Modelos Epidemiológicos Acoplados para a Dinâmica da Transmissão da Dengue

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Modelos Epidemiol´ogicos Acoplados para a Dinˆamica da

Transmiss˜ao da Dengue

Ana Carolina Simoneto1 , Rog´erio Luis Rizzi1

1_{Colegiado do Curso de Matemática - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da}

Universidade Estadual do Oeste do Paran´a Caixa Postal 711 - 85819-110 - Cascavel - PR - Brasil anasimoneto@hotmail.com, rogeriorizzi@hotmail.com

Resumo. A Epidemiologia Matemática surge com o intuito de auxiliar no estudo quantitativo de fatos e formalizar o fenômeno de interação da doença e seu hospedeiro, explicando de forma precisa os acontecimentos observados, ajudando na interpretação de dados e nas estimativas de parâmetros e indicando poss´ıveis abordagens para con-trole de doenças, além de avaliar seu impacto. Neste contexto, o presente trabalho visa sistematizar e organizar dados bibliográficos referentes à modelagem epidemiológica da dengue, elaborando um texto didático, conciso e consistente sobre o tema abordado, além de sistematizar questões pertinentes à epidemiologia matemática, enfocando sem-pre a dinâmica de transmissão da dengue.

Palavras Chaves. Modelos epidemiológicos, epidemiologia matemática, dengue, dinâmica da transmissão da dengue.

1. Dengue: caracter´ısticas e aspectos principais

1.1. Sintomas, caracter´ısticas, aspectos biol´ogicos

A palavra dengue tem origem espanhola e significa “melindre”, “manha”, referindo-se ao estado de moleza e prostração que acomete o doente. Já a doença, designa uma infecção de curta duração, cuja gravidade é variável. ´E causada pelo v´ırus da fam´ılia Flaviviridae e a transmissão se dá pelo artrópode do gênero Aedes. O desenvolvimento da doença ocorre de forma intr´ınseca, no ser humano, ou extr´ınseca, no vetor.

Quando o mosquito transmite a doença ao ser humano, surge após o per´ıodo de incubação, a viremia. Neste per´ıodo, o Aedes Aegypti que picar o indiv´ıduo contami-nado também se contaminará, desencadeando o processo de incubação extr´ınseca, o qual vai desde a ingestão do sangue infectado até o momento em que o mosquito é capaz de transmitir o v´ırus pela sua replicação nas glândulas salivares. Apesar de contaminado, a doença não se manifesta no mosquito. [YANG, 2003]

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dia anterior de aparecimento da febre e o sexto dia da doença. Já no mosquito, o per´ıodo de incubação viral varia de três a quinze dias. Apesar do mosquito transmitir a doença, ela só acomete o ser humano.

A dengue pode ser classificada como clássica, forma benigna e mais comum da doença, e hemorrágica, que pode levar ao óbito.

A dengue clássica inicia-se com febre, a qual se manifesta após o per´ıodo de incubação de 5 a 8 dias. Usualmente esta surge acompanhada de cefaléia frontal e dor retrorbital e mialgia generalizada. A artralgia, hiperemia conjuntival e a eritema facial se manifestam desde o in´ıcio. A partir do segundo dia, os sintomas digestivos se mostram mais significativos. Nesta fase, podem aparecer fenômenos hemorrágicos de pouca inten-sidade, principalmente na pele e mucosa. [MACHADO, 2000]

Quando a pessoa se infecta pela segunda vez com o v´ırus da dengue, pode surgir o quadro de dengue hemorrágica, na qual ocorrem febres e hemorragias. No in´ıcio, a sintomatologia assemelha-se com a da dengue clássica, no entanto, a partir do segundo ao sétimo dia, o quadro do infectado agrava-se. Os sintomas neste per´ıodo são dores abdomi-nais, vômitos, queda brusca de temperatura, sonolência ou inquietação, palidez, dispnéia e cianose. Podem ocorrer casos de alteração dos n´ıveis de consciência, convulsões e sinais de déficit neurológico. [MACHADO, 2000]

Existem quatro sorotipos causadores da dengue, 1, 2, 3 e 4, sendo que no Brasil ainda não há circulação do tipo 4. O tratamento é apenas sintomático e, após a contaminação, o indiv´ıduo torna-se imune ao sorotipo pelo qual foi contaminado, porém, ainda suscet´ıvel aos demais.

1.2. Vetor transmiss˜ao

O principal transmissor da dengue ´e o mosquito Aedes Aegypti, da fam´ılia Culicidae. Tem origem africana e ficou conhecido por transmitir a dengue e a febre amarela.

