos Autorregressivos de Heteroscedasticidade Condicional (ARCH) 23 2.8.3 Modelos Autorregressivos de Heteroscedasticidade Condicional Generalizado (GARCH) ... 24
2.9. CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DE MODELOS ... 26
2.9.1. Critério de Informação de Akaike (AIC) ... 26
2.9.2. Critério de Informação de Bayesiano (BIC) ... 27
2.10. ESTRUTURA E CONSTRUÇÃO DO MODELO ... 27
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO ... 28 3.1 ANÁLISE EXLORATÓRIA ... 28 3.2 SELEÇÃO DO MODELO ... 36 3.3 AJUSTE DO MODELO ... 37 3.4 PREVISÃO ... 41 4 CONCLUSÃO ... 44 5 REFERÊNCIAS ... 45 6 APÊNDICES ... 48
1 INTRODUÇÃO
A Intel Corporation, código da ação negociada na NASDAQ: INTC, iniciou suas atividades em 1968, sendo atualmente a maior empresa do mundo no segmento de fabricação de microprocessadores. Ela está localizada em Santa Clara, Califórnia, nos Estados Unidos. Suas ações começaram a ser negociadas na NASDAQ em 1972.
A indústria de microprocessadores, que é um ramo da indústria de circuitos integrados, é extensa e tem uma vasta presença em quase todos os componentes eletrônicos. De fato, são poucos os eletrônicos que dispensam uma unidade central de processamento ou, como propriamente dito, um microprocessador. Contudo, a linha de produtos da Intel compreende apenas microprocessadores para computadores pessoais, servidores e dispositivos portáteis de alto desempenho, portanto, um pequeno nicho. Este nicho, porém, representa cerca de 3-4% de todo o mercado de microprocessadores (HENNESSY, PATTERSON, 2009). Resultados de pesquisa (DIGIKEY, 2011) mostram que dentro deste nicho, em meados de 2011, a Intel responde por uma fatia de mercado de cerca de 81%; a maioria do restante fica quase todo com o seu maior concorrente, a Advanced Micro Devices (AMD).
FIGURA 1 – EXEMPLO DE UM MICROPROCESSADOR FABRICADO PELA INTEL CORPORATION.
FONTE: http://supermouser.com.br/blog/informatica/como-escolher-o-melhor-processador-2/
Moore, nome este herdado de Gordon Moore, um dos fundadores da Intel Corporation. A lei de Moore é uma observação feita em meados da década de 1960 relatando que a cada 18 meses, o poder de processamento dos circuitos integrados dobra. É, praticamente, indiscutível que esta lei tenha funcionado ao longo das últimas décadas e ainda funcione (HENNESSY, PATTERSON, 2009).
FIGURA 2 – LEI DE MOORE SUGERE QUE A CAPACIDADE DE PROCESSAMENTO DOS PROCESSADORES, AQUI MEDIDA EM NÚMERO DE TRANSÍSTORES, DOBRA A CADA 18 MESES.
FONTE: http://www.mosaico.com.br/?canal=1&pg=show_noticias_informativa&in=514&path=noticias
Como a Intel Corporation é a empresa que domina o mercado de microprocessadores, representa boa parte das receitas desta indústria e atua praticamente apenas neste nicho específico (fabricação de microprocessadores), os retornos da sua ação - os quais serão explicados posteriormente -, basicamente, representa os retornos da indústria de microprocessadores.
quase constante e muito rápido até meados de 1996, quando houve a popularização da internet nos Estados Unidos, seguido da famosa bolha da Internet, até meados de 2001, com a supervalorização das empresas do ramo da internet e, também, suas relacionadas. Deste então, o valor da empresa se estabilizou.
Em séries financeiras, a volatilidade de uma dada série temporal é uma medida de risco. Ela corresponde ao desvio padrão condicional da série de retornos de um instrumento financeiro (TSAY, 2010).
O interesse em modelar a volatilidade de uma série vem de encontro com a necessidade de estimar o risco envolvido em alguma operação financeira. Eis, pois, algumas das aplicações de interesse:
• Previsão de “Value at Risk” (VaR). VaR é uma medida de risco numa carteira de instrumentos financeiros (ou, mais comumente conhecido, um “portfolio”) e refere-se ao pior desempenho esperado que pode ocorrer num determinado período de tempo sujeito a uma certa probabilidade a
priori. A volatilidade desta carteira é uma ponderação das volatilidades dos
instrumentos financeiros que a compõem, daí o interesse em modelá-la (TSAY, 2010).
• Risco de crédito. Em instituições financeiras que atuam no mercado de crédito, o risco de crédito é a possibilidade de perdas devido ao não recebimento de pagamentos de clientes (MALONE, RODRIGUEZ, HORST, 2009).
• Inflação. Devido ao aumento no preço de produtos, bens e serviços, o poder de compra de uma dada moeda, relativamente, diminui. As taxas de inflação, empiricamente, não apresentam volatilidade constante (JAVED, KHAN, 2010).
• Previsão da taxa de “spread” em operações de mercado de câmbio. “Spread” é diferença entre o preço de compra e venda de um instrumento financeiro. Em alguns contextos, este spread é determinado pela oferta e demanda deste instrumento financeiro. Em algumas janelas de tempo existe uma concorrência muito maior do que em outras janelas de tempo, seja para a compra, seja para a venda; nestes casos, o spread, relativamente, aumenta. O spread pode ser usado como medida de volatilidade de um instrumento financeiro e existe interesse em modelá-lo (BOLLERSLEV, MELVIN, 1994).
• Maximização do índice de Sharpe na teoria de portfolio. O índice de Sharpe, uma medida famosa de desempenho de instrumentos financeiros, é definido como a razão entre a esperança dos retornos e a volatilidade. A interpretação usual para o índice de Sharpe é o retorno sobre o investimento por cada unidade de risco à que um investidor se submete. Considere agora uma carteira de instrumentos financeiros, o interesse em maximizar o índice de Sharpe desta carteira vem de encontro com uma estimação precisa da volatilidade desta carteira (POLASEK, POJARLIEV, 2001).
• Precificação de opções com o modelo de Black-Scholes. No mercado de opções, o portador de uma “opção de compra” tem o direito, mas não o dever, de comprar um certo lote de uma determinada ação numa certa data. Black-Scholes é um modelo para precificação da opção em função de algumas variáveis, uma delas é a volatilidade do preço da ação (TSAY, 2010).
observável numa série (TSAY, 2010). A família de modelos condicionados à heteroscedasticidade, a iniciar por Engle (1982), provê um arcabouço que nos permite descrever e entender a volatilidade de uma determinada série.
Este trabalho tem como principal objetivo analisar a volatilidade da série financeira da Intel Corporation proveniente do sítio eletrônico Yahoo Stock através da análise descritiva e modelagem do banco de dados utilizando o modelo GARCH.
