Estudo do comportamento vibratório torcional do trem de potência de um aerogerador de eixo horizontal

Gustavo Roberto de Souza Silva

Estudo do Comportamento Vibratório

Torcional do Trem de Potência

de um Aerogerador de Eixo Horizontal

73/2015

CAMPINAS 2015

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Elizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Silva, Gustavo Roberto de Souza,

Si38e SilEstudo do comportamento vibratório torcional do trem de potência de um

aerogerador de eixo horizontal / Gustavo Roberto de Souza Silva. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

SilOrientador: Milton Dias Junior.

SilDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

Sil1. Turbinas a vento. 2. Engrenagens - Vibração. I. Dias Junior, Milton,1961-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Torsional vibratory behavior study of a powertrain in horizontal axis

wind turbine

Palavras-chave em inglês:

Wind turbine Gears - Vibration

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica

Banca examinadora:

Milton Dias Junior [Orientador] Zilda de Castro Silveira

Gregory Bregion Daniel

Data de defesa: 30-07-2015

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

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Dedicatória

Dedico este trabalho à minha esposa, Sra. Laila Silva, meu pai, Sr. Paulo Silva e minha mãe, Sra. Sandra Barilli.

Agradecimentos

A Deus, que por toda minha vida me tomou em seus braços e nos momentos mais difíceis foi como um porto seguro onde pude descansar.

À toda minha família que torceu e me apoiou durante estes dois anos. Minha esposa que teve paciência me ajudando durante momentos difíceis no decorrer do mestrado. Aos meus pais que me serviram como exemplos de dignidade e caráter, me educaram e me ajudaram a crescer. À minha cunhada Larissa dos Reis Nunes pelo auxílio prestado, estando sempre pronta a colaborar com o presente trabalho.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Milton Dias Junior pelo imensurável apoio que me deu durante minha caminhada acadêmica e por dispor-se como um ombro amigo em vários momentos.

Também agradeço aos membros do Laboratório de Dinâmica e Estrutura de Máquinas (LDEM) Hugo Heidy Miyasato, Vinícius Gabriel Segala Simonatto, Fábio Menegatti de Melo e Fábio Camargo Rosa pelo companheirismo e pelo apoio acadêmico, estando sempre prontos a me ajudar e apoiar.

Ao meu amigo Matheus Puttinati Casari que me incentivou a dar início nesta jornada. À Capes pelo financiamento.

Por fim agradeço a todos os outros que de algum modo colaboraram para o desenvolvimento deste trabalho.

Dedique à disciplina o seu coração e os seus ouvidos às palavras que dão conhecimento.

Resumo

Entre os anos de 2004 e 2014 a capacidade total instalada de aerogeradores no mundo apresentou um crescimento de aproximadamente 700%. Este crescimento tão acentuado tem ocorrido devido à atual preocupação mundial com o desgaste do planeta e a consequente busca por novas fontes de energia renováveis e limpas. Evidentemente, esta situação tem atraído muitos investimentos para o estudo de geradores eólicos mas o que se observa na prática é que um número significativo de falhas prematuras ainda ocorrem nos componentes dos aerogeradores. Problemas com a caixa de engrenamento estão entre as principais causas de downtime de um aerogerador. Estudos ainda mais profundos relacionados a este assunto são necessários para o desenvolvimento de projetos de turbinas eólicas mais confiáveis. O presente trabalho se insere neste contexto analisando o comportamento vibratório torcional do trem de potência de um aerogerador de eixo horizontal de velocidade variável. Para tanto, utiliza-se um modelo de múltiplos corpos no qual são incorporados os efeitos da rigidez variável dos engrenamentos helicoidais, fazendo com que o sistema resultante seja linear e variante com o tempo. Os parâmetros modais - frequências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar - do sistema linear e invariante no tempo equivalente são apresentados. Foram também realizadas simulações com o aerogerador operando nas condições de velocidades de rotação constante e variável, sempre funcionando em faixas de operação compatíveis com o gerador eólico estudado. Os resultados das simulações foram anali-sados utilizando ferramentas de processamento de sinais estacionários e não estacionários. Estes resultados mostram a presença de forças dinâmicas internas à caixa de engrenagens que contém componentes de frequência iguais às frequências do engrenamento e suas múltiplas. Demonstra-se que estas forças, dependendo da velocidade de operação da máquina e das características do par engrenado, podem excitar as frequências naturais do sistema, e isto, por sua vez, pode levar ao desgaste prematuro dos componentes do aerogerador. Verifica-se também a ocorrência de ressonâncias de segunda ordem, característica de sistemas variantes com o tempo.

Abstract

Between 2004 and 2014, the total capacity installed of wind turbines in the world presented an increase of approximately 700%. This very sharp increase has been due to the current global concerns about the planet wear and the consequent search for new sources of renewable and clean energy. Clearly, this situation has attracted many investments for the wind turbines study, but in practice it is observed that a significant number of premature failures still occur in the wind turbine components. Problems with the gear box are one of the leading causes of the downtime of a wind turbine. Deeper studies related to this matter are necessary for the development of more trustable wind turbines projects. The main work was inserted in this context analyzing the torsional vibration behavior of the power train of a horizontal axis wind turbine with variable speed. To do so, a multibody model was used in which the variable stiffness effects of the helical gear ratio were embedded, so that the resulting system was linear time-varying. The modal parameters – natural frequencies, damping factors and vibration modes- of the equivalent linear time-invariant system were presented. Simulations with a wind turbine operating in constant and variable rotation speed conditions were also made, always working on compatible operating ranges with the wind generator studied. The simulations results were analyzed using stationary and not stationary signal processing tools. These results showed the presence of dynamic forces inside the gear box containing the frequencies components equal to the gear meshing frequencies and its multiples. Depending of the operation machine speed and the gear pair characteristics, it was demonstrated that these forces may excite the natural frequencies of the system, and in turn, this can lead to premature wear of the wind turbine components. It is also verified the occurrence of second-order resonances and linear time-varying systems characteristics.

Lista de Ilustrações

1.1 (a) Moinho de vento persa (GASCH E TWELE, 2002). (b) Moinho de vento chinês

(GASCH ETWELE, 2002). . . 1

1.2 Figura de um moinho de vento inglês datada do ano de 1270 (GASCH E TWELE, 2002). . . 2

1.3 Aerogerador construído por Brush no ano de 1887-88 (MARQUES, 2004). . . 2

1.4 Crescimento da capacidade de geração de energia eólica em todo o mundo ao longo dos anos (GWEC, 2015). . . 3

1.5 Crescimento da capacidade de geração de energia eólica no Brasil ao longo dos anos (THEWINDPOWER, 2015). . . 3

1.6 Aumento da capacidade nominal de potência das turbinas eólicas ao longo dos anos (modificado de RWE (2015)). . . 4

1.7 Causas de downtime (Modificado de (SHENG EVEERS, 2011)). . . 5

1.8 a) Microcavidades na superfície(OYAGUE, 2009). b) Deformação plástica. (OYAGUE, 2009) . . . 5

2.1 Turbinas de eixo vertical. . . 9

2.2 Configurações de turbinas AEHs . . . 10

2.3 Componentes de um aerogerador de eixo horizontal (modificado de U.S. Depart-ment of Energy (2015)). . . 11

2.4 Porcentagem do valor dos principais componentes em um projeto de uma turbina de 5 MW (KROHNe outros, 2009). . . 13

2.5 Característica de um aerogerador operando em uma velocidade constante. . . 15

2.6 Característica de um aerogerador operando em duas velocidade distintas. . . 16

2.7 Característica de um aerogerador operando com velocidade variável. . . 17

2.8 Regiões de operação de uma turbina eólica (MARQUES, 2004). . . 17

2.9 Conceitos de aerogeradores (modificado de Ackermann (2005)). . . 18

4.1 Potência mecânica em função da velocidade de rotação da turbina para diversas velocidades de vento. . . 27

4.2 Coeficiente de potência em função da razão de velocidades 𝜆 para diversos passos das pás da turbina. . . 28

4.3 Torque mecânico em função da velocidade de rotação da turbina para diversas

ve-locidades de vento. . . 29

4.4 Engrenamento sem deformação. . . 30

4.5 Diagramas de corpo livre dos corpos do engrenamento sem deformação. . . 30

4.6 Engrenamento com deformação). . . 31

4.7 Diagramas de corpo livre dos corpos do engrenamento com deformação. . . 31

4.8 Pares de engrenagens helicoidais de um aerogerador (BREVINI, 2015). . . 32

4.9 Representação do plano de ação entre engrenagens helicoidais ((CAI, 1995), modi-ficado por Miyasato (2011)). . . 33

4.10 Gráfico do 𝐶𝑎em relação ao ângulo 𝛽 com três relações de 𝜔 e ℎ diferentes (gerado com dados de Umezawa e outros (1986)). . . 36

4.11 Gráfico do 𝐾𝑚𝑎𝑥 em relação ao ângulo 𝛽 com três relações de 𝜔 e ℎ diferentes (gerado com dados de Umezawa e outros (1986)). . . 36

