GA aula13

(1)

Geometria Analítica - Hipérboles e Parábolas

Cleide Martins

DMat - UFPE

(2)

A Hipérbole

Dados dois pontos F1 e F2 e um número real positivo r < d(F1, F 2)

Denição

A hipérbole com focos F1 e F2 e eixo r é o lugar geométrico dos pontos P tais que

(3)

Simetrias da hipérbole

Seja ` a reta por F1 e F2.

I Considere os pontos P e P0 simétricos em relação à ` I Como vimos d(P, F₁) =d(P0_{, F}

1)e d(P, F2) =d(P0, F2)

I Se P pertence à hipérbole com focos F₁ e F₂ e eixo r então P0 também pertence pois |d(P, F1)− d(P, F2)| = r ⇐⇒ |d(P0, F1)− d(P0, F2)| = r

Seja s a mediatriz do segmento F1F2.

I Considere os pontos P e P00simétricos em relação à s I Como vimos d(P, F₁) =d(P00_{, F}

2)e d(P, F2) =d(P00, F1)

(4)

Simetrias da hipérbole

Seja ` a reta por F1 e F2.

I Considere os pontos P e P0 simétricos em relação à ` I Como vimos d(P, F₁) =d(P0_{, F}

1)e d(P, F2) =d(P0, F2)

Seja s a mediatriz do segmento F1F2.

I Considere os pontos P e P00simétricos em relação à s I Como vimos d(P, F₁) =d(P00_{, F}

2)e d(P, F2) =d(P00, F1)

(5)

Eixos de simetria da hipérbole

Conclusão: os eixos de simetria da hpérbole com focos F1 e F2 são

a reta denida por F1 e F2

(6)

Vértices de uma hipérbole

Os pontos de uma hipérbole que estão sobre algum de seus eixos de simetria são chamados vértices da hipérbole

Os vértices que estão sobre a reta F1F2 são denotados por A1 e A2. O segmento A1A2 é

chamado eixo transverso da hipérbole

Não existe interseção de uma hipérbole com a mediatriz de F1F2 pois os pontos nessa reta

(7)

Construção de uma hipérbole

Podemos usar régua e compasso para construir uma hipérbole Marque os pontos F1 e F2 e a medida do eixo r

Com o compasso centrado em F1, escolha uma abertura qualquer s e trace um arco C

Acrescente r à medida s escolhida e com o compasso centrado em F2 trace um arco C0

Os pontos C ∩ C0 _{pertencem à hipérbole}

Repita esse procedimento para diferentes escolhas de s e trace um ramo da hipérbole pelos pontos encontrados.

Trace o outro ramo da hipérbole por simetria

Observe

(14)

Construção de uma hipérbole

(15)

Usando a construção da hipérbole com régua e compasso, verique que o eixo da hipérbole (o número r da denição) é a distância entre os vértices A1 e A2

(16)

Parâmetros geométricos de uma hipérbole

Os parâmetros geométricos de uma hipérbole são Eixo: d(A1, A2)

(17)

Hipérboles em posição canônica

Dizemos que uma hipérbole está em posição canônica em relação a um sistema de coordenas se seus eixos de simetria são os eixos coordenados.

b F2 b F1 bF1 b F2

(18)

Equações das hipérboles em posição canônica

Para determinar as equações das hipérboles em posição canônica precisamos das coordenadas dos focos e da medida do eixo.

Chamemos de hipérbole em posição canônica 1 aquela que tem os focos sobre o eixo Ox, digamos F1 = (c, 0), F2 = (−c, 0), então os vértices A1 e A2 têm coordenadas

A1 = (a, 0), A2= (−a, 0) e r = 2a

Chamemos de hipérbole em posição canônica 2 aquela que tem os focos sobre o eixo Oy, digamos F1 = (0, c), F2 = (0,−c), então os vértices A1 e A2 têm coordenadas

(19)

Equação da hipérbole em posição canônica 1

Se um ponto P = (x, y) pertence a esta hipérbole então |d(P, F1)− d(P, F2)| = r.

p

(x− c)2₊_y2₋p

(x + c)2₊_y2₌_±2a

Para obter uma equação mais simples, eliminamos os radicais em duas etapas: isolando um de cada vez e elevando ao quadrado.