O Aedes Aegypti foi descrito pela primeira vez no Egito, em 1762 [LEITE, 2004]. De acordo com Gadelha (apud DOMINGOS, 2005), a dispers˜ao do mosquito ocorre, prin-cipalmente, pelo transporte de formas imaturas do Aedes Aegypti, principalmente ovos.

Assim, apesar de ter origem africana, este mosquito foi levado a outros pa´ıses. `

A Am´erica, foi trazido no per´ıodo colonial (Gadelha e Toda apud DOMINGOS, 2005), sendo introduzido no Brasil com o tr´afico de escravos. [LEITE, 2004]

Atualmente este mosquito está disseminado nas regiões tropicais e subtropicais do planeta, dependente da concentração humana. Estando bem adaptado ao meio urbano, necessita do domic´ılio humano para se procriar, onde encontra pequenas quantidades de água limpa, pobre em matéria orgânica em decomposição e sais, para depositar seus ovos. Em função da procriação, a fêmea necessita da substância albumina, presente no sangue. Para tanto ela pica o indiv´ıduo para se alimentar e completar o processo de amadurecimento dos ovos. Após se alimentar do sangue infectado, passa por um per´ıodo de incubação. Só depois disso que o mosquito passa a transmitir a doença ao ser humano. As etapas de desenvolvimento do Aedes Aegypti compreendem o ovo, a larva, a pupa e o adulto.

Por não haver vacinação contra a dengue, a prevenção se dá por meio da vigilância epidemiológica e controle do mosquito. Este controle pode acontecer mecânica ou quimi-camente. O controle mecânico se dá pela eliminação de locais com condições para o desenvolvimento das larvas do mosquito, ou seja, locais com acúmulo de água potável. O controle qu´ımico, no entanto, consiste na aplicação de produtos em locais de criação do vetor, a fim de eliminá-lo.

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2. Modelos matem´aticos e modelagem epidemiol´ogica

Verifica-se uma iteração efetiva entre a Matemática e as Ciências em geral, dentre es-tas a f´ısica, a qu´ımica e a biologia. Para tanto, se faz necessário, e é observada desde a criação de s´ımbolos numéricos, a existência de motivação para abstrair uma situação do cotidiano, formalizando e sintetizando idéias. Assim, pode-se dizer que o objetivo da matemática aplicada é “extrair esta essência e formalizá-la em um contexto abstrato, onde ela possa ser trabalhada intelectualmente, desenvolvida e absorvida como uma ex-traordinária economia de pensamento”. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988].

Deste modo, o modelo matemático abstrairá o fenômeno a ser explicado, con-ceitualizando e generalizando, e, modelando o problema, terá a missão de simplificá-lo. Assim, a modelagem oferece-se como mecanismo para planejar o futuro e analisar tendências. Para tanto, a precisão do modelo dependerá da quantidade e qualidade de suas variáveis. Se houver muitas aproximações e simplificações no modelo, o resultado pode não ser confiável, tendo em vista que se distanciará da realidade. No entanto, um modelo que apresenta poucas aproximações poderá ser de resolução tão complexa que seu resultado seria inútil. [COMCI ÊNCIA, 2008].

“Um problema real não pode ser representado de maneira exata, em toda sua complexidade, por uma equação matemática ou um sistema de equações. No entanto, se trabalharmos com as variáveis essenciais do fenômeno observado, o modelo matemático que simula tal fenômeno poderá levar a soluções bastante próximas daquelas observadas na reali-dade”. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988]

2.1. Modelos Compartimentais

Como cita Gomes [GOMES, 2008], os indiv´ıduos que compõem a população hospedeira são divididos em:

• Suscet´ıveis: S˜ao os indiv´ıduos que podem contrair a doenc¸a;

• Latentes ou expostos: São os indiv´ıduos contaminados, mas que ainda não trans-mitem a doença;

• Infecciosos: S˜ao os indiv´ıduos transmissores da doenc¸a;

• Removidos: São os indiv´ıduos que não contraem a doença, seja por adquirir imu-nidade ou por ser isolado.

O processo infeccioso, portanto, se iniciará com o indiv´ıduo suscet´ıvel, o qual, em contato com o agente infeccioso, se contamina e entra no per´ıodo de latência. Quando a quantidade viral em seu organismo aumenta, o indiv´ıduo passa a transmitir a doença, sendo denominado assim, infeccioso. Após sua recuperação, ele passa a ser novamente suscet´ıvel ou se enquadrará na classe dos removidos, no caso podendo ter adquirido imunidade.