No capítulo 2 são descritas as metodologias estatísticas referentes a Análise de Séries Temporais e a Econometria. No capítulo 3 são apresentados os resultados obtidos nas análises e no capítulo 4 a conclusão do estudo.
1.1 JUSTIFICATIVA
A existência da volatilidade é essencial para a dinâmica do mercado financeiro, especialmente para os especuladores. No entanto, o monitoramento da volatilidade e a previsão da mesma é algo desejável seja qualquer a atividade financeira exercida.
Dado essa importância, estimar e prever a volatilidade de ativos financeiros é um tema frequentemente tratado na bibliografia, sendo mais explorada do que a própria média dos preços. O que este trabalho se propõe a estudar está relacionado a elaborar uma metodologia para prever a volatilidade da série financeira da Intel Corporation.
A utilização deste conjunto de dados se deve ao fato da Intel Corporation ser uma empresa privada aonde não há interferência política significativa no seu histórico de negociações e, além disso, apresenta um volume mensal de negociações razoavelmente grande para dificultar a manipulação sistemática por agentes individuais.
1.2 OBJETIVOS GERAIS
Estudar a volatilidade da série financeira da Intel Corporation no período de janeiro de 1973 a agosto de 2013 através de análise descritiva e modelagem pelo modelo GARCH, além de fazer uma previsão para os meses de setembro a novembro.
1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Descrever o perfil da série através de técnicas de análise descritiva; • Propor e ajustar o modelo GARCH para a volatilidade da série
financeira da Intel Corporation;
• Fazer uma previsão para os meses de setembro, outubro e novembro do ano de 2013.
2 MATERIAL E MÉTODOS
2.1 MATERIAL
Neste capítulo será explicitada a metodologia utilizada para chegar ao objetivo proposto por este trabalho que é estudar a volatilidade de uma série financeira, utilizando modelos condicionados à heteroscedasticidade.
2.1.1 Conjunto de Dados
O banco de dados possui 488 observações unidimensionais, que são os retornos mensais da Intel Corporation (INTC) entre janeiro de 1973 e agosto de 2013. Foi utilizada a última cotação do fechamento ajustado de cada mês, obtida no sítio eletrônico Yahoo Stocks, para cálculo dos retornos mensais. Posteriormente, veremos como é feito o cálculo dos retornos.
2.1.2 Recursos Computacionais
Para a análise descritiva e modelagem dos dados será utilizado o software estatístico R (R Core Team, 2013).
• fBasics (WUERTZ, DIETHELM, et al, 2013)
• fGarch (WUERTZ, DIETHELM e CHALABIET, YOHAN, et al, 2013); • lattice (SARKAR, DEEPAYAN, 2008);
• tseries (TRAPLETTI, el al, 2013);
2.2 MÉTODOS
2.2.1. Séries Temporais
Para Milone & Angeline (1995), chama-se série temporal todo conjunto de valores passíveis de ordenação cronológica. Morettin & Toloi (2006) definem o mesmo conceito de forma semelhante quando colocam uma série temporal como qualquer conjunto de observações ordenadas no tempo. Para Ribeiro & Paula (2000), uma série temporal é definida como um conjunto de observações de uma dada variável, geralmente distribuídas de maneira equidistante no tempo, e que possuem como característica central a presença de uma dependência serial entre elas.
Ainda, segundo Morettin & Toloi (2006), as séries temporais, divididas entre discretas e contínuas, são analisadas sobre dois principais enfoques: no domínio temporal e no domínio das frequências. Neste trabalho, o foco será a análise no domínio do tempo, no qual os modelos propostos para estudo são paramétricos. Entre os objetivos de analisar uma série temporal, Morettin & Toloi (2006) sugerem:
1. Investigar o mecanismo gerador da série temporal;
2. Fazer previsões de valores futuros da série, a curto ou a longo prazo;
3. Descrever apenas o comportamento da série, o que neste caso inclui a construção do gráfico, a verificação da existência de tendências, ciclos e variações sazonais, a construção de histogramas e diagramas de dispersão;
4. Procurar periodicidades relevantes nos dados;
Nos estudos de séries financeiras, a literatura mostra a preferência pela análise da série de retornos ao invés da série de preços. Segundo Campebell, et al (1997), pode-se destacar duas razões para tal preferência:
1. O conceito de retorno é mais familiar aos profissionais do mercado financeiro e a maioria dos modelos utiliza essa medida como variável;
2. A medida de retorno e suas respectivas séries apresentam qualidades estatísticas superiores quando comparadas às de preços.
Morettin & Toloi (2006) complementam que na prática é preferível trabalhar com retornos, que são livres de escala, do que os preços propriamente ditos, pois os primeiros têm propriedades estatísticas mais interessantes, como estacionariedade e ergodicidade. Ainda, citam que as mais diversas classes de modelos como ARMA, ARIMA, ARCH, GARCH (serão revistos nas seções 2.7 e 2.8) modelam com eficiência as séries de retornos.
Sendo assim, calcula-se o retorno de um ativo entre dois instantes e 1 por:
Δ ,
onde Pé o preço do ativo no instante t e Δ P P é a variação de preços entre os instantes t 1 e t.
No entanto, é comum em finanças a utilização do logaritmo do retorno bruto simples, que é dado pela razão simples de e . Para (JORION, 1997), a vantagem mais relevante oriunda do log-retorno é o fato de que se sua distribuição for normal, esta nunca poderá gerar um preço menor que zero, condizente com a natureza da variável preço. Matematicamente, o retorno continuamente composto, ou log-retorno, é obtido através do cálculo do logaritmo neperiano da razão dos preços nos instantes que se deseja calcular o retorno. Sendo assim, temos:
ln1 ln
ln ln
Em Morettin & Toloi (2006), pode-se encontrar que para um determinado muito pequeno temos:
ln 1 u u
Esta equação permite concluir que os retornos simples e os log-retornos serão em geral muito próximos. Especificamente no caso das séries financeiras, objeto de pesquisa neste trabalho, pode-se verificar a afirmação acima.
