mac-015-slides-unidade-02

(1)

MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02

Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Leonardo Goliatt

Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Propriedades Geométricas de Áreas Planas

Programa

1 Propriedades Geométricas de Áreas Planas

Centroide

Momentos de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos Produtos de Inércia

(3)

Introdução

Momentos de área com relação a um eixo e a um ponto

Momento de área de primeira ordem – Q

Qx=

Z

A

y dA(Momento de área com relação ao eixo x)

Qy=

Z

(4)

Introdução

Momento de área de segunda ordem – I, J Ix=

Z

A

y2dA(Momento de inércia com relação ao eixo x)

Iy=

Z

A

(5)

Introdução

Momento de área de segunda ordem – J JO= Z A x2+ y2dA= Z A

(6)

Introdução

Momento de área de segunda ordem – Ixy

Ixy=

Z

A

(7)

Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide

Programa

Centroide

(8)

Definição de Centroide

O centroide C(x, y) de uma área plana é o ponto que define seu centro geométrico.

Para determinar matematicamente a localização dos centroides usamos o método dos momentos

x = Qy A = Z A x dA A y = Qx A = Z A y dA A As fórmulas que definem o centroide de uma área plana dependem somente de sua geometria.

(9)

Relação entre Centroide e Centro de Gravidade

O centroide C(x, y) de uma área plana é o ponto que define seu centro geométrico. x=Qy A = Z A x dA Z A dA , y=Qx A = Z A y dA Z A dA

O centro de gravidade G(xG, yG) considera uma função de peso

específico γ(x, y). xG= Z A γ x dA Z A γ dA , yG= Z A γ y dA Z A γ dA Temos C ≡ G quando γ(x, y) é constante.

(10)

Centroide de uma Área Retangular

O eixo x coincide com a base do retângulo Faixa diferencial dA = b dy Ay = Z y dA b hy = Z h 0 yb dy = bh 2 2 y = h 2

Este resultado é válido para os dois outros lados do retângulo, considerando-se uma nova base e altura correspondente.

(11)

Observações

O centroide de algumas áreas podem ser parcial ou completamente especificados por meio de condições de simetria.

Se um corpo possui um eixo de simetria, centroide localiza-se sobre este eixo.

Em alguns casos, o centroide encontra-se em um ponto que não se localiza no objeto.

(12)

Centroide de uma Área Triangular

O eixo x coincide com a base do triângulo Faixa diferencial dA = x dy

Por semelhança de triângulos x/(h − y) = b/h ⇒ dA =(h−y)b_h dy

Ay = Z y dA bh 2y = Z h 0 y(h − y) h b dy = bh 2 6 y = h 3

Este resultado é válido para os dois outros lados do triângulo, considerando-se uma nova base e altura correspondente.

(13)

Centroides de Áreas Compostas

Áreas feitas de várias partes ou formas diferentes são chamadas áreas compostas.

O centroide de uma área composta pode ser determinada a partir dos centroides e das áreas partes individuais.

Para uma área que pode dividida em n partes

x=∑ n i=1xiAi ∑ni=1Ai , y=∑ n i=1yiAi ∑ni=1Ai

Para uma área que exige integração

x= Z A xcdA Z A dA , y= Z A ycdA Z A dA ,

(14)

Centroides de Áreas Compostas

x=∑ni=1xiAi ∑ni=1Ai

y=∑ni=1yiAi ∑ni=1Ai

(15)

Centroides de Áreas Compostas

x=20(20)(40)+5(10)(30)+20(10)(40)_{(20)(40)+(10)(30)+(10)(40)} = 17 mm

(16)

Centroides de Áreas Compostas

(17)

Centroides de Áreas por Integração

(18)

Centroides de Áreas por Integração

xc= x k= a/b3 yc= y 2 dA= y dx y= (b3x/a)1/3

(19)

Centroides de Áreas por Integração

A= Z a 0 dA= Z a 0 y dx= Z a 0 (b3x/a)1/3dx=3 4ab 3 4abx= Z a 0 (xc)ydx = Z a 0 x(b3x/a)1/3dx=3 7a 2_b_{⇒ x =}4 7a 3 4aby= Z a (yc)ydx = Z a₁ (b3x/a)2/3dx= 3 ab2⇒ y =2b

(20)

