ofi5-2019

Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI

Instituto de Física & Química – IFQ

Introdução à Astronomia

Oficina 5

Mecânica Celeste

Prof. Gabriel Rodrigues Hickel

TOMADA DE DADOS NOS DIAS 07 e 14/10/2019

PRAZO FINAL DE ENTREGA: 23:59:59 DO DIA 04/11/2019

Ano 2019

 Todos os direitos reservados à UNIFEI e autor. O uso deste material para fins didáticos, não lucrativos, é permitido, desde que mantidos os créditos.

Oficina de Foguetes com Medição dos Parâmetros de Vôo

Nesta prática, os grupos (máximo de 3 alunos) construirão um foguete a partir de materiais de baixo custo. O corpo do foguete será formado por uma garrafa pet, vazia, de 2 litros de refrigerante (qualquer uma serve); bico de outra garrafa pet igual (veja ilustração, abaixo); papelão e um pouco de areia. O propelente será água pressurizada. Para o lançamento, a garrafa será preenchida com água até metade do seu volume e utilizada em uma base de lançamento disponibilizada pelo professor. O ar dentro da garrafa será pressurizado pela injeção através de uma bomba comum de pneu de bicicleta. Com alta pressão estabelecida, o foguete é liberado e propelido pela saída repentina da água. A rápida ejeção da água (< 1 seg) fará com que a garrafa de refrigerante suba, podendo levar o foguete entre 5 e 30 metros de altura, dependendo da pressão interna alcançada e de outras circunstâncias.

O lançamento será filmado por duas câmeras, equidistantes da base e dispostas em mais ou menos 90o, de modo a levantar a trajetória tri-dimensional do foguete, com o auxílio do programa Tracker. Além do levantamento da trajetória, os grupos também deverão calcular os parâmetros de vôo.

• Material necessário

Para o Foguete (REPONSABILIDADE DOS GRUPOS!!!):

- 2 garrafas vazias de refrigerante de 2 litros;

- Caracterização: aletas de papelão para direcionalidade, bico para diminuir o arrasto e papel vermelho ou laranja;

- areia (máximo de 100g) para preencher o bico e dar mais estabilidade ao foguete; - cola quente, fita adesiva, tesoura;

- cerca de 1 litro de água (obtido no local do experimento);

Para o Lançamento (A GARGO DO PROFESSOR):

- _{base de lançamento;} - _{bomba de ar comprimido;}

- balança, câmeras e tripés, trena longa, fita métrica, sarrafo de referência.

1 – Forme o foguete com uma garrafa pet inteira e o bico recortado de outra. Encha o bico com areia (pode-se usar uma sacola plástica para evitar que a areia vaze), mas deixe um pouco de espaço para que o encaixe na garrafa pet seja possível. A massa final do foguete (sem água) não deve exceder 120g. Cole o bico (cola quente e/ou fita adesiva) recortado, no fundo da garrafa inteira. As tampas, da garrafa e do bico recortado devem ser mantidas;

2 – Envolva a estrutura com papel laranja ou vermelho,

colando-o (cola ou fita adesiva) junto ao corpo do foguete. Isto será necessário para um bom contraste no vídeo;

3 – Cole as aletas de papelão (cola ou fita adesiva), de modo que a ponta da aleta fique mais ou menos a 2/3 do

comprimento da garrafa inteira (veja no item “3” da figura que se as aletas forem abaixo disto, elas pegarão na base de lançamento). A base de lançamento onde o foguete irá ficar não deve tocá-lo em outra parte que não seja o bico

4 – Quaisquer outras caracterizações que os grupos queiram fazer são livres, mas sempre com o esquema de lançamento e da base em mente. É bom levar tesoura e fita adesiva no dia do lançamento para qualquer emergência.

