Propriedades geométricas do grupo de renormalização em redes hierárquicas

AO INSTITUTO DE FíSICA E QUíMICA DE SÃO CARLOS, DA UNIVERSI DADE DE SÃO PAULO, EM 21 DE

COMISSÃO JULGADORA:

~

novembro DE 198 8 •

Dr.

Sy1vio G.Rosa Junior Orientador

Carolina, Krishna, Nilton, lucas, Estevão, Sra. Nazaré,

Maurício, pelo apoio imprescindível do amor.

Márcio, Márcia, lula, Chahine, Nestor, Clisthenis,

zé

Fernando, Débora, Marco Antonio, Fernando,

Humberto, Odete, Alexandre .... , pelo apoio da amizade e da alegria.

Abraham,

,

.

necessarl.O

Aos Samaritanos e às pessoas que precisaram de mim, por tudo que me ensinaram sobre ml.m mesmo,

a qualquer realização.

fator necessário

Aos Profs. Nestor Caticha, Janey Daccach, Florêncio

Guimarães, Hans J. Hermann, pelas discussões proveitosas.

Ao Prof. Sylvio Goulart Rosa Jr., pela orientação segu-ra, o apoio profissional e a amizade sempre presente.

À Irene, pela arte datilográfica.

eterna gratidão

StRVIÇO DE 8-i-8-LI·GT~E-~~~·~~I~-FO--RM:A:ÇAO-='FQSCl

~ I •

o voo do esplrlto humano só se completa com as duas asas do conhecimento.

A pietro Ubaldi - admiração

profunda.

Na carícia do vento Na força do sol Na beleza da flor Na paz da montanha

A certeza da minha transformação permanente com voce.

moral do Homem, ou ela se prostituirá como mera reprodutora de confortos materiais inúteis.

PIETRO UBMDI

O que é belo na ciência é o que também é belo em Beethoven. Há

eventos e repentinamente

uma névoa de voce ve uma conexão. Isto expressa o complexo de conceitos humanos que pen~tra profun-damente em voêe,que conecta coisas que sempre estiveram em voce e que nunca haviam sido postas juntas antes.

INTRODUÇÃO

CAPíTULO I

...

. SISTEMAS DINÂMICOS COMO MAPEAMENTOS NA ESFERA DE RIEMANN

1

1.1

Definições e teoremas básicos 9

1.2 Propriedades dos conjuntos de Julia e

F

atou

16

CAPíTULO 11 . O MODELO DE POTTS P-ESTADOS NA CAYLEY : TRATAMENTO CANÔNICO

ÁRVORE

DE

11.1 A árovre de Cayley e o mapa de

Bethe-Peierls

25

11.2 Propriedades do mapa BP :propriedades

locais e globais do sistema de Potts. 36 11.3 A energia livre e a transição de ordem

c o n

t

í

nua

49

CAPíTULO 111 . PROPRIEDADES DO CONJUNTO DE JULIA DO MAPA DE BETHE-PEIERLS

111.1 O conjunto de Julia e os zeros de

Yang-lee

63

111.2 O locus do conjunto de Julia

e

do

conjunto de zeros 65

111.3 A medida de probabilidade do conjunto

APÊNDICE REFERÊNCIAS 111.4 111.5 111.6 de Julia

As dimensões do conjunto de Julia A inclinação do conjunto de Julia

Coment~rios finais .

75 82 86 92 96 106

INTRODUÇÃO

..

- (1-9)

A teorla do grupo de renormallzaçao r~p~csentou um dos maiores triunfos da física teórica da década passada. O me-

,

todo do GR tem sido aplicado desde então em uma variedade grande de problemas físicos.

muito

Recentemente tem se intensificado o interesse pelo es-tudo da dinâmica não linear e aqui novamente o GR tem mostrado sua grande utilidade.

Quando Wilson(l)desenvolveu a teoria do GR, lançou mao de técnicas da teoria quântica de campos. Essa abordagem foi mais tarde ampliada por Brézin(S), utilizando todo o poder da teoria de campos e da equação de Callan-Symanzik. Enquanto isso as idéias básicas do grupo de renormalização se tornaram mais claras, e foram feitas várias tentativas no sentido de se imple-mentar as idéias do GR diretamente sem recorrer

à

teoria de cam-pos.

(8

-Desse esforço resultou o chamado GR no espaço real

16)

.

'

-

...

. Aqul os calculos sao feltos dlretamente no espaço das POS1-çoes em contraposição à expansão € da teoria de campos no espaço dos momentos.

A idéia básica de renormalização foi introduzida por L. P. Kadanoff(7-9). Ele considerou como um magneto deveria par~ cer quando observado em diferentes escalas. Consideremos,p. ex., um sistema de Ising ferromagnético em uma rede regular. À tempe-ratura zero todos os spins estão alinhados, e essa configuração não muda quando o sistema é observado em diferentes escalas.

rentes escalas, é sempre o mesmo.

A formalização dessas idéias pode ser posta da seguln-te llianeira:agrupamos os spins da rede em blocos e substituímos cada bloco por um spin de bloco, cujo valor

é

definido pelo valor maj~

ritário dos spins que formam o bloco, obtendo assim um novo sistema com pa-râmetro de rede maior, como na figura abaixo

A

T

= O os spins

r

da rede renormalizada estarão no

meSffie estado dos spins

(j

da rede original, e a T = (X)a flutua-çao independente dos spins

r

peTll/aneCecomo na rede dos

G.

spins

Consideremos agora o sistema a uma temperatura inter-mediária, porém baixa o suficiente para que ainda exista ordem. A ordem não é completa devido às flutuações térmicas, porém a medida em que se processa a renormalização, as flutuações vao gradativamente desaparecendo, mostrando um quadro muito seme-lhante ao que o sistema apresenta a

T

= O. A ~lta temperatura

(T

~oo)

a desordem nio

é

completa. Existem açre9a~~~ que apre-sentam alinhamento de spins. No entanto a mudança de escala faz com que esses pequenos ag10merados coerentes gradativamente de-sapareçam mostrando um quadro semelhante àquele do sistema a

T =CO •

dômí-n~os de atraçao ou bacias atratores ao conjunto dos valores de T que estão associados aos atratores pela transformação do GR. Da mesma forma chamamos de fase do sistema ao conjunto dos esta dos associados aos valores de T de uma bacia atratora.

A temperatura crítica T = T

_c

é

a fronteira dos dois domínios de atração. Nessa temperatura o sistema possui flutua-çoes de todas as ordens, em todas as escalas. Os spins estão to dos correlacionados, e nessa temperatura o sistema apresenta

sempre o m~smo quadro após ser renormalizado. Consequentemente a temperatura

_.

T

_c

é

um ponto fixo da transformação, porém da na-tureza instável. Resumidamente, o padrão de flutuações na temp~ ratura crítica é auto-similar.

No entanto, essa sugestiva descrição de flutuações ag to-similares desapareceu

à

medida que a idéia de renormalização evoluiu da visão inicial de Kadanoff

à

construção do método por wilson.

Porém, recentemente a teoria do grupo de renormaliza-çao revelou a existência de fronteiras de fase de natureza frac

1(17,18) o o o 1 - °d'o

ta , que sugerem ~ntu~t~vamente urna re açao com a ~ e~a de auto-similaridade de Kadanoff.

Para se entender essa ligação é necessário extender-se a noção de fronteira de fase para o plano complexo dos parâ-metros do sistema.

Em 1952, Yang e 1ee(19) discutiram a questão de o formalismo canônico da mecânica estatística formulado

corno por Boltzmann e Gibbs poderia descrever transições. O problema era clarificar a natureza matemática das singularidades que deve-riam apresentar as quantidades termodinâmicas para descrever as transições de fase.

cidade tenham algum significado físico, o comportamento analíti co das funções termodinâmicas só pode ser completamente revela-do no plano complexo. Esse tratamento é de caráter La5~ante ge-ral e pode ser aplicado a vários problemas como o gás na rede com interação atrativa entre primeiros vizinhos, ferromagnetis-mo, transição ordem desordem, etc ..