Tabela de Centroides de Áreas Planas

Figura x y – – – _3π4r 4r 3π 4r 3π

(21)

Tabela de Centroides de Áreas Planas

Figura x y 2rsenα 3α – b 2 h 2 a+b 3 h 3

(22)

Tabela de Centroides de Áreas Planas

Figura x y 4a 3π 4b 3π 3a 4 3b 10 3a 8 3b 5

(23)

Centroides de Áreas com furos ou Cavidades

Exemplo 1

Os momentos dos furos ou cavidades são subtraídos

Ax = A1x1− A2x2

A = A1− A2

x = A1x1−A2x2 A

(24)

Centroides de Áreas com furos ou Cavidades

Exemplo 1

Os momentos dos furos ou cavidades são subtraídos

x = A1x1−A2x2

A =

(40)(60)20−(30)(30)25

2400−900 = 17 cm

(25)

Centroides de Áreas com furos ou Cavidades

Exemplo 2

(26)

Centroides de Áreas com furos ou Cavidades

Exemplo 2

(27)

Exemplo 2

Arranjar as informações em uma tabela.

Parte A(cm2) x(cm) y(cm) xA(cm3) yA(cm3) 1 120.00 6 5 720 600 2 30.00 14 10/3 420 100 3 -14.14 6 1.273 -84.3 -18 4 -8.00 12 4 -96 -32 Totais 127.9 959 650 x= ∑ni=1xiAi ∑ni=1Ai = 959 127.9= 7.50 cm y= ∑ni=1yiAi ∑ni=1Ai = 650 127.9= 5.08 cm

(28)

Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia

Programa

Centroide

Momentos de Inércia

Teorema dos Eixos Paralelos Produtos de Inércia

(29)

Considerações

Os momentos de inércia Ixe Iysão grandezas positivas

Ix= Z A y2dA, Iy= Z A x2dA, JO= Ix+ Iy

O produto de inércia Ixypodem assumir valores positivos e negativos

Ixy=

Z

A

(30)

Momentos de Inércia de Áreas Simples – Retângulo

Eixos horizontais, faixa diferencial dA = b dy

Ix = Z y2dA = Z h 0 by2dy = bh 3 3 Ix = Z y2dA = Z +h/2 −h/2 by2dy = bh 3 12 Eixos verticais, faixa diferencial dA = h dx

Iy = Z x2dA = Z b 0 hx2dx = hb 3 3 Iy = Z x2dA = Z +b/2 −b/2 hx2dx = hb 3 12

(31)

Momentos de Inércia de Áreas Simples – Retângulo

Algumas considerações:

Os momentos de inércia variam de acordo com o eixo considerado.

A unidade dos momentos de inércia é (comprimento)4.

(32)

Momentos de Inércia de Áreas Simples – Triângulo

Eixos horizontal (base do triângulo), faixa

diferencial dA = x dy =b(h−y)_h dy Ix = Z y2dA = = Z h 0 y2b(h − y) h dy = = bh 3 12

(33)

Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos

Programa

Centroide

Momentos de Inércia

Teorema dos Eixos Paralelos

Produtos de Inércia

(34)

Teorema dos Eixos Paralelos

Considere momento de inércia Ixcom relação a Ox k Cx.

O ponto C é o centroide da área plana.

Cxe Cy são seus eixos centroidais.

Ix = Z (dy+ y)2dA = d_y2 Z dA+ 2dy Z ydA+ Z y2dA = d_y2A+ 2dy(yA) + Ix = d_y2A+ Ix (y = 0) Ix= Ix+ dy2A Iy= Iy+ dx2A

(35)

Teorema dos Eixos Paralelos – Retângulo

Momento de inércia com relação ao eixo centroidal Cx, paralelo ao eixo da base. Ix= bh3 3 dy= h 2 Ix=? Ix= Ix+ dy2A Ix= Ix− dy2A Ix= bh3 3 − h2 4 (bh) Ix= bh3 12

(36)

Teorema dos Eixos Paralelos – Triângulo

Momento de inércia com relação ao eixo centroidal Cx, paralelo ao eixo da base Ox.

Ixjá foi previamente calculado.

