semana1Ana

Elementos de l´ogica e linguagem matem´atica Aula 1_{Aula 2}

Elementos de l´

ogica e linguagem matem´

atica

Ana Carolina Boero

E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br

P´_{agina: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero} Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo Andr´e

Aula 2

Linguagem matem´

atica

Alinguagem matem´atica´e composta de s´ımbolos que denotamrela¸c˜oes,

opera¸c˜oes,constantesevari´aveis, al´em domodificador l´ogico

¬ (“n˜ao”)

dosconectivos l´ogicos

∧ (“e”)

∨ (“ou”)

→ (“se ... ent˜ao”)

↔ (“se e somente se”) e dosquantificadores

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Linguagem matem´

atica

Quando relacionamos vari´aveis, constantes e (repetidas) opera¸c˜oes envolvendo constantes e vari´aveis, produzimos as mais simples senten¸cas matem´aticas. Exemplos: (a) 1 = 0; (b) x ∈ A; (c) 0 < y ; (d) z2_{+ 3z + 2 = 0.}

Aula 2

Linguagem matem´

atica

O modificador l´ogico, os conectivos l´ogicos e os quantificadores s˜ao usados para produzir novas senten¸cas matem´aticas a partir de senten¸cas matem´aticas j´a existentes.

Exemplos:

(a) se 1 6= 0 ent˜ao 2 6= 1;

(b) 0 < y < 1;

(c) z2_{+ 3z + 2 = 0 se, e somente se, z = 1 ou z = 2;}

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Modificador ¬

Dada uma senten¸ca matem´atica p, podemos construir uma outra senten¸ca matem´atica denominada anega¸c˜aode p, a qual ser´a denotada por¬p(leia“n˜ao p”).

Exemplo:

p: 12 + 12 = 0

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Modificador ¬

Crit´erio que estabelece ovalor-verdadede ¬pcom base no dep:

• ¬p ser´a falsa quandopfor verdadeira;

• ¬p ser´a verdadeira quando pfor falsa.

p ¬p V F F V

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Modificador ¬

Crit´erio que estabelece ovalor-verdadede ¬pcom base no dep:

• ¬p ser´a falsa quandopfor verdadeira;

• ¬p ser´a verdadeira quando pfor falsa.

Tabela-verdade de ¬p

p ¬p V F F V

Aula 2

Observa¸c˜

ao

As no¸c˜oes de veracidade e falsidade n˜ao s˜ao absolutas!!! Elas est˜ao sempre vinculadas a um contexto fixado.

Exemplo:

• no contexto de n´umeros inteiros, “12 + 12 = 0” ´e falsa;

• no de um rel´ogio que marca vinte e quatro horas, “12 + 12 = 0” ´e verdadeira.

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Conectivo ∧

Dadas duas senten¸cas matem´aticas p e q, podemos construir uma outra senten¸ca matem´atica denominada aconjun¸c˜aode p e q, a qual ser´a denotada porp ∧ q(leia“p e q”).

Exemplo:

p: 1 6= 0

q: qualquer n´umero real x satisfaz x2_{≥ 0}

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Conectivo ∧

Crit´erio que estabelece o valor-verdade dep ∧ qcom base nos dep eq:

• p ∧ q ser´a verdadeira quando peq forem verdadeiras;

• em qualquer outro caso, p ∧ qser´a falsa.

Tabela-verdade de p ∧ q p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

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Conectivo ∨

Dadas duas senten¸cas matem´aticas p e q, podemos construir uma outra senten¸ca matem´atica denominada adisjun¸c˜aode p e q, a qual ser´a denotada porp ∨ q(leia“p ou q”).

Exemplo:

p: 1 6= 0

q: qualquer n´umero real x satisfaz x2_{≥ 0}

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Conectivo ∨

Crit´erio que estabelece o valor-verdade dep ∨ qcom base nos dep eq:

• p ∨ q ser´a falsa quandopeqforem falsas;

• em qualquer outro caso, p ∨ qser´a verdadeira.

