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Conceito função: entendimentos produzidos por licenciandos de um curso de Matemática1
Sandra Beatriz Neuckamp2
Resumo: O presente artigo se constituiu a partir de uma pesquisa com abordagem
qualitativa, que tem como objetivo identificar e analisar entendimentos que acadêmicos de um curso de Licenciatura em Matemática apresentam acerca do conceito função. A referida pesquisa considera como dados empíricos um questionário elaborado e aplicado aos licenciandos prováveis formandos do curso de matemática. As análises se estruturaram em três unidades: relação entre variáveis e a interdependência entre elas, as diferentes representações da função e os padrões e regularidades no conceito função. As analises fundamentaram-se principalmente a partir de proposições apresentadas por Caraça (2002) e Van de Walle (2009). A pesquisa aponta que os acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática apresentam dificuldades nas noções estruturantes do conceito, como por exemplo, na interpretação de padrões e regularidades, gráficos e tabelas. Desse modo, a pesquisa acomete para a necessidade de aprofundar a base de conhecimentos relacionada ao conceito função no decorrer da formação inicial dos futuros professores de Matemática, para que os educadores tenham os subsídios necessários para a organização de um ensino adequado deste conceito para sua atuação na Educação Básica.
Palavras-chave: Conceito Função; licenciandos de matemática; formação do professor
de matemática; conhecimento do conteúdo.
Introdução
O processo de formação que possibilita a alguém ser um professor eficaz necessita de discussão e reflexão por parte dos próprios educadores, pois somente com e a partir de reflexões sobre a prática docente e os aspectos intervenientes a sua formação, é que o professor pode compreender e se apropriar dos saberes necessários para que sua atuação como educador seja qualificada. Nesse sentido, pensando sobre o processo formativo docente, os estudos de Shulman (2014) nos auxiliam a compreender a essência dos saberes que constituem um professor, desde as suas crenças e entendimentos, até as suas habilidades e capacidades. Desse modo, o processo formativo docente nasce a partir de uma base de conhecimentos que Shulman trata como “[...] um agregado codificado e codificável de conhecimento, habilidades, compreensão e tecnologias, de ética e
1 Este artigo foi elaborado para o Componente Curricular Estágio Supervisionado: Trabalho de
Sistematização do Curso em Matemática – Licenciatura da UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, sob orientação da professora Ma. Isabel Koltermann Battisti.
2 Graduanda do curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.
2 disposição, de responsabilidade coletiva – e também de um meio de representa-lo e comunica-lo.” (2014, p. 200).
Essa base de conhecimentos para o ensino é organizada por Shulman (2014) em categorias, que consideram o conhecimento do conteúdo da disciplina ensinada, o conhecimento pedagógico da matéria, o conhecimento curricular, entre outros. A categoria do conhecimento pedagógico do conteúdo, por exemplo, representa a articulação entre a categoria do conhecimento pedagógico e do conhecimento da disciplina, quando favorece o aprendizado do educando ao transformar o conhecimento disponível de um tema num conteúdo escolar. A confluência dessas duas categorias permite que o conhecimento produzido pela ciência seja transformado em conhecimento escolar para que possa, assim, ser ensinado pelo professor. No decorrer desta escrita, em virtude do foco da investigação que a constitui, será priorizada a categoria do conhecimento do conteúdo, que de acordo com os estudos de Vieira e Araújo,
[...] busca compreensões acerca da estrutura da disciplina e a organização cognitiva da matéria objeto de estudo e compreende o domínio dos aspectos atitudinais, conceituais, procedimentais, representacionais e validativos do conteúdo. (2016, p.87)
Shulman (2014), caracteriza a fonte elementar para a base do conhecimento como o conhecimento do conteúdo, isto é, conhecimento, aptidão, compreensão e disposição que devem ser assimilados pelos professores. Essa categoria de conhecimento tem como origem uma base bibliográfica que contém os estudos acumulados das áreas de conhecimentos, e também uma base de produção acadêmica histórica e filosófica sobre a natureza do conhecimento nessa área de estudo. Essencialmente, o ensino é uma profissão que exige um nível de formação acadêmica, pois o professor como membro de uma comunidade acadêmica, deve compreender as estruturas da disciplina que leciona, os princípios da organização conceitual e da investigação que o auxilia a responder a perguntas que visam entender quais são as ideias e habilidades importantes de sua área do conhecimento.
Assim, conforme explicita Shulman (2014), são utilizados materiais e estruturas para ensinar e aprender, sempre com o propósito de alcançar os objetivos da escolarização, como por exemplo o currículo, as instituições de ensino, as organizações profissionais de professores, as agências governamentais ou ainda os materiais selecionados. Nesse espectro, os professores trabalham usando e sendo usados por estes
3 elementos, sendo que dentre os materiais utilizados é possível destacar um recurso de suma importância para o ensino: o livro didático.
O livro didático, como um recurso, representa além de um componente do conhecimento do conteúdo também uma fonte de conhecimento pedagógico do conteúdo. Enquanto traz a organização de um conjunto de conhecimentos produzidos pela ciência transformados, tanto para o educando quanto para o professor, em matéria de ensino já selecionada e estruturada com ordenamento sequencial do conteúdo a ser estudado em sala de aula. Tal recurso apresenta-se como um material referencial para o ensino e para a aprendizagem com a função de favorecer a aquisição de saberes pelo aluno, possibilitando o aprofundamento, a consolidação, a ampliação e a integração de conhecimentos necessários para propiciar o desenvolvimento de habilidades e competências do aluno, com objetivo de ampliar sua autonomia. No que diz respeito ao professor, o livro didático pode se configurar como um auxílio no planejamento didático-pedagógico e na gestão das suas aulas, além de assumir um papel de texto de referência e favorecer a sua formação didático-pedagógica. No entanto se faz necessária uma atenção especial com relação ao uso de tal recurso, para que este não se estabeleça como um gerador e definidor de currículo no contexto escolar.
A matemática, no currículo escolar, se mostra como um importante componente na construção da cidadania dos educandos na medida em que, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1998), a sociedade tem se utilizado cada vez mais de conhecimentos e de recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar. No contexto, considerado os conceitos matemáticos, possuem um papel relevante na formação do educando, pois este poderá compreender e transformar a sua realidade ao construir e apropriar-se de cada conhecimento.
Assim, de acordo com o PCN (BRASIL, 1998), a apropriação dos conceitos matemáticos pelo educando, entre os quais o conceito função, contribui não apenas para o desenvolvimento de raciocínios e procedimentos específicos, mas também, a possibilidade de ampliar a compreensão de uma determinada atividade realizada. A resolução de problemas, é um exemplo de ferramenta que pode ser utilizada para o desenvolvimento do raciocínio, pois depende de um novo tipo de compreensão das informações, cuja atual produção está cada vez mais rápida e excessiva, sendo assim, em todas as etapas da escolarização os educandos devem ser levados a perceber que novos
4 objetos do conhecimento são necessários para atender a novas demandas sociais e cientificas.