-

,

..

As conclusoes flslcas de Yang e lee derlvam de al-guns resultados matemáticos que foram apresentados na forma de três teoremas, cuja demonstração não apresentaremos aqui mas que podem ser encontradas na referência (19).

Teorema 1 _{Para todo valor real positivo da fugacidade Y,}

o

limite lim ~ log

3 (

V volume do sistema e

8

fun-çao de grande partição ), existe e é independente da forma de V. Além disso, esse limite é uma

contínua, monótona crescente de Y.

função

A função de grande partição de um sistema finito pode ser escrita como um polinômio de grau M em Y, podendo ser fato-rada na forma

=

ir(

_{~ = 1}

~_

L)

_'(o~

onde os Y.

₁

sao as raízes da _{equaçao ~},.-.

(y)

=

o.

É claro que nenhuma dessas raízes pode ser real e po-sitiva, pois todos os coeficientes

uO

polinômio acima são

POS1-tivos.

À medida que o tamanho do sistema (V) aumenta, essas raízes se movem no plano da fugacidade complexa e o número (M)

de raízes aumenta. A distribuição das raízes no plano Y, no

li-SERViÇO DE BiBLIOTECA E INFORMAÇÃO _ IFQsr

mite termodin~mico fornece o ~omportamento analitico das fun-ções terrnodinâmicas. Esse fato fica estabelecido no teorerna :

Teorema 2: Se no plano Y complexo urna região R que contém um segmento do eixo real positivo, não contém

da função de grande partição, então nessa

,

raJ.zes

.

-regJ.ao, no limite termodin~mico todas as grandezas:

possuem limites que são analíticos em Y. Assim as operaçoes

(ô~l

e lim

comutam em R e portanto

V-rD

~ ( Ô ) ,

to

C"

(,)

'lo;1

"m - -

d.::J

=

- LJWl - Ó ~

,,-'# l» 'dlo()Y "

'd,r

~_fX) V

Yang e lee mostraram que o problema do gás na rede,pa ra o qual se aplicam os teoremas 1 e 2 com Y sendo o peso de Boltzmann do potencial químico, é totalmente equivalente ao prQ blema de Ising ferromagnético com campo magnético externo.A fun çao de grande partição no problema do gás na rede é proporcio-nal

à

função de partição do problema de Ising. O

Boltzmann do campo magnético externo

peso de

é proporcional

à

fugacidade Y. A função de partição do pro-blema de Ising

e

proporcional a um polinômio em z

ção de partição.

Portanto o problema de estudar a transiç~o de fase do problema de Ising ferromagnético se resume em determinar a dis-tribuição dos zeros da função de partição no plano z complexo. Yang e Lee lograram demonstrar o seguinte teorema, que se tor-nou conhecido corno teorema de Yang-Lee:

Teorema 3: Se a interação U entre dois átomos de um gás é tal que

U = ():)

U

f

O

se os átomos ocupam o mesmo ponto caso contrário

então todas as raízes do polinômio p(z) pertencem

,

.

,

.

ao c~rculo un~tar~o no plano z complexo.

Vol tando ao _{problema de Ising podemos dizer que} o conjunto dos zeros (na fugacidade z)da função de partição está contido no círculo unitário do plano z complexo, iridependetlte-mente da geometria da rede, do alcance da interação, e do ta-manho do sistema.

Dessa forma a teoria de Yang e lee fornece uma descri çao da transição de fase do modelo de Ising ferromagnético: a alta temperatura o conjunto de zeros nao toca

.

--.

~.

-

,

.

o e~xo real, e portanto as funçoes termod~nam~cas sao anal~t~-cas para todo valor do campo externo. A partir da temperatura crí tica, o conjunto de zeros se aproxima arbitrariamentedo ponto

z

=

I

(campo externo nulo), e portanto temos dois domínios de ~naliti cidade para as funções termodinâmicas separados pelo círculo u-nitário.

cidade em T(20) •

A maior dificuldade no tratamento de _Yang-Lee

_é

_{a de} terminação da distribuição do conjunto de zeros da função de partição. O problema da localização dos zeros de um polinômio não é um problema simples de ser atacado.

No entanto, para modelos definidos em redes hierárqui cas é possível se determinar o locus do conjunto de zeros gra-ças ao fato de ser a transformação do GR desses problemas um ma pa racional ou polinomial que fornece de forma recursiva os

d

f

-'d

. - (17-21)

.

,

.'

.

A •

zeros a unçao e part~çao assoc~ados a var~avel d~nam~-ca (grandeza renormalizada) do mapa ou transformação do GR.

Extendido ao plano complexo, os mapas do GR dos pro-blemas definidos em redes hierárquicas se tornam mapeamentos da esfera de Riemann na esfera de Riemann.

Esses mapeamentos foram primeiramente estudados por

1·

(22).

,.

d

'

1

G. Ju ~a e P. Fatou no ~n~c~o o secu o, e recentemente B. B. Mandelbrot(23) extendeu o estudo do mapa logístico ao plano complexo.

Julia e Fatou mostraram que os mapeamentos racionais e polinomiais de grau maior ou igual a dois separam a esfera de Riemann em dois conjuntos disjuntos com propriedades matemáti-cas distintas. Um desses subconjuntos da esfera de Riemann, co-nhecido corno conjunto de Julia, está associado ao ponto fixo instável do mapa e mantém estreita relação com o conjunto dos zeros da função de partição de modelos definidos em redes

hie-,

.

rarqu~cas.

Esse fato sugere a seguinte questão: De que forma as propriedades geométricas dos conjuntos de Julia e consequente-mente dos conjuntos de zeros da função de partição, descrevem o comportamento dos modelos em redes hierárquicas?

GR e das suas propriedades geométricas usando a teoria de Julia e Fatou. Assim esse formalismo permite, no caso das redes hie-rárquicas, evidenciar a equivalência de dois tratamentos para

u

fenômeno de transição de fase: O grupo de renormalização,e a teQ rla de Yang-Lee, através da teoria de Julia e Fatou.

Neste trabalho estuda-se o modelo de Potts p-estados na árvore de Cayley fechada assimétrica, no formalismo de Yang-lee tratando o mapa do GR como um mapeamento na esfera

de

Riemann. A implementação do grupo de renormalização no espaço real fornece um mapa, conhecido como mapa de Bethe-Peierls(BP), cujas propriedades locais (na rede de Bethe), associadas aos atratores do mapa, descrevem a aproximação de Bethe-Peierls(cam po médio) para o modelo(24). Os conjuntos de Julia

geometricamente as propriedades globais(2S) (na árvore do sistema.

descrevem de Cayley')

No capítulo I são apresentados vários resultados da teoria de Julia e Fatou que serão utilizados no capítulo III.No

CAP!TUI.O I

SISTEMAS DINÂMICOS COMO MAPEAMENTOS NA ESFERA DE RIEMANN

Neste capítulo apresentamos as noções básicas

e

os

principais resultados sobre os mapeamentos racionais e polinomi ais na esfera de Riemann. A teoria desses mapeamentos foi deseg

I . d

..

G

J

I'

P

(22).

,.

d

VO Vl a prlmelramente por . u la e . Fatou no lnlClO o século. Mais recentemente novos resultados foram obtidos por J.H. Hubbard, A. Douady e D. Sullivan(30).

Para alguns dos teoremas apresentados aqui as respe~ tivas demonstrações foram omitidas por envolve.rem uma quantida-de excessiva de conceitos adicionais fugindo ao objetivo prlnCl paI deste trabalho. Essas demonstrações, bem como um estudo mais aprofundado dos mapeamentos na esfera de Riemann podem ser

A • (22 29,30)

encontrados nas referenclas' .