Tabela-verdade de p ∨ q p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

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Conectivo →

Dadas duas senten¸cas matem´aticas p e q, podemos construir uma outra senten¸ca matem´atica denominada ocondicional comantecedentep e

consequenteq, a qual ser´a denotada porp → q (leia“se p ent˜ao q”).

Exemplo:

p: √2 ´e um n´umero inteiro

q: 2 ´e um n´umero inteiro

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Conectivo →

Crit´erio que estabelece o valor-verdade dep → q com base nos depeq:

• p → q ser´a falsa quandopfor verdadeira eqfor falsa;

• em qualquer outro caso, p → qser´a verdadeira.

Tabela-verdade de p → q p q p → q V V V V F F F V V F F V

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Justificativa da tabela-verdade de p → q

Pense em p → q como “se p acontecer,eu prometo queq acontecer´a”.

• p → q ser´a falsa quando a promessa for descumprida;

• p → q ser´a verdadeira quando a promessa n˜ao for descumprida.

Por exemplo, considere a seguinte promessa: “se eu for aprovada no vestibular, subirei de joelhos a escadaria da Igreja da Penha”. Quando ela ´e descumprida?

Somente no caso de o antecedente ser verdadeiro (isto ´e, de eu ser aprovada no vestibular) e o consequente ser falso (eu n˜ao subir de joelhos a escadaria da Igreja da Penha).

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Justificativa da tabela-verdade de p → q

Pense em p → q como “se p acontecer,eu prometo queq acontecer´a”.

• p → q ser´a falsa quando a promessa for descumprida;

• p → q ser´a verdadeira quando a promessa n˜ao for descumprida.

Por exemplo, considere a seguinte promessa: “se eu for aprovada no vestibular, subirei de joelhos a escadaria da Igreja da Penha”. Quando ela ´e descumprida? Somente no caso de o antecedente ser verdadeiro (isto ´e, de eu ser aprovada no vestibular) e o consequente ser falso (eu n˜ao subir de joelhos a escadaria da Igreja da Penha).

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Contrapositiva, rec´ıproca e inversa

Sejam p e q duas senten¸cas matem´aticas.

• Acontrapositiva de p → q ´e a senten¸ca matem´atica(¬q) → (¬p).

• Arec´ıprocade p → q ´e a senten¸ca matem´aticaq → p.

• Ainversade p → q ´e a senten¸ca matem´atica(¬ p) → (¬q).

Exemplo:

se√2 ´e inteiro, ent˜ao 2 ´e inteiro

contapositiva: se 2 n˜ao ´e inteiro, ent˜ao√2 n˜ao ´e inteiro

rec´ıproca: se 2 ´e inteiro, ent˜ao√2 ´e inteiro

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Contrapositiva, rec´ıproca e inversa

Observa¸c˜oes:

• p → q ´e verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ´e verdadeira;

p q p → q ¬p ¬q (¬q) → (¬p)

V V V F F V

V F F F V F

F V V V F V

F F V V V V

• os valores-verdade de p → q e de sua rec´ıproca podem ser diferentes;

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Conectivo ↔

Dadas duas senten¸cas matem´aticas p e q, podemos construir uma outra senten¸ca matem´atica denominada obicondicionalcom componentes p e q, a qual ser´a denotada porp ↔ q (leia“p se e somente se q”).

Exemplo:

p: 0 < 1

q: 1 < 2

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Conectivo ↔

Crit´erio que estabelece o valor-verdade dep ↔ q com base nos depeq:

• p ↔ q ser´a verdadeira quando ambas as senten¸caspeqforem verdadeiras ou quando ambas as senten¸caspeq forem falsas;

• em qualquer outro caso, p ↔ qser´a falsa.

Tabela-verdade da senten¸ca p ↔ q p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

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Quantificador existencial

Oquantificador existencial´e indicado pelo s´ımbolo∃(leia“existe”).