De acordo com o que propõe a Base Nacional Curricular Comum – BNCC (BRASIL, 2015), o estudo do conceito função no ensino fundamental está associado às primeiras evidências de organização do pensamento, portanto o que a primeira vista pareciam conhecimentos isolados passam a relacionarem-se quando inseridos em processos de contextualização e de descontextualização. Já, no ensino médio, considerado uma etapa complementar da educação básica a qual visa ampliar e consolidar as aprendizagens do ensino fundamental, desenvolvendo novas capacidades de interpretar e refletir sobre diferentes contextos, o estudo do conceito função deve priorizar aspectos relacionados à variação entre grandezas, permitindo que o estudante desenvolva de fato o pensamento funcional. Considerando que
A matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico. (BRASIL, 1998, p. 24)
A indicação do PCN (BRASIL, 1998), possibilita a interpretação de que aprendizagens acerca do campo de relações e regularidades relacionam-se intrinsicamente ao conceito função e que a apropriação deste conceito pelo estudante pode favorecer a estruturação do pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico, de forma especial do pensamento funcional.
Durante a minha experiência enquanto aluna do curso de Licenciatura em Matemática realizei um estágio curricular supervisionado, no qual tive a possibilidade de atuar como professora em uma turma do 9º ano do Ensino Fundamental, de uma escola pública, localizada em uma pequena cidade do noroeste do estado do Rio Grande do Sul. Foi durante essa experiência que pude perceber de forma mais próxima as dificuldades encontradas por alguns alunos da educação básica na elaboração do conceito função, o que me fez refletir sobre as vivências e as dificuldades que eu mesma já tive acerca deste conceito durante o meu percurso acadêmico. Estas percepções me levaram a querer compreender ou a ampliar entendimentos acerca da conceituação de função por acadêmicos no decorrer da formação profissional de professor de matemática.
Portanto, a importância do conceito função na formação integral do estudante da educação básica justifica e valida a necessidade de que tal conceito seja tratado de forma
5 muito especial no decorrer do curso de formação inicial de professores de matemática, ou seja, tratado de forma que possibilite ao licenciando apropriar-se de significações, sejam conceituais, curriculares e/ou pedagógicas, para que este sujeito ao atuar como professor tenha uma base consistente ao tratar do conceito de função.
Uma contribuição importante para a área de pesquisa sobre a formação de professores de matemática é apresentada pelo renomado pesquisador Fiorentini (2002), que em algumas de suas obras traz ideias relevantes acerca das relações entre os conhecimentos veiculados no processo de formação, bem como dos saberes associados às questões que estão presentes na prática profissional docente na escola. De acordo com Fiorentini (2012), o conhecimento matemático pode ser visto através de perspectivas diferenciadas, tais como a prática cientifica e acadêmica, a prática escolar, ou ainda as práticas cotidianas informais, considerando que a matemática escolar é constituída através de um processo que mobiliza a matemática cientifica e as práticas cotidianas.
Segundo Moreira (2004), quando iniciaram os cursos de licenciatura o saber docente considerado relevante na formação de um professor era o de conhecimento específico da disciplina, consequentemente, o curso de formação de professores era conhecido por ser realizado num modelo “três + um”, onde haviam três anos de formação específica e mais um ano de formação pedagógica complementar. No entanto, as discussões mais recentes acerca da formação docente indicam de que apenas o estudo do conteúdo especifico em si é necessário, mas não o suficiente para a formação do professor de matemática. Deste modo, o trabalho de Moreira (2004) tem como foco “[...] compreender as relações entre os conhecimentos matemáticos veiculados no processo de formação e os conhecimentos matemáticos envolvidos na prática profissional docente na escola básica.” (2004, p. 8)
A partir deste cenário, que sugere a relevância de se buscar uma compreensão acerca dos entendimentos necessários aos professores, visto que a matemática constitui-se de um emaranhado de ideias e conceitos que juntos possibilitam aos alunos deconstitui-senvolver competências e habilidades para garantir a continuidade dos estudos e também a preparação para o trabalho e o exercício da cidadania. Nesse contexto, a presente pesquisa tem como objetivo geral compreender entendimentos que se mostram presentes em licenciandos do curso de matemática acerca do currículo, da aprendizagem, ou de processos de ensino e de aprendizagem relacionados ao conceito função. Isso porque, o
6 conceito de função se faz presente na proposição curricular do ensino em todas as etapas da educação básica, e em todas elas sua importância é muito ressaltada devido a seu aspecto instrumental.
Neste contexto, a presente pesquisa tem como objetivo específico identificar e analisar os entendimentos que alunos de um curso de licenciatura em matemática apresentam sobre o conceito função. A intencionalidade de investigação é delimitada pela questão: “Quais entendimentos que acadêmicos formandos de um curso de licenciatura em matemática apresentam sobre o conceito função?”.
1. Metodologia de Pesquisa
A pesquisa que fundamenta a presente escrita tem uma abordagem qualitativa, cujas principais características são, de acordo com Garnica (2004), a transitoriedade de seus resultados e a impossibilidade de constituir uma hipótese a priori, cuja intencionalidade da pesquisa será de comprovar ou refutar. Nesse sentido, não há o que possamos chamar de metodologia de pesquisa qualitativa "ideal", visto que ela depende do que se quer olhar, de como se quer olhar e de fatores inefáveis, sendo assim, pode-se considerar que são os procedimentos utilizados em uma pesquisa que moldam o tipo de pergunta que é feita, assim como a interrogação de pesquisa e a visão de conhecimento também constituem e definem os procedimentos que serão utilizados.
Na presente investigação estão sendo considerados entendimentos de licenciandos formandos de um curso de Licenciatura em Matemática acerca do conceito função. Para tanto, foram utilizadas questões adaptadas do livro didático da coleção Matemática – Contexto e Aplicações de Luiz Roberto Dante3 na formulação de um questionário. Este contém 10 questões (Q1 à Q10) que envolvem ideias fundantes do conceito função, tais como: a relação entre variáveis e a interdependência entre elas, as diferentes representações da função e os padrões e regularidades presentes no conceito de função. Estas ideias concentram o que é nuclear do conceito, isto é, a essência do conceito de função, e por isso também serão utilizadas como tópicos para a análise dos entendimentos produzidos pelos acadêmicos respondentes da pesquisa.