1.1 - Definições e Teoremas básicos

Um sistema dinâmico discreto é basicamente uma trans-formação que associa a um valor inicial, uma sequência de valo-res

A tim de incluir os mapeamentos no ponto infinito e como o plano complexo não é compacto, definimos a transformação

(1.1) na esfera de Riemann

C

=

eU

{m~ (projeção esterlográfica entre o plano

e

e a esfera complexa),

Estamos interessados particularmente em estudar a di-nâmica de um sistema dinâmico discreto analítico em C do tipo

onde p(z) e Q(z) são polinômios com coeficientes complexos e sem fatores comuns. Os pólos da transformação (I.3) são os pon-tos de C que são mapeados no infinito (pólo norte da esfera de Riemann) .

Definimos o grau gr(R) do mapa R corno

(I.4)

O grau de R é o número (contado corno multiplicidade das imagens inversas de qualquer ponto em

e.

A teoriade Fatou e Julia se aplica a mapas racionais de grau maior ou igual a~.

Definição 1.1:

Seja Zo

€

C. A sequência indutivamente defini

da pelo mapa (I.l) é chamada órbita direta do

Definição 1.2 :

Se z

_n

= z

_o

para algum n, então z

_o

é

um ponto

periódico e &+(zo)

é

urna órbita periódica ou ciclo periódico. Se n é o primeiro número natu ral tal que z

_n

= z , então n

_o

é

o período da ór

-bita. Se n = 1 z_o é chamado ponto fixo.

n

' ..

-Denotamos por R a n-eSlma compOSlçao

da função R. Nesse sentido R2(z) não é quadrado de R mas Slm

Definição 1.3 Seja z_o um ponto periódico de período n. Então

,

o n~mero

t=

(Rn) (z)_o é o autovalor da órbi-ta periódica.

o

autovalor

t

é o coeficiente da expansao de Taylor em torno do ciclo periódico do mapa. O seu módulo fornece por-tanto um critério de estabilidade para o ciclo periódico.

Definição 1.4 : Uma órbita periódica - atratora (estável)

(ciclo) &+(z _o) é:

se O

<

10'1

<.

I

- superatratora (superestável) se

f=

O - repulsora (instável) se

Itl

>

I

- neutra (indiferente) se

Itl

= I

Da mesma forma que temos órbitas diretas &+(zo)' pode mos também considerar as pré-imagens obtidas da inversa de R,

-1

xn = R (xn+1). No caso aplicação 1 ~ gr(R). O

da equação (I.3), a inversa será uma conjunto das pré-imagens formam a órbi-ta inversa ~ (z ) de um ponto

_o

z

_o

em C.

Definição 1.5 Um ponto C é chamado ponto crítico do mapa

I ( ,

se R Cj = O.

R

Definição 1.6 _{Seja Zo um ponto fixo estável de R. Então a ba} cia atratora de z

_o

é

o conjunto

w (~.)

" { }

I

R" (~) -

~.

I

n -

00

J

pos-SUl três pontos fixos

,

.

z

1

= Oestaveislns-e z₌₀₀ e z=

.

o o o

tável.

Consideremos um ponto_p z =

e.

19

.

Se

f

=

1

e óbvio que

R(z)

gera um outro ponto coml.

f

=

Porém suase p < 1,então órbita direta é atraída ao ponto fixo z = O,

e portanto o ln-o

terior do círculo unitário é a bacia atratora do ponto

z

= o.

o

fixo

Por outro lado se

f

)

1 então as interadas de R levam ao pomto z_o = 00, e portanto o exterior do círculo' unitário é a bacia atratora do ponto z

_o

=CO. O círculo unitário é afrontei

-ra das duas bacias atratoras.

tas como

As n interadas de um ponto z , Rn(z

_o

_o

), podem ser V1S

--

, .

-

n

transformaçao do ponto z_o pela fam111a de funçoes R . Portanto o estudo da "dinâmica do mapa R(z) se relaciona ao es-tudo das propriedades da família de funções Rn.

Nas definições a seguir utiliza-se a métrica esféri-ca em

C.

Definição 1.7: Seja U um subconjunto aberto de ~ e F={fi/i€1} (I um conjunto indexador) uma família de fun-ções meromórficas (funções cujas singularida-des são pólos). A família F é dita uma famí-lia normal se toda sequência f

_n

contém uma subsequência f

_n·

, que converge uniformemente

J

nas partes compactas de U.

Definição 1.8 Seja X um espaço métrico

família de funções {fi : lia equicontínua se, dado

com métrica d. Uma

X-i""X}

,

famí-e uma

E '/

o,

existeum

~ > O tal que d(xl,x2) < ~ implica d ( fi(Xl),

Como exemplo seja R(z) = az com

lal

<

1

e

tomemos

n

R

_n

(z) = R (z).

domínio de C

Então {Rnt forma urna família normal em qualquer pois Rn converge uniformemente pala a função con~ tante O em subconjuntos compactos. No caso lal >

1

a família

R

_n

_{e normal}

,

_{em todo domlnlo}

,

.

_{que nao lnclua}

-

..

_{o ponto O, p01S em}

qualquer vizinhança de O existe um ponto z para o qual IRn(z) é arbitrariamente grande para algum n.

Os conceitos de normalidade e equicontinuidade estão ligados no teorema de Arzela.

Teorema

1.1

(ARZELA)

A família F:

1

fi :

u~ c}

de funções meromórficas

é

urna família normal se e

somente se F

é

urna família equi~ontínua em toda parte compacta de U.

Portanto as famílias normais assumem valores que nao divergem por iteração.

Com o conceito de normalidade definimos bacia imedia-ta de um atrator.

Definição 1.9 Chama-se bacia imediata A(z

_o

) de um ponto fixo estável ao máximo domínio contendo z_o onde a

f

amllla

".

{

R ~ e normal.nl '

A teoria de Julia e Fatou

é

voltada para a decomposi-çao disjunta e invariante da esfera de Riemann em dois conjun-tos, que ficaram conheciãos corno o conjunto de Julia e o con-junto de Fatou.

de z em C tal que a família de iteradas

I

Rn/Uj

é

urna família normal.

O

conjunto de Julia J(R) é o ~omplementar do conjunto de Fatou.

Consideremos novamente corno exemplo o mapa R(z)=z2 . Primeiro observamos que o mapa H (z) = 1/z

é

um mapa um por um,anali tico fora da origem,e que H o R o H-1=R, isto

é,

o mapa H conjuga o mapa R ao próprio mapa R. Como H(z) leva o ponto O no infinito

e vice-versa, então o comportamento local de R no infinito levado ao ponto O, ou seja, o comportamento analítico de R

,

e

no infinito e no O é idêntico. Munido da métrica usual, e tendo em vista a conjugação de R(z) por H(z), é simples mostrar que

a família {Rn(Z)\ é equicontínua no interior e no exterior do círculo unitário.

Pelo teorema de Arzela (1.1) a família {Rn}

é

normal nesse domínio.

Por outro lado o mapa R(z) no círculo unitário se torna um mapa do tipo e~2e, e portanto nesse domínio a famí-lia \Rni não é equicontínua e consequentemente não é normal.

Portanto o conjunto de Fatou do mapa R(z) = z2 tem duas componentes, o interior e o exterior do círculo unitário, e o conjunto de Julia é o círculo unitário.

o

conjunto de Julia é a fronteira das duas bacias a-tratoras do mapa. Observamos que os pontos fixos estáveis per-tencem ao conjunto de Fatou e que o ponto fixo instável perten ce ao conjunto de Julia.

Devido ao fato de ser a transformação inversa R-l(z) pluvíroca, não se pode afirmar que o ponto fixo instável é um atrator do mapa inverso mas sim que o conjunto das pré-imagens do ponto fixo instável é um atrator para R-l(z).

urna forma bastante simples e de fácil determinação, são os exemplos em que isto ocorre.