Ix= bh3/12 dy= h 3 Ix=? Ix= Ix+ dy2A Ix= Ix− dy2A Ix= bh3 12 − h 3 2 bh 2 Ix= bh3 36

(37)

Teorema dos Eixos Paralelos – Triângulo

Momento de inércia com relação ao eixo superior x1, paralelo ao eixo

centroidal Cx e situado a uma distância 2h

3 deste eixo.

Ixjá foi previamente calculado.

Ix= bh3 36 dy= 2h 3 Ix1 =? Ix1 = Ix+ d 2 yA Ix1 = bh3 36 + 2h 3 2 bh 2 Ix1 = bh3 4

(38)

Propriedades Geométricas de Áreas Planas Produtos de Inércia

Programa

Centroide

Momentos de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos

Produtos de Inércia

(39)

Produtos de Inércia

Em certos problemas envolvendo seções não simétricas ou o cálculo de momentos de inércia em torno de eixos rotacionados, aparece uma

expressão da forma dIxy= xydA

Z A dIxy= Z A xydA= Ixy

(40)

Produtos de Inércia

Ao contrário dos momentos de inércia Ixe Iy, que são sempre positivos,

os produtos de inércia podem ser positivos, negativos ou nulos. O produto de inércia é nulo sempre que um dos eixos é um eixo de simetria, tal como o eixo x abaixo.

(41)

Produtos de Inércia

Percebemos que a soma dos termos x(−y)dA e x(+y)dA se anula devido à simetria.

Como toda a área pode ser considerada como composta de pares de tais

(42)

Produtos de Inércia – Transferência de Eixos

Vamos aplicar o teorema dos eixos paralelos para produto de inércia Ixy,

e escrevê-lo em função do produto de inércia Ixy.

Usando da definição Ixy=

Z

(43)

Produtos de Inércia – Transferência de Eixos

Ixy = Z (dy+ y)(dx+ x) dA = dxdy Z dA+ dy Z xdA+ dx Z ydA+ Z xydA = dxdyA+ dy(xA) + dx(yA) + Ixy = Ixy+ dxdyA

(44)

Produtos de Inércia – Transferência de Eixos

(45)

Momentos e Produtos de Inércia de Áreas Planas

Figura x y Ix, Iy Ixy – – Ix= Iy=π r 4 4 Ixy= 0 – _3π4r Ix= Iy= π r4 8 , Ix= π 8− 8 9π r 4 Ixy= 0 4r 3π 4r 3π Ix= Iy=π r 4 16, Ix= Iy= ₁₆π −_9π4 r4 Ixy=r 4 8

(46)

Momentos e Produtos de Inércia de Áreas Planas

Figura x y Ix, Iy Ixy 2rsenα 3α – Ix y = r4 4(α ∓ 1 2sen 2α) Ixy= 0 b 2 h 2 Ix=bh 3 3 , Ix= bh3 12 Ixy= 0 a+b 3 h 3 Ix= bh 3 12, Ix= bh3 36, Ix1= bh3 4 Ixy = bh2 24(b − 2a)

(47)

Momentos e Produtos de Inércia de Áreas Planas

Figura x y Ix, Iy Ixy 4a 3π 4b 3π Ix = π ab 3 16 , Ix = Iy = π 16− 4 9π ab 3 ? 3a 4 3b 10 Ix=ab 3 21, Iy= a3b 5 Ixy= a2b2 12 3a 8 3b 5 Ix = 2ab 3 7 , Iy = 2a3_b 15 ?

(48)

Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos Principais de Inércia

Programa

Centroide

(49)

Rotação de Eixos

O produto de inércia é útil quando precisamos calcular o memento de inércia com relação a eixos inclinados.

(50)

Rotação de Eixos

Essa consideração leva a um problema onde os momentos de inércia possuem máximos e mínimos.