3 De acordo com os dados do FNDE (Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação) o livro didático mais distribuído para as escolas, considerando a disciplina de Matemática do ensino médio, durante o ano de 2015, foram os livros da coleção Matemática – Contexto e Aplicações de Luiz Roberto Dante, com um total de 2.564.520 de livros distribuídos.
7 O questionário foi respondido por licenciandos prováveis formandos - sujeitos da pesquisa. Os licenciandos foram convidados a responder as questões propostas com a justificativa de que tal conceito integra o currículo de matemática da educação básica. De acordo com os dados disponibilizados pela secretaria do curso de Licenciatura em Matemática da universidade na qual foi realizada a pesquisa, haviam um total de 15 (quinze) licenciandos que já tinham uma porcentagem de mais de 85% do curso concluída, sendo que dentre estes um total de 9 (nove) acadêmicos podem ser considerados possíveis formando no segundo semestre do presente ano.
Com o auxílio destes dados, os acadêmicos foram selecionados através do critério de prováveis formandos, e convidados por meio de e-mail à participar de um encontro, o qual seria realizado em duas datas diferentes, para que todos tivessem a oportunidade de participar da pesquisa respondendo o questionário. Entretanto, dos 9 acadêmicos convidados por e-mail, apenas 5 licenciandos compareceram para a realização do questionário, assim, para identifica-los no decorrer do texto, os mesmos serão chamados de acadêmico (AC) desde a letra A até a letra E (AC A, AC B, AC C, AC D e AC E).
Desse modo, levando em conta tal contexto, as questões propostas apresentam uma oportunidade de proporcionar aos licenciandos um meio de colocar em evidencia aspectos relevantes do conceito de função. Estes merecem ser tratados de maneira especial, assim, as questões devem estar permeadas pelo estudo de possíveis relações interdependências quantitativas entre grandezas, reconhecendo e identificando grandezas variáveis. Através da análise das grandezas é que os alunos conseguem elaborar um olhar mais crítico e analítico sobre situações do seu dia a dia, que quando modeladas matematicamente, o conceito função pode ser usado para descrever a variação de duas grandezas que se encontram numa relação de dependência.
A relação entre grandezas variáveis foi considerada nas questões propostas por meio de representações gráficas, tabulares e algébricas, nas quais, os licenciandos devem identificar grandezas mensuráveis a partir de um contexto, para em seguida estabelecer as relações existentes entre essas grandezas. Os padrões ou sequências numéricas que aparecem em quadros e tabelas baseados em uma regra particular promovem desafios que são apropriados ao desenvolvimento do pensamento algébrico, bem como a representação gráfica destes. Em tal representação, que pode ser elaborada a partir de uma tabela sem necessariamente ter estabelecido uma fórmula, convencionalmente, o eixo horizontal é
8 utilizado para representar a variável independente, enquanto que, no eixo vertical é representa a variável dependente.
Em meio às duas representações de função citadas anteriormente, é necessário ainda que seja verificado os entendimentos dos licenciandos acerca da linguagem que estes utilizam para representar funções, bem como das equações (fórmulas) que são utilizadas para representá-las. Além de verificar, cada uma das representações separadamente, é necessário que os futuros professores possam conectá-las entendendo que para uma mesma função cada uma dessas representações ilustra a mesma relação. Cada uma das representações tem sua importância, pois, assim como afirma Van de Walle (2009),
O contexto fornece uma incorporação da relação fora do mundo da matemática. A linguagem ajuda a expressar a relação de uma maneira significativa e útil. As tabelas explicitadamente associam elementos selecionados que são emparelhados pela função. [...] O gráfico traduz os pares de números em uma imagem. Qualquer ponto no gráfico de uma função tem duas coordenadas. A função é a regra que relaciona a primeira coordenada com a segunda. A equação expressa a mesma relação funcional com a economia e o potencial do simbolismo matemático (VAN DE WALLE, 2009, p. 308). Deste modo, faz-se necessário verificar se os futuros professores compreendem que as representações de uma função são nada além do que maneiras de olhar para o mesmo objeto matemático. Por fim, mas não menos importante, os licenciandos devem ser capazes de fazer uma análise dos parâmetros, buscando compreender domínio, contradomínio e imagem em todas as representações verificadas.
Considerando os objetivos da pesquisa as unidades de análise que foram definidas
a priori, ou seja, antes mesmo de observar as recorrências apresentadas pelo material
empírico produzido, as análises dos dados produzidos na presente pesquisa são referenciadas, especialmente pelas contribuições de CARAÇA (1984), SHULMAN (2014) e VAN DE WALLE (2009) acerca do conceito de função, bem como os documentos oficiais (BRASIL, 1998, 2002, 2006, 2015) e (RIO GRANDE DO SUL, 2009).
2. Função: um conceito a ser significado por licenciandos do curso de Matemática
Considera-se a álgebra como um dos pilares da Matemática, já que este ramo é objeto de estudo desde que a humanidade debruçou-se sobre a realidade para construir seus conhecimentos, e transforma-los em abstrações que permitem novas visões sobre
9 cada conceito criado. O ensino da álgebra presente no currículo da Educação Básica tem por objetivos permitir que este ramo da matemática possa ser reconhecido em suas diferentes concepções, levando em conta suas diferentes funcionalidades, como por exemplo, o uso de letras para a generalização de modelos aritméticos, o seu uso como incógnitas, ou ainda como variáveis para expressar relações ou funções. Segundo o Referencial Curricular (RIO GRANDE DO SUL, 2009), o bloco de conteúdos que desenvolve no aluno o pensamento algébrico trabalha com padrões, representações, variáveis e estruturas, aumentando o seu nível de complexidade conforme as etapas de ensino, visando desenvolver no educando modos de pensar que o levem, principalmente, a relacionar, representar, classificar e modelar.
Na Base Nacional Curricular Comum – BNCC (BRASIL, 2015) os objetivos de aprendizagem são organizados em eixos, dentre estes, o eixo da álgebra e funções. Tal eixo tem como principais metas:
Identificar atributos e regras da formação de sequências, e também reconhecer mudanças e relações destas;
Estruturar operações com conjuntos numéricos;
Gerar modelos de resolução;
Desenvolver no aluno o pensamento funcional, através do estudo de variação entre grandezas.
Cada um desses objetivos é trabalhado em várias etapas da educação, complementando, ampliando e consolidando aprendizagens anteriores, buscando desenvolver nos alunos novas capacidades de refletir e interpretar sobre os mais diferentes contextos. As Orientações Curriculares para o Ensino Médio – OCEM (BRASIL, 2006) quando tratam da álgebra em suas orientações as trazem de maneira mais forte no bloco de conteúdo denominado Funções, no entanto, isso não quer dizer que os conteúdos deste bloco sejam trabalhados de maneira estanque, mas ao contrário, há uma constante articulação com os outros blocos. Ainda olhando para o que trazem essas orientações curriculares, é importante ressaltar que estas buscam provocar os alunos na exploração de relações qualitativas, quando colocam que “O estudo de Funções pode ser iniciado com uma exploração qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações” (BRASIL, 2006, p.72).
