EEL105 Analise Circuitos Engenharia Modulo 8

Universidade Federal de Itajubá

Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informação

Engenharia de Controle e Automação - ECA

EEL105 - Circuitos Elétricos I

Módulo 8

Bipolos Elétricos: Capacitores

Assim como os indutores, o capacitor é um elemento de circuito (passivo)

que apresenta a propriedade de armazenar energia na forma de um campo

elétrico. Lembre-se que a capacidade de fornecimento de energia é finita, pois

caso contrário seria uma fonte. Novamente, o capacitor é um modelo

matemático que representa o comportamento de um dispósitivo real. No caso,

a equação fundamental é dada por:

Introdução

(t)

Cv

t

q

dt

(t)

dv

C

dt

t

dq

(Farad)

[F]

[V]

[A][s]

C

[s]

[V]

C

[A]

dt

(t)

dv

C

(t)

i

C C C C C C



















)

(

)

(

Fisicamente, um capacitor consiste de duas superfícies condutoras, em que cargas podem ser armazenadas, e são separadas por um dielétrico com uma resistividade bastante elevada. Pelo SI, um capacitor tem a capacitância de um farad (F) quando um

coulomb de carga causa uma diferença de potencial de um volt (V) entre as

superfícies condutoras. O farad é uma unidade de medida considerada muito grande para circuitos práticos, por isso, são utilizados valores de capacitâncias expressos em

Capacitor Elementar

O capacitor elementar (básico) de placas planas e paralelas e sua simbologia, usada nos diagramas de circuitos, são mostrados na figura abaixo:

d

A

Kε

C



o

O valor da capacitância é dado pela fórmula ao lado. K é a constante

dielétrica (admensional) e ε_o a permissividade do vácuo

Capacitor Elementar

Calcule a área que seria necessária para as

placas de um capacitor para ter 1[F] de capacitância,

com um dielétrico de policarbonato e

espaçamento entre as placas de 1,0mm.

]

[m

37,7.10

A

8,85.10

3

1.10

1

Kε

Cd

A

d

A

Kε

C

2 6 12 3 o o x x









 

37,7 milhões de metros quadrados! Corresponde a quase 100 campus da UNIFEI (sede Itajubá). Na prática, ao escolher o dielétrico deve-se levar em conta não

apenas o valor da capacitência mas, também, estabilidade com a temperatura, faixa de tensões e facilidades construtivas dentre outras.

Capacitores: Tipos

Existem muitos tipos de capacitores para as mais diversas aplicações.

Normalmente, são classificados, com relação ao material do seu

dielétrico.

Os tipos mais comuns são:

Capacitores Cerâmicos

(disco cerâmico, “plate” e multicamadas);

Capacitores de Filme Polimérico

(poliéster, policarbonato,

polipropileno e poliestireno);

Capacitores Eletrolíticos

(alumínio e tântalo);

Capacitores Variáveis

.

Não é escopo deste curso aprofundar sobre os aspectos construtivos e

características dos capacitores, mas uma pequena visão de cada tipo

Capacitores: Disco Cerâmico

A fabricação de capacitores de disco cerâmico inicia-se pela prensagem de pó cerâmico fino (quanto mais fino o pó, maior será a sua capacitância específica) e

sinterização em alta temperatura. Os discos individuais são cortados a partir de grandes chapas cerâmicas. Os eletrodos são pintados sobre a superfície superior e a

superfície inferior do disco com tinta prata (solvente orgânico) e um esmalte, seguido por tratamento térmico para secagem da tinta e vitrificação do esmalte

sobre o disco cerâmico. Na próxima etapa, um grampo metálico é fixado no capacitor e mergulhados em solda de estanho. Posteriormente, o capacitor é pintado, impressa a sua identificação e a extremidade do grampo cortada. O

processo de fabricação é completamente automatizado, fazendo com que o custo do capacitor de disco cerâmico seja muito baixo. As características elétricas do

Capacitores: Tipos

A identificação da capacitância nominal se faz por dois meios: Leitura direta em picofarads (pF ou 10-12 _{[F]) no corpo do capacitor ou um código de 3 algarismos,}

sendo que os dois primeiros indicam a unidade e a dezena e o terceiro algarismo indica o número de zeros, também em pF.

A identificação da tolerância do capacitor cerâmico é expressa por uma letra geralmente após o valor da capacitância. A tabela nos slides posteriores mostra

como identificar.

A identificação quanto as características de temperatura: Nos capacitores tipo TC pode aparecer impresso no capacitor o coeficiente de temperatura (ex: NPO e N) ou um código equivalente (ex: NPO=C). Nos capacitores tipo GP e GMV os capacitores

são identificados com siglas diversas, conforme tabela nos slides posteriores.

