Fundamentos de Matematica Elementar Vol 03 Trigonometria

(1)

(2)

GELSON IEZZI

2~

edição

MATEMÁTICA

3 ELEMENTAR

TRIGONOMETRIA

121 exercícios resolvidos

298 exercícios propostos com resposta

215 testes de vestibular com resposta

ATUt\L

EDITORA

(3)

Capa

Roberto Franklin Rondino

Sylvio Ulhoa Cintra Filho

Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo

APRESENTACÃO

• Composição e desenhos

AM Produções Gráficas Ltda.

Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo

Artes

Atual Editora Ltda.

Impressão e acabamento

Companhia Melhoramentos de São Paulo

Rua Tito, 479 - S. Paulo

Fotolitos

H.O.P. Fotolitos Ltda.

Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo

Os autores

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes

elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática,

ao nível da escola de

';P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para

o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames

vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e

também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha

das ciências" .

No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos-livros de "Fundamentos"

procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades.

Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições

e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações.

Na estruturação das séries de exerc(cios, buscamos sempre uma ordenação

crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões

que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A

seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exerc(cios. Os exerc(cios

resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação

sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar

a resposta para cada problema proposto e assim ter seu reforço positivo ou partir

à procura do erro cometido.

A última parte de cada volume é constitul'da por testes de vestibulares até

1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria

estudada.

Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando

Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear

nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas

vidas e suas obras.

Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores

e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma

apre-ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários crl'ticos, os quais

agra-decemos.

CDD-510 Fundamet."tos dematemiti~a elementar (por) Gelson

IezZ1 (e outros) 5&0 Paulo, Atual Ed •• 1977-7& Co-autores: Carlos Hurakami. Osvaldo Dolce e Sa-IIIl;lel HaZ2:an; a autoria dos volumes individuais va-n .•entr~os 4autores.

C~teUdo:v.l. Conjuntos, funções. 1977.-v.2. Logantmos..: ,1977.-v.3.TrigODCllletria. 1978.-v.4. SequUencl.&!.~t:izesdeterminantes. sistemas. 1977.-V. 5. Corab1natona. probabilidade. 1977.-v.6.C~lexo8~ ~olinõmios. equações. 1977.-v.7. Geometna anal1.t1ca. 1978.

I 1.Ma~emãtica(29grau) r.Dolce. Osvaldo, 1938-1.IezZ1. ~e18on. 1939- lIr. Hazzan. Ssmuel. 1946-IV.Hurakaml.. Carlos,

1943-CI~-Brasil.Cat..logação-na-Fonte Camara Brasileira do Livro, SP

977 .1-7

77-1473

Todos os direitos reservados a

ATUAL EDITORA LTOA

Rua José Antônio Coelho, 785

Telefones: 71-7795 e 549-1720

CEP 04011 - São Paulo - SP - Brasil

(4)

ÍNDICE

CAPITULO I - ARCOS E ÂNGULOS

I. Arcos de circunferência . . . ..

l-C

11. Medidas de arcos . . . ..

l-C

111. Ângulos de duas semi·retas. . . ..

5-C

IV. Medida de ângulos .. . . ..

6-C

V. Ciclo trigonométrico. . . ..

9-C

CAPITULO 11

FUNÇÕES CIRCULARES

I. Noções gerais

l5-C

11. Funções periódicas

l6-C

111. Função seno

l7-C

IV. Função cosseno

26-C

V. Função tangente

29-C

VI. Função cotangente

33-C

VII. Função secante

34-C

VIII. Função cossecante

36-C

CAPITULO 111 -

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

I. Introdução

39-C

11. Relações fundamentais

39-C

111. Identidades

49-C

(5)

CAPI"rULO V -

ARCOS NOTAvEIS

I. Redução do

29 ao

19 quadrante

53-C

11. Redução do

39 ao

19 quadrante

54-C

111. Redução do

49 ao

19 quadrante

55-C

IV. Redução de

[~,;]

a [O,

~]

56-C

V. Identidades

58-C

VI. Funções pares e funções ímpares

60-C

CAPITULO IV

REDUÇÃO AO 19 QUADRANTE

IV. Resolução de cos x

>

m . . . .

132-C

V. Resolução de cos x

<

m

132-C

VI. Resolução de tg x> m

138-C

VII. Resolução de tg x

<

m

138-C

CAPITULO IX - TRIÃNGULOS RETÃNGULOS

I. Elementos principais

141-C

11. Propriedades geométricas

142-C

111. Propriedades trigonométricas . . . .

146-C

IV. Resolução de triângulos retângulos . . . • • . • • . . . .

150-C

I. Teorema . . . .

63-C

11. Aplicações

64-C

CAPITULO X - TRIÃNGULOS QUAISQUER

CAPITULO VI - TRANSFORMAÇÕES

I. Fórmulas de adição

67-C

11. Fórmulas de multiplicação

75-C

111. Fórmulas de divisão . . . ..

79-C

IV. Tangente do arco metade

82-C

V. Transformação em produto

83-C

CAPITULO VII

ÊQUAÇÕES

I. Propriedades trigonométricas

155-C

11. Propriedades geométricas

166-C

111. Resolução de triângulos quaisquer

171-C

RESPOSTAS DE EXERCfclOS

175-C

TESTES

185-C

RESPOSTAS DOS TESTES

221-C

I. Equações fundamentais

93-C

11. Reso lução da equação sen ex

=

sen {3

94-C

111. Resolução da equação cos ex

=

cos {3

98-C

IV. Resolução da equação tgex

=

tg{3

101-C

V. Soluções de uma equação dentro de certo intervalo

104-C

VI. Equações clássicas

107-C

VII. Funções circulares inversas

115-C

CAPI"rULO VIII -

INEQUAÇÕES

I. Inequações fundamentais

127-C

11. Resolução de sen x

>

m

128-C

(6)

Augustin-Louis Cauchy

(7)

Engenheiro de Napoleão era monarquista

Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris, logo após a queda da Bastilha. Cursou

a Escola Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois gostava muito de ensinar,

e aceitou a cadeira de Monge na Academia, quando este foi demitido. Ainda como

estudante contou com o apoio de Laplace e Lagrange que se interessaram por

seu trabalho.

Cauchy chegou a ser um dos engenheiros militares de Napoleão. Católico

devoto e reacionário convicto, defendia vigorosamente a Ordem dos Jesuitas e

quando Carlos X, seu rei, foi exilado, também deixou Paris, recebendo mais tarde

o titulo de barão como recompensa por sua fidelidade.

Produziu grande quantidade de livros e memórias, a maioria dedicada

à

Matemática Pura e sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas.

Uma de suas caracterfsticas marcantes era que, obtendo um novo resultado,

logo tratava de publicá-lo, ao contrário do que fazia Gauss. Assim, contribuiu

amplamente com suas memórias para o "Journal" da Escola Politécnica e para

os "Comptes Rendus" (Notfciasl da Academia, onde se aplicou, a partir de 1814,

em teoria das funções de variáveis complexas, da qual é um dos criadores.

Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas,

passando a aplicá-los nas mais diversas situações como, por exemplo, na

propaga-ção de ondas.

Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar

o caráter que tem hoje, definindo precisamente limite, derivada e integral; os

conceitos de funções e de limites de funções eram fundamentais. Estas obras de

Cauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com idéias semelhantes

por Bolzano, um padre tcheco.

Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais

à

teoria

das funções, e em Geometria conseguiu generalizar a fórmula poliedral de

Des-cartes-Euler.

Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais dif(ceis

e produto de pesquisas iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes.

Juntamente com Navier, Cauchy foi fundador da teoria matemática da

Elasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica celeste.

Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu para quase

todas as partes da Matemática e sua grande quantidade de obras publicadas s6 é

superada por Euler.

I. ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA

1. Definição

Dados dois pontos distintos A e B

sobre uma circunferência, esta fica

divi-dida em duas partes. Cada uma dessas

partes, que incluem

A e B, é denomi·

nada

arco de circunferência

ÁS.

Em particular, se os pontos A e B

coincidem, eles determinam dois arcos:

um deles é um ponto (denominado

arco

nulo)

e o outro é a circunferência

(de-nominado

arco de uma volta).

11. MEDIDAS DÊ ARCOS

2. Se queremos comparar os "ta

ma-r-. r-.

nhos" de dois arcos AB e CD

somos

naturalmente levados a estabelecer um

método que permita saber qual deles é

o maior ou se são iguais. Este problema

é resolvido estabelecendo-se um método

para medir arcos.

CAPÍTULO I

ARCOS

E ÂNGULOS

A=B D

l-C

(8)

Grau (símbolo

o)

é um arco unitário igual a

~o

da circunferência que

contém o arco a ser medido.

51T

T

rad

1 rad

225 • 1T 180

O'

O logo Solução

Estabelecemos a seguinte regra de três simples:

e ainda sobra uma fração de rad.

IV) O

radiano "cabe"

6 vezes na circunferência e mais a soma dessas "sobra<.

Mais precisamente demonstra-se que a circunferência mede

6,283584...

rad

(nú-mero batizado com o nome de

21T).

Tendo em vista estas considerações, podemos estabelecer a seguinte

corres-pondência para conversão de unidades:

360

0 <---> 21T

rad

180

o <---> 1T

ra d

EXERC(CIOS

C.1 Exprimir 2250

em radianos.

e, sendo o comprimento do arco sempre

maior que o comprimento da corda cor·

respondente, todos esses arcos são

maio-res que

1 rad.

111)

Em cada um dos citados arcos "cabe"

1 rad:

r--. ~ r--. ,-..

r-..

r'\

AB'

=

BC'

=

CD'

=

DE'

=

EF'

=

FA'

11)

A circunferência fica dividida

em

6 arcos de medidas iguais

,--..., r-... ~ ~ r--. I'""

AB

=

BC

=

CD

=

DE

=

EF

=

FA

B A

B

Para evitar as confusões que ocorreriam se cada um escolhesse uma

unida-.

'"

de u para medir o mesmo arco

AB,

limitamos as unidades de arcos a apenas

duas: o

grau e o radiano.

4. Unidades

'"

3. Medida de um arco

AB

em

rela-ção a um arco unitário u (u não nulo

"

-ede mesmo raio que AB)

é o número

real que exprime

~ntas

vezes o arco u

"cabe" no arco

AB.

Assim, na figura

ao lado, o arco u cabe

6 vezes no arco

'"

AB,

então a medida do arco AB é

6,

"

-isto é, arco

AB

=

6 . arco u.

Radiano (símbolo rad) é um arco

unitário cujo comprimento é igual ao raio

da circunferência que contém o arco a

ser medido.

Assim, ao afirmar que um arco

AS

mede 1 rad estamos dizendo que

"esti-

"-cando'" o arco AB obtemos um

segmen-to de reta AB cuja medida é exatamente

o raio da circunferência.

180 1T 111T 6 b) 2400 d) 3000 f) 3300 logo x = C.2 Exprimir em radianos: a) 2100 c) 2700 el 3150

C.3 Exprimir 111T rad em graus. 6 Solução Temos: 1Trad <---> 1800

.!.!2!.

rad +--'-+ x 6 A O

5. É evidente que uma circunferência mede

360

0,

porém, já não é tão fácil

dizer quantos radianos mede uma circunferência.

Podemos chegar a uma noção

intui-tiva do va lar dessa med ida, considerando

a seguinte construção:

I) Em uma circunferência de centro

O e raio r inscrevemos um hexágono

re-gular ABCDEF. Cada lado do hexágono

tem comprimento r:

AB

=

BC

=

CD

=

DE

=

EF

=

FA

=

r

(9)

C.4 Exprimir em graus: ai

.!!.-

rad bl 1f 6

4

rad d) 21T e) 31T 3 rad 4 rad ' - - - " 0 ° +---+ x .

••

180° 3,1416 131 416 57°17'44" 71f

Exprimir em radianos as medidas dos arcos a e b tais que a - b=15° e a +b=

4

rad. Exprimir em graus as medidas dos arcos a, b e c ta is que a +b+c =13°, a+b+2c ::::

1T 1f

12

rad e a + 2b + c ~

"9

rad. logo x ~ 1 392480 135840 10176 1 800000 229200 09288 X 60 557280 243120 23208 X60 Solução 3.1416 rad 1 rad C.10 C.9

c.a

Converter a graus o arco 1 rad.

30 em 10 em ~ 3 rad

cl

~

rad 3 51T fi 6 rad

Sobre uma circunf,,",ência de raio 10 em marca-se um arcoAStal que a cordaAS

mede 10 em. Calcular a medida do arco em radianos.

~

X 21Trad

~ ~

rad

Um arco de circunferência mede 30 em e o raio da circunferência mede 10 em. Calcular a medida do arco em radianos.

Solução ,-,

lmedidade

AS

emrad]::: comprimento do arco AB comprimento do raio

Solução

Osegmento AS é lado do hexágono re-gular inscrito na circunferência, logo, o

1

menor arco AB é

"6

da circunferência,

isto é, mede: C.6

C.5

C.7 Um grau se divide em 50' (60 minutosl e um minuto se divide em 60" (60 segundos) Por exemplo, um arco de medida 30' é um arco de 0,5°, Pede-se converter a radia-nos os seguintes arcos:

111. ÂNGULOS DE DUAS SEMI-RETAS

bl 31 °15'45" ~ 31 )( 3600" + 15 X 60" +45" 112545" 180° ~ 180 X 3600" ~ 648 000" Solução a) 22°30' ~ 22 X 60' +30' ~ 1350' 180° ~ 180 X 60' ~ 10800' 112545 • 3,1416 648 000 ~ 0,54563 rad e

0"

I

0";5

Db

e

Il'

I

1l';z5

Da 1l11l=:JDa O'

I

O' =:J Db

6. Consideremos duas semi-retas Da e Db de mesma origem, distintas e não opos-tas.

A retab divide o plano ab em dois semi-planos opostos

A reta a divide o plano ab em dois semi-planos opostos. 7r srad 1350 •1T 10800 logo x então: 10800' +---+ 1T rad 1350' +---+ x então: 648 000" +---+ 1f rad 112 545/1 +---+ x 112 545 • rr logo x ~ 648 000

4-C

S-C

(10)

Ângulo côncavo aÔb

é a reunião

dos semi-planos

a' e

{3'.