4.12 Gráfico da contribuição de um par de dentes (gerado com dados de (CAI, 1995)). . 37

4.13 Gráfico da somatória dos 𝐾𝑖 com 𝜀 < 2 (gerado com dados de (CAI, 1995)). . . 38

4.14 Gráfico da somatória dos 𝐾𝑖 com o 𝜀 > 2 (gerado com dados de (CAI, 1995)). . . . 38

4.15 Modelo dinâmico. . . 39

4.16 Engrenamento planetário. . . 41

4.17 Diagrama de corpo livre dos corpos do sistema. . . 45

4.18 Par de engrenagens helicoidais (modificado de Peeters (2006)) . . . 52

4.19 Forças no engrenamento helicoidal (modificado de Shigley e outros (2005)) . . . . 53

5.1 Posição dos engrenamentos helicoidais com rigidez variável. . . 58

5.2 Primeiro modo de vibrar do sistema. . . 64

5.3 Segundo modo de vibrar do sistema. . . 65

5.4 Terceiro modo de vibrar do sistema. . . 65

5.5 Quarto modo de vibrar do sistema. . . 66

5.6 Quinto modo de vibrar do sistema. . . 66

5.7 Sexto modo de vibrar do sistema. . . 67

5.8 Sétimo modo de vibrar do sistema. . . 67

5.9 Oitavo modo de vibrar do sistema. . . 68

5.10 Amplitude e fase das funções de Resposta em Frequência. . . 68

5.11 PSD da aceleração angular da engrenagem 5 simulada com uma taxa de amostra-gem 800𝐻𝑧. . . 70

5.12 PSD da aceleração angular da engrenagem 5 simulada com uma taxa de amostra-gem 7𝑘𝐻𝑧. . . 70

5.13 Waterfall da aceleração angular da engrenagem 5 com rotação do rotor variando de

10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚. Sistema no Caso 1. Taxa de amostragem 4𝑘𝐻𝑧. . . 71

5.14 Waterfall da aceleração angular da engrenagem 5 com rotação do rotor variando de 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚. Sistema no Caso 1. Taxa de amostragem 7𝑘𝐻𝑧. . . 72

5.15 Caso 1 - PSD da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚. . . 73

5.16 Caso 1 - PSD da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 18𝑟𝑝𝑚. . . 74

5.17 Caso 1 - Waterfall da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 75

5.18 Caso 2 - Registro temporal da rigidez 𝐾5 (𝑀𝑅= 15𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚). . . 76

5.19 Caso 2 - PSD da rigidez 𝐾5(𝑀𝑅= 15𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚). . . 77

5.20 Caso 2 - PSD da força 𝐹5 (𝑀𝑅= 15𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 10𝑟𝑝𝑚). . . 78

5.21 Caso 2 - PSD da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 15𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚). . . 78

5.22 Caso 2 - Registro temporal da rigidez 𝐾5 (𝑀𝑅= 15𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 18𝑟𝑝𝑚). . . 79

5.23 Caso 2 - PSD da rigidez 𝐾5(𝑀𝑅= 15𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 18𝑟𝑝𝑚). . . 80

5.24 Caso 2 - PSD da força 𝐹5 (𝑀𝑅= 15𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 18𝑟𝑝𝑚). . . 80

5.25 Caso 2 - PSD da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 15𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 18𝑟𝑝𝑚). . . 81

5.26 Caso 2 - PSD da rigidez 𝐾5(𝑀𝑅= 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 18𝑟𝑝𝑚). . . 82

5.27 Caso 2 - PSD da força 𝐹5 (𝑀𝑅= 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 18𝑟𝑝𝑚). . . 82

5.28 Caso 2 - PSD da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 18𝑟𝑝𝑚). . . 83

5.29 Caso 2 não amortecido - PSD da rigidez 𝐾5 (𝑀𝑅= 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 18𝑟𝑝𝑚). . . 84

5.30 Caso 2 - Waterfall da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 18𝑟𝑝𝑚). . . 85

5.31 Caso 2 - Waterfall da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 86

5.32 Caso 2 - Order Map da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 86

5.33 Caso 2 - Registro temporal da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 87

5.34 Caso 2 - Registro temporal da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 88

5.35 Caso 3 - PSD da rigidez 𝐾6 (𝑀𝑅= 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 10𝑟𝑝𝑚). . . 89

5.36 Caso 3 - PSD da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 =

10𝑟𝑝𝑚). . . 89 5.37 Caso 3 - PSD da rigidez 𝐾6 (𝑀𝑅= 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 18𝑟𝑝𝑚). . . 90

5.38 Caso 3 - PSD da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 =

18𝑟𝑝𝑚). . . 90 5.39 Caso 3 - Waterfall da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e

𝜔𝑅= 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 91

5.40 Caso 3 - Order Map da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e

𝜔𝑅= 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 92

5.41 Caso 3 - Registro temporal da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 =

170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 93

5.42 Caso 3 - Registro temporal da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 =

170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 93

5.43 Caso 4 - PSD da rigidez 𝐾5 (𝑀𝑅= 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 18𝑟𝑝𝑚). . . 94

5.44 Caso 4 - PSD da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 =

18𝑟𝑝𝑚). . . 95 5.45 Caso 4 - PSD da rigidez 𝐾6 (𝑀𝑅= 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅= 18𝑟𝑝𝑚). . . 95

5.46 Caso 4 - PSD da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 =

18𝑟𝑝𝑚). . . 96 5.47 Caso 4 - Waterfall da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e

𝜔𝑅= 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 97

5.48 Caso 4 - Waterfall da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e

𝜔𝑅= 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 97

5.49 Caso 4 - Order Map da aceleração angular da engrenagem 5 tendo como referência a velocidade instantânea do engrenamento 5/6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a

25𝑟𝑝𝑚). . . 98 5.50 Caso 4 - Order Map da aceleração angular da engrenagem 5 tendo como referência

a velocidade instantânea do engrenamento 6/7 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a

25𝑟𝑝𝑚). . . 98 5.51 Caso 4 - Order Map da aceleração angular da engrenagem 6 tendo como referência

a velocidade instantânea do engrenamento 5/6 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a

25𝑟𝑝𝑚). . . 99

5.52 Caso 4 - Order Map da aceleração angular da engrenagem 6 tendo como referência a velocidade instantânea do engrenamento 6/7 (𝑀𝑅 = 170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a

25𝑟𝑝𝑚). . . 99 5.53 Caso 4 - Registro temporal da aceleração angular da engrenagem 5 (𝑀𝑅 =

170𝑘𝑁.𝑚 e 𝜔𝑅 = 10𝑟𝑝𝑚 a 25𝑟𝑝𝑚). . . 100

5.54 Caso 4 - Registro temporal da aceleração angular da engrenagem 6 (𝑀𝑅 =

Lista de Tabelas

4.1 Coeficientes para a aproximação das curvas do 𝐶𝑝. Modificado de (SALLES, 2009). 27

5.1 Dados do sistema (modificado de Todorov e outros (2009)). . . 61 5.2 Dados dos pares de engrenagens. . . 62 5.3 Frequências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar. . . 63

Lista de Abreviaturas e Siglas

𝐴 - Área ocupada pelas pás do rotor em movimento [𝑚𝑚2] 𝑎 - Distância entre os centros das engrenagens [𝑚𝑚] 𝐶5 - Amortecimento da engrenagem 5 [𝑁 𝑚 · 𝑠/𝑟𝑎𝑑]

𝐶6 - Amortecimento da engrenagem 6 [𝑁 𝑚 · 𝑠/𝑟𝑎𝑑]

𝐶7 - Amortecimento da engrenagem 7 [𝑁 𝑚 · 𝑠/𝑟𝑎𝑑]

𝐶𝑎 - Coeficiente que modela a função da rigidez variável

𝐶𝑝 - Coeficiente de potência

𝑑 - Diâmetro primitivo [𝑚𝑚] 𝑑𝑎 - Diâmetro externo [𝑚𝑚]

𝑑𝑏 - Diâmetro de base [𝑚𝑚]

𝑑𝑟 - Diâmetro do rotor [𝑚𝑚]

𝐹5 - Força de contato entre as engrenagens 5 e 61 [𝑁 ]

𝐹6 - Força de contato entre as engrenagens 62 e 7 [𝑁 ]

𝐹𝑝 - Força de contato entre o planeta e o anel [𝑁 ]

𝐹𝑠 - Força de contato entre o planeta e o sol [𝑁 ]

ℎ - Altura do dente do engrenamento [𝑚𝑚] 𝐽 - Inércia [𝑘𝑔 · 𝑚2]

𝐽1 - Inércia do rotor [𝑘𝑔 · 𝑚2]

𝐽3 - Inércia do planeta [𝑘𝑔 · 𝑚2]

𝐽4 - Inércia do sol [𝑘𝑔 · 𝑚2]

𝐽5 - Inércia da engrenagem 5 [𝑘𝑔 · 𝑚2]

𝐽6 - Inércia das engrenagens 6 [𝑘𝑔 · 𝑚2]

𝐽7 - Inércia da engrenagem 7 [𝑘𝑔 · 𝑚2]

𝐽8 - Inércia do gerador [𝑘𝑔 · 𝑚2]