apresentam algumas características comuns a outras séries temporais, como: 1. Tendências;
2. Sazonalidades;
3. Pontos influentes (atípicos);
4. Heteroscedasticidade condicional, isto é, a variância condicional não é constante ao longo do tempo;
5. Não linearidade, que em linhas gerais explica que as séries não reagem igualmente a choques positivos e negativos;
No entanto, ainda segundo os mesmos autores, retornos financeiros apresentam, por outro lado, outras características peculiares. Por exemplo, séries de retornos raramente apresentam tendências ou sazonalidades. Pode-se elencar alguns fatos estilizados para as séries de retornos financeiros:
1. Retornos são em geral não autocorrelacionados; 2. Os quadrados dos retornos são autocorrelacionados;
3. Séries de retornos apresentam agrupamentos de volatilidade ao longo do tempo (volatility clustering);
4. A distribuição (não condicional) dos retornos apresenta caudas mais pesadas do que uma distribuição normal; além disso, a distribuição, embora aproximadamente simétrica, é em geral leptocúrtica;
5. Algumas séries de retornos são não-lineares;
Durante a realização deste trabalho, os itens mais relevantes dessas características supracitadas serão analisados. Nas especificações dos modelos que serão apresentados na seção 2.6, alguns desses fatos estilizados serão premissas exigidas para que tratem a série de maneira correta. A saber, são três as características estudadas:
• Independência, mostrada na seção 2.3. • Teste de Normalidade, na seção 2.4. 2.2. ESTACIONARIEDADE
A maioria dos modelos estatísticos, inclusive os quais pretende-se utilizar neste trabalho, apresenta a hipótese de que a série apresente comportamento estacionário. (MORETTIN, 2011) coloca que uma das suposições básicas feitas na análise de séries temporais é que o processo estocástico gerador dos dados seja um processo estacionário. No que diz respeito às séries de retorno de ativos financeiros, o paradigma é a favor dos modelos, ao contrário das séries de preços originais. Assim, as séries econômicas e financeiras apresentam em geral tendências, sendo o caso mais simples aquele em que a série flutua ao redor de uma reta, com inclinação positiva ou negativa (tendência linear).
Segundo Morettin & Toloi (2006) uma série temporal é estacionária se ela se desenvolve no tempo de modo que a escolha de uma origem dos tempos não é importante. Em outras palavras, uma série é considerada estacionária quando as estatísticas amostrais, média e variância incondicional, são constantes e a covariância entre retornos defasados é função apenas desta defasagem. Logicamente, as características de , para todo 0, são as mesmas de uma série temporal . Tecnicamente, há duas formas de estacionaridade: a fraca e a estrita.
Uma série temporal , # $, diz-se fracamente estacionária se e somente se:
1. % & ' ( (, constante, para todo # $; 2. % & *' + ∞, para todo # $;
3. - , * ./0 & , *' é uma função de | *|.
Já uma série temporal , # $, diz-se estritamente estacionária se todas as distribuições conjuntas finito-dimensionais, dadas por 23 , … , 35; , … , 5 & 6 3_1, … , 56 3_8 ', permanecem as mesmas sob translações no tempo, ou
, … , 5, # $.
Isto significa, em particular, que todas as distribuições unidimensionais são invariantes sob translações do tempo, logo a média ( e a variância 9* são constantes, isto é, ( ( e 9 9*, para todo # $.
2.3 INDEPENDÊNCIA
Os testes de autocorrelação surgiram para mensurar a dependência entre variáveis de uma série temporal que se encontram em diferentes instantes. Dado um nível de significância, os testes verificam se os coeficientes de correlação são significantemente diferentes de zero.
Antes de especificar os testes, cabe introduzir o conceito de Função de Autocovariância (FACV) e Função de Autocorrelação (FAC)
2.3.1 Função de Autocovariância
Define-se a função de autocovariância de uma série temporal estacionária como -:; </0 =, . A função de autocorrelação de uma série temporal estacionária é definida como >:; ?@=
?@A </ =, . As funções de
autocovariância e de autocorrelação fornecem uma medida útil do grau de dependência entre os valores de uma série temporal em diferentes períodos. As autocorrelações medem ainda o tamanho e a força da ”memória” da série.
O gráfico das autocorrelações amostrais versus ; é chamado de correlograma. Tal gráfico apresenta valores que serão utilizados para caracterizar as propriedades lineares ou não do mecanismo gerador da série. Porém, não é simples examinar um correlograma e extrair dele as correspondentes propriedades populacionais. O que se faz necessário é averiguar alguns modelos plausíveis que projetam correlogramas de formas reconhecidas.
As funções de autovariância e autocorrelação amostrais podem ser calculadas para qualquer conjunto de dados e não estão restritas a observações de séries temporais estacionárias. Para dados contendo tendência, a função de autocorrelação exibirá um decaimento lento na medida que h aumenta, enquanto para dados com um componente periódico determinístico, como sazonalidade, a
função exibirá um comportamento similar ao período. Assim, o correlograma pode ser utilizado como um indicador de não-estacionaridade da série temporal.
2.3.2 Função de Autocorrelação
Seja
>C --C A
Onde -C é a covariância de defasagem D, dada por
-C %& . C'
e -A é a variância. O estimador de >C pode ser calculado através de >EC -E-EC
A
onde -EC representa a covariância amostral na defasagem D, calculada por
-EC 18 F G 5C H . C G e -IA é a variância, a saber -EA 18 F 5 JH G* 9E K*
Outro conceito muito importante no que se refere à dependência de elementos, Box, Jenkins & Reinsel (1994) propõe a função de autocorrelação parcial (FACP) de defasagem D, denotada por LCC, e que, segundo Morettin & Toloi (2006), mede a correlação dependente entre e MC depois de eliminada a influência de , … , C .
2.3.3 Função de Autocorrelação Parcial
Segundo Morettin & Toloi (2006) a análise da autocorrelação parcial é aquela em que se deseja medir o quanto Z e Z O estão relacionados, mas com os efeitos dos P´R intermediários controlados. Os coeficientes de autocorrelação parcial medem o relacionamento entre M e M C, este coeficiente é denotado por ΦCC e é estimado por ΦTCC da amostra.
Seja ΦCU o j-ésimo coeficiente em um processo auto-regressivo de ordem D, tal que ΦCC é o último coeficiente,
M LC M LC*M* V LCCMC W
Para calcular a FACP para as defasagens (lags) k= 1,2 ,3,... o que se faz é ajustar sucessivamente os modelos: AR(1) obtendo-se L , AR(2) obtendo-se L** e assim sucessivamente. Da FAC tem-se
>U ΦC >U ΦC*>U* V ΦCC >UC ΦCC>UC
Onde X 1, 2, 3, . . . , D , que pode ser escrita na forma das equações de Yule-Walker
> ΦC >A ΦC*> V ΦCC >C* ΦCC>C X 1 >* ΦC > ΦC*>A V ΦCC >C[ ΦCC>C* X 2 … … … >C ΦC >C ΦC*>C* V ΦCC > ΦCC>A X D
Resolvido o sistema de equações tem-se os valores de ΦCC para os lags k= 1, 2, 3 ...
2.3.4 Teste Ljung-Box
Segundo Morettin & Toloi (2006), o teste sugerido por Box & Pierce (1970), e posteriormente aperfeiçoado por Ljung & Box (1978) \], propõe uma estatística que testa a hipótese de todos os coeficientes de autocorrelação serem simultaneamente
nulos sob um grau de significância estatística. A estatística
\] ^ 8. 8 2. F _8 D`>EC* a
CH
~ca*
tem uma distribuição c* com d graus de liberdade e a hipótese nula de independência é rejeitada para valores altos de \].