Ângulo convexo aÔb

é a

intersec-ção dos semi-planos

O<

e

{3.

Assim, por exemplo, temos:

1'?)

ângulo de

1° é um ângulo central correspondente a um arco de 1

0 ,

isto é,

é um ângulo central que determina na circunferência um arco igual a

3~

desta;

4'?)

ângulo de rr rad

é um ângulo central correspondente a um arco de

rr

rad.

3'?)

ângulo de 60°

é um ângulo central correspondente a um arco de

60°;

2'?)

ângulo de

1

rad

é um ângulo central correspondente a um arco de

1 rad,

ista

é, é um ângulo central que determina na circunferência um arco cujo

compri-mento

é igual ao do raio;

a

o

(côncavo)

(convexo)

áôb~o<n{31

I

aOb

~

0<' U

(3'

I

7. Em particular, se as semi-retas Oa

e Ob coincidem dizemos que elas

deter-minam dois ângulos: um

ângulo nulo

e

um

ângulo de uma volta.

No caso particular das semi-retas Oa

e Ob serem opostas dizemos que deter.

minam dois

ângulos rasos.

b

a = b

ângulo

nulo

a

9. Quando

qu~mos

medir em

radia-nos um ângulo aOb, devemos construir

uma circunferência de centro O e raio r

e verificar quantos radianos mede o arco

"-AB, isto

é, calcular o quociente entre o

"-comprimento

Q

do arco AB pelo raio r

da circunferência:

(o<

em radianos)

'"

Por exemplo, se o ângulo central aOb

é

tal que determina numa

circunfe-

"-rênci~

de raio

r

~

5 cm

um arco AB de medida

Q~

B

em,

então a medida

de .illb

é:

IV. MEDIDA DE ÂNGULOS

Q

B

5 1,6 rad

8. Dado um ângulo aOb, consideremos

uma circunferência de centro O e raio r.

Sejam A e B os pontos onde os lados do

ângulo aOb interceptam a circunferência.

A cada arco

ÁS corresponde desta

maneira um único ângulo central

áÕb

e vice-versa. Convencionando que a um

arco unitário corresponde um ângu lo cen·

trai unitário, decorre que o arco

ÁS e o

ângulo central aOb correspondente

pas-sam a ter a mesma medida.

a

b

Observemos que, fixado um ângulo

'"

central aOb de medida

o<

rad e

construí-das as circunferências de centro O e raios

rj, r2, r, ... ,

os arcos correspondentes

a aOb têm comprimentos

QI,

\'2,

Q3, ...

tais que:

6-C

(11)

EXERCICIOS

cl 6 h 30 mino bl 5 h 55 min;

ai 2 h 40 min;

Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que marca: b) Sabemos que em 60 minutos o

pon-teiro pequeno percorre um ângulo de 30°,então em15minutosele pereor· re um ânguloCttal que:

O! 30°

15

=

60

portanto O!=7,5°=7°30'. Assim, temos:

e

=600 -IX= 60° - 7°30'=52°30'.

cl Notemos que em 40 minutos o pon-teiro pequeno percorre o ângulo {3

tal que: JL300 40

60

portanto

(3

= 20°. Assim, temos:

rp

=

150°+

13 =

150°+20°

=

170° ou ainda

rp

=1800 -

r

=1800 - 10° = 170°.

V. CICLO TRIGONOMETRICO

C.16 3cm Q

o

~

= 170 11/19" 3,1416 .

=

10,472 em,

radianos, o ângulo central 11 O! =

3"

rad, então:

=

.Q =O! • r

=.!!.. •

10 3 .Q Solução .Q 3

O!=

r

=

10

rad. Convertendo a graus:

portanto: Convertido a / ' .

aOb tem medida

Q= 31,416 3 Solução 1T { 1T3rad ----+ 180 0 10 rad -

x

3

10

X 1800

=

x

C.ll ~cular,em graus, a medida do ângulo aOb da figura.

C.12 Calcular o comprimento.Q do arco

AB

definido numa circunferência de raio r= 10 em, por um ângulo central de 60°.

C.13 Calcular a medida do ângulo central aOb que determina em uma circunferência de raio- " . 211r

r um arco de comprimento

3 .

la.

Definição

C.14 CalcularO comprimento .Q do arco

ÁS

definido em uma circunferência de raio 7 em por um ângulo central de 4,5 rad.

Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uOv.

Conside-remos a circunferência

À

de centro O e raio r

=

1. Notemos que o comprimento

desta circunferência é

211

pois r

=

1.

Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está assi-nalando:

Solução

a) Notemos que os números do mostra-dor de um relógio estão colocados em pontos que dividem a circunferên-cia em 12 partes iguais, cada uma das quais mede 30°. Assim, à1 h os pon-teiros do relógio formam um ângulo convexo de 30°. u v B B' A'

O,

então P coincide

1?)

se

x

com A;

2?l

se

x

>

O,

então realizamos

a partir de A um percurso de

comprimen-to x, no sentido anti-horário, e marcamos

P como ponto final do percurso.

Vamos agora definir uma aplicação

de

IR

sobre

À,

isto é, vamos associar a

cada número real

x um único ponto P

da circunferência

À

do seguinte modo:

c) 1 h 40 mino bl 1 h 15min;

ai 1 h; C.15

(12)

3?)

se

x

<

O,

então realizamos a partir de A um percurso de

compri-mento

I

xl, no sentido horário.

O

ponto final do percurso é

P.

A circunferência

À

acima definida, com origem em A, é chamada ciclo ou

circunferência trigonométrica.

Se o ponto

P

está associado ao número x dizemos que

P

é

a imagem de x

no ciclo. Assim, por exemplo, temos:

11. Notemos que se P é a imagem do número xo, então P também é a imagem

dos números:

xo,

Xo

+

21T,

Xo

+

41T,

Xo

+

61T,

etc.

e também de

Xo -

21T,

Xo -

41T,

Xo -

61T,

etc.

v

Dois números reais Xl

=

Xo

+

2k

_l

1T (k

_l

E~)

e X2

=

Xo

+

2k

₂

1T (k

₂

E~)

que tem a mesma imagem

P no ciclo são tais que Xl - X2

=

2k1T

(onde

k= k

_{l -}

k

₂₎

e, por isso, diz-se que Xl e X2

são

côngruos módulo

21T

ou simplesmente, Xl e X2

são

côngruos.

u

Em resumo,

P

é a imagem dos

ele-mentos do conjunto:

{x

E IR

I

x

=

Xo

+

2k1T, k E~}. u v B' B a imagem de

-~

l! B' A' u A B' v 11 a imagem de

2"

l! B

A'

v v v A u 1 Notando que cada parte mede

12 •

21T=

11

P '

=

€i

e que l! a Imagem de

x

quando

"

AP = x, podemos construir a tabela abaixo: imagem de x A

_Pl

_P2

B

P3

P4

A'