10 Os PCN de Matemática para o terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental (BRASIL, 1998) apresentam uma preocupação quanto à álgebra. Propõem o estudo de questões que possibilitam para estes educandos o encaminhamento na noção de função, deixando claro que deve ser fundamental para o trabalho com álgebra no último ciclo
[...] a compreensão de conceitos como o de variável e de função; a representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da “sintaxe” (regras de resolução) de uma equação. (BRASIL, 1998, p.84).
Uma observação constante que permeia este documento é relativa à noção de variação, que mesmo sendo pouco explorada nesta etapa de ensino, ao ser trabalhada por meio de “problemas”, pode levar o aluno a compreender a noção de função como uma ferramenta para resolver uma situação problema, e não somente como uma fórmula ou definição estanque.
Caraça (2002) contribui no entendimento de função ao afirmar que existem principalmente dois tipos de leis naturais: as leis quantitativas e as leis qualitativas. Assim, as leis qualitativas são aquelas que dizem respeito à variação de um objeto estudado quanto a sua qualidade. Já as leis quantitativas dizem respeito à variação de tudo aquilo que pode ser comparado ou medido, ou seja, a quantidades. É possível tecer uma teia de leis quantitativas quando nos dedicamos a observar e experimentar, buscando “medir”, isto é, tentando compreender e explicar as variações de quantidades. Nesse sentido surge a noção do conceito de função, visto que a lei quantitativa vem para o entendimento e explicação da realidade, portanto, é de se esperar que ela tenha o conceito matemático próprio para o seu estudo.
Desse modo, Caraça (2002) define o conceito de função como a correspondência de dois conjuntos de números, onde a sua representação simbólica vem para tornar facilmente manejável este conjunto, introduzindo dessa maneira o conceito de variável, representativo de qualquer um dos elementos do conjunto. A noção de função, é, assim, definida por Caraça (2002): Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve-se 𝑦 = 𝑓(𝑥), se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido 𝑥 → 𝑦. A x chama-se variável independente, a y variável dependente.
11 Considerando que o ensino deve enfatizar compreensão e raciocínio, bem como transformação e reflexão, foram consideradas um total de três unidades de análise no decorrer desta pesquisa, que se concentram em alguns dos principais itens a serem significados por licenciandos durante a sua formação em um curso de Matemática, buscando percepções e reflexões acerca dos entendimentos dos acadêmicos participantes da presente pesquisa. Deste modo, as unidades de analise estão divididas em: relação entre grandezas variáveis e a relação de interdependência entre elas, diferentes representações da função e padrões e regularidades presentes no conceito de função. A análise dos resultados destas unidades tem por objetivo compreender e “[...] delinear as categorias de conhecimento subjacentes à compreensão do professor, que é necessária para promover a compreensão entre os alunos.” (Shulman, 2014, p.206)
Dentre as questões apresentadas no questionário respondido pelos acadêmicos, é possível identificar dois contextos em que aparecem as relações entre as variáveis, um que explora uma situação hipotética relacionada ao mundo real e outro que utiliza como contexto aspectos intrínsecos da matemática.
2.1 Relação entre variáveis e a interdependência entre elas
Uma das ideias centrais do conceito de função é relação entre quantidades variáveis, sejam estas contextualizadas a partir do cotidiano ou da própria matemática, portanto, o estudo dos modos de como ocorre a variação entre as grandezas deve estar presente no ensino do conceito de função na Educação Básica, como um participante da própria evolução da matemática, e por conseguinte, presente também na formação inicial dos professores, por ter participado de forma tão decisiva na edificação de um método para a comunidade científica em geral.
Neste espectro, as questões Q1 e Q6 são exemplos de situações contextualizadas, em que a mudança de um item (variável independente) causa uma mudança correspondente em outro item (variável dependente), nesse sentido, diferentes formas de pensamento matemático são necessárias para interpretar a relação entre as variáveis presentes nos contextos que foram apresentados. Na Q1, por exemplo, a correspondência entre tempo e distância permitem uma conexão entre o conceito matemático de função e um comportamento de um fenômeno presente na física (velocidade média), enquanto que a Q6 explorava uma situação que relacionava uma determinada razão por período.
12 Figura 1 – Análise das respostas das questões Q1 e Q6
Fonte: Confeccionado pela autora
É interessante apontar que, apesar de as duas questões considerarem contexto do mundo real, apenas na Q1 os acadêmicos realizaram cálculos para obter as respostas. Desse modo, os acertos estiveram próximo a 100%, isso porque, um dos licenciandos (AC C) demonstra equívoco na relação entre as variáveis, como revela a Figura 2. AC C inverteu a relação funcional que se estabelecia entre as variáveis, assumindo como variável dependente a que na verdade seria independente e vice-versa.
Figura 2 – Diferentes registros analíticos apresentados na questão Q1 por AC C e AC D
Fonte: Dados produzidos na pesquisa.
Segundo Van de Walle (2009) as variáveis são uma parte do conceito de função muito importantes, pois elas permitem que possam ser realizadas as generalizações necessárias para representar quantidades que variam e estabelecem entre si uma relação funcional. Já para Caraça (2002) a importância da noção de variável está ligada a possibilidade de se estabelecer uma representação simbólica para os conjuntos de números que representam uma relação de correspondência funcional, deste modo, a variável é e não é cada um dos elementos do conjunto numérico que ela representa. A resolução apresentada pelo AC C demonstra a dificuldade do mesmo em identificar a variável dependente e a independente da função. Apesar de o próprio enunciado da
13 questão Q1 apresentar as representações simbólicas que poderiam ser utilizadas para cada variável, a resposta produzida pelo acadêmico para a alternativa c), cujo objetivo era o de escrever a representação analítica da função, demonstra que o mesmo não soube determinar qual era de fato a variável dependente e independente.
A utilização da ideia de proporcionalidade pelos acadêmicos AC C e AC D parece ter sido utilizada como uma estratégia para desenvolver a relação funcional dos itens a) e b) da questão Q1. Nesse caso, o recurso da regra de três auxiliou os acadêmicos a encontrarem as respostas pois, conforme Van de Walle (2009) toda situação proporcional origina uma função linear, como por exemplo a de velocidade média. Somente o acadêmico AC D optou por outro caminho para a resolução destas alternativas da questão Q1. Este partiu diretamente da representação algébrica da função para obter os resultados, demonstrando que conseguiu perceber e utilizar com facilidade a relação funcional presente na última linha da tabela fornecida no enunciado da questão.