Vamos considerar os momentos de inércia Ix0 e I_y0 com relação aos eixos

(51)

Rotação de Eixos

Os momentos de inércia ficam: Ix0 = Z y02dA = Z (y cos θ − xsen θ )2dA Iy0 = Z x02dA = Z (ysen θ + x cos θ )2dA

(52)

Rotação de Eixos

Expandindo, e usando as identidades trigonométricas

cos2θ = 1 + cos 2θ

2

sen2θ =1 − cos 2θ

(53)

Rotação de Eixos

Temos Ix0 = Ix+ Iy 2 + Ix− Iy 2 cos 2θ − Ixysen 2θ Iy0 = Ix+ Iy 2 − Ix− Iy 2 cos 2θ + Ixysen 2θ

(54)

Rotação de Eixos

Fazendo de maneira similar para o produto de inércia Ix0y0 =

Z

x0y0dA = Z

(55)

Rotação de Eixos

Expandindo, e usando as identidades trigonométricas sen θ cos θ =1₂sen 2θ

(56)

Rotação de Eixos

Temos Ix0_y0 = Ix − Iy 2 sen 2θ + Ixycos 2θ

(57)

Rotação de Eixos

Temos as relações para Ix, Iy e Ixy

Ix0 = Ix+ Iy 2 + Ix− Iy 2 cos 2θ − Ixysen 2θ Iy0 = Ix+ Iy 2 − Ix− Iy 2 cos 2θ + Ixysen 2θ Ix0_y0 = Ix− Iy 2 sen 2θ + Ixycos 2θ

E podemos observar que

JO= Ix+ Iy= Ix0 = I_y0

Podemos notar que para algum ângulo θ , Ix0 e I_y0 serão máximos ou

(58)

Rotação de Eixos

Os ângulos que resultam no máximo ou mínimo de Ix0 e Iy0 podem ser

encontrados fazendo

∂

∂ θIx0 = (Ix− Iy)sen 2θ − 2Ixycos 2θ = 0

Denotando este ângulo crítico por θp, tem-se

tan 2θp=

2Ixy

−Ix+ Iy

= −2Ixy

Ix− Iy

A equação acima dá dois valores para 2θpque diferem de π, uma vez

que tan 2θp= tan(2θp+ π).

Consequentemente, as duas soluções irão diferir de π

2.

(59)

Rotação de Eixos

Quando substituímos os valores críticos de de 2θ nas expressões de Ix0,

Iy0 e I_x0_y0, temos I1,2= Imax min = Ix+ Iy 2 ± 1 2 q (Ix− Iy)2+ 4Ixy2 I_xy∗ = 0 Observações:

O produto de inércia com relação aos eixos principais é nulo.

O produto de inércia é nulo com relação a quaisquer eixos simétricos. Qualquer eixo simétrico representa um eixo principal de inércia.

(60)

Exemplo

Determine a orientação dos eixos principais de inércia com relação aos eixos centroidais e determine os correspondentes momentos principais de inércia.

Procedimento:

Determinação do centroide

Momentos de inércia com relação aos eixos centroidais

Determinação da direção dos eixos principais

(61)

Exemplo

Centroide (origem no canto inferior esquerdo): x = 20(400)+5(400)_400+400 = 12.5 mm y = 5(400)+30(400)_400+400 = 17.5 mm d_xI = +7.5 mm d_yI = −12.5 mm d_xII = −7.5 mm d_yII = +12.5 mm

(62)

Exemplo

Centroide (origem no canto inferior esquerdo): x = 20(400)+5(400)_400+400 = 12.5 mm y = 5(400)+30(400)_400+400 = 17.5 mm d_xI = +7.5 mm d_yI = −12.5 mm d_xII = −7.5 mm d_yII = +12.5 mm

(63)

Exemplo

Momentos e produto de inércia (com relação aos eixos x e y)

Ix = (40)10 3 12 + (−12.5)2(10)(40)+ (10)403 12 + (+12.5) 2_(10)(40) = 18.17(104) mm4 Iy = (10)40 3 12 + (+7.5) 2_(10)(40)+ (40)103 12 + (−7.5)2(10)(40) = 10.17(104) mm4 Ixy = 0 + (−12.5)(+7.5)(10)(40)+ 0 + (+12.5)(−7.5)(10)(40) = −7.50(104_{) mm}4

(64)

Exemplo

Direções principais tan 2θp = 1.875 2θp = 61, 9◦ θp= α = 30.95◦

Momentos principais de inércia

I₁ = 22.70(104) mm4

(65)

Carga Axial

Programa

(66)

Carga Axial

O ensaio de tração e compressão

A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem deformação excessiva ou ruptura.

Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinada por métodos experimentais, como o ensaio de tração ou compressão. Uma máquina de teste é projetada para ler a carga exigida para manter o alongamento uniforme.