_Ps

_P6

B'

P7

Ps

O 1T 1T 1T 21T 51T 71T 41T 31T 51T

111T

x 6 3 2 3 6 1T 6 3 2 3

6

EXERCfclOS

C.17 Divide-se o ciclo em 12 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores. Determinar os x (x E [O, 2m) cujas imagens são os pontos divisores.

v Solução B u u A A B' B' B a imagem de-1Il! A' A' A' u u A

B'

B' v B B a imagem de1T l! A' A' A' . 31T a Imagem de

2"

l! B' 31T

a imagem de -

2'

é B C.18 _{terminar o conjunto}Divide-se o ciclo em 8 partes iguais, utilizando-se A como um dos pontos divisores. De-_dos _{x (x E [O,}

_2nll

_{cujas imagens são os pontos divisores.}

(13)

C.19 Indicar no ciclo a imagem de cada um dos seguintes números: C.20 Indicar no ciclo as imagens dos seguintes números reais: 11 1111 311 711

8'

"8 -8' -8'

311 a) 4 d) -311 511 b) -

4"

e) 2511

3

c) 111'1' f) 1911

- 6

1311 1511 1711 3111

""""6

- T ' """4

e-T'

C.21 Representar, no ciclo. as imagens dos seguintes conjuntos de números:

e) 2511

3

c) 1111 = 11

+

1011

Como 1111 - 11 é múltiplo de 211, então 1111 e 11 têm-a' mesma ima· gem (A'). u u A A B v

A'

(repetição: B) (imagem: B') (imagem: B) 11

2'

311

T

511

"2

I

x = k11, k

E Z}

I

x = k11 k

E~}

3 ' x =

~

+

k11, k E Z} 11 11 } x =

'4

+

k2" k E~ 11

2"

= x

===> x =

-=-

x =

x

=

k k = 1 k = 2

Representar. no ciclo. as imagens dos sEtguintes conjuntos de números reais:

k

=

O

=

x

=

O (imagem: A) k

=

1

=

x

=;

(imagem: B) k = 2

=

x = 11 (imagem: A') 311 . k ~ 3

=

x =

"2

(Imagem: B') k = 4

=

x = 211 (repetição: A) B'

O conjunto F tem como imagem os pontos A, B, A' e B' do ciclo.

E {x

E

IR x = ; -

+

k11, k

EZ}

F=

{x

E IR

x

= k;-, k. E.z} Solução 11 x =

2'

+

k11

k

=

O

o

conjunto E tem como imagem os pontos B e B' do ciclo.

E

{x

E IR F

{x E

IR G=

{x

E IR H =

{x

E IR C.22 u u u u u

v

v A' 1911 511 2411 511 6

6" -

'""""6

="6

-411 ASSlm,. -

6"

1911 e

6'

511 tem a mesma• . 511 5 Imagem. Como

6

12' 211.. a

imagem procurada é a extremidade

,.-." 5

do percurso AP igual a 12 do ciclo medido no sentido anti-horário.

J!..

~ 2411 =

J!..

+

811

3 3 3

Assi m, _-3-2511 e!!....₃ têm a mesma imegem P que é obtida marcando

t ' 1 .

um percurso AP igual a

'6

do cIcio,

no sentido anti-horário.

f)

d) -311 = 11 - 411

Como (-3m - 11 é n\4ltiplo de 211, . então -311 e 11 têm a mesma ima·

gem (A'),

511 5

b) -

4"

=

-"8 •

211

Mercamos, a partir de A, um percur-so

AP

igual a : do ciclo, no sentido horário.

Solução

a) 311 =

1. .

211

4

8

Marcamos, a partir de A, um percur·

so

AP

igual a

~

do ciclo, no sentido anti·horário.

(14)

CAPÍTULO II

Padre refugia-se na Matemática

FUNÇÕES CIRCULARES

I. NOÇÕES GERAIS

c

v

B'

---::~'_."....-__+-_d

12. Consideremos um ciclo trigonométrico de origem A. Para o estudo das

fun-ções circulares vamos associar ao ciclo quatro eixos:

1Ç') eixo dos cossenos (u)

direção: OA

sentidp positivo: O

-+

A

2Ç') eixo dos senos

(v)

direção:

la,porO

sentido positivo:

de O

-+

B

...

rr

sendo B tal que AB

=

-2

-,-,A_'

t----+----4-!~-~

u

3Ç') eixo das tangentes

(c)

direção:

paralelo a v por A

sentido positivo:

o mesmo de b

4Ç') eixo das cotangentes

(d)

direção:

paralelo a u por B

sentido positivo:

o mesmo de a.

x está no 1Ç' quadrante

==

P

E

AS

==

O

+

2krr

~

x

~

!!..

+

2krr

2 ~.

Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos:

ÃB,

M',

Á'B'

e

B'A. Dado um número real x, usamos a seguinte linguagem para efeito de

locali-zar a imagem P de x no ciclo:

x está no 2Ç' quadrante

==

P

E

"

BA'

==

~

+

2krr

~

x

~

rr

₊

2krr

2 x está no 3Ç' quadrante

==

P

E

Á'Ê3'

==

rr

+

2krr

~

x

~

3rr

+

2krr

2 x está no 4Ç' quadrante

==

P

E

"

B'A

==

3rr

+

2krr

~

x

~

2rr

+

2krr

2 Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia, e embora

fosse padre tinha idéias contrárias às da Igreja.

Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus

contemporâneos.

Em 1817 publicou o livro

"Rein Ana/ytisches Beweis"

(Prova puramente

analítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locação em

Álgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma

curva ou função.

Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor

em Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetização", embora tivesse menos

influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas,

embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada,

continuidade e convergência eram bem semelhantes.

Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedades

importantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrou

que existem tantos números reais entre

O

e 1, quanto entre

O

e 2, ou tantos em

um segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de dois

centímetros.

Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferente

da infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximo

da Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos.

Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num intervalo e

que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo mas o exemplo dado não

ficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Weierstrass que se

ocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinqüenta anos, Conhecemos

ho-je como teorema de Bolzano-Weierstrass aquele segundo o qual um conjunto

Iimi-tado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto de

acumulação.

O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas que

levam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados.

Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".

(15)

11. FUNÇÓES PERIÚOICAS

14. Exemplo preliminar

dando acréscimos iguais a

p em x,

o valor calculado para

f

não se altera,

isto é, o valor de f se repete periodicamente para cada acréscimo de p

à

variável.

Dado o número real

x, sempre existem dois números inteiros consecutivos

n e n

+

1 tais que

n";; x < n

+

1. Consideremos a função

f que associa a

cada real x o real x - n onde n é o maior número inteiro que não supera x.

Temos, por exemplo:

f(0, 1) = 0,1;

f(3)

=

3 - 3 = O;

f(1, 1)

=

1,1 - 1

=

0,1;

f(-5) = (-5) - (-5) = O;

f(2, 1) = 2,1 - 2

=

0,1;

f(7) = 7 - 7 = O.