Já na questão Q6, que apresentava uma tabela de safra anual que relacionava os dados de produção e de produtividade, como é possível verificar na Figura 3, o que se esperava para a abordagem do problema dado, era de que fosse determinada uma razão para cada período de tempo dado, e a partir da análise destes dados fosse selecionado o gráfico que melhor representasse essa relação.
Figura 3 – Excerto do enunciado da questão Q6
Fonte: Adaptado do livro Matemática – Contexto e Aplicações
As informações presentes nos enunciados deveriam ser consideradas para poder determinar uma razão, como por exemplo que envolve as grandezas de produtividade, produção e área plantada:
Produtividade (kg/hectare) = 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 (𝑘𝑔) Á𝑟𝑒𝑎 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 (ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒)
A relação estabelecida entre as grandezas podem também serem descritas da forma:
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Área Plantada (hectare) = 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 (𝑘𝑔)
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝑘𝑔 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒⁄ )
Apenas um dos acadêmicos (AC C) procurou representar numericamente (Figura 4) a razão de crescimento ou decrescimento do gráfico, no entanto ele não obteve sucesso, pois não conseguiu obter uma relação funcional entre seus registros, deste modo, nenhum dos licenciandos conseguiu obter a resposta correta para a questão.
Figura 4 – Registro do acadêmico AC C na resolução da questão Q6
Fonte: Dados produzidos na pesquisa.
Dentre as demais questões, as relações entre variáveis foram apresentadas a partir de um contexto interno da matemática pelas questões Q4, Q5, Q7 e Q9. Dentre estas apenas a Q9 teve 100% de acertos, enquanto a Q5 obteve apenas respostas não desenvolvidas ou erradas. Cada uma das questões apresentava um contexto matemático diferente para inserir as funções e a relação entre as suas variáveis, enquanto a Q9 trazia uma visualização gráfica da função para a determinação de sua imagem e domínio, a Q5 trazia através de uma proposta histórica da nomenclatura de conjuntos a proposição para ser escrita pelo aluno, a notação de função utilizada atualmente.
A questão Q7 aborda a noção de função sobrejetiva, injetiva e bijetiva, por meio da utilização do recurso gráfico. Segundo a definição apresentada por Dante (2015), uma função f: A→B é injetiva se elementos distintos do conjunto A possuem imagens distintas no conjunto B, entretanto, para que a mesma função de f: A→B seja sobrejetiva, todo elemento pertencente ao conjunto B é a imagem de pelo menos um elemento do conjunto A, ou seja, para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que y = f(x). Por fim, quando ocorre o fato de uma função ser ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva, dizemos que esta função é bijetiva. Levando em conta essa definição, os acadêmicos precisavam utilizar da interpretação dos
15 gráficos, para compreender a Imagem e Domínio presentes nas funções dadas, no entanto, dos 5 acadêmicos 2 deixaram a questão em branco, e um errou todas as alternativas, demonstrando um provável “chute” nas suas respostas, assim, mais da metade dos acadêmicos demonstrou dificuldade em se tratando deste tópico que faz parte do conceito nuclear de função.
Figura 5 – Síntese das respostas dos acadêmicos para as questões Q4, Q5, Q7 e Q9
Fonte: Produção da pesquisadora.
PCN+4 (BRASIL, 2002) indica que o estudo de funções deve ter enfoque principal no conceito de função, relativizando ou deixando de lado qualquer linguagem excessivamente formal que faz parte deste tema, juntamente com os estudos sobre funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas. No entanto, o Referencial Curricular (RIO GRANDE DO SUL, 2009) propõem que o estudo deste tema seja trabalhado em conjunto com a determinação das condições de existência e unicidade da função, podendo utilizar de diagrama de flechas para identificar que a cada elemento do conjunto das variáveis independentes corresponde um elemento do conjunto das variáveis dependentes, levando em conta que “[...] o uso da linguagem de conjuntos deve ser desenvolvido nesta etapa de trabalho, na medida em que essa linguagem facilite a compreensão do conceito de função e seja entendida como uma linguagem unificadora da Matemática.” (RIO GRANDE DO SUL, 2009, p. 211)
Considerando que os tropeços dos licenciandos podem ser considerados como uma janela de pesquisa e possível refinamento para o crescimento do conhecimento que estes futuros professores precisam para desenvolver e organizar sua docência, e partindo da premissa de que o erro também tem papel no conhecimento de como ensinar, olhar para o que cada acadêmico desenvolveu no questionário auxilia a visualizar a dificuldade para responder questões que partem de um contexto matemático, principalmente as
16 questões Q4, Q5 e Q7. Nesse sentido, como podem esses futuros professores organizar um ensino e intervir na aprendizagem de seus alunos quando nem eles mesmos conseguem compreender e/ou responder uma questão que parte de um contexto matemático.
O professor deve saber articular seu conhecimento com o que deve ser ensinado para somente então poder ser considerado apto a lecionar, pois de outro modo, como estabelecer um processo de ensino aprendizagem sem saber ao certo sobre o que se deve ensinar? Teoricamente, o processo inicial de formação docente tem como objetivo colocar o licenciando numa jornada acadêmica que o leva a aprender além das metodologias adequadas de ensino o que este deverá utilizar como aporte teórico durante a sua carreira. Segundo a visão de Shulman (2014) sobre o ensino, este processo começa com um professor entendendo o que deve ser ensinado e como deve acontecer esse processo de aprendizagem, assim a capacidade de ensinar centra-se em lugares comuns do ensino, considerando por exemplo, que o professor sabe alguma coisa não sabida por seus alunos, assim, as ações e representações dos professores são traduzidas em maneiras de falar, interpretar e representar ideias que tem por objetivo auxiliar os alunos a compreender os saberes necessários para que estes se tornem qualificados, embora o aprendizado seja, em última análise, de responsabilidade dos próprios alunos.
2.2 Diferentes representações da função
Na matemática do contexto escolar, a importância do conceito de função pode se mostrar por meio de sua utilização, já que seus aspectos mais simples estão presentes nas noções mais básicas, como por exemplo, na relação entre grandezas. A noção de função pode ser considerada como um importante instrumento matemático, indispensável para o estudo quantitativo de fenômenos naturais, e pode ser trabalhada utilizando a própria história da Matemática, mostrando que o desenvolvimento desta noção/conceito foi um processo longo e delicado. A importância da aprendizagem de função na Educação Básica pode ser compreendida pela sua gama de utilizações conforme indicam as orientações apresentadas nos documentos oficiais. O PCN+ (BRASIL, 2002), por exemplo, destaca o poder de alcance do conceito de função, além de demarcar a sua importância no campo da Matemática, colocando em evidência o porquê da necessidade do seu estudo na Educação Básica:
17 O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática (BRASL, 2002, p.121).
Dessa maneira, o conceito de função deve ser trabalhado para que este proporcione ao aluno o desenvolvimento de metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e a justificativa de resultados, desenvolvendo desse modo a sua iniciativa pessoal, criatividade e autonomia, que advém da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios. Desafios estes, que são propostos a partir do estudo do conceito de função, já que este envolve concepções diversas e múltiplas representações, fazendo necessária a compreensão do sentido que este conceito pode assumir em diferentes contextos.