𝐾𝑚𝑎𝑥 - Rigidez máxima entre os dentes [𝑁/𝑚]

𝐾1 - Rigidez do primeiro eixo [𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑]

𝐾2 - Rigidez do segundo eixo [𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑]

𝐾3 - Rigidez do terceiro eixo [𝑁 𝑚/𝑟𝑎𝑑]

𝐾5 - Rigidez de contato entre as engrenagens 5 e 61 [𝑁/𝑚]

𝐾5 - Rigidez de contato entre as engrenagens 5 e 61 [𝑁/𝑚]

𝐾6 - Rigidez de contato entre as engrenagens 62 e 7 [𝑁/𝑚]

𝐾𝑝 - Rigidez de contato entre o planeta e o anel [𝑁/𝑚]

𝐾𝑝 - Rigidez de contato entre o planeta e o anel [𝑁/𝑚]

𝐾𝑠 - Rigidez de contato entre o planeta e o sol [𝑁/𝑚]

𝐾𝑠 - Rigidez de contato entre o planeta e o sol [𝑁/𝑚]

𝑚3 - Massa do planeta [𝑘𝑔]

𝑀𝐺 - Torque do gerador [𝑁 · 𝑚]

𝑚𝑛 - Módulo normal [𝑚𝑚]

𝑀𝑅 - Torque aerodinâmico sobre o rotor [𝑁 · 𝑚]

𝑚𝑡 - Módulo transversal [𝑚𝑚]

𝑛 - Número de planetas

𝑁 - Número total de dentes no plano de ação 𝑃𝑚 - Potência mecânica [𝑘𝑊 ] 𝑝𝑛 - Passo [𝑚𝑚] 𝑝𝑡 - Passo transversal [𝑚𝑚] 𝑅 - Raio do rotor [𝑚𝑚] 𝑟 - Raio [𝑚𝑚] 𝑟2 - Raio do braço [𝑚𝑚]

𝑟3 - Raio primitivo do planeta [𝑚𝑚]

𝑟4 - Raio primitivo do sol [𝑚𝑚]

𝑟5 - Raio primitivo da engrenagem 5 [𝑚𝑚]

𝑟61 - Raio primitivo da engrenagem 61 [𝑚𝑚]

𝑟62 - Raio primitivo da engrenagem 62 [𝑚𝑚]

𝑟7 - Raio primitivo da engrenagem 7 [𝑚𝑚]

𝑇𝑚 - Torque mecânico [𝑁 · 𝑚]

𝑉0 - Velocidade do vento no cubo da turbina [𝑚/𝑠]

𝑋 - Coordenada da linha de ação equivalente do par de engre-nagens helicoidais [𝑚𝑚]

𝑋𝑧 - Passo de base transversal [𝑚𝑚]

𝑧 - Número de dentes Letras Gregas 𝜃 - Deslocamento Angular [𝑟𝑎𝑑] ˙ 𝜃 - Velocidade angular [𝑟𝑎𝑑/𝑠] ¨ 𝜃 - Aceleração angular [𝑟𝑎𝑑/𝑠2] 𝜀 - Razão de contato

𝜀𝛼 - Razão de contato transversal

𝜀𝛽 - Razão de contato axial

𝛽 - Ângulo de hélice [𝑜]

𝛽ℎ - Ângulo das pás do aerogerador [𝑜]

𝛼 - Ângulo de pressão [𝑜]

𝛼𝑡 - Ângulo de pressão transversal [𝑜]

𝜔 - Largura dos dentes da engrenagem [𝑚𝑚] 𝜔𝑚 - Velocidade angular do rotor [𝑟𝑎𝑑/𝑠]

𝜆 - Relação entre a velocidade do da turbina e do vento 𝜌 - Densidade do ar [𝑘𝑔/𝑚3_]

Siglas

AEV - Aerogeradores de Eixo Vertical AEH - Aerogeradores de Eixo Horizontal

SUMÁRIO

2.1 Configuração de Eixo Vertical . . . 9 2.2 Configuração de Eixo Horizontal . . . 10 2.2.1 Componentes . . . 11 2.3 Modos de Operação . . . 13 2.3.1 Velocidade de Rotação Fixa . . . 13 2.3.2 Velocidade de Rotação Variável . . . 14 2.4 Modos de Limitação de Potência . . . 15 2.5 Conceitos de Turbinas Eólicas . . . 18 2.5.1 Tipo A: Velocidade Fixa . . . 19 2.5.2 Tipo B: Velocidade Variável Limitada . . . 19 2.5.3 Tipo C: Velocidade Variável com Conversor de Frequência de Escala Parcial 19 2.5.4 Tipo D: Velocidade Variável com Conversor de Frequência de Escala Plena 20

3 Revisão Bibliográfica 21

4 Desenvolvimento Teórico 25

4.1 Cargas do Vento . . . 25 4.2 Modelagem de Engrenamentos . . . 28 4.2.1 Engrenamento Sem Deformação . . . 29 4.2.2 Engrenamento Com Deformação . . . 31 4.2.3 Rigidez Variante no Tempo Para Engrenamentos Helicoidais . . . 32 4.3 Modelagem Torcional de um Trem de Potência de Uma Turbina Eólica . . . 39 4.3.1 Análise Cinemática do Planetário . . . 40 4.3.2 Equações de Movimento . . . 44 4.3.3 Equação de Movimento na Forma Matricial . . . 50

4.3.4 Forças no Engrenamento Helicoidal . . . 52

5 Simulações e Resultados 57

5.1 Informações Preliminares . . . 57 5.1.1 Sistemas Dinâmicos Analisados . . . 57 5.1.2 Torque Aerodinâmico . . . 59 5.1.3 Condição de Operação . . . 59 5.2 Parâmetros Físicos do Sistema e dos Engrenamentos . . . 61 5.3 Parâmetros Modais do Sistema Linear Invariante no Tempo . . . 62 5.4 Aliasing . . . 69 5.5 Caso 1: Sistema Linear Invariante no Tempo . . . 73 5.6 Caso 2: Sistema com Rigidez Variante no Tempo no Engrenamento 5/6 . . . 75 5.7 Caso 3: Sistema com Rigidez Variante no Tempo no Engrenamento 6/7 . . . 88 5.8 Caso 4: Sistema com Rigidez Variante no Tempo nos Engrenamentos 5/6 e 6/7 . . . 94

6 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTURAS 103

6.1 Conclusões e Comentários Finas . . . 103 6.2 Proposta de Trabalhos Futuros . . . 105

Referências 107

1

Introdução

Desde a antiguidade, a força do vento é utilizada em diversas áreas. Sistemas de bombea-mento, moedores de sementes e propulsão para embarcações são apenas alguns exemplos de seu uso. A Figura 1.1 ilustra alguns modelos utilizados por antigas civilizações.

Figura 1.1: (a) Moinho de vento persa (GASCH E TWELE, 2002). (b) Moinho de vento chinês

(GASCH ETWELE, 2002).

Diferentemente dos moinhos de vento orientais, no ocidente foram desenvolvidos moinhos de eixo horizontal, porém, esse desenvolvimento ocorreu muito mais tarde que os moinhos de eixo vertical no oriente (GASCH E TWELE, 2002). O primeiro moinho de vento ocidental de que se tem notícia é datado do século 12, como pode ser visto na Figura 1.2, encontrada num caderno de oração inglês.

O uso da energia do vento com o fim de gerar energia elétrica veio a ocorrer somente do século 18 em diante. Marques (2004) afirma que o primeiro aerogerador construído para gerar energia elétrica em grande escala foi construído por Charles F. Brush. A máquina possuía uma turbina de 17 metros de diâmetro, 144 pás de madeira de cedro e funcionou durante 20 anos, porém, só podia gerar 12 kW de energia elétrica. O termo "eólica" deriva de Éolo, senhor dos ventos na mitologia grega. O vento é gerado pela diferença de pressão, em que o ar com a temperatura mais elevada sobe, gerando uma região de menor pressão a ser ocupada por fluidos de regiões com a pressão mais alta.

Figura 1.2: Figura de um moinho de vento inglês datada do ano de 1270 (GASCH ETWELE, 2002).

Figura 1.3: Aerogerador construído por Brush no ano de 1887-88 (MARQUES, 2004).

Poul La Cour, impulsionado por um período de escassez generalizada de combustível após a primeira grande guerra mundial, foi o primeiro a construir um aerogerador que incorporava os princípios da aerodinâmica, demostrando que as turbinas eólicas que possuem poucas pás são mais eficientes. Poul La Cour é considerado o pai dos aerogeradores modernos: após ter fundado o primeiro centro de investigação de energia eólica em Jütland, também publicou a primeira revista mundial sobre energia eólica (AMMONIT, 2015) (MARQUES, 2004).

Atualmente, os fatores que impulsionam o estudo desta tecnologia são outros. As preocupa-ções com desmatamento, poluição do meio ambiente etc. têm crescido a cada ano. Isto tem cola-borado para o crescente investimento em tecnologias para geração de energia elétrica sustentável. Dentre estas tecnologias, o setor de energia eólica tem sido expandido mundialmente. Na Figura 1.4 pode-se ver o crescimento da capacidade de geração de energia eólica no mundo de 1997 a 2014.