(67)

Carga Axial

O diagrama tensão–deformação

A tensão nominal (σ ), ou tensão de engenharia, é determinada pela divisão da carga aplicada P pela área original da seção transversal do corpo de prova, A0.

σ = P

A₀

A deformação nominal (ε), ou deformação de engenharia, é determinada pela divisão da variação, δ , no comprimento de referência do corpo de

prova, pelo comprimento de referência original do corpo de prova, L0.

ε = δ

(68)

Carga Axial

(69)

Carga Axial

(70)

Carga Axial

(71)

Carga Axial

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elástico Escoamento

Endurecimento por deformação Estricção

Diagrama tensão–deformação real O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis e frágeis

(72)

Carga Axial

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elástico A tensão é proporcional à deformação.

O material é linearmente elástico. Escoamento

(73)

Carga Axial

O diagrama tensão–deformação

Um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade resultará no colapso do material e fará com que ele se deforme permanentemente. Endurecimento por deformação Estricção

(74)

Carga Axial

O diagrama tensão–deformação

Endurecimento por deformação Quando o escoamento tiver terminado, pode-se aplicar uma carga adicional ao corpo de prova, o que resulta em uma curva que cresce continuamente, mas torna-se mais achatada até atingir uma tensão máxima denominada limite de resistência.

Estricção

(75)

Carga Axial

O diagrama tensão–deformação

No limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada do corpo de prova. O corpo de prova quebra quando atinge a tensão de ruptura. Diagrama tensão–deformação real O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis e frágeis

(76)

Carga Axial

O diagrama tensão–deformação

Diagrama tensão–deformação real Os valores da tensão e da deformação calculados por essas medições são denominados tensão real e deformação real.

Use este diagrama já que a maioria dos projetos de engenharia é feito dentro da faixa elástica.

O comportamento da tensão–deformação de materiais dúcteis e frágeis

(77)

Carga Axial

O diagrama tensão–deformação

1 _{Materiais dúcteis: Material que}

possa ser submetido a grandes deformações antes de sofrer ruptura é denominado material dúctil.

2 Materiais frágeis: Materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da falha são denominados materiais frágeis.

(78)

Carga Axial

Lei de Hooke

A lei de Hooke define a relação linear entre tensão e deformação dentro da região elástica.

σ = Eε

σ = tensão

E= módulo de elasticidade ou módulo de Young

ε = deformação

(79)

Carga Axial

Endurecimento por deformação

Se um corpo de prova de material dúctil for carregado na região plástica e, então, descarregado, a deformação elástica é recuperada.

Entretanto, a deformação plástica permanece, e o resultado é que o material fica submetido a uma deformação permanente.

(80)

Carga Axial

Exemplo de um diagrama

O diagrama tensão-deformação para uma liga de alumínio utilizada na fabricação de peças de aeronaves é mostrado abaixo. Se um corpo de prova desse material for submetido à tensão de tração de 600 MPa, determine a deformação permanente no corpo de prova quando a carga é retirada.

(81)

Carga Axial

Coeficiente de Poisson

Coeficiente de Poisson, ν, estabelece que dentro da faixa elástica, a razão entre essas deformações é uma constante, já que estas são proporcionais.

ν = − εlateral

εlongitudinal

A expressão acima tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice-versa.

(82)

Carga Axial

O diagrama tensão−deformação de cisalhamento

Para cisalhamento puro, o equilíbrio exige que tensões de cisalhamento iguais sejam desenvolvidas nas quatro faces do elemento. Se o material for homogêneo e isotrópico, a tensão de cisalhamento distorcerá o elemento uniformemente.

(83)

Carga Axial

O diagrama tensão−deformação de cisalhamento

A maioria dos materiais de engenharia apresenta comportamento elástico linear, portanto a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por

τ = Gγ

(84)

Carga Axial

O diagrama tensão−deformação de cisalhamento

Três constantes do material, E,ν e G, na realidade, estão relacionadas pela equação

G= E

2(1 + ν)

G= módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez.

E= módulo de elasticidade ou módulo de Young

(85)

Carga Axial

Exemplo

Um corpo de prova de alumínio tem diâmetro d0= 25 mm e tem comprimento de referência de L0= 250 mm. Supondo que uma força de 165 kN alongue o corpo de 1.20 mm, determine o módulo de elasticidade e quanto o diâmetro do corpo se contrai. O limite elástico do alumínio é atingido em 440 MPa. Dados: Gal= 26 GPa.