2.4 TESTE DE NORMALIDADE
Há diversos métodos para verificar a normalidade de uma série temporal. A princípio, analisar um histograma simples pode dar uma boa noção, embora não proporcione segurança estatística. Assim, pode-se utilizar de outros recursos gráficos e até testes estatísticos ou mesmo baseados na função de distribuição empírica.
Neste trabalho, vamos utilizar dois recursos para verificar a normalidade da série, de natureza distinta, para evitar qualquer viés, Q-Q Plot e Teste Jarque-Bera.
2.4.1 Método gráfico Q-Q Plot
O primeiro deles será o recurso Q-Q Plot, que consiste em um dos métodos gráficos mais comuns para o objetivo em questão. O procedimento compara graficamente os quantis teóricos da distribuição normal com os quantis dos dados da amostra que está sob verificação. Dado que é um procedimento gráfico, avalia-se a aderência visualmente. Como se pode observar na Figura 3, um exemplo do gráfico, traça-se uma reta que corresponde à distribuição normal modelo. Em seguida, são plotados os pontos da amostra em avaliação. A relação linear entre os quantis teóricos e empíricos é diretamente proporcional à aderência dos pontos à reta-modelo.
FIGURA 3 – Q-Q PLOT PARA UMA DISTRIBUIÇÃO QUE NÃO ADERE À DISTRIBUIÇÃO NORMAL
FONTE: O autor (2013)
2.4.2 Teste Jarque-Bera
Proposto por Jarque & Bera (1987), baseia-se na diferença entre os coeficientes de assimetria e curtose dados y1, y2,...,yn e aqueles da distribuição
assumida normal.
As hipóteses nula e alternativa no teste Jarque-Bera são:
eA: g , g*, … , g5 h i(, 9* 0R e : 8ã/ eA
k] 8 _l6 [* ln24 3*`
O teste Jarque-Bera se utiliza da propriedade da distribuição normal, a qual garante:
1. Todos os momentos ímpares a partir do terceiro assumem valor zero, e; 2. O quarto momento, assume valor 3.
O terceiro e quarto momentos da distribuição normal são os utilizados no presente teste, sendo necessário definir tais momentos, nomeados respectivamente por assimetria e curtose onde uma variável aleatória qualquer, como média ( e variância 9* temos:
1. Assimetria (Skewness):
p % (9[ [ 2. Curtose (Kurtosis):
D % (9n n
Para uma amostra grande de tamanho i, & , . . . , q', estimadores de p e r são dados respectivamente por:
ps i 19E1 [. F (̂[ q H rT i 19E1 n. F (̂n q H onde (̂ G F i q H
9E* 1
i 1 F q JH
(̂*
Portanto, sob a hipótese de distribuição normal ps tende a 0, enquanto que rT caminha para 3. O teste Jarque-Bera, que funciona muito bem para grandes amostras, baseia-se nas diferenças entre assimetria e curtose da distribuição da série em relação à distribuição normal.
Trata-se, portanto, de um teste de hipóteses, na qual a hipótese nula considera a distribuição normal. A estatística Jarque-Bera combina as estatísticas individuais de assimetria e curtose e, sob a hipótese nula de normalidade, segue distribuição Qui-Quadrado com 2 graus de liberdade.
2.5. SÉRIES FINANCEIRAS 2.5.1 Retornos
Um dos objetivos em finanças é a avaliação de riscos de uma carteira de ativos financeiros. O risco é frequentemente medido em termos de variações de preços dos ativos (MORETTIN; TOLOI, 2006).
A maioria dos estudos envolvem retornos financeiros, ao invés de preços de ativos. Campebell; Lo & Mackinlay (1997) dão duas principais razões para o uso de retornos. Em primeiro, para médios investidores, o retorno de um ativo é um resumo completo e sem escalas da oportunidade do investimento. Em segundo, a série de retornos é mais fácil de lidar do que as séries de preços pois tem propriedades estatísticas mais atraentes. Existem distintas definições de um ativo de retorno.
Seja é o preço de um ativo no instante , suponha por um momento que o ativo não paga dividendos, a variação de preços entre os instantes 1 e é dada por ∆ e a variação relativa de preços ou retorno líquido simples deste ativo, entre os mesmos instantes, seja definida por
∆
Chamamos 1 vvw
wxy de retorno bruto simples.
Denotamos r logP, o retorno composto continuamente, ou simplesmente log-retorno como
log
log1
Acontece que se assumir retornos pequenos por propriedades da função logarítmica, temos que log1 . Segue que os retornos simples R e os log-retornos r serão, em geral, valores próximos.
A característica de interesse nestas séries de retornos é a sua volatilidade, a qual está diretamente associada à variabilidade dos preços de um determinado ativo. Então, se os preços variam muito, diz-se que o ativo é muito volátil. Usualmente utiliza-se a variância ou o desvio padrão como uma medida da volatilidade, onde sua estimação e previsão são fundamentais tanto para quantificar o risco de um determinado ativo quanto para a precificação de produtos financeiros. Outra característica interessante é que os retornos financeiros raramente apresentam tendências e sazonalidades, além de, em geral, serem não correlacionados, apresentando agrupamentos de volatilidades ao longo do tempo, bem como geralmente não possuindo uma distribuição incondicional normal.
2.6. MODELOS PARAMÉTRICOS
Neste capítulo serão descritos os principais modelos paramétricos de previsão, bem como suas principais características. (MORETTIN; TOLOI, 2006), e (BOX; PIERCE, 1970) sugerem uma abordagem consagrada para a construção de um modelo, que consiste num ciclo iterativo com os seguintes passos, que devem ser repetidos até que o modelo se mostre adequado:
1. Uma classe geral de modelos é considerada para a análise (especificação);
2. Há identificação de um modelo, com base na análise de autocorrelações, autocorrelações parciais e outros critérios;
3. A seguir vem a fase de estimação, na qual os parâmetros do modelo identificado são estimados;
4. Finalmente, há a verificação ou diagnóstico do modelo ajustado, através de uma análise de resíduos, para validar a adequação do modelo.
2.7. MODELOS LINEARES
Os modelos descritos a seguir supõe que a série temporal seja gerada através de um sistema linear, cuja entrada é um ruído branco. Serão mostrados os modelos mais comuns no tratamento de séries financeiras de modo que não só suas equações genéricas serão mostradas, mas também o comportamento de suas funções de autocorrelação e autocorrelação parcial, que são ferramentas importantes para identificação dos modelos.
Os itens 2.7.2, 2.7.3 e 2.7.4 tratarão de modelos apropriados para descrever séries estacionárias enquanto que o item 2.7.5 se dedica à classe de modelos mais difundida para modelos séries não estacionárias.
2.71. Ruído Branco
Dizemos que &~', # é um ruído branco se as variáveis aleatórias &~' são não correlacionadas, isto é, ./0 &~, ~' 0, R. Tal processo será estacionário se W&~' 9*, para todo .