Figura 1.4: Crescimento da capacidade de geração de energia eólica em todo o mundo ao longo dos anos (GWEC, 2015).

A figura 1.5 mostra o crescimento do uso da tecnologia no país. Segundo TheWindPower (2015), no ano 2010 o Brasil possuía uma capacidade de geração de energia elétrica proveniente de turbinas eólicas de 931𝑀 𝑊 , já no ano 2014 este valor passou a ser de 6.182𝑀 𝑊 . De acordo com ABEE (2015) até o ano 2015 o país possui um total de 281 parques eólicos com um potencial de geração de energia que supera 7𝐺𝑊 . Estes fatos demonstram que esta fonte de energia tem se tornado cada vez mais importante no Brasil, país este que possui um grande potência de crescimento na área.

Figura 1.5: Crescimento da capacidade de geração de energia eólica no Brasil ao longo dos anos (THEWINDPOWER, 2015).

A Figura 1.6 ilustra a evolução na dimensão das turbinas eólicas; máquinas maiores e mais pesadas podem levar a maiores concentrações de esforços e frequências naturais cada vez mais baixas.

Figura 1.6: Aumento da capacidade nominal de potência das turbinas eólicas ao longo dos anos (modificado de RWE (2015)).

Segundo Sheng e Veers (2011), mesmo com o grande crescimento no setor de aerogerado-res, a indústria ainda experimenta falhas prematuras dos componentes da turbina, o que eleva o custo da energia gerada. Em uma turbina eólica, o downtime significa perda de produtividade. En-tre as causas do downtime dos aerogeradores, problemas com a caixa de engrenagem são os mais recorrentes (SHENG E VEERS, 2011). A Figura 1.7 contempla as principais causas para o tempo de parada das turbinas eólicas durante o período de 2003-2009. Pode-se notar que problemas em relação ao rotor, sistema elétrico, gerador e caixa de engrenagens são os mais recorrentes. Oyague (2009) cita algumas falhas que ocorrem no engrenamento da caixa de engrenagens de aerogerado-res. A Figura 1.8 (a) mostra uma engrenagem que sofreu uma deformação gerada por distribuição irregular de carga nos dentes do engrenamento. A Figura 1.8 (b) mostra uma engrenagem que sofreu deformações plasticas devido a altas cargas.

Estudos referentes ao trem de potência são importantes para que se diminua o tempo de parada para manutenção, consequentemente diminuindo o tempo em que a máquina não produz energia elétrica.

Figura 1.7: Causas de downtime (Modificado de (SHENG EVEERS, 2011)).

Figura 1.8: a) Microcavidades na superfície(OYAGUE, 2009). b) Deformação plástica. (OYAGUE, 2009)

1.1 Motivação

A energia eólica é a fonte de energia que mais cresce no mundo, levando a utilização de má-quinas cada vez maiores e com maior capacidade de geração de energia elétrica. Isto faz com que hajam solicitações dinâmicas maiores e frequências naturais mais baixas. Sobrecargas em compo-nentes como caixa de engrenagens e mancais podem provocar paradas frequentes gerando perda de produtividade.

1.2 Objetivo

O objetivo deste trabalho é analisar o comportamento vibratório torcional de um aerogerador de eixo horizontal operando em distintas condições de rotação e sujeito à ação das forças decorren-tes dos engrenamentos helicoidais da caixa de transmissão. .

1.3 Descrição do Trabalho

O Capítulo 2 apresenta conceitos gerais de aerogeradores, características de turbinas eólicas de eixo vertical e horizontal, modos de operação, componentes básicos entre outros.

A revisão bibliográfica está disposta no Capítulo 3. Trabalhos referentes à dinâmica e ao comportamento vibratório de aerogeradores e métodos de modelagem de turbinas eólicas estão disponíveis neste capítulo.

O Capítulo 4 apresenta todo o desenvolvimento teórico utilizado no presente trabalho. Uma breve introdução da caracterização do torque aerodinâmico sobre o rotor, o equacionamento da rigidez variável proveniente de engrenagens helicoidais e a modelagem torcional do trem de acio-namento de um aerogerador estão demostrados.

No Capítulo 5 são apresentadas as frequência naturais, os fatores de amortecimento e os modos de vibrar do sistema invariante no tempo. Os resultados de diversas simulações de casos variantes do sistema adotado sob funcionamento em velocidade contante e variável são

trados. São quatro os casos estudados: o primeiro é linear e não variante no tempo; os demais são casos lineares e variantes no tempo. Também é demonstrado o efeito do fenômeno de aliasing sobre a simulação dos sistemas.

Por fim, o Capítulo 6 contempla as conclusões obtidas a partir dos resultados demostrados no capítulo anterior, bem como propostas para trabalhos futuros.

2

Conceitos de Aerogeradores

Aerogeradores são máquinas capazes de transformar a energia cinética dos ventos em energia elétrica. Para tanto, a energia do vento é convertida em movimento de rotação do rotor da turbina eólica e este, por sua vez, é transmitido a um gerador para conversão em energia elétrica, podendo-se utilizar ou não um multiplicador de velocidade entre a turbina e o gerador. A energia gerada pode ser injetada à rede elétrica convencional (normalmente turbinas de grande porte), ou usada isoladamente (este caso sendo mais comum para turbinas de pequeno porte).

Os aerogeradores podem ser divididos em dois grandes grupos, em função da orientação do eixo de giro da turbina, que são: Aerogeradores de Eixo Vertical (AEV) e Aerogeradores de Eixo Horizontal (AEH). Estas duas configurações são apresentadas a seguir sendo que a última será discutida mais detalhadamente pelo fato desta ser a configuração de aerogerador estudada no presente trabalho.

2.1 Configuração de Eixo Vertical

Os AEVs possuem dois modelos principais: Rotor de Savonius e Rotor de Darrieus (GASCH ETWELE, 2002), que podem ser vistos nas Figuras 2.1 (a) e 2.1 (b) , respectivamente.

a) Modelo de Rotor de Savonius (GUILLO, 2014). b) Modelo de Rotor de Darrieu (DAPHNE, 2015). Figura 2.1: Turbinas de eixo vertical.

turbulência, quando comparados com os modelos de eixo horizontal. Outra vantagem deste tipo de aerogerador é que seu custo de fabricação, principalmente devido ao fato de seu gerador ser fixo, o que não ocorre nos modelos horizontais, que rotacionam segundo a direção do vento.

O maior motivo pelo qual os AEVs não são utilizados nos parques eólicos é que seu rendi-mento é muito inferior em comparação com os AEHs quando não há turbulência.

2.2 Configuração de Eixo Horizontal

Os AEHs, por sua vez, também podem ser divididos em dois grupos: os upwind e os downwind, ilustrados nas Figuras 2.2 (a) e (b).

a) Configuração Upwind b) Configuração Downwind Figura 2.2: Configurações de turbinas AEHs

A configuração upwind é a mais comum entre as instalações. A principal vantagem deste modelo é que o efeito de tower shadow - influência da presença de uma estrutura, no caso a torre, sobre a velocidade do vento que é recebido pela hélice - nesta turbina é muito menor quando comparado com a configuração downwind, reduzindo as cargas dinâmicas sobre as pás e também o ruido sonoro (BURTONe outros, 2011).

No caso de configuração downwind, a maior vantagem teórica é que não é necessário o uso de um mecanismo para direcionamento da turbina. Contudo, é importante ressaltar que a hélice deste modelo é muito mais flexível, o que dificulta a utilização da mesma para turbinas de grande porte, pois existe o risco da hélice se chocar com a torre (BURTONe outros, 2011).

Este trabalho focará o modelo upwind de turbinas horizontais e, portanto, as informações a seguir referem-se a este modelo de aerogerador.

2.2.1 Componentes

Os principais componentes de um aerogerador de eixo horizontal, com a configuração upwind, estão ilustrados na Figura 2.3. Uma breve descrição de cada um destes componentes é feita na sequência.

Figura 2.3: Componentes de um aerogerador de eixo horizontal (modificado de U.S. Department of Energy (2015)).

1. Pás: Têm o objetivo de receber a força do vento, fazendo com que o rotor gire. A maioria das turbinas têm duas ou três pás (U.S. DEPARTMENT OFENERGY, 2015).

2. Rotor: Pás e cubo formam o conjunto do rotor.

3. Eixo de baixa velocidade: O eixo de baixa velocidade é solidário ao rotor e gira em torno de 10 a 60 rpm (MARQUES, 2004). Turbinas eólicas não operam em velocidades muito elevadas, pois podem ser danificadas pelos ventos fortes (U.S. DEPARTMENT OFENERGY, 2015). 4. Multiplicador de velocidade: Tem a função de multiplicar a velocidade de entrada, gerando

uma velocidade de saída adequada para a geração de energia elétrica. 5. Eixo de alta velocidade: Eixo solidário ao rotor do gerador.