16. Definição

Uma função

f:A

-+

B

é

periódica

se existir um número

p

>

O satisfa·

zendo a condição

f(x

+

p) = f(x), -'fx

E

A

O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado

periodo de f.

De modo geral, temos:

0";;x<1

~

f(x) =x-O=x

1";;x<2

=

f(x) = x - 1

2";;x<3

=

f(x) = x - 2

etc.

-1 .,;; x < O

==

f(x) = x -

(-1)

= x

+

1 -2 .,;; x < -1

==

f(x)

=

x - (-2)

=

x

+

2 -3";; x < -2

₌

f(x) = x - (-3) = x

+

3 etc.

Seu gráfico é:

y

17. O gráfico da função periódica se caracteriza por apresentar um elemento

de curva que se repete, isto é, se quisermos desenhar toda a curva bastará

cons-truirmos um carimbo onde está desenhado o tal elemento de curva e ir

carimban-do.

Perlodo

é

o comprimento do carimbo (medido no eixo dos x).

y

x

período

x

-1

o

2 3 4 x

111. FUNÇÃO SENO

18. Definição

Temos:

f(x)

=

f(x

+

1)

=

f(x

+

2) = f(x

+

3)

=

f(x

+

4) =... :V-x

E

IR

portanto existem infinitos números p inteiros tais que f(x)

=

f(x

+

p), :V-x

E

IR.

15. O menor número p

>

O que satisfaz a igualdade f(x) = f(x

+

p), V x

E

IR

é

o número

p

=

1,

denominado

periodo da função f.

A função f é chamada

função periódica porque foi possível encontrar um número

p

>

O

tal que

16-C

Dado um número real x, seja P sua

imagem no ciclo. Denominamos seno de

x (e indicamos sen x) a ordenada OP

I

do ponto P em relação ao sistema uOv.

Denominamos

função

seno

a

função

f: IR

-+

IR

que associa a cada real x o

real

OP

₁

= sen x, isto

é:

f(x) = sen x.

v B' A u

17-e

(16)

19. Propriedades

1~)

A

imagem da função seno é o intervalo

[-1, 11.

isto é,

-1 .;;;

sen x';;;

1 para todo x rea

I.

É

imediata a justificação pois, se P está no ciclo, sua ordenada pode variar

apenas de

-1

a

+1.

2~)

Se

x é do primeiro ou segundo quadrante, então sen x é positivo.

De fato, neste caso o ponto P está acima do eixo u e sua ordenada

é

po-sitiva.

3~)

Se

x

é do terceiro ou quarto quadrante, então

sen x

é negativo.

De fato, neste caso o ponto

P está abaixo do eixo

u

e sua ordenada

é negativa.

20. Gráfico

Façamos x percorrer o intervalo

[O, 2rr]

e vejamos o que acontece com

sen x.

Se a imagem de

x (ponto PI dá uma volta completa no ciclo:' no seno

tido anti-horário, a ordenada de P varia segundo a tabela:

o

rr 3rr

x

_-

_rr

2rr

2 ₂

sen x O cresce 1 decresce O decresce -1 cresce O

Fazendo um diagrama com x em abscissas e sen x em ordenadas, podemos

construir o seguinte gráfico, denominado

senóide,

que nos indica como varia a

função

f( xl ; sen x.

sen x

4~)

Se

x

percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então

sen x

é

crescente.

É

imediato que, se

x percorre o primeiro quadrante, então P percorre

""

o arco

AB

e sua ordenada cresce. Fato análogo acontece no quarto quadrante.

-rr x

5~)

Se x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então sen x

é

decres-cente.

É

imediato que, se x percorre o segundo quadrante, então P percorre o

,...,.

arco

BA'

e sua ordenada decresce. Fato análogo acontece no terceiro quadrante.

6~)

A

função seno é periódica e seu período é

2rr.

É imediato que, se sen x ; OP!

e

k E il.,

então sen (x

+

k •

2rr) ;

OP!

pois

x e x

+

k •

2rr

têm a mesma imagem

P no ciclo. Temos, então, para

todo x real:

sen x ; sen (x

+

k •

2rr)

e, portanto, a função seno

é periódica. Seu perl'odo é o menor valor positivo

de

k·

2rr,

isto

é,

2rr.

18-C

Observemos que, como o domínio da função seno

é

IR,

a ser:1óide continua

para a direita de

2rr

e para a esquerda de

O. No retângulo em destaque está

representado apenas um período da função. Notemos ainda que as dimensões

desse retângulo são

2rr

X

2,

isto

é,

aproximadamente

6,28

X 2.

EXERCICIOS

Determinar o período e a imagem e fazer o gráfico de um período completo das funções

dadas do

C.23

ao

C,42:

C.23 f:IR-+ IR

dada por

t(x) ~

-sen

x.

Solução

Vamos construir uma tabela em três etapas: 1~)

atribuímos valores a x;

2~) associamos a cada x o valor de sen x;

3a ) multiplicamos sen x por -1.

(17)

Com esta tabela podemos obter 5 pontos do gráfico, que deve apresentar para cada x uma ordenada y queéo dobro da ordenada correspondente da senóide.

~ imediato que:

:.25 f: IR .... IR dada por flx) ~ -2 • sen x.

x sen x y

o

11

"2

11 311

"2

211 x sen x y O O 11 1

"2

11 O 311 -1

""2

211 O x se" x y O O O 11 1 -1

2"

11 O O 311 -1 1

"2

211 O O Im(f) ~ [-2, 2) p(fl ~ 211 2 O -1 -2 x

C.24 f:IR .... IR dada por f(x) = 2 • sen x

x 11

"'2

O -1 atribuímos valores a t = 2x:

associamos a cada 2x o correspondente sen 2x; t

calculamos x (x =

"2 ).

Solução

Recordemos inicialmente que para um dado número real a, temos: a;;' O = lal ~ a

a < O = l a l = - a Aplicando esta definição, temos: senx;;'O

=

Isenxl ~senx

Iquando sen x ;;. O, os gráficos y Isen x

I

e y ~ sen x coincidem) senx<O

=

Isenxl ~-senx

(quando sen x

<

O, os gráficos y =

Isen xl

e y = sen x são simétricos em relação ao eixo dos x),

~ imediato que: y Im(fl~ [O,

1]

p(fl = 11

Vamos construir uma tabela em três etapas: Solução

.26 f: IR .... IR dada por flx) ~ Isen xl

27 f: IR .... IR dada por f(x) ~ 13 • sen x I 28 f: IR .... IR dada por f(x) ~sen 2x

x sen x y O O O 11 1 2

2"

11 O O 311 -1 -2

"2

211 O O

5 pontos do gráfico, que é simétrico da sen6ide em y x sen x y O O 11 1

"2

11 O 311 -1 2 211 O Com esta tabela podemos obter

relação ao eixo dos x. ~ imediato que: Im(f) =[-1,1] p(fl = 211

Vamos construir uma tabela em três etapas: la) atribulmos valores.a x;

2~) associamos a cada x o valor de sen x; 3a ) multiplicamos sen x por 2.