A identificação da tensão nominal geralmente pode ser impressa diretamente no corpo do capacitor, em V ou kV, não ser impressa (identificação por catálogo do fabricante

500V para os maiores e 100V para os mini-discos) e ser identificada por um código (ex: um traço ( _ ) indica tensão nominal de 100 V)

Capacitores: Disco Cerâmico

Os capacitores de Disco Cerâmico apresentam capacitâncias de média a baixa, na ordem de pF (10-12_{[F]). São usados geralmente em circuitos que operam em alta} freqüência, onde o baixo fator de perdas e a alta estabilidade do valor da capacitância

são importantes. Existem diversas séries de capacitores cerâmicos. Em aplicações onde se tolera uma certa variação da capacitância em função da temperatura, utiliza-se capacitores cerâmicos tipo uso geral (GP “General Purpose”). Quando o

valor exato da capacitância não é importante e admite-se grande variação da temperatura, desde que o valor da capacitância não caia abaixo de um mínimo necessário, utilizam-se capacitores cerâmicos tipo GMV (mínimo valor garantido), onde a capacitância é no mínimo igual ao valor marcado no corpo do capacitor. Os capacitores cerâmicos tipo TC (temperatura compensada) são identificados pelas siglas NPO, C0G ou pelas letras N e P seguida de um número. As siglas NPO e C0G

indicam que o capacitor apresenta coeficiente de temperatura nulo, isto é, sua capacitância é estável e não se altera dentro de uma faixa ampla de variação de temperatura. O coeficiente de temperatura positivo é designado por “P”, enquanto “N”

é para coeficiente negativo, seguido por um valor numérico de três dígitos que corresponde ao coeficiente de temperatura em ppm/°C. Por exemplo, “N220”

Capacitores: Plate

Plate é um tipo de capacitor cerâmico cujas principais vantagens e características são: tamanho ultra reduzido, grande estabilidade no valor da capacitância, baixo custo e

uma estreita faixa de tolerância (+/-2% nos capacitores tipo TC). Na tabela estão resumidos os principais dados dos tipos de capacitores plate mais comuns. A principal

diferença entre os capacitores de disco cerâmico e os capacitores plate é que estes possuem placas retangulares de cobre em vez de placas circulares de prata.

O valor da capacitância é gravado no próprio corpo do capacitor. Ela é indicada por dois números e uma letra. A letra ocupa o lugar da vírgula e indica a sub-unidade da capacitância. Exemplo: marcação n33, corpo cinza e

faixa preta: capacitância de 0,33nF, tolerância de +/-2%, tensão nominal de 100V e tipo temperatura

Capacitores: Multicamadas

O capacitor cerâmico multicamadas (MLC), tem a forma geométrica externa de um circuito integrado (também conhecidos como capacitores do tipo “chip”). Internamente

são constituídos por arranjo de folhas metálicas intercaladas com material cerâmico. O processo de fabricação utiliza como material de partida o pó cerâmico misturado a um

ligante que é colocado entre folhas finas. O eletrodo é pintado sobre uma das faces da folha e consiste de um líquido com partículas metálicas em suspensão. Os metais usados na preparação da suspensão em geral são metais nobres, tais como ouro, paládio, platina e

ligas de prata. A razão para escolha desses metais deve-se ao fato que quando o material cerâmico base é sinterizado, oxigênio é necessário para formar a fase cerâmica apropriada.

Isto acarreta em custo de matéria-prima mais alto para esse tipo de capacitor. Atualmente, os fabricantes têm pesquisado o uso de níquel e cobre para confecção dos eletrodos, com

vistas a redução do custo de material, porém, tornando o processo de fabricação mais complexo. Uma vez que a tinta esteja seca, as folhas são empilhadas uma sobre as outras.

Os eletrodos são arranjados de tal forma que as suas extremidades estejam em lados opostos (formando o arranjo eletrodo interdigitado). As últimas camadas de cima e de baixo não têm eletrodos pintados. As camadas laminadas são então comprimidas numa prensa e sinterizadas, formando uma estrutura monolítica. Os terminais metálicos são fixados com tinta prata e o capacitor é encapsulado em plástico e identificado. No caso de

capacitores MLC, os terminais são recobertos com estanho para facilitar a soldagem do componente sobre placas de circuito impresso.

Capacitores: Multicamadas

Os MLC apresentam baixas perdas, capacitância estável, alta resistência de isolação e alta capacitância em pequenas dimensões. A apresentação das

características é semelhante aos outros tipos de capacitores cerâmicos.

SMT (Surface Mount Technology - Tecnologia de Montagem em Superfície) é uma tecnologia que revolucionou e ainda revoluciona o projeto e a produção de equipamentos eletrônicos. Os Componentes SMD (Surface Mount Devices) possibilitam a miniaturização de aparelhos, a ponto de tornarem-se portáteis e, muitas vezes, viáveis, como os telefones celulares, os note-books e as video-câmeras. Na nova tecnologia,

reformulou-se o encapsulamento dos componentes e a forma de montá-los sobre o circuito impresso. Os SMDs são componentes com funções e desempenho igual ou superior aos do tipo convencionais, mas com

dimensões e forma adequadas para a montagem em superfície, isto é, sem o auxílio de terminais inseridos na placa de circuito impresso, sendo soldados diretamente nas trilhas de cobre do circuito impresso. A redução do encapsulamento que contém o chip ou pastilha, que recebe terminais mais curtos ou simples

contatos para a soldagem, possibilita a concentração de muito mais componentes no mesmo espaço. A redução na área da placa de circuito impresso, dependendo da aplicação, pode ser de 30 a 50%.