Em muitos casos os conjuntos de Julia sao

raros

fractais (sua dimensão de Hausdorff é maior que sua dimensão topológica).

o

exemplo talvez mais estudado seja o do mapa logístico extendi

2

do ao plano complexo, R(z) = z + c, c complexo .

.

.

"

.

,

.

Quando c = O o conJunto de Ju11a e o c1rculo un1tar10. Porém para Icl ~ O o conjunto J(R) é urna linha conexa não reti-ficável, corno mostra a figura (1.1) abaixo.

o

mapa ainda possui dois atratores e um repulsor e o conjunto de Fatou possui duas componentes. Porém a fronteira ~

.' ( 3 )

bac1as atratoras e um fractal.

u.

Ruelle mostrou que para

leI

rv

O a dimensão de Hausdorff é dada por

o

teorema seguinte, conhecido como teorema de MonteI

é

fundamental _{para se obter várias propriedades dos} con-juntos de Julia e Fatou.

Teorema 1.2 (MONTEL) : Seja F uma família de funções meromór-ficas definidas em um domínio U. Su-ponha que existam pontos a,b,c em C

tal que

[l~

t(1A)]

n

{a.,b,cl

'" ~

Então F

é

uma família normal em U.

Corolário _{Seja z ~ J(R). Se U é uma vizinhança de z então o} conjunto EU = C -

_~)o

LJ Rn(U) contém no max~mo

,

. dois pontos. Tais pontos sao chamados pontos' ex-cepcionais.

Com esse conjunto básico de definições e mais o teo-rema de MonteI e seu corolário, várias propriedades dos conjun tos de Julia e Fatou podem ser derivadas. Essas propriedades serão utilizadas no capítulo IIIpara os conjuntos de Julia do mapa de Bethe-Peierls para o problema de Potts.

1.2

-

Propriedades dos conjuntos de Julia e Fatou

De acordo com a definição

(1.7)

o conjunto de FQtou F(R) é aberto, e consequentemente o conjunto de Julia J(R)

e

,

fechado. Como o mapa R é um mapeamento aberto e contínuo então

-1

'

z ~ F(R) ~ R(z) E: F(R) e ainda R (z) C F(R). Portanto F(R) e completamente invariante, e J(R) é invariante e compacto.

Teorema 1.3 _{o conjunto J(R)} e nao vaz~o.

,

-Prova _{Suponhamos J(R) = ~. Então F(R) = C e pG~tanto a}

família {Rn} é normal

_n'

em C. Assim urna sUbsequên-c~a convergente R ~ converge uniformemente ( na métrica eSférica) para urna função meromórfica R,

ni

e devemos ter gr (R )

--+

gr (R). Mas por outro

n·

lado gr(R ~) _ CO se ni ~ 00, e como gr(R)

é

fi

nito, então devemos ter J(R) ~ ~.

Do teorema (1.1) e lembrando que se uma sequência Rn de funções analíticas converge uniformemente em um domínio

U

pa

- , , . n(k) ( ) (k) ( )

ra um mapa R entao R e anal~t~ca em U, e R z ~ R z (R(k) a derivada k-ésima de R), temos

Teorema I. 4 :

Se &+(z _o) é uma órbita periódica atratora ou su-peratratora, então ela está totalmente contida

Prova

em F(R). Se a órbita é repulsora então ela está totalmente contida em J(R) .

: Apresentamos a prova para um ponto fixo. Para o ciclo periódico a prova é apenas um pouco

complicada.

mais

normal e o Consideremos um ponto fixo z_o instável e digamos que {Rn}

ê

normal em uma vizinhança U de Zoe

n

n

Como R (z )

_o

= z

_o

para todo n segue que R (z) nao converge para 00 em U. Portanto uma sequência{Rni tem uma subsequência {Rni~ que converge uniform~ mente para R em U~

n.

'

,

Portanto

I

(R ~) (z ) \ _

_o

IR (z ) I.Mas

_o

I

n

l - ,

ponto fixo instável

20

pertence a J(R). A prova pª ra o caso em que 2

_o

é

estável ou superestável

análoga.

,

e

Corno consequência do corolário do teorema (1.2) pode-se mostrar que o conjunto

J(R)

não possui pontos interiores, 1~ to

é,

se o interior int

J(R) ~

0

então

J(R)

= C. Isto significa que

J(R)

é

uma linha conexa, um conjunto totalmente desconexo,

ou

J(R)

=

C .

Outra consequência importante do teorema (1.2) é:

Teorema 1.5 : Seja E(R) o conjunto dos pontos excepcionais de R. Se z

ê

(C - E) então J(R) está contido no conjunto dos pontos de acumulação da órbita in-versa completa de z,

J

c:

{pontos de acumulação de LJ R-n(z) ~

~~o

j

Prova

e consequentemente, se z ~ J(R)

U

-n J = fecho ( R (z) )

.,~O

Da definição do conjunto E(R), como J(R) e F(R) sao disjuntos, e como as iteradas de qualquer vi zinhança de um ponto de J(R) atinge um ponto não excepcional, segue a primeira afirmação do teor~ ma.

Se z

f

J(R) então

U

R-n(z)

C

J(R) pois J(R )

1')),0

é

invariante. Como J(R)

é

fechado, então

J :::> fecho (

U

R -n (z ))

Mas,da primeira afirmação do teorema segue que

J c

fecho R

-n (z) ) •

o

teorema (1.5) sugere um a1gorítmo para gerar numeri camente uma figura do conjunto de Julia.

o

conjunto das iteradas inversas de um ponto não ex-cepcional do conjunto de Fatou se aproxima assintoticamente do conjunto de ..Julia. Ou ainda, se conhecermos um ponto do conjun to de Julia, a sua órbita inversa

é

densa em J(R).

o

teorema (1.5) sugere uma visualização do de Julia que às vezes

é

usada como definição de J(R):

conjunto seja z

€

(C - E) e U uma vizinhança de z que não intercepta o conjunto J(R). O conjunto das iteradas de U/ LJ R-n(U) gera a bacia atra

n~o

tora de um ciclo estável, e assim o conjunto de Julia

é

a fron-teira da bacia atratora. A fronteira da bacia imediata de um atrator é um subconjunto de J(R).

o

teorema seguinte é muito útil para se testar numerl camente a conectividade de

J(R).

Teorema

1.6:

A

bacia imediata

A(z )

_o

de um atrator

z

_o

no mínimo um valor crítico do mapa.

contém

Em virtude do teorema

(1.6)

o teste sobre a conectivi dade dos conjuntos de Julia de mapas pOlinomiais ~ imediato: se a órbita direta do ponto crítico atingir uma órbita estável en-tão a fronteira da bacia atratora é conexa; se a órbita do pon-to crítico divergir então o infinito é o único atrator, e aqui temos duas possibilidades: a fronteira ~ um conjunto desconexo ou então uma linha não fechada, e em ambos casos o conjunto de Fatou possui uma única componente.

Outras duas propriedades importantes dos conjuntos de Julia sao:

Teorema 1.7: O conjunto de Julia é perfeito (todos os pontos de J(R) são pontos de acumulação de pontos em

J(R) ).

Como consequência do teorema (1.7) o conjunto de Ju~ia ~ um conjunto não contável.

Teorema 1.8

Prova

o

conjunto J(R) é o fecho dos pontos periódicos repulsores.

Como J(R) é invariante, dos teoremas (1.4) (1.5) segue o teorema (1.8).

e

fixo instável do mapa R(z)

é

denso em J(R).

o

teorema (1.8), conhecido como teorema fundamental da decomposição, permite obter dois resultados notáveis sobre as componentes do conjunto de Fatou.

Teorema 1.9 : Se o número de componentes de F(R)

é

finito, en tão F(R) tem no máximo duas componentes.

Como o conjunto de Fatou

é

controlado pelos atratores do mapa então podemos ter as seguintes possibilidades:

1.

O mapa possui dois pontos fixos estáveis e F(R) possui duas componentes.

2.

