Como já mencionado anteriormente, a incerteza tem um papel muito importante no âmbito do mercado financeiro. Dado isso, a volatilidade como medida de incerteza e risco é o parâmetro mais observado pelos gerenciadores de carteira de ativos, daí a busca por modelos de previsão da mesma.
largamente aplicados na prática em séries de tempo lineares. No entanto, no caso de séries lineares, Mandelbrot (1963) foi o primeiro a notar o comportamento peculiar de séries de retorno de preços de ativos. O autor em questão se referia ao que é denominado de heteroscedasticidade, isto é, as séries financeiras apresentam períodos de grandes oscilações seguidos por períodos de calmaria. Esse comportamento mostra que a variância condicional do processo, a volatilidade, não é constante ao longo do tempo e que a variância condicional atual depende das passadas, o que impossibilita o uso de modelos da classe ARMA para esse processo, dado que o modelo ARMA tem como premissa volatilidade constante.
Foi nesse contexto que Engle (1982) introduziu o conceito do processo ARCH, que posteriormente foi aperfeiçoado por Bollerslev (1986) para dar origem ao Generalized ARCH, ou simplesmente GARCH, como é conhecido. Estes modelos são não-lineares no que se refere a variância.
A volatilidade, que nada mais é do que a variância condicional de uma variável, comumente chamada de retorno, definido em (2.5.1). Embora não seja medida diretamente, a volatilidade manifesta-se de várias maneiras numa série financeira:
1. a volatilidade aparece em grupo, de maior ou menor variabilidade;
2. a volatilidade evolui continuamente no tempo, podendo ser considerada estacionária;
3. ela reage de modo diferente a valores positivos ou negativos da série.
2.8.1 Modelos com Heteroscedasticidade Condicional
De acordo com Bueno (2008), os modelos autorregressivos com heteroscedasticidade condicional surgiram, principalmente, porque os modelos econométricos de séries temporais consideravam apenas o primeiro momento condicional. As dependências temporais de ordem superiores eram consideradas perturbações aleatórias, incorporadas em seus momentos incondicionais. Entretanto, o autor afirmou que essas dependências expressam a existência de aglomerações na série e a alternância de períodos de baixa volatilidade com períodos de alta volatilidade.
Assim, a volatilidade poderia ser modelada e descrita por dois componentes distintos, quais seriam, a volatilidade incondicional, que seria, de fato constante, e a condicional, que poderia oscilar ao longo do tempo e que pode ser identificada e analisada a partir dos modelos de análise de heteroscedasticidade condicional. Segundo Morettin & Toloi (2006), a ideia básica é que o retorno é não correlacionado serialmente, mas a volatilidade (variância condicional) depende dos retornos passados por meio de uma função quadrática.
De acordo com Enders (1995), o ponto chave é que os erros não são independentes, uma vez que eles se relacionam por meio do seu segundo momento tendo em vista que a correlação é uma relação linear. A variância condicional é um processo autorregressivo que resulta em erros condicionalmente heteroscedásticos. Assim, quando o valor realizado do erro no período anterior está longe de zero, de modo que o seu quadrado seja relativamente grande, a variância de erro tenderá a ser grande. Nesse sentido, a heteroscedasticidade condicional na série de resíduos torna a variável, em geral, os preços ou retornos, um processo autorregressivo de heteroscedasticidade condicional (ARCH).
2.8.2 Modelos Autorregressivos de Heteroscedasticidade Condicional (ARCH)
Engle (1982) mostrou que é possível modelar, simultaneamente, a média e variância das séries no qual, segundo Bueno (2008), o erro é um processo estocástico real em tempo discreto, condicional à informação no tempo 1.
Um modelo .e é definido por W 9 ~ 9* lA l W * … lW *
Onde ~ é uma sequência de variáveis aleatória independente e identicamente distribuídas (i.i.d) com média zero e variância um, lA 0, lJ 0, 0.
Segundo Morettin & Toloi (2006) na prática, usualmente supõem-se ~h i0,1 ou ~h (distribuição de Student, com graus de liberdade).
Os modelos autorregressivos com heteroscedasticidade condicional (ARCH) assumem que o retorno de uma série original W é não correlacionado
serialmente, mas a volatilidade (variância condicional) depende de retornos passados por meio de uma função quadrática. Para eliminar uma possível correlação serial de , pode-se utilizar de modelos ARMA.
Morettin & Toloi (2006), deduzem algumas propriedades do modelo, das quais os resultados, omitidas as deduções, são
i. %W 0; ii. WW
∑
iii. -D 0, D 1
2.8.3 Modelos Autorregressivos de Heteroscedasticidade Condicional Generalizado (GARCH)
Na prática, observa-se a exigência de muitos parâmetros para o ajustamento correto dos modelos ARCH r. Na tentativa de solucionar essa questão, Bollerslev (1986), expandiu o trabalho original de Engle, ao desenvolver uma técnica que permite que a variância condicional seja modelada como um processo ARMA. O modelo generalizado .e d, R – chamado .e d, R – permite a inclusão de ambos os componentes, autorregressivo e de média móvel, na variância heteroscedástica. Desse modo, a equação da variância para um modelo .e d, R é definida por
W 9. ~ 9* lA F lJ a JH . WJ* F U UH . 9* U
onde ~ é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância um, lA 0, lJ 0, U 0, ∑aá:a,JH lJ U + 1 , X 0. Ainda segundo Morettin & Toloi (2006), na prática, também se supõe que ~ ~ i0,1 ou ~~. Seja tal que
W* 9 *
i. % 0;
ii. %W*
∑ á@ ,¡¢y , ou seja, a volatilidade converge para esse valor a
longo prazo (detalhes em (Tsay, 2010)), portanto:
W W lA
1 ∑aá:a,JH lJ J
Como no modelo ARCH, se segue um modelo GARCH, as caudas apresentam mais densidade do que a distribuição normal.
2.8.3.1 Previsão com GARCH
Segundo Tsay (2010), previsões para o modelo GARCH podem ser obtidas usando métodos similares àqueles do modelo ARMA. Considere o modelo GARCH(1,1), que modela a volatilidade pela equação
9* lA l W * 9 * ,
cujos parâmetros satisfazem
0 6 l , 6 1 l + 1.
Para uma previsão de 1 passo à frente, temos 9= * lA l W
=
* 9 =*
onde l= e 9=* são conhecidos no tempo ;.
Logo, a previsão com 1 passo à frente, denotada por 9=*1, é 9=*1 l
A l W=* 9=*.
Para previsão de 8 passos à frente, usa-se W* 9*£* e reescreve-se a equação da volatilidade como
9 * lA l 9* l 9*£ 1.
9= ** lA l 9
= * l 9= * £= * 1.
Como %¤£= * 1 | 2=¥ 0, então a previsão de 2 passos à frente a partir da origem ; satisfaz
9=*2 lA l 9=*1.
Em geral, basta calcular recursivamente 9=*¦ lA l 9
=*¦ 1, ¦ 1.