Capacitores: Filme Polimérico

Os capacitores de filme plástico se caracterizam por apresentar como dielétrico uma lâmina de material plástico (poliéster, polipropileno, poliestireno, policarbonato). Sua

capacitância é da ordem de [nF]. Características: Baixíssimas perdas no dielétrico, alta resistência de isolação, estabilidade da capacitância, baixa porosidade e conseqüente resistência à umidade. Tipos: Poliéster (MKT), Prolipropileno (MKP),

Poliestireno (MKS, “Styroflex”) e Policarbonato (MKC)

Tipo Não Metalizado: Possuem dielétrico de filme polimérico e armaduras de folhas de alumínio. O conjunto armaduras mais o

dielétrico pode ser bobinado ou então sanfonado, conforme a opção construtiva.

O capacitor de filme polimérico não metalizado não é auto-regenerativo, mas

apresenta melhores características de corrente máxima admitida.

Estrutura construtiva do capacitor de filme polimérico não metalizado bobinado.

Capacitores: Filme Polimérico

Tipo Metalizado: Têm como característica marcante a propriedade de

auto-regeneração. O dielétrico desses capacitores consiste de filmes poliméricos em cuja superfície é depositada, por processo de vaporização, uma fina camada de alumínio,

deixando-o metalizado. Na fabricação do capacitor pode-se bobinar ou dispor o conjunto armaduras-mais-dielétrico em camadas (“sanfona”). Através da contactação das superfícies laterais dos capacitores com metal vaporizado, obtém-se bom contato

entre as armaduras e os terminais, assegurando baixa indutância e baixas perdas. No caso de aplicação de uma sobretensão que perfure o dielétrico a camada de

alumínio existente ao redor do furo é submetida a elevada temperatura, transformando-se em óxido de alumínio (isolante) desfazendo-se então o

curto-circuito. Este fenômeno é conhecido como auto-regeneração.

Estrutura construtiva do capacitor de filme polimérico metalizado sanfonado.

Capacitores: Filme Polimérico

Características de alguns polímeros

Policarbonato: geralmente usado para fabricação de capacitores de alta tolerância (< 0,25%) ou em aplicações que requeiram alta estabilidade térmica. É recomendado para aplicações onde robustez e confiabilidade sejam importantes. A temperatura de operação é de até 125°C. Os capacitores de policarbonato apresentam

elevada resistência de isolamento e, conseqüentemente, baixa corrente de fuga. Poliéster: é o dielétrico polimérico de uso geral. Tanto pode ser usado para aplicações

DC quanto AC. É adotado para tolerâncias maiores do que 5% e o seu limite de temperatura é de 100°C. Possui permissividade elétrica maior do que os outros materiais poliméricos usados na fabricação de capacitores de filme metálico e esta

característica aliada ao seu baixo custo asseguram a ele a melhor relação capacitância/custo dentre todos os dielétricos poliméricos. Em compensação, a resistência de isolamento dos capacitores de poliéster é a mais baixa entre todos os

capacitores de filme metálico.

Polipropileno: geralmente usado em aplicações AC e pulsadas por causa de suas baixas perdas e, conseqüentemente, baixo aquecimento Joule. Pode ser usado em aplicações DC de uso geral, mas a sua temperatura de operação é limitada a 85°C e

sua baixa permissividade acarreta em capacitores com baixa relação

capacitância/volume. Os capacitores de propileno apresentam alta resistência de isolação e baixa corrente de fuga.

Capacitores: Filme Polimérico

Leitura

Direta dos valores impressos: no corpo do capacitor vêm indicadas a capacitância nominal (um número), a tolerância (em letra maiúscula) e a tensão nominal

(um número com unidade, geralmente).

Dicas: Se o valor impresso for maior que 1, o valor é indicado em [pF]. Se o valor impresso for menor que

1, o valor é indicado em microfarads [µF] Por código de cores: O corpo do capacitor vem pintado com cinco faixas coloridas. A leitura deve ser

feita de acordo com a tabela, começando com a faixa superior.

Capacitores: Eletrolíticos de Alumínio

Basicamente, todo capacitor é constituído de duas armaduras com um dielétrico entre estas. Embora este princípio também seja válido para os capacitores

eletrolíticos, a principal diferença

entre estes e os demais tipos de capacitores reside no fato de que um dos eletrodos (o catodo) é constituído de um fluído condutor (eletrólito) e não somente uma armadura metálica como se poderia supor. O outro eletrodo (anodo), é constituído

de uma folha de alumínio em cuja superfície é formada, por processo

eletroquímico, uma camada de óxido de alumínio servindo como dielétrico. O método de bobinagem é o mais empregado na sua fabricação.