Considerando S = suscet´ıveis, E = latentes, I = infecciosos, R = removidos e N = populac¸˜ao total, podemos esquematizar da seguinte forma:

S + E + I + R = N

Pode-se, ainda, considerar as proporções dos indiv´ıduos em relação à população, e assim obter a expressão s + e + i + r = 1, onde, s = S/N , e = E/N , i = I/N , r = R/N .

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constante ou varia em uma escala temporal muito longa quando comparada com o tempo do processo infeccioso. No entanto, as classes individuais citadas n˜ao precisam neces-sariamente aparecer juntas no estudo da doenc¸a. [BASSANEZI, FERREIRA JR, 1988]

3. Modelos matemáticos da dinâmica da transmissão na população

mosquitos

A população de mosquitos será estudada de modo a separar suas fases biológicas, visto que essas etapas são importantes à modelagem da dinâmica da transmissão da dengue.

O estudo feito é baseado nos artigos de Hyun Mo Yang, Cláudia Pio Ferreira e seus colaboradores, publicados, em sua maioria, pela revista TEMA - Tendências em Matemática Aplicada e Computacional.

1. Fase ovo: Fase inicial da vida do Aedes Aegypti. O número de ovos por per´ıodo de tempo, representado porE(t), aumenta de acordo com a taxa per-capita φ(t) de ovoposição por per´ıodo de tempo e leva em consideração o número C de cri-adouros dispon´ıveis. A quantidade de ovos diminui com a sua inviabilidade, por morte (µe(t)) ou a medida que os mesmos eclodem (σe(t));

2. Fase larva: A medida que os ovos eclodem (σe(t)) surgem as larvas, representadas

porL(t). O número de larvas inicial por per´ıodo de tempo diminuirá com a mor-talidade das larvas, seja naturalmente (µl(t)) ou por controle mecânica e qu´ımico

(ml(t) e µl(t), respectivamente) ou pela sua transformac¸˜ao em pupa (σl(t))

3. Fase pupa: As larvas se transformam em pupas (P (t)) por meio da taxa per-capita σl(t). O número inicial de pupas por per´ıodo de tempo é reduzido à medida que as

pupas morrem (naturalmente (µp(t)) ou por controle) ou com a sua transformac¸˜ao

em mosquito adulto (σp(t));

4. Fase adulta: A quantidade de fêmeas adultas por per´ıodo de tempo é dada por W (t) e esta quantidade se dá pela transformação das pupas (σp(t)).

Tamb´em existe uma subdivis˜ao da fase adulta:

1. Mosquitos Suscet´ıveis: est˜ao suscet´ıveis ao v´ırus da dengue, denomina-seW1(t).

Neste per´ıodo a quantidade de mosquitos diminui `a medida em que eles se con-taminam pela doenc¸a (ηw(I)) ou morrem (naturalmente (µw(t)) ou por controle

qu´ımico (µ′ w(t)));

2. Mosquitos Infectados e não infectantes: Quando os mosquitos suscet´ıveis se con-taminam, passam por um per´ıodo onde estão infectados, porém, não transmitem a doença. A quantidade de mosquitos neste per´ıodo é representada por W2(t),

onde esta diminui `a medida em que estes mosquitos passam a infectar (γw) ou

morrem (naturalmente (µw(t)), por controle mecˆanico (µ′w(t)) ou pelo

envelheci-mento (µ2(t)));

3. Mosquitos Infectantes: Quando os mosquitos passam a transmitir a doenc¸a, estes passam a ser denominados infectantes (W3(t)). Neste est´agio sua quantidade

diminui `a medida que os mosquitos morrem, naturalmente (µw(t)), por controle

qu´ımico (µ′

w(t)) ou pelo envelhecimento (µ3(t)).

Com a disseminação da doença, medidas de controle são aplicadas a fim de reduzir a quantidade do vetor transmissão, o mosquito Aedes Aegypti.