Solução x sen x y O 11

"2

11 311

""2

211 2O-C

_21-C

(18)

x t = 2x y

o

rr

"2

rr 3rr 2 2rr x t ~ 2x y O O rr 1 2 rr O 3rr -1 2 2rr O x t ~ 2x y O O O rr rr 1

4

2 rr O 2 rr 3rr 3rr _-1 4 2 rr 2rr O

E:

imediato que: Im(f) =[-1,1) p(f) = 4rr y

o

-1

C.3D f:IR -+IR dada por flx) ~ sen 3x

Solução

x

x t = 3x y O O O rr rr 6 2 1 rr 3 rr O rr 3rr 2

""2

-1 2rr 2rr

"'3

O

x

y x t = 3x y O O rr 2 1 rr O 3rr -1 2 2rr O x t ~ 3x y O rr

"2

rr 3rr

T

2rr

E:

imediato que: Im(f) =

[-1, 1)

2rr p(f) =

"'3

C.31 f:IR-+IR dado por flx) ~ -seni.

C.32 f: IR -+ R dada por flx) =3 • sen 4x,

x x x _t

_="2

y O O O rr 1 rr

_""2

2rr rr O 3rr 3rr -1

2""

4rr 2rr O rr

4'

y

o

-1 x x t =

"2

y O O rr 1

"2

rr O 3rr -1

""2

2rr O x x t =

_'2

y O rr

2"

rr 3rr

2"

2rr

Com base nesta tabela, podemos obter 5 pontos da curva, Notemos que o gráfico deve

apresentar para cada x uma ordenada y queé o seno do dobro de x. Notemos ainda que para sent completar um parl'odoé

necessário que t =2x percorra o

inter-valo [O, 2rrJ. istoé, x percorra o inter-valo

[O,

rr]. Assim, o período de f é: p(f) =rr - O~rr

E:

imediato que: Im(f)~[-1,1)

x

C.29 f:IR -+ IR dada por flx) =sen

2'

Solução

(19)

C.39 f: A-+ FI dada por ((x) = sen (x - :

I.

Solução C.33 f: IR -+ IR dada por (( x) Solução x sen x y O rr

2"

rr 3rr 2 2rr 1 +sen x. x sen x y O O rr 1 2 rr O 3rr -1

2"

2rr O x sen x y O O 1 rr 1 2

2'

rr O 1 3rr -1 O

2"

2lT O 1 rr x t = x -

₄

y O rr

2"

rr 3rr

2'

2rr rr x t = x -4 Y O O rr 2 1 lT O 3rr -1 2 2rr O rr x t = x - - Y 4 lT

4

O O 3rr rr

"4

2'

1 5rr

..-

rr O 7rr 3rr

'""4

2 -1 9rr 2rr

'""4

O

Notemos que o gráfico deve apresentar para cada x uma ordenada y que é igual ao seno de x mais uma unidade. Se cada seno sofre um acréscimo de 1, então a senóide

sofre uma translação de uma unidade "para cima",

~ imediato que: Im(t)~[0,2]

p(t) ~2rr y

Notemos que o gráfico deve apresentar para cada x uma ordenaday que é o seno de

rr rr

x -

4'

Notemos que para sen t completar um per(odo é necessário que t = x -4 percorra o intervalo

[O,

2rr]. isto é,

x

percorra o intervalo

[i-.

9:]. Assim. o per(odo de f é: 9rr rr p(f)

= 4" - 4 =

2rr ~ imediato que: Im(t) =

[-1, 1].

x O -1

x

lT ' 3rr //2rr

"

_"

--

₂

_/

...

-

_

....

;

~senóíde

lT

'"2

2 O -1

C.34 f:IR-+FI dada por ((x) ~ -2

+

sen x. C.35 f:IR-+1R dada por ((x)

=

1

+

2 • sen x. C.36 f: FI -+ A dada por ((x)

=

2 - sen x. C.37 f:IR-+IR dada por ((x)

=

-1

+

sen 2x.

x C.38 f:IR-+1R dada por f( x)

=

1

+

3 • sen

2'

C.40 f:IR-+IR dada por ((x)

=

sen (x

+

!!.), 3

f: IR -+ IR f(x) rr

C.41 dada por

=

sen (2x -

3'1.

((x)

=

1

+

2 • x rr C.42 f:A-+IR dada por sen

("2 -

_"6)'

(20)

C.43 Sendo a. b, c, d números reais e positivos, determinar imagem e per(odo da função

f:IR

-+

IR

dada por f(x)

=

a

+

b • sen (ex

+

dI.

22. Propriedades

Solução

Façamos

ex

+

d

=

t.

Quando x percorre IR. t percorre IR (pois a

funç60 afim

t =ax +b é sobrejetoral e, em conseqüência. sen t percorre O intervalo [-1, 1

l,

b • sen t percorre o intervalo)

[-b,

b] e V = a

+

b • sen t percorre o intervalo

[a - b. a

+

bl que

é

a imagem de f.

Para que f complete um período

é

necessário que t varie de

O

a

21T.

então:

t

=O

=

ex

+

d

= O

~

x

= -

~

c ==>

ex

+

d

=

21T

c c

t

=

21T

portanto:

21T

p =

&.

= ( -c

===> x

=

d

21T

- - ) - ( - - ) = - .

c

21T

d

.1~)

A

imagem da função cosseno é o intervalo

[-1.

1],

isto

é,

-1 ";cosx";1

para todo x real.

2~)

Se x

é do primeiro ou quarto quadrante, então

cos x

é positivo.

3~)

Se x

é do segundo ou terceiro quàdrante, então

cos x

é negativo.

4~)

Se

x

percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então

cos x

é

crescente.

5~)

Se

x

percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então

cos x

é

decrescente.

6~) A

função cosseno

é periódica e seu período é

21T.

23. Gráfico

C.44

Construir o gráfico de um período da função

f: IR

-+

IR

tal que

1T

t(x)

= 1 -

2 • sen (2x -

"3)'

_{cos x. Se a imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo, no senti·}

Façamos x percorrer o intervalo

[O,

21T]

e vejamos o que acontece com

do anti·horário, a abscissa deP varia segundo a tabela:

C.46

Para que valores de m existe x tal que sen x

=

2m - 57

Solução

Para que exista x satisfazendo a igualdade acima devemos ter: -1 ..;

2m - 5 ..;

1 _ 4";

2m ..;

6 _

2"; m ..;

3. C.46

Em cada caso abaixo. para que valores de m existe x satisfazendo a igualdade?

O

1T

31T

21T

X

-

1T

2

2 cos x

1 decresce

O

decresce

-1

cresce

O

cresce

1 a) sen x

=

2 - 5m;

b) sen x

=

m:2'

m - 1

Fazendo um diagrama com x em abscissas e cos x em ordenadas, podemos

construir o seguinte gráfico, denominado

cossenóide,

que nos indica como varia

a função

f(x)

=

cos x

IV. FUNÇÃO COSSENO

_y

x

Observemos que, como o domínio da função cosseno

é

IR,

a cossenóide

continua para a direita de 21T e para a esquerda de

O. No retângulo em destaque

está representado apenas um período da função. Notemos ainda que as dimensões

desse retângulo são

21T X 2,

isto

é,

aproximadamente

6,28 X 2.

v

a'

a

---'-A-'-,·f----"--I_ _....,y~ u

21. Definição

Dado um número real

x, seja P

sua imagem no ciclo. Denominamos coso

seno de x (e indicamos cos x) a

abscis-sa

õP

₂

do ponto

P em relação ao

sistema

uOv.