Exemplo:

p(x ): x2_{= 2}

∃xp(x): existe x tal que x2_{= 2}

Nota: senten¸cas matem´aticas comox2_{= 2s˜ao chamadas deproposi¸c˜oes}

abertase denotadas por p(x ).

Observa¸c˜oes:

• ∃ deve ser pensado como “existe pelo menos um”;

Aula 2

Quantificador existencial

Oquantificador existencial´e indicado pelo s´ımbolo∃(leia“existe”).

Exemplo:

p(x ): x2_{= 2}

∃xp(x): existe x tal que x2_{= 2}

Nota: senten¸cas matem´aticas comox2_{= 2s˜ao chamadas deproposi¸c˜oes}

abertase denotadas por p(x ).

Observa¸c˜oes:

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Quantificador universal

Oquantificador universal´e indicado pelo s´ımbolo∀ (leia“qualquer que

seja”,“para todo”,“para cada”, “todo”,“cada”).

Exemplo:

p(x ): x2≥ 0

∀xp(x): para todo x vale que x2_{≥ 0}

para cada x vale que x2_{≥ 0}

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Senten¸cas matem´

aticas particulares e universais

• Uma senten¸ca matem´atica da forma ∃xp(x ) ´e ditaparticular.

• Uma senten¸ca matem´atica da forma ∀xp(x ) ´e ditauniversal.

Exemplos:

(a) a senten¸ca matem´atica ∃x (x2_{= 2) ´e particular;}

(b) a senten¸ca matem´atica ∀x (x2≥ 0) ´e universal;

(c) a senten¸ca matem´atica ∀x ∃y (x = y2_{) ´e universal;}

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Vari´

aveis livres

Material adicional

Sejam x uma vari´avel e p uma senten¸ca matem´atica na qual x ocorre.

Uma ocorrˆencia de x em p ´e denominadalivrese n˜ao h´a quantificadores agindo sobre ela. Dizemos que x ocorre livreem p se existe uma ocorrˆencia livre de x em p.

Exemplos:

(a) x ocorre livre em x = 0;

(b) x e y ocorrem livres em x < y ;

(c) y ocorre livre em ∃x (x ≤ y ), mas x n˜ao;

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Proposi¸c˜

oes abertas

Material adicional

Sejam x uma vari´avel e p uma senten¸ca matem´atica na qual x ocorre.

Dizemos que p ´e uma proposi¸c˜ao aberta em x se

• x ocorre livre em p e

• nenhuma outra vari´avel ocorre livre em p.

Nota¸c˜ao: p(x )indicar´a que p ´e uma proposi¸c˜ao aberta em x Exemplos:

(a) x = 0 pode ser denotada por p(x );

(b) x < y n˜ao pode ser denotada por p(x ) nem por p(y );

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Outras quantifica¸c˜

oes

Material adicional

Seja p = p(x ) uma proposi¸c˜ao aberta em x , na qual n˜ao ocorrem y e z. Podemos exprimir outras quantifica¸c˜oes usando ∃ e ∀. Por exemplo:

• “existe um ´unico elemento satisfazendo p”pode ser escrita como “existe x que satisfaz p e (qualquer que seja y ) se y satisfaz p, ent˜ao y = x ”;

• “existem pelo menos dois elementos satisfazendo p” pode ser escrita como “existem x e y tais que x e y satisfazem p e x 6= y ”;

• “existem exatamente dois elementos satisfazendo p”pode ser escrita como “existem x e y tais que x e y satisfazem p, x 6= y e (qualquer que seja z) se z satisfaz p, ent˜ao z = x ou z = y ”.

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Universo de discurso

Umuniverso de discurso(oudom´ınio de discurso) ´_{e um conjunto U no}

qual interpretamos os s´ımbolos que denotam rela¸c˜oes, opera¸c˜oes, constantes e vari´aveis da linguagem matem´atica.