• Procedimentos da parte prática

- A experiência deve ser feita ao ar livre, longe de prédios, fiações, carros, pessoas, enfim tudo que pode ser danificado ou atingido pelo foguete desgovernado;

- Posicionar a base de lançamento o mais vertical possível, no solo; - Posicionar as câmeras a uma distância adequada

da base de lançamento, a fim de evitar respingos e de ter uma cobertura adequada do vôo. Elas deverão estar a cerca de 20 metros da base de lançamento (use a trena métrica e meça as distâncias exatas, “D1”, da câmera 1 à base de lançamento e “D2”, da câmera 2 à base de lançamento, em metros). Disponha-as de modo que as linhas retas que unem as posições das câmeras à base de lançamento, formem um ângulo aproximado de 90o (o valor exato será medido nos procedimentos de análise). Uma terceira câmera irá focar no foguete em si, para determinar a saída de água (~100 qps);

- Meça, com a trena, e anote o comprimento do

sarrafo de referência (em metros); “L” (ele será utilizado como bastão de medição na redução de dados – programa Tracker);

- Meça, com a fita métrica flexível e anote (em metros), o perímetro maior do foguete; “ C ”, sem considerar as aletas;

- Meça e anote (em kg) a massa do foguete sem água, a qual chamaremos de massa permanente; “mP”, com a balança (a precisão da balança utilizada é de 1g);

- Encher a garrafa com água até aproximadamente a sua metade;

- Medir e anotar (em kg) a massa do conjunto (garrafa + água), “mT”, com a balança; - Coloque o foguete na base de lançamento (o professor irá auxiliar);

- Firme o extensor da bomba injetora no bico da base;

- No lançamento, haverá a necessidade de dois integrantes do grupo estarem presentes. O professor irá filmar;

- _{Ligar as câmeras antes do lançamento;}

- _{Pegue o sarrafo de medição e coloque-o perfeitamente na vertical;}

- Depois coloque o sarrafo de medição na horizontal, de modo que seu ponto médio esteja bem próximo à base de lançamento e seu comprimento, a mais ou menos a 45o, para ambas as direções das retas que unem as câmeras à base de lançamento;

- Um dos integrantes deve ficar junto ao fio para puxar e lançar o foguete, após bombear; - Um outro integrante do grupo deverá utilizar a bomba injetora, bombeando rápida e constantemente;

- Com a pressão alta dentro da garrafa, o integrante que bombeia deve se afastar e outro deverá puxar o fio, liberando o foguete. Rapidamente, a água, por um tempo muito curto (< 1 seg), sairá em um esguicho. Quem estiver próximo, ficará molhado;

- O foguete subirá até 30 metros, dependendo da pressão. Eventuais problemas podem ocorrer, fazendo com que esta altura seja bem menor ou que o foguete não saia exatamente na vertical;

- Se o foguete ficar preso na base ou a água vazar muito, pode ser necessário repetir o lançamento;

- Os filmes das duas câmeras deverão registrar, se possível, toda a trajetória do foguete, embora isto não seja fundamental para efetuar a oficina;

- Os demais expectadores devem ficar atentos para onde o foguete irá cair, pois se pegar em alguém, pode machucar. Eventuais passantes devem ser alertados pelos integrantes do grupo, se houver risco.

• Redução de Dados e Desenvolvimento

Os dados a serem utilizados na aferição dos parâmetros envolvidos na cinemática do foguete, serão retirados do filme com o programa Tracker, que permite acompanhar o elemento de movimento (foguete) quadro-a-quadro, na filmagem. A base de tempo é a do próprio filme (1/60 seg. entre cada instantâneo).

Para o uso do Programa Tracker, consulte os seguintes endereços:

https://physlets.org/tracker/

http://www.if.ufrgs.br/cref/uab/lab/tracker.html https://www.youtube.com/watch?v=mVsC_kZ1bMo

Baixe o arquivo “ofi5-dados-2019.pdf” e os filmes das duas câmeras, correspondente ao lançamento do seu grupo, no endereço:

https://www.dropbox.com/sh/e29k5gaktele6qn/AACtjTcM8OPnU5yurt_MQL0da?dl=0

No Tracker, abra o filme da câmera 1. Crie o "Bastão de Medição" para o sarrafo de referência NA VERTICAL e indique o valor de “L” medido (em metros!). Utilize a ampliação, se necessário, no ícone da lupa. Meça também o tamanho do sarrafo colocado a mais ou menos 45o (na horizontal), “S1” (em metros), com a fita métrica do Tracker. Para tanto, vá no ícone “Novo”, depois em “Ferramentas de Medida” e depois em “Fita Métrica”. Um segmento de reta aparecerá na janela do vídeo e poderá ser colocado no tamanho e posição do sarrafo inclinado. Anote o valor de “S1”.