O mapa possui um ciclo atrator e o conjunto F(R) tem infini tas componentes.

3.

O mapa possui apenas um ponto fixo estável e portanto F( R) possui uma única componente.

Exemplos dos casos (1) e (2) já foram apresentados nas figuras (1.1), (1.2) e(I.3). Para o caso (3) as figuras (1.4) e

Com relação

à

bacia imediata de um atrator os

(1),(2)

e

(3)

acima se relacionam no teorema seguinte.

casos

Teorema 1.10 Seja

z

_o

um ponto fixo estável do mapa. Então a

sua bacia imediata A(z _o) é simplesmente conexa ou tem conectividade infinita.

Assim, se o mapa possuir apenas um ponto fixo estável então: o conjunto de Fatou

é

simplesmente conexo no caso do con junto de Julia ser uma linha não fechada, e F(R) tem conectivi-dade infinita no caso do conjunto de Julia ser desconexo .

.

,

.

Para conclu1r este cap1tulo, apresentamos de forma suscinta o conjunto que ficou conhecido corno conjunto de Mandelbrot definido no espaço dos parâmetros do mapa •

.

.()

2

Cons1deremos o mapa R z = z + C, C complexo. Para cada valor de C o mapa possui um conjunto de Julia Jc(R),que co mo vimos pode ser conexo ou desconexo. O conjunto de Mandelbrot M do mapa R(z) é definido como o conjunto dos valores de C € C tal que o conjunto de Júlia Jc(R) é conexo,

O teorema

(1.6)

estabelece um critério que fornece um algorítmo para se obter uma imagem do conjunto de Mandelbrot.No caso dos mapas polinomiais, como o infinito é um atrator, a sua fronteira é o conjunto de Julia J (R). Se a bacia

_e

imediata con-tém pelo menos um ponto crítico do mapa então se a sua órbita direta divergir, o conjunto J (R) é desconexo,

_c

e caso contrário o conjunto de Julia é conexo.

~

1<e.(c)

10tJ'r0 f\~O

I

e~TA~eL

I

CiCL.O I

'll.l.l'u)

_{I I}

I

_I

teST4V61.1

I

I

, I

I I

No cardióide principal o mapa possui um ponto fixo estável, além do infinito que é sempre superestável, o conjun-to de Faconjun-tou possui duas componentes e os conjuntos de Julia são deformações do círculo unitário (figura I.I). Nos domínios formados pelos "botões" o mapa possui ciclos atratores, o con-junto de Fatou possui infinitas componentes (figuras I.2 e I.3). No eixo real para valores de c

<

O, o mapa apresenta a rota caótica conhecida, e os "botões" contíguos são os

domíni-.

'.

n

os dos c1clos estave1S 2 .

(30)

Recentemente, A. Douady e J.H. Hubbard mostraram que o conjunto de Mandelbrot é conexo, isto é, M não está con-tido na união de dois conjuntos abertos disjuntos e nao va-Z10S. A questão se M é localmente conexo (se qualquer pedaço

u

n

M de M (U C

C

aberto) tem a propriedade de para qualquer z € U

n

M existe uma vizinhança V C U, z € V, tal que V

n

M

e

,

conexo) ainda está em aberto.

Outra caracterização de M foi recentemente obtida por F.v. Haeseler(31), tendo mostrado que

CAPíTULO 11

O MODELO DE POTTS P-ESTADOS NA ÁRVORE DE CAYIEY

CANÔNICO.

11.1 - A árvore de Cayley e o mapa de Bethe-Peierls

TRATAMENTO

A árvore de Cayley aberta possui urna prescriçao de construção bastante simples :

1.

A um sítio conectam-se ~ outros sítios através de ~ ligações.

2.

A cada um dos ~ sítios conectam-se

ou-tros (~- 1) sítios através de (~- 1) ligações, e assim sucessivamente.

Denominamos geração ou camada da árvore de Cayley ao conjunto de sítios que são adicionados

à

árvore a cada passo no seu processo de construção. A última camada denomina-se superfí cie da árvore de Cayley. Chamaremos de ramificação (r) ao núme-ro de sítios adicionados a cada sítio de uma dada camada.

Dessa forma construímos uma estrutura ramificada onde cada sítio, à excessão daqueles pertencentes à superfície,

pos-SUl

~

= r +1 primeiros vizinhos, e que não- apresenta "loops" fe chados. (fig. 11.1)

Essa estrutura confere

à

árvore de Cayley uma caracte rística fundamental que a diferencia das redes de Bravais:(

24-26)

a razão entre o número de sítios na superfíc~e e o número tQ tal de sítios

é

diferente de zero no limite de número de sítios infinito (limite termodinâmico).

.deia de sítios, urna vez que o caminho que une dois sítios atra-vés de sítios distintos é único. Essa relação também fica eVl-denciada termodinamicamente pela igualdade das energias livres da cadeia de spins clássicos, e da árvore de Cayley aberta com splns clássicos colocados em seus sítios.

Para tornar não trivial a função de partição de um mo delo de spins clássicos na árvore de Cayley aberta,

é

necessa-

,

.

d'

.

1

d (24)

rlO lntro UZlr-se um mecanlsmo que construa oops na re e .

,

.'.

-

,

.

Um posslvel mecanlsmo e a adlçao de um Sltl0 externo

à

rede com um spin que acopla com todos os s.pins da árvore com um acoplamento distinto daquele existente entre os spins da pró pria árvore. A essa árvore chamaremos árvore de Cayley assirné-trica fechada (fig. 11.2).

Sem perda de generalidade, e para efeito de estúdo das propriedades de um sistema de spins no limite termodinâmico na árvore de Cayley fechada, podemos considerar apenas um ramo da árvore corno na figo 11.2.

Dessa forma indexamos as camadas da árvore com um ín-dice n = 1, .... , N da superfície para o interior e um índice

S

=

0,

...

,

N-l do interior para a superfície, de tal forma que em qualquer geração teremos sempre n+s = N, onde N é o

de geraçoes da árvore.

,

numero

Denominaremos por

J

o acoplamento entre spins na árvo re propriamente dita, h o acoplamento entre os spins interiores da árvore e o spin adicional (g), e h(s) o acoplamento entre os spins da superfície da árvore e o spin (g).

,

ma e

~ara tornar não triviql a função de partição do siste suficiente que tenhamos h =

°

e h(s) ~ O.

As~ociando a cada sítio da árvore uma variável (spin) de Potts, que pode assumir p valores

Ú

= 0,1, ... , (p-l) , a

p

Hamiltoniana do sistema de Potts na árvore de Cayley assimétrica pode ser escrita corno

fechada

(n.1)

Os pares de primeiros vizinhos no interior da árvore, vizinhos do spin (g) com a superfície e do spin (g) com o inte-rior da árvore são representados por (i,j), (S,g~ e (i,g) res-pectivamente. O acoplamento do spin (g) com os spins interiores e com os spins superficiais é denotado por h e h(s) respectiva-mente, e b é a função delta de Kronecker (fig. 11.3 a,b).

A árvore de Cayley assimétrica fechada é portanto,uma rede hierárquica(24) cujo processo de decoração é mostrado na figo 11.3 c. Nesse processo são formados

perfície.

s

r aglomerados na

su-Os spins da superfície podem ser decimados através do cálculo do traço da função de partição de cada cluster elemen-tar da camada n, o que introduz um acoplamento efetivo entre o spin (g) e os spins da camada n+l (fig. 11.4).

Assim, a decimação dos spins da superfície, com a ~m-posição de que as funções de partição do cluster e do par de spins por (g) e um spin da camada n+l sejam proporcionais,

for--

.

- (9 27)

nece a transformaçao do grupo de renormal~zaçao' .

0," "

"I

,,

"5

,

,

"

,

'N-I

Fig. 11.3

(a)

Ramo da árvore de Cayley com o spin (g) com acoplamentos diferenciados com os spins inte-rlores (h), superficiais (h(s)), e os acopla-mentos internos da árvore

(J).