σ =P A= 165(103)N (π/4)(0.025m)2 = 336.1 MPa < 440 MPa ε = δ L0 = 1.2mm 250mm= 0.0048 mm/mm Eal= σ ε = 336.1Pa 0.0048 = 70GPa G_al= Eal 2(1 + ν)⇒ 26GPa = 70GPa 1(1 + ν)⇒ ν = 0.346 ν = −εlat εlong⇒ 0.346 = − εlat 0.0048⇒ εlat= −0.00166mm/mm δ0= (0.00166)(25) = 0.0415mm – contração no diâmetro

(86)

Carga Axial

Princípio de Saint-Venant

O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão localizadas nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a “nivelar-se“ a uma distância suficientemente afastada

(87)

Carga Axial

(88)

Carga Axial

Deformação elástica de um elemento submetido a carga

axial

Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes de determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axias.

δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a outro

L= distância original

P(x) = força axial interna na seção A(x) = área da seção transversal da barra

(89)

Carga Axial

Deformação elástica de um elemento submetido a carga

axial

Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes de determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axias.

σ = P(x) A(x)= Eε; ε = dδ dx ⇒ dδ = εdx = P(x) A(x)Edx δ = Z L 0 dδ = Z L 0 P(x) A(x)Edx

(90)

Carga Axial

Deformação elástica de um elemento submetido a carga

axial

Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade da barra,

δ = PL

AE

Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento; e negativos causarão compressão e contração.

(91)

Carga Axial

Deformação elástica de um elemento submetido a carga

axial

(92)

Carga Axial

Exemplo

O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção

transversal de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está

acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade

(93)

Carga Axial

Exemplo

δCB=PL_EA =_{π (0.005)200(10}+80(103)0.69₎ = 0.003056m →

δBA=_EAPL =₄₀₀₍₁₀−80(103)0.4−6₎₇₀₍₁₀9₎= 0.001143m →

(94)

Carga Axial

Exemplo

Uma viga rígida AB apóia-se sobre dois postes curtos como mostrado na figura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determinar o deslocamento do ponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kN nesse ponto.

(95)

Carga Axial

Exemplo

∑ MA= 0 = −90(0.2) + PBD(0.6) ⇒ PBD= 90(0.2)/0.6 = 30kN ∑ FV = 0 = PBD+ PAC− 90 PAC= 60kN δA=_APACLAC ACEaco = −60(103_)0.3 π (0.010)2(200(109)) = = 0.286mm ↓ δB= −30(10 3_)0.3 π (0.020)2(70(109)) = 0.102mm ↓ δF = 0.102 + 0.184 400₆₀₀ = 0.225mm ↓

(96)

Carga Axial

Membros com carga axial estaticamente indeterminados

A barra abaixo possui as duas extremidades fixas, e a condição de equilíbrio resulta em

+ ↑

_∑

F= 0 = FA+ FB− P

Uma equação adicional é fornecida pela condição de compatibilidade δ_A/B= 0 = FACLAC AACEAC +FCBLCB ACBECB São necessárias 1 _{Equações de equilíbrio} 2 _{Equações de compatibilidade}

(97)

Carga Axial

Exemplo

Três barras de aço (E = 200 GPa) são acopladas a um elemento rígido por pinos e submetidas a uma carga de 15 kN como mostrado.

Determine a força em cada barra. As barras AB e EF têm área de seção

(98)

Carga Axial

Exemplo

Equações de equilíbrio + ∑ MC= 0 = −FA(0.4) + 15(0.2) + FE(0.4) + ↑ ∑ Fy= 0 = FA+ FC+ FE− 15 Equações de compatibilidade δA−δE 0.8 = δC−δE 0.4 ⇒ δC= (δA+ δE)/2 FCL 15E = 1 2 FAL 25E+ FEL 25E FC= 0.3FA+ 0.3FE Resolvendo simultaneamente FA= 9.52 kN FC= 3.46 kN FE= 2.02 kN

(99)

Torção

Programa

3 Torção

Deformação por Torção A fórmula da torção Transmissão de potência Ângulo de torção

(100)

Torção

Introdução

Estudaremos os efeitos da aplicação de esforços torcionais em um elementos linear longo,

eixos maciços eixos vazados Hipóteses:

comportamento do material: linear elástico Problemas analisados

distribuição de tensões nas seções transversais determinação do “ângulo de torção”

eixos de transmissão de potência problemas estaticamente indeterminados

(101)

Torção

Introdução

Torque (ou momento de torção) é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal.