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Universo de discurso

Umuniverso de discurso(oudom´ınio de discurso) ´_{e um conjunto U no}

qual interpretamos os s´ımbolos que denotam rela¸c˜oes, opera¸c˜oes, constantes e vari´aveis da linguagem matem´atica.

Vocˆe se lembra do tal “contexto” na discuss˜ao do valor-verdade da senten¸ca matem´atica “12 + 12 = 0”?

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Conjunto-verdade de uma proposi¸c˜

ao aberta

Suponha fixado um universo de discurso U. Seja p(x ) uma proposi¸c˜ao aberta.

Oconjunto-verdade_{de p(x ) em U ´e formado pelos elementos a de U que}

“verificam” p(a).

Exemplos:

(a) o conjunto-verdade da proposi¸c˜ao aberta x2_{= 2 em R ´e formado} pelos n´umeros reais −√2 e√2; contudo, seu conjunto-verdade em Q ´e vazio;

(b) futuramente, mostraremos que o conjunto-verdade da proposi¸c˜ao aberta ∃y (x = y2

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Valor-verdade de uma senten¸ca particular

Suponha fixado um universo de discurso U. Seja p(x ) uma proposi¸c˜ao aberta.

A senten¸ca matem´atica particular ∃xp(x ) ser´averdadeira_{em U se o}

conjunto-verdade de p(x ) em U for n˜ao vazio; caso contr´ario, ela ser´a

falsa_{em U.}

Exemplos:

(a) a senten¸ca matem´atica particular ∃x (x2_{= 2) ´}

e verdadeira em R; contudo, ´_{e falsa em Q.}

(b) a senten¸ca matem´atica particular ∃y ∀x (x = y2_{) ´}

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Valor-verdade de uma senten¸ca universal

Suponha fixado um universo de discurso U. Seja p(x ) uma proposi¸c˜ao aberta.

A senten¸ca matem´atica universal ∀xp(x ) ser´averdadeira_{em U se o}

conjunto-verdade de p(x ) em U for o pr´oprio U; caso contr´ario, ela ser´a

falsa_{em U.}

Exemplos:

(a) a senten¸ca matem´atica universal ∀x (x2_{≥ 0) ´}

e verdadeira em R;

(b) a senten¸ca matem´atica universal ∀x ∃y (x = y2_{) ´}

e falsa em R; contudo, ´e verdadeira no conjunto dos n´umeros reais n˜ao negativos.

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Exemplos e contraexemplos

Suponha fixado um universo de discurso U. Seja p(x ) uma proposi¸c˜ao aberta.

• Um exemplo_{para p(x ) em U ´e um elemento de U que pertence ao}

conjunto-verdade da proposi¸c˜_{ao aberta p(x ) em U.}

• Um contraexemplo_{para ∀xp(x ) em U ´e um elemento de U que n˜ao}

pertence ao conjunto-verdade da proposi¸c˜_{ao aberta p(x ) em U.} Exemplos:

(a) √2 ´e um exemplo para x2

= 2 em R;

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Nega¸c˜

ao de ¬p

As senten¸cas matem´aticas¬(¬p)eps˜aoequivalentes. p ¬p ¬(¬p)

V F V

F V F

Por esta raz˜ao, negamos a senten¸ca matem´atica ¬p escrevendo a senten¸ca matem´atica p.

Exemplo:

9 e 27 n˜ao s˜ao primos entre si

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Nega¸c˜

ao de p ∧ q

As senten¸cas matem´aticas¬(p ∧ q)e(¬p) ∨ (¬q)s˜ao equivalentes. p q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ¬q (¬p) ∨ (¬q)

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

Por esta raz˜ao, negamos a senten¸ca matem´atica p ∧ q escrevendo a senten¸ca matem´atica (¬p) ∨ (¬q).

Exemplo:

n ´e divis´ıvel por 2 e 3

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Nega¸c˜

ao de p ∨ q

As senten¸cas matem´aticas¬(p ∨ q)e(¬p) ∧ (¬q)s˜ao equivalentes. p q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ¬q (¬p) ∧ (¬q)

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

Por esta raz˜ao, negamos a senten¸ca matem´atica p ∨ q escrevendo a senten¸ca matem´atica (¬p) ∧ (¬q).