Para fazer o acompanhamento do foguete,

ajuste como ponto inicial o quadro imediatamente antes do primeiro que mostrar o foguete se mexendo. O ponto final será o último quadro onde o foguete aparece ou o imediatamente antes dele cair no chão.

Coloque os eixos X e Y, de modo que X seja paralelo ao horizonte e Y esteja na vertical, com a parte positiva na direção do crescimento da altura. A origem dos eixos deve ser o ponto onde a base toca o solo.

Crie um “Ponto de Massa”, clicando no ícone “Novo”. Na maioria das vezes, o movimento do foguete é rápido e o acompanhamento integral do Tracker, com o uso do "template" e de forma

automática, poderá falhar algumas vezes, pois via de regra, o foguete fica mal definido em termos de tamanho, na imagem e em relação ao contraste com o fundo. Assim, sugere-se fortemente que você aponte o foguete, quadro-a-quadro. Para tanto, aperte a tecla “Shift” e clique com o mouse no foguete (lembre-se sempre de clicar no mesmo ponto do foguete em cada quadro, o uso da ampliação, através do ícone da lupa, é recomendado).

Após determinar a posição do foguete em todos os quadros, salve a tabela com os valores de t, x e y.

Faça os mesmos procedimentos com o filme da câmera 2. Após o uso do Tracker, você terá:

- _S1 e S2; tamanhos do sarrafo inclinado na horizontal, para as câmeras 1 e 2; - _t1, x1, y1; da câmera 1;

- _t2, x2, y2; da câmera 2.

Pode existir uma pequena defasagem entre t1 e t2, a qual iremos ignorar, pois ela não será importante no tratamento que faremos a seguir.

• Calculando a Cinemática do Foguete

Antes de efetuarmos a análise do auto-impulso e das forças sobre o foguete, é necessário obter as coordenadas x, y e z do foguete, em relação ao ponto de lançamento, a partir dos dados que temos disponíveis do Tracker e de outros que medimos no dia do lançamento.

No esquema de lançamento e disposição das câmeras 1 e 2, temos algo análogo ao desenho abaixo.

Por mais que tenhamos procurado deixar as câmeras 1 e 2 dispostas, de modo que as linhas que as ligam à base de lançamento (origem) formassem um ângulo reto (90o); na prática, existe uma pequena defasagem, indicada na figura pelo ângulo θθθθ. Assim, a Câmera 1 mede -x e z, ao passo que a Câmera 2 mede y´ e z´. É possível relacionar as duas medidas, considerando o ângulo θθθθ como um ângulo de rotação entre os dois sistemas de eixos, mas para fazer isto, precisamos conhecer o valor do ângulo θθθθ. Ele será conhecido a partir dos valores S1 e S2; dos dois filmes, quando o sarrafo estava na horizontal e a cerca de 45o para as duas câmeras, conforme o esquema à esquerda.

Neste esquema, estamos vendo o chão (plano X×Y ou plano X’×Y’) de cima da origem, na direção do eixo Z. É fácil de ver que o valor medido do sarrafo inclinado (traço vermelho), na

horizontal, pela câmera 1, nominalmente S1, é a projeção (traço vermelho escuro) do sarrafo de comprimento L, conforme o ângulo αααα. A relação entre eles é obtida geometricamente, como:

      = ⇒ ⋅ = L S L S1 cosα α arccos 1

Da mesma forma, é possível relacionar a projeção S2, relativa à câmera 2 (traço roxo):

      = ⇒ ⋅ = L S L S2 cosβ β arccos 2

Do esquema acima, também não é difícil de verificar o valor do ângulo θθθθ : β ββ β α αα α θ θθ θ θ θθ θ β ββ β α αα α++++ ++++ ====90o ⇒⇒⇒⇒ ====90o−−−− −−−−

Note que o sinal de θθθθ indicará se ele é anti-horário (positivo, como mostra a figura) ou horário (negativo) e deve ser levado em conta, pois as duas coisas podem ocorrer na montagem inicial do posicionamento das câmeras.