(102)

Torção

Introdução

O esforço de torção desenvolvido no eixo de acionamento do ventilador depende da potência de saída do motor.

(103)

Torção

Introdução

Serão estudas das tensões e deformações em barras sujeitas à torção. O estudo a realizado envolve:

Barras sujeitas à Torção Pura: Somente o efeito do momento torsor (torque), sendo os demais esforços simples nulos.

Barras de eixo reto e seção transversal circular (cheia) ou anular (coroa circular). Barras com estas características são comumente denominadas de eixos

(104)

Torção

Introdução

Eixos sujeitos à momento torsor constante.

Pequenas deformações: as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas.

As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em relação a outra.

(105)

Torção

Ângulo de torção

(106)

Torção Deformação por Torção

Programa

3 Torção

Deformação por Torção

A fórmula da torção Transmissão de potência Ângulo de torção

(107)

Deformação por torção de um eixo circular

Hipóteses:

1 _{as seções transversais permanecem planas}

2 _{as retas longitudinais permanecem retas}

(108)

Deformação por torção de um eixo circular

(109)

Deformação por torção de um eixo circular

(110)

Torção A fórmula da torção

Programa

3 Torção

Deformação por Torção

A fórmula da torção

Transmissão de potência Ângulo de torção

(111)

A fórmula da torção

Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica. Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seção transversal.

τ = T ρ

J ⇒ τmax=

T c J τ : tensão de cisalhamento

T: torque interno resultante

J: momento polar de inércia c: raio externo do eixo ρ : distância intermediária

(112)

A fórmula da torção

Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça,

J=π c

4

(113)

A fórmula da torção

Se o eixo tiver uma seção transversal tubular,

J=π

2(c

4 0− c4i)

(114)

Exemplo

O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T . Determine a fração de T à qual resiste o material contido no interior da região externa do eixo, que tem raio c/2 e raio externo c.

(115)

Torção Transmissão de potência

Programa

3 Torção

Deformação por Torção A fórmula da torção

Transmissão de potência

(116)

Transmissão de potência

Potência: trabalho realizado por unidade de tempo

P= dW

dt

O trabalho realizado por um eixo rotativo é o produto do torque aplicado pelo ângulo de rotação

Se durante um instante de tempo dt, o torque T fizer o eixo girar de um ângulo dθ , temos

dW = T dθ ⇒ P = Tdθ

dt Para um eixo rotativo com torque, a potência é

P= T ω, onde ω = dθ /dt é a velocidade angular do eixo

No SI, a potência é expressa em watts. quando o torque é medido em Nm e ω é medido em rad/s.

(117)

Transmissão de potência

Em alguns casos, é dada a frequência de rotação do eixo, expressa em Hz (hertz)

Como 1 ciclo=2πrad ⇒ ω = 2π f , a equação para a potência é

P= (2π f )T

Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é J

c =

T τadm

,

onde τadmé a tensão máxima de cisalhamento, que depende do material

(118)

Transmissão de potência – Exemplo

Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor

Mao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver

uma tensão de cisalhamento admissível τadm= 100 MPa, determine o

(119)

Torção Ângulo de torção

Programa

3 Torção

Deformação por Torção A fórmula da torção Transmissão de potência

(120)

A fórmula da torção

(121)

Ângulo de torção

Rotação relativa entre duas seções transversais

dφ = γdx ρ = dφ = τ (x) G dx ρ ⇒ dφ = 1 G T(x)ρ J(x) dx ρ ⇒ φ = Z L _T_(x) GJ(x)dx

(122)

Ângulo de torção

Considerando

material é homogêneo (G constante) mesma seção transversal (J constante) mesmo torque aplicado (T constante)

φ = Z L 0 T(x) GJ(x)dx⇒ φ = T L GJ φ = ângulo de torção T = torque interno

J= momento polar de inércia do eixo

G= módulo de elasticidade ao cisalhamento