Supõe-se então que ( 0, logo, ~ h ] 0, 9*, ou seja, o erro é um ruído branco. Maiores considerações podem ser consultadas em (GRAGER; NEWBOLD, 1986).
2.7.2. Modelos autorregressivos (AR)
Segundo Morettin & Toloi (2006) um modelo autorregressivo de ordem , denotado por é tal que:
onde W é um ruído branco;
A função de autocorrelação de um processo autorregressivo é constituída de uma mistura de polinômios, exponenciais e senóides amortecidas e é infinita em extensão. Já a função de autocorrelação parcial não é nula somente para defasagens menores que (veja (BOX; JENKINS; REINSEL, 1994)).
2.7.3. Modelos de médias móveis (MA)
Segundo Morettin & Toloi (2006) um modelo de médias móveis ordem , denotado por é tal que, para um processo de média nula,
M ( W . W *. W* V . W
onde Wé um ruído branco.
Segundo Morettin & Toloi (2006) a FAC. de um processo se anula para defasagens maiores do que , sendo, portanto, finita. Já a função de autocorrelação parcial se comporta por exponenciais e/ou senóides amortecidas (veja (BOX; JENKINS; REINSEL, 1994)).
2.7.4. Modelos autorregressivos e de médias móveis (ARMA)
Morettin & Toloi (2006) sugerem que para muitas séries encontradas na prática, se o objetivo for um modelo com um número reduzido de parâmetros, isto é, mais parcimonioso, a inclusão de termos tanto autorregressivos quanto de médias móveis é adequada.
Portanto, um modelo deste tipo, denotado por , pode ser escrito da forma
M Φ . M Φ*. M* V Φ. M . W *. W* V . W W
Morettin & Toloi (2006), verificam que se a função de autocorrelação de um processo , se comporta:
• Se + a FAC. consiste numa mistura de exponenciais e/ou senóides amortecidas;
• Se , os primeiro os 1 não seguirão este padrão
A função de autocorrelação parcial, por sua vez, se comporta por exponenciais e/ou senóides amortecidas (veja (BOX; JENKINS; REINSEL, 1994)).
2.7.5. Modelos autorregressivos integrados de médias móveis (ARIMA)
Os modelos discutidos até agora são apropriados para séries temporais estacionárias. Assim, para ajustar estes modelos a uma série temporal observada, é necessário remover as fontes de variação não estacionárias. Por exemplo, se a série observada for não estacionária na média, pode-se tentar remover a tendência tomando-se uma ou mais diferenças, que é uma abordagem muito utilizada em séries financeiras. Se for um número inteiro não negativo, então uma série temporal M é dita ser um processo ARIMA, , ou um processo ARMA integrado de ordem se uma série M é não estacionária, segundo Morettin & Toloi (2006), a série
M M
é uma diferença de M. O modelo , , é um caso especial de processo integrado no sentido de que supõe que a d-ésima diferença de uma série não estacionária pode ser representada por um modelo , , estacionário.
Neste trabalho, como serão utilizadas séries de retornos financeiras, que são em geral, estacionárias, os modelos ARIMA não serão necessários.
2.8 MODELOS NÃO LINEARES
Como já mencionado anteriormente, a incerteza tem um papel muito importante no âmbito do mercado financeiro. Dado isso, a volatilidade como medida de incerteza e risco é o parâmetro mais observado pelos gerenciadores de carteira de ativos, daí a busca por modelos de previsão da mesma.
largamente aplicados na prática em séries de tempo lineares. No entanto, no caso de séries lineares, Mandelbrot (1963) foi o primeiro a notar o comportamento peculiar de séries de retorno de preços de ativos. O autor em questão se referia ao que é denominado de heteroscedasticidade, isto é, as séries financeiras apresentam períodos de grandes oscilações seguidos por períodos de calmaria. Esse comportamento mostra que a variância condicional do processo, a volatilidade, não é constante ao longo do tempo e que a variância condicional atual depende das passadas, o que impossibilita o uso de modelos da classe ARMA para esse processo, dado que o modelo ARMA tem como premissa volatilidade constante.
Foi nesse contexto que Engle (1982) introduziu o conceito do processo ARCH, que posteriormente foi aperfeiçoado por Bollerslev (1986) para dar origem ao Generalized ARCH, ou simplesmente GARCH, como é conhecido. Estes modelos são não-lineares no que se refere a variância.
A volatilidade, que nada mais é do que a variância condicional de uma variável, comumente chamada de retorno, definido em (2.5.1). Embora não seja medida diretamente, a volatilidade manifesta-se de várias maneiras numa série financeira:
1. a volatilidade aparece em grupo, de maior ou menor variabilidade;
2. a volatilidade evolui continuamente no tempo, podendo ser considerada estacionária;
3. ela reage de modo diferente a valores positivos ou negativos da série.
2.8.1 Modelos com Heteroscedasticidade Condicional
De acordo com Bueno (2008), os modelos autorregressivos com heteroscedasticidade condicional surgiram, principalmente, porque os modelos econométricos de séries temporais consideravam apenas o primeiro momento condicional. As dependências temporais de ordem superiores eram consideradas perturbações aleatórias, incorporadas em seus momentos incondicionais. Entretanto, o autor afirmou que essas dependências expressam a existência de aglomerações na série e a alternância de períodos de baixa volatilidade com períodos de alta volatilidade.
Assim, a volatilidade poderia ser modelada e descrita por dois componentes distintos, quais seriam, a volatilidade incondicional, que seria, de fato constante, e a condicional, que poderia oscilar ao longo do tempo e que pode ser identificada e analisada a partir dos modelos de análise de heteroscedasticidade condicional. Segundo Morettin & Toloi (2006), a ideia básica é que o retorno é não correlacionado serialmente, mas a volatilidade (variância condicional) depende dos retornos passados por meio de uma função quadrática.
De acordo com Enders (1995), o ponto chave é que os erros não são independentes, uma vez que eles se relacionam por meio do seu segundo momento tendo em vista que a correlação é uma relação linear. A variância condicional é um processo autorregressivo que resulta em erros condicionalmente heteroscedásticos. Assim, quando o valor realizado do erro no período anterior está longe de zero, de modo que o seu quadrado seja relativamente grande, a variância de erro tenderá a ser grande. Nesse sentido, a heteroscedasticidade condicional na série de resíduos torna a variável, em geral, os preços ou retornos, um processo autorregressivo de heteroscedasticidade condicional (ARCH).
2.8.2 Modelos Autorregressivos de Heteroscedasticidade Condicional (ARCH)
Engle (1982) mostrou que é possível modelar, simultaneamente, a média e variância das séries no qual, segundo Bueno (2008), o erro é um processo estocástico real em tempo discreto, condicional à informação no tempo 1.
Um modelo .e é definido por W 9 ~ 9* lA l W * … lW *
Onde ~ é uma sequência de variáveis aleatória independente e identicamente distribuídas (i.i.d) com média zero e variância um, lA 0, lJ 0, 0.