Com o valor de θθθθ , podemos calcular as transformações entre os sistemas das duas câmeras:

z z y sen x y sen y x x ′′′′ = = = = ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ + + + + ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ = = = = ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ − − − − ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ = = = = θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ cos cos ou z z y sen x y sen y x x = == = ′′′′ ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ − −− − = = = = ′′′′ ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ = = = = ′′′′ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ cos cos

O Tracker nos fornece, da câmera 1: x = -x1 e z = y1. Da câmera 2: y’ = x2 e z’ = y2. A única maneira de obter o conjunto de três coordenadas de uma das duas câmeras é proceder algebricamente nas transformações de sistema entre elas, de modo a obter relações, envolvendo grandezas medidas, para a coordenada faltante (no caso, y da câmera 1 ou x’ da câmera 2):

θ θθ θ θ θθ θ cos y sen x y==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ′′′′ _e θ θθ θ θ θθ θ cos sen y x x′′′′==== ++++ ′′′′⋅⋅⋅⋅

Por fim, para completar a análise das coordenadas do foguete, é necessário corrigir o ângulo de projeção da posição real do foguete, em relação ao referencial de cada câmera, uma vez que o Tracker mede as posições em um plano projetado (sem levar em conta a profundidade), apesar do foguete ter uma trajetória que não se estabelece neste plano; conforme ilustra a figura ao lado:

Na figura, a câmera 1 mede xm e zm (indicados em vermelho) projetados no plano X×Z (em amarelo), mas note que estas não são as posições x e z reais do foguete (em verde), que dependem da distância D1 da câmera 1 à origem (ponto de lançamento). Por geometria simples (semelhança de triângulos), teremos:       − − − − ⋅⋅⋅⋅ = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − − − = == = 1 1 1 D y x x y x x D x m m m

De forma similar, para a medida da altura correta do foguete, teremos a expressão:

      − − − − ⋅⋅⋅⋅ = = = = 1 1 D y z z _m

E se aplicarmos o mesmo raciocínio nas medidas da câmera 2, chegaremos às relações:

      ′′′′ − − − − ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ = = = = ′′′′ 2 1 D x y y _{m e }      ′′′′ − − − − ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ = = = = ′′′′ 2 1 D x z z _m

O problema para implementar estas correções é que precisamos das posições reais do foguete (y no referencial da câmera 1 e x’ no referencial da câmera 2), o que não temos. Mas podemos trabalhar algebricamente as equações dos dois sistemas a fim de obter as coordenadas corrigidas em um deles, a partir de quantidades medidas. Trabalhando nas equações que determinam a coordenada y do foguete, no sistema da câmera 1:

m m m m m m y sen x y sen D x x D y D x y sen D y x y y sen x y ′′′′ + + + + ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅       ⋅⋅⋅⋅ + + + + + + + + ′′′′ ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒       ′′′′ − − − − ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ + + + + ⋅⋅⋅⋅       − − − − ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅ ⇒ ⇒⇒ ⇒ ′′′′ + + + + ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ 1 2 2 1 cos 1 1 cos cos

Obtemos uma primeira equação envolvendo x’ e y. Se fizermos o mesmo nas equações que determinam a coordenada x’ do foguete, no sistema da câmera 2, obteremos uma segunda equação:

θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ y x y sen D x x sen D y m m m m ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ + + + + = = = = ⋅⋅⋅⋅ + + + + ′′′′ ⋅⋅⋅⋅       ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ + + + + 1 2 cos

Assim, temos duas incógnitas (x’ e y) e duas equações, de modo que o sistema é completamente determinado (aqui mostrada a solução para y):

Desta forma, as posições x, y e z do foguete, serão obtidas da seguinte forma: - Abra os dados (t1, x1, y1) da câmera 1 no SciDAVis;