Capacitores: Eletrolíticos de Alumínio

A preferência por capacitores eletrolíticos deve-se à sua alta capacitância

específica (grandes valores de capacitância em volume relativamente

reduzido) apresentando capacitâncias na ordem de [μF]. Como nos outros

capacitores, sua capacitância é diretamente proporcional à área das placas e

inversamente proporcional a distância entre ambas. Nos capacitores

eletrolíticos esta distância é determinada pela espessura da camada de óxido

formada sobre a folha de anodo. O óxido de alumínio (K ≅ 10) apresenta,

sobre os outros dielétricos, não somente a vantagem de poder ser obtido em

filmes de muito menor espessura, mas também a propriedade de suportar

altas tensões elétricas. Mesmo em capacitores de tensão mais elevada,

teremos, no máximo, um afastamento entre armaduras de 0,7[µm], de onde

se esclarece em parte sua alta capacitância específica (a espessura mínima de

um dielétrico como o papel, por exemplo, é de 6 a 8[µm]). Outro fator é o

aumento da superfície dos eletrodos resultante da cauterização eletroquímica

que torna a folha de alumínio rugosa. Uma vez que o catodo do capacitor

eletrolítico é constituído por um eletrólito, este preenche idealmente as

Capacitores: Eletrolíticos de Alumínio

Capacitores Eletrolíticos Polarizados e Não-Polarizados (bipolares): O capacitor eletrolítico construído como até agora descrito, só funciona

convenientemente quando ligamos o potencial mais positivo ao anodo e o potencial mais negativo ao catodo. Se fizermos a ligação de maneira contrária, inicia-se um processo eletrolítico que depositará uma camada de óxido sobre a folha do catodo. Durante este processo ocorre a geração interna de calor e gás que pode destruir (até explodir!) o capacitor. Existem também capacitores eletrolíticos não-polarizados, os

bipolares. Nestes, em lugar da folha de cátodo normalmente usada, utiliza-se uma segunda folha de anodo, formada nas mesmas condições da primeira, Uma construção deste tipo permite tanto o funcionamento sob tensão DC, em qualquer

polaridade, como também com tensões alternadas.

O capacitor eletrolítico bipolar necessita de até o dobro do volume de um polarizado de mesma capacitância e tensão, pois o valor da capacitância é igual a metade das capacitâncias parciais. Os capacitores eletrolíticos possuem variações no que se refere

às disposições dos terminais, podendo ser axiais ou radiais. Os capacitores axiais possuem terminais instalados nas duas extremidades, ao passo que os radiais,

Capacitores: Eletrolíticos de Alumínio

A identificação dos capacitores eletrolíticos geralmente trazem suas características nominais de capacitância, tensão e tolerância, diretamente impressas no corpo do

capacitor. A capacitância nominal vem impressa em microfarads [µF].

Valores padrão e específicos para capacitores eletrolíticos de alumínio.

Axial

Capacitores: Eletrolíticos de Tântalo

Os capacitores eletrolíticos de tântalo utilizam o Óxido de Tântalo como isolante e também são polarizados devido à existência do eletrólito. São recomendados para aplicações em que requeiram baixa corrente de fuga e baixo fator de perdas.

Oferecem, ainda, longa vida operacional, grande compacticidade (alta capacitância em volume relativamente reduzido) e elevada estabilidade dos parâmetros elétricos.

A identificação dos capacitores de tântalo trazem o valor de sua capacitância impressa diretamente no corpo, em [µF]. A tensão nominal e a polaridade geralmente vêm

Capacitores: Variáveis

Geralmente são construídos com dielétrico de ar ou de filme plástico e sua capacitância pode ser variada por meio de um eixo ou parafuso, no qual estão montadas as placas ou grupos de placas móveis. Um outro grupo de placas é fixo e é

montado sobre um material isolante, o corpo ou chassi do componente. O grupo de placas móveis que constitui o capacitor variável é formado por placas metálicas em

forma de segmentos, unidas a um eixo central de movimento rotativo ou a um parafuso de aperto que permitem, em ambos os casos, variar a posição ou distância

entre as placas móveis e fixas. Variando a distância entre as placas ou a área superposta das placas, variamos a capacitância. Estes capacitores são usados nos

Capacitores: Variáveis (“Trimmers”)

Os capacitores variáveis do tipo “trimmer” são constituídos geralmente por 2 placas metálicas, separadas por uma lâmina de mica, dispostos de tal forma que é possível

variar-se a separação entre ambas mediante a pressão exercida entre elas por um parafuso. Desta forma pode-se ajustar a sua capacitância. O valor geralmente vem

marcado na sua base.

Outros tipos de capacitores: “Schiko” construído com dielétrico de poliéster metalizado.

“Nugget”, construído com dielétrico de tereftalato de polietileno metalizado ou de poliéster metalizado e cápsula em resina epoxy.

Capacitores

: Aplicações

A tabela abaixo indica algumas aplicações para os diferentes tipos de capacitores em função do valor de capacitância, da tensão de operação e da freqüência.

Capacitores: Aplicações

Para o uso adequado da tabela devemos considerar:

 Capacitância

: Baixa em [pF], Média em [nF] e Alta em [µF].

 Tensão de Operação

: Baixa em [V], Média em centenas de [V] e Alta em

milhares de [V].

 Frequência de Operação: Baixa, desde DC até freqüências de [KHZ], Média de [KHZ] a [MHZ] e Alta de [MHZ] a [GHZ].

Exemplo de Aplicação da Tabela:

Devemos escolher um capacitor de 100[nF] para operar numa faixa de

tensão de 250[V] a uma frequência de 10[KH

_Z

]. Pelas características da

tabela concluímos que a capacitância é média [nF], que a tensão, na faixa de

centenas de Volts é uma tensão média e que a frequência na faixa de milhares

de H

_Z

[kH

_Z

] é uma frequência média.