• Controle Mec ânico: Este controle é feito por agentes de saúde pública em visitas à residências ou pelos próprios moradores quando da remoção ou inviabilização

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dos criadouros. Neste caso são atingidas diretamente as fases aquáticas do Aedes Aegypti, onde as taxas per-capita de inviabilização dos criadouros por per´ıodo de tempo são dadas porme(t), ml(t) e mp(t), referentes a ovos, larvas e pupas,

respectivamente. Além disso, neste controle deve ser considerada a quantidade C de criadouros, onde há a eliminação das fraçõesfi, i = 1, 2, ..., k, de cada tipo

de criadouros, podendo estes ser de vários tipos e formas, desde grandes, como caixas d’água, até pequenos como tampas de garrafas. Assim, a quantidade dos criadouros removidos será dado porPk

i=1fiCi e a capacidade remanescente dos

criadouros ser´a_{1 −}Pk

i=1(1 − fi)Ci;

• Controle qu´ımico por larvicida: Este controle é realizado por meio da dissemi-nassão de venenos atuantes nas fases de larvas e pupas. A taxa de mortalidade por tal método é representada porµ′

l(t) e µ′p(t), indicando as taxas adicionais de

morte por per´ıodo de tempos de larvas e pupas, respectivamente;

• Controle qu´ımico por adulticida: Este controle é realizado por meio da disseminação de venenos atuantes sobre mosquitos adultos, seja aplicado por equipamentos portáteis (geralmente dentro de casa) ou pelo uso de pulverizadores (pulverização nas ruas). A taxa de mortalidade por per´ıodo de tempo por este método é indicada porµ′

w(t).

A partir de estudos, obtém-se o sistema de equações diferenciais ordinárias para a dinâmica de transmissão do v´ırus da dengue na população de mosquitos Aedes Aegypti:

                                     d dtE(t) = ϕ(W ) h 1 − Pk E(t) i=1(1−fi)Ci i − E(t)(σe(t) + µe(t) + me(t)) d dtL(t) = σe(t)E(t) − L(t)(σl(t) + µl(t) + µ′l(t) + ml(t)) d dtP (t) = σl(t)L(t) − P (t)(σp(t) + µp(t) + µ′p(t) + mp(t)) d dtW1(t) = σp(t)P (t) − W1(t)(ηw(I) + µw(t) + µ′w(t)) d dtW2(t) = ηW(I)W1(t) − W2(t)(γw+ µw(t) + µ′w(t) + µ2(t)) d dtW3(t) = γwW2(t) − W3(t)(µw(t) + µ′w(t) + µ3(t)) (1)

4. Modelos matemáticos da dinâmica da transmissão na população humana

A dengue é transmitida pelo mosquito Aedes Aegypti para a população humana, onde a doença se manifesta de modo ben´ıgno em sua infecção pelo primeiro sorotipo. O in-div´ıduo infectado se torna, após curado, imune ao sorotipo pelo qual se contaminou.

Para o estudo da população humana, esta é subdividida, de acordo com a história natural da infecção, em suscet´ıveis, latentes, infectantes e recuperados, sendo que tais “classes” não se interceptam.

1. Suscet´ıveis (S): Indiv´ıduos não infectados, vulneráveis a contaminação da doença; 2. Latentes (H): A medida com que os indiv´ıduos suscet´ıveis são picados pelos mosquitos infectantes, migram para a classe dos latentes, a qual designa in-div´ıduos contaminados em per´ıodo de incubação, ou seja, não infectantes;

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3. Infectantes (I): Com o término do per´ıodo de incubação, o indiv´ıduo passa à classe dos infectantes. Neste per´ıodo, além de manifestar a doença, o indiv´ıduo a trans-mite ao mosquito suscet´ıvel que o picar;

4. Recuperados (R): Quando o per´ıodo de infecção chega ao fim, o indiv´ıduo está recuperado da doença.

Temos, então, o sistema de equações diferenciais ordinárias que descreve a dinâmica de transmissão da dengue na população humana:

                   d dtS(t) = µhN (t) − S(t)(ηh(W3) + µh) d dtH(t) = ηh(W3)S(t) − H(t)(γh+ µh) d dtI(t) = γhH(t) − I(t)(σh+ µh) d dtR(t) = σhI(t) − R(t)µh (2)

Considerando queS(t)+H(t)+I(t)+R(t) = N (t) é constante, podemos dividir o sistema (2) de equações da dinâmica de transmissão da dengue na população humana pelo valorN (t), obtendo um novo sistema de equações em termos da proporção de indiv´ıduos.

5. Estudo de casos

O estudo de casos foi realizado por meio da implementação dos modelos da dinâmica da transmissão da dengue no software MATLABr_{e no software Xmgrace.}

Para a implementação, são escolhidos valores para os parâmetros que remetem situções reais, como clima e fatores biológicos. Após, o modelo foi implementado nos softwares citados. Em todo o estudo, é utilizado, para resolução das equações diferencias ordinárias, o método Runge-Kutta vetorial de 4a ordem de acurácia.

A partir disso, é poss´ıvel realizar análises quantitativas e qualitativas dos resulta-dos obtiresulta-dos a partir da análise resulta-dos gráficos.