Para analisar os entendimentos dos licenciandos que vão utilizar-se desse amplo conceito nas salas de aula da educação básica, principalmente acerca das diferentes representações do conceito de função. É necessário compreender como essa representação se dá, assim, esta unidade de análise foi dividida em outras 5 subunidades que determinam como separar de maneira mais qualificada as representações ocorridas no decorrer do questionário.
I. Linguagem tabular → Linguagem algébrica; II. Linguagem numérica → Linguagem algébrica;
III. Linguagem tabular → Transformação de dados → Linguagem gráfica; IV. Linguagem numérica → Linguagem gráfica;
V. Linguagem gráfica → Linguagem algébrica.
O item I da subunidade de análise considera as questões Q1 e Q4, no entanto, apesar de as duas questões utilizarem das mesmas representações, os contextos utilizados parecem ter influenciado os alunos a não conseguirem completar a Q4 corretamente, isso porque, apenas uma das alternativas (a) da Q4 foi respondida corretamente por todos os alunos, enquanto que a outra alternativa (b) teve 60% de acertos. Segundo as ideias de Van de Walle (2009), a representação da linguagem tabular dada em função de um contexto do cotidiano pode auxiliar a pessoa que interpreta uma tabela, para que esta perceba que uma função deve ser definida utilizando exclusivamente o valor de uma variável em termos de outra, assim, quando o contexto utilizado partia apenas da matemática, os licenciandos deveriam utilizar os mesmos dados tabulares, onde os
18 conjuntos A e B estavam representados por duas colunas da tabela, cujo objetivo era o de se determinar duas relações funcionais f: A→B e f: B→A.
Seguindo as proposições da BNCC (BRASIL, 2015) buscou-se propor a questão Q4 para que os acadêmicos tivessem a oportunidade de trabalhar na resolução de um problema que envolve-se relações entre grandezas. A proporcionalidade também foi abordada, conforme mostra a Figura 6, nas alternativas a) e b) que traziam a noção de como se estabelece o processo de função inversa. Nesse contexto, considerando que o acadêmico AC A deixou a alternativa a) em branco, e o acadêmico AC C não obteve o resultado correto podemos concluir que os mesmos não possuem o conhecimento necessário para compreender a noção de função inversa.
Figura 6 – Enunciado da questão Q4 e resposta do acadêmico AC A
Fonte: Dados produzidos na pesquisa
A representação da linguagem numérica partindo para a linguagem algébrica, que constitui o item II da subunidades de análise, foi utilizado para responder apenas a Q2, esta que apresenta dois conjuntos A e B, e através destes pede que o licenciando estabeleça uma relação de correspondência entre os mesmos. Deste modo, para determinar seu registro algébrico, poderia ser utilizado como meio de resolução qualquer uma das diferentes representações da função, em especial a de diagramas, pelo fato de se tratar de dois conjuntos. Neste caso, o contexto considerado para explorar a relação funcional (por meio dos conjuntos dados) é matemático, talvez por esse motivo os licenciandos tenham apresentado tamanha dificuldade em compreenderem que a questão estava tratando de uma função inversa.
19 Dos 5 questionários, apenas o acadêmico AC E acertou a questão Q2, enquanto dois nem ao menos responderam e outros dois utilizaram outras estratégias, buscando entender a relação funcional dos conjuntos através de diagramas, apesar de não serem bem sucedidos quanto a resposta. Assim, a compreensão do significado do conceito de função como sendo uma relação entre duas grandezas variáveis é uma das dificuldades apresentadas pelos licenciandos, quando esta aparece descontextualizada.
Figura 7 – Registros dos acadêmicos AC C e AC D na questão Q2
Fonte: Dados produzidos na pesquisa
Como é possível observar na Figura 7, o acadêmico AC C não conseguiu colocar corretamente em diagrama os dados disponibilizados na linguagem de conjuntos, isso porque ele alterou estes dados, anexando o número 3 no conjunto B, nesse caso, também é interessante notar que o acadêmico relacionou os dois conjuntos de uma maneira que nem ele mesmo soube determinar a relação funcional que daria origem as respostas de chegada para a função de f: A→B.
Esse fato nos coloca em alerta para a dificuldade dos licenciandos em se tratando da compreensão da noção do conceito de função, este que, segundo Caraça (2002), consiste na correspondência de dois conjuntos de números, onde a sua representação simbólica vem apenas para tornar facilmente manejável este conjunto, introduzindo dessa maneira o conceito de variável, representativo de qualquer um dos elementos do conjunto. Nesse sentido, o conceito nuclear na noção de função, é definido então da seguinte
20 maneira: Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que
y é função de x e escreve-se 𝑦 = 𝑓(𝑥), se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido 𝑥 → 𝑦. A x chama-se variável independente, a y variável dependente.
Na questão Q6 que apresenta a maior incidência de erros, se faz imprescindível procurar entender o motivo que levou os licenciandos a ter tamanha dificuldade nos seus entendimentos sobre a representação funcional dada, que utilizando-se do item III, diz respeito a subunidade de análise que procura compreender como se dá a passagem da linguagem tabular, para uma transformação de dados e por fim, para uma análise gráfica. Levando em conta que, a Q6 era composta por uma função de diferentes variáveis, isto é, cada ano de safra possui uma razão por período que varia conforme o ano, assim, se fazia necessária uma comparação entre as variáveis, onde os licenciandos deveriam se perguntar: o que aconteceu de diferente de uma razão anual para a outra? Somente depois de ter clara esta ideia de comparação por período é que poderia ser escolhido o gráfico que melhor representa a área plantada no período considerado.
Figura 8 – Registros dos acadêmicos na questão Q6
Fonte: Dados produzidos na pesquisa
Em se tratando do conceito de função, este não deve ser entendido apenas como uma expressão analítica. Pode ter uma lei matemática que define a correspondência entre duas vaiáveis, este é o terreno de que a função vai se nutrir, mas deve haver também a interpretação geométrica desta noção, que segundo Caraça é dada, a partir de um sistema de referência cartesiano e por uma curva. Essa curva permite definir uma função y(x) quando:
Seja P um ponto qualquer da curva e tiremos, por ele, perpendiculares aos eixos, as quais os encontram nos pontos A e B; sejam a e b os números reais (relativos) iguais, respectivamente, às medidas algébricas de AO e OB.