- Crie outra tabela e abra os dados (t2, x2, y2) da câmera 2;

- Plote os gráficos de pontos x1× t1, y1× t1, x2× t2, y2× t2, lembrando que todos devem de ir do instante 0 até um determinado instante máximo tmax, que pode ser quando o foguete toca o chão ou até onde ele aparece para as duas câmeras. Verifique nos filmes se o vôo do foguete aparece por completo em ambos. Se por alguma razão do tipo de trajetória que o foguete fez, ela só é totalmente vista em uma das câmeras, o tempo máximo tmax é determinado pela câmera de menor cobertura temporal;

- Crie uma função suave em cada um dos 4 gráficos (você pode notar que os pontos experimentais mostram-se espalhados e isto ocorre devido aos erros de posição, por isto, suavizaremos). Para tanto, com o gráfico de pontos aberto, vá no menu superior em “Analysis”, depois em “Smooth”, depois em “Moving Window Avarage”. Na nova janelinha aberta, no campo “Points”, mude o valor para “5”. Depois, clique em “Smooth”. Com este procedimento, nós obtivemos uma função suave que é a média corrente a cada 5 pontos. Feche a nova janelinha e dê um duplo clique na curva da função suave, no gráfico. Na nova janela aberta (Plot Details), clique na função “Smoothed1” e depois no botão “Worksheet”. Isto criará uma tabela com os dados suavizados. Faça isto para os 4 gráficos. Renomeie cada tabela nova criada, para não se perder;

- Calcule os valores dos ângulos αααα, ββββ e θθθθ, a partir dos valores de L, S1 e S2;

- Calcule o valor de y do foguete, para cada instante de tempo “t” (crie uma nova tabela, se necessário), utilizando os valores de x1 e x2 (suavizados!!!), além dos valores de D1 e D2 medidos:

- Em seguida, calcule os valores de x e z do foguete, para cada instante de tempo “t”, utilizando os valores de de x1 e x2 (suavizados!!!), além dos valores de y que foram determinados no passo anterior:       − − − − ⋅⋅⋅⋅ − − − − = == = 1 1 1 D y x x _{e }      − − − − ⋅⋅⋅⋅ = = = = 1 1 1 D y y z

- Faça um gráfico tri-dimensional da trajetória do foguete. Para tanto ajuste as colunas x, y e z e no SciDAVis, selecione a coluna z, no menu superior vá em “Plot”, depois “Plot 3D” e em seguida,

      + + + + ′′′′ ⋅⋅⋅⋅ − − − −       − −− − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ − − − − ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ′′′′ = == = 1 2 2 1 2 1 cos cos D x D y sen D D x y y sen x D x y y m m m m m m m m

θ

θθ

θ

θ

θθ

θ

θ

θθ

θ

θ

θθ

θ

      − − − − ⋅⋅⋅⋅ − −− −       − −− − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ − −− − ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − −− − = = = = 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 cos cos D x D x sen D D x x x sen x D x x y θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ

“Trajectory”. Ajuste os eixos e o melhor ângulo de visada. O gráfico deve ficar mais ou menos como mostrado na figura abaixo;

- Calcule a velocidade vx. Para tanto, faça um gráfico de “x” do foguete contra “t”. Com o gráfico aberto, no menu superior, vá em “Analysis” e depois em “Differentiate”. O gráfico mudará para a derivada, ou seja, dx/dt. Mas esta é justamente a velocidade vx que queremos. Porém, ainda é necessário suavizá-la. Proceda da mesma maneira que foi feito para suavizar as x1, y1, x2, y2 e crie uma tabela de vx suavizada. Na tabela suavizada, faça a seguinte modificação na primeira coluna (coluna do tempo): selecione a primeira coluna criada e mude o nome para “tv”. Na “Fórmula”

escreva “col(“tv”)-1/120” no espaço em branco e depois no botão “Apply”. Este é o tempo médio dos intervalos para os quais as velocidades serão calculadas.