6. Gerador: Transforma energia cinética em energia elétrica.

7. Anemômetro: Mensura a velocidade do vento e a transmite ao controlador.

8. Controlador: É usado para a partida/parada da turbina e é responsável pelo controle de velo-cidade do rotor.

9. Passo/Atuador: Mecanismo que atua no controle do passo da turbina.

10. Medidor de direção do vento: Mensura a direção do vento e transfere esta informação ao mecanismo de orientação de direção.

11. Mecanismo de orientação de direção: Orienta a turbina eólica para mantê-la de frente para o vento quando há mudanças de direção. Os modelos downwind não utilizam este mecanismo. 12. Torre: Fabricada em aço tubular, concreto ou estrutura metálica. Suporta a estrutura da tur-bina. Quanto mais alta a torre, mais energia pode ser capturada pela turbina, pois a velocidade do vento aumenta com o aumento da altitude (U.S. DEPARTMENT OFENERGY, 2015). 13. Nacele: Localizada no topo da torre, contém a caixa de engrenagens, eixos de baixa e alta

velocidade, gerador, controlador e freio.

14. Freio: Para o mecanismo durante uma emergência.

Apenas como informação, apresenta-se, na Figura 2.4, o custo percentual de cada um dos principais componentes de uma turbina eólica.

Figura 2.4: Porcentagem do valor dos principais componentes em um projeto de uma turbina de 5 MW (KROHNe outros, 2009).

2.3 Modos de Operação

As turbinas eólicas podem operar com velocidade de rotação fixa ou variável (ACKERMANN, 2005), sendo que cada uma destas condições tem características positivas e

ne-gativas, que são discutidas a seguir.

2.3.1 Velocidade de Rotação Fixa

No início dos anos 90, os aerogeradores padrões operavam com uma velocidade fixa, e eram construídos utilizando um gerador de indução (Gaiola de Esquilo ou Rotor Bobinado) ligado dire-tamente à rede, através de um soft-starter e um banco de capacitores. Isto implica que, indepen-dentemente da velocidade do vento, a velocidade do rotor da turbina tinha que ser mantida fixa

em rotação determinada pela frequência da rede de abastecimento, pela relação de transmissão do engrenamento e pelo design do gerador.

A Figura 2.51ilustra a quantidade de energia gerada por um aerogerador que opera em uma rotação fixa para diferentes velocidades de vento. Evidentemente, o sistema é projetado para obter o máximo de eficiência em uma determinada velocidade. A fim de aumentar a produtividade do sistema, o gerador de alguns aerogeradores de velocidade fixa possui dois conjuntos de enrolamen-tos: um utilizado em baixas velocidades de vento (tipicamente 8 pólos) e outro para ventos com velocidades médias e fortes (tipicamente 4-6 pólos) (ACKERMANN, 2005). A Figura 2.6 ilustra a

característica de uma turbina eólica que trabalha com duas velocidades. Neste exemplo, quando a velocidade do vento varia de 8m/s para 11m/s e vice-versa, altera-se a configuração do gerador de modo a fazer com que a turbina opere em rotações que maximizem a potência mecânica gerada pelo vento.

Comparado com aerogeradores que operam em rotação variável, este modelo de turbina eó-lica possui a vantagem de ser mais simples, robusto e possuir peças elétricas mais baratas. Por outro lado, o consumo da energia reativa não é controlado, o controle da qualidade da energia é limitado e são geradas elevadas cargas nos componentes mecânicos, o que provoca fadiga no sis-tema (ACKERMANN, 2005). Além disso, as flutuações na velocidade do vento são transmitidas à

rede elétrica como flutuações na energia elétrica (LARSSON, 2000).

2.3.2 Velocidade de Rotação Variável

Durante os últimos anos, o uso de aerogeradores que trabalham com velocidade variável tem se tornado predominante entre as turbinas de grande porte. Para tanto, a velocidade do rotor é desacoplada da frequência da rede elétrica, sendo que esse desacoplamento é realizado inserindo-se um conversor de potência entre o gerador e a rede (ACKERMANN, 2005) (BURTONe outros, 2011).

Este modelo de turbina permite que as variações na velocidade do vento gerem flutuações na potência de saída, e esta pode ser parcialmente absorvida pela mudança de velocidade. Isto faz com que as cargas mecânicas na turbina sejam diminuídas (MARQUES, 2004). A Figura 2.7 mostra a característica de uma turbina que opera em velocidade variável.

1_{O equacionamento para a obtenção das figuras 2.5, 2.6 e 2.7 está apresentado no Capítulo 4.}

Figura 2.5: Característica de um aerogerador operando em uma velocidade constante.

Salles (2009) afirma que, para velocidades de ventos acima da velocidade nominal da turbina, o controle de ângulo de passo das hélices é acionado. Assim, a potência mecânica gerada pela turbina permanece coerente com a potência nominal que o gerador pode injetar na rede. Isto é ilustrado na Figura 2.8, em que a região I representa a faixa de velocidades de vento abaixo do valor mínimo para a partida da turbina e a região II representa a faixa de operação normal da turbina. Na região III é utilizado um método limitador de potência que pode variar de uma turbina para outra, como será mostrado na seção 2.4. A região IV determina a velocidade de vento limite para o desligamento da turbina, pois não é viável dimensionar todos os componentes da turbina para extrair a potência contida em ventos de altas velocidades (MARQUES, 2004).

2.4 Modos de Limitação de Potência

Todas as turbinas eólicas são desenvolvidas com algum sistema de controle de potência. Para evitar danos ao equipamento é necessário limitar a potência mecânica do aerogerador durante ventos com velocidade acima da velocidade nominal de operação. Esta limitação pode ser realizada

Figura 2.6: Característica de um aerogerador operando em duas velocidade distintas.

de forma passiva ou ativa (HOFFMANN, 2002) (GASCH ETWELE, 2002).

O método stall control (passivo) é o mais robusto, simples e mais barato. Neste método as pás são fixadas ao cubo com um ângulo fixo, e o projeto da aerodinâmica do rotor faz com que o mesmo perca potência quando a velocidade do vento atinge um determinado nível (ACKERMANN, 2005). Como desvantagem, as turbinas com ângulo fixo de pás, em uma situação de velocidade baixa de vento, necessitam de um motor, ou do próprio gerador em modo motor, para levar o rotor a uma velocidade adequada. Este sistema apresenta baixa eficiência ao trabalhar com velocidades baixa de vento (MARQUES, 2004) (ACKERMANN, 2005).

Um outro método de controle de potência é o pitch control (ativo). Este método varia o passo (ângulo) das pás para se obter o controle de potência. As vantagens para este tipo de controle são: bom controle de potência, partida assistida e a frenagem que pode ser realizada ao modificar o passo das hélices. Por outro lado, este sistema torna o projeto mais caro (ACKERMANN, 2005).

Um terceiro método de controle de potência é o active stall control. Em situações boas de vento, este método se comporta de maneira similar ao pitch control, mantendo máxima eficiência.

Figura 2.7: Característica de um aerogerador operando com velocidade variável.

Figura 2.8: Regiões de operação de uma turbina eólica (MARQUES, 2004).

Porém, durante fortes ventos, o ângulo das pás é alterado em direção oposta quando comparado ao pitch control, levando o sistema à perda da eficiência aerodinâmica (ACKERMANN, 2005).

2.5 Conceitos de Turbinas Eólicas

Atualmente, os projetos de turbinas eólicas estão divididos em quatro grupos: Tipo A, B, C e D, conforme se observa na Figura 2.9 (ACKERMANN, 2005), sendo que:

Gerador Tipo A: Gerador de indução gaiola de esquilo.

Gerador Tipo B: Gerador de indução com rotor bobinado.

Gerador Tipo C: Gerador síncrono de ímã permanentes.

Gerador Tipo D: Gerador síncrono com rotor bobinado.

Figura 2.9: Conceitos de aerogeradores (modificado de Ackermann (2005)). 18

A seguir serão apresentados maiores detalhes em relação as 4 conceitos de aerogeradores. Todas as informações utilizadas foram retiradas de Ackermann (2005).

2.5.1 Tipo A: Velocidade Fixa

Esta configuração utiliza um gerador de indução tipo gaiola de esquilo, ligado diretamente à rede através de um transformador. Este modelo também utiliza um banco de capacitores para compensação de energia reativa. A conexão mais suave com a rede é obtida utilizando um soft-starter.

2.5.2 Tipo B: Velocidade Variável Limitada

Esta configuração foi usado pela fabricante dinamarquesa Vestas nos meados dos anos 1990. O Tipo B, assim como o Tipo A, utiliza um banco de capacitores e um soft-starter.

Uma característica deste conceito é que ele tem uma resistência variável adicional do ro-tor, o qual pode ser alterado por um conversor opticamente controlado montado no eixo do rotor. Este acoplamento óptico elimina a necessidade de anéis deslizantes caros que necessitam de ma-nutenção. A faixa de controle dinâmico da velocidade é normalmente 0-10% acima da velocidade síncrona do rotor.

2.5.3 Tipo C: Velocidade Variável com Conversor de Frequência de Escala Parcial

Este conceito utiliza um gerador de indução duplamente alimentado, um controle de passo para limitação de potência e um conversor de frequência de escala parcial (cerca de 30% da po-tência nominal do rotor) no circuito do rotor. O conversor de frequência de escala parcial realiza a compensação de energia reativa e a conecta à rede mais suavemente.