Segundo Morettin & Toloi (2006) na prática, usualmente supõem-se ~h i0,1 ou ~h (distribuição de Student, com graus de liberdade).
Os modelos autorregressivos com heteroscedasticidade condicional (ARCH) assumem que o retorno de uma série original W é não correlacionado
serialmente, mas a volatilidade (variância condicional) depende de retornos passados por meio de uma função quadrática. Para eliminar uma possível correlação serial de , pode-se utilizar de modelos ARMA.
Morettin & Toloi (2006), deduzem algumas propriedades do modelo, das quais os resultados, omitidas as deduções, são
i. %W 0; ii. WW
∑
iii. -D 0, D 1
2.8.3 Modelos Autorregressivos de Heteroscedasticidade Condicional Generalizado (GARCH)
Na prática, observa-se a exigência de muitos parâmetros para o ajustamento correto dos modelos ARCH r. Na tentativa de solucionar essa questão, Bollerslev (1986), expandiu o trabalho original de Engle, ao desenvolver uma técnica que permite que a variância condicional seja modelada como um processo ARMA. O modelo generalizado .e d, R – chamado .e d, R – permite a inclusão de ambos os componentes, autorregressivo e de média móvel, na variância heteroscedástica. Desse modo, a equação da variância para um modelo .e d, R é definida por
W 9. ~ 9* lA F lJ a JH . WJ* F U UH . 9* U
onde ~ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância um, lA 0, lJ 0, U 0, ∑aá:a,JH lJ U + 1 , X 0. Ainda segundo Morettin & Toloi (2006), na prática, também se supõe que ~ ~ i0,1 ou ~~. Seja tal que
W* 9 *
i. % 0;
ii. %W*
∑ á@ ,¡¢y , ou seja, a volatilidade converge para esse valor a
longo prazo (detalhes em (Tsay, 2010)), portanto:
W W lA
1 ∑aá:a,JH lJ J
Como no modelo ARCH, se segue um modelo GARCH, as caudas apresentam mais densidade do que a distribuição normal.
2.8.3.1 Previsão com GARCH
Segundo Tsay (2010), previsões para o modelo GARCH podem ser obtidas usando métodos similares àqueles do modelo ARMA. Considere o modelo GARCH(1,1), que modela a volatilidade pela equação
9* lA l W * 9 * ,
cujos parâmetros satisfazem
0 6 l , 6 1 l + 1.
Para uma previsão de 1 passo à frente, temos 9= * lA l W
=
* 9 =*
onde l= e 9=* são conhecidos no tempo ;.
Logo, a previsão com 1 passo à frente, denotada por 9=*1, é 9=*1 l
A l W=* 9=*.
Para previsão de 8 passos à frente, usa-se W* 9*£* e reescreve-se a equação da volatilidade como
9 * lA l 9* l 9*£ 1.
9= ** lA l 9
= * l 9= * £= * 1.
Como %¤£= * 1 | 2=¥ 0, então a previsão de 2 passos à frente a partir da origem ; satisfaz
9=*2 lA l 9=*1.
Em geral, basta calcular recursivamente 9=*¦ lA l 9
=*¦ 1, ¦ 1.
2.9. CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DE MODELOS
Ao selecionarmos modelos é preciso ter em mente que não existem modelos verdadeiros. Há apenas modelos aproximados da realidade que, causam perda de informações. Deste modo, é necessário fazer a seleção do “melhor” modelo dentre aqueles que foram ajustados para explicar o fenômeno sob estudo. Assim, um modelo com mais parâmetros podem ter um ajuste melhor, mas não necessariamente será preferível em termos de critério de informação. A regra básica consiste em selecionar o modelo cujo critério de informação calculado seja mínimo.
2.9.1. Critério de Informação de Akaike (AIC)
Akaike (1974) utilizou a Informação de Kullback-Leibler para testar se um dado modelo é adequado. Se uma boa estimativa para a log- verossimilhança esperada puder ser obtida através dos dados observados, esta estimativa poderá ser utilizada como um critério para comparar modelos.
Ainda, mostrou que o viés é dado assintoticamente por p, em que p é o número de parâmetros a serem estimados no modelo, e definiu seu critério de informação como
2.9.2. Critério de Informação de Bayesiano (BIC)
O Critério de Informação Bayesiano (BIC) proposto por (SCHWARZ, 1978) é dado por
]. 2 log ©35| log 8,
em que ©35| é o modelo escolhido, é o número de parâmetros a serem estimados e 8 é o número de observações da amostra.
A regra básica consiste em selecionar o modelo cujo critério de informação calculado seja mínimo.
2.10. ESTRUTURA E CONSTRUÇÃO DO MODELO
Para a construção de um modelo de volatilidade, segui-se os seguinte passos (TSAY, 2010).
1. Especificar uma equação da média testando a dependência serial dos dados e, se necessário, construir um modelo econométrico para a série de retornos a fim de remover qualquer dependência linear.
2. Usar os resíduos da equação da média para testar pelo efeito ARCH, apresentado posteriormente.
3. Especificar um modelo de volatilidade se o efeito ARCH é estatisticamente significativo e realizar uma estimação conjunta das equações da média e da volatilidade.
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO
3.1 ANÁLISE EXLORATÓRIA
Considerando o universo das finanças, foi escolhida uma série de retornos. Mas especificamente, será analisada a taxa de retornos entre janeiro de 1973 a agosto de 2013 das ações da Intel Corporation (INTC) contidas na bolsa de valores da NASDAQ.
TABELA 1 – PRIMEIRAS LINHAS DO BANCO DE DADOS DOS RETORNOS DA INTC
FONTE: O autor (2013)
Pode-se observar através da análise na Figura 4 o comportamento dos retornos através dos anos estudados.
Data Retorno 31/01/1973 0.010050 28/02/1973 -0.139303 30/03/1973 0.069364 30/04/1973 0.086486 31/05/1973 -0.104478 29/06/1973 0.133333
FIGURA 4 – GRÁFICO DA SÉRIE TEMPORAL DOS RETORNOS DA INTC
FONTE: O autor (2013)
Na Metodologia, foram previamente explicadas diversas vantagens de se utilizar a série de retornos ao invés da série de preços propriamente dita, afim de que entre outros, seja obtida uma série estacionária além do fato dos modelos ARCH e GARCH utilizarem como variável dependente que é o retorno.
A transformação é obtida conforme enunciado na metodologia e a partir dela obtém-se a série dos log-retornos, plotada no gráfico da Figura 5.
FIGURA 5 – GRÁFICO DA SÉRIE TEMPORAL DOS LOG-RETORNOS DA INTC.
FONTE: O autor (2013)
Visualmente, a série apresenta ter comportamento estacionário, o que já era esperado segundo literatura. As tabelas 2 e 3 mostram os resumos estatísticos obtidos pelo Software R pelo pacote fBasics.