Analisando, podemos utilizar no circuito um capacitor de poliéster

metalizado.

Circuito RC: Resposta ao Degrau

Iu(t)

R

C

i

_C

(t)

+

v

_C

(t)

_

     ) (t i

i

_R

(t)

Desejamos estudar o comportamento do circuito RC em função da excitação

do tipo degrau. Considera-se que antes do tempo t=0 (t(0

_-

)) não exista

nenhum tipo de energia armazenada no sistema. Sendo a função forçante

finita, implica em uma continuidade da corrente v

_C

(t), ou seja, v

_C

(0

₊

)=v

_C

(0

_-

).

Usando o conceito de dualidade: a

tensão em um capacitor não pode variar

instantaneamente

.













0

p/t

1

0

p/t

0

u(t)

u(t) t 1

Circuito RC: Resposta ao Degrau





0

p/t

C

I

Q

e

RC

1

P

Q

Px

dt

dx

C

Vu(t)

RC

1

(t)

v

dt

(t)

dv

Iu(t)

dt

(t)

dv

C

R

(t)

v

0

(t)

i

R

(t)

v

i(t)

KCL

C C C C C Ohm de lei C Iu(t)



























t RC 1 C Pt C

Ae

C

I

(t)

v

Ae

P

Q

(t)

v

 









A solução contempla a

resposta transitória e a

resposta permanente. Para

avaliarmos a constante A

devemos lançar mão das

condições de contorno.

RI

A

0

Ae

RI

(0)

v

0

(0)

v

)

(0

v

)

(0

v

0 C C C C



















_ 





















 RCt 1 t RC 1 C

(t)

RI

RIe

RI

1

e

v

Observar a

descontinuidade

na forma de onda da corrente no instante t=0.

A título de exemplo, veja o resultado para um circuito RC em que R=100[Ω], C=1[mF] e I=0,1A.





















 RCt 1 t RC 1 C

(t)

RI

RIe

RI

1

e

v

RCt 1 C C

Ie

dt

(t)

dv

C

(t)

i







v

_C

(t)

i

_C

(t)

Em “

regime permanente

”, ou seja, encerrado o

transitório

, a corrente no

capacitor tende para zero indicando que o elemento é um

circuito aberto

.

Circuito RC: Resposta ao Degrau

0s 0.1ms 0.2ms 0.3ms 0.4ms 0.5ms 0.6ms 0.7ms 0.8ms 0.9ms 1.0ms 0V 2V 4V 6V 8V 10V 0A 20mA 40mA 60mA 80mA 100mA

Consideração sobre a Constante de Tempo (

t

)

[s]

[V]

[A][s]

.

[A]

[V]

G

C

RC

τ

e

1

RI

e

1

RI

(t)

v

τ t t RC C









































  1

Dimensionalmente, a relação RC é

dada em segundos [s]. Se derivarmos

a equação de v

_C

(t) (dv

_C

(t)/dt)e

traçarmos a reta tangente para t=0

verifica-se que uma constante de

tempo (τ) corresponde a ≈ 63% do

valor final (regime permanente).

0s 0.1ms 0.2ms 0.3ms 0.4ms 0.5ms 0.6ms 0.7ms 0.8ms 0.9ms 1.0ms 0  t C dt (t) dv



1

e



0,63RI

RI

(t)

v

0,6321 1 τ t C







  









0,9932RI

(t)

v

5τ C



0V 2V 4V 6V 8V 10V

Capacitor: Energia Armazenada

Para verificar como o capacitor armazena energia, vamos considerar a situação apresentada no circuito a baixo. Antes do tempo t ≤ 1[ms], a chave S1 está fechada e a chave S2 aberta. Para t ≥1 [ms] a chave S1 abre e a chave S2 fecha.

Portanto, para t ≤ 1[ms], o capacitor está conectado a fonte de corrente I e

recebe energia. Após 5τ (1ms) a tensão está em seu valor de regime (10V) e a

corrente entre seus terminais é zero. Ao abrir S1 e fechar S2, a corrente no

capacitor sofre uma descontinuidade, passando de zero para -100mA, e desta

forma, o capacitor fornece energia para o resistor R

₂

que a dissipa na forma

de calor.

S1 S2 i_C(t)_{1 iC(t)2} v_C(t) + _ t ≤ 1[ms] t > 1[ms]

Capacitor: Energia Armazenada

v_C(t) + _ i_C(t)₂ v_C(t)

Não existe descontinuidade

na tensão do capacitor

.

Observar que:

v

_C(t=1ms-)

= v

_C(t=1ms+)

O Capacitor armazena energia na forma de um

campo elétrico

.

v

_C

(t)

₁

v

_C

(t)

₂ i_C(t)₁ + _ 0s _{0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0ms 1.2ms 1.4ms 1.6ms 1.8ms 2.0ms} 0V 2V 4V 6V 8V 10V

0s 0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0ms 1.2ms 1.4ms 1.6ms 1.8ms 2.0ms -100mA -50mA 0A 50mA 100mA

Capacitor: Energia Armazenada

i

_C

(t)

Atenção:

Uma vez que o capacitor esteja energizado, quando t→∞ a corrente

i

_C

(t) também tende para zero. Ou seja, passado o transitório o capacitor

é um

circuito aberto

para corrente contínua.