Exemplo:

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Nega¸c˜

ao de p → q

As senten¸cas matem´aticas¬(p → q) ep ∧ (¬q)s˜ao equivalentes. p q p → q ¬(p → q) ¬q p ∧ (¬q)

V V V F F F

V F F V V V

F V V F F F

F F V F V F

Por esta raz˜ao, negamos a senten¸ca matem´atica p → q escrevendo a senten¸ca matem´atica p ∧ (¬q).

Exemplo:

se n2´e par ent˜ao n ´e par

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Nega¸c˜

ao de p ↔ q

As senten¸cas matem´aticasp ↔ q e(p → q) ∧ (q → p)s˜ao equivalentes.

p q p ↔ q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p)

V V V V V V

V F F F V F

F V F V F F

F F V V V V

Por esta raz˜ao, negamos a senten¸ca matem´atica p ↔ q negando a senten¸ca matem´atica (p → q) ∧ (q → p).

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Nega¸c˜

ao de ∃xp(x )

As senten¸cas matem´aticas¬∃xp(x) e∀x(¬p(x))assumem o mesmo valor-verdade em qualquer universo de discurso fixado.

Por esta raz˜ao, negamos a senten¸ca matem´atica ∃xp(x ) escrevendo a senten¸ca matem´atica ∀x (¬p(x )).

Exemplo:

existe y tal que y2_{= 2}

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Nega¸c˜

ao de ∀xp(x )

As senten¸cas matem´aticas¬∀xp(x) e∃x(¬p(x))assumem o mesmo valor-verdade em qualquer universo de discurso fixado.

Por esta raz˜ao, negamos a senten¸ca matem´atica ∀xp(x ) escrevendo a senten¸ca matem´atica ∃x (¬p(x )).

Exemplo:

para cada x , existe y tal que y2_{= x}

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Demonstra¸c˜

oes

Umademonstra¸c˜aodeve ser encarada como um conjunto organizado de

evidˆencias de que o resultado que desejamos obter est´a correto.

Em outras palavras, demonstrar uma senten¸ca matem´atica consiste basicamente em adotar certos “pressupostos” e, valendo-se de racioc´ınios “preservadores da verdade”, us´a-los para obter a conclus˜ao desejada.

Aula 2

Demonstra¸c˜

oes

Umademonstra¸c˜aodeve ser encarada como um conjunto organizado de

evidˆencias de que o resultado que desejamos obter est´a correto.

Em outras palavras, demonstrar uma senten¸ca matem´atica consiste basicamente em adotar certos “pressupostos” e, valendo-se de racioc´ınios “preservadores da verdade”, us´a-los para obter a conclus˜ao desejada.

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“Pressupostos”

Os “pressupostos” podem estar explicitamente escritos no enunciado do resultado que desejamos demonstrar ou, ainda, subentendidos.

• N˜ao escreveremos a todo momento os axiomas da teoria que estamos estudando. Eles ser˜ao automaticamente assumidos como “pressupostos”.

• Resultados demonstrados anteriormente tamb´em podem ser assumidos como “pressupostos” — a menos que haja men¸c˜ao expl´ıcita para n˜ao fazˆe-lo!

• Assumiremos, ainda, que “esquemas” de senten¸cas matem´aticas tais como [[(¬p) → q] ∧ (¬q)] → p, os quais s˜ao sempre verdadeiros independentemente dos valores-verdade das senten¸cas mais simples que neles aparecem, podem ser invocados a qualquer momento.

Aula 2

“Pressupostos”

Os “pressupostos” podem estar explicitamente escritos no enunciado do resultado que desejamos demonstrar ou, ainda, subentendidos.

• N˜ao escreveremos a todo momento os axiomas da teoria que estamos estudando. Eles ser˜ao automaticamente assumidos como “pressupostos”.