21 Suponhamos feita uma construção análoga para cada ponto da curva façamos corresponder a cada número a o número b obtido pela construção indicada. Fica assim definida uma correspondência do conjunto dos aa – variável x – ao conjunto dos bb – variável y – fica, portanto, definida uma função y(x). (CARAÇA 2002, p. 125)
Baseando-nos em Caraça (2002), função y(x) pode ser definida a partir de dois instrumentos: uma expressão analítica e uma curva. Contudo, em ambos os casos a função não deve ser confundida com o instrumento que serviu para defini-la, ou seja, o conceito de função permite que seja feita uma correspondência entre as leis matemáticas e as leis geométricas, ou ainda, entre as expressões analíticas e os lugares geométricos, fazendo assim uma unificação destes campos.
Figura 9 – Registros dos acadêmicos AC C e AC E na questão Q7
Fonte: Dados produzidos na pesquisa
Deste modo, a análise da questão Q7 mostrou o baixo nível de entendimento dos alunos acerca do item IV da subunidade de análise que considera a passagem da representação numérica para uma linguagem gráfica, considerando como tema a análise de função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Pois o objetivo de conectar as diferentes representações funcionais não pode ser verificado, já que 3 acadêmicos afirmaram não lembrar do significado das funções, enquanto outro não respondeu nada, e o quinto acadêmico deixou uma nota explicando que só pode realizar o objetivo da questão por que teve que estudar por conta própria para atuar em aulas de um estágio curricular supervisionado.
22 O último item das subunidades de análise, corresponde a utilização da linguagem gráfica para determinar uma linguagem algébrica, sendo que fazem parte desta representação as questões Q8 e Q3 do questionário. A questão Q3 deixa a cargo do licenciando determinar duas coordenadas do plano cartesiano, para a partir destes pontos indicar a equação da reta que passa pelos mesmos.
Figura 10 – Registro da questão Q3 desenvolvida pelos acadêmicos AC C e AC D
Fonte: Dados produzidos na pesquisa
Na questão Q3, o licenciado deveria perceber que a representação gráfica de uma função linear pode ser dada a partir de dois pontos, mas para encontrar o registro analítico desta função não é necessário fazer de fato o registro gráfico, pois para determinar o registro algébrico que é solicitado na questão é apenas necessário o trabalho com a equação da reta. No entanto, apenas dois licenciandos (AC D e AC E) conseguiram determinar a expressão da função através da equação da reta, enquanto outros dois não fizeram nenhum registro (AC A e AC B), e apenas um acadêmico (AC C) escreveu a expressão analítica sem demonstrar os cálculos realizados para chegar até a mesma. A questão Q8 era muito semelhante a questão Q3, alterando-se apenas o grau da função cujo gráfico foi disponibilizado, que passou de linear para quadrática.
A Figura 10 elucida aspectos acerca do que foi desenvolvido por dois acadêmicos na questão Q3. Apesar do licenciando AC C fazer a representação gráfica dos pontos da sua escolha em cada quadrante e determinar a expressão analítica que dá origem a esta representação geométrica da função, o mesmo não expressou no questionário o cálculo
23 ou raciocínio que utilizou para a sua determinação, ao contrário do acadêmico AC D, que explanou detalhadamente o raciocínio utilizado para responder a questão.
De acordo com Van de Walle (2009), um gráfico pode ser feito a partir de uma tabela sem necessariamente apresentar uma fórmula geral, bem como um gráfico pode disponibilizar os dados necessários para a construção de uma tabela, e a partir desta, a expressão analítica que dá origem a função. Nesse sentido, os futuros professores participantes da presente pesquisa, apresentaram dificuldade na interpretação do gráfico da questão Q8, bem como na construção do gráfico da questão Q3 a partir de dois pontos. Assim, em ambos os casos, a tradução do ditado “uma imagem vale mais que mil palavras” como sendo um gráfico vale mais do que mil dados de uma tabela, pareceu não conseguir provar sua veracidade.
Para compreender a importância desta representação para o conceito função, podemos olhar para as contribuições de Caraça (2002), considerando que o gráfico de uma função é como a sua imagem geométrica. A BNCC (BRASIL, 2015) apresenta em seus objetivos de ensino a alteração dos parâmetros da forma algébrica de uma função, esta abordagem auxilia o aluno da educação básica a compreender e descrever as transformações que ocorrem na forma gráfica, e vice-versa.
Levando em conta que o conceito de função tem uma estreita relação com padrões, Van de Walle (2009), estabelece um total de cinco representações de funções, dentre elas,
[...] (1) o próprio padrão concreto que podemos nos referir como contexto; (2) o quadro ou tabela; (3) a equação simbólica; (4) o gráfico e (5) a linguagem. Cada uma dessas cinco representações incorpora as mesmas relações funcionais e recursivas. As mesmas representações são usadas para todas as funções, não apenas aos padrões (VAN DE WALLE, 2009, p. 303).
É importante salientar que cada uma dessas representações deve ser considerada como um modo de olhar para a função e ainda, que cada uma expõe um modo diferente de olhar ou pensar sobre a função, sendo assim, o valor de cada representação está na medida em que essa nos ajuda a compreender a função de uma maneira diferente do que cada uma das demais.
2.3 Padrões e regularidades presentes no conceito de função
O foco de ensino da álgebra, segundo Van de Walle (2009) é preparar os alunos para pensar matematicamente em todos os campos da Matemática, isso porque o pensamento algébrico penetra em toda a matemática, sendo essencial para ler e intervir
24 na realidade. Além disso, pode-se dizer que a álgebra envolve generalizar e expressar essas generalizações utilizando uma linguagem formal, como por exemplo, a exploração de padrões crescentes que envolvam uma progressão passo a passo onde é possível encontrar uma generalização ou uma relação algébrica que determine como os elementos podem ser expandidos de maneira lógica. Utilizando essa abordagem de explorar padrões crescentes, é possível introduzir o trabalho com o conceito de função. A relação do método de contagem de elementos de uma sequência pode ser escrita em uma regra geral que possibilita encontrar o valor de qualquer elemento da referida sequência, esta relação entre o lugar ocupado por este termo e seu valor é uma das características da função.
A única questão respondida pelos licenciandos que dizia respeito aos padrões numéricos encontrados em sequências baseadas em uma regra particular, era a questão Q10, cujo desafio apropriado ao pensamento algébrico exigiu dos licenciandos a generalização a partir de uma relação geométrica que considera como contexto o Triângulo de Sierpinski.