Seu conversor de frequência menor faz com que este conceito seja atraente do ponto de vista econômico. Suas principais desvantagens são: o uso de anéis coletores e proteção no caso de falhas na rede.

2.5.4 Tipo D: Velocidade Variável com Conversor de Frequência de Escala Plena

Esta configuração corresponde ao aerogerador com velocidade totalmente variável, conectado à rede através de um conversor de frequência de escala plena. O conversor de frequência compensa a energia reativa e gera uma conexão mais suave com a rede. Este modelo também utiliza um controle de passo para limitação de potência.

Normalmente turbinas eólicas que utilizam este conceito não possuem a caixa de engrena-gens, então um gerador multipolos com um grande diâmetro é utilizado neste caso.

3

Revisão Bibliográfica

Existe uma vasta literatura a respeito de questões relacionadas a aerogerador, que envolvem os aspectos da aerodinâmica das pás e da interferência de uma turbina sobre as outras em um parque eólico, dos impactos ambientais, dos processos produtivos, dos sistemas de controle, entre outros. Neste capítulo são discutidos apenas os trabalhos relacionados ao tema desta dissertação que é o estudo do comportamento vibratório torcional de aerogeradores, focando nos diversos modelos dinâmicos propostos para o aerogerador e para os engrenamentos, bem como nas cargas dinâmicas a que este sistema está submetido. Os trabalhos estão apresentados em ordem de importância para o desenvolvimento desta dissertação.

Todorov e outros (2009) elaboraram um modelo dinâmico de múltiplos corpos puramente torcional de um trem de potência de uma turbina eólica horizontal. O modelo possui um rotor, um engrenamento planetário, dois pares de engrenamentos paralelos e um gerador. São considerados 10 corpos e 8 graus de liberdade. Neste trabalho são calculadas as frequências naturais, os modos de vibrar e as oscilações temporais dos deslocamentos torcionais do sistema. Os autores concluíram que existem uma ampla gama de cargas dinâmicas dentro da caixa de engrenagens e sugerem como futuros trabalhos a inclusão dos efeitos de flexibilidade dos mancais de rolamento da caixa de engrenagens.

Todorov e outros (2012) compararam um modelo dinâmico de múltiplos corpos sem danos a um modelo com dano nos engrenamentos (dentes trincados). As trincas nos dentes das engrenagens têm efeito sobre as rigidezes na malha do engrenamento. As oscilações temporais dos deslocamen-tos torcionais são apresentadas. Os autores concluíram que os dentes trincados geram um efeito de redução da amplitude da rigidez da malha do engrenamento e geram impulsos de excitação sobre o sistema.

Shi e outros (2013) geraram um modelo matemático puramente torcional de um trem de po-tência de um aerogerador utilizando o método de Lagrange. O modelo consiste em um rotor, um gerador e uma caixa de engrenagens, que por sua vez possui um planetário com três planetas e dois pares de engrenagens paralelas. Foi utilizado uma série de Fourier para simular o efeito da rigidez variante nas engrenagens de dentes retos. Os autores mostraram que existem frequências harmôni-cas da frequência de engrenamento bem como frequências em bandas laterais às harmôniharmôni-cas.

Ahmed (2013) compara três modelagens dinâmicas de trens de potência de turbinas eólicas. Um modelo de duas massas - em que a primeira massa se refere ao rotor e a segunda massa re-presenta a caixa de engrenagens e o gerador - foi comparada com um modelo de três massas, em que a caixa de engrenagens e o gerador possuem um grau de liberdade cada. Além disso, é apre-sentado um modelo de apenas um grau de liberdade para todo o conjunto. O autor conclui que as principais diferenças entre os modelos adotados foram sobre o impacto das rigidezes dos eixos e o amortecimento nas pás do aerogerador.

Oyague (2008) elaborou modelos numéricos de trens de potência de aerogeradores. O autor tem como objetivo o estudo de forças internas inerentes ao comportamento dinâmico do trem de potência. O primeiro modelo puramente torcional possui dois graus de liberdade, sendo estes o gerador e o rotor. O segundo modelo possui a caixa de engrenagens, porém não são consideradas as deformações entre os dentes das engrenagens, que por sua vez são implementadas no terceiro modelo. O quarto modelo considera quatro graus de liberdade para cada corpo, sendo estes o de rotação e três de translação. Finalmente, é apresentado um modelo de elementos finitos. O autor conclui que, embora um modelo de múltiplos corpos detalhado seja capaz de simular o compor-tamento dinâmico do sistema, um modelo de elementos finitos pode revelar em mais detalhes o comportamento mecânico dos componentes internos, tais como distribuição de carga e caracterís-ticas de flexão dos dentes.

Guo e outros (2014) realizaram um estudo do comportamento dinâmico do engrenamento planetário sob o efeito da gravidade, também levando em consideração o efeito de flutuação das rigidezes entre os dentes do engrenamento, folga nos mancais e contato não linear entre os dentes. Para tanto, foi utilizado um método de balanço harmônico modificado, incluindo excitações simul-tâneas. As respostas temporais dinâmicas calculadas são comparadas com respostas experimentais. Os autores destacam a importância de se considerar a gravidade como fonte de excitação do sis-tema. Os autores concluíram que a folga nos mancais de rolamento de rolo reduz as frequências de ressonância dos modos de translação do braço do planetário, que são as frequências naturais mais baixas do sistema examinado. Concluem também que a inclusão do efeito da gravidade sobre o planetário causa separação dos dentes do engrenamento nos modos de rotação e translação.

Feng e Liang (2014) apresentaram um método (kernel adaptativo) de análise tempo-frequência para revelar os componentes de tempo-frequência constitutivos de sinais não estacionários e suas características que variam no tempo, para monitoramento de um engrenamento planetário de um aerogerador. Neste estudo, o método foi aplicado para identificar as frequências

cas das falhas no engrenamento. É concluído que o método é eficaz no diagnóstico de um único dente lascado e desgaste de todos os dentes, tanto para engrenagem sol quanto para as engrena-gens planetas, mesmo quando esta falha possui uma assinatura fraca, como por exemplo falhas nas engrenagens de baixa velocidade de rotação.

Scott e outros (2012) realizaram uma investigação sobre os efeitos dos eventos transientes em trens de potência de aerogeradores. Para a modelagem foram utilizados os programas comerciais GH Bladed para simular as cargas sobre a turbina, e o RomaxWIND para encontrar os efeitos dessas cargas sobre os mancais de rolamento do trem de potência. Foram simulados os casos de paradas normais e paradas forçadas devido a problemas na rede. Foi observado que as paradas forçadas são três vezes mais prejudiciais aos mancais de rolamento em relação às paradas normais.

Girsang e outros (2014) demostram um modelo de um trem de potência de uma turbina eólica em MATLAB/Simulink integrado ao FAST CAE (software desenvolvido pelo National Renewable Energy Laboratory), em que um modelo de gerador elétrico é acoplado ao modelo dinâmico do sistema. Foi calculada a resposta transiente causada pela excitação do vento. Para tanto, foi consi-derada uma velocidade constante do vento de 9 m/s e uma velocidade inicial da turbina em 22,1 RPM. Outra resposta transiente, em que a excitação é proveniente da rede elétrica, também foi cal-culada. Foi simulada uma queda na voltagem por 0,15 segundos, de 100% para 90% e voltando a 100% da voltagem nominal do rotor. Foi demostrado que esta queda de tensão resulta em excitações harmônicas para o trem de potência com frequências de 50,78 e 56,15 Hz.

Wang e outros (2009) elaboraram uma modelagem de múltiplos corpos rígido-flexível para o estudo dinâmico de uma turbina eólica de eixo horizontal. Foram utilizados elementos finitos para modelar as pás do aerogerador. Foi considerada a variação temporal do número de dentes em con-tato para cada engrenagem. Os acoplamentos entre diferentes subsistemas foram realizados através de equações de restrição. Foram analisados alguns modos de vibrar, referentes a algumas frequên-cias naturais. As forças entre os dentes das engrenagens foram analisadas para uma simulação de velocidade de vento constante. Os autores enfatizam que as forças de contato entre os dentes do anel e planeta são muito similares às forças de contato entre os dentes do sol e planeta. Os autores concluíram que o efeito da deformação dos rolamentos é muito importante no estudo da dinâmica do sistema, principalmente para o estudo da translação das engrenagens.

Heege e outros (2007) e Heege e outros (2006) elaboraram um modelo acoplando elementos finitos e dinâmica de múltiplos corpos para estudar fadiga nos componentes da caixa de

engrena-gem. O modelo é gerado em SAMCEF, software desenvolvido pela empresa Samtech, fundada em 1986 a partir do Laboratório Aeroespacial da Universidade de Liège, Bélgica. Os autores concluí-ram que análises em relação a caixa de engrenagens devem ser realizadas levando-se em consi-deração outros aspectos do aerogerador, isto para que não hajam erros nas contagens dos ciclos e que as forças internas não sejam subestimadas. Modos de flexão nos eixos devem ser levados em consideração para uma análise de fadiga do sistema.