(p(x− c)2₊_y2₎2 _{= (}_{±2a +}p

(20)

Equação da hipérbole em posição canônica 1

p

(x− c)2₊_y2₋p

(x + c)2₊_y2₌_±2a

(p(x− c)2₊_y2₎2 _{= (}_{±2a +}p

(x + c)2₊_y2₎2

x2_{− 2cx + c}2₊_y2_{= 4a}2_{± 4a}p

(21)

Equação da hipérbole em posição canônica 1

p

(x− c)2₊_y2₋p_{(x + c)}2₊_y2₌_±2a

(p(x_{− c)}2₊_y2₎2 _{= (}_{±2a +}p

(x + c)2₊_y2₎2

x\ − 2cx + c2 _{\ + y}2 _{\ = 4a}2 2_{± 4a}p

(22)

Equação da hipérbole em posição canônica 1

p

(x_{− c)}2₊_y2₋p

(x + c)2₊_y2₌_±2a

(p(x_{− c)}2₊_y2₎2 _{= (} ±2a +p(x + c)2₊_y2₎2 x_{\ − 2cx + c}2 _{\ + y}2 _{\ = 4a}2 2_{± 4a}p(x + c)2₊_y2₊_x2 \ + 2cx + c\ + y2 \2 ±4ap(x + c)2₊_y2_{= 4a}2_{+ 4cx} ÷ 4 (_±ap(x + c)2₊_y2₎2 _{= (a}2₊_cx)2 4 2 2 2 2 2 2 2

(23)

Equação da hipérbole em posição canônica 1

Após os cancelamentos agrupamos as parcelas em x2 _{e y}2

(c2− a2_)x2_{− a}2_y2₌_a2_c2_{− a}4

Substituímos c2_{− a}2 ₌_b2 _{e dividimos toda a equação por a}2_b2

b2x2_{− a}2y2 =a2b2 x2

a2 −

y2

b2 = 1

Observe que as coordenadas dos vértices são obtidas como interseção dessa equação com o eixo x (y = 0) e não há interseção com o eixo y (x = 0).

(24)

Equação da hipérbole em posição canônica 2

Podemos obter a equação da hipérbole em posição canônica 2 repetindo todo o processo ou por analogia, observando que os vértices são sua interseção com o eixo Oy .

−x 2 b2 + y2 a2 = 1 x = 0_{⇒ y = ±a ⇒ A}1 = (0, a) A2= (0,−a)

(25)

Qual o signicado do número b na equação da hipérbole?

Denimos b2₌_c2_{− a}2 _{simplesmente porque c > a. Para interpretar geometricamente o papel}

do b na hipérbole, consideramos sua interseção com uma reta y = mx que passa pela origem. Para que valores de m existe essa interseção?

Analisemos a hipérbole em posição canônica 1 x2 a2 − y2 b2 = 1 y = mx⇒ x 2 a2 − m2_x2 b2 = 1⇒ 1 b2 b2 a2 − m 2 x2= 1 Para haver interseção entre a reta e a hipérbole, é preciso que b2

(26)

Qual o signicado do número b na equação da hipérbole?

b2 a2 − m 2 _{> 0} ⇐⇒ m2 < b 2 a2 ⇐⇒ − b a < m < b a b2 a2 − m 2 _{> 0} ⇒ x2 = b 2 b2 a2 − m2 ⇒ x = q ±b b2 a2 − m2 Quando m tende a ±b

a as retas y = ±bax tendem a intersectar a hipérbole no innito. Esse é o

(27)

Hipérboles em posição canônica e seus parâmetros geométricos

Assim como a Elipse, a Hipérbole também tem um triângulo fundamental que associa seus parâmetros geométricos x y c a b c −c −a ab F1 b F2_bA2 A1_b x y c a b c −c a −a bF1 bF2 bA1 bA2

(28)