(b)

Ramo com o acoplamento h = O, e com as cama-das indexacama-das.

(c)

O processo de decoração do ramo da árvore as-simétrica de ramificação 2

nos spins de superfície.

Fig. 11.4

;f\

J

h\

2~

\ 1/

h(S)

9

Processo de decimação dos aglomerados de superfí-cie, gerando um acoplamento efetivo entre o spln

( s )

A transformação R pode ser visualizada esquematicamen te na forma

.c. ~

I

-x.

(:[.'5 )

M4

o

]

1

onde:

i - spin da camada n+l j - spin adicional (g)

k - spins da camada n (superfície)

t = exp- peso de Boltzmann_(-p~j) dos acoplamentosinter nos da árvore, ~ =

l/K T

.

B

x

= exp

(-P~h)- peso de Bolzmannacoplamentosdos da ár-o

vore com o campo externo

x

n

= exp (-p~hn) - peso de BoI tz'.,anndos acoplamentos spin (g) com a superfície.

do

/Y1 (

( JL4)

onde exp (C )

_n

é

um fator de proporcional idade entre as funções de partição do cluster e do par (i,j) na equação (II.3).

Considerando as duas possiblidades, i =

j

ou temos da equação (II.4)

i

f:

j

se

i

f:

j

C"

í

-

~

-

11

ti

_r

_-4

_-t

L ~

llr\

t (

_J-1

f -

1) '")(.0

c..,

;

l

_I 1 ]

e.

-

i

_{+ ~~ ~ (}

_{f -}

_2.)

-Substituindo-se (II.6) em (II.S) obtem-se

(JL. ,)

t

+ ~Y1 •••

t

1Ln ( ~:..2. )

~ -t

t

')l." (

f -

4 )

(11:.1- )

que

é

a transformação do GR para o acoplamento do spin(g) com a superfície da árvore de Cayley. Essa transformação será deno minada mapa de Bethe-Peierls (BP).

Definindo

temos da eq. (II.6)

J

_f\ =

-i

-

4

i

1")(.(1 +

(r -

2 )

([.9)

que na eq.

(11.7)

fornece o mapa

f

-que denominamos mapa global, por razões que ficarão claras mais adiante.

o

mapa BP (eq. 11.7)

é

um mapa racional de grau r, pa rametrizado por t e p que pode ser visto como um mapeamento da esfera de Riemann R

c --.

_{C , se sua variável dinâmica X}

_n

pu-der assumir valores em C.

Dessa forma, a órbita direta de um valor inicial X I corresponde aos valores do campo efetivo nas camadas internas da árvore de Cayley quando se implementa o processo de decima-ção dos clusters da superfície. Em outras palavras, isso corre~ ponde

à

determinação do campo efetivo em spins no interior da árvore de Cayley, afastados da sua superfície.

No limite termodinâmico (n~), o processo de renorma lização dos acoplamentos

é

representado pelo ciclo atrator do mapa BP. Como esse limite corresponde a um afastamento infinito da superfície da rede o atrator

_I

do mapa BP descreve as proprie-dades locais no interior do sistema, isto

é,

as propriedades li vres dos efeitos que possam ser introduzidos pela superfície da árvore de Cayley. É um resultado já bastante conhecido que as propriedades do ciclo atrator do mapa BP reproduzem,no limite termodin~

re-des de Bravais, isto

é,

a aproximação de Bethe-Peierls

é

exata

, (24 28)

na arvore de Cayley , .

Por outro lado, a órbita invêrõa de uma dada condição inicial gera um conjunto no limite termodinâmico que POSSUl e~

,

1 -

.

d

l'

d

(17)

trelta re açao com os conJuntos e Ju 1a o mapa BP . Essa órbita inversa está associada ao processo de decoração da re-de, do interior para a superfície da árvore de Cayley. Assim, os conjuntos de Julia do mapa BP possuem uma relação com as propriedades globais do sistema, isto

é,

da árvore de Cayley incluindo sua superfície.

o

mapa global (eq. II.IO) determina, como veremos adiante, a função energia livre global, quando incorporam-se às propriedades termodinâmicas do sistema as contribuições dos spins da superfície.

Daqui em diante passaremos a denominar o sistema de árvore de Cayley quando se inclui efeitos de superfície, e de

rede de Bethe quando se desprezam esses efeitos.

II.2 - Propriedades do mapa BP: propriedades locais e globais

do sistema de Potts

A partir deste ponto vamos considerar o sistema de potts na árvore de Cayley sem campo externo, somente com campo na superfície. Portanto o mapa BP fica

t

+ 1(.. Yl +

t

~Yl ( .p - 2. )

Fig. 11.5 _{Gráfico·x n+1 = R(X ) para o caso pn = 2.}

(a)

O ponto fixo X

*

= 1

é

o único atrator do ma pa. A partir de t = 1 a derivada do mapa no ponto fixo aumenta com o decréscimo do parâm~

tro t.

(b)

A derivada do mapa em X

*

= 1

é

unitária e ponto fixo se torna indiferente.

o

Nessa situação se define o valor crítico tBP do parâmetro t.

*

(c)

Abaixo do valor crítico tBP' o ponto fixo X =1

Fig. 11.6

_Gráfico

_X

_n+

_I

₌

_{R(X )}

_n

_{para o case ~} 2.

(a)

Somente o ponto fixo X

*

=

I

e atrator.

,

(b)

No valor crítico tI o mapa apresenta uma bi-furcação tangente.

(c)

O mapa possui dois pontos não triviais, um

(d)

estável e outro instável, e o ponto

*

,

X =

I

continua estavel.

*

No valor crítico tBP' o ponto fixo X =1

fixo

se tOLna indiferente.

O

ponto fixo instável da

-

*

situaçao (c) colapsa no atrator X = 1.

*

gráficos para os casos p = 2 e p

>

2 respectivamente.

o

gráfico do mapa para p = 2 (Ising) mostra apenas um

ponto fixo estável no intervalo t, [tBP,I]. Esse ponto se torna indiferente para o valor crítico de t = tBP(fig. II.5b), a par-tir do qual apresenta uma bifurcação tipo pitchfork.

Já os casos p ) 2 apresentam essencialmente o mesmo comportamento : um ponto fixo real estável num intervalo do pa-râmetro t (fig. lI. 6a), até um valor critico (tI) onde ocorre uma bi furcação tangente (fig. II.6b), apresentando dois pontos fixos estáveis e um instável, todos reais (fig. 11.6c). A natureza dos pontos fixos se altera novamente quando o ponto fixo

instá-*

vel colapsa no ponto fixo estável x = 1 (fig. 11.6d), e que se torna instável para valores t

<

tBP (fig. 11.6e).

Essas propriedades do ponto fixo podem ser determina-d.~s analiticamente através da equação do ponto fixo, obtida a partir do mapa BP

í

t

'*

t+1(.+1:1(.(+-2)

1

+

1.

~* (

f - ( )

(:[./2)

Pode-se, sem perda de generalidade, efetuar os

cálcu-*

,

-los analiticamente para r = 2. Observando que x = 1 e soluçao da equação (11.12) para todo valor de t, temos

.2.

2.

2

.•.[

'2. 2.

X. 1:

(f -

I)

+">t

t

(2

+ -

3) ~ 2

t -

1]

+

t ::

O

t-t

T '1 2

+

2.

t.

(+ _

I)

2.t

1(~.()

1-fI.

( 5 _4 P ) ( ~ _ \ 'I ). (

* _

\

) \

2.

(li.14)

.

2.(p.')

~+

i

i-

2. (~. ct1..

.• _

t1(2f·3)+2t-~

_

t -

1

X --

~

t

'2.-l~ (t-t)2.