5.1. Populac¸˜ao humano livre de mosquitos

Uma análise inicial da dinâmica da transmissão da dengue mostra o comportamento da população livre do mosquito Aedes Aegypti.

Para este caso a reprodutibilidade dos mosquitos é pequena, o que leva a sua extinção. Com isso, é necessário que os parâmetros escolhidos satisfaçam a razão de reprodutibilidadeR < 1, onde R = γwγhǫ 2_β wβh ρ2ρ3ρhρi eρh = γh+ µh;ρi = σh+ µh

E ainda, a ovoposic¸˜aoφ < φth, onde φth= σe ρe σl ρl σp ρp 1 ρw −1 eρe = σe(t) + µe(t) + me(t); ρl = σl(t) + µl(t) + µ′l(t) + ml(t); ρp = σp(t) + µp(t) + µ′ p(t) + mp(t); ρw = µw+ µ′w

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Neste caso, os resultados obtidos ser˜ao como os apontados na figura 1. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 tempo (dias) populações E L P W1 W2 W3 s h i r

Figura 1: Populac¸ ˜oes de mosquitos e humana

No gráfico apresentado na figura 1, nota-se que, com a extinção dos mosquitos, a população humana se estabiliza como suscet´ıveis.

5.2. Populac¸˜ao humana infestada por mosquitos livres da dengue

A população humana pode estar infestada por mosquitos Aedes Aegypti, os quais estão livres do v´ırus da dengue.

Neste caso,φ > φtheR < 1 e os resultados s˜ao como os apresentados na figura 2.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 5 10 15 20 25 30 35 40 tempo (dias) populações E L P W1 W2 W3 s h i r

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No gráfico apresentado na figura 2, nota-se que, há a extinção dos mosquitos la-tentes (W2) e infectados (W3) e da população humana portadora da doença, permanecendo

apenas indiv´ıduos suscet´ıveis (s).

5.3. Populac¸˜ao humana infestada por mosquitos contaminados pela dengue

Este caso é o mais completo, onde há população de mosquitos contaminada pelo v´ırus da dengue, ou seja,φ > φtheR > 1 e, então, tem-se:

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 tempo (dias) populações s h i r

Figura 3: Populac¸ ˜ao humana

O gráfico apresentado na figura 3 representa a dinâmica da população humana. Nota-se que, após a contaminação dos indiv´ıduos, há um pico de indiv´ıduos recuperados e uma grande baixa em indiv´ıduos suscet´ıveis. No entanto, com a mortalidade dos indic´ıduos recuperados, a curva dos indiv´ıduos recuperados passa a decrescer e dos suscet´ıveis começa a crescer.

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0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 tempo (dias) populações E L P W1 W2 W3

Figura 4: Populac¸ ˜ao de mosquitos

Já o gráfico apresentado na figura 4 mostra a dinâmica da população de mosquitos. Nota-se que as curvas se alteram conforme a sazonalidade, a qual refere-se à época do ano, de acordo com o clima e a umidade. Para as análises realizadas foram consideradas dois per´ıodos distintos, um desfavorável para o desenvolvimento das fases do mosquito e outro favorável, compreendendo um per´ıodo de 75 dias do ano de 360 dias.

Os resultados apresentados neste trabalho est˜ao de acordo com os apresentados nas literaturas t´ecnicas citadas.

Agradecimentos

Agradeço, em especial, a professora Dra. Cláudia Pio Ferreira, pelo atendimento e disponibilidade, ajudando e sanando as dúvidas em relação a modelagem apresentada neste trabalho.

Referˆencias

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FERREIRA, C.P., YANG, H.M. Estudo dinâmico da população de mosquitos Aedes Aegypti. Revista TEMA. 2003. p187-196

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FERREIRA, C.P., YANG, H.M. Estudo da transmissão da dengue entre os indiv´ıduos em interação com a população de mosquitos Aedes Aegypti. Revista TEMA. 2003. p323-332

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GOMES, M.C. Dinˆamica de Doenc¸as Infecciosas. http://webpages.fc.ul.pt/ mcgomes/ aulas/ddi/index.html

DOMINGOS, M. de F. Aspectos da ecologia de Aedes Aegypti (Linnaeus) em Santos. Universidade de S˜ao Paulo. 2005

LEITE, J.O. de C. Importância da descentralização das ações de epidemiologia e con-trole de doenças na aplicação da vigilância entomológica do Aedes Aegypti, no Rio Grande do Sul, de 2000 a 2003. Boletim Epidemiológico. 2004