- Faça o mesmo procedimento para calcular as velocidades nas direções y e z, mudando apenas as coordenadas (o tempo será o mesmo);

- Nas novas tabelas criadas para vx, vy e vz, insira uma linha vazia antes da primeira linha de dados e escreva “0” e “0” em ambas as colunas, para caracterizar que no instante de tempo inicial, o foguete estava parado;

- Para ter valores de velocidade do instante inicial ao final, vamos aplicar uma interpolação nas velocidades suavizadas. Para tanto, plote o gráfico de pontos de vx. No menu superior, vá em “Analysis”, depois “Interpolate”. Na nova janela aberta (Interpolation Options) na opção “Spline”, mude para “Cubic”. Na opção “Points”, indique o mesmo número de pontos existentes nas coordenadas x, y e z. Na opção “To Xmax” escreva o maior valor de tempo da tabela das coordenadas x, y e z. Então, aperte o botão “Make”. Dê um duplo clique na curva traçada no gráfico de pontos. Na nova janela aberta (Plot Details), clique em “Worksheet”. Isto criará uma tabela com os dados suavizados e interpolados. Faça os mesmos procedimentos para vy e vz;

- Calcule o valor da velocidade total, v, a partir de suas componentes vx, vy e vz;

- Calcule a aceleração ax. Para tanto, faça um gráfico de “vx” do foguete contra “t”. Com o gráfico aberto, no menu superior, vá em “Analysis” e depois em “Differentiate”. O gráfico mudará para a derivada, ou seja, dvx/dt. Mas esta é justamente a aceleração ax que queremos. Porém, ainda é necessário suavizá-la. Proceda da mesma maneira que foi feito para suavizar as velocidades e crie uma tabela de ax suavizada. Na tabela suavizada, faça a seguinte modificação na primeira coluna (coluna do tempo): selecione a primeira coluna criada e mude o nome para “ta”. Na “Fórmula” escreva “col(“tv”)-1/120” no espaço em branco e depois no botão “Apply”. Este é o tempo médio dos intervalos para os quais as acelerações serão calculadas.

- Faça o mesmo procedimento para calcular as acelerações nas direções y e z, mudando apenas as componentes da velocidade (o tempo será o mesmo);

- Para ter valores de aceleração do instante inicial ao final, vamos aplicar uma interpolação nas acelerações suavizadas. Note que diferente das velocidades, as acelerações iniciais não são nulas! Para tanto, plote o gráfico de pontos de ax. No menu superior, vá em “Analysis”, depois “Interpolate”. Na nova janela aberta (Interpolation Options) na opção “Spline”, mude para “Cubic”.

“From Xmin” escreva zero “0”. Na opção “To Xmax” escreva o maior valor de tempo da tabela das coordenadas x, y e z. Então, aperte o botão “Make”. Dê um duplo clique na curva traçada no gráfico de pontos. Na nova janela aberta (Plot Details), clique em “Worksheet”. Isto criará uma tabela com os dados suavizados e interpolados. Faça os mesmos procedimentos para ay e az;

- Calcule o valor da aceleração total, a, a partir de suas componentes ax, ay e az; • Analisando as Forças sobre o Foguete e os Parâmetros de Vôo

Basicamente, se considerarmos que o foguete não apresenta rotações (o que não é verdade, mas podemos desconsiderá-las por simplicidade); as três forças principais que agem sobre o foguete são:

- Peso (P), sempre presente, na direção Z, apontando para o solo;

- Auto-impulso do foguete, presente enquanto a água é ejetada do seu interior;

- Arrasto hidrodinâmico do foguete com o ar atmosférico (FA), que é dependente da velocidade (mesma direção e de sentido contrário à esta) e só está presente enquanto o foguete se movimenta.

Desta forma, a equação de forças sobre o foguete é:

vˆ ˆ−−−− ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − −− − = = = = P z FA dt p dr

Vamos analisar cada um dos três termos desta equação, começando pela variação do momento do foguete (lado esquerdo). Se o foguete está ejetando água, ele perde massa neste processo e isto deve ser considerado na variação do momento:

onde a taxa temporal de perda de massa é toda feita pela água e υeA é a velocidade de ejeção da água, que também é variável no tempo.