2t

(~-4)

I/,

~(5 -

l

4 ~) (

!_

_2(1'-1)

I

'1')'

+

1

(

t _

1-2.(~-1)

i

1/1)]

2. (1I. .15 )

cujo gráfico é mostrado nas figuras II.7a,b para os casos p =2

*

e p ) 2. O ponto fixo x = 1 chamaremos ponto fixo paramagnéti-co e os pontos fixos (II.14) e (II.15),

fixos não triviais.

chamaremos pontos

Para os acoplamentos internos ferromagnéticos na árvQ re de Cayley, e consequentemente na rede de Bethe, o parâmetro t assume valores te (0,1).

No intervalo O

<

t ( t'

os três pontos fixos do mapa são reais, e no intervalo t'( t

(1

.

*

-

*

( *)

•

X

I

_,

E

I

II

II

I

II

I

0-1

.-'

I

I

1/3

I

t

•

X

I \

E

•

/X_

_I

\

E E

r...

I I

II

I

I/p-I

L____ l. ___

J

I

I

I

X·

I

I

+

I

Õl

~I I

tsp

tI

_t

b-Fig. 11.7 Os pontos fixos do mapa BP em funç~o da

temperatu-ra.

*

= 1

é

estável para t

>

tBP e instª

(a)

p = 2. X

*

-vel para t tBp. Os pontos

<

fixos X+ sao

estáveis para t

<

,

tBP e instaveis para

tBp·

G~UL

I

t >

t:~

₌

_X

!~

3

(b)

p

>

2.

x*

= 1 estável no intervalo [tBP' 1

J .

*

Os pontos fixos

x±

são ambos instáveis para

*"

*,

,

t >

t' ,

X+ e estavel e X e instavel no in-tervalo [tBP,t']

t

<

tBp•

*

, e

x+

sao estáveis para

i, SERViÇO [\E BIBlICTÉC.'\ E It;JFOI<MAÇAO _ IFOS'" ,

I

rlSICA

*

*

Observando que Re(x₊) = Re(x ) alguma manipulação algébrica obtemos

*

Im(x)₊ = _{Im( x}

*

J

_apos

,

*

{

_t

*

*

As figuras II.8a,b mostram o diagrama (x ,t) x

€

(

em todo o intervalo t

G: (0,1] .

A estabilidade dos pontos fixos do mapa

é

deterrninadã pela análise do comportamento do autovalorr<t) do mapa BP

t

(

t) -

--

2.

x.* [ \ + ~ (

r -

2.) ]

t

to : ~

1

t

t (

r -

2)]

••

"ti:ct-t)

~

~t~t(f-l)

(1i:..19)

o

ponto fixo paramagnético merece especial interesse

*

por ser comum para todos os valores de p. Para x =

I

temos

--

2..

A condição

I((t)

1<1 ()l) de (in) estabilidade determi na que o pon~o f~xo trivial é (in) estável para t

€

[tBP

, 1]

(t ~ [o,tBP])' A condição It(t)I = 1 determina o valor de t que torna o ponto fixo trivial indiferente. Esse valor

é

temperatura de Bethe-Peierls (tBP)'

-I

t

/

/

,/ ,/ ,/

""

;

•... ..••.

..•

-.,.,.•...."".I

-l/p-1

IIp-1

t

Fig. 11.8

Pontos fixos do mapa BP em funçRo da temperatura.

*

(a) p = 2, mostrando os pontos fixos X+ instáveis a alta temperatura com módulo unitário.

(b) p > 2. A alta temperatura os pontos fixos 1n~

,

*

,

1/

{

-

~

f

+

1-

1

No caso particular de r = 2

(1.22)

Uma análise numérica do auto-valor (eq.II.19) para os

*

pontos fixos x± mostra que:

*

- para p = 2}x± são estáveis para t

<

tBP e instáveis para

* -

,

- para p ) 2 x± sao estaveis para t

<

tBP ;

*

-

,

*,

,

xo x =

I

sao estaveis e x e instavel no

*

x₊ e o ponto fi -intervalo tBP

<

*

.'.

*

,

,

t

<

ti ; X_± sao ~nstave~s e x =

I

e estavel para ti

<

t<l.

A estabilidade dos pontos fixos como função do param~ tro t define as fases do modelo de Potts p-estados na rede de Bethe

- para p = 2 temos uma fase paramagnética se t

>

tBP' Nó

ponto t = tBP o modelo apresenta uma transição de 2ª

or-*

dem com os expoentes clássicos. Os ramos estáveis x_± pa-ra t

<

tBP representam uma fase ferromagnética <t> ou < .•). Os dois pontos fixos estáveis a baixa temperatura pódem ser atingidos pela órbita direta do mapa BP dependendo das condições iniciais. (campo na sUDe~fície da arvore de Cayley positivo ou negativo) .

- para p > 2 no intervalo ti < t

<

I

o modelo é paramagnéti

*

co; no intervalo

tBP<

t

<

tI onde os pontos fixos x =

I

*

ca-racteriza urna transição de lª ordem para o modelo. Nessa região·se a condição inicial para a órbita direta do

ma-*

pa BP for menor que o ponto fixo instável x_, então na

*

-rede de Bethe temos a solução x+ ; se a condiçao inicial for maior que o ponto fixo instável então ternos a

solu--

*

,

çao x =

1

na rede de Bethe. Porem independentemente das condições iniciais do mapa BP, a dúvida sobre qual dos dois pontos fixos

é

mais estável só pode ser resolvida comparando-se os valores da energia livre na rede de Bethe para os dois pontos fixos. Todavia, sabe-se,por ou tros métodos diferentes dos utilizados aqui, que o ponto fixo paramagnético corresponde ao mínimo absoluto da energ1a livre do modelo na rede de Bethe no intervalo tBP

<

t

<

tI. Finalmente a baixa temperatura O ( t

<

tBP o sistema é ferromagnético.

o

mapa global (eq. II.lO) possui propriedades muito semelhantes às do mapa BP, modificando-se somente os valores dos pontos fixos (figuras II.9 a-c e figuras II.lO a-e).

o

grande interesse neste mapa associado ao mapa BP é que a energia livre do sistema na árvore de Cayley é uma sorna de funções na variável dinâmica Y

_n

do mapa global.

11.3 -

A energia livre e a transição de ordem contínua

Nesta seçao analisaremos o comportamento global do sistema de Potts através do c~lculo direto de sua energia li-vre. Dessa forma mostra-se o comportamento não universal do mQ delo, resul tado obtido originalmente de outra forma por Müller-Hartmann e Zittartz ( 25 ) para o modelo de Ising na árvore de Cayley.

-I

tt-p-I

FIG.n9a

-I

t+ p-I

-t

t+p-I

FIG.II 9 b

Yn+1

-I

t+ p-I

FIG.lI 9c

-I

t

+

p-I

-I

-I

t+p-I

FIG.

II

100

Yn+1

-I

t+p-I

FIG.II 10b

Yn +1

-I

t+

p-I

-I

t+p-I

.••

-I

t+2p -3 t+p-I

Yn

-t

t+p-I

FIG.

II

10 d

t+P-1

Yn

Yn+1

-I

t+

p-I

FIG.II 10e

-l

Fig. 11.10 Gráfico do mapa global Yn+1 = T(Y ) para pn

>

2.

(a)

t ..

_~ -+-,_'"'

.

*

o

ponto Ypar

,

'.

e o unJ.co atrator.

(b)

t = ti. O mapa apresenta uma bifurcação

tan-gente no ponto

y*

= t-1 + 2p - 3.

(c)

_tBP

_<

_t

_<

_{ti. O mapa possui um repulsor não}

trivial entre dois tor.

*

atratores. Y

par

,

e

atra-(d)

_{t = tBp. O ponto Ypar}

*

é

indiferente.

(e)

_t

_<

_{tBp. O ponto Y}

_*

_{e repulsor}

_,

_{entre dois}

-

-,

,.

'.'