A Parábola

Dados um ponto F e uma reta ` com F 6∈ `

Denição

A parábola com foco F e diretriz ` é o lugar geométrico dos pontos P tais que d(P, F ) = d(P, `)

(29)

Construção de uma parábola

Podemos usar régua e compasso para construir uma parábola Marque o ponto F e a reta `

Trace uma reta r paralela a ` passando por F e marque a distância d de r a ` no compasso Centre o compasso em F e trace um arco C

Os pontos C ∩ r pertencem à parábola

Repita esse procedimento para diferentes escolhas da reta r e trace a parábola pelos pontos encontrados.

Observe

Para que valores de d não existe C ∩ r?

Para que valor de d há um único ponto em C ∩ r e que ponto é este?

(30)

Construção de uma parábola

Trace uma reta r paralela a ` passando por F e marque a distância d de r a ` no compasso

Centre o compasso em F e trace um arco C Os pontos C ∩ r pertencem à parábola

Para determinar as equações das parábolas em posição canônica precisamos apenas do valor do parâmetro p

Chamemos de parábola em posição canônica 1 aquela que tem o foco sobre o eixo Oy positivo, digamos F = (0, p). A diretriz é a reta y = −p

Chamemos de parábola em posição canônica 2 aquela que tem o foco sobre o eixo Oy negativo, digamos F = (0, −p). A diretriz é a reta y = p

Chamemos de parábola em posição canônica 3 aquela que tem o foco sobre o eixo Ox positivo, digamos F = (p, 0). A diretriz é a reta x = −p

Chamemos de parábola em posição canônica 4 aquela que tem o foco sobre o eixo Ox negativo, digamos F = (−p, 0). A diretriz é a reta x = p

(43)

Equação da parábola em posição canônica 1

Se um ponto P = (x, y) pertence a esta parábola então d(P, F ) = d(P, `). p

(x2_{+ (y}_{− p)}2 ₌_{|y + p|}

Eliminamos o radical elevando ao quadrado.

(p(x2_{+ (y}_{− p)}2₎2 ₌ |y + p|2 x2+y2− 2py + p2 ₌_y2_{+ 2py + p}2 4py = x2_{⇒ y =} x 2 4p

(44)

Equações das parábolas em posição canônica

De forma análoga podemos deduzir as equações das demais parábolas em posição canônica 2 : y = −x_4p2

3 : x = y2 4p 4 : x = −y_4p2

GA aula13

Geometria Analítica - Hipérboles e Parábolas

A Hipérbole

Simetrias da hipérbole

Simetrias da hipérbole

Eixos de simetria da hipérbole

Vértices de uma hipérbole

Construção de uma hipérbole

Construção de uma hipérbole

Construção de uma hipérbole

Construção de uma hipérbole

Construção de uma hipérbole

Construção de uma hipérbole

Construção de uma hipérbole

Construção de uma hipérbole

Parâmetros geométricos de uma hipérbole

Hipérboles em posição canônica

Equações das hipérboles em posição canônica

Equação da hipérbole em posição canônica 1

Equação da hipérbole em posição canônica 1

Equação da hipérbole em posição canônica 1

Equação da hipérbole em posição canônica 1

Equação da hipérbole em posição canônica 1

Equação da hipérbole em posição canônica 2

Qual o signicado do número b na equação da hipérbole?

Qual o signicado do número b na equação da hipérbole?

Hipérboles em posição canônica e seus parâmetros geométricos

A Parábola

Construção de uma parábola

Construção de uma parábola

Construção de uma parábola

Construção de uma parábola

Construção de uma parábola

Construção de uma parábola

Construção de uma parábola

Construção de uma parábola

Simetria e vértice de uma parábola

Parâmetro geométrico de uma parábola

Parábolas em posição canônica

Parábolas em posição canônica

Parábolas em posição canônica

Equações das parábolas em posição canônica

Equação da parábola em posição canônica 1

Equações das parábolas em posição canônica

Qual o signicado do número b na equação da hipérbole?

Qual o signicado do número b na equação da hipérbole?