TABELA 2 - PRINCIPAIS MEDIDAS DESCRITIVAS DOS RETORNOS MENSAIS DAS AÇÕES DA INTC ENTRE JANEIRO DE 1973 A AGOSTO DE 2013
FONTE: O autor (2013)
TABELA 3 - PRINCIPAIS MEDIDAS DESCRITIVAS DOS LOG-RETORNOS MENSAIS DAS AÇÕES DA INTC ENTRE JANEIRO DE 1973 A AGOSTO DE 2013
FONTE: O autor (2013)
Observamos que as medidas descritivas em ambas as situações assumem valores muito próximos. Isto não nos permite decidir por uma dessas séries.
Continuamos nosso estudo descritivo com uma interpretação mais detalhada, plotou-se também uma separação dos dados observados por ano dos retornos e log-retornos nas Figuras 6 e 7.
Média 0.021030 Mediana 0.018529 Mínimo -0.448669 Máximo 0.625000 Desvio padrão 0.123086 Variância 0.015150 Assimetria 0.345222 Curtose 3.034.612 1 Quartil -0.047214 3 Quartil 0.093655
Erro padrão médio 0.005572 Estatísticas dos retornos
Média 0.013452 Mediana 0.018359 Mínimo -0.595420 Máximo 0.485508 Desvio padrão 0.122568 Variância 0.015023 Assimetria -0.543856 Curtose 3.407073 1 Quartil -0.048365 3 Quartil 0.089525
Erro padrão médio 0.005548 Estatísticas dos Log-retornos
FIGURA 6 – GRÁFICO DE PERFIL ANUAL DOS RETORNOS DA INTC
FONTE: O autor (2013)
FIGURA 7 – GRÁFICO DE PERFIL ANUAL DOS LOG-RETORNOS DA INTC.
Em séries financeiras, geralmente os log-retornos apresentam uma aderência melhor à distribuição normal do que, propriamente, os retornos. Neste caso, vamos testar a aderência da distribuição empírica à distribuição normal.
O teste de Jarque-Bera sugere que a série log-retornos realmente tem uma aderência sensivelmente melhor à distribuição normal do que a série de retornos e, por isso, será utilizado log-retornos no estudo, podemos comprovar com o resultado obtido pelo teste nas Tabelas 4 e 5.
TABELA 4 – TESTE JARQUE-BERA DOS RETORNOS
FONTE: O autor (2013)
TABELA 5 – TESTE JARQUE-BERA DOS LOG-RETORNOS
FONTE: O autor (2013)
Qui-quadrado g.l p-valor
200,0741 2 2.2e-16
Teste Jarque-Bera para Retornos
Qui-quadrado g.l p-valor
263,9011 2 2.2e-16
Teste Jarque-Bera para Log-retornos
Prosseguindo, pode-se analisar o recurso gráfico Q-Q Plot mostrado na Figura 8.
FIGURA 8 – O GRÁFICO Á ESQUERDA CONTRASTA OS QUANTIS DOS RETORNOS COM OS QUANTIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO; A BORDA VERMELHA INDICA UM INTERVALO DE CONFIANÇA DE 95%. O SEGUNDO GRÁFICO É IDÊNTICO AO PRIMEIRO EXCETO POR CONTRASTAR OS QUANTIS DOS LOG-RETORNOS AO INVÉS DOS QUANTIS DOS RETORNOS.
FONTE: O autor (2013)
Pode-se apreciar que novamente a aderência à distribuição normal da série de log-retornos é melhor do que a da série de retornos. Por esse motivo realizaremos esse nosso estudo na série de log-retornos.
Quanto a média dos log-retornos, pode-se perceber na Figura 9 que as componentes sazonal de tendência não são informativas nessa situação. Isto justifica que o modelo seja dedicado à variabilidade.
FIGURA 9 – DECOMPOSIÇÃO DOS LOG-RETORNOS DA INTC EM TENDÊNCIA E SAZONALIDADE. A SÉRIE MAIS ABAIXO SÃO OS RESÍDUOS.
Pode-se verificar o teste para o efeito ARCH, onde a validade dos modelos construídos depende de checar a pertinência de heteroscedasticidade condicional. Na Figura 10, repare que os gráficos à direita sugerem que os log-retornos não são serialmente independentes apesar de que nos gráficos à esquerda este efeito não está tão claro.
FIGURA 10 – NO GRÁFICO SUPERIOR À ESQUERDA, APARENTEMENTE, OS LOG-RETORNOS NÃO SÃO SERIALMENTE DEPENDENTES. ENTRETANTO, NOS DEMAIS GRÁFICOS HÁ EVIDÊNCIAS DE QUE OS LOG-RETORNOS NÃO SÃO SERIALMENTE INDEPENDENTES. OS GRÁFICOS DA DIREITA MOSTRAM AS CORRELAÇÕES PARCIAL E TOTAL DO QUADRADO DOS LOG-RETORNOS.
FONTE: O autor (2013)
Ainda, o teorema a seguir nos garante que se o quadrado dos log-retornos não são serialmente independentes, então, por contra-positiva, os log retornos também não os são.
Teorema 1. Se X1, ..., Xn são variáveis aleatória independentes, então funções de
famílias disjuntas das Xi, 1 ≤ i≤ n, também são independentes. Estas funções
precisam ser mensuráveis.
Seja {at} a série dos resíduos obtidos via at = rt – µ, onde µr = E(rt). A série
{a2t} é usada para checar a heteroscedasticidade condicional, também conhecida
como efeito ARCH.
Um teste bem conhecido é aplicar a estatística Q(m) de Ljung-Box à série {a2t}. A hipótese nula é que as primeiras defasagens (lags) da função de
autocorrelação (FAC) da série {a2t} é zero.
No R, o teste Q(12)
TABELA 6 – TESTE DE LJUNG-BOX PARA A HIPÓTESE DE QUE AS PRIMEIRAS DEFASAGENS DA FAC DA SÉRIE {a2t}
FONTE: O Autor (2013)
aponta favoravelmente à pertinência do efeito ARCH visto um p-valor < 0,01. A escolha de m=12 justifica-se pelo agrupamento dos meses em sequências de comprimento 12, que corresponde à extensão do ano.
3.2 SELEÇÃO DO MODELO
Para a seleção do modelo, utiliza-se dois critérios: AIC e BIC. Segundo estes critérios, os modelos mais adequados são aqueles que apresentam menores valores de AIC e BIC.
Nas tabelas abaixo, temos os valores de AIC e BIC para os ajustes de .e, X no escopo 1 6 , X 6 4. Valores de e X superiores a nossa limitante 4 tornam difícil a interpretação do modelo e, além disso, podem super-estimar a complexidade do problema.