Entretanto, para o instante inicial, ou seja, t=0

₊

, se o capacitor estiver

desenergizado (v

_C(t=0-)

= 0V) ele se comporta como um

curto circuito

antes do início do transitório.

Para C desernegizado, em t=0₊, o Capacitor é uma chave fechada (v_C=0)

Para t >> 0₊, o capacitor é uma chave aberta (i_C=0)

Capacitor: Energia Armazenada

Se o capacitor tem capacidade de armazenar energia e capacidade de fornecê-la, quando necessário, o balanço de potência ao longo do tempo deve ser zero.

0s 0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0ms 1.2ms 1.4ms 1.6ms 1.8ms 2.0ms -1.0W -0.5W 0.0W 0.5W

p

_C

(t)

0

(t)

p

2ms t 0 t C





   0s 0.2ms 0.4ms 0.6ms 0.8ms 1.0ms 1.2ms 1.4ms 1.6ms 1.8ms 2.0ms 0 25uJ 50uJ

e

_C

(t)

Enquanto a chave S1 está ligada, o capacitor recebe energia da fonte de tensão.

S1 abre e S2 fecha. O capacitor fornece energia para a carga (R₂)

Capacitor: Energia Armazenada

Avaliando a energia

armazenada.

Considerar que o

capacitor encontra-se

desenergizado no

instante t=0

_-

.

















2 C C C 2 C 2 C (t) v ) 0 (t v 2 C t 0 t (t) v ) 0 (t v C C t 0 t C C C C C C C C C

(t)

v

C

2

1

e(t)

0

)

0

(t

v

)

0

(t

v

)

0

(t

v

C

2

1

(t)

v

C

2

1

)

0

e(t

e(t)

(t)

v

C

2

1

e(t)

(t)

(t)dv

Cv

(t)dt

p

(t)

(t)v

Cdv

(t)dt

p

(t)

v

dt

(t)

dv

C

(t)

(t)v

i

(t)

p

C C C C































           









 

J] 50[ 1ms) e(t 10 1.10 2 1 1ms) e(t 1ms) (t v C 2 1 1ms) e(t 2 6 2 C x x m        

Energia Armazenada: Exemplo envolvendo capacitores e indutores

Para o circuito ilustrado na sequência, avaliar a energia armazenada nos elementos reativos. Considerar que houve tempo suficiente para que o regime permanente tenha

sido alcançado. 1A 2W 9V 20mF 3mH _1W 10mF 2mH 2W - +

Capacitor: Relações Integrais

Cte

(t)dt

i

C

1

(t)

v

(t)

dv

C

(t)

Cdv

(t)dt

i

(t)

Cdv

(t)dt

i

dt

(t)

dv

C

(t)

i

C C C C C C C C C





















0

)

(

p/i

)dα

(

i

C

1

)

(0

v

)

(

v

)

(0

v

)

(0

v

)dα

(

i

C

1

)dα

(

i

C

1

)dα

(

i

C

1

)

(

v

C t 0 C C C C C t 0 C 0 C t C C



























         













Para que a corrente não fique com uma

constante a ser determinada podemos

lançar mão da variável “muda” α.

Desta forma, a corrente é avaliada pela

integral levando-se em conta o instante

inicial em 0

_-

. Em outras palavras está

considerando-se a existência, ou não, de

energia previamente armazenada no

capacitor.

Capacitor: Relações Integrais









9,99546[V] ) (1ms v e e 10 e e RI (1ms) v e RC C I dα Ie C 1 (1ms) v Ie ) ( i )dα ( i C 1 (1ms) v )d ( i C 1 ) (0 v ) ( v C -0.9999546 0 10 0 1ms RC 1 C 1ms t 0 α RC 1 1ms 0 α RC 1 C α RC 1 C 1ms 0 C C t 0 C 0 C C                                     







     











Para o nosso exemplo com 0

₊

< t < 1ms

Com t=0₊ Capacitor em curto: v_C(t)=0[V]; i_C(t)=100[mA]. Com t=1ms -Capacitor aberto: v_C(t)=0,1.100=10[V]; i_C(t)=0[A]. 0,1A 100 iC(t) + vC(t) _ iR(t) 0,1A R iC(t) + vC(t) _ iR(t)

Capacitor: Regime senoidal





      _      2       t sen I t cos I (t) i t cos CV dt t sen V d C (t) i dt (t) dv C (t) i P P C P P C C C

Vamos supor que agora o nosso elemento indutor está operando sob regime

senoidal, ou seja, a tensão v

_C

(t) é do tipo V

_p

senωt.

] [ [A][s] [V] [s] fC 2 1 ωC 1 I V X ωCV I P P C P P W      

Duas conclusões importantes que já podem ser indicadas:

1.Existe uma defasagem de 90° entre a tensão e a corrente, sendo que a

corrente está

adiantada

em relação à tensão;

2.O valor de pico da corrente relaciona-se com o valor de pico da tensão

através de um parâmetro que tem dimensão de Ohm. Este parâmetro é

denominado de

reatância capacitiva

e é representado por X

_C

.