Heege e outros (2009), com o intuito de reproduzirem dados medidos experimentalmente, elaboram um modelo gerado em SAMCEF. O modelo leva em consideração o desalinhamento do trem de potência e erros de passo das lâminas. A partir dos dados medidos, os autores concluíram que excitações provenientes da falha no passo de uma lâmina, rotor desbalanceado e trem de po-tência desalinhado, possuem uma frequência de uma vez a rotação do rotor, enquanto a excitação devido ao fenômeno de "tower shadow"possui uma frequência de três vezes a rotação do rotor. É mostrado que o efeito da falha da angulação de uma única hélice sobre as órbitas do trem de po-tência é menor do que o efeito do desalinhamento do sistema sobre as órbitas. Os dados medidos e simulados foram comparados para uma situação de parada de emergência e os resultados foram satisfatórios.

4

Desenvolvimento Teórico

Este capítulo apresenta todo o desenvolvimento teórico que serviu de base para a implemen-tação dos programas usados nas simulações cujos resultados serão discutidos no Capítulo 5.

Inicia-se com a apresentação do torque mecânico fornecido à turbina pelo vento. Na sequên-cia, discute-se as relações cinemáticas e cinéticas de engrenamentos simples - com e sem defor-mação nos dentes - e apresenta-se a formulação e as curvas características da rigidez variante em engrenamentos helicoidais. Finalmente, deduz-se as equações de movimento do aerogerador, considerando-o como um sistema linear de 8 (oito) graus de liberdade, que é variante com o tempo, caso haja no sistema engrenamentos helicoidais.

4.1 Cargas do Vento

A potência do vento que flui a um velocidade 𝑣 através de uma área 𝐴 é dada por (HANSEN, 2008) (GASCH E TWELE, 2002):

𝑃𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 = ˙𝐸 = 1 2· ˙𝑚 · 𝑣 2 0 = 1 2 · 𝜌 · 𝐴 · 𝑣 3 0 (4.1)

sendo 𝑃𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜a potência disponível no vento; ˙𝐸 a derivada em relação ao tempo da energia cinética

do vento passando pela área 𝐴, ˙𝑚 a taxa de variação da massa; 𝑣0 a velocidade do vento, 𝜌 a

densidade do ar e 𝐴 a área circular de raio igual ao comprimento das pás.

A Equação 4.1 mostra que a potência presente no vento aumenta com o cubo da velocidade do vento e linearmente com o aumento da área e da densidade do ar. Assim, fica claro que a escolha de um local com ventos mais fortes deve ser o primeiro critério para a instalação de uma turbina eólica.

A potência do vento é convertida em potência no rotor da turbina por meio da desaceleração do fluxo de massa de ar que passa pelas pás. Evidentemente, esta potência disponível no vento não pode ser totalmente convertida em potência mecânica, pois isto exigiria que a velocidade do vento

após as pás fosse nula (HANSEN, 2008).

Para abordar esta questão, define-se o coeficiente de potência (𝐶𝑝) como sendo a razão entre

a real potência mecânica transferida para a turbina e a máxima potência disponível no vento. Desta forma, a expressão da potência mecânica 𝑃𝑚 pode ser dada por:

𝑃𝑚 =

1

2· 𝜌 · 𝐴 · 𝑣

3

0 · 𝐶𝑝 (4.2)

Teoricamente, o maior valor de (𝐶𝑝) que pode ser obtido - conhecido como limite Betz - é

𝐶𝑝𝑚𝑥 = 0,593. Turbina eólicas modernas, que utilizam a força de sustentação para movimentação

do rotor (AEH), podem operar com um 𝐶𝑝 acima de 0,5. Aerogeradores que utilizam a força de

arrasto para o funcionamento (AEV), operam com um 𝐶𝑝menor que 0,2 (HANSEN, 2008) (GASCH

E TWELE, 2002).

Ackermann (2005) apresenta uma expressão empírica para obtenção do coeficiente de potên-cia que foi desenvolvida baseado em dados experimentais fornecidos por fabricantes de turbinas eólicas. Para o caso de AEH operando em rotação constante ou variável, a expressão geral de 𝐶𝑝é

dada pela Equação 4.3:

𝐶𝑝(𝜆,𝛽ℎ) = 𝑐1· (︂ 𝑐2 𝜆𝑖 − 𝑐3· 𝛽ℎ− 𝑐4· 𝛽_ℎ𝑐5 − 𝑐6 )︂ · 𝑒𝑥𝑝(︂ −𝑐7 𝜆𝑖 )︂ (4.3) sendo 𝜆𝑖 = [︂ 1 𝜆 + 𝑐8 · 𝛽ℎ − 𝑐9 𝛽3 ℎ+ 1 ]︂−1 (4.4)

Nas Equações 4.3 e 4.4 tem-se que:

∙ 𝜆 = 𝜔𝑚· 𝑅/𝑉0é relação entre as velocidades de translação da extremidade da pá do rotor e

a do vento no cubo da turbina.

∙ 𝑅 é o raio da turbina do aerogerador [𝑚]. ∙ 𝜔𝑚 é a velocidade angular do rotor [𝑟𝑎𝑑/𝑠].

∙ 𝛽ℎ é o ângulo de passo das hélices da turbina [𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠].

∙ 𝑐1 a 𝑐9 são os coeficientes para aproximação das curvas do 𝐶𝑝 obtidas por Slootweg (2003)

para turbinas modernas. Os valores de 𝑐1 a 𝑐9estão demonstrados na Tabela 4.1.

Tabela 4.1: Coeficientes para a aproximação das curvas do 𝐶𝑝. Modificado de (SALLES, 2009).

As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam os gráficos da potência mecânica 𝑃𝑚 em função da

velo-cidade de rotação da turbina para diversos valores de velovelo-cidades de vento e do coeficiente de potência 𝐶𝑝 em função da razão de velocidades 𝜆 para diversos passos das pás da turbina,

respecti-vamente. Os dados utilizados são correspondentes as características do aerogerador analisado neste trabalho.

Figura 4.1: Potência mecânica em função da velocidade de rotação da turbina para diversas veloci-dades de vento.

Figura 4.2: Coeficiente de potência em função da razão de velocidades 𝜆 para diversos passos das pás da turbina.

O dado de entrada para as simulações que serão apresentadas no Capítulo 5 é o torque aerodi-nâmico aplicado pelo vento no rotor da turbina, que pode ser definido como (ACKERMANN, 2005):

𝑇𝑚 =

𝑃𝑚

𝜔𝑚

(4.5)

A Figura 4.3 ilustra o torque mecânico em função da velocidade de rotação da turbina para diversas velocidades de vento.

4.2 Modelagem de Engrenamentos

Nesta seção apresenta-se as equações de movimento de um engrenamento simples composto por duas engrenagens, sendo que em um dos casos considera-se o engrenamento como sendo ape-nas uma relação de transmissão enquanto no outro leva-se em conta a deformação dos dentes. Em nenhum dos casos considera-se a folga entre o dentes das engrenagens uma vez que esta análise está fora do escopo desta dissertação.

Figura 4.3: Torque mecânico em função da velocidade de rotação da turbina para diversas veloci-dades de vento.

4.2.1 Engrenamento Sem Deformação

A modelagem mais simples de um engrenamento ocorre com a desconsideração da deforma-ção dos dentes das engrenagens. Neste caso, duas engrenagens em contato podem ser consideradas como sendo um sistema de apenas um grau de liberdade.

Considere os sistema ilustrado na Figura 4.4. Nesta figura, os pontos 𝐴′ e 𝐴 pertencem às engrenagens de raio 𝑟1 e 𝑟2, respectivamente, e são coincidentes no instante considerado. Como,

neste caso, não há movimento relativo tangencial entre as engrenagens pode-se dizer que os deslo-camentos, velocidade e aceleração tangencial de 𝐴′e 𝐴 são iguais. Assim, conclui-se que:

𝑟1· 𝜃1 = 𝑟2· 𝜃2 ; 𝑟1· ˙𝜃1 = 𝑟2· ˙𝜃2 ; 𝑟1· ¨𝜃1 = 𝑟2· ¨𝜃2 (4.6)

Os diagramas de corpo livre (desconsiderando os vínculos do eixo de rotação de cada engre-nagem) de cada um dos corpos da Figura 4.4 são apresentados na Figura 4.5.

Figura 4.4: Engrenamento sem deformação.

Figura 4.5: Diagramas de corpo livre dos corpos do engrenamento sem deformação.

𝐼1· ¨𝜃1 = −𝐹 · 𝑟1 (4.7)

e

𝐼2· ¨𝜃2 = 𝐹 · 𝑟2 (4.8)

Isolando-se o valor de 𝐹 na Equação 4.7 e de ¨𝜃1 na Equação 4.6 e, finalmente, substituindo

estes resultado na Equação 4.8, obtém-se a seguinte expressão para a equação de movimento do sistema: (𝐼1· 𝑟2₂ 𝑟2 1 + 𝐼2) ¨𝜃2 = 0 (4.9) 30

4.2.2 Engrenamento Com Deformação

Para que o efeito da deformação no engrenamento seja considerado, acrescenta-se uma rigi-dez entre os contatos das engrenagens (Figura 4.6). Neste caso, as relações cinemáticas representa-das pelas Equações 4.6 não são mais válirepresenta-das, e o sistema passa a ter dois graus de liberdade.