Denominamos

função

cosseno

a função f:

IR

-+

IR

que associa

a cada real

x o real

OP2

~

cos x,

isto

é,

f(x)

~

cos x.

(21)

C.56 f: R

~

IR dada por f(x) : cos(x -

!!...).

4

C.56 f: R

~

IR dada por t(x) = 2 • cos(x -

f).

EXERCfclOS

Determinar o pedodo e a imagem e fazer o gráfico de 'um perrodo completo das funções dadas do C.47 ao C.56:

C.47 f' IR ~ IR dada por t(x) = -cos x.

C.48 f: IR ~ IR dada por t(x) : 2 • cos x. C.49 f: R~ IR dada por f(x) -3' cos x. C.50 f· R~ IR dada por flx) Icos x

I.

C.51 f' R~ IR dada por flx) = cos 2x. C.52 f: IR ~

R

dada por t(x) =cos x 2 271

[- vi

ví]

271. Imll) plf)

Veremos mais adiante que: Solução

Notemos que para cada x esta função associa um y que é a soma do seno com o cosseno de x. Vamos, então, colocar num diagrama a senóide e a cossenóide

e , para cada x, somemos as ordenadas dos pontos encontrados em cada cur~ va.

C.63 Provar que se O

<

x

<

!!...

então sen x

+

cos x > 1. 2

C.62 Esboçar o gráfico de um pedodo da função f: R -. IR dada por t(x) =cos x - sen x. C.60 Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões?

YI : sen 45°

+

cos 45°

Y2 : sen 225° +cos 225° Y3 : sen 771

+

cos 771

4 4

Y4 = sen 300° +cos 300°.

C.61 Esboçar o gráfico da função f: IR-+R tal que flx) sen x

+

cos x.

+

2 • cos 3x.

+

cos x.

C.54 f· IR-+ IR dada por f(x) C.53 f: R ~ IR dada por t(x)

C.57 Determinar imagem e perrodo da função f: IR -+ IR dada por flx) : -1

+

2 • cos(3x - :

I.

Sugestão: ciclo trigonométrico.

C.58 Para que valores de t existe x satisfazendo a igualdade cos x

C.59 Determinar o sinal da expressão Y: sen 107°

+

cos 107°.

t

+

2 ?

2t - 1

V. FUNÇÃO TANGENTE

Solução

Examinando o ciclo, notamos que:

e

90°

<

x

<

135°~ Isen xl> Icos xl. Como sen 107° > O, cos 107°

<

O e Isen 107°1 > Icos 107°1, decorre: sen 107°

+

cos 107° >

o.

v

u

24. Definição

Dado um número real x,

x =1= 71

₂

+k

_71,

seja

P sua

i~em

no ciclo.

Conside-remos a reta

OP e seja

T

sua

inter-secção com o eixo das tangentes.

De-nominamos

tangente de x

(e indicamos

tg

x) a medida algébrica do segmento

n.

(22)

25. Propriedades

D

=

{x E IR

I

x

=1=

!!....

+

k'lr}.

2 IR,

isto

é, para todo

y

real existe

Denominamos

função tangente

a função

f: D

-->

R

que associa a cada real

'Ir

-X,

x

=1=

"2

+

k'lr, o real

AT

=

tg x,

isto

é,

f(x)

=

tg x.

Notemos que, para

x

=

!!.

+

k'lr,

P está em

S

ou

S'

e, então, a

+-+

2 reta OP fica paralela ao eixo das tangentes. Como neste caso não existe o ponto

T, a

tg x

não

é

definida.

1~)

O dom ínio da função tangente é

2~)

A imagem da função tangente é

um x real tal que

tg x

=

y.

De fato, dado

y

E IR,

consideremos sobre o eixo das tangentes o ponto

- +-+

T tal que

AT

=

y.

Construindo a reta OT, observamos que ela

intercepta

o ciclo em dois pontos P e p', imagens dos reais x cuja tangente é y.

26.

Gráfico

Façamos x percorrer o intervalo

[O,

2'1r]

e vejamos o que acontece com

tg x. Se a imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo no sentido

anti-horário, a medida algébrica AT varia segundo a tabela:

'Ir

3'1r

2'1r

X

O

2"

'Ir

T

tg x

O

cresce

_~

cresce

O

cresce

~

cresce

O

Fazendo um diagrama com x em abscissas e tg x em ordenadas, podemos

construir o gráfico seguinte, denominado

tangent6ide,

que nos indica a variação

da função

f(x)

=

tg x.

3~)

Se x

é do primeiro ou terceiro quadrante, então

tg x

é positiva.

De fato, neste caso o ponto T está acima de A e AT é positiva.

4~)

Se x

é do segundo ou quarto quadrante, então

tg x

é negativa.

Temos, então, para todo x real e

x

=1= ;

+

k'lr:

tg x

=

tg(x

+

k'lr)

e a função tangente

é

períodica. Seu período

é

o menor valor positivo de

k'lr,

isto

é,

'Ir. x -371

2"

x

A

De fato, neste caso o ponto

T está abaixo de

A e AT

é negativa.

5~)

Se x

percorre qualquer um

dos quatro quadrantes, então

tg x

é

crescente. ,

Provemos,

por exemplo, quando

x percorre o 1? quadrante. Dados

XI

e

X2'

com

Xl

<

X2'

temos

ai

<

a2

e,

por

propriedade de

Geometria

Plana,

vem AT

_I

< AT

2 ,

isto

é:

tg

XI

<tg

X2'

6~)

A função tangente é periódica e seu período é

'Ir.

De fato, se

tg x

=

AT

e

k E:l,

então

tg(x

+

k'lr)

=

AT

pois

x

e

x

+

k'lr

têm ima!lens P e P' cóincidentes ou diametralmente opostas no ciclo

+-+

+-=+

~ ~

e, assim,

OP

=

OP',

portanto,

OP

n

c

=

OP'

n

c.

(23)

EXERCICIOS

C.64 Qual é o dom(nio da função real f tal que f(x) = tg 2x?

VI. FUNÇÃO COTANGENTE

Solução

C.67 Para que valores de Cl existe x tal que tgx =

V(} -

5Cl

+

4?

C.68 Esboçar o gráfico. dar o dom(nio e o pedodo da função real f(x) = tg (x -

!!..).

4

C.65 Qual é o dom(nio das seguintes funções reais?

B'

---::::==----=::---,~--d

27. Definição

Dado um número real

x. x

*

k1T.

seja P sua imagem no ciclo.

Considere-+-+

mos a reta

OP

e seja

D

sua in·

tersecção com o eixo das cotangentes.

Denominamos cotangente de x

(e indi·

camos

c0.!Rx) a medida algébrica do

segmento BD. Denominamos

função co- A'

tangente

a função f: D

-+

IR que associa

a cada real

x.

x

*

k1T,

o real

BD

=

cotg x, isto é.

f(x)

=

cotg x.