Observar que para f→0, a reatância capacitiva tende para ∞. Isto significa que o capacitor é um

circuito aberto para baixas frequências.

v_C(t)

+

_

40

Capacitor: Regime Senoidal

0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms 22ms 24ms 26ms 28ms 30ms 32ms -1.0V -0.8V -0.6V -0.4V -0.2V 0V 0.2V 0.4V 0.6V 0.8V 1.0V -0.4mA -0.3mA -0.2mA -0.1mA 0mA 0.1mA 0.2mA 0.3mA 0.4mA

v

_C

(t)=1sen377t [A]

[mA] 2 π 377t 0,377sen (t) i 2 π 377t 1sen 1.10 377 2 π 377t sen ωCV (t) i ] 60[H f 377 f 2 2 π 377t sen I (t) i C 6 P C Z P C x x       _        _        _            _   

i

_C

(t)=0,377sen(377t+π/2) [mA]

π/2 ou 90°

0,377[mA] 2652,5 1 X V I ] 2652,5[ X fC 2 1 ωC 1 X C P P L C       W  C=1μF v_C(t) + _ i_C(t)

Capacitor: Potência e Energia no Regime Senoidal

0 t sen T V I t sen V I 2 1 T 1 (t) p t sen V I 2 1 t cos tV sen I t p (t) v t i (t) p 0 T 0 P P T 0 P P C P P P P C L L L      





        2 2 2 2 ) ( ) ( 0s 2ms 4ms 6ms 8ms 10ms 12ms 14ms 16ms 18ms 20ms 22ms 24ms 26ms 28ms 30ms 32ms -0.2mW -0.15mW -0.1mW -0.05mW 0.0W 0.05mW 0.1mW 0.15mW 0.2mW

p

_C

(t)=0,188sen(754t) [W]

A₁ A₂ P_C(AVG)=0

Observar que a potência média é zero,

ou seja,

a energia no capacitor está

armazenada na forma de um campo







_{1 2 N}



eq eq N 2 1 N 2 1 CN C2 C1

C

C

C

C

dt

dv(t)

C

dt

dv(t)

C

C

C

i(t)

dt

dv(t)

C

dt

dv(t)

C

dt

dv(t)

C

i(t)

(t)

i

(t)

i

(t)

i

i(t)



































Capacitores: Associações

i(t)

i

_C1

(t)

C

₁

C

₂

C

_N

i

_C2

(t)

v(t)

i

_CN

(t)

Capacitores em paralelo







N 1 i i eq

C

C

Portanto, a associação paralela de capacitores e semelhante à associação paralela de resistores: Podemos associar os capacitores em série ou em paralelo da mesma forma que os

v(t)

i(t)

+ v

_C1

_{(t) - + v}

_C2

_{(t) - + v}

_CN

_(t)

-C

₁

C

₂

C

_N N 2 1 eq N 1 k CK t 0 N 2 1 CN C2 C1 t 0 N t 0 2 t 0 1 CN C2 C1

C

1

C

1

C

1

C

1

)

(0

v

i(t)dt

C

1

C

1

C

1

v(t)

)

(0

v

)

(0

v

)

(0

v

i(t)dt

C

1

i(t)dt

C

1

i(t)dt

C

1

v(t)

(t)

v

(t)

v

(t)

v

v(t)

































































        

Capacitores: Associações

Capacitores em série







N 1 i i eq

C

1

1

C

Indutores e Capacitores: Resumo

Elemento de

Circuito Diferença de Potencial Corrente

Indutância (L) Capacitância (C)

)

(0

i

d

)

(

v

L

1

(t)

i

_L t 0 L L







 





)

(0

v

d

)

(

i

C

1

(t)

v

_C t 0 C C







 





dt

t

di

L

t

v

_L

(

)



L

(

)

dt

t

dv

C

t

i

_C

(

)



C

(

)

Elemento de Circuito DC (Regime Permanente) AC Senoidal (Reatância) (Regime Permanente) Indutância (L) “Curto-circuito” X_L=2πfL, adianta tensão de 90° LF (low frequency) → 0 HF (high frequency)→ ∞

Capacitância (C) “Circuito aberto”

X_C=1/2πfC, adianta corrente de 90°

LF (low frequency) → ∞ HF (high frequency)→ 0

Indutores e Capacitores: Resumo

Elemento de Circuito Descontinuidade* (Tensão em t=t₀) Descontinuidade* (Corrente em t=t₀) Indutância (L) Capacitância (C)    Impulso 0 L L L (t t ) dt (t) di L (t) v  



    Impulso 0 C C C (t t ) dt (t) dv C (t) i  





* A função impulso unitário atua de modo a manter o sentido da grandeza que, a princípio, não pode sofrer descontinuidade. Neste instante (t=t₀), o bipolo em

questão atua como uma “fonte”, ou seja, tensão e corrente estarão no mesmo sentido.          τ t L L 1 e R V dt (t) di L (t) v          τ t C C RI 1 e dt (t) dv C (t) i Iu(t) t I t0 Vu(t) t V t0

Estendendo o Conceito de Dualidade

O conceito de dualidade foi mencionado para os circuitos resistivos e

para os circuitos que continham indutores e capacitores. Podemos,

neste ponto, fornecer uma definição mais exata e, então, usá-la no

reconhecimento e construção de circuitos duais, enviando-se, assim,

o trabalho de analisar ambos.