O peso é simplesmente fornecido por P = m⋅⋅⋅⋅g, entretanto, lembra-se que a massa “m” do foguete varia com o tempo. Adotaremos o valor de g = 9,78 m/s2 para esta oficina.

Já a força de arrasto hidrodinâmico pode ser expressa como: 2 v 2 1 ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = = = = ρρρρ A γγγγ F_{A ar}

onde ρρρρar = 1,2 kg/m3 é a densidade típica do ar atmosférico; A = C 2 / (4ππππ) é a seção de área do foguete perpendicular à direção do movimento, calculada com o perímetro “C”, medido no dia do lançamento; v é a velocidade do foguete; γγγγ é coeficiente de arrasto, dado pela expressão:

Re 1 6 Re 24 4 , 0 + ++ + + + + + + + + + = = = = γγγγ

sendo “Re” o número de Reynolds, calculado conforme a expressão:

η η η η ρ ρρ ρ v Re==== ar ⋅⋅⋅⋅D⋅⋅⋅⋅

com D = C / πππ , sendo o diâmetro da seção de área do foguete perpendicular à direção do movimento, π calculado com o perímetro “C”, medido no dia do lançamento; ηηηη = 2×10-4 kg/m/s é a viscosidade dinâmica do ar.

Para calcular a equação de forças e encontrar as acelerações em cada uma das direções (X, Y e Z), precisamos analisar melhor o termo referente ao auto-impulso, relacionado à perda de massa (υυυυeA⋅ dm/dt), para ficar com apenas um parâmetro livre a determinar. Na verdade, não é difícil de ver que a velocidade de ejeção da água e a perda de massa de água estão relacionados. Veja o desenho abaixo:

Quando o ar comprimido expulsa a água com velocidade υυυυeA, um cilindro de água é expelido pelo gargalo da garrafa, que tem uma seção de área “ag”, em um intervalo de tempo dt. O comprimento deste cilindro é justamente a velocidade de ejeção de água, multiplicada pelo intervalo de tempo, ou seja dl = υυυυeA⋅⋅⋅⋅dt. Como o volume do cilindro ejetado está relacionado à área “ag” e ao comprimento dl, bem como à quantidade de massa de água perdida (dm), então:

eA água água água ag dt dl ag dt dVol dt dm υ υ υ υ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρ ρ ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = = = =

Lembrando que ρρρρágua = 1000 kg/m3 e nas garrafas PET padrão, ag = 1,48×10-3 m2, então:

eA dt dm υ υ υ υ ⋅⋅⋅⋅ = == = 1,48 Assim, expressamos a aceleração do foguete como:

vˆ v 6 , 0 ˆ ˆ 48 , 1 v 2 2 ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = m A z g a m dt d υυυυeA γγγγ r

Podemos separar esta aceleração em cada uma das direções ordenadas (X, Y e Z), definindo as direções em função dos vetores velocidade e aceleração, relativos às suas componentes:

v v v 6 , 0 48 , 1 v 2 2 r rx x eA x a A d ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − −− − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = == = υυυυ γγγγ

v v v 6 , 0 48 , 1 v 2 ₂ r ry y eA y m A a a m dt d ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − −− − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = = = = υυυυ γγγγ g m A a a m dt d _{z eA z z} − − − − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ − − − − ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ = = = = v v v 6 , 0 48 , 1 v 2 2 r r γγγγ υ υ υ υ

Desta forma, estamos aptos a proceder com a análise numérica para estabelecer os parâmetros de vôo desconhecidos (Re, γγγγ, FA, υυυυeA, m). Suponha que em um determinado tempo “t”, conheçamos a massa total do foguete e as componentes de sua velocidade:

mt, vxt, vyt, vzt

• Passo 1 (calcular o valor da velocidade no instante “ t ”) 2 2

2

_v

_v

v

v

_t

=

=

=

=

x

_t

+

+

+

+

y

_t

+

+

+

+

z

_t

• Passo 2 (calcular o número de Reynolds do instante “ t ”, atenção, valor de C em metros!)