,

çao r. Entao o numero de SltlOS na superfIcIe da arvore e o

nu-, I - •

mero total de SltlOS sao respectIvamente

-

-í -

1

(J[

.24)

(lL.25)

o

cálculo do traço sobre os spins de superfície da ár vore com N gerações gera a árvore com (N-l) geraçoes com um aCQ plamento renormalizado na superfície. Denotamos ZN(t,xl) e ZN_I(t'~2) as funções de partição das duas redes com N e (N-I) gerações respectivamente. Considerando exp(C

_n

) o fator de pro-porcionalidade entre as funções 'de partição, teremos

N-2,

,

, .

onde r e o numero de clusters na superflcle.

o

uso dessa relação de recorrência fornece

=

(li..2+)

onde ZI(t,xN)

é

a função de partição do par de spins com acopl~ mento renormalizado N veze~.

por

Portanto a energia livre total do sistema será dada

( TI .1.B)

XN' dado pela órbita direta da condição inicial xl' do mapa de Bethe-Peierls (equações II.7 e II.ll).

No 1imi te termodinâmico (N -.r:tJ ), a energia 1ivre por

sítio será dada por

(-r-I)

í

ro

[

Y1: 4

-Y)

-(

C

ft

(lL2.9)

que pode ser reescrita como (veja equação II.8 - 10)

(i·t)

(E

.30)

Desta forma a energia livre do sistema de Potts na árvore de Cayley depende somente da órbita direta completa de uma dada condição inicial para o mapa global (equação II.ll).

No caso de campo superficial nulo (árvore de Cayley aberta), a condição inicial do mapa global coincide com o pon-to fixo paramagnético

~

j

-

J

1 - 10'.

Portanto a energia livre será dada por

(

_ 4

~ + _(IL..32)

e

Yl'::'

i

+

p -

1.

Nesse caso consideramos a expansão da energ~a livre (equação 11.30) em torno do ponto fixo trivial. Cnmo no interva

• I - ••••• - " •

10

de def~n~çao do parametro t a funçao log Y

_n

e anal~t~ca, te-mos que

-

. I

j .

'X.:1

1

)

(~ -i)

1

e substituindo na equaçao II.30 temos que

que pode ser reescrita como

(J)

- (í-I)

I

)-:0

1

a..(t) ()(..-I)

₎

onde

( 1L.35 6 )

equaç~o 11.35 b, cujo comportamento dominante pode ser· obtido indutivamente.

Para

j

= 1 temos

mas

1\. ;

I

I

=

"X. ;

I

I

e portanto

~\

d")C..j

1l ~

I

1

=

(Yl-I)

O'

(-l:)

o termo

j

= 2 é dado por

Considerando a equação II.9, então o termo dominante na equaçao II.39 pode ser obtido de

;/ .•..~+, \

d'1-.1 1..

_I

~l

onde

e portanto

ou ainda

r<

(t)

-~ ':I

_I

=

( li.

40

Q )

C!L.41

)

1..

_I

=

I

(1L.42.

)

Das relações recursivas 11.37 e 11.40 observamos que as derivadas de ordem j

>

2 possuem o termo dominante com um grau a malS em

t

(t), ou seja

)l =

I

~

Portanto a equação 11.35-b seri um pOlin5mio em(t)

F'

'1

t

(t)

j .

(li. 44)

e consequentemente a equaçao 11.35-a nessa aproximação fica

jl [ (

Y\:

l

Portanto a energia livre equação 11.35 terá não anali ticidade de ordem j nos valores de t dados por

(1L.4b)

Considerando a equação II.21, o comportamento não anª

lítico da energia livre está no intervalo t € [o,tBP). Para j=l ternos t=O e quando

j ~

Q) ternos t ~ tBp. Este resultado já

reve-Ia o comportamento não universal do sistema de Potts na arvore

,

de Cayley que se deve a efeitos de superfície, isto

é,

à

geome-tria da árvore de Cayley.

A imposição de que a implementação do grupo de renor-malização não altere as propriedades físicas do sistema ( equa-ção II.26), implica que a função energia livre por sítio do si2 tema, f(xl,t) e f(x2,t), antes e após uma renormalização da re-de estejam relacionadas como

{

-r

(1i:.4.f-)

(

,

-

-1 '

(

onde g xl,t) e uma funçao regular e r e o fator de escala rª zão entre o número total de sítios da árvore de Cayley antes e após uma renormalização).

A repetição desse procedimento fornece a seguinte re-lação

( 1L.48)

V\::.

I

If)

th..,~)

=

í

L

f-rló(1l.n)

V\~ (

Comparando as equações II.49 e II.30 obtem-se

(n:.4~)

f

-I

(~. 5

o)

Se a função energia livre tiver um comportamento sin-(9)

guIar, sabemos que

~\i"a

L

~(1l.").

t]

(~. 52 )

na vizinhança do,.pontp fixo instável do mapa x I=R(X) ondeKé um expoente e a funçao H e uma amplitude. n+ n '

Expandindo-se o mapa BP em torno do ponto fixo para-magnético, que é instável em t G lO,tBP] temos

(1L.S?')

e portanto teremos

~d

(1\.1- 11

Lo"d

l

t(~}l

..~

"

; f

t

(q

l

~I" ti

1

+

~d

!ltt-l\

~6

I

t(t)

I

'('lI.55)

Portanto ternos

1.

l

k,~

I

X" 1•.

(y

1

a função

H / L.:.d I

tlUI

de período 1 .

,

,.

e perl.odl.ca

•• 4 I<.

2.

i

'ô (~)

=

e portanto o expoente crítico K será dada por

I(.(t)

=

CAPÍTULO

111

PROPRIEDADES DO CONJUNTO DE JUlIA DO MAPA DE

BETHE-PEIERlS

Neste capítulo utilizamos as propriedades do conjunto de Julia apresentadas no capítulo l, aplicadas ao mapa de Bethe Peierls (equação 11.11), identificando de que forma esse conjug to reflete o comportamento termodinâmico do sistema de

,

p-estados na arvore de Cayley.

111.1 -

O conjunto de Julia e os zeros de Yang-Lee

Potts

Observando o caráter hierárquico da árvore de Cayley fechada assimétrica, consideramos inicialmente um par de splns cujo peso de Boltzmann do acoplamento é Xl'

A função de partição do par será dada por

(li.i)

O passo seguinte no processo de decoração é conside-rar a árvore com duas gerações, cuja função de partição é dada por

2.

t ~-

1)

+

t

q-I) ( ~

t ~ •

t -

1) :

l.

com x2 = R(X1).

Para a árvore de três gerações

(€.2.)

Indutivamente, para a árvore de N gerações temos

~-I

2

t}

'.~,)

=

t(

-t

t ~- \)

II(

T

t ::

t

r'

2 ) ::

t'\ :

I

J-vr

2.

onde

y

_n

é

dado pelo mapa global (equação 11.10).

-

,

~

N-l-l

A equaçao (111.4) e um polinomio de grau 2 em xl

N -1

e grau (2 -2) em t .

Portanto da equação (111.4), os zeros da fugacidade da função de partição são soluções da equação

C1E.s)

t -

?

onde xN = RN(xl)

é

o peso de Boltzmann do acoplamento do sp~n (g) com a superfície da árvore de Cayley renormalizado N ve-zes e p

é

número de estados. Portanto os zeros da função de

partição para a árvore de N gerações são dados por

Ou seja, os zeros da função de partição ZN(t,xl) sao as 2N-l

(111.1)

,

.

pre-~magens verifica-se

do ponto (l/l_p). Observando que (l/l_p) é o zero da função

a equaçao de partição do par Zl(t,xl).

A equação (111.6) mostra que o conjunto de zeros po-de ser gerado recursivamente através do mapa BP, e que esse conjunto guarda estreita relação com o conjunto de Julia do ma

pa BP.

111.2 - O locus do conjunto de Julia e do conjunto de zeros

Para se determinar a localização do conjunto J(R) do mapa BP e do conjunto de zeros devemos considerar as

inversas do mapa.