A definição será em termos de equações de circuitos.

Dois circuitos são duais se a equação de malhas que caracteriza

um deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que

caracteriza o outro

.

São chamados de

duais exatos

se cada equação de malha de um

circuito for numericamente idêntica à correspondente equação nodal

do outro. As variáveis tensão e corrente não podem ser,

48

Estendendo o Conceito de Dualidade: Exemplo

Obter o dual exato do circuito:

0

(t)

5i

)

0

(t

v

)d

(

i

8

1

dt

(t)

di

4

dt

(t)

di

4

(t)

i

malha

dt

(t)

di

4

dt

(t)

di

4

(t)

3i

2cos6t

(t)

i

malha

2 c t 0 2 1 2 2 1 1 1



























2 2cos6t 3Ω i2(t) i1(t) _5Ω 8F 4H Quantidades duais:

Estendendo o Conceito de Dualidade: Exemplo

Podemos construir as duas equações nodais substituindo as correntes de malha i₁(t) e i₂(t) por duas tensões de nós v₁(t) e v₂(t). Em seguida, desenhamos o circuito

representado por estas duas equações nodais

0

t

5v

)

0

(t

i

)d

(

v

8

1

dt

(t)

dv

4

dt

(t)

dv

4

(t)

v

nó

dt

(t)

dv

4

dt

(t)

dv

4

(t)

3v

2cos6t

(t)

v

nó

L t 0 2 1 2 2 1 1 1























₂

(

)

2





2cos6t 3S v₂(t) v1(t) 5S 4F 8H

Exercícios

1. Um capacitor de precisão de valor 1[µF] tem como dielétrico um material com resistividade muito elevada. O capacitor é carregado até 1[V] em t=0 e é, então, desligado da fonte. Observa-se que a voltagem cai a 0,9[V] em 100h. Determine a resistência de isolação.

2. Dois fios resistivos, cada um com 1[m] de comprimento e com resistividade de 10[Ωcm], estão em paralelo e ligados em ambas extremidades por um condutor perfeito. Um capacitor de 1000[pF] está conectado diretamente com os fios em algum ponto não especificado. Qual é a máxima constante de tempo possível? Se τ=0,3[µs], qual a distância entre o capacitor e a extremidade mais próxima?

3. Cinco elementos de circuito: três capacitores de 2, 3 e 6[µF], uma fonte de corrente de 2[mA] e um resistor de 0,1[MΩ] estão ligados em paralelo há uma semana. Em t=0, um conjunto de chaves que existia no circuito é acionado, formando uma nova configuração. No novo circuito ficam os três capacitores em série (com as voltagens iniciais somando-se) e o resistor também em série. Determine a tensão no resistor, como função do tempo. Determine a corrente nos capacitores. Integrando a corrente e usando as condições iniciais conhecidas, determine a voltagem em cada capacitor, como função do tempo. Qual voltagem em cada capacitor quando t→∞?

4. Se um resistor de 20[kΩ], um capacitor de 10[μF] e uma associação paralela entre um resistor de 10[kΩ] e uma fonte de corrente independente de 6u(t)[mA] estão todos em série, determine: a voltagem no capacitor; a corrente no resistor de 10[kΩ].

5. Um capacitor de 20[μF], um resistor de 25[kΩ] e uma fonte de corrente independente estão ligados em paralelo. Determine a voltagem no capacitor, v_c(t), se a fonte de corrente é: i(t)=4[1-u(t)][mA]; i(t)=4[1+u(t)][mA].

Exercícios

6. Para os circuitos a seguir, determine i_C(t) e v_C(t) para t > 0. Qual o valor de v_C(0₊) em cada caso? Considere, onde aplicável, que as condições inicias são nulas.

iC(t) C=5mF 5kW + vC(t) -10+15u(t) [mA] ₁₂ kW 20kW iC(t) C=6mF 4W 3A + vC(t) -48u(t) [V] 5A iC(t) C=10mF 4W + vC(t) -10mA 4W 4W t=100ms iC(t) C=10[ F] + vC(t ) -3u(t)[mA] 30 [V] 10k 20k

Exercícios

7. Um capacitor a ar, consistindo de duas placas paralelas bastante próximas, tem uma capacitância de 1000 pF. A carga em cada placa é de 1 mC. (a) Qual é a ddp entre as placas? (b) Se a carga for mantida constante, qual é a ddp entre as placas se a separação for duplicada?

8. Na figura abaixo, C₁=3[mF] e C₂=2[mF]. Calcule a capacitância equivalente da rede entre os pontos „a‟ e „b‟. Calcule a carga em cada um dos capacitores C₁ mais próximos de „a‟ e „b‟ quando Vab=900[V]. Com Vab=900[V], calcule Vcd.

10. Dois capacitores, previamente descarregados, estão conectados em série e são posteriormente carregados através de uma fonte de 12V. Um capacitor é de 30µF e o outro é desconhecido. Se a tensão sobre o capacitor de 30µF é de 8V, encontre a capacitância do capacitor desconhecido.

11. Dados quatro capacitores de 2µF, determine os valores máximo e mínimo de capacitância que podem ser obtidos conectando-se os capacitores em série, em paralelo, em um série-paralelo.