t

t 1910 C v

Re ==== ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅

• Passo 3 (calcular o coeficiente de arrasto do instante “ t ”)

t t t Re 1 6 Re 24 4 , 0 + ++ + + + + + + ++ + = == = γγγγ

• Passo 4 (calcular a força de arrasto hidrodinâmico do instante “ t ”, atenção, valor de C em metros!) 2 2 2 ,t

4

,

77

10

t

v

t A

C

F

=

=

=

=

×

×

×

×

−−−−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

γγγγ

• Passo 5 (calcular a velocidade de ejeção de água do instante “t”, para as direções X, Y e Z, a partir dos parâmetros medidos e calculados, bem como das componentes da velocidade e aceleração no instante “ t ”

t x t t t x t A t t t eAx,

a

a

F

+

a

m

,

=

υ

, , ,

v

v

822

0

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

t y t t t y t A t t t eAy,

a

a

F

+

a

m

,

=

υ

, , ,

v

v

822

0

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

t z t t t z t A t z t t t eAz,

a

a

F

+

a

g

a

m

,

=

υ

, , , ,

v

v

1

822

0

⋅

⋅

⋅

















+

⋅

⋅

⋅

• Passo 6 (calcular a velocidade de ejeção de água do instante “t”, como a média dos valores determinados para as direções X, Y e Z)

3

, , , , t eAz t eAy t eAx t eA

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

υ

=

=

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

• Passo 7 (calcular a massa do foguete para o instante “ t + dt ”)

t eA, t dt + t

=

m

υ

m

−

2,467

×

10

− 2

⋅

Estes 7 passos determinam um laço iterativo. Quando a massa total do foguete for igual (ou ligeiramente menor, o que pode ocorrer em função dos erros de medidas e da resolução do processo numérico) à massa permanente “mp”, medida no dia do lançamento, então isso significa que não temos mais ejeção de água e os passos 5 a 7 são suprimidos, pois mt = mp e υυυυeA = 0, para todo “t”

Os cálculos iterativos devem ser feitos com algum programa apropriado (Mathematica, MatLab, programação, etc). Ao terminá-los, faça gráficos (pode ser no SciDAVis) das seguintes grandezas contra o tempo: velocidade (v), aceleração (a), número de Reynolds (Re), coeficiente de arrasto (γγγγ), força de arrasto (FA), velocidade de ejeção de água (υυυυeA) e massa total do foguete (m).

• Construindo e Postando os Resultados

Construam um relatório simples da oficina, contendo os seguintes tópicos: Introdução, Materiais e Métodos, Desenvolvimento, Conclusão. Este relatório deve obrigatoriamente conter (não necessariamente nesta ordem): uma foto do foguete; uma foto do lançamento (pode ser um quadro do próprio filme); o comprimento do sarrafo; a massa permanente e o perímetro do foguete; as distâncias do ponto de lançamento às câmeras 1 e 2; a massa total do foguete antes do lançamento; os dados de saída do Tracker das câmeras 1 e 2; as medidas S1 e S2; os ângulos αααα, ββββ e θθθθ; o gráfico da trajetória suavizada tri-dimensional do foguete; os gráficos das

componentes suavizadas e interpoladas das velocidades em X, Y e Z; os gráficos das componentes suavizadas e interpoladas das acelerações em X, Y e Z; o gráfico suavizado e interpolado da velocidade total; o gráfico suavizado e interpolado da aceleração total; os gráficos da variação temporal de Re, γγγγ, F , υυυυ e m.

O PRAZO DE ENTREGA É 23:59:59 DO DIA 04 DE NOVEMBRO DE 2019. ATENÇÃO PARA AS INSTRUÇÕES POSTAGEM!!!

Para entregar o seu relatório, transforme-o NO FORMATO PDF, sendo o nome do arquivo “ Of5_<matrícula do aluno 1>_<matrícula do aluno 2>_<matrícula do aluno 3>.pdf.pdf ” e mande-o para o e-mail: profgabrielhickel@gmail.com