• Resultados demonstrados anteriormente tamb´em podem ser assumidos como “pressupostos” — a menos que haja men¸c˜ao expl´ıcita para n˜ao fazˆe-lo!

• Assumiremos, ainda, que “esquemas” de senten¸cas matem´aticas tais como [[(¬p) → q] ∧ (¬q)] → p, os quais s˜ao sempre verdadeiros independentemente dos valores-verdade das senten¸cas mais simples que neles aparecem, podem ser invocados a qualquer momento.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(1) Passar do geral para o particular.

• Todos os homens s˜ao mortais.

• S´ocrates ´e um homem.

• Portanto, S´ocrates ´e mortal.

• Toda fun¸c˜ao bijetora ´e invers´ıvel.

• _{f : R → R dada por f (x) = 2x + 1 ´e bijetora.}

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(1) Passar do geral para o particular.

• Todos os homens s˜ao mortais.

• S´ocrates ´e um homem.

• Portanto, S´ocrates ´e mortal.

• _{f : R → R dada por f (x) = 2x + 1 ´e bijetora.}

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(1) Passar do geral para o particular.

• Todos os homens s˜ao mortais.

• S´ocrates ´e um homem.

• Portanto, S´ocrates ´e mortal.

• Toda fun¸c˜ao bijetora ´e invers´ıvel.

• _{f : R → R dada por f (x) = 2x + 1 ´e bijetora.}

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(1) Passar do geral para o particular.

• Todos os homens s˜ao mortais.

• S´ocrates ´e um homem.

• Portanto, S´ocrates ´e mortal.

• Toda fun¸c˜ao bijetora ´e invers´ıvel.

• _{f : R → R dada por f (x) = 2x + 1 ´e bijetora.}

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(2) Passar do particular arbitr´ario para o geral.

Como provar que o quadrado detodo n´umero real n˜ao nulo ´e positivo?

• N˜ao adianta tomar um n´umero real n˜ao nulo espec´ıfico e alegar que seu quadrado ´e positivo.

Solu¸c˜ao: usar um s´ımbolo que n˜ao fa¸ca referˆencia a um n´umero espec´ıfico — x , por exemplo.

• Demonstramos que o quadradodestex ´e positivo.

• Conclu´ımos que o quadrado detodon´umero real n˜ao nulo ´e positivo. Justificativa: como x foi escolhido arbitrariamente, n˜ao corremos o risco de ter usado propriedades espec´ıficas de um particular n´umero real; portanto, os argumentos que apresentamos servem para mostrar que o quadrado dequalquer n´umero real n˜ao nulo ´e positivo.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(2) Passar do particular arbitr´ario para o geral.

Como provar que o quadrado detodo n´umero real n˜ao nulo ´e positivo?

• N˜ao adianta tomar um n´umero real n˜ao nulo espec´ıfico e alegar que seu quadrado ´e positivo.

espec´ıfico — x , por exemplo.

• Demonstramos que o quadradodestex ´e positivo.

• Conclu´ımos que o quadrado detodon´umero real n˜ao nulo ´e positivo. Justificativa: como x foi escolhido arbitrariamente, n˜ao corremos o risco de ter usado propriedades espec´ıficas de um particular n´umero real; portanto, os argumentos que apresentamos servem para mostrar que o quadrado dequalquer n´umero real n˜ao nulo ´e positivo.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(2) Passar do particular arbitr´ario para o geral.

Como provar que o quadrado detodo n´umero real n˜ao nulo ´e positivo?

• N˜ao adianta tomar um n´umero real n˜ao nulo espec´ıfico e alegar que seu quadrado ´e positivo.

Solu¸c˜ao: usar um s´ımbolo que n˜ao fa¸ca referˆencia a um n´umero espec´ıfico — x , por exemplo.

• Demonstramos que o quadradodestex ´e positivo.