Notemos que, para

x

= k1T,

P

+-+

está em

A ou A'

e. então, a reta

OP

fica

paralela ao eixo das cotangentes.

Como neste caso não existe o ponto

D, a

cotg x

não é definida.

1T

*'

!!

+ k1T 4 2 t

*

!!..

+

k1T 2 231T I. 12

+

cos b) g(x) = tg(2x -

f).

3

tg t =>t

*

!!..

+

k1T=> x -2 31T

+

k1T k E

Z}.

4 .

Qual é o sinal de cada uma das seguintes expressões?

YI

=

tg 2690

+

sen 1780 V2

=

tg 121T •(sen 51T

7 11

Façamos 2x = t. Sabemos que existe t9t se, e somente se,

(k E Z). então: 2x

*

!!.

+

k1T

==

x

*

!!..

+

k

.!!..

(k E,z) e 2 4 2 D(!) =

{x

E IR

I

x

*

!!..

+

k

.!!....

k E

,z}.

4 2 a) f(x) = tg 3x Solução: Façamos x - 1T = t. Temos: 4 então D(f) ~ {x E IR

I

x

*

C.66

Para tg t descrever um per(odo completo devemos ter:

<=> - 1T

<

x

<

31T

4 4

28. Propriedades

1~)

O domínio da função cotangente é

D

=

{x E IR

I

x

*

k7T}.

C.69 Esboçar o gráfico, dar o dom(nio e o pedodo da função real f(x) = tg 12x +

.!!..).

6

3~)

Se x é do primeiro ou terceiro quadrante. então cotg x é positiva.

2~)

A imagem da função cotangente é

IR, isto é, para todo Y real existe

um x real tal que

cotg x

=

y.

6~)

A função cotangente

é periódica e seu período é

7T.

As demonstrações dessas propriedades ficam como exercício para o leitor.

5~)

Se

x

percorre qualquer um dos quatro quadrantes. então

cotg x

é decrescente.

4~)

Se x é do segundo ou quarto quadrante, então

cotg x

é negativa.

o _7T

_l311'

_x gráfico

_-4'

'4

de 7T II 4 I

,,

I I 37T _ 1_

!!..)

= 7T. 4 4

Como a função associa a cada x a

( _7T ) (

tg x - 4 • teremos por analogia com as funções já vistas) um que é a tangentóide deslocada

para a direita.

então p(f)

(24)

2~)

A imagem da função secante é

IR -

]-1,

1[,

isto é, para todo

real y, com

y

~

-1

ou

y

~

1,

existe um x real tal que

sec x

=

y.

3~)

Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então

sec x

é

positiva.

4<:')

Se x é do segundo ou terceiro quadrante, então

sec x

é

negativa.

5~)

Se x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, então

sec x

é

crescente.

6~)

Se x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, então

sec x

é

decrescente.

7~)

A função secante é periódica e seu período é

211.

As demonstrações dessas propriedades ficam como exercício para o leitor.

31. Propriedades

29. Gráfico

x

1~)

o

domínio da função secante é

D

=

{x E IR

I

x"*

11

2 +

k11}.

32. Gráfico

VII. FUNÇAO SECANTE

secx ~

Definição

x 311 2 7f 11

2"

o

-1 -11 B'

Dado um número real x,

x"*

!!-

+

k11,

2 seja P sua imagem no ciclo.

Considere-mos a reta

s tangente ao ciclo em

P

e seja

S

sua intersecção com o eixo

dos cossenos. Denominamos secante de

A'

x

(e indicamos sec xl

a abscissa

OS

-1---:...---...,-...

~-u

do ponto S.

Denominamos

função

se-cante

a função

f: O ... A

que associa

a cada real

x x "*

_,

!:.

₂

+

k11,

o real

OS

=

sec x,

isto é,

f(x)

sec x.

Notemos que, para

x

= 11

+

k11,

P está em

B ou B' e, então, a reta

2 s fica paralela ao eixo dos cossenos. Como neste caso não existe o ponto

S,

a sec x não é definida.

(25)

35. Gráfico

CQssec x

VIII. FUNÇÃO COSSECANTE

33. Definição

Dado um número real

x, x

*

k1T,

seja· P sua imagem no ciclo.

Conside-remos a reta

s tangente ao ciclo em

P e seja C sua intersecção com o eixo

dos senos. Denominamos cossecante de

x (e indicamos por cossec x) a ordenada

OC do ponto C. Denominamos

função

cossecante

a função

f: O

-->

IR

que

associa a cada real

x, x

*

k1T,

o

A'

real

OC; cossec x,

isto 'é,

f(x)

; cossec x.

Notemos que, para

x ; k1T,

P

está em

A ou A'

e, então, a reta s

fica paralela ao eixo dos senos. Como

neste caso não ex iste o ponto

C,

a

cossec x

não é definida.

B'

-1T

o

período completo da função cossecante

x

3~)

Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então cossec x é positiva.

4~)

Se x é do terceiro ou quarto quadrante, então cossec x é negativa.

5~)

Se

x

percorre o segundo ou o terceiro quadrante, então

cossec x

é crescente.

6~)

Se

x

percorre o primeiro ou o quarto quadrante, então

cossec x

é decrescente.

7~)

A função cossecante é periódica e seu período é

21T.

As demonstrações dessas propriedades ficam como exercício para o leitor.

C.70 Determinar domrnio e pedodo das seguintes funções reais:

1T 1T

f(x) = eotg (x -

'3),

g(x) = see 2x, h(x) = eossee (x

+

4'1.

EXERCICIOS

Determinar o sinal das seguintes expressões: Vi = cos910 +cossec91° Y2 = sen 1070

+

see 1070 Y3 = see 91T •(tg 71T + eotg

E-

l-B 6 7 2m - 1 1 - 3m c) cossec x =

Em cada caso determinar o conjunto ao qual m deve pertencer de modo que

exista x satisfazendo a igualdade: a) eotgx

=~

b) see x = 3m - 2

C.72 C.71

D ; {x E IR

I

x

*

k1T}.

IR -

]-1, 1[,

isto

é, para todo

x real tal que

cossec x ;

y.

,~)

O donfínio da função cossecante

é

2~)

A imagem da função cossecante

é

real

y,

com

y':;; -,

ou

y ~

1,

existe um

34. Propriedades

(26)

CAPÍTULO III

CONDUÇÃO DO CALOR: NOVA TEORIA

-RELAÇOES

FUNDAMENTAIS

Jean B. J. Fourier

(1768 - 1830)

v

B

B'

k1T

imagem

de

-

, a

A

2

u

B, A' e B',

então

OP

2

P

retângulo,

Demonstração

Para todo

x

real vale a relação:

I. INTRODUÇÃO

a) Se

x

*

x é distinta de

A,

existe o triângulo

portanto:

IOP

₂12

+

IP

₂

PI

2 ;

IOpI

2

e

cos

2

x

+

sen

2

x

=

1 11. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

36. Teorema

Para cada

x

1=

k

2

1f