Qui-quadrado g.l p-valor 113,6076 12 2.2e-16
TABELA 7 – VALORES DE AIC PARA GARCH(I,J)
FONTE: O autor (2013)
TABELA 8 – VALORES DE BIC PARA GARCH(I,J)
FONTE: O autor (2013)
Em ambos os casos, foi encontrado o mínimo em X 1 e, assim, segundo estes critérios, o melhor modelo .e1,1.
3.3 AJUSTE DO MODELO
Estima-se os parâmetros no software R com a função garch do pacote
tseries, obeserva-se o seguinte modelo
0,01345203 W
,
W
9
£
,
9
*0,0005961 0,0974852 W
*0,8609690 9
*.
A análise dos resíduos foi feita, e primeiramente, tem-se a série e o histograma dos resíduos padronizados nas Figuras 11 e 12.
I \ J 1 2 3 4 1 -444,0025 -441,6830 -430,6950 -428,4461 2 -441,9080 -439,8807 -434,4726 -430,3714 3 -437,7619 -435,7716 -433,4752 -429,6160 4 -433,9836 -432,0354 -430,1157 -428,3006 I \ J 1 2 3 4 1 -432,446 -426,2742 -411,4340 -405,3329 2 -426,499 -420,6197 -411,3594 -403,4060 3 -418,501 -412,6584 -406,5098 -398,7984 4 -410,87 -405,0700 -399,2981 -393,6308
FIGURA 11 – SÉRIE DOS RESÍDUOS PADRONIZADOS NO MODELO GARCH(1,1) PARA OS LOG-RETORNOS DE INTC.
FONTE: O autor (2013)
FIGURA 12 – HISTOGRAMA DOS RESÍDUOS PADRONIZADOS NO MODELO GARCH(1,1) PARA OS LOG-RETORNOS DE INTC.
Também, o gráfico QQ-Plot nos ajuda a visualizar os quantis dos resíduos na Figura 13.
FIGURA 13 – QQ-PLOT CONTRASTANDO OS QUANTIS DOS RESÍDUOS NO MODELO GARCH(1,1) PARA OS LOG-RETORNOS DE INTC CONTRA OS QUANTIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL.
FONTE: O Autor (2013)
Apesar dos valores extremos que vemos nas caudas do histograma, fora do esperado para o tamanho da população, o teste de Jarque-Bera indica um Qui-quadrado de 163,3543, correspondendo a um p-valor inferior a 0,01; isto é, indicando que os resíduos seguem uma distribuição normal.
O resultado deste ajuste é que o desvio padrão tem o seguinte comportamento, conforme a Figura 14.
FIGURA 14 – DESVIO PADRÃO CONDICIONAL DOS LOG-RETORNOS NO MODELO GARCH(1,1).
FONTE: O Autor (2013)
Com a volatilidade condicionada à heteroscedasticidade auto-regressiva, ou, simplesmente, desvio padrão condicional, pode-se construir um gráfico com os retornos com, por exemplo, duas bandas (uma inferior e outra superior) de confiança em torno da média dos log-retornos.
As bandas de confiança, na Figura 15, são construídas fazendo
®W8W¯°J± 3E 9² , ®W8WJ5³°J± 3E 9² ,
2,
onde 3E é a média estimada dos log-retornos, isto é, 3E 0,01345203 A escolha por
q
2 é arbitrária. Uma banda construída comq
2 deve capturar cerca de 95,5% doslog-retornos sempre que os resíduos forem normalmente distribuídos.
FIGURA 15 – LOG-RETORNOS (EM AZUL) COM DUAS BANDAS (EM PRETO PONTILHADO): INFERIOR E SUPERIOR.
FONTE: O autor (2013)
3.4 PREVISÃO
Com o modelo ajustado na seção anterior, será feita a previsão da volatilidade de um, dois e três passos à frente, isto é, faremos previsão da volatilidade para os meses de setembro, outubro e novembro de 2013.
Aqui, tem-se as previsões
9=1 0,07761092 9=2 0,07974095 9=3 0,08173442
no tempo ; correspondendo a agosto de 2013. Os valores mais recentes da volatilidade estimada são
9= 0,07810407 9= 0,07893866 9=* 0,08090063 9=[ 0,08277092
A Figura 16 é um recorte da Figura 14 para o ano de 2013, acrescido da previsão de três meses à frente.
FIGURA 16 – DESVIO PADRÃO CONDICIONAL NO ESCOPO DE 2013. A PREVISÃO É REPRESENTADA PELA LINHA PONTILHADA.
FONTE: O autor (2013)
Assim, ainda foi construído os log-retornos com as mesmas duas bandas de confiança da Figura 15. Aqui, a linha de cor azul é a série dos log-retornos calculados enquanto a linha de cor preta é a série do desvio padrão condicional pelo modelo GARCH(1,1), sendo a previsão o fragmento pontilhado.
FIGURA 17 – LOG-RETORNOS COM DUAS BANDAS DE CONFIANÇA DE 1 DESVIO PADRÃO EM TORNO DA MÉDIA AMOSTRAL E COM TRÊS MESES DE PREVISÃO ADIANTE. A PREVISÃO É REPRESENTADA PELA LINHA PONTILHADA.
FONTE: O autor (2013)
Como se pode ver, as bandas de confiança montadas com 1 desvio padrão comportam os retornos dos três meses seguintes, indicando que é uma previsão adequada.
4 CONCLUSÃO
O objetivo deste trabalho não foi analisar o desempenho da ação INTC, nem mesmo obter vantagem no mercado financeiro, mas sim entender a volatilidade desta ação e entender o que pode ser feito a partir desta modelagem.
No estudo, apesar de o modelo ajustado ser bastante simples, não há garantias de que outros financeiros também admitam modelos simples como .e1,1. Coincidentemente, na escolha do modelo, tanto o critério AIC quanto o critério BIC indicaram que o melhor modelo era X 1; porém, se não houvesse esta coincidência, seria necessário adotar outro critério ou tomar uma decisão sobre quais parâmetros usar.
A principal aplicação foi construir bandas de confiança em torno da média da série de retornos e fazer uma previsão da volatilidade num horizonte de três meses. É claro que, como indicado na introdução deste texto, existem outras finalidades para se usar a modelagem GARCH, ou, mais genericamente, usar modelos da família ARCH.
A título de simplicidade, propõe-se que a série dos log-retornos fosse estacionária. Porém, também é possível realizar este mesmo estudo com outros modelos para a série, como ARIMA, CARIMA, SARIMA e outros. Assim, podemos construir as mesmas bandas de confiança, oriundas do modelo GARCH, em torno dos valores ajustados pelo modelo ARIMA para a série de log-retornos.
Outro ponto importante seria mencionar outros modelos da família GARCH. Temos
• Exponential-GARCH (E-GARCH); • Threshold-GARCH (T-GARCH); • GARCH-in-mean (GARCH-M); • Integrated GARCH (I-GARCH); • Non-linear GARCH (N-GARCH); entre outros.
5 REFERÊNCIAS
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