• Conclu´ımos que o quadrado detodon´umero real n˜ao nulo ´e positivo. Justificativa: como x foi escolhido arbitrariamente, n˜ao corremos o risco de ter usado propriedades espec´ıficas de um particular n´umero real; portanto, os argumentos que apresentamos servem para mostrar que o quadrado dequalquer n´umero real n˜ao nulo ´e positivo.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(2) Passar do particular arbitr´ario para o geral.

Como provar que o quadrado detodo n´umero real n˜ao nulo ´e positivo?

• N˜ao adianta tomar um n´umero real n˜ao nulo espec´ıfico e alegar que seu quadrado ´e positivo.

Solu¸c˜ao: usar um s´ımbolo que n˜ao fa¸ca referˆencia a um n´umero espec´ıfico — x , por exemplo.

• Demonstramos que o quadrado destex ´e positivo.

Justificativa: como x foi escolhido arbitrariamente, n˜ao corremos o risco de ter usado propriedades espec´ıficas de um particular n´umero real; portanto, os argumentos que apresentamos servem para mostrar que o quadrado dequalquer n´umero real n˜ao nulo ´e positivo.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(2) Passar do particular arbitr´ario para o geral.

Como provar que o quadrado detodo n´umero real n˜ao nulo ´e positivo?

• N˜ao adianta tomar um n´umero real n˜ao nulo espec´ıfico e alegar que seu quadrado ´e positivo.

Solu¸c˜ao: usar um s´ımbolo que n˜ao fa¸ca referˆencia a um n´umero espec´ıfico — x , por exemplo.

• Demonstramos que o quadrado destex ´e positivo.

• Conclu´ımos que o quadrado detodon´umero real n˜ao nulo ´e positivo.

Justificativa: como x foi escolhido arbitrariamente, n˜ao corremos o risco de ter usado propriedades espec´ıficas de um particular n´umero real; portanto, os argumentos que apresentamos servem para mostrar que o quadrado dequalquer n´umero real n˜ao nulo ´e positivo.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(2) Passar do particular arbitr´ario para o geral.

Como provar que o quadrado detodo n´umero real n˜ao nulo ´e positivo?

• N˜ao adianta tomar um n´umero real n˜ao nulo espec´ıfico e alegar que seu quadrado ´e positivo.

Solu¸c˜ao: usar um s´ımbolo que n˜ao fa¸ca referˆencia a um n´umero espec´ıfico — x , por exemplo.

• Demonstramos que o quadrado destex ´e positivo.

• Conclu´ımos que o quadrado detodon´umero real n˜ao nulo ´e positivo. Justificativa: como x foi escolhido arbitrariamente, n˜ao corremos o risco de ter usado propriedades espec´ıficas de um particular n´umero real; portanto, os argumentos que apresentamos servem para mostrar

Elementos de l´ogica e linguagem matem´atica Aula 1_{Aula 2}

Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(3) Inferir q a partir de p → q e p.

Em outras palavras: se valem p → q e p, conclu´ımos que vale q.

• Se chove, a rua fica molhada.

• Chove.

• Portanto, a rua est´a molhada.

• Se 78 for divis´ıvel por 2 e 3, ent˜ao 78 ser´a divis´ıvel por 6.

• 78 ´e divis´ıvel por 2 e 3.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(3) Inferir q a partir de p → q e p.

Em outras palavras: se valem p → q e p, conclu´ımos que vale q.

• Se chove, a rua fica molhada.

• Chove.

• Portanto, a rua est´a molhada.

• 78 ´e divis´ıvel por 2 e 3.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(3) Inferir q a partir de p → q e p.

Em outras palavras: se valem p → q e p, conclu´ımos que vale q.

• Se chove, a rua fica molhada.

• Chove.

• Portanto, a rua est´a molhada.

• Se 78 for divis´ıvel por 2 e 3, ent˜ao 78 ser´a divis´ıvel por 6.

• 78 ´e divis´ıvel por 2 e 3.

Aula 2

Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(3) Inferir q a partir de p → q e p.