Figura 4.6: Engrenamento com deformação).

Os diagramas de corpo livre (ainda desconsiderando os vínculos do eixo de rotação de cada engrenagem) de cada um dos corpos da Figura 4.6 são apresentados na Figura 4.7.

Figura 4.7: Diagramas de corpo livre dos corpos do engrenamento com deformação.

Considerando que 𝜃1 > 𝜃2, pode-se escrever a expressão da força 𝐹 conforme a Equação

4.10:

𝐹 = 𝐾 · (𝑟1· 𝜃1− 𝑟2 · 𝜃2) (4.10)

Novamente, aplicando-se a equação de Euler para ambos os corpos do sistema, obtém-se as seguintes equações de movimento:

𝐼1· ¨𝜃1 = −𝑟1· 𝐾 · (𝑟1· 𝜃1− 𝑟2· 𝜃2) (4.11)

e

𝐼2· ¨𝜃2 = 𝑟2· 𝐾 · (𝑟1· 𝜃1− 𝑟2· 𝜃2) (4.12)

Rearranjando estas equações e escrevendo o resultado na forma matricial, tem-se que:

[︃ 𝐼1 0 0 𝐼2 ]︃ · {︃ ¨ 𝜃1 ¨ 𝜃2 }︃ + [︃ 𝐾 · 𝑟2 1 −𝐾 · 𝑟1· 𝑟2 −𝐾 · 𝑟1· 𝑟2 𝐾 · 𝑟22 ]︃ · {︃ 𝜃1 𝜃2 }︃ = {︃ 0 0 }︃ (4.13)

4.2.3 Rigidez Variante no Tempo Para Engrenamentos Helicoidais

Diversos aerogeradores utilizam engrenagens helicoidais para compor a caixa de engrena-gens (Figura 4.8). Neste trabalho, serão consideradas engrenaengrena-gens helicoidais em dois pares de engrenagens paralelas, sendo o planetário composto por relações de transmissão com rigidezes de contato invariantes.

Figura 4.8: Pares de engrenagens helicoidais de um aerogerador (BREVINI, 2015).

Diferentemente das engrenagens de dentes retos, o encaixe entre os dentes helicoidais é feito 32

de forma progressiva, percorrendo a linha de contato representada na Figura 4.9.

Figura 4.9: Representação do plano de ação entre engrenagens helicoidais ((CAI, 1995), modificado por Miyasato (2011)).

Nesta figura, tem-se que 𝜀 é a razão de contato, 𝜀𝛼 e 𝜀𝛽, as razões de contato transversal e

axial respectivamente, 𝛽, o ângulo de hélice dos dentes da engrenagem, 𝑋, a coordenada da linha de ação equivalente do par de engrenagens helicoidais e 𝑋𝑧 é o passo de base transversal. 𝐴, 𝐵,

𝐶, 𝐷 e 𝐸 são posições na linha de contato no plano de ação e 𝐴′, 𝐵′e 𝐶′são posições na linha de ação equivalente.

Umezawa e outros (1986), Cai (1995) e Miyasato (2011) fornecem equações para a mo-delagem do efeito de rigidez variante em engrenagens helicoidais. Para tanto, seguem algumas relações geométricas referentes ao engrenamento helicoidal fornecidas por (MAITRA, 1994) apud

(MIYASATO, 2011)):

𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡· 𝑐𝑜𝑠𝛽 (4.14)

sendo 𝛼 o ângulo de pressão (normalmente 𝛼 = 20𝑜) e 𝛼𝑡o ângulo de pressão transversal,

𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑚𝑛 𝑚𝑡

𝑚𝑡e 𝑚𝑛os módulos transversal e normal, respectivamente. O passo 𝑝𝑛e o passo transversal 𝑝𝑡são

dados por:

𝑝𝑛 = 𝜋 · 𝑚𝑛 (4.16)

𝑝𝑡= 𝜋 · 𝑚𝑡 (4.17)

e o passo de base transversal 𝑋𝑧 pela Equação 4.18:

𝑋𝑧 = 𝑝𝑡· 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑡 (4.18)

As razões de contato 𝜀, 𝜀𝛼 e 𝜀𝛽 mantêm a relação dada pelas Equações 4.19 e 4.20:

𝜀 = 𝜀𝛼+ 𝜀𝛽 (4.19) e 𝜀𝛽 = 𝜔𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑝𝑡 (4.20)

sendo 𝜔 a largura dos dentes da engrenagem. E ainda:

𝜀𝛼 = √︀𝑟2 𝑎1− 𝑟𝑏12 +√︀𝑟𝑎22 − 𝑟2𝑏2− 𝑎 · 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑡 𝑋𝑧 (4.21) 𝑎 = 𝑑1+ 𝑑2 2 (4.22) 34

𝑚𝑛 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑑1 𝑧1 = 𝑑2 𝑧2 (4.23) 𝑑𝑎 = 𝑑 + 2 · 𝑚𝑛 (4.24) 𝑑𝑏 = 𝑑 · 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑡 (4.25)

sendo 𝑑1 e 𝑑2 e 𝑧1 e 𝑧2 os diâmetros primitivos e os números de dentes do pinhão e da coroa, 𝑎 a

distância entre os centros das engrenagens e 𝑑𝑎e 𝑑𝑏os diâmetros externo e de base, respectivamente.

Umezawa e outros (1986) definem 𝐶𝑎como um coeficiente que modela a função da rigidez

variável e 𝐾𝑚𝑥como sendo a rigidez máxima entre os dentes. O coeficiente 𝐶𝑎e a rigidez 𝐾𝑚𝑥são

dados pelas Equações 4.26, 4.27 e 4.28:

𝐶𝑎 = 0,322 · (𝛽 − 5) + (︁ 0,23 ·(︁𝜔 ℎ )︁ − 23,26)︁, (4.26) ℎ = 2,25 · 𝑚𝑛 (4.27) e 𝐾𝑚𝑎𝑥= [︁(︁ −0,166 ·(︁𝜔 ℎ )︁ + 0,08)︁· (𝛽 − 5) + 44,5]︁·(︁𝜔 ℎ )︁ · 𝑚𝑛, (4.28)

sendo que ℎ é a altura do dente do engrenamento.

As Figuras 4.10 e 4.11 apresentam a variação do coeficiente 𝐶𝑎 e de 𝐾𝑚𝑎𝑥 em função do

Figura 4.10: Gráfico do 𝐶𝑎 em relação ao ângulo 𝛽 com três relações de 𝜔 e ℎ diferentes (gerado

com dados de Umezawa e outros (1986)).

Figura 4.11: Gráfico do 𝐾𝑚𝑎𝑥em relação ao ângulo 𝛽 com três relações de 𝜔 e ℎ diferentes (gerado

com dados de Umezawa e outros (1986)).

Brancati e outros (2005) fornecem a equação da rigidez 𝐾 variando com a posição do engre-namento:

𝐾𝑖(𝑋) = 𝐾𝑚𝑎𝑥· 𝑒𝑥𝑝 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝐶𝑎 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑋 −𝜀 · 𝑋𝑧 2 1,125 · 𝜀𝛼· 𝑋𝑧 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 3⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (4.29) sendo 𝑋 = [0 𝑎 𝜀] · 𝑋𝑧.

A Figura 4.12 demonstra a contribuição de um par de dentes do engrenamento helicoidal. No inicio do engrenamento há contanto entre o topo de um dente com a base de outro dente. No pitch pointhá contato entre os meios dos dentes, sendo este o ponto de maior rigidez. E no fim do engrenamento há contato da base de um dente com o topo de outro dente.

Figura 4.12: Gráfico da contribuição de um par de dentes (gerado com dados de (CAI, 1995)).

Brancati e outros (2005) fornecem um modo para realizar a somatória da contribuição de cada par de dentes para se obter a rigidez total ao longo de 𝑋. Esta expressão é dada na Equação 4.30: 𝐾(𝑋)𝑇 𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁 −1 ∑︁ 𝑖=0 𝐾[(𝑁 − 1 − 𝑖) · 𝑋𝑧 + 𝑚𝑜𝑑(𝑋,𝑋𝑧)] (4.30) sendo 𝑁 = 𝑐𝑒𝑖𝑙(𝜀).

As Figuras 4.13 e 4.14 representam a somatória do 𝐾𝑖 ao longo de 𝑋. A Figura 4.13 repre-senta um sistema em que o 𝜀 é menor que 2, já a Figura 4.14 reprerepre-senta um sistema em que o 𝜀 é maior que 2.

Figura 4.13: Gráfico da somatória dos 𝐾𝑖 com 𝜀 < 2 (gerado com dados de (CAI, 1995)).

Figura 4.14: Gráfico da somatória dos 𝐾𝑖 com o 𝜀 > 2 (gerado com dados de (CAI, 1995)). 38