Figura 11 – Registros do acadêmico AC E para a questão Q10
Fonte: Dados produzidos na pesquisa
De acordo com Van de Walle (2009), os padrões crescentes como o do triângulo de Sierpinski podem ser considerados como uma porta de entrada para a noção do conceito de função, desse modo, as interações apresentadas na questão Q10, auxiliavam os licenciandos a perceber como se estabelecem os padrões, que “[...] consistem em uma série de passos separados, cada novo passo relacionado ao anterior de acordo com uma regra.” (VAN DE WALLE, 2009, p. 298). A expansão da sequência de Triângulos de
25 Sierpinski é denominada como uma relação recursiva, e apesar da maioria dos acadêmicos ter conseguido preencher a tabela com as informações sobre cada passo das interações, somente um destes conseguiu expressar corretamente a relação algébrica associada ao padrão proposto.
Com a tabela da questão Q10 devidamente preenchida, esperava-se que os licenciandos pudessem utilizar as duas representações do padrão envolvidas (o desenho e a versão numérica preenchida na tabela) para representar graficamente o que acontece com cada função, isso porque, a sequência do triângulo de Sierpinski foi dividida em duas frentes de análise, uma considerando o número de triângulos (f(x)) e outra considerando o comprimento de cada lado (g(x)), ambas que resultam em funções exponenciais, uma crescente e a outra decrescente. Esta questão, pode ser considerada como uma das mais completas de todo o questionário, pois apesar de iniciar com um padrão ela envolve as demais representações que constituem o conceito da função, desde o contexto até o registro tabular e gráfico.
Considerações Finais
O conceito função se faz presente na proposição curricular do ensino em todas as etapas da educação básica, e em todas elas sua importância é muito ressaltada devido a seu aspecto instrumental para agir sobre a realidade em que vivem os educandos. Deste modo, é importante nos preocuparmos com a formação dos professores, pois é o conhecimento do conteúdo apresentado por este educador que embasa os entendimentos produzidos pelos alunos. O acadêmico que hoje está no curso de Licenciatura em Matemática é o mesmo aluno que já passou por um longo processo de aprendizagem escolar, e que certamente já tem construídas representações de conceitos matemáticos que viu na sua educação básica e na sua caminhada pelo curso de licenciatura.
Dessa maneira, a formação deste professor demanda de aprofundamento e compreensão aos significados nucleares dos conceitos matemáticos que fazem parte das propostas curriculares para o Ensino Básico, a fim de que este futuro professor possa contextualizá-los de maneira adequada, como também qualificar suas abordagens curriculares, didáticas e pedagógicas.
Nesta conjectura, a presente pesquisa teve como intencionalidade ampliar compreensões acerca dos entendimentos produzidos por acadêmicos do Curso de
26 Licenciatura em Matemática acerca do conceito função, desde a relação entre variáveis e a interdependência entre elas, até as diferentes representações da função e os padrões e regularidades considerando o conceito função. Para alcançar este objetivo, e analisar se os futuros professores possuem os conhecimentos necessários para ter clareza no seu processo de ensinar, a aquisição dos dados empíricos baseou-se no livro didático mais distribuído pelo último ciclo do PNLD5 – 2015 (Matemática – Contexto e Aplicações de Luiz Roberto Dante), já que, este livro poderia vir a ser utilizado pelos próprios educadores ao entrarem na sala de aula da escola. Assim, os licenciandos precisam compreender a base de conhecimento para o ensino, demonstrando entendimentos sobre o conhecimento do conteúdo de conceito de função apresentado pelo livro didático, cuja importância como conceito basilar na aprendizagem dos alunos é evidenciada em todas as etapas da Educação Básica.
A partir da primeira unidade de análise, a pesquisa evidencia que um acadêmico apresentou dificuldades para identificar as variáveis dependentes e independentes, enquanto outros acadêmicos demonstraram equívocos de interpretação e resolução das questões propostas a partir de um contexto interno da matemática, fato este que nos dá um indicativo da importância e da contribuição do contexto e da generalização para o ensino e a aprendizagem do conceito de função. Considerando o ser professor, Shulman (2014) propõem que o processo de ensino começa desde quando o professor compreende o que deve ser ensinado e como deve ser ensinado, nesse sentido, os licenciandos apresentaram não compreender totalmente a noção de relação entre variáveis. Tal noção se configura como uma parte essencial do conceito função, já que ela permite que possam ser realizadas generalizações para representar fenômenos quantitativos do mundo real.
O estudo das diferentes representações do conceito função permite que os educandos, em todas as etapas do ensino, se apropriem da linguagem das ciências, seja esta tabular, numérica, algébrica ou gráfica. Nesse contexto, a presente pesquisa dá indicativos de que a amostra de acadêmicos selecionada não possui conhecimentos suficientes para a resolução de questões que abordam a noção de função inversa, e de que os futuros professores apresentam dificuldades na interpretação de gráficos e tabelas, bem como, problemas na compreensão da relação funcional quando esta aparece
5 Plano Nacional do Livro Didático – PNLD, desenvolvido pelo Ministério da Educação (MEC), que tem como principal objetivo subsidiar o trabalho pedagógico dos professores por meio da distribuição de coleções de livros didáticos para as escolas.
27 descontextualizada. A pesquisa evidencia que as inter-relações das diferentes representações do conceito função se mostram frágeis por alguns dos acadêmicos participantes da pesquisa, pois aproximadamente 80% das questões respondidas mostraram uma margem de 2 à 3 (ou mais) erros por questão.
Para Van de Walle (2009), os padrões e suas regularidades demonstram o conceito de função, e podem servir como porta de entrada para esta ideia matemática, visto que, a lógica relacionada a expansão de uma sequência originada, por exemplo, de um padrão geométrico, oferece a possibilidade de trabalhar a noção do conceito de função a partir de todas as representações possíveis, desde a tabular, até a algébrica e gráfica. No entanto, a grande maioria dos licenciandos participantes da pesquisa, cerca de 80%, demonstrou frágil entendimento sobre a noção do conceito função que considera padrões e regularidades, já que apenas um dos acadêmicos demonstrou conhecimento suficiente para responder de maneira satisfatória a questão que abordava esta unidade de análise.
As Diretrizes Curriculares para cursos de Licenciatura em Matemática (BRASIL, 2001) afirmam que estes cursos devem garantir que os seus licenciandos tenham uma visão clara de seu papel social de educador, sendo fundamental que compreendam as contribuições que a aprendizagem de conceitos nucleares à Matemática podem oferecer para a formação de educandos aptos para o exercício de sua cidadania. Diante destes entendimentos, a presente pesquisa dá indicativos da necessidade de aprofundar a base de conhecimentos do conceito função no decorrer da formação inicial dos futuros professores de Matemática, para que estes tenham subsídios necessários para a organização de um ensino adequado deste conceito na Educação Básica.
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