Em outras palavras: se valem p → q e p, conclu´ımos que vale q.

• Se chove, a rua fica molhada.

• Chove.

• Portanto, a rua est´a molhada.

• Se 78 for divis´ıvel por 2 e 3, ent˜ao 78 ser´a divis´ıvel por 6.

• 78 ´e divis´ıvel por 2 e 3.

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Racioc´ınios “preservadores da verdade”

(4) Intercambiar senten¸cas matem´aticas equivalentes.

• (p → q) ∧ (q → p) e (p ↔ q) s˜ao equivalentes.

• p → q e (¬q) → (¬p) s˜ao equivalentes.

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Implica¸c˜

ao e equivalˆ

encia

Sejam p e q senten¸cas matem´aticas.

Dizemos que pimplica q se p → q ´e um teorema.

Nota¸c˜ao: p ⇒ q

Observa¸c˜ao: p ´e denominada hip´otesee q,tese.

• q ´econdi¸c˜ao necess´ariapara p;

• p ´econdi¸c˜ao suficientepara q.

Dizemos que p e q s˜aoequivalentesse p ↔ q ´e um teorema.

Nota¸c˜ao: p ⇔ q

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Implica¸c˜

ao e equivalˆ

encia

Sejam p e q senten¸cas matem´aticas.

Dizemos que pimplica q se p → q ´e um teorema.

Nota¸c˜ao: p ⇒ q

Observa¸c˜ao: p ´e denominada hip´otesee q,tese. Outras maneiras de ler p ⇒ q:

• q ´econdi¸c˜ao necess´ariapara p;

• p ´econdi¸c˜ao suficientepara q.

Dizemos que p e q s˜aoequivalentesse p ↔ q ´e um teorema.

Nota¸c˜ao: p ⇔ q

Aula 2

Implica¸c˜

ao e equivalˆ

encia

Sejam p e q senten¸cas matem´aticas.

Dizemos que pimplica q se p → q ´e um teorema.

Nota¸c˜ao: p ⇒ q

Observa¸c˜ao: p ´e denominada hip´otesee q,tese. Outras maneiras de ler p ⇒ q:

• q ´econdi¸c˜ao necess´ariapara p;

• p ´econdi¸c˜ao suficientepara q.

Dizemos que p e q s˜aoequivalentesse p ↔ q ´e um teorema.

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Demonstra¸c˜

ao direta

Sejam p e q duas senten¸cas matem´aticas.

A fim de provar que p ⇒ q, basta adotar p como “pressuposto” e, valendo-se de racioc´ınios “preservadores da verdade”, obter q.

Exemplos:

Teorema: Se x +1_{x −1}< x +2_{x −6}, ent˜ao −2₃< x < 1 ou x > 6.

Aula 2

Demonstra¸c˜

ao do tipo “se e somente se”

Sejam p e q duas senten¸cas matem´aticas.

A fim de provar que p ⇔ q basta provar que p ⇒ q e q ⇒ p.

Exemplo:

Teorema: Sejam a, b e c n´umeros reais tais que a 6= 0.

ax2+ bx + c = 0 se, e somente se, x = −b ±

√ b2_−4ac

2a .

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Demonstra¸c˜

ao por contraposi¸c˜

ao

Sejam p e q duas senten¸cas matem´aticas.

A fim de provar que p ⇒ q basta provar que (¬q) ⇒ (¬p).

Exemplo:

Teorema: Seja n um n´umero inteiro. Se n2´e par, ent˜ao n ´e par. Demonstra¸c˜ao: Na lousa.

Aula 2

Demonstra¸c˜

ao por absurdo

Seja p uma senten¸ca matem´atica.

A fim de provar p basta tomar ¬p como “pressuposto” e, valendo-se de racioc´ınios “preservadores da verdade”, obter uma contradi¸c˜ao.

Exemplo:

Teorema: N˜ao existe n´umero racional cujo quadrado seja 2. Demonstra¸c